Знаходження рангу матриці для чайників. Ранг матриці: визначення, методи знаходження, приклади, рішення. Обчислення рангу матриці за допомогою елементарних перетворень

>> Ранг матриці

Ранг матриці

Визначення рангу матриці

Розглянемо прямокутну матрицю. Якщо в цій матриці виділити довільно kрядків і kстовпців, то елементи, які стоять на перетині виділених рядків і стовпців, утворюють квадратну матрицю k-го порядку. Визначник цієї матриці називається мінор k-го порядкуматриці А. Очевидно, що матриця А має минорами будь-якого порядку від 1 до найменшого з чисел m і n. Серед усіх відмінних від нуля мінорів матриці А знайдеться принаймні один мінор, порядок якого буде найбільшим. Найбільший з порядків мінорів даної матриці, відмінних від нуля, називається рангомматриці. Якщо ранг матриці А дорівнює r, То це означає, що в матриці А є відмінний від нуля мінор порядку r, Але всякий мінор порядку, більшого ніж r, Дорівнює нулю. Ранг матриці А позначається через r (A). Очевидно, що виконується співвідношення

Обчислення рангу матриці за допомогою миноров

Ранг матриці перебуває або методом облямівки мінорів, або методом елементарних перетворень. При обчисленні рангу матриці першим способом варто переходити від мінорів нижчих порядків до минорам вищого порядку. Якщо вже знайдений мінор D k-го порядку матриці А, відмінний від нуля, то вимагають обчислення лише мінори (k + 1) -го порядку, оздоблюють мінор D, тобто містять його як мінору. Якщо всі вони дорівнюють нулю, то ранг матриці дорівнює k.

Приклад 1.Знайти методом облямівки миноров ранг матриці

.

Рішення.Починаємо з миноров 1-го порядку, тобто з елементів матриці А. Виберемо, наприклад, мінор (елемент) М 1 = 1, розташований в першому рядку і першому стовпці. Облямовуючи за допомогою другого рядка і третього стовпця, одержуємо мінор M 2 =, відмінний від нуля. Переходимо тепер до минорам 3-го порядку, оздоблюють М 2. Їх всього два (можна додати другий стовпець або четвертий). Обчислюємо їх: = 0. Таким чином, всі оздоблюють мінори третього порядку виявилися рівними нулю. Ранг матриці А дорівнює двом.

Обчислення рангу матриці за допомогою елементарних перетворень

елементарниминазиваються такі перетворення матриці:

1) перестановка двох будь-яких рядків (або стовпчиків),

2) множення рядка (або стовпця) на відмінне від нуля число,

3) додаток до одного рядка (або стовпця) інший рядки (чи шпальти), помноженою на певна кількість.

Дві матриці називаються еквівалентними, Якщо одна з них виходить з іншої з допомогою кінцевого безлічі елементарних перетворень.

Еквівалентні матриці не є, взагалі кажучи, рівними, та їх ранги рівні. Якщо матриці А і В еквівалентні, то це записується так: A~ B.

канонічноїматрицею називається матриця, у якої на початку головної діагоналі стоять поспіль кілька одиниць (число яких може дорівнювати нулю), а всі інші елементи дорівнюють нулю, наприклад,

.

За допомогою елементарних перетворень рядків і стовпців будь-яку матрицю можна привести до канонічної. Ранг канонічної матриці дорівнює числу одиниць на її головній діагоналі.

приклад 2Знайти ранг матриці

А =

і привести її до канонічного вигляду.

Рішення.З другого рядка віднімемо першу і переставимо ці рядки:

.

Тепер з другої і третьої рядків віднімемо першу, помножену відповідно на 2 і 5:

;

з третього рядка віднімемо першу; отримаємо матрицю

В = ,

яка еквівалентна матриці А, так як отримана з неї за допомогою кінцевого безлічі елементарних перетворень. Очевидно, що ранг матриці В дорівнює 2, а отже, і r (A) = 2. Матрицю В легко привести до канонічної. Віднімаючи перший стовпець, помножений на відповідні числа, з усіх наступних, звернемо в нуль всі елементи першого рядка, окрім першого, причому елементи інших рядків не змінюються. Потім, віднімаючи другий стовпець, помножений на відповідні числа, з усіх наступних, звернемо в нуль всі елементи другого рядка, крім другого, і отримаємо канонічну матрицю:

.

Нехай задана деяка матриця:

.

Виділимо в цій матриці довільних рядків і довільних стовпців
. тоді визначник -го порядку, складений з елементів матриці
, Розташованих на перетині виділених рядків і стовпців, називається мінор -го порядку матриці
.

Визначення 1.13.рангом матриці
називається найбільший порядок мінору цієї матриці, відмінного від нуля.

Для обчислення рангу матриці слід розглядати всі її мінори найменшого порядку і, якщо хоч один з них відмінний від нуля, переходити до розгляду миноров старшого порядку. Такий підхід до визначення рангу матриці називається методом облямівки (або методом оздоблюють мінорів).

Завдання 1.4.Методом оздоблюють мінорів визначити ранг матриці
.

.

Розглянемо облямівка першого порядку, наприклад,
. Потім перейдемо до розгляду деякого облямівки другого порядку.

наприклад,
.

Нарешті, проаналізуємо облямівка третього порядку.

.

