adsby.ru → Росія

Знаходження рангу матриці. Ранг матриці: визначення, методи знаходження, приклади, рішення. Визначення рангу матриці і необхідні додаткові поняття

Нехай задана деяка матриця:

Виділимо в цій матриці довільних рядків і довільних стовпців
. тоді визначник -го порядку, складений з елементів матриці
, Розташованих на перетині виділених рядків і стовпців, називається мінор -го порядку матриці
.

Визначення 1.13.рангом матриці
називається найбільший порядок мінору цієї матриці, відмінного від нуля.

Для обчислення рангу матриці слід розглядати всі її мінори найменшого порядку і, якщо хоч один з них відмінний від нуля, переходити до розгляду миноров старшого порядку. Такий підхід до визначення рангу матриці називається методом облямівки (або методом оздоблюють мінорів).

Завдання 1.4.Методом оздоблюють мінорів визначити ранг матриці
.

Розглянемо облямівка першого порядку, наприклад,
. Потім перейдемо до розгляду деякого облямівки другого порядку.

наприклад,
.

Нарешті, проаналізуємо облямівка третього порядку.

Таким чином, найвищий порядок мінору, відмінного від нуля, дорівнює 2, отже,
.

При вирішенні завдання 1.4 можна помітити, що ряд оздоблюють мінорів другого порядку відмінні від нуля. У зв'язку з цим має місце таке поняття.

Визначення 1.14.Базовим мінор матриці називається всякий, відмінний від нуля мінор, порядок якого дорівнює рангу матриці.

Теорема 1.2.(Теорема про базисному мінорі). Базисні рядки (базисні стовпці) лінійно незалежні.

Зауважимо, що рядки (стовпці) матриці лінійно залежні тоді і тільки тоді, коли хоча б одну з них можна уявити як лінійну комбінацію інших.

Теорема 1.3.Число лінійно незалежних рядків матриці дорівнює числу лінійно незалежних стовпців матриці і так само рангу матриці.

Теорема 1.4.(Необхідна і достатня умова рівності нулю визначника). Для того, щоб визначник -го порядку дорівнював нулю, необхідно і достатньо, щоб його рядки (стовпці) були лінійно залежні.

Обчислення рангу матриці, засноване на використанні його визначення, є занадто громіздкою операцією. Особливо це стає істотним для матриць вищих порядків. У зв'язку з цим на практиці ранг матриці обчислюють на підставі застосування теорем 10.2 - 10.4, а також використання понять еквівалентності матриць і елементарних перетворень.

Визначення 1.15.дві матриці
і називаються еквівалентними, якщо їх ранги рівні, тобто
.

якщо матриці
і еквівалентні, то відзначають
 .

Теорема 1.5.Ранг матриці не змінюється від елементарних перетворень.

Будемо називати елементарними перетвореннями матриці
будь-які з наступних дій над матрицею:

Заміну рядків стовпцями, а стовпців відповідними рядками;

Перестановку рядків матриці;

Викреслювання рядка, всі елементи якої дорівнюють нулю;

Множення будь-якої рядки на число, відмінне від нуля;

Додаток до елементів одного рядка відповідних елементів іншого рядка помножених на одне і те ж число
.

Слідство теореми 1.5.якщо матриця
отримана з матриці за допомогою кінцевого числа елементарних перетворень, то матриці
і еквівалентні.

При обчисленні рангу матриці її слід привести за допомогою кінцевого числа елементарних перетворень до трапецієподібної формі.

Визначення 1.16.Трапецієподібної будемо називати таку форму подання матриці, коли в облямовують мінорі найбільшого порядку відмінного від нуля всі елементи, які стоять нижче діагональних, звертаються в нуль. наприклад:

тут
, Елементи матриці
звертаються в нуль. Тоді форма подання такої матриці буде трапецієподібної.

Як правило, матриці до трапецієподібної формі приводять за допомогою алгоритму Гаусса. Ідея алгоритму Гаусса полягає в тому, що, множачи елементи першого рядка матриці на відповідні множники, домагаються, щоб всі елементи першого стовпчика, розташовані нижче елемента
, Перетворювалися б у нуль. Потім, множачи елементи другого стовпця на відповідні множники, домагаються, щоб всі елементи другого стовпця, розташовані нижче елемента
, Перетворювалися б у нуль. Далі надходять аналогічно.

