Модуль мінус ікс. Визначення модуля числа. Геометричний сенс модуля
В математиці, як і в житті, часто зустрічаються ситуації, де негативні числа не мають ніякого практичного сенсу: наприклад, ми не можемо проїхати на машині кілометрів (ми проїдемо кілометрів, неважливо, в якому напрямку), як і не можемо купити кілограмів апельсинів. Ці значення завжди повинні бути позитивними. Саме тому в математиці існує спеціальний термін - модуль.
Що ж таке модуль числа?
Уяви, що це ти.
Припустимо, що ти стоїш на місці і можеш рухатися як вперед, так і назад. Позначимо точку відправлення. 
Отже, ти робиш крок вперед і опиняєшся в точці з координатою. 
Це означає, що ти пішов від місця, де стояв на кроку(Одиничних відрізка). Тобто, відстаньвід початку руху до точки, де ти в підсумку виявився, так само.
Але ж ти ж можеш рухатися і назад!
Якщо від відправної точки з координатою зробити кроку в зворотну сторону, то опинишся в точці з координатою. 
Яка відстань було пройдено в першому і в другому випадку? Звичайно ж, відстань, пройдену в першому і в другому випадку, буде однаковим і рівним трьом, адже обидві точки (і), в яких ти опинився однаково віддалені від точки, з якої було розпочато рух (). 
Таким чином, ми наблизилися до поняття модуля. Виходить, що модуль показує відстань від будь-якої точки на координатному відрізку до точки початку координат.
Так, модулем числа буде. Модуль числа також дорівнює, тому що відстань не може бути негативним!
Модуль - це абсолютна величина
Позначається модуль просто:
(- будь-яке число).
Отже, знайдемо модуль числа і:
Основні властивості модуля
Ось ми і наблизилися до першого властивості модуля: модуль не може бути виражений негативним числом.
Тобто, якщо - число позитивне, то його модуль буде дорівнює цьому ж числу.
якщо то.
Якщо - негативне число, то його модуль дорівнює протилежного числу:
якщо то
А якщо? Ну звичайно! Його модуль також дорівнює:
якщо, то, або.
З цього випливає, що модулі протилежних чисел рівні, тобто:
А тепер потренуйся:
Відповіді: 9; 3; 16; 8; 17.
Досить легко, правда?
А якщо перед тобою ось таке число:
Як бути тут? Як розкрити модуль в цьому випадку? Діємо за тим же сценарієм. Спочатку визначаємо знак вираження під знаком модуля, а потім розкриваємо модуль:
- якщо значення виразу більше нуля, то просто виносимо його з-під знака модуля,
- якщо ж вираз менше нуля, то виносимо його з-під знака модуля, змінюючи при цьому знак, як робили це раніше в прикладах.
Ну що, спробуємо? оцінимо:
(Забув, що таке корінь?)
Якщо, то який знак має? Ну звичайно, ! А, значить, знак модуля розкриваємо, змінюючи знак у вирази:
Розібрався? Тоді спробуй сам:
відповіді:
Якими ж ще властивостями володіє модуль?
По-перше, якщо нам потрібно перемножити числа всередині знака модуля, ми спокійно можемо перемножити модулі цих чисел. Тобто:
Висловлюючись математичною мовою, модуль твори чисел дорівнює добутку модулів цих чисел.
наприклад:
А що, якщо нам потрібно розділити два числа (вираження) під знаком модуля? Так то ж, що і з множенням! Розіб'ємо на два окремих числа (вираження) під знаком модуля:
за умови, що (так як на нуль ділити не можна).
Варто запам'ятати ще одну властивість модуля: модуль суми чисел завжди менше або дорівнює сумімодулів цих чисел:
Чому так? Все дуже просто! Як ми пам'ятаємо, модуль завжди позитивний. Але під знаком модуля може бути будь-яке число: як позитивне, так і негативне. Припустимо, що числа і обидва позитивні. Тоді ліве вираз дорівнюватиме правому висловом. Розглянемо на прикладі:
Якщо ж під знаком модуля одне число негативне, а інше позитивно, ліве вираз завжди виявиться менше правого:
Начебто з цим властивістю все ясно, розглянемо ще парочку корисних властивостеймодуля.
