adsby.ru → Природа в літературі

Конспект уроку "рівняння з двома змінними та його графік". Тема уроку: "Рівняння з двома змінними та його графік" Лінійні рівняння на координатної площині

МЕТА: 1) Ознайомити учнів з поняттям «рівняння з двома змінними»;

2) Навчити визначати ступінь рівняння з двома змінними;

3) Навчити визначати за заданою функції, яка фігура є графіком

даного рівняння;

4) Розглянути перетворення графіків з двома змінними;

заданому рівнянню з двома змінними, використовуючи програму Agrapher;

6) Розвивати логічне мислення учнів.

I.Новий матеріал - пояснювальна лекція з елементами бесіди.

(Лекціяпроводітся з використанням авторських слайдів; побудова графіків виконано в програмі Agrapher)

У: При вивченні ліній виникають два завдання:

За геометричним властивостям даної лінії знайти її рівняння;

Зворотній завдання: по заданому рівнянню лінії досліджувати її геометричні властивості.

Перше завдання ми розглядали в курсі геометрії стосовно окружності і прямої.

Сьогодні ми будемо розглядати зворотну задачу.

Розглянемо рівняння виду:

а) х (х-у) = 4;б) 2у-х 2 =-2 ; в) х (х + у 2 ) = Х +1.

- це приклади рівнянь з двома змінними.

Рівняння з двома змінними хі у має вигляд f (x, y) = (x, y), де fі - вирази зі змінними хі у.

Якщо в рівнянні х (х-у) = 4підставити замість змінної хїї значення -1, а замість у- значення 3, то вийде вірне рівність: 1 * (- 1-3) = 4,

Пара (-1; 3) значень змінних хі ує рішенням рівняння х (х-у) = 4.

Тобто рішенням рівняння з двома змінними називають безліч впорядкованих пар значень змінних, що утворюють це рівняння в правильну рівність.

Рівняння з двома змінними має, як правило, нескінченно багато рішень. виняткискладають, наприклад, такі рівняння, як х 2 + (У 2 - 4) 2 = 0 або

2х 2 + у 2 = 0 .

Перше з них має два рішення (0; -2) і (0; 2), друге - одне рішення (0; 0).

Рівняння х 4 + у 4 +3 = 0 взагалі не має рішень. Цікавим є, коли значеннями змінних в рівнянні служать цілі числа. Вирішуючи такі рівняння з двома змінними, знаходять пари цілих чисел. У таких випадках кажуть, що рівняння вирішено в цілих числах.

Два рівняння, що мають одне і теж безліч рішень, називають рівносильними рівняннями. Наприклад, рівняння х (х + у 2) = х + 1 є рівняння третього ступеня, так як його можна перетворити в рівняння ху 2 + х 2 - х-1 = 0, права частина якого - многочлен стандартного вигляду третього ступеня.

Ступенем рівняння з двома змінними, представленого у вигляді F (х, у) = 0, де F (х, у) -многочлен стандартного виду, називають ступінь многочлена F (х, у).

Якщо всі рішення рівняння з двома змінними зобразити точками в координатної площини, то вийде графік рівняння з двома змінними.

графікомрівняння з двома змінними називається безліч точок, координати яких служать рішеннями цього рівняння.

Так, графік рівняння ax + by + c = 0являє собою пряму, якщо хоча б один з коефіцієнтів aабо b не дорівнює нулю (рис.1). якщо a = b = c = 0, То графіком цього рівняння є координатна площину (рис.2), якщо ж a = b = 0, а c0, То графіком є порожня множина (рис.3).

Графік рівняння y = a х 2 + By + cявляє собою параболу (рис.4), графік рівняння xy = k (k0) – гіперболу (рис.5). графіком рівняння х 2 + у 2 = r, Де x і y - змінні, r - позитивне число, є окружністьз центром на початку координат і радіусом рівним r(Рис.6). Графіком рівняння є еліпс, де aі b- велика і мала півосі еліпса (рис.7).

Побудова графіків деяких рівнянь полегшується використанням їх перетворень. Розглянемо перетворення графіків рівнянь з двома зміннимиі сформулюємо правила, за якими виконуються найпростіші перетворення графіків рівнянь

1) Графік рівняння F (-x, y) = 0 виходить з графіка рівняння F (x, y) = 0 за допомогою симетрії відносно осі у.

2) Графік рівняння F (x, -y) = 0 виходить з графіка рівняння F (x, y) = 0 за допомогою симетрії відносно осі х.