Завдання 1.5.Визначити ранг матриці шляхом зведення її до трапецієподібної формі.

Для зручності застосування алгоритму Гаусса можна поміняти місцями першу і третю рядки.








.

Очевидно, що тут
. Однак, для приведення результату до більш витонченим увазі можна далі продовжити перетворення над стовпцями.










.

Ранг матриці являє собою важливу числову характеристику. Найхарактернішою завданням, що вимагає знаходження рангу матриці, є перевірка спільності системи лінійних алгебраїчних рівнянь. У цій статті ми дамо поняття рангу матриці і розглянемо методи його знаходження. Для кращого засвоєння матеріалу докладно розберемо рішення кількох прикладів.

Навігація по сторінці.

Визначення рангу матриці і необхідні додаткові поняття.

Перш ніж озвучити визначення рангу матриці, слід добре розібратися з поняттям мінору, а знаходження миноров матриці має на увазі вміння обчислення визначника. Так що рекомендуємо при необхідності згадати теорію статті методи знаходження визначника матриці, властивості визначника.

Візьмемо матрицю А порядку. Нехай k - деяке натуральне число, яке не перевищує найменшого з чисел m і n, тобто, .

Визначення.

Мінором k-ого порядкуматриці А називається визначник квадратної матриці порядку, складеної з елементів матриці А, які перебувають в заздалегідь вибраних k рядках і k шпальтах, причому розташування елементів матриці А зберігається.

Іншими словами, якщо в матриці А викреслити (p-k) рядків і (n-k) стовпців, а з решти елементів скласти матрицю, зберігаючи розташування елементів матриці А, то визначник отриманої матриці є мінор порядку k матриці А.

Розберемося з визначенням мінору матриці на прикладі.

Розглянемо матрицю .

Запишемо кілька мінорів першого порядку цієї матриці. Наприклад, якщо ми виберемо третій рядок і другий стовпець матриці А, то нашим вибором відповідає мінор першого порядку . Іншими словами, для отримання цього мінору ми викреслили першу і другу рядки, а також перший, третій і четвертий стовпчики з матриці А, а з залишився елемента склали визначник. Якщо ж вибрати перший рядок і третій стовпець матриці А, то ми отримаємо мінор .

Проілюструємо процедуру отримання розглянутих миноров першого порядку
і .

Таким чином, минорами першого порядку матриці є самі елементи матриці.

Покажемо кілька мінорів другого порядку. Вибираємо два рядки і два стовпці. Наприклад, візьмемо першу і другу рядки і третій і четвертий стовпець. При такому виборі маємо мінор другого порядку . Цей мінор також можна було скласти викреслюванням з матриці А третього рядка, першого і другого стовпчиків.

Іншим мінор другого порядку матриці А є.

Проілюструємо побудову цих мінорів другого порядку
і .

Аналогічно можуть бути знайдені мінори третього порядку матриці А. Так як в матриці А всього три рядки, то обираємо їх все. Якщо до цих рядків вибрати три перших стовпчика, то отримаємо мінор третього порядку

Він також може бути побудований викреслюванням останнього стовпця матриці А.

Іншим мінор третього порядку є

виходить викреслюванням третього стовпця матриці А.

Ось малюнок, який показує побудова цих мінорів третього порядку
і .

Для даної матриці А миноров порядки вище третього не існує, так як.

Скільки ж існує миноров k-ого порядку матриці А порядку?

Число миноров порядку k може бути обчислено як, де і - число поєднань з p по k і з n по k відповідно.

Як же побудувати всі мінори порядку k матриці А порядку p на n?

Нам буде потрібно безліч номерів рядків матриці і безліч номерів стовпців. записуємо всі поєднання з p елементів по k(Вони будуть відповідати вибраним рядкам матриці А при побудові мінору порядку k). До кожного поєднанню номерів рядків послідовно додаємо всі поєднання з n елементів по k номерів стовпців. Ці набори сполучень номерів рядків і номерів стовпців матриці А допоможуть скласти всі мінори порядку k.