Що якщо перед нами такий вислів:
Що ми можемо зробити з цим виразом? Значення x нам невідомо, але зате ми вже знаємо, що, а значить. Число більше нуля, а значить можна просто записати:
Ось ми і прийшли до іншого властивості, яке в загальному вигляді можна представити так:
А чому дорівнює такий вислів:
Отже, нам необхідно визначити знак під модулем. А чи треба тут визначати знак? Звичайно, немає, якщо пам'ятаєш, що будь-яке число в квадраті завжди більше нуля! Якщо не пам'ятаєш, дивись тему. І що ж виходить? А ось що:
Здорово, так? Досить зручно. А тепер конкретний приклад для закріплення:
Ну, і чому сумніви? Діємо сміливо!
У всьому розібрався? Тоді вперед тренуватися на прикладах!
1. Знайдіть значення виразу, якщо.
2. У яких чисел модуль дорівнює?
3. Знайдіть значення виразів:
Якщо не всі поки ясно і є труднощі в рішеннях, то давай розбиратися:
рішення 1:
Отже, підставами значення і в вираз Отримаємо:
Рішення 2:
Як ми пам'ятаємо, протилежні числа по модулю рівні. Значить, значення модуля, рівне мають два числа: і.
Рішення 3:
а)
б)
в)
г)
Все вловив? Тоді пора перейти до складнішого!
Спробуємо спростити вираз
Рішення:
Отже, ми пам'ятаємо, що значення модуля не може бути менше нуля. Якщо під знаком модуля число позитивне, то ми просто можемо відкинути знак: модуль числа буде дорівнює цьому числу. Але якщо під знаком модуля негативне число, то значення модуля одно протилежного числу (тобто числу, взятому зі знаком «-»).
Для того, щоб знайти модуль будь-якого виразу, для початку потрібно з'ясувати, позитивне чи значення воно приймає, або негативне.
Виходить, значення першого виразу під модулем.
Отже, вираз під знаком модуля негативно. Другий вираз під знаком модуля завжди позитивно, так як ми складаємо два позитивних числа.
Модуль числа a- це відстань від початку координат до точки А(a).
Щоб зрозуміти це визначення, підставимо замість змінної aбудь-яке число, наприклад 3 і спробуємо знову прочитати його:
Модуль числа 3 - це відстань від початку координат до точки А(3 ).
Стає ясно, що модуль це ні що інше, як звичайна відстань. Давайте спробуємо побачити відстань від початку координат до точки А ( 3 )
Відстань від початку координат до точки А ( 3 ) Дорівнює 3 (трьох одиницям або трьом крокам).
Модуль числа позначає двома вертикальними лініями, наприклад:
Модуль числа 3 позначається так: | 3 |
Модуль числа 4 позначається так: | 4 |
Модуль числа 5 позначається так: | 5 |
Ми шукали модуль числа 3 і з'ясували, що він дорівнює 3. Так і записуємо:
Читається як: «Модуль числа три дорівнює три»
Тепер спробуємо знайти модуль числа -3. Знову ж повертаємося до визначення і підставляємо в нього число -3. Тільки замість точки Aвикористовуємо нову точку B. крапку Aми вже використовували в першому прикладі.
Модулем числа - 3 називають відстань від початку координат до точки B(—3 ).
Відстань від одного пункту до іншого не може бути негативним. Тому і модуль будь-якого негативного числа, будучи будучи відстанню теж не буде негативним. Модуль числа -3 буде число 3. Відстань від початку координат до точки B (-3) одно також трьом одиницям:
Читається як: «Модуль числа мінус три дорівнює три»
Модуль числа 0 дорівнює 0, та як точка з координатою 0 збігається з початком координат, тобто відстань від початку координат до точки O (0)дорівнює нулю:
«Модуль нуля дорівнює нулю»
Робимо висновки:
- Модуль числа не може бути негативним;
- Для позитивного числа і нуля модуль дорівнює самому числу, а для негативного - протилежного числу;
- Протилежні числа мають рівні модулі.