3) Графік рівняння F (-x, -y) = 0 виходить з графіка рівняння F (x, y) = 0 за допомогою центральної симетрії щодо початку координат.

4) Графік рівняння F (x-а, y) = 0 виходить з графіка рівняння F (x, y) = 0 за допомогою переміщення паралельно осі х на | a | одиниць (вправо, якщо a> 0, і вліво, якщо а < 0).

5) Графік рівняння F (x, y-b) = 0 виходить з графіка рівняння F (x, y) = 0 за допомогою переміщення на | b | одиниць паралельно осі у(Вгору, якщо b> 0, і вниз, якщо b < 0).

6) Графік рівняння F (ах, y) = 0 виходить з графіка рівняння F (x, y) = 0 за допомогою стиснення до осі у і а раз, якщо а> 1, і за допомогою розтягування від осі у в раз, якщо 0< а < 1.

7) Графік рівняння F (x, by) = 0 виходить з графіка рівняння F (x, y) = 0 за допомогою за допомогою стиснення до осі х в bраз, якщо b> 1, і за допомогою розтягування від осі x в раз, якщо 0 < b < 1.

Якщо графік деякого рівняння повернути на деякий кут близько початку координат, то новий графік буде графіком іншого рівняння. Важливими є окремі випадки повороту на кути 90 0 і 45 0.

8) Графік рівняння F (x, y) = 0 в результаті повороту близько початку координат на кут 90 0 за годинниковою стрілкою переходить в графік рівняння F (-y, x) = 0, а проти годинникової стрілки - в графік рівняння F (y , -x) = 0.

9) Графік рівняння F (x, y) = 0 в результаті повороту близько початку координат на кут 45 0 за годинниковою стрілкою переходить в графік рівняння F = 0, а проти годинникової стрілки - в графік рівняння F = 0.

З розглянутих нами правил перетворення графіків рівнянь з двома змінними легко виходять правила перетворення графіків функцій.

Приклад 1. Покажемо, що графіком рівняння х 2 + у 2 +2 х - 8У + 8 = 0є окружність (рис.17).

Перетворимо рівняння таким чином:

1) згрупуємо доданки, що містять змінну хі містять змінну у, І уявімо кожну групу доданків у вигляді повного квадрата тричлена: (х 2 + 2х + 1) + (у 2 -2 * 4 * у + 16) + 8 - 1 - 16 = 0;

2) запишемо у вигляді квадрата суми (різниці) двох виразів отримані Трехчлен: (х + 1) 2 + (у - 4) 2 - 9 = 0;

3) проаналізуємо, згідно з правилами перетворення графіків рівнянь з двома змінними, рівняння (х + 1) 2 + (у - 4) 2 = 3 2: графіком даного рівняння є окружність з центром в точці (-1; 4) і радіусом 3 одиниці .

Приклад 2. Побудуємо графік рівняння х 2 + 4у 2 = 9 .

Уявімо 4у 2 у вигляді (2у) 2, отримаємо рівняння х 2 + (2у) 2 = 9, графік якого можна отримати з кола х 2 + у 2 = 9 стисненням до осі х в 2 рази.

Накреслимо окружність з центром на початку координат і радіусом 3 одиниці.

Зменшимо в 2 рази відстань кожної її точки від осі Х, отримаємо графік рівняння

х 2 + (2у) 2 = 9.

Ми отримали фігуру за допомогою стиснення окружності до одного з її діаметрів (до діаметру, який лежить на на осі Х). Таку фігуру називають еліпсом (рис.18).

Приклад 3. З'ясуємо, що представляє собою графік рівняння х 2 - у 2 = 8.

Скористаємося формулою F = 0.

Підставами в дане рівняння замість Х і замість У, отримаємо:

У: Що являє собою графік рівняння у =?

Д: Графіком рівняння у = є гіпербола.

У: Ми перетворили рівняння виду х 2 - у 2 = 8 в рівняння у =.

Яка лінія буде графіком даного рівняння?

Д: Значить, і графіком рівняння х 2 - у 2 = 8 є гіпербола.

У: Які прямі є асимптотами гіперболи у =.

Д: асимптотами гіперболи у = є прямі у = 0 і х = 0.

У: При виконаному повороті ці прямі перейдуть в прямі = 0 і = 0, тобто в прямі у = х і у = - х. (Рис.19).

Приклад 4: З'ясуємо, який вид прийме рівняння у = х 2 параболи при повороті біля початку координат на кут 90 0 за годинниковою стрілкою.

Використовуючи формулу F (-у; х) = 0, замінимо в рівнянні у = х 2 змінну х на - у, а змінну у на х. Отримаємо рівняння х = (-у) 2, т. Е. Х = у 2 (рис.20).

