Zbierajte rad komplexných čísel.

Rusko 19.4.1.

Čísla so zložitými pojmami. Všetky hlavné významy fiaska, sila radov, ktoré sa zbiehajú, znaky fiaska pre zložité rady nie sú žiadnym spôsobom ovplyvnené aktívnym spádom. 19.4.1.1. 1 , 19.4.1.1. 2 , 19.4.1.1. 3 , …, 19.4.1.1. Hlavný účel . 19.4.1.1. Hlavný účel Ukážeme vám nekonečnú postupnosť komplexných čísel z Hlavný účel n , ....zoberiem časť čísla Hlavný účel

budeme to myslieť vážne 19.4.1.1. Hlavný účel = z Hlavný účel + a , ....zoberiem časť čísla Hlavný účel , Hlavný účel = 1, 2, 3, …).

, vyhlasujem - b

(Tobto.iČíselný rad: - Zaznamenajte myseľ. 1 = 19.4.1.1. 1 , - Zaznamenajte myseľ. 2 = 19.4.1.1. 1 + 19.4.1.1. 2 , - Zaznamenajte myseľ. 3 = 19.4.1.1. 1 + 19.4.1.1. 2 + 19.4.1.1. 3 , - Zaznamenajte myseľ. 4 = 19.4.1.1. 1 + 19.4.1.1. 2 + 19.4.1.1. 3 + 19.4.1.1. 4 , …,

- Zaznamenajte myseľ. Hlavný účel = 19.4.1.1. 1 + 19.4.1.1. 2 + 19.4.1.1. 3 + … + 19.4.1.1. Hlavný účel , …

Chastkovi sumi - Zaznamenajte myseľ. počet
S - Zaznamenajte myseľ. Viznachennya. - Zaznamenajte myseľ. = 19.4.1.1. 1 + 19.4.1.1. 2 + 19.4.1.1. 3 + … + 19.4.1.1. Hlavný účel Ako existuje hranica
.

postupnosť čiastkových súčtov za sebou pri

- Zaznamenajte myseľ. Hlavný účel = 19.4.1.1. 1 + 19.4.1.1. 2 + 19.4.1.1. 3 + … + 19.4.1.1. Hlavný účel = (z 1 + a , ....zoberiem časť čísla 1) + (z 2 + a , ....zoberiem časť čísla 2) + (z 3 + a , ....zoberiem časť čísla 3) + … + (z Hlavný účel + a , ....zoberiem časť čísla Hlavný účel ) = (z 1 + z 2 + z 3 +…+ z Hlavný účel ) +

, Čo je silné komplexné číslo, potom sa zdá, že rad konverguje; і číslo

zavolajte to do radu a napíšte to+ ...alebo .

Poznáme akcie a zrejmé časti súkromných súm: De symboly

Pridelená časť súkromnej sumy je účinná a zrejmá.

ChastkoviČíselné postupnosti konvergujú iba vtedy, ak postupnosti zložené z ich aktívnej a explicitnej časti konvergujú. Týmto spôsobom sa séria zložitých členov bude zbiehať buď alebo menej, ak sa láva zbieha, čím sa vytvoria jej aktívne a viditeľné časti. Na tomto základe existuje jeden zo spôsobov, ako skúmať hodnotu radov s komplexnými členmi. zadok.
Pre úspech sledujte sériu Vipishemo kilka znamená virazu: Tieto hodnoty sa periodicky opakujú.

Množstvo aktívnych prvkov: ;
množstvo zrejmých častí; (
útočne sa rady zbiehajú (mentálne), takže výstupný rad sa zbieha. 19.4.1.2. Úplne úžasné.
riadok volal

Číselné postupnosti konvergujú iba vtedy, ak postupnosti zložené z ich aktívnej a explicitnej časti konvergujú.
úplne podobné

zavolajte to do radu a napíšte to+ ...alebo
.

keď séria konverguje
, skladanie
absolútne hodnoty

19.4. 1 . 3 členovia jogy. Takže, rovnako ako pri numerických akčných radoch so sčítacími členmi, je ľahké dokázať, že rad konverguje

, potom rad ľahko konverguje tejto série, vytvorenej aktívnymi a explicitnými časťami série
.

, absolútne konvergovať). Rad Yakshcho

Ak séria konverguje, potom súčet prebytku joga poHlavný účel -tý termín pragna na nulu pri
.

Ak sa zídu všetci členovia radu, vynásobte ich rovnakým číslomh , potom sa suma uloží a suma sa vynásobíh .

Riadky schôdze (A ), že (U ) možno zložiť a odstrániť kus po kuse;
.