протилежні числа
Числа, що відрізняються тільки знаками називають протилежними. Наприклад, числа -2 і 2 є протилежними. Вони відрізняються лише знаками. У числа -2 знак мінуса, а у 2 знак плюса, але ми його не бачимо, тому що плюс, як ми говорили раніше, за традицією не пишуть.
Ще приклади протилежних чисел:
Протилежні числа мають рівні модулі. Наприклад, знайдемо модулі для -2 і 2
На малюнку видно, що відстань від початку координат до точок A (-2)і B (2)однаково дорівнює двом крокам.
Сподобався урок?
Вступай в нашу нову групу Вконтакте і почни отримувати повідомлення про нові уроках
Мета уроку
Ознайомити школярів з таким математичним поняттям, як модуль числа;
Навчити школярів навичкам знаходження модулів чисел;
Закріпити вивчений матеріал за допомогою виконання різних завдань;
завдання
Закріпити знання дітей про модуль числа;
За допомогою рішення тестових завдань перевірити, як засвоїли учні вивчений матеріал;
Продовжувати прищеплювати інтерес до уроків математики;
Виховувати у школярів логічне мислення, допитливість і посидючість.
план уроку
1. Загальні поняття і визначення модуля числа.
2. Геометричний зміст модуля.
3. Модуль числа його властивості.
4. Рішення рівнянь і нерівностей, які містять модуль числа.
5. Історична довідкапро термін «модуль числа».
6. Завдання на закріплення знань пройденої теми.
7. Домашнє завдання.
Загальні поняття про модуль числа
Модулем числа прийнято називати саме число, якщо воно не має негативного значення, чи це ж число негативне, але з протилежним знаком.
Тобто, модулем невід'ємного дійсного числа a є саме це число:
А, модулем негативного дійсного числа х буде протилежне число:
У записі це буде виглядати так:
Для більш доступного розуміння наведемо приклад. Так, наприклад, модулем числа 3 буде 3, і також модулем числа -3, є 3.
З цього випливає, що під модулем числа мається на увазі абсолютна величина, тобто, її абсолютне значення, але без урахування його знака. Якщо говорити ще простіше, то необхідно від числа відкинути знак.
Позначатися і виглядати модуль числа може так: | 3 |, | х |, | а | і т.д.
Так, наприклад, модуль числа 3 позначається | 3 |.
Також, слід пам'ятати, що модуль числа ніколи не буває негативним: | a | ≥ 0.
| 5 | = 5, | -6 | = 6, | -12,45 | = 12,45 і т.д.
Геометричний сенс модуля
Модулем числа називають відстань, яке вимірюється в одиничних відрізках від початку координат до точки. У цьому визначенні розкривається модуль з геометричної точки зору.
Візьмемо координатну пряму і позначимо на ній дві точки. Нехай цим точкам будуть відповідати такі числа, як -4 і 2.
Тепер давайте звернемо увагу на даний малюнок. Ми бачимо, що позначена на координатної прямої точка А відповідає числу -4 і якщо ви уважно подивитеся, то побачите, що ця точка знаходиться від точки відліку 0 на відстані 4 одиничних відрізків. Звідси випливає, що довжина відрізка OA дорівнює чотирьом одиницям. В цьому випадку, довжина відрізка ОА, тобто число 4 буде модулем числа -4.
Позначається і записується в даному випадку модуль числа таким чином: | -4 | = 4.
Тепер візьмемо, і на координатної прямої позначимо точку В.
Ця точка В буде відповідати числу +2, і знаходиться вона, як ми бачимо, від початку відліку на відстані двох одиничних відрізків. З цього випливає, що довжина відрізка OB дорівнює двом одиницям. У цьому випадку число 2 буде модулем числа +2.
У записі це буде виглядати так: | +2 | = 2 або | 2 | = 2.
А тепер підіб'ємо підсумок. Якщо ми з вами візьмемо якесь невідоме число а і позначимо його на координатної прямий точкою А, то в цьому випадку відстань від точки A до початку відліку, тобто довжина відрізка ОА, як раз і є модулем числа «a».
У записі це буде виглядати так: | a | = OA.
