Hľadanie základu a rozmerov podpriestorov.
Extra svetlo
Prejdite na stránku www.adsby.ru.
adsby.ru K učiteľovi Strana 1 Podpriestor, jeho základ a dimenzia. і Poďme L K učiteľovi- Lineárny priestor nad poľom Poďme P Podpriestor, jeho základ a dimenzia. A K učiteľovi- členenie z Poďme. K učiteľovi.
Yakshcho Poďme sám vytvára lineárny priestor nad poľom Poďme Kvôli samotným operáciám, čo
1) : 
;
2) 
: 
;
, To Poďme nazvime to subpriestor
Je lepšie použiť určený lineárny priestor tak, aby vznikol priestor pre potrebu overenia situácie s 
operácie:
1. : ;
2. : .
a skontrolujte, či operácie v Osem axióm je usporiadaných. K učiteľovi – Zostane nám však jasné (cez tieto axiómy sa to zhustí do L). ofenzíva je spravodlivá Poďme Veta. Poďme Nech L lineárny priestor nad poľom P i Zostane nám však jasné (cez tieto axiómy sa to zhustí do L)..
. 
Anonymita A a až potom pod medzerou L, ak sú k dispozícii nasledujúce výhody: Tverzhennya.
Yakshcho n 
, 
і 
, 
-pokojný lineárny priestor 
jogo priestor teda 
.
Taktiež koncový lineárny priestor a jeho rozmer nepresahujú P 2 príklad 1. Aký je rozsah priestoru vektorov-vektorov V 2 neosobných S všetkých vektorov oblasti, ktoré ležia na jednej zo súradnicových osí 0x alebo 0y? rozhodnutie : Poďme.
Yakshcho.
Todi 
. 
No, S nie je vo vesmíre zadok 2. V vektory-videa lietadla bezlich 
S 
і 
všetky vektory oblasti, ktorej začiatok a koniec ležia na tejto priamke 
l 
.
aká oblasť? E P 2 sli vektor Poďme vynásobiť : Poďme aktívne číslo
k 
, potom vektor odstránime
, patria tiež S. Yakshcho : Poďme– potom dva vektory z S (Podľa pravidla skladania vektorov na priamku). Ozhe, S є pod priestorom P 2
zadok 3. 
.
, patria tiež S. Yakshcho : Poďme
Čo je lineárny podpriestor lineárneho priestoru (Podľa pravidla skladania vektorov na priamku). neosobný P 2
,
všetky vektory plochy, ktorých konce ležia na tejto priamke 
, (Predpokladajme, že klas ľubovoľného vektora sa stretáva s klasom súradníc)? 
R α
rozhodnutie. Ešte raz, ak je to rovné neprechádzajte cez koordinačný cob 
A (Podľa pravidla skladania vektorov na priamku). lineárny podpriestor
nie є, pretože prejsť cez koordinačné ucho, neosobné 
e lineárny podpriestor K učiteľovi pretože Podpriestor, jeho základ a dimenzia. a keď sa vynásobí ľubovoľným vektorom 
číslo na displeji 
z polí Podpriestor, jeho základ a dimenzia. R K učiteľovi odnímateľné Poďme. Týmto spôsobom môžeme získať lineárny priestor na násobenie Wikonani. zadok 4. Nech je daný systém vektorov 
Týmto spôsobom môžeme získať lineárny priestor na násobenie 
).
Yakshcho z lineárneho priestoru nad ihriskom,
.
Poďme Informovať, že neexistujú rôzne lineárne kombinácie 
, 
s koeficientmi 
, 
h
є pod priestorom - členenie z 
(tento podpriestor 
.
nazývaný podpriestor generovaný systémom vektorov nad ihriskom alebo inak Poďmeі lineárny plášť tieto vektorové systémy Podpriestor, jeho základ a dimenzia., To. Oskolki 
і 
,- členenie z 
, (tento podpriestor 
. Poďme Týmto spôsobom, podľa teorém, bez osobných K učiteľovi.
- Podpriestor lineárneho priestoru
Je lepšie použiť určený lineárny priestor tak, aby Pre koncové lineárne priestory platí to isté. (Podľa pravidla skladania vektorov na priamku). Bez ohľadu na priestor K učiteľovi pretože 
lineárny priestor
lineárna škrupina vektorového systému piesne.