Розберемо на прикладі.

Приклад.

Знайдіть всі мінори другого порядку матриці.

Рішення.

Так як порядок вихідної матриці дорівнює 3 на 3, то всього миноров другого порядку буде .

Запишемо всі поєднання з 3 по 2 номерів рядків матриці А: 1, 2; 1, 3 і 2, 3. Всі поєднання з 3 по 2 номерів стовпців є 1, 2; 1, 3 і 2, 3.

Візьмемо першу і другу рядки матриці А. Вибравши до цих рядків перший і другий стовпці, перший і третій стовпці, другий і третій стовпці, отримаємо відповідно мінори

Для першої і третьої рядків при аналогічному виборі стовпців маємо

Залишилося до другої і третьої рядках додати перший і другий, перший і третій, другий і третій стовпці:

Отже, всі дев'ять мінорів другого порядку матриці А знайдені.

Зараз можна переходити до визначення рангу матриці.

Визначення.

Ранг матриці- це найвищий порядок мінору матриці, відмінного від нуля.

Ранг матриці А позначають як Rank (A). Можна також зустріти позначення Rg (A) або Rang (A).

З визначень рангу матриці і мінору матриці можна зробити висновок, що ранг нульової матриці дорівнює нулю, а ранг ненульовий матриці не менше одиниці.

Знаходження рангу матриці за визначенням.

Отже, першим методом знаходження рангу матриці є метод перебору миноров. Цей спосіб заснований на визначенні рангу матриці.

Нехай нам потрібно знайти ранг матриці А порядку.

коротенько опишемо алгоритмвирішення цього завдання способом перебору миноров.

Якщо є хоча б один елемент матриці, відмінний від нуля, то ранг матриці як мінімум дорівнює одиниці (так як є мінор першого порядку, що не рівний нулю).

Далі перебираємо мінори другого порядку. Якщо все мінори другого порядку дорівнюють нулю, то ранг матриці дорівнює одиниці. Якщо існує хоча б один ненульовий мінор другого порядку, то переходимо до перебору миноров третього порядку, а ранг матриці як мінімум дорівнює двом.

Аналогічно, якщо все мінори третього порядку дорівнюють нулю, то ранг матриці дорівнює двом. Якщо існує хоча б один мінор третього порядку, відмінний від нуля, то ранг матриці як мінімум дорівнює трьом, а ми переступаємо до перебору миноров четвертого порядку.

Відзначимо, що ранг матриці не може перевищувати найменшого з чисел p і n.

Приклад.

Знайдіть ранг матриці .

Рішення.

Так як матриця ненульова, то її ранг не менш одиниці.

Мінор другого порядку відмінний від нуля, отже, ранг матриці А чи не менше двох. Переходимо до перебору миноров третього порядку. всього їх штук.

Все мінори третього порядку дорівнюють нулю. Тому, ранг матриці дорівнює двом.

відповідь:

Rank (A) = 2.

Знаходження рангу матриці методом оздоблюють мінорів.

Існують інші методи знаходження рангу матриці, які дозволяють отримати результат при меншій обчислювальної роботі.

Одним з таких методів є метод оздоблюють мінорів.

розберемося з поняттям окаймляющего мінору.

Кажуть, що мінор М ок (k + 1) -ого порядку матриці А оздоблює мінор M порядку k матриці А, якщо матриця, відповідна мінору М ок, «містить» матрицю, відповідну мінору M.

Іншими словами, матриця, відповідна облямовують мінору М, виходить з матриці, відповідної облямовують мінору M ок, викреслюванням елементів одного рядка і одного стовпця.

Для прикладу розглянемо матрицю і візьмемо мінор другого порядку. Запишемо всі оздоблюють мінори:

Метод оздоблюють мінорів обґрунтовується наступною теоремою (наведемо її формулювання без доведення).

Теорема.

Якщо все мінори, оздоблюють мінор k-ого порядку матриці А порядку p на n, дорівнюють нулю, то всі мінори порядку (k + 1) матриці А дорівнюють нулю.