Таким чином, найвищий порядок мінору, відмінного від нуля, дорівнює 2, отже,
.

При вирішенні завдання 1.4 можна помітити, що ряд оздоблюють мінорів другого порядку відмінні від нуля. У зв'язку з цим має місце таке поняття.

Визначення 1.14.Базовим мінор матриці називається всякий, відмінний від нуля мінор, порядок якого дорівнює рангу матриці.

Теорема 1.2.(Теорема про базисному мінорі). Базисні рядки (базисні стовпці) лінійно незалежні.

Зауважимо, що рядки (стовпці) матриці лінійно залежні тоді і тільки тоді, коли хоча б одну з них можна уявити як лінійну комбінацію інших.

Теорема 1.3.Число лінійно незалежних рядків матриці дорівнює числу лінійно незалежних стовпців матриці і так само рангу матриці.

Теорема 1.4.(Необхідна і достатня умова рівності нулю визначника). Для того, щоб визначник -го порядку дорівнював нулю, необхідно і достатньо, щоб його рядки (стовпці) були лінійно залежні.

Обчислення рангу матриці, засноване на використанні його визначення, є занадто громіздкою операцією. Особливо це стає істотним для матриць вищих порядків. У зв'язку з цим на практиці ранг матриці обчислюють на підставі застосування теорем 10.2 - 10.4, а також використання понять еквівалентності матриць і елементарних перетворень.

Визначення 1.15.дві матриці
і називаються еквівалентними, якщо їх ранги рівні, тобто
.

якщо матриці
і еквівалентні, то відзначають
 .

Теорема 1.5.Ранг матриці не змінюється від елементарних перетворень.

Будемо називати елементарними перетвореннями матриці
будь-які з наступних дій над матрицею:

Заміну рядків стовпцями, а стовпців відповідними рядками;

Перестановку рядків матриці;

Викреслювання рядка, всі елементи якої дорівнюють нулю;

Множення будь-якої рядки на число, відмінне від нуля;

Додаток до елементів одного рядка відповідних елементів іншого рядка помножених на одне і те ж число
.

Слідство теореми 1.5.якщо матриця
отримана з матриці за допомогою кінцевого числа елементарних перетворень, то матриці
і еквівалентні.

При обчисленні рангу матриці її слід привести за допомогою кінцевого числа елементарних перетворень до трапецієподібної формі.

Визначення 1.16.Трапецієподібної будемо називати таку форму подання матриці, коли в облямовують мінорі найбільшого порядку відмінного від нуля всі елементи, які стоять нижче діагональних, звертаються в нуль. наприклад:

.

тут
, Елементи матриці
звертаються в нуль. Тоді форма подання такої матриці буде трапецієподібної.

Як правило, матриці до трапецієподібної формі приводять за допомогою алгоритму Гаусса. Ідея алгоритму Гаусса полягає в тому, що, множачи елементи першого рядка матриці на відповідні множники, домагаються, щоб всі елементи першого стовпчика, розташовані нижче елемента
, Перетворювалися б у нуль. Потім, множачи елементи другого стовпця на відповідні множники, домагаються, щоб всі елементи другого стовпця, розташовані нижче елемента
, Перетворювалися б у нуль. Далі надходять аналогічно.

Завдання 1.5.Визначити ранг матриці шляхом зведення її до трапецієподібної формі.

.

Для зручності застосування алгоритму Гаусса можна поміняти місцями першу і третю рядки.








.

Очевидно, що тут
. Однак, для приведення результату до більш витонченим увазі можна далі продовжити перетворення над стовпцями.










.

А також розглянемо важливе практичне застосування теми: дослідження системи лінійних рівняньна спільність.

Що таке ранг матриці?

У гумористичному епіграфі статті міститься велика частка істини. Саме слово «ранг» у нас зазвичай асоціюється з деякою ієрархією, найчастіше, зі службовою драбиною. Чим більше у людини знань, досвіду, здібностей, блату і т.д. - тим вище його посаду і спектр можливостей. Висловлюючись по молодіжному, під рангом мають на увазі загальний ступінь«Крутизни».

І брати наші математичні живуть за тими ж принципами. Виведемо на прогулянку кілька довільних нульових матриць:

Замислимося, якщо в матриці одні нулі, То про яке ранзі може йти мова? Всім знайоме неформальне вираз «повний нуль». У суспільстві матриць все точно так же:

Ранг нульової матрицібудь-яких розмірів дорівнює нулю.

Примітка : Нульова матриця позначається грецькою буквою «тета»

З метою кращого розуміння рангу матриці тут і далі я буду залучати на допомогу матеріали аналітичної геометрії. Розглянемо нульовий векторнашого тривимірного простору, яка не задає певного напряму і даремний для побудови афінного базису. З алгебраїчної точки зору координати даного вектора записані в матрицю«Один на три» і логічно (В зазначеному геометричному сенсі)вважати, що ранг цієї матриці дорівнює нулю.

Тепер розглянемо кілька ненульових векторів-стовпціві векторів-рядків:


У кожному примірнику є хоча б один ненульовий елемент, і це вже дещо!

Ранг будь-якого ненульового вектора-рядка (вектора-стовпця) дорівнює одиниці

І взагалі - якщо в матриці довільних розмірівє хоча б один ненульовий елемент, то її ранг не меншеодиниці.