Ми розглянули приклади графіків рівнянь другого ступеня з двома змінними та з'ясували, що графіками таких рівнянь можуть бути парабола, гіпербола, еліпс (зокрема окружність). Крім того, графіком рівняння другого ступеня може бути пара прямих (пересічних або паралельних) .Це так званий вироджений випадок. Так графіком рівняння х 2 - у 2 = 0 є пара пересічних прямих (рис.21), а графіком рівняння х 2 - 5х + 6 + 0у = 0- паралельних прямих.

II Закріплення.

(Учням видаються «Картки-інструкції» щодо виконання побудов графіків рівнянь з двома змінними в програмі Agrapher (Додаток 2) і картки «Практичне завдання» (Додаток 3) з формулюванням завдань 1-8 Графіки рівнянь до завдань 4-5 учитель демонструє на слайдах ).

Завдання 1. Які з пар (5; 4), (1; 0), (-5; -4) і (-1; -) є рішеннями рівняння:

а) х 2 - у 2 = 0, б) х 3 - 1 = х 2 у + 6У?

Рішення:

Підставивши в задане рівняння, по черзі координати даних точок переконуємося, що жодна дана пара не є рішенням рівняння х 2 - у 2 = 0, а рішеннями рівняння х 3 - 1 = х 2 у + 6У є пари (5; 4), ( 1; 0) і (-1; -).

125 - 1 = 100 + 24 (І)

1 - 1 = 0 + 0 (І)

125 - 1 = -100 - 24 (Л)

1 - 1 = - - (І)

відповідь:а); б) (5; 4), (1; 0), (-1; -).

Завдання 2. Знайдіть такі рішення рівняння ху 2 - х 2 у = 12, в яких значення хдорівнює 3.

Рішення: 1) Підставами замість Х в заданий рівняння значення 3.

2) Отримаємо квадратне рівняння щодо змінної У, що має вигляд:

3у 2 - 9У = 12.

4) Вирішимо це рівняння:

3у 2 - 9У - 12 = 0

Д = 81 + 144 = 225

Відповідь: пари (3, 4) і (3; -1) є рішеннями рівняння ху 2 - х 2 у = 12

Заданіе3. Визначте ступінь рівняння:

а) 2у 2 - 3х 3 + 4х = 2; в) (3 х 2 + х) (4х - у 2) = х;

б) 5у 2 - 3у 2 х 2 + 2х 3 = 0; г) (2у - х 2) 2 = х (х 2 + 4ху + 1).

Відповідь: а) 3; б) 5; в 4; г) 4.

Заданіе4. Яка фігура є графіком рівняння:

а) 2х = 5 + 3у; б) 6 х 2 - 5х = у - 1; в) 2 (х + 1) = х 2 - у;

г) (х - 1,5) (х - 4) = 0; д) ху - 1,2 = 0; е) х 2 + у 2 = 9.

Заданіе5. Напишіть рівняння, графік якого симетричний графіку рівняння х 2 - ху + 3 = 0 (рис.24) щодо: а) осі х; б) осі у; в) прямий у = х; г) прямий у = -х.

Заданіе6. Складіть рівняння, графік якого виходить розтягуванням графіка рівняння у = х 2 -3 (рис.25):

а) від осі х в 2 рази; б) від осі у в 3 рази.

Перевірте за допомогою програми Agrapher правильність виконання завдання.

Відповідь: а) у - х 2 + 3 = 0 (рис.25); б) у-(x) 2 + 3 = 0 (ріс.25б).

б) прямі паралельні, переміщення паралельно осі х на 1 одиницю вправо і паралельно осі у на 3 одиниці вниз (ріс.26б);

в) прямі перетинаються, симетричне відображення відносно осі х (ріс.26в);

г) прямі перетинаються, симетричне відображення відносно осі у (ріс.26г);

д) прямі паралельні, симетричне відображення відносно початку координат (ріс.26д);

е) прямі перетинаються, поворот близько початку координат на 90по годинниковою стрілкою і симетричне відображення відносно осі х (рис.26).

III. Самостійна роботанавчального характеру.

(Учням видаються картки «Самостійна робота» і «Звітна таблиця результатів самостійної роботи», в яку учні записують свої відповіді і після самоперевірки, за запропонованою схемою оцінюють роботу) Додаток 4 ..

I.варіант.

а) 5х 3 -3х 2 у 2 + 8 = 0; б) (х + у + 1) 2 - (х-у) 2 = 2 (х + у).