Таким чином, для знаходження рангу матриці не обов'язково перебирати всі мінори, досить оздоблюють. Кількість миноров, оздоблюють мінор k -ого порядку матриці А порядку, знаходиться за формулою . Відзначимо, що миноров, оздоблюють мінор k-ого порядку матриці А, не більш, ніж миноров (k + 1) -ого порядку матриці А. Тому, в більшості випадків використання методу оздоблюють мінорів вигідніше простого перебору всіх мінорів.

Перейдемо до знаходження рангу матриці методом оздоблюють мінорів. коротко опишемо алгоритмцього методу.

Якщо матриця А ненульова, то як мінору першого порядку беремо будь-який елемент матриці А, відмінний від нуля. Розглядаємо його оздоблюють мінори. Якщо всі вони дорівнюють нулю, то ранг матриці дорівнює одиниці. Якщо ж є хоча б один ненульовий окаймляющий мінор (його порядок дорівнює двом), то переходимо до розгляду його оздоблюють мінорів. Якщо всі вони дорівнюють нулю, то Rank (A) = 2. Якщо хоча б один окаймляющий мінор відмінний від нуля (його порядок дорівнює трьом), то розглядаємо його оздоблюють мінори. І так далі. В результаті Rank (A) = k, якщо все оздоблюють мінори (k + 1) -ого порядку матриці А дорівнюють нулю, або Rank (A) = min (p, n), якщо існує ненульовий мінор, оздоблюють мінор порядку (min ( p, n) - 1).

Розберемо метод оздоблюють мінорів для знаходження рангу матриці на прикладі.

Приклад.

Знайдіть ранг матриці методом оздоблюють мінорів.

Рішення.

Так як елемент a 1 + 1 матриці А відмінний від нуля, то візьмемо його як мінору першого порядку. Почнемо пошук окаймляющего мінору, відмінного від нуля:

Знайдений окаймляющий мінор другого порядку, відмінний від нуля. Переберемо його оздоблюють мінори (їх штук):

Все мінори, оздоблюють мінор другого порядку, дорівнюють нулю, отже, ранг матриці А дорівнює двом.

відповідь:

Rank (A) = 2.

Приклад.

Знайдіть ранг матриці за допомогою оздоблюють мінорів.

Рішення.

Як відмінний від нуля мінору першого порядку візьмемо елемент a 1 1 = 1 матриці А. Оздоблюють його мінор другого порядку не дорівнює нулю. Цей мінор окаймляется мінор третього порядку
. Так як він не дорівнює нулю і для нього не існує жодного окаймляющего мінору, то ранг матриці А дорівнює трьом.

відповідь:

Rank (A) = 3.

Знаходження рангу за допомогою елементарних перетворень матриці (методом Гаусса).

Розглянемо ще один спосіб знаходження рангу матриці.

Наступні перетворення матриці називають елементарними:

перестановка місцями рядків (або стовпчиків) матриці;
множення всіх елементів якого-небудь рядка (стовпчика) матриці на довільне число k, відмінне від нуля;
додаток до елементів якого-небудь рядка (стовпчика) відповідних елементів іншого рядка (стовпця) матриці, помножених на довільне число k.

Матриця В називається еквівалентної матриці А, Якщо В отримана з А за допомогою кінцевого числа елементарних перетворень. Еквівалентність матриць позначається символом «~», тобто, записується A ~ B.

Знаходження рангу матриці за допомогою елементарних перетворень матриці засноване на затвердження: якщо матриця В отримана з матриці А за допомогою кінцевого числа елементарних перетворень, то Rank (A) = Rank (B).

Справедливість цього твердження випливає з властивостей визначника матриці:

При перестановці рядків (або стовпчиків) матриці її визначник змінює знак. Якщо він дорівнює нулю, то при перестановці рядків (стовпців) він залишається рівним нулю.
При множенні всіх елементів якого-небудь рядка (стовпчика) матриці на довільне число k відмінне від нуля, визначник отриманої матриці дорівнює визначнику вихідної матриці, помноженому на k. Якщо визначник вихідної матриці дорівнює нулю, то після множення всіх елементів якого-небудь рядка або стовпця на число k визначник отриманої матриці також буде дорівнює нулю.
Додаток до елементів деякого рядка (стовпця) матриці відповідних елементів іншого рядка (стовпця) матриці, помножених на деяке число k, не змінює її визначника.