Алгебраїчні вектори-рядки і вектори-стовпці до певної міри абстрактні, тому знову звернемося до геометричної асоціації. ненульовий векторзадає цілком певний напрям в просторі і годиться для побудови базису, Тому ранг матриці будемо вважати рівним одиниці.

теоретична довідка : В лінійної алгебри вектор - це елемент векторного простору (яке визначається через 8 аксіом), який, зокрема, може являти собою впорядковану рядок (або стовпчик) дійсних чисел з певними для них операціями додавання і множення на дійсне число. З більш детальною інформацією про вектори можна ознайомитися в статті лінійні перетворення.

лінійно залежні(Виражаються один через одного). З геометричної точки зору у другому рядку записані координати колінеарну вектора , Який нітрохи не просунув справу в побудові тривимірного базису, Будучи в цьому сенсі зайвим. Таким чином, ранг даної матриці теж дорівнює одиниці.

Перепишемо координати векторів в стовпці ( транспоніруем матрицю):

Що змінилося з точки зору рангу? Нічого. Стовпці пропорційні, значить, ранг дорівнює одиниці. До речі, зверніть увагу, що всі три рядки теж пропорційні. Їх можна ототожнити з координатами трьохколінеарних векторів площини, з яких тільки одинкорисний для побудови «плоского» базису. І це повністю узгоджується з нашим геометричним змістомрангу.

З вищенаведеного прикладу випливає важливе твердження:

Ранг матриці по рядках дорівнює рангу матриці по стовпцях. Про це я вже трохи згадував на уроці про ефективні методах обчислення визначника.

Примітка : З лінійної залежності рядків слід лінійна залежність стовпців (і навпаки). Але в цілях економії часу, та й в силу звички я майже завжди буду говорити про лінійну залежність рядків.

Продовжимо дресирувати нашого улюбленого вихованця. Додамо в матрицю третім рядком координати ще одного колінеарну вектора :

Чи допоміг він нам в побудові тривимірного базису? Звичайно, ні. Всі три вектора гуляють туди-сюди по одній доріжці, і ранг матриці дорівнює одиниці. Можна взяти скільки завгодно колінеарних векторів, скажімо, 100, укласти їх координати в матрицю «сто на три» і ранг такого хмарочоса все одно залишиться одиничним.

Познайомимося з матрицею, рядки якої лінійно незалежні. Пара неколінеарних векторів придатна для побудови тривимірного базису. Ранг цієї матриці дорівнює двом.

А чому дорівнює ранг матриці? Рядки начебто не пропорційні ..., значить, по ідеї трьом. Однак ранг цієї матриці теж дорівнює двом. Я склав перші два рядки і записав результат внизу, тобто лінійно висловивтретій рядок через перші дві. Геометрично рядки матриці відповідають координатам трьох компланарних векторів, Причому серед цієї трійки існує пара неколінеарних товаришів.

Як бачите, лінійна залежністьв розглянутої матриці не очевидна, і сьогодні ми якраз навчимося виводити її «на чисту воду».

Думаю, багато здогадуються, що таке ранг матриці!

Розглянемо матрицю, рядки якої лінійно незалежні. вектори утворюють афінний базис, І ранг даної матриці дорівнює трьом.

Як ви знаєте, будь-який четвертий, п'ятий, десятий вектор тривимірного простору буде лінійно виражатися через базисні вектори. Тому, якщо в матрицю додати будь-яку кількість рядків, то її ранг все одно буде дорівнює трьом.

Аналогічні міркування можна провести для матриць більших розмірів (зрозуміло, вже без геометричного сенсу).

визначення : ранг матриці - це максимальна кількість лінійно незалежних рядків. або: ранг матриці - це максимальна кількість лінійно незалежних стовпців. Так, їх кількість завжди збігається.

З вищесказаного також випливає важливий практичний орієнтир: ранг матриці не перевищує її мінімальний розмірності. Наприклад, в матриці чотири рядки і п'ять стовпців. Мінімальна розмірність - чотири, отже, ранг даної матриці свідомо не перевершить 4.

позначення: У світовій теорії і практиці не існує загальноприйнятого стандарту для позначення рангу матриці, найбільш часто можна зустріти: - як то кажуть, англієць пише одне, німець інше. Тому давайте за мотивами відомого анекдоту про американський і російський пекло позначати ранг матриці рідним словом. Наприклад:. А якщо матриця «безіменна», яких зустрічається дуже багато, то можна просто записати.

Як знайти ранг матриці за допомогою миноров?

Якби у бабусі нас в матриці був п'ятий стовпець, то слід було б обчислити ще один мінор 4-го порядку ( «сині», «малиновий» + 5-й стовпець).

висновок: Максимальний порядок ненульового мінору дорівнює трьом, значить,.

Можливо, не всі до кінця осмислили дану фразу: мінор 4-го порядку дорівнює нулю, але серед миноров 3-го порядку знайшовся ненульовий - тому максимальний порядок ненульовогомінору і дорівнює трьом.

Виникає питання, а чому б відразу не обчислити визначник? Ну, по-перше, в більшості завдань матриця не квадратна, а по-друге, навіть якщо у вас і вийде нульове значення, то завдання з високою ймовірністю забракують, так як воно зазвичай має на увазі стандартне рішення «знизу вгору». А в розглянутому прикладі нульовий визначник 4-го порядку і зовсім дозволяє стверджувати, що ранг матриці лише менше чотирьох.