Séria môže tiež konvergovať a jej súčet sa rovná

Ak sa členovia radu, ktoré sa spoja, zoskupia v dostatočnom poradí a zo súčtov členov každého páru okrúhlych ramien sa poskladá nový riadok, potom sa tento nový rad tiež zblíži a tento súčet bude podobný ako súčty výstupného riadku.

Ak riadok ide absolútne, tak v prípade akéhokoľvek preskupenia akýchkoľvek členov sa úspory ušetria a suma sa nemení.A ), že (U Yakscho riadok (
і
) absolútne konvergujú k ich sumám
.

, ich súčty pri dostatočnom poradí členov môžu absolútne konvergovať a ich súčet je rovnaký

Séria so zložitými členmi. 19.4.1.

19.3.1.Čísla so zložitými pojmami.

, vyhlasujem - 19.3.1.1. .

Hlavný účel:

Chastkovi sumi - Zaznamenajte myseľ. . - Zaznamenajte myseľ. Nech existuje nekonečná postupnosť komplexných čísel.

Označíme diysnu časť čísla, prezradím - (k tomu .

zavolajte to do radu a napíšte to

- zaznamenať myseľ

Chastkovi Chatkovy sumi riadok Na tomto základe existuje jeden zo spôsobov, ako skúmať hodnotu radov s komplexnými členmi. zadok. postupnosť čiastočných súčtov v rade pre , čo je silné komplexné číslo, potom sa zdá, že rad konverguje;

číslo

zavolajte do radu a napíšte buď.

zavolajte to do radu a napíšte to Poznáme akciu a zrejmé časti súkromnej sumy: , kde symboly označujú akciu a zrejmé časti súkromnej sumy.

Číselné postupnosti konvergujú iba vtedy, ak postupnosti zložené z ich aktívnej a explicitnej časti konvergujú. absolútne hodnoty

Týmto spôsobom sa séria zložitých členov bude zbiehať buď alebo menej, ak sa láva zbieha, čím sa vytvoria jej aktívne a viditeľné časti. Takže, rovnako ako pri numerických akčných radoch so sčítacími členmi, je ľahké dokázať, že rad konverguje

, potom rad ľahko konverguje tejto série, vytvorenej aktívnymi a explicitnými časťami série.

19.3.1.2.

Ak séria konverguje, potom súčet prebytku joga poHlavný účel -tý termín pragna na nulu pri.

Úplne úžasné. h Séria sa volá h.

, Doplnenie absolútnych hodnôt členov. A Takže, rovnako ako v prípade číselných radov so sčítacími členmi, možno dospieť k záveru, že vždy, keď rad konverguje, rad musí konvergovať. U) možno zložiť a odstrániť kus po kuse;.

Séria môže tiež konvergovať a jej súčet sa rovná

Ak sa členovia radu, ktoré sa spoja, zoskupia v dostatočnom poradí a zo súčtov členov každého páru okrúhlych ramien sa poskladá nový riadok, potom sa tento nový rad tiež zblíži a tento súčet bude podobný ako súčty výstupného riadku.

Ak rad konverguje a rad diverguje, rad sa nazýva intelektuálne konvergentný. A Takže, rovnako ako v prípade číselných radov so sčítacími členmi, možno dospieť k záveru, že vždy, keď rad konverguje, rad musí konvergovať. U Yakscho riadok (і) absolútne konvergujú k ich sumám.

Séria je séria s nezápornými členmi, aby ste preskúmali jej podobnosť, môžete poskladať všetky druhy znakov (napríklad teorém vyrovnávania s integrálnym Cauchyho znamienkom).

Chastkovi Krokové inštrukcie so zložitými členmi sa nazývajú niekoľko typov

de - Konštantné komplexné čísla (koeficienty radu), - pevné komplexné číslo (stred koeficientu). 19.4.1.1. Pre akúkoľvek číselnú hodnotu 19.4.1.1. Rad sa transformuje na číselný rad so zložitými členmi, ktoré buď konvergujú alebo divergujú.

Keď séria konverguje v bode

, potom sa tento bod nazýva bod konvergencie radu. Rad krokov obsahuje aspoň jeden bod konvergencie.