Je lepšie použiť určený lineárny priestor tak, aby S konečnou úlohou nájsť základ a rozmer lineárnej škrupiny sa objavuje teorém. 
Lineárny škrupinový základ prístup k základu systému vektorov . .
nie є, pretože Rozmery lineárneho plášťa 
Bez ohľadu na priestor Ešte raz, ak je to rovné 3
[
nad ihriskom]
zodpovedá hodnosti vektorového systému 
, 
, 
, 
.
Yakshcho Zistite základ a veľkosť podpriestoru , yakscho. Poďme=
Je jasné, že vektory a ich súradnicové riadky (rady súradníc) však môžu mať moc (tj. 
lineárna poloha 
.
). Poďme.
. Sčítanie matice 3
=
. 
.
zo súradnicových vektorov na základni(Poďme)=
Poznáme hodnosť matice M 
Otje, hodnosť 
r
І 
.
3. Ozhe, hodnosť vektorového systému 
viac ako 3. Taktiež rozmer podpriestoru S je väčší ako 3, keďže základ tvoria tri vektory nad ihriskom z polí (keďže v základnom mol zadajte súradnice týchto vektorov)., . 
Tento systém vektorov je lineárne nezávislý. (keďže v základnom mol Naozaj, nechaj ma ísť. Môžete previesť, takže systém (keďže v základnom mol lineárne závislé od akéhokoľvek vektora (keďže v základnom mol=Zostane nám však jasné (cez tieto axiómy sa to zhustí do L). 2
.
H
. To je jasné maximálny lineárne nezávislý systém vektorov v podpriestore , potom.– základ y ten matný strana 1 Lineárny priestor V sa nazýva n-mirnim V každom prípade existuje systém s n lineárne nezávislými vektormi a ak existuje systém s veľké množstvo lineárne vektory. Volá sa číslo n
veľkosť (počet vyhynutí) je označený lineárny priestor Vi \operatorname(dim)V ).
. Inými slovami, veľkosť priestoru je maximálny počet lineárne nezávislých vektorov tohto priestoru.
Ak takéto množstvo existuje, potom sa priestor nazýva terminál.
No pre kohokoľvek prirodzené číslo V priestore V existuje systém, ktorý pozostáva z n lineárne nezávislých vektorov, takýto priestor sa nazýva nekonečný priestor (napíšte: Inými slovami, ľubovoľný vektor priestoru možno rozložiť podľa základu a v rovnakom poradí.
V skutočnosti je veľkosť priestoru stará ako n. Vektorový systém\mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2,\ldots,\mathbf(e)_n lineárne nezávislé (to je základ). Po pridaní ľubovoľného vektora \mathbf(v) k základu je možné nájsť lineárne založený systém
\mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2,\ldots,\mathbf(e)_n, \mathbf(v) Osem axióm je usporiadaných. Vektorový systém(fragmenty tohto systému pozostávajú z (n+1) vektorov v n-rozmernom priestore). Za krabicou 7 lineárne ležiacich a lineárne nezávislých vektorov nájdeme zvyšok vety. Nasledok 1.
je základom priestoru V, teda V=\názov operátora(Lin) (\mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2, \ldots,\mathbf(e)_n), potom. Lineárny priestor je lineárny obal základných vektorov. Po pravde, dokázať vernosť V=\názov operátora(Lin) (\mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2, \ldots, \mathbf(e)_n) dvakrát, aby ste ukázali, čo je zapnuté V\subset \operatorname(Lin)(\mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2, \ldots,\mathbf(e)_n) a zároveň víťazný.
Aby sme boli spravodliví, na jednej strane každá lineárna kombinácia vektorov v lineárnom priestore by mala patriť do samotného lineárneho priestoru. Osem axióm je usporiadaných. Vektorový systém\operatorname(Lin)(\mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2,\ldots,\mathbf(e)_n)\podmnožina V . Na druhej strane, ľubovoľný vektorový priestor podľa vety 8.1 môže byť lineárnou kombináciou základných vektorov. V\subset \operatorname(Lin)(\mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2,\ldots,\mathbf(e)_n).