а) х 3 + у 3 -5х 2 = 0; б) х 4 + 4х 3 у + 6х 2 у 2 + 4ху 3 + у 4 = 1.

х 4 + у 4 -8х 2 + 16 = 0.

а) (х + 1) 2 + (у-1) 2 = 4;

б) х 2 -у 2 = 1;

в) х - у 2 = 9.

х 2 - 2х + у 2 - 4у = 20.

Вкажіть координати центру кола і її радіус.

6. Як слід на координатної площині перемістити гіперболу у =, щоб її рівняння прийняло вид х 2 - у 2 = 16?

Перевірте свою відповідь, виконавши графічну побудову, використовуючи програму Agrapher.

7. Як слід на координатної площині перемістити параболу у = х 2, щоб її рівняння прийняло вид х = у 2 - 1

II варіант.

1.Определите ступінь рівняння:

а) 3ху = (у-х 3) (х 2 + у); б) 2у 3 + 5х 2 у 2 - 7 = 0.

2. Чи є пара чисел (-2; 3) рішенням рівняння:

а) х 2 -у 2 -3х = 1; б) 8х 3 + 12х 2 у + 6ху 2 + у 3 = -1.

3. Знайдіть безліч рішень рівняння:

х 2 + у 2-2х - 8У + 17 = 0.

4. Який кривої (гіперболою, окружністю, параболою) є безліч точок, якщо рівняння цієї кривої має вигляд:

а) (х-2) 2 + (у + 2) 2 = 9

б) у 2 - х 2 = 1

в) х = у 2 - 1.

(Перевірте за допомогою програми Agrapher правильність виконання завдання)

5. Побудуйте, використовуючи программуAgrapher, графік рівняння:

х 2 + у 2 - 6х + 10у = 2.

6. Як слід на координатної площині перемістити гіперболу у =, щоб її рівняння прийняло вид х 2 - у 2 = 28?

7. Як слід на координатної площині перемістити параболу у = х 2, щоб її рівняння прийняло вид х = у 2 + 9.

На цьому уроці ми детально розглянемо побудову графіків рівнянь. Спочатку згадаємо, що таке раціональне рівняння і безліч його рішень, що утворить графік рівняння. Детально розглянемо графік лінійного рівняння і властивості лінійної функції, навчимося читати графіки. Далі розглянемо графік квадратного рівняння і властивості квадратичної функції. Розглянемо гіперболічного функцію і її графік і графік рівняння окружності. Далі перейдемо до побудови та вивчення сукупності графіків.

Тема: Системи рівнянь

Урок: Графіки рівнянь

Ми розглядаємо раціональне рівняння виду і системи раціональних рівнянь виду

Ми говорили, що кожне рівняння в цій системі має свій графік, якщо звичайно є рішення рівнянь. Ми розглянули кілька графіків різних рівнянь.

Зараз ми систематично розглянемо кожне з відомих нам рівнянь, тобто виконаємо огляд по графіками рівнянь.

1. Лінійне рівняння з двома змінними

x, y - в першого ступеня; a, b, c - конкретні числа.

приклад:

Графіком цього рівняння є пряма лінія.

Ми діяли рівносильними перетвореннями - y залишили на місці, все інше перенесли в іншу сторону з протилежними знаками. Початкове і отримане рівняння рівносильні, тобто мають один і той же безліч рішень. Графік цього рівняння ми вміємо будувати, і методика його побудови така: знаходимо точки перетину з координатними осями і по ним будуємо пряму.

В даному випадку

Знаючи графік рівняння, ми можемо багато чого сказати про рішення вихідного рівняння, а саме: якщо слі

Ця функція зростає, тобто зі збільшенням x збільшується y. Ми отримали два приватних рішення, а як записати безліч всіх рішень?

Якщо точка має абсциссу x, то ордината цієї точки

Значить, чисел

У нас було рівняння, ми побудували графік, знайшли рішення. Безліч всіх пар - скільки їх? Сила-силенна.

Це раціональне рівняння,

Знайдемо y, рівносильними перетвореннями одержуємо

Покладемо і отримуємо квадратичну функцію, її графік нам відомий.

Приклад: Побудувати графік раціонального рівняння.

Графіком є парабола, гілки спрямовані вгору.

Знайдемо коріння рівняння:

Схематично зобразимо графік ( Мал. 2).

За допомогою графіка ми отримуємо всілякі відомості і про функції, і про рішеннях раціонального рівняння. Ми визначили проміжки знакопостоянства, тепер знайдемо координати вершини параболи.