Модуль числа його властивості
А тепер давайте спробуємо виділити властивості модуля, розглянути всілякі випадки і записати їх за допомогою буквених виразів:
По-перше, модулем числа є число невід'ємне, а значить модуль позитивного числа, дорівнює самому числу: | a | = A, якщо a> 0;
По-друге, модулі, які складаються з протилежних чисел, рівні: | а | = | -А |. Тобто це властивість говорить нам про те, що протилежні числа завжди мають рівні модулі, та як на координатної прямої, хоча вони і мають протилежні числа, але вони знаходяться на однаковій відстані від точки відліку. З цього випливає, що і модулі цих протилежних чисел рівні.
По-третє, модуль нуля дорівнює нулю в тому випадку, якщо це число є нулем: | 0 | = 0, якщо a = 0. Тут можна з упевненістю сказати, що модулем нуля є нуль за визначенням, так як йому відповідає початок відліку координатної прямої.
Четвертим властивістю модуля є те, що модуль твори двох чисел дорівнює добутку модулів цих чисел. Тепер докладніше розглянемо, що це означає. Якщо йти за визначенням, то ми з вами знаємо, що модуль твори чисел a і b буде дорівнює ab, або - (ab), якщо, а в ≥ 0, або ж - (а в), якщо, а в більше 0. У записи це буде виглядати так: | а b | = | А | | B |.
П'ятим властивістю є те, що модуль приватного від ділення чисел дорівнює відношенню модулів цих чисел: | а: b | = | А | : | B |.
І такі властивості модуля числа:
Рішення рівнянь і нерівностей, які містять модуль числа
Приступивши до вирішення завдань, які мають модуль числа, слід пам'ятати, що щоб вирішити таке завдання, необхідно розкрити знак модуля, використовуючи знання властивостей, яким ця задача відповідає.
Завдання 1
Так, наприклад, якщо під знаком модуля варто вираз, яке залежить від змінної, то розкривати модуль слід відповідно до визначення:
Звичайно ж, при вирішенні задач бувають випадки, коли модуль розкривається однозначно. Якщо, наприклад, взяти
, Тут ми бачимо, що такий вислів під знаком модуля неотрицательно при будь-яких значеннях х і у.
Або, же для прикладу беремо
, Ми бачимо, що цей вислів під модулем не позитивний при будь-яких значеннях z.
завдання 2
Перед вами зображена координатна пряма. На цій прямій необхідно відзначити числа, модуль яких буде дорівнює 2.
Рішення
В першу чергу, ми повинні накреслити координатну пряму. Вам вже відомо, що для цього, спочатку на прямий необхідно вибрати початок відліку, напрямок і одиничний відрізок. Далі, нам потрібно від початку відліку поставити крапки, які дорівнюють відстані двох одиничних відрізків.
Як бачимо, таких точок на координатній прямій дві, одна з яких відповідає числу -2, а інша числу 2.
Історична довідка про модуль числа
Термін «модуль» походить від латинської назви modulus, що в перекладі означає слово «міра». Ввів в обіг цей термін англійський математик Роджер Котес. А ось знак модуля був введений завдяки німецькому математику Карлу Вейерштрасу. При написанні модуль позначається за допомогою такого символу: | |.
Питання на закріплення знань матеріалу
На сьогоднішньому уроці ми з вами познайомилися з таким поняттям, як модуль числа, а тепер давайте перевіримо, як ви засвоїли цю тему, відповівши на поставлені питання:
1. Як називається число, яке протилежно позитивному числу?
2. Яку назву носить число, яке протилежно негативного числа?
3. Назвіть число, яке є протилежним нулю. Чи існує таке число?
4. Назвіть то число, яке не може бути модулем числа.
5. Дайте визначення модулю числа.
Домашнє завдання
1. Перед вами зображені числа, які вам потрібно розташувати в порядку убування модулів. Якщо ви правильно виконаєте завдання, то дізнаєтеся прізвище людини, який вперше ввів в математику термін «модуль».
2. Накресліть координатну пряму і знайдіть відстань від М (-5) і К (8) до початку відліку.