Повинен зізнатися, розібрану завдання я придумав сам, щоб якісніше пояснити метод оздоблюють мінорів. У реальній практиці все простіше:

приклад 2

Знайти ранг матриці методом оздоблюють мінорів

Рішення і відповідь в кінці уроку.

Коли алгоритм працює швидше за все? Повернемося до тієї ж матриці «чотири на чотири» . Очевидно, рішення буде найкоротшим в разі «хороших» кутових мінорів:

І, якщо, то, в іншому випадку -.

Роздуми зовсім гіпотетично - існує чимало прикладів, де вся справа і обмежується тільки кутовими минорами.

Однак в ряді випадків більш ефективний і кращий інший спосіб:

Як знайти ранг матриці за допомогою методу Гаусса?

Параграф розрахований на читачів, які вже знайомі з методом Гауссаі мало-мальськи набили на ньому руку.

З технічної точки зору метод не відрізняється новизною:

1) за допомогою елементарних перетворень приводимо матрицю до ступінчастого вигляду;

2) ранг матриці дорівнює кількості рядків.

Цілком зрозуміло, що використання методу Гаусса не змінює рангу матриці, І суть тут гранично проста: згідно з алгоритмом, в ході елементарних перетворень виявляються і видаляються всі зайві пропорційні (лінійно залежні) рядки, в результаті чого залишається «сухий залишок» - максимальна кількість лінійно незалежних рядків.

Перетворимо стару знайому матрицю з координатами трьох колінеарних векторів:

(1) До другої рядку додали перший рядок, помножену на -2. До третьому рядку додали перший рядок.

(2) Нульові рядки видаляємо.

Таким чином, залишилася одна рядок, отже,. Що й казати, це набагато швидше, ніж розрахувати дев'ять нульових миноров 2-го порядку і тільки потім зробити висновок.

Нагадую, що в самій по собі алгебраїчної матрицінічого міняти не можна, і перетворення виконуються тільки з метою з'ясування рангу! До речі, зупинимося ще раз на питанні, чому не можна? вихідна матриця несе інформацію, яка принципово відрізняється від інформації матриці і рядки. У деяких математичних моделях (без перебільшення) різниця в одному числі може бути питанням життя і смерті. ... Згадалися шкільні вчителі математики початкових і середніх класів, які безжально зрізали оцінку на 1-2 бали за найменшу неточність або відхилення від алгоритму. І було моторошно прикро, коли замість, здавалося б, гарантованої «п'ятірки» виходило «добре» або того гірше. Розуміння прийшло набагато пізніше - а як інакше довірити людині супутники, ядерні боєголовки і електростанції? Але ви не турбуйтеся, я не працюю в цих сферах =)

Перейдемо до більш змістовним завданням, де крім іншого познайомимося з важливими обчислювальними прийомами методу Гаусса:

приклад 3

Знайти ранг матриці за допомогою елементарних перетворень

Рішення: Дана матриця «чотири на п'ять», значить, її ранг свідомо не більше, ніж 4.

У першому стовпці, відсутній 1 або -1, отже, необхідні додаткові дії, спрямовані на отримання хоча б однієї одиниці. За весь час існування сайту мені неодноразово задавали питання: «Чи можна в ході елементарних перетворень переставляти стовпці?». Ось тут - переставили перший-другий стовпець, і все відмінно! У більшості завдань, де використовується метод Гаусса, Стовпці дійсно переставляти можна. АЛЕ НЕ ПОТРІБНО. І справа навіть не в можливій плутанини зі змінними, справа в тому, що в класичному курсі навчання вищої математики дана дія традиційно не розглядається, тому на такий реверанс подивляться ДУЖЕ криво (а то і змусять все переробляти).

Другий момент стосується чисел. В ході вирішення корисно керуватися наступним емпіричним правилом: елементарні перетворення по можливості повинні зменшувати числа матриці. Адже з одиницею-двійкою-трійкою працювати значно легше, ніж, наприклад, з 23, 45 і 97. І перша дія спрямована не тільки на отримання одиниці в першому стовпці, а й на ліквідацію чисел 7 і 11.

Спочатку повне рішення, потім коментарі:

(1) До другої рядку додали перший рядок, помножену на -2. До третьому рядку додали перший рядок, помножену на -3. І до купи: до 4-му рядку додали 1-й рядок, помножену на -1.

(2) Останні три рядки пропорційні. Видалили 3-ю і 4-ю рядки, другий рядок перемістили на перше місце.

(3) До другої рядку додали перший рядок, помножену на -3.

У наведеній до ступінчастому увазі матриці два рядки.

відповідь:

Тепер ваша черга мучити матрицю «чотири на чотири»:

приклад 4

Знайти ранг матриці методом Гаусса

Нагадую, що метод ГауссаОчікують, що не однозначною жорсткості, і ваше рішення, швидше за все, буде відрізнятися від мого рішення. Короткий зразок оформлення завдання в кінці уроку.

Який метод використовувати для знаходження рангу матриці?