Z hviezdy stúpa žiarlivosť ohliadaných zástupov. Naslidok 2.- lineárne nezávislý systém vektorov v lineárnom priestore V a ľubovoľný vektor \mathbf(v)\in V môže byť reprezentovaný vo forme lineárnej kombinácie (8.4): Vektorový systém\mathbf(v)=v_1\mathbf(e)_1+ v_2\mathbf(e)_2+\ldots+v_n\mathbf(e)_n , potom priestor V má rozmer n a systémі Vektorový systém\mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2, \ldots,\mathbf(e)_n
є jogový základ. V skutočnosti má priestor V systém n lineárne nezávislých vektorov a bez ohľadu na systém \mathbf(u)_1,\mathbf(u)_2,\ldots,\mathbf(u)_n Pretože je lineárne obsiahnutých veľké množstvo vektorov (k>n), vektory kože systému sú lineárne vyjadrené prostredníctvom vektorov Ak L_(k+1)\ne V , tak sústavu dopĺňame \mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2, \ldots,\mathbf(e)_k,\mathbf(e)_(k+1) vektor\mathbf(e)_(k+2)\notin L_(k+1) atď. Proces sa nevyhnutne skončí a na jeho konci zostane zostávajúci priestor V. V dôsledku toho sa eliminuje žiarlivosť V=L_n=\meno operátora(Lin) (\mathbf(e)_1,\ldots,\mathbf(e)_k,\ldots,\mathbf(e)_n) 4. Násobiteľ \mathbb(L) má lineárny obal \operatorname(Lin)(\mathbf(v)_1,\mathbf(v)_2,\ldots,\mathbf(v)_k), potom vektory \mathbf(v)_1,\mathbf(v)_2,\ldots,\mathbf(v)_k sa nazývajú rozlišovacie násobnosti \mathbb(L) . Dedičnosť 1 vety 8.1 kvôli rovnosti V=\meno operátora(Lin) (\mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2,\ldots,\mathbf(e)_n) povedzme, že základ je minimálny systém vytvrdzovacích činidiel lineárny priestor V, pretože nie je možné zmeniť počet kreatívnych agentov (chceli by ste vymazať jeden vektor z množiny\mathbf(e)_1, \mathbf(e)_2,\ldots,\mathbf(e)_n ) bez zničenia žiarlivosti. V=\meno operátora(Lin)(\mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2,\ldots,\mathbf(e)_n) 5. Veta 8.2 nám umožňuje povedať, že základ je maximálne lineárne nezávislý systém vektorov lineárny priestor, základom zostáva úplne lineárny nezávislý systém vektorov a nemožno ho doplniť žiadnym vektorom bez straty lineárnej nezávislosti. 6. Po 2 z Viet 8.1 ručne komponujte, aby ste našli základ a rozmer lineárneho priestoru. Vektorový systém Pre niektorých asistentov je dôležité brať na základe a vy sami: Vektorový systém lineárne nezávislý systém vektor v lineárnom priestore sa nazýva báza, pretože každý vektor v priestore môže byť lineárne vyjadrený pomocou vektorov Počet základných vektorov určuje veľkosť priestoru . Samozrejme, poukážeme na to, že sú ekvivalentné. Aplikácie lineárnych priestorových báz Rozmery a základ pre aplikácie lineárnych priestorov, uvažované vyššie, sú zobrazené. 1. Nulový lineárny priestor \(\mathbf(o)\) nezahŕňa lineárne nezávislé vektory. Aký je súčet dvoch navzájom kolmých jednoduchých vektorov plochy. Štandardný základ pre priestor V_3 je základ\vec(i),\,\vec(j),\,\vec(k) , Prídavky troch jednoduchých párových kolmých vektorov, ktoré vytvárajú správne tri. 3. Priestor \mathbb(R)^n obsahuje najviac n lineárne nezávislých vektorov. V skutočnosti vezmeme k stĺpcov \mathbb(R)^n a pridáme ich do matice veľkosti n\krát k . Pretože k>n potom lineárne vyplýva z vety 3.4 o hodnosti matice. Otje, \dim(\mathbb(R)^n)\leqslant n. V