У рівняння незліченна безліч рішень, тобто незліченна безліч пар, задовольняють рівняння, але все А яким може бути x? Будь-яким!

Якщо ми поставимо будь x, то отримаємо точку

Рішенням вихідного рівняння є безліч пар

3. Побудувати графік рівняння

Необхідно висловити y. Розглянемо два варіанти.

Графіком функції є гіпербола, функція не визначена при

Функція спадна.

Якщо ми візьмемо точку з абсцисою, то її ордината буде дорівнює

Рішенням вихідного рівняння є безліч пар

Побудовану гіперболу можна зрушувати щодо осей координат.

Наприклад, графік функції - теж гіпербола - буде зміщений на одиницю вгору по осі ординат.

4. Рівняння кола

Це раціональне рівняння з двома змінними. Безліччю рішень є точки окружності. Центр в точці радіус дорівнює R (Рис. 4).

Розглянемо конкретні приклади.

Наведемо рівняння до стандартного вигляду рівняння окружності, для цього виділимо повний квадрат суми:

- отримали рівняння кола з центром в .

Побудуємо графік рівняння (Рис. 5).

b. Побудувати графік рівняння

Згадаймо, що добуток дорівнює нулю тоді і тільки тоді, коли один із співмножників дорівнює нулю, а другий існує.

Графік заданого рівняння складається із сукупності графіків першого і другого рівнянь, тобто двох прямих.

Побудуємо його (Рис. 6).

Побудуємо графік функції Пряма буде проходити через точку (0; -1). Але як вона пройде - буде зростати або спадати? Визначити це нам допоможе кутовий коефіцієнт, коефіцієнт при x, він негативний, це свідчить про те убуває. Знайдемо точку перетину з віссю ox, це точка (-1; 0).

Аналогічно будуємо графік другого рівняння. Пряма проходить через точку (0; 1), але зростає, тому що кутовий коефіцієнт позитивний.

Координати всіх точок двох побудованих прямих і є рішенням рівняння.

Отже, ми проаналізували графіки найважливіших раціональних рівнянь, вони будуть використовуватися і в графічному методі і в ілюстрації інших методів вирішення систем рівнянь.

1. Мордкович А.Г. та ін. Алгебра 9 кл .: Учеб. Для загальноосвіт. Учрежденій.- 4-е изд. - М .: Мнемозина, 2002.-192 с .: іл.

2. Мордкович А.Г. та ін. Алгебра 9 кл .: Задачник для учнів загальноосвітніх установ / А. Г. Мордкович, Т. Н. Мишустина і ін. - 4-е изд. - М .: Мнемозина, 2002.-143 с .: іл.

3. Макаричєв Ю. М. Алгебра. 9 клас: навч. для учнів загальноосвіт. установ / Ю. М. Макаричєв, Н. Г. Миндюк, К. І. Нешков, І. Е. Феоктистов. - 7-е изд., Испр. і доп. - М .: Мнемозина, 2008.

4. Алімов Ш.А., Колягин Ю.М., Сидоров Ю.В. Алгебра. 9 клас. 16-е изд. - М., 2011. - 287 с.

5. Мордкович А. Г. Алгебра. 9 клас. У 2 ч. Ч. 1. Підручник для учнів загальноосвітніх установ / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. - 12-е изд., Стер. - М .: 2010. - 224 с .: іл.

6. Алгебра. 9 клас. У 2 ч. Ч. 2. Задачник для учнів загальноосвітніх установ / А. Г. Мордкович, Л. А. Александрова, Т. Н. Мишустина і ін .; Під ред. А. Г. Мордкович. - 12-е изд., Испр. - М .: 2010.-223 с .: іл.

1. Розділ College.ru з математики ().

2. Інтернет-проект «Завдання» ().

3. освітній портал«ВИРІШУ ЄДІ» ().

1. Мордкович А.Г. та ін. Алгебра 9 кл .: Задачник для учнів загальноосвітніх установ / А. Г. Мордкович, Т. Н. Мишустина і ін. - 4-е изд. - М.: Мнемозина, 2002.-143 с .: іл. № 95-102.

Тема: Системи рівнянь

Урок: Графіки рівнянь

Ми розглядаємо раціональне рівняння виду і системи раціональних рівнянь виду

Зараз ми систематично розглянемо кожне з відомих нам рівнянь, тобто виконаємо огляд по графіками рівнянь.

1. Лінійне рівняння з двома змінними

x, y - в першого ступеня; a, b, c - конкретні числа.

приклад:

Графіком цього рівняння є пряма лінія.