Інструкція
Таким же чином вирішуйте рівняння, в яких х міститься одночасно і під модулем, і без модуля. Перенесіть всі частини без модуля в праву частину і розкрийте модуль, перетворивши одне рівняння в систему з двох. Тут вже обов'язково треба вказувати ОДЗ, так як воно буде брати участь в пошуку рішення.
Якщо рівняння містить два модулі, рівних між собою, поступите таким чином. Розкрийте другий модуль так, ніби це звичайне число. Таким чином, у вас вийде система з двох рівнянь, вирішите кожне окремо і об'єднайте рішення. Наприклад, дано рівняння Iх + 3I = Iх-7I. Після розкриття модуля ви отримаєте два рівняння: х + 3 = х-7 і х + 3 = - (х-7). Перше рівняння рішень не має (3 = -7), а з другого можна отримати х = 2. Таким чином, рішення одне х = 2.
Якщо крім двох модулів в рівнянні є число, рішення дещо ускладнюється. Щоб вирішити таке рівняння, розбийте область допустимих значень на кілька інтервалів. Для цього знайдіть значення х, при яких модуліобнуляються (прирівняти модулідо нуля). Таким чином, ви отримаєте кілька інтервалів, при яких модулірозкриваються з різними знаками. Потім розгляньте окремо кожен випадок, розкриваючи модуль з тим знаком, який виходить при підстановці одного з значень інтервалу. В результаті ви отримаєте декілька рішень, які необхідно буде об'єднати. Наприклад, дано рівняння Iх + 2I + Iх-1I = 5. прирівнявши модулідо нуля, отримаєте межі інтервалів -2 і 1. Розгляньте перший інтервал: х
Додавання нового модуля або копії вже існуючого на сайтне представляє особливих складнощів для користувачів Joomla, завдяки зручним налаштуванням адміністраторській панелі. Вона забезпечує простоту застосування і автоматизацію вибраної операції.
Інструкція
Здійсніть вхід в адміністраторську панель стандартним способом і розкрийте меню «Розширення» верхній панелі інструментів для ініціації здійснення процедури додавання нового або копії вже існуючого модуля на свій сайт. Викличте діалогове вікно «Менеджера модулів» і скористайтеся кнопкою «Створити» для проведення необхідної операції. Створіть призначений для додавання модульі розкрийте його кліком миші на рядок з назвою.
Введіть бажане значення імені створюваного модудя в поле «Тема» і застосуєте прапорці на полях «Показати заголовок» і «Включено». Вкажіть бажану позицію розміщення компонента в спадному меню рядка «Позиція» і пам'ятайте, що даний параметр дозволяє створення непредустановленного значення. Виберіть необхідні налаштування доступності створюваного модуля для відвідувачів сайта в випадаючому меню поля «Доступ» або скористайтеся можливістю автоматичної конфігурації за замовчуванням, вибравши команду «Вибрати всі пункти меню».
Ще раз розкрийте меню «Розширення» верхній панелі інструментів вікна програми і викличте інструмент «Менеджер плагінів». Розгорніть меню утиліти і вкажіть пункт Content - Load Module. Розкрийте створений модульлівим кліком миші на рядок його назви розгорніть діалог «Параметри» в правій області вікна менеджера. Застосуйте прапорець на полі «Включити плагін» і вкажіть пункт «Немає обрамлення» в випадаючому каталозі рядка «Стиль». Збережіть зроблені зміни натисканням кнопки «Зберегти» у верхній панелі інструментів вікна утиліти.
Перейдіть на сторінку, що підлягає додаванню створеного модуля, і вставте значення loadposition сохраненное_імя_созданного_модуля в бажане місце розміщення компонента. Переконайтеся в тому, що ні використовувалася посилання, яка не має itemid, що визначає обраний пункт меню і не використовуйте сторінки, пов'язані виключно змістом - посилання на інші матеріали, посилання з категорій. Можливість призначення модуля на обрану станицю безпосередньо пов'язана з існуванням itemid!
Відео по темі
джерела:
- Як вставити модуль на конкретну сторінку?