Суть методу елементарних перетвореньполягає у приведенні матриці, ранг якої нам потрібно знайти, до трапецієподібної (в окремому випадку до верхньої трикутної) за допомогою елементарних перетворень.

Для чого це робиться? Ранг матриць такого виду дуже легко знайти. Він дорівнює кількості рядків, що містять хоча б один ненульовий елемент. А так як ранг матриці при проведенні елементарних перетворень не змінюється, то отримане значення буде рангом вихідної матриці.

Наведемо ілюстрації матриць, одна з яких повинна вийти після перетворень. Їх вигляд залежить від порядку матриці.

Ці ілюстрації є шаблонами, до яких будемо перетворювати матрицю А.

опишемо алгоритм методу.

Нехай нам потрібно знайти ранг ненульовий матриці А порядку (p може дорівнювати n).

Отже,. Помножимо всі елементи першого рядка матриці А на. При цьому отримаємо еквівалентну матрицю, позначимо її А (1):

До елементів другого рядка отриманої матриці А (1) додамо відповідні елементи першого рядка, помножені на. До елементів третього рядка додамо відповідні елементи першого рядка, помножені на. І так далі до p-го рядка. Отримаємо еквівалентну матрицю, позначимо її А (2):

Якщо всі елементи отриманої матриці, що знаходяться в рядках з другої по p-ую, дорівнюють нулю, то ранг цієї матриці дорівнює одиниці, а, отже, і ранг вихідної матриці дорівнює одиниці.

Якщо ж в рядках з другої по p-ую є хоча б один ненульовий елемент, то продовжуємо проводити перетворення. Причому діємо абсолютно аналогічно, але лише із зазначеною на малюнку частиною матриці А (2)

Якщо, то переставляємо рядки і (або) стовпці матриці А (2) так, щоб «новий» елемент став ненульовим.

елементарниминазиваються такі перетворення матриці:

1) перестановка двох будь-яких рядків (або стовпчиків),

2) множення рядка (або стовпця) на відмінне від нуля число,

3) додаток до одного рядка (або стовпця) інший рядки (чи шпальти), помноженою на певна кількість.

Дві матриці називаються еквівалентними, Якщо одна з них виходить з іншої з допомогою кінцевого безлічі елементарних перетворень.

Еквівалентні матриці не є, взагалі кажучи, рівними, та їх ранги рівні. Якщо матриці А і В еквівалентні, то це записується так: A ~ B.

канонічноїматрицею називається матриця, у якої на початку головної діагоналі стоять поспіль кілька одиниць (число яких може дорівнювати нулю), а всі інші елементи дорівнюють нулю, наприклад,

За допомогою елементарних перетворень рядків і стовпців будь-яку матрицю можна привести до канонічної. Ранг канонічної матриці дорівнює числу одиниць на її головній діагоналі.

приклад 2Знайти ранг матриці

А =

і привести її до канонічного вигляду.

Рішення.З другого рядка віднімемо першу і переставимо ці рядки:

Тепер з другої і третьої рядків віднімемо першу, помножену відповідно на 2 і 5:

;

з третього рядка віднімемо першу; отримаємо матрицю

В = ,

яка еквівалентна матриці А, так як отримана з неї за допомогою кінцевого безлічі елементарних перетворень. Очевидно, що ранг матриці В дорівнює 2, а отже, і r (A) = 2. Матрицю В легко привести до канонічної. Віднімаючи перший стовпець, помножений на відповідні числа, з усіх наступних, звернемо в нуль всі елементи першого рядка, окрім першого, причому елементи інших рядків не змінюються. Потім, віднімаючи другий стовпець, помножений на відповідні числа, з усіх наступних, звернемо в нуль всі елементи другого рядка, крім другого, і отримаємо канонічну матрицю:

Теорема Кронекера - Капеллі- критерій спільності системи лінійних алгебраїчних рівнянь:

Для того щоб лінійна система була спільною, необхідно і достатньо, що б ранг розширеної матриці цієї системи дорівнював рангу її основної матриці.