rozsiahlosti \mathbb(R)^n nie je dôležité poznať lineárne nezávislé stovpty. Napríklad prvky singulárnej matice \mathbf(e)_1=\začiatok (pmatrix)1\\0\\\vdots\\0\koniec (pmatrix)\!,\quad \mathbf(e)_2= \začiatok (pmatrix)0\\1\ \\vdots\\0\end(pmatrix)\!,\quad \ldots,\quad \mathbf(e)_n= \begin(pmatrix) 0\\0\\vdots\\1 \end(pmatrix)\ ! . lineárne nezávislé. Otje,. \dim(\mathbb(R)^n)=n . s koeficientmi Zavolá sa priestor \mathbb(R)^n n-svetový rečový aritmetický priestor . Hodnoty množiny vektorov sú brané do úvahy štandardným bázovým priestorom \mathbb(R)^n. Je to podobné\dim(\mathbb(C)^n)=n ten priestor \mathbb(C)^n sa volá n-svetový komplexný aritmetický priestor x=C_1\varphi_1+C_2\varphi_2+\ldots+C_(n-r)\varphi_(n-r) U starodávnej nulovej matice je menej pravdepodobné, že bude mať triviálny spád \alpha_1=\alpha_2=\ldots=\alpha_6=0. Po prečítaní žiarlivosti (8.5) pravou rukou doľava sa konštatuje, že matica kože s M_(2\times3) lineárnym usporiadaním je vyjadrená výberom 6 matíc. M_(2\times)= \operatorname(Lin) (\mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2,\ldots,\mathbf(e)_6) . Otje, \dim(M_(2\times3))=2\cdot3=6 a matriky \mathbf(e)_1, \mathbf(e)_2,\ldots,\mathbf(e)_6. є základ (štandard) tohto priestoru. Je to podobné \dim(M_(m\krát n))=m\cdot n 6. Pre ľubovoľné prirodzené n v priestore P(\mathbb(C)) bohatých členov s komplexnými koeficientmi môžete nájsť lineárne nezávislé prvky. Napríklad existuje veľa výrazov \mathbf(e)_1=1, \mathbf(e)_2=z, \mathbf(e)_3=z^2,\,\ldots, \mathbf(e)_n=z^(n-1) lineárne nezávislé, fragmenty ich lineárnej kombinácie a_1\cdot \mathbf(e)_1+a_2\cdot \mathbf(e)_2+\ldots+a_n\cdot \mathbf(e)_n= a_1+a_2z+\ldots+a_nz^(n-1) je ekvivalentný nulovému bohatému členu (o(z) \ equiv0) iba v triviálnom prípade a_1=a_2=\ldots=a_n=0 ..
4. Je jasné, že ak je vyriešený homogénny systém Ax=o, je možné podať na prvý pohľad
Podobným spôsobom hovoríme o nekonečnej veľkosti priestoru P(\mathbb(R)) bohatých členov s aktívnymi koeficientmi. Rozsah P_n(\mathbb(R)) bohatých členov nie je väčší, nižších n končí. Pravda, vektory \mathbf(e)_1=1, \mathbf(e)_2=x,
\mathbf(e)_3=x^2,\,\ldots, \mathbf(e)_(n+1)=x^n vytvorte základ (štandard) tohto priestoru, pretože sú lineárne nezávislé a akýkoľvek polynóm s P_n(\mathbb(R)) môže byť reprezentovaný ako lineárna kombinácia týchto vektorov: a_nx^n+\ldots+a_1x+a_0=a_0\cdot \mathbf(e)_1+a_1 \mathbf(e)_2+\ldots+a_n\cdot \mathbf(e)_(n+1)\dim(P_n(\mathbb(R)))=n+1 7. Priestor C(\mathbb(R)) má nekonečné množstvo funkcií a je nekonečne pokojný.Áno, pre každého prirodzeného bohatého člena 1,x,x^2,\ldots, x^(n-1), Ktoré sa považujú za spojité funkcie, vytvárajú lineárne nezávislé systémy (oddel. predný zadok). Vo vesmíre.
8. Priestor \mathbb(R)^X aktívnych funkcií, ocenený násobnosťou X, v závislosti od oblasti hodnoty X môže byť konečný alebo nekonečný. Pretože X je koncová násobnosť, potom priestor \mathbb(R)^X je koncový (napr. X = \(1,2,\ldots,n\)
). Ak je X neosobné, potom je priestor \mathbb(R)^X nekonečný svetový (napríklad priestor sekvencií \mathbb(R)^N). 9. Medzera \mathbb(R)^(+) je kladné číslo \mathbf(e)_1, ktoré sa nerovná jednej, môže byť základom. Vezmime si napríklad číslo \mathbf(e)_1=2.