джерела:
- як розкрити модуль в модулі
Базові відомості про модуль
визначення модуляможе бути дано наступним чином: абсолютною величиноючисла a(Модулем) називається відстань від точки, яка зображує дане число aна координатної прямої, до початку координат. З визначення випливає, що:
Таким чином, для того щоб розкрити модуль необхідно визначити знак підмодульних вираження. Якщо воно позитивно, то можна просто прибирати знак модуля. Якщо ж підмодульних вираз негативно, то його потрібно помножити на "мінус", і знак модуля, знову-таки, більше не писати.
Основні властивості модуля:
Деякі методи вирішення рівнянь з модулями
Існує кілька типів рівнянь з модулем, для яких є кращий спосіб вирішення. При цьому даний спосіб не є єдиним. Наприклад, для рівняння виду:
Кращим способом вирішення буде перехід до сукупності:
А для рівнянь виду:
Також можна переходити до майже аналогічної сукупності, але так як модуль приймає тільки позитивні значення, то і права частина рівняння має бути позитивною. Ця умова потрібно дописати в якості загального обмеження для всього прикладу. Тоді отримаємо систему:
Обидва цих типу рівнянь можна вирішувати і іншим способом: розкриваючи відповідним чином модуль на проміжках де підмодульних вираз має певний знак. У цьому випадку будемо отримувати сукупність двох систем. Наведемо загальний виглядрішень виходять для обох типів рівнянь наведених вище:
Для вирішення рівнянь в яких міститься більше ніж один модуль застосовується метод інтервалів, Який полягає в наступному:
- Спочатку знаходимо точки на числовій осі, в яких наближається до нуля кожне з виразів, що стоять під модулем.
- Далі ділимо всю числову вісь на інтервали між отриманими точками і досліджуємо знак кожного з підмодульних виразів на кожному інтервалі. Зауважте, що для визначення знака виразу треба підставити в нього будь-яке значення xз інтервалу, крім граничних точок. Вибирайте ті значення x, Які легко підставляти.
- Далі на кожному отриманому інтервалі розкриваємо всі модулі в вихідному рівнянні відповідно до їх знаками на даному інтервалі і вирішуємо отримане звичайне рівняння. У підсумковий відповідь виписуємо тільки ті коріння цього рівняння, які потрапляють в досліджуваний проміжок. Ще раз: таку процедуру проводимо для кожного з отриманих інтервалів.
- Вивчити всі формули і закони у фізиці, і формули і методи в математиці. Насправді, виконати це теж дуже просто, необхідних формул з фізики всього близько 200 штук, а з математики навіть трохи менше. У кожному з цих предметів є близько десятка стандартних методів вирішення завдань базового рівня складності, які теж цілком можна вивчити, і таким чином, абсолютно на автоматі і без утруднень вирішити в потрібний момент більшу частину ЦТ. Після цього Вам залишиться подумати тільки над найскладнішими завданнями.
- Відвідати всі три етапи репетиційного тестування з фізики та математики. Кожен РТ можна відвідувати по два рази, щоб прорешать обидва варіанти. Знову ж на ЦТ, крім уміння швидко і якісно вирішувати завдання, і знання формул і методів необхідно також вміти правильно спланувати час, розподілити сили, а головне правильно заповнити бланк відповідей, що не переплутавши ні номера відповідей і завдань, ні власне прізвище. Також в ході РТ важливо звикнути до стилю постановки питань в задачах, який на ЦТ може здатися непідготовленій людині дуже незвичним.
Успішне, старанне і відповідальне виконання цих трьох пунктів дозволить Вам показати на ЦТ відмінний результат, максимальний з того на що Ви здатні.
Знайшли помилку?
Якщо Ви, як Вам здається, знайшли помилку в навчальних матеріалах, То напишіть, будь ласка, про неї на пошту. Написати про помилку можна також в соціальній мережі (). У листі вкажіть предмет (фізика або математика), назва або номер теми або тесту, номер завдання, або місце в тексті (сторінку) де на Вашу думку є помилка. Також опишіть в чому полягає приблизна помилка. Ваш лист не залишиться непоміченим, помилка або буде виправлена, або Вам роз'яснять чому це не помилка.