На практиці часто взагалі не сказано, який метод необхідно використовувати для знаходження рангу. У такій ситуації слід аналізувати умова - для одних матриць раціональніше провести рішення через мінори, а для інших значно вигідніше застосувати елементарні перетворення:

приклад 5

Знайти ранг матриці

Рішення: Перший спосіб якось відразу відпадає =)

Трохи вище я радив не чіпати стовпці матриці, але коли є нульовий стовпець, або пропорційні / збігаються стовпці, то все ж стОит провести ампутацію:

(1) П'ятий стовпець нульової, видалимо його з матриці. Таким чином, ранг матриці не більше чотирьох. Перший рядок помножили на -1. Це ще одна фірмова фішка методу Гаусса, що перетворює таку дію приємну прогулянку:

(2) До всіх рядках, починаючи з другої, додали перший рядок.

(3) Перший рядок помножили на -1, третій рядок розділили на 2, четверту рядок розділили на 3. До п'ятому рядку додали другий рядок, помножену на -1.

(4) До п'ятому рядку додали третій рядок, помножену на -2.

(5) Останні два рядки пропорційні, п'яту видаляємо.

В результаті отримано 4 рядки.

відповідь:

Стандартна п'ятиповерхівка для самостійного дослідження:

приклад 6

Знайти ранг матриці

Короткий рішення і відповідь в кінці уроку.

Слід зазначити, що словосполучення «ранг матриці» не так часто зустрінеш на практиці, і в більшості завдань можна взагалі обійтися без нього. Але існує одне завдання, де розглядається поняття є головним дійовою особою, І на закінчення статті ми розглянемо це практичне застосування:

Як досліджувати систему лінійних рівнянь на сумісність?

Нерідко крім рішення системи лінійних рівняньза умовою попередньо потрібно досліджувати її на спільність, тобто довести, що будь-яке рішення взагалі існує. Ключову роль в такій перевірці грає теорема Кронекера-Капеллі, Яку я сформулюю в необхідному вигляді:

якщо ранг матриці системидорівнює рангу розширеної матриці системи, То система сумісна, причому, якщо дане число збігається з кількістю невідомих, то рішення єдино.

Таким чином, для дослідження системи на спільність потрібно перевірити рівність , Де - матриця системи(Згадуємо термінологію з уроку метод Гаусса), А - розширена матриця системи(Тобто матриця з коефіцієнтами при змінних + стовпець вільних членів).

рангом матриціназивається найбільший порядок її мінорів, відмінних від нуля. Ранг матриці позначають або.

Якщо все мінори порядку даної матриці дорівнюють нулю, то всі мінори більш високого порядку даної матриці також дорівнюють нулю. Це випливає з визначення визначника. Звідси випливає алгоритм знаходження рангу матриці.

Якщо все мінори першого порядку (елементи матриці) дорівнюють нулю, то. Якщо хоча б один з мінорів першого порядку відмінний від нуля, а всі мінори другого порядку дорівнюють нулю, то. Причому, досить переглянути тільки ті мінори другого порядку, які облямовують ненульовий мінор першого порядку. Якщо знайдеться мінор другого порядку відмінний від нуля, досліджують мінори третього порядку, оздоблюють ненульовий мінор другого порядку. Так продовжують до тих пір, поки не прийдуть до одного з двох випадків: або все мінори порядку, оздоблюють ненульовий мінор -го порядку дорівнюють нулю, або таких мінорів немає. Тоді.

Приклад 10. Обчислити ранг матриці.

Мінор першого порядку (елемент) відмінний від нуля. Оздоблюють його мінор теж не дорівнює нулю.

Всі ці мінори дорівнюють нулю, значить.

Наведений алгоритм знаходження рангу матриці не завжди зручний, оскільки пов'язаний з обчисленням великого числа визначників. Найзручніше користуватися при обчисленні рангу матриці елементарними перетвореннями, за допомогою яких матриця приводиться до настільки простому виду, що очевидно, чому дорівнює її ранг.

Елементарними перетвореннями матриціназивають такі перетворення:

Ø множення будь-якого рядка (стовпця) матриця на число, відмінне від нуля;

Ø поповнення лише до рядку (стовпцю) інший рядки (стовпці), помноженої на довільне число.

Полужордановимперетворенням рядків матриці:

з дозволяє елементом називається наступна сукупність перетворень з рядками матриці:

Ø до першому рядку додати ю, помножену на кількість і т.д .;

Ø до останнього рядка додати ю, помножену на число.

Полужордановим перетворенням стовпців матриціз дозволяє елементом називається наступна сукупність перетворень за допомогою стовпців матриці:

Ø до первму одну додати й, помножений на число і т.д .;

Ø до останнього стовпцю додати й, помножений на число.

Після виконання цих перетворень виходить матриця:

Полужорданово перетворення рядків або стовпців квадратної матриці не змінює її визначника.

Елементарні перетворення матриці не змінюють її рангу. Покажемо на приклад, як обчислити ранг матриці, користуючись елементарними перетвореннями. рядків (стовпців) лінійно залежні.

В даній статті піде мова про таке поняття, як ранг матриці і необхідних додаткових поняттях. Ми наведемо приклади і докази знаходження рангу матриці, а також розповімо, що таке мінор матриці, і чому він такий важливий.

Yandex.RTB R-A-339285-1

мінор матриці

Щоб зрозуміти, що таке ранг матриці, необхідно розібратися з таким поняттям, як мінор матриці.

визначення 1

мінорk-ого порядку матриці - визначник квадратної матриці порядку k × k, яка складена з елементів матриці А, які перебувають в заздалегідь вибраних k-рядках і k-шпальтах, при цьому зберігається стан елементів матриці А.