В даному випадку

Знаючи графік рівняння, ми можемо багато чого сказати про рішення вихідного рівняння, а саме: якщо слі

Якщо точка має абсциссу x, то ордината цієї точки

Значить, чисел

У нас було рівняння, ми побудували графік, знайшли рішення. Безліч всіх пар - скільки їх? Сила-силенна.

Це раціональне рівняння,

Знайдемо y, рівносильними перетвореннями одержуємо

Покладемо і отримуємо квадратичну функцію, її графік нам відомий.

Приклад: Побудувати графік раціонального рівняння.

Графіком є парабола, гілки спрямовані вгору.

Знайдемо коріння рівняння:

Схематично зобразимо графік ( Мал. 2).

Якщо ми поставимо будь x, то отримаємо точку

Рішенням вихідного рівняння є безліч пар

3. Побудувати графік рівняння

Необхідно висловити y. Розглянемо два варіанти.

Графіком функції є гіпербола, функція не визначена при

Функція спадна.

Якщо ми візьмемо точку з абсцисою, то її ордината буде дорівнює

Рішенням вихідного рівняння є безліч пар

Побудовану гіперболу можна зрушувати щодо осей координат.

Наприклад, графік функції - теж гіпербола - буде зміщений на одиницю вгору по осі ординат.

4. Рівняння кола

Розглянемо конкретні приклади.

Наведемо рівняння до стандартного вигляду рівняння окружності, для цього виділимо повний квадрат суми:

- отримали рівняння кола з центром в .

Побудуємо графік рівняння (Рис. 5).

b. Побудувати графік рівняння

Графік заданого рівняння складається із сукупності графіків першого і другого рівнянь, тобто двох прямих.

Побудуємо його (Рис. 6).

Координати всіх точок двох побудованих прямих і є рішенням рівняння.

1. Мордкович А.Г. та ін. Алгебра 9 кл .: Учеб. Для загальноосвіт. Учрежденій.- 4-е изд. - М .: Мнемозина, 2002.-192 с .: іл.

4. Алімов Ш.А., Колягин Ю.М., Сидоров Ю.В. Алгебра. 9 клас. 16-е изд. - М., 2011. - 287 с.

1. Розділ College.ru з математики ().

2. Інтернет-проект «Завдання» ().

3. Освітній портал «ВИРІШУ ЄДІ» ().

Прямокутна система координат це пара перпендикулярних координатних ліній, званих осями координат, які розміщені так, що вони перетинаються в їх початку.

Позначення координатних осей буквами х і у є загальноприйнятим, проте літери можуть бути будь-які. Якщо використовуються літери х і у, то площину називається xy-площину. У різних додатках можуть застосовуватися відмінні від букв x і y букви, і як показано з нижчих малюнках, є uv-площиніі ts-площині.

упорядкована пара

Під впорядкованої парою дійсних чисел ми маємо на увазі два дійсних чисел в певному порядку. Кожна точка P в координатної площини може бути пов'язана з унікальною впорядкованої парою дійсних чисел шляхом проведення двох прямих через точку P: одну перпендикулярно осі Х, а іншу - перпендикулярно осі у.

Наприклад, якщо ми візьмемо (a, b) = (4,3), тоді на координатної смужки

Побудувати точку Р (a, b) означає визначити точку з координатами (a, b) на координатної площині. Наприклад, різні точки побудовані на малюнку внизу.

У прямокутній системі координат осі координат ділять площину на чотири області, звані квадрантами. Вони нумеруються проти годинникової стрілки римськими цифрами, як показано на малюнку

визначення графіка

графікомрівняння з двома змінними х і у, називається безліч точок на ху-площини, координати яких є членами безлічі рішень цього рівняння

Приклад: намалювати графік y = x 2

Через те, що 1 / x не визначене, коли x = 0, ми можемо побудувати тільки точки, для яких x ≠ 0

Приклад: Знайдіть всі перетину з осями
(A) 3x + 2y = 6
(B) x = y 2 -2y
(C) y = 1 / x

Нехай y = 0, тоді 3x = 6 or x = 2

є шуканої точкою перетину осі x.

Встановивши, що х = 0, знайдемо що точкою перетину осі у є точка у = 3.

Таким ее чином ви можете вирішити рівняння (b), а рішення для (c) наведено нижче

x-перетин

Нехай y = 0

1 / x = 0 => x не може бути визначено, тобто немає перетину з віссю у

Нехай x = 0

y = 1/0 => y також не визначене, => немає перетину з віссю y

На малюнку внизу точки (x, y), (-x, y), (x, -y) і (-x, -y) позначають кути прямокутника.