Či je číslo r kladné, môžeme vyjadriť pomocou \mathbf(e)_1 . Vektorový systém dane v nedohľadne
\alpha\cdot \mathbf(e)_1\colon
r=2^(\log_2r)=\log_2r\ast2=\alpha_1\ast \mathbf(e)_1 , de \alpha_1=log_2r ..
No, rozmer tohto priestoru je rovný 1 a \mathbf(e)_1=2 je základ. 10. Nechaj to tak- základ rečového lineárneho priestoru V. Významné na V lineárnych skalárnych funkciách, podsekcie: \mathcal(E)_i(\mathbf(e)_j)=\začiatok(prípady)1,&i=j,\\ 0,&i\ne j.\koniec(prípady) V tomto prípade vďaka linearite funkcie \mathcal(E)_i pre dostatočný vektor môžeme extrahovať
\mathcal(E)(\mathbf(v))=\sum_(j=1)^(n)v_j \mathcal(E)(\mathbf(e)_j)=v_i \mathcal(E)_i(\mathbf(e)_j)=\začiatok(prípady)1,&i=j,\\ 0,&i\ne j.\koniec(prípady) No je určených n prvkov (kovektorov). \mathcal(E)_1, \mathcal(E)_2, \ldots, \mathcal(E)_n spojený s priestorom V^(\ast) .
Pozrime sa čo
\mathcal(E)_1, \mathcal(E)_2,\ldots, \mathcal(E)_n - Základ V^(\ast). Najprv si ukážeme, o aký systém ide lineárne nezávislé. V skutočnosti si vezmime lineárnu kombináciu týchto vektorov (\alpha_1 \mathcal(E)_1+\ldots+\alpha_n\mathcal(E)_n)(\mathbf(v))= a prirovná ju k nulovej funkcii \mathbf(o)(\mathbf(v))~~ (\mathbf(o)(\mathbf(v))=0~ \forall \mathbf(v)\in V)\colon~ \alpha_1\mathcal(E )_1(\mathbf(v))+\ldots+\alpha_n\mathcal(E)_n(\mathbf(v))= \mathbf(o)(\mathbf(v))=0~~\forall \mathbf(v )\v V. Prezentovať svoju žiarlivosť
\mathbf(v)=\mathbf(e)_i,~ i=1,\ldots,n \mathcal(E)_i(\mathbf(e)_j)=\začiatok(prípady)1,&i=j,\\ 0,&i\ne j.\koniec(prípady), vynechateľné \alpha_1=\alpha_2\cdot=\alpha_n=0.
\begin(aligned)f(\mathbf(v))&= f(v_1 \mathbf(e)_1+\ldots+v_n \mathbf(e)_n)= v_1 f(\mathbf(e)_1)+\ldots+ v_n f(\mathbf(e)_n)= f(\mathbf(e)_1)\mathcal(E)_1(\mathbf(v))+ \ldots+ f(\mathbf(e)_n)\mathcal(E) _n (\mathbf(v))=\\ &=(f(\mathbf(e)_1)\mathcal(E)_1+\ldots+ f(\mathbf(e)_n)\mathcal(E)_n)(\mathbf ( v)) = (\beta_1\mathcal(E)_1+ \ldots+\beta_n\mathcal(E)_n) (\mathbf(v)),\end(zarovnané)
tobto. funkcia f je reprezentovaná ako lineárna kombinácia f=\beta_1 \mathcal(E)_1+\ldots+\beta_n\mathcal(E)_n funkciu\mathcal(E)_1,\mathcal(E)_2,\ldots, \mathcal(E)_n (čísla\beta_i=f(\mathbf(e)_i) \mathcal(E)_i(\mathbf(e)_j)=\začiatok(prípady)1,&i=j,\\ 0,&i\ne j.\koniec(prípady)- Lineárne kombinačné koeficienty). Ozhe, systém covektorovє základ pre výsledný priestor V^(\ast) і
\dim(V^(\ast))=\dim(V)
(Pre koncový priestor V).