Простіше кажучи, якщо в матриці А викреслити (p-k) рядків і (n-k) стовпців, а з тих елементів, які залишилися, скласти матрицю, зберігаючи розташування елементів матриці А, то визначник отриманої матриці і є мінор порядку k матриці А.

З прикладу випливає, що мінори першого порядку матриці А і є самі елементи матриці.

Можна навести кілька прикладів миноров 2-ої порядку. Виберемо два рядки і два стовпці. Наприклад, 1-а і 2 -а рядок, 3-ий і 4-ий стовпець.

При такому виборі елементів мінор другого порядку буде - 1 3 0 2 = (- 1) × 2 - 3 × 0 = - 2

Іншим мінор 2-го порядку матриці А є 0 0 1 1 = 0

Надамо ілюстрації побудови миноров другого порядку матриці А:

Мінор 3-го порядку виходить, якщо викреслити третій стовпець матриці А:

0 0 3 1 1 2 - 1 - 4 0 = 0 × 1 × 0 + 0 × 2 × (- 1) + 3 × 1 × (- 4) - 3 × 1 × (- 1) - 0 × 1 × 0 - 0 × 2 × (- 4) = - 9

Ілюстрація, як виходить мінор 3-го порядку матриці А:

Для даної матриці миноров вище 3-го порядку не існує, тому що

k ≤ m i n (p, n) = m i n (3, 4) = 3

Скільки існує миноров k-ого порядку для матриці А порядку p × n?

Число миноров обчислюють за такою формулою:

C p k × C n k, г д е С p k = p! k! (P - k)! і C n k = n! k! (N - k)! - число поєднань з p по k, з n по k відповідно.

Після того, як ми визначилися, що таке мінори матриці А, можна переходити до визначення рангу матриці А.

Ранг матриці: методи знаходження

визначення 2

Ранг матриці - найвищий порядок матриці, відмінний від нуля.

позначення 1

Rank (A), Rg (A), Rang (A).

З визначення рангу матриці і мінору матриці стає зрозуміло, що ранг нульової матриці дорівнює нулю, а ранг ненульовий матриці відмінний від нуля.

Знаходження рангу матриці за визначенням

визначення 3

Метод перебору миноров - метод, заснований на визначенні рангу матриці.

Алгоритм дій способом перебору миноров :

Необхідно знайти ранг матриці А порядку p× n. При наявності хоча б одного елемента, відмінного від нуля, то ранг матриці як мінімум дорівнює одиниці ( тому є мінор 1-го порядку, який не дорівнює нулю).

Далі слід перебір миноров 2-го порядку. Якщо все мінори 2-го порядку дорівнюють нулю, то ранг дорівнює одиниці. При існуванні хоча б жодного не рівного нулю мінору 2-го порядку, необхідно перейти до перебору миноров 3-го порядку, а ранг матриці, в такому випадку, буде дорівнює мінімум двом.

Аналогічним чином зробимо з рангом 3-го порядку: якщо все мінори матриці дорівнюють нулю, то ранг дорівнюватиме двом. При наявності хоча б одного ненульового мінору 3-го порядку, то ранг матриці дорівнює мінімум трьом. І так далі, по аналогії.

приклад 2

Знайти ранг матриці:

А = посилання - 1 11 - 2 0 2 2 6 0 - 4 4 3 11 1 - 7

Оскільки матриця ненульова, то її ранг мінімум дорівнює одиниці.

Мінор 2-го порядку - 1 1 2 2 = (- 1) × 2 - 1 × 2 = 4 відмінний від нуля. Звідси випливає, що ранг матриці А чи не менше двох.

Перебираємо мінори 3-го порядку: З 3 3 × З 5 3 = 1 5! 3! (5 - 3)! = 10 штук.

1 11 2 2 6 4 3 11 = (- 1) × 2 × 11 + 1 × 6 × 4 + (- 1) × 2 × 3 - (- 1) × 2 × 4 - 1 × 2 × 11 - (- 1) × 6 × 3 = 0

11 - 2 2 6 0 4 11 1 = (- 1) × 6 × 1 + (- 1) × 0 × 4 + (- 2) × 2 × 11 - (- 2) × 6 × 4 - (- 1) × 2 × 1 - (- 1) × 0 × 11 = 0

1 1 - 2 2 2 0 4 3 1 = (- 1) × 2 × 1 + 1 × 0 × 4 + (- 2) × 2 × 3 - (- 2) × 2 × 4 - 1 × 2 × 1 - (- 1) × 0 × 3 = 0

11 0 2 6 - 4 4 11 - 7 = (- 1) × 6 × (- 7) + (- 1) × (- 4) × 4 + 0 × 2 × 11 - 0 × 6 × 4 - ( - 1) × 2 × (- 7) - (- 1) × (- 4) × 11 = 0

11 0 2 6 - 4 3 11 - 7 = 1 × 6 × (- 7) + (- 1) × (- 4) × 3 + 0 × 2 × 11 - 0 × 6 × 3 - (- 1) × 2 × (- 7) - 1 × (- 4) × 11 = 0

1 - 2 0 2 0 - 4 3 1 - 7 = 1 × 0 × (- 7) + (- 2) × (- 4) × 3 + 0 × 2 × 1 - 0 × 0 × 3 - (- 2) × 2 × (- 7) - 1 × (- 4) × 1 = 0

1 - 2 0 6 0 - 4 11 1 - 7 = (- 1) × 0 × (- 7) + (- 2) × (- 4) × 11 + 0 × 6 × 1 - 0 × 0 × 11 - ( - 2) × 6 × (- 7) - (- 1) × (- 4) × 1 = 0

Мінори 3-го порядку дорівнюють нулю, тому ранг матриці дорівнює двом.