Доказ (умови спільності системи)

необхідність

нехай системасумісна. Тоді існують числа такі, що. Отже, стовпець є лінійною комбінацією стовпців матриці. З того, що ранг матриці не зміниться, якщо з системи його рядків (стовпців) викреслити або приписати рядок (стовпець), яка є лінійною комбінацією інших рядків (стовпців) слід, що.

достатність

Нехай. Візьмемо в матриці який-небудь базисний мінор. Так як, то він же і буде базисним мінор і матриці. Тоді, відповідно до теореми про базисному мінорі, Останній стовпець матриці буде лінійною комбінацією базисних стовпців, тобто стовпців матриці. Отже, стовпець вільних членів системи є лінійною комбінацією стовпців матриці.

наслідки

Кількість головних змінних системиодно рангу системи.

спільна системабуде визначена (її рішення єдино), якщо ранг системи дорівнює числу всіх її змінних.

Однорідна система рівнянь

Пропозиція15 . 2 Однорідна система рівнянь

завжди є спільною.

Доведення. Для цієї системи набір чисел,,, є рішенням.

У цьому розділі ми будемо використовувати матричну запис системи:.

Пропозиція15 . 3 Сума рішень однорідної системи лінійних рівнянь є рішенням цієї системи. Рішення, помножене на число, теж є рішенням.

Доведення. Нехай і служать рішеннями системи. Тоді і. Нехай. тоді

Так як, то - рішення.

Нехай - довільне число,. тоді

Так як, то - рішення.

слідство15 . 1 Якщо однорідна система лінійних рівняньмає нульове рішення, то вона має нескінченно багато різних рішень.

Дійсно, множачи нульове рішення на різні числа, будемо отримувати різні рішення.

визначення15 . 5 Будемо говорити, що рішення системи утворюють фундаментальну систему рішень, Якщо стовпчики утворюють лінійно незалежну систему і будь-яке рішення системи є лінійною комбінацією цих стовпців.

>> Ранг матриці

Ранг матриці

Визначення рангу матриці

Розглянемо прямокутну матрицю. Якщо в цій матриці виділити довільно kрядків і kстовпців, то елементи, які стоять на перетині виділених рядків і стовпців, утворюють квадратну матрицю k-го порядку. Визначник цієї матриці називається мінор k-го порядкуматриці А. Очевидно, що матриця А має минорами будь-якого порядку від 1 до найменшого з чисел m і n. Серед усіх відмінних від нуля мінорів матриці А знайдеться принаймні один мінор, порядок якого буде найбільшим. Найбільший з порядків мінорів даної матриці, відмінних від нуля, називається рангомматриці. Якщо ранг матриці А дорівнює r, То це означає, що в матриці А є відмінний від нуля мінор порядку r, Але всякий мінор порядку, більшого ніж r, Дорівнює нулю. Ранг матриці А позначається через r (A). Очевидно, що виконується співвідношення

Обчислення рангу матриці за допомогою миноров

Ранг матриці перебуває або методом облямівки мінорів, або методом елементарних перетворень. При обчисленні рангу матриці першим способом варто переходити від мінорів нижчих порядків до минорам вищого порядку. Якщо вже знайдений мінор D k-го порядку матриці А, відмінний від нуля, то вимагають обчислення лише мінори (k + 1) -го порядку, оздоблюють мінор D, тобто містять його як мінору. Якщо всі вони дорівнюють нулю, то ранг матриці дорівнює k.

Приклад 1.Знайти методом облямівки миноров ранг матриці

Рішення.Починаємо з миноров 1-го порядку, тобто з елементів матриці А. Виберемо, наприклад, мінор (елемент) М 1 = 1, розташований в першому рядку і першому стовпці. Облямовуючи за допомогою другого рядка і третього стовпця, одержуємо мінор M 2 =, відмінний від нуля. Переходимо тепер до минорам 3-го порядку, оздоблюють М 2. Їх всього два (можна додати другий стовпець або четвертий). Обчислюємо їх: = 0. Таким чином, всі оздоблюють мінори третього порядку виявилися рівними нулю. Ранг матриці А дорівнює двом.