Графік симетричний щодо осі х, якщо для кожної точки (x, y) графіка, точка (x, -y) є також точкою на графіку.

Графік симетричний щодо осі y, якщо для кожної точки графіка (x, y) точка (-x, y) також належить графіку.

Графік симетричний відносно центру координат, якщо для кожної точки (x, y) графіка, точка (-x, -y) також належить цим графіком.

визначення:

Графік функціїна координатної площині визначається як графік рівняння y = f (x)

Побудуйте графік f (x) = x + 2

Приклад 2. Побудувати графік f (x) = | x |

Графік збігається з лінією y = x для x > 0 і з лінією y = -x

для x< 0 .

graph of f (x) = -x

Поєднуючи ці два графіка, ми отримуємо

графік f (x) = | x |

Приклад 3. Побудувати графік

t (x) = (x 2 - 4) / (x - 2) =

= ((X - 2) (x + 2) / (x - 2)) =

= (X + 2) x ≠ 2

Отже, ця функція може бути записана у вигляді

y = x + 2 x ≠ 2

Графік h (x) = x 2 - 4 Or x - 2

графік y = x + 2 x ≠ 2

Приклад 4. Побудувати графік

Графіки функцій з переміщенням

Припустимо, що графік функції f (x) відомий

Тоді ми можемо знайти графіки

y = f (x) + c - графік функції f (x), переміщений

ВГОРУ на c значень

y = f (x) - c - графік функції f (x), переміщений

ВНИЗ на c значень

y = f (x + c) - графік функції f (x), переміщений

Вліво на c значень

y = f (x - c) - графік функції f (x), переміщений

Вправо на c значень

Приклад 5. Побудувати

графік y = f (x) = | x - 3 | + 2

Перемістимо графік y = | x | на 3 значення ВПРАВО, щоб отримати графік

Перемістимо графік y = | x - 3 | на 2 значення ВГОРУ, щоб отримати графік y = | x - 3 | + 2

побудуйте графік

y = x 2 - 4x + 5

Перетворимо задане рівняння наступним чином, додавши до обох частин 4:

y + 4 = (x 2 - 4x + 5) + 4 y = (x 2 - 4x + 4) + 5 - 4

y = (x - 2) 2 + 1

Тут ми бачимо, що цей графік може бути отриманий переміщенням графіка y = x 2 вправо на 2 значення, тому що x - 2, і вгору на 1 значення, тому що +1.

y = x 2 - 4x + 5

відображення

(-X, y) є відображенням (x, y) щодо осі y

(X, -y) є відображенням (x, y) щодо осі x

Графіки y = f (x) і y = f (-x) є відображенням один одного щодо осі y

Графіки y = f (x) і y = -f (x) є відображенням один одного щодо осі x

Графік може бути отриманий відображенням і переміщенням:

намалюйте графік

Знайдемо його відображення щодо осі y, і отримаємо графік

Перемістимо цей графік вправона 2 значення і отримаємо графік

Ось шуканий графік

Якщо f (x) помножена на положительною постояную c, то

графік f (x) стискається по вертикалі, якщо 0< c < 1

графік f (x) розтягується по вертикалі, якщо c> 1

Крива не є графіком y = f (x) для будь-якої функції f

нехай задано рівняння з двома змінними F (x; y). Ви вже познайомилися зі способами вирішення таких рівнянь аналітично. Безліч рішень таких рівнянь можна представити і у вигляді графіка.

Графіком рівняння F (x; y) називають безліч точок координатної площини xOy, координати яких задовольняють рівняння.

Для побудови графіка рівняння з двома змінними спочатку висловлюють в рівнянні змінну y через змінну x.

Напевно ви вже вмієте будувати різноманітні графіки рівнянь з двома змінними: ax + b = c - пряма, yx = k - гіпербола, (x - a) 2 + (y - b) 2 = R 2 - окружність, радіус якої дорівнює R, а центр знаходиться в точці O (a; b).

Приклад 1.

Побудувати графік рівняння x 2 - 9y 2 = 0.

Рішення.

Розкладемо на множники ліву частину рівняння.

(X - 3y) (x + 3y) = 0, тобто y = x / 3 або y = -x / 3.

Відповідь: малюнок 1.

Особливе місце займає завдання фігур на площині рівняннями, що містять знак абсолютної величини, На яких ми детально зупинимося. Розглянемо етапи побудови графіків рівнянь виду | y | = F (x) і | y | = | F (x) |.

Перше рівняння рівносильне системі

(F (x) ≥ 0,
(Y = f (x) або y = -f (x).