відповідь : Rank (A) = 2.

Знаходження рангу матриці методом оздоблюють мінорів

визначення 3

Метод оздоблюють мінорів - метод, який дозволяє отримати результат при меншій обчислювальної роботі.

оздоблюють мінор - мінор M o k (k + 1) -го порядку матриці А, який оздоблює мінор M порядку k матриці А, якщо матриця, яка відповідає мінору M o k, «містить» матрицю, яка відповідає мінору М.

Простіше кажучи, матриця, яка відповідає облямовують мінору М, виходить з матриці, відповідної облямовують мінору M o k, викреслюванням елементів одного рядка і одного стовпця.

приклад 3

Знайти ранг матриці:

А = 1 2 0 - 1 3 - 2 0 3 7 1 3 4 - 2 1 1 0 0 3 6 5

Для знаходження рангу беремо мінор 2-го порядку М = 2 - 1 4 1

Записуємо всі оздоблюють мінори:

1 2 - 1 - 2 0 7 3 4 1 , 2 0 - 1 0 3 7 4 - 2 1 , 2 - 1 3 0 7 1 4 1 1 , 1 2 - 1 3 4 1 0 0 6 , 2 0 - 1 4 - 2 1 0 3 6 , 2 - 1 3 4 1 1 0 6 5 .

Щоб обгрунтувати метод оздоблюють мінорів, наведемо теорему, формулювання якої не потребує доказової бази.

теорема 1

Якщо все мінори, оздоблюють мінор k-ого порядку матриці А порядку p на n, дорівнюють нулю, то всі мінори порядку (k + 1) матриці А дорівнює нулю.

алгоритм дій :

Щоб знайти ранг матриці, необов'язково перебирати всі мінори, досить подивитися на оздоблюють.

Якщо оздоблюють мінори дорівнюють нулю, то ранг матриці нульовий. Якщо існує хоча б один мінор, який не дорівнює нулю, то розглядаємо оздоблюють мінори.

Якщо всі вони дорівнюють нулю, то Rank (A) дорівнює двом. При наявності хоча б одного ненульового окаймляющего мінору, то приступаємо до розглядання його оздоблюють мінорів. І так далі, аналогічним чином.

приклад 4

Знайти ранг матриці методом оздоблюють мінорів

А = 2 1 0 - 1 3 4 2 1 0 - 1 2 1 1 14 0 0 2 4 - 14

Як вирішити?

Оскільки елемент а 11 матриці А не дорівнює нулю, то візьмемо мінор 1-го порядку. Почнемо шукати окаймляющий мінор, відмінний від нуля:

2 1 4 2 = 2 × 2 - 1 × 4 = 0 2 0 4 1 = 2 × 1 - 0 × 4 = 2

Ми знайшли окаймляющий мінор 2-го порядку не рівний нулю 2 0 Разом 4 1.

Здійснимо перебір оздоблюють мінорів - (їх (4 - 2) × (5 - 2) = 6 штук).

2 1 0 4 2 1 2 1 1 = 0 ; 2 0 - 1 4 1 0 2 1 1 = 0 ; 2 0 3 4 1 - 1 2 1 - 4 = 0 ; 2 1 0 4 2 1 0 0 2 = 0 ; 2 0 - 1 4 1 0 0 2 4 = 0 ; 2 0 3 4 1 - 1 0 2 - 14 = 0

відповідь : Rank (A) = 2.

Знаходження рангу матриці методом Гаусса (за допомогою елементарних перетворень)

Згадаймо, що представляють собою елементарні перетворення.

елементарні перетворення:

• шляхом перестановки рядків (стовпців) матриці;
• шляхом множення всіх елементів будь-якого рядка (стовпця) матриці на довільне ненульове число k;

шляхом додавання до елементів якого-небудь рядка (стовпчика) елементів, які відповідають інший стоки (стовпчик) матриці, які помножені на довільне число k.

визначення 5

Знаходження рангу матриці методом Гаусса - метод, який ґрунтується на теорії еквівалентності матриць: якщо матриця В отримана з матриці А за допомогою кінцевого числа елементарних перетворень, то Rank (A) = Rank (B).

Справедливість цього твердження випливає з визначення матриці:

• в разі перестановки рядків або стовпців матриці її визначник змінює знак. Якщо він дорівнює нулю, то і при перестановці рядків або стовпців залишається рівним нулю;
• в разі множення всіх елементів якого-небудь рядка (стовпчика) матриці на довільне число k, яка не дорівнює нулю, визначник отриманої матриці дорівнює визначнику вихідної матриці, яка помножена на k;

в разі додавання до елементів деякого рядка або стовпця матриці відповідних елементів іншого рядка або стовпця, які помножені на число k, не змінює її визначника.

Суть методу елементарних перетворень : привести матрицю, чий ранг необхідно знайти, до трапецієподібної за допомогою елементарних перетворень.