Обчислення рангу матриці за допомогою елементарних перетворень

елементарниминазиваються такі перетворення матриці:

1) перестановка двох будь-яких рядків (або стовпчиків),

2) множення рядка (або стовпця) на відмінне від нуля число,

3) додаток до одного рядка (або стовпця) інший рядки (чи шпальти), помноженою на певна кількість.

приклад 2Знайти ранг матриці

А =

і привести її до канонічного вигляду.

Рішення.З другого рядка віднімемо першу і переставимо ці рядки:

Тепер з другої і третьої рядків віднімемо першу, помножену відповідно на 2 і 5:

;

з третього рядка віднімемо першу; отримаємо матрицю

В = ,

Число r називається рангом матриці A, якщо:
1) в матриці A є мінор порядку r, відмінний від нуля;
2) все мінори порядку (r + 1) і вище, якщо вони існують, дорівнюють нулю.
Інакше, ранг матриці - це найвищий порядок мінору, відмінного від нуля.
Позначення: rangA, r A або r.
З визначення випливає, що r - ціле позитивне число. Для нуль-матриці вважають ранг рівним нулю.

призначення сервісу. Онлайн-калькулятор призначений для знаходження рангу матриці. При цьому рішення зберігається в форматі Word і Excel. см. приклад рішення.

Інструкція. Виберіть розмірність матриці, натисніть Далі.

Визначення. Нехай дана матриця рангу r. Будь-мінор матриці, відмінний від нуля і має порядок r, називається базисним, а рядки і стовпці його складові - базисними рядками і стовпцями.
Згідно з цим визначенням, матриця A може мати кілька базисних мінорів.

Ранг одиничної матриці E дорівнює n (кількості рядків).

Приклад 1. Дано дві матриці, і їх мінори , . Який з них можна прийняти в якості базисного?
Рішення. Мінор M 1 = 0, тому він не може бути базовим для жодної з матриць. Мінор M 2 = -9 ≠ 0 і має порядок 2, значить його можна прийняти в якості базисного матриць A або / і B за умови, що вони мають ранги, рівні 2. Оскільки detB = 0 (як визначник з двома пропорційними стовпцями), то rangB = 2 і M 2 можна взяти за базисний мінор матриці B. Ранг матриці A дорівнює 3, в силу того, що detA = -27 ≠ 0 і, отже, порядок базисного мінору цієї матриці повинен дорівнювати 3, тобто M 2 не є базисним для матриці A. Відзначимо, що у матриці A єдиний базисний мінор, рівний определителю матриці A.

Теорема (про базисному мінорі). Будь-яка рядок (стовпець) матриці є лінійною комбінацією її базисних рядків (стовпців).
Наслідки з теореми.

Всякі (r + 1) стовпців (рядків) матриці рангу r лінійно залежні.
Якщо ранг матриці менше числа її рядків (стовпців), то її рядки (стовпці) лінійно залежні. Якщо rangA дорівнює числу її рядків (стовпців), то рядки (стовпці) лінійно незалежні.
Визначник матриці A дорівнює нулю тоді і тільки тоді, коли її рядки (стовпці) лінійно залежні.
Якщо до рядка (колонки) матриці додати інший рядок, (стовпець) помножену на будь-яке число, відмінне від нуля, то ранг матриці не зміниться.
Якщо в матриці закреслити рядок (стовпець), що є лінійною комбінацією інших рядків (стовпців), то ранг матриці не зміниться.
Ранг матриці дорівнює максимальному числу її лінійно незалежних рядків (стовпців).
Максимальне число лінійно незалежних рядків збігається з максимальним числом лінійно незалежних стовпців.

Приклад 2. Знайти ранг матриці .
Рішення. Виходячи з визначення рангу матриці, будемо шукати мінор найвищого порядку, відмінний від нуля. Спочатку перетворимо матрицю до простішого вигляду. Для цього перший рядок матриці помножимо на (-2) і додамо до другої, потім її ж помножимо на (-1) і додамо до третьої.