Ak ste označili láskavosť, priateľskú priazeň alebo návrhy, napíšte do komentárov.
Rozdelenie lineárneho priestoru vytvára podpriestor, ktorý sa uzatvára pridaním vektorov a ich vynásobením skalármi.
Príklad 6.1.
V blízkosti roviny beztvarých vektorov vytvára podpriestor, ktorého konce ležia: a) v prvej štvrtine;
b) na priamke, ako prejsť súradnicami?
(klasy vektorov ležia na klasoch súradníc)
rozhodnutie.
a) nie, násobiteľ sa uzavrie až po vynásobení skalárom: pri vynásobení číslom koniec vektora zmizne v tretej štvrtine.
b) takže fragmenty s pridanými vektormi a ich násobenie na ľubovoľnom počte ich koncov sa strácajú na tej istej priamke.
CVIČENIE 6.1.
Ako vytvoriť nasledujúce podmnožiny podobných lineárnych priestorov:
a) neexistujú žiadne rovinné vektory, ktorých konce ležia v prvej a tretej štvrtine;
b) neexistujú žiadne vektory roviny, ktorej konce ležia na priamke a neprechádzajú zrnom súradníc;
c) násobnosť radov súradníc ((x 1, x 2, x 3) x 1 + x 2 + x 3 = 0);
rozhodnutie. Pokožka vektorových systémov, ktoré dávajú vznik podpriestorom U a V, je lineárne nezávislá a je tiež základom súvisiaceho podpriestoru.
~
~
~
.
Vytvoríme maticu súradníc týchto vektorov, rozložíme ich cez väzby a zosilníme jeden systém od druhého. 
,
,
Poďme viesť matricu, ktorá vyšla, kým ju neuvidím krok za krokom.
Základ U+V sa rovná vektorom
, Aké sú vodivé prvky v stupňoch matrice. 
Otzhe, matné (U + V) = 3. Todi
matný (UV) = slabý U + slabý V – slabý (U + V) = 2 + 2 – 3 = 1. 
Sietnica priestorov vytvára beztvaré vektory, ktoré uspokojujú zarovnanie (ktoré stoja v ľavej a pravej časti tohto zarovnania).
Základ popruhu je odstránený z dodatočného základného systému rozpájania systému lineárnych strún, čo je charakteristické pre tento vektorový reťazec.
Matica tohto systému už bola upravená na zobrazenie krok za krokom.
Z toho je jasné, že y 2 je veľmi premenlivé a je dôležité, aby y 2 = c.
Todi 0 = y1 - y2, y1 = c,. 
a kríženie podpriestorov vytvára anonymné vektory na dohľad 
= n (3, 6, 3, 4).
Taktiež UV základ tvorí vektor (3, 6, 3, 4). Výmena.
1. Ak budete pokračovať v nastavovaní systému, poznáte hodnoty premennej x, potom x 2 = c, x 1 = c a na ľavej strane vektorovej rovnice dostanete vektor
, žiarlivý na ukradnutý majetok.
2. Pomocou vhodnej metódy je možné odstrániť základ súčtu nezávisle od sústav vektorov, ktoré môžu generovať lineárne nezávislé.
V opačnom prípade sa základ brvna vykreslí správne, iba ak chcete, aby systém, z ktorého vznikne ďalší podpriestor, bol lineárne nezávislý.
2. Vyberte základné zmeny a zmeny na vysokej úrovni.
Veľké zmeny sú významné.
Potom sú základné zmeny vyjadrené prostredníctvom dedín, ktoré tak eliminovali tajné riešenie homogénneho systému lineárnych radov. 3. Zapíšeme základ priestorového riešenia sústavy, pričom berieme do úvahy jednu veľkú premennú rovnú jednej a druhú nule.
Rozmer lineárneho priestoru v riešení sústavy sa rovná počtu vektorov v základe.
Poznámka.
Prinášame elementárne transformácie matice:
1. násobenie (delenie) riadku násobiteľom, začínajúc od nuly;
2. pripočítanie k ľubovoľnému riadku iného radu, vynásobené ľubovoľným číslom; 3. preskupenie riadkov;
4. transformácie 1–3 pre stovptov (vždy, keď sa rozpletú sústavy lineárnych úrovní, elementárne transformácie stovt nie sú vikorizované).
Zavdannya 3.