Для чого?

Ранг матриць такого виду досить просто знайти. Він дорівнює кількості рядків, в яких є хоча б один ненульовий елемент. А оскільки ранг при проведенні елементарних перетворень не змінюється, то це і буде ранг матриці.

Проілюструємо цей процес:

• для прямокутних матриць А порядку p на n, число рядків яких більше числа стовпців:

А ~ 1 b 12 b 13 ⋯ b 1 n - 1 b 1 n 0 1 b 23 ⋯ b 2 n - 2 b 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 1 bn - 1 n 0 0 0 ⋯ 0 1 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 0 0, R ank (A) = n

А ~ 1 b 12 b 13 ⋯ b 1 kb 1 k + 1 ⋯ b 1 n 0 1 b 23 ⋯ b 2 kb 2 k + 1 ⋯ b 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 1 bkk + 1 ⋯ bkn 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋯ 0, R ank (A) = k

• для прямокутних матриць А порядку p на n, число рядків яких менше числа стовпців:

А ~ 1 b 12 b 13 ⋯ b 1 pb 1 p + 1 ⋯ b 1 n 0 1 b 23 ⋯ b 2 pb 2 p + 1 ⋯ b 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 1 bpp + 1 ⋯ bpn, R ank (A) = p

А ~ 1 b 12 b 13 ⋯ b 1 kb 1 k + 1 ⋯ b 1 n 0 1 b 23 ⋯ b 2 kb 2 k + 1 ⋯ b 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 1 bkk + 1 ⋯ bkn 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋯ 0

• для квадратних матриць А порядку n на n:

А ~ 1 b 12 b 13 ⋯ b 1 n - 1 b 1 n 0 1 b 23 ⋯ b 2 n - 1 b 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 1 bn - 1 n 0 0 0 ⋯ 0 1 , R ank (A) = n

A ~ 1 b 12 b 13 ⋯ b 1 kb 1 k + 1 ⋯ b 1 n 0 1 b 23 ⋯ b 2 kb 2 k + 1 ⋯ b 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 1 bkk + 1 ⋯ bkn 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋯ 0, R ank (A) = k, k< n

приклад 5

Знайти ранг матриці А за допомогою елементарних перетворень:

А = 2 1 - 2 6 3 0 0 - 1 11 2 - 7 5 - 2 4 - 15 7 2 - 4 11

Як вирішити?

Оскільки елемент а 11 відмінний від нуля, то необхідно помножити елементи першого рядка матриці А на 1 а 11 = 1 2:

А = 2 1 - 2 6 3 0 0 - 1 11 2 - 7 5 - 2 4 - 15 7 2 - 4 11 ~

Додаємо до елементів 2-ий рядки відповідні елементи 1-ої рядки, які помножені на (-3). До елементів 3-ої рядка додаємо елементи 1-ої рядки, які помножені на (-1):

~ А (1) = 1 1 2 - 1 3 3 0 0 - 1 11 2 - 7 5 - 2 4 - 15 7 2 - 4 11 ~ А (2) = = 1 1 2 - 1 3 3 + 1 (- 3) 0 + 1 2 (- 3) 0 + (- 1) (- 3) - 1 + 3 (- 3) 1 + 1 (- 3) - 1 + 1 2 (- 3) 2 + (- 1) (- 1) - 7 + 3 (- 1) 5 + 1 (- 5) - 2 + 1 2 (- 5) 4 + (- 1) (- 5) - 15 + 3 (- 5) 7 + 1 (- 7) 2 + 1 2 (- 7) - 4 + (- 1) (- 7) 11 + 3 (- 7) =

1 1 2 - 1 3 0 - 3 2 3 - 10 0 - 3 2 3 - 10 0 - 9 2 9 - 30 0 - 3 2 3 - 10

Елемент а 22 (2) відмінний від нуля, тому ми множимо елементи 2-ий рядки матриці А на А (2) н а 1 а 22 (2) = - 2 3:

А (3) = 1 1 2 - 1 3 0 1 - 2 20 3 0 - 3 2 3 - 10 0 - 9 2 9 - 30 0 - 3 2 3 - 10 ~ А (4) = 1 1 2 - 1 3 0 1 - 2 20 3 0 Попереднє - 3 2 + 1 3 2 3 + (- 2) 3. 2 - 10 + 20 3 × 3 2 0 - 9 2 + 1 9 2 9 + (- 2) 9. 2 - 30 + 20 3 × 9 2 0 - 3 2 + 1 3 2 3 + (- 2) 3 2 - 10 + 20 3 × 3 2 = = 1 1 2 - 1 3 0 1 - 2 20 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

• До елементів 3-ої рядки отриманої матриці додаємо відповідні елементи 2-ий рядки, які помножені на 3 2,
• до елементів 4-ої рядка - елементи 2-ий рядки, які помножені на 9 2,
• до елементів 5-ої рядка - елементи 2-ий рядки, які помножені на 3 2.

Всі елементи рядків дорівнюють нулю. Таким чином, за допомогою елементарних перетворень, ми привели матрицю до трапецеидальному увазі, звідки видно, що R a n k (A (4)) = 2. Звідси випливає, що ранг вихідної матриці також дорівнює двом.

зауваження

Якщо проводити елементарні перетворення, то не допускаються наближені значення!

Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl + Enter