Súčet bodov konvergencie sa nazýva oblasť konvergencie radu. ;

Pokiaľ ide o statický rad s aktívnymi členmi, všetky informácie o statickom rade možno nájsť v Abelovej vete. 19.4.1.1. Abelova veta. Ak stavový rad presne konverguje, potom

1. musíme absolútne konvergovať v akomkoľvek bode 2. Ak sa tento rad rozchádza v určitom bode, potom sa musí rozchádzať v ktoromkoľvek bode, ktorý uspokojuje nerovnosti

(Toto ide ďalej ako bod nižšie). Dôkaz opakuje dôkaz sekcie doslovne 18.2.4.2. Dôkaz opakuje dôkaz sekcie doslovne Abelova veta Dôkaz opakuje dôkaz sekcie doslovne Týmto spôsobom sa séria zložitých členov bude zbiehať buď alebo menej, ak sa láva zbieha, čím sa vytvoria jej aktívne a viditeľné časti. pre množstvo aktívnych členov. Abelova veta odhaľuje pôvod takéhoto neviditeľného reálneho čísla R, takže séria absolútne konverguje v akomkoľvek vnútornom bode polomeru Dôkaz opakuje dôkaz sekcie doslovne so stredom v bode a rozbiehajú sa v ktoromkoľvek bode kruhu.

číslo

rádius blízkosti , farba-

čo najďalej ako je to možné

.

V bodoch kordónu tohto kolíka - kolík do polomeru so stredom v bode - séria môže konvergovať aj divergovať. V týchto bodoch sa objaví množstvo modulov. Možné sú nasledujúce udalosti: 1. Rad konverguje.

A tu, v ktoromkoľvek bode stávky, séria absolútne konverguje. 2. Rad sa rozchádza, ale jogo spiaci člen. A tu v niektorých bodoch stávky sa séria môže mentálne zblížiť, v iných sa potom rozísť. VV Dzyubo z 5 až 55 Pôvodný layout pripravený autorom Vlastnoručne podpísaný Formát 6 84/6 Papierový offset Písmo Časopis Typ účtu l, 6 Náklad 4 Podpis Pohľad na TGASU, 64, m Tomsk, Nám. Soljana, Nádrukovo z pôvodného rozvrhu v OOP TGASU 64, m Tomsk, st. Partizánska, 5

3 RAD S KOMPLEXNÝMI TERMINÁMI Číselný rad so zloženými pojmami Je potrebné pripomenúť, že komplexné čísla sa nazývajú čísla v tvare z = x y, kde x a y sú aktívne čísla a jednoznačne jednota, ktorá je označená rovnosťou = - Čísla x a y sa nazývajú jedinečné pre aktívne a zrejmé časti čísla z i znamená x = Rez, y = Imz Je zrejmé, že medzi bodmi M(x, y) roviny XOU s kartézskym ortogonálnym súradnicovým systémom a komplexnými číslami tvaru z = x y existuje vzájomne jedinečná identita Rovina XOU sa nazýva komplexná rovina a z sa nazýva rovinnosť bodu aktívne čísla predstavuje celú úsečku, ktorá sa nazýva aktívna os, a čísla v tvare z = y predstavujú celú ordinátu, ktorá sa nazýva explicitná os. Polárne súradnice bodu M(x, y) sú označené r a j , potom x = r cos j, y = r s j i číslo z môžeme zapísať v tvare: z = r (cosj sj), kde r = x y Tento tvar zápisu komplexného čísla sa nazýva trigonometrický, pričom z sa píše v tvare z = x y sa nazýva algebraická forma zápisu Číslo r sa nazýva modul čísla z, číslo j je argument (v bode z = chápanie argumentu sa nerozširuje) Modul čísla z je jednoznačne určený vzorcom z = x y Argument j je jednoznačne určený ďalší mozog - π < j π (или j < π), обозначается в этом случае arq z и называется главным значением аргумента

4 čísla z (obr.) Hodnota pamäťovej stopy, ktorá y arq z - π je vyjadrená prostredníctvom< arctg y x < π y arctg, при x r = z = x y М (x, y) j = arq z Рис x Если считать, что - π < arg z π, то y arg z = arctg, если х >, y;< ; х у arg z = -π arctg, если х <, y < ; х у arg z = π - arctg, если х <, y ; х π arg z =, если х =, y >x y arg z = -arctg, kde x>, y< Например, если z = - (х <, y >), 4

;

6 6 Kľúčové nutričné ​​teórie Stručné pohľady Význam série s komplexnými pojmami Koncepty série série Nevyhnutnosť mentálnej zložitosti Hodnoty ​​Nehay dané sekvenciou z ) = ( x y ) = z, z, z, komplexné čísla Symbol pre tvar ( å = z sa nazýva poradie, z podzemný člen radu Pojmy čiastkových súčtov v rade S, ich podobnosť a rozptyl sú vo všeobecnosti v súlade s podobnými pojmami pre rady s aktívnymi členmi Postupnosť čiastkových súčtov v rade vyzerá toto: S = z z Významy medzi postupnosťami komplexných čísel, ktoré sme našli, sa formálne nezväčšujú v závislosti od postupnosti aktívnych čísel: def (lm S = S) = (" ε > $ N > : > N Þ S; - S< ε) Как и в случае рядов с действительными членами, необходимым условием сходимости ряда å = z является стремление к

7 nula z-halal výrazu v rade pri Tse znamená, že ak je táto myseľ zničená, potom lm ​​z ¹, riadok sa rozchádza, keďže lm z =, výživa v rade je zbavená kreditu å (x = na ceste k Jennii x i å = na počte riadkov ? y, kde ?