Тобто його графік складається з графіків двох функцій: y = f (x) і y = -f (x), де f (x) ≥ 0.

Для побудови графіка другого рівняння будують графіки двох функцій: y = f (x) і y = -f (x).

Приклад 2.

Побудувати графік рівняння | y | = 2 + x.

Рішення.

Задане рівняння рівносильне системі

(X + 2 ≥ 0,
(Y = x + 2 або y = -x - 2.

Будуємо безліч точок.

Відповідь: малюнок 2.

Приклад 3.

Побудувати графік рівняння | y - x | = 1.

Рішення.

Якщо y ≥ x, то y = x + 1, якщо y ≤ x, то y = x - 1.

Відповідь: малюнок 3.

При побудові графіків рівнянь, що містять змінну під знаком модуля, зручно і раціонально використовувати метод областей, Заснований на розбитті координатної площини на частини, в яких кожне підмодульних вираз зберігає свій знак.

Приклад 4.

Побудувати графік рівняння x + | x | + Y + | y | = 2.

Рішення.

В даному прикладі знак кожного підмодульних вираження залежить від координатної чверті.

1) У першій координатної чверті x ≥ 0 і y ≥ 0. Після розкриття модуля задане рівняння матиме вигляд:

2x + 2y = 2, а після спрощення x + y = 1.

2) У другій чверті, де x< 0, а y ≥ 0, уравнение будет иметь вид: 0 + 2y = 2 или y = 1.

3) У третій чверті x< 0, y < 0 будем иметь: x – x + y – y = 2. Перепишем этот результат в виде уравнения 0 · x + 0 · y = 2.

4) У четвертій чверті, при x ≥ 0, а y< 0 получим, что x = 1.

Графік даного рівняння будемо будувати по чвертях.

Відповідь: малюнок 4.

Приклад 5.

Зобразити безліч точок, у яких координати задовольняють рівності | x - 1 | + | Y - 1 | = 1.

Рішення.

Нулі підмодульних виразів x = 1 і y = 1 розбивають координатну площину на чотири області. Розкриємо модулі по областям. Оформимо це у вигляді таблиці.

область	Знак підмодульних вираження	Отримане рівняння після розкриття модуля
I	x ≥ 1 і y ≥ 1	x + y = 3
II	x< 1 и y ≥ 1	-x + y = 1
III	x< 1 и y < 1	x + y = 1
IV	x ≥ 1 і y< 1	x - y = 1

Відповідь: малюнок 5.

На координатної площині фігури можуть задаватися і нерівностями.

графіком нерівностіз двома змінними називається безліч всіх точок координатної площини, координати яких є рішеннями цієї нерівності.

Розглянемо алгоритм побудови моделі рішень нерівності з двома змінними:

Записати рівняння, відповідне нерівності.
Побудувати графік рівняння з пункту 1.
Вибрати довільну точку в одній з півплощини. Перевірити, чи задовольняють координати обраної точки даного нерівності.
Зобразити графічно безліч всіх рішень нерівності.

Розглянемо, перш за все, нерівність ax + bx + c> 0. Рівняння ax + bx + c = 0 задає пряму, розбиває площину на дві півплощини. У кожній з них функція f (x) = ax + bx + c зберігає знак. Для визначення цього знака досить взяти будь-яку точку, що належить півплощині, і обчислити значення функції в цій точці. Якщо знак функції збігається зі знаком нерівності, то ця напівплощина і буде рішенням нерівності.

Розглянемо приклади графічного рішеннянайбільш часто зустрічаються нерівностей з двома змінними.

1) ax + bx + c ≥ 0. малюнок 6.

2) | X | ≤ a, a> 0. малюнок 7.

3) x 2 + y 2 ≤ a, a> 0. малюнок 8.

4) y ≥ x 2. Малюнок 9.

5) xy ≤ 1. Малюнок 10.

Якщо у вас з'явилися питання або ви хочете попрактикуватися зображати на площині моделі безлічі всіх рішень нерівностей з двома змінними за допомогою математичного моделювання, ви можете провести безкоштовне 25-хвилинне заняття з онлайн репетитором після того, як зареєструєтесь. Для подальшої роботи з викладачем у вас буде можливість вибрати відповідний для вас тарифний план.

Залишилися питання? Не знаєте, як зобразити фігуру на координатної площині?
Щоб отримати допомогу репетитора - зареєструйтеся.
Перший урок - безкоштовно!

сайт, при повному або частковому копіюванні матеріалу посилання на першоджерело обов'язкове.