8 Riešenia Rad å konvergovať, pretože k ~ = () () so Suma S je tento rad predchádzajúci (Kapitola, téma, p) Rad å konvergovať, keďže je nekonečne klesajúci geometrický = postupnosť, s čím å = () è S b = - q = konvergovať, і yogo sum V tomto poradí riadok S = Butt Row å divergovať, t divergovať = è!

harmonický rad å V tomto prípade postupujte podľa konvergencie - = rad pomsty å =!

Nedáva to zmysel Butt Row?

11 cosπ a riadok je å!!

=!< ряд будет расходиться, т к α π lm s ¹ Þ ряд å π s расходится, а это будет означать, что расходится и данный è = è ряд α π α π cost При α >zbiehajú za znakom D'Alembert Za znakom úrovne je rad? cosπ konvergovať? riadok ? =!

konvergovať absolútne cosπ =!

Spojenie úloh Postupujte podľa poradia riadkov 4: å;< = lm ряд сходится Это означает, что данный ряд сходится абсолютно Банк задач для самостоятельной работы Ряды 6 исследовать на сходимость å = è ; å = è π s! 5 ; å = è π s! 5 ; 4 å = è è - l) (; 5 å = - è π tg e ; 6 å = è l Ответы:, 6 расходятся;, 4, 5 сходятся

å(-) = è l l = è!

l å = π - cos и α tan π ;

4 å = и и;!< z Заметим, что и формулировка, и доказательство теоремы Абеля для рассмотренных ранее степенных рядов å aх ничем = не отличается от приведенной теоремы, но геометрическая иллюстрация теоремы Абеля разная Ряд å = условия х a х при выполнении х < будет сходиться на интервале - х, х) (рис), y (а для ряда с комплексными членами условие z z < означает, что ряд будет сходиться внутри круга радиуса z (рис 4) x x x - x z z x Рис Рис 4 7

Rozhodnutie?< R, ряд () сходится, а при всех z, для которых z >R, riadok () diverguje 4 Aká je oblasť konvergencie riadku ()?< R принадлежит кругу радиуса R, этот круг называют кругом сходимости ряда () Координаты точек М (х, у), соответствующих числам z = x y, попавшим в круг сходимости, будут удовлетворять неравенству x < y R Очевидно, круг сходимости ряда å a (z - z) имеет центр = уже не в начале координат, а в точке М (х, у), соответствующей числу z Координаты точек М (х, у), попавших в круг сходимости, будут удовлетворять неравенству (x - х) (y - у < R) 8

Ak R je polomer riadku (), potom bod z je neosobný pre ľubovoľné z< есть точки, в которых ряд сходится, и есть точки, в которых расходится Например, при z = будем иметь гармонический ряд å, который расходится, а при = z = - будем иметь ряд å (-), который сходится по теореме = Лейбница Пример Найти область сходимости ряда å z =! Решение! R = lm = lm () = Þ ряд сходится ()! на всей комплексной плоскости 9

19 5 Ako zistíte polomer polomeru a pomocou vzorcov R = lm a R = lm a aké je malé miesto pre statické rady s aktívnymi členmi?< R, будет сходиться абсолютно и равномерно Сумма S (z) степенного ряда с комплексными членами внутри круга сходимости обладает теми же свойствами, что и сумма S (x) степенного ряда å a х внутри интервала сходимости Свойства, о которых идет речь, рекомендуется = повторить 6 Ряд Тейлора функции комплексного переменного При изучении вопроса о разложении в степенной ряд функции f (x) действительного переменного было доказано, что если функция f (x) на интервале сходимости степенного ряда å a х представима в виде å f (x) = a х, то этот степенной ряд является ее рядом Тейлора, т е коэффициенты вычис- = = () f () ляются по формуле a =! Аналогичное утверждение имеет место и для функции f (z): если f (z) представима в виде f (z) = a a z a z

Je to možné, keďže medzi týmito hranicami sa zdá, že R =, čo znamená, že rad () konverguje iba v bode z = alebo z = z pre rad () Keď R = rad bude konvergovať v celej komplexnej rovine. Príklad Nájdite polomer konvergencie radu å z = a Rozhodnutie R = lm = lm = a Týmto spôsobom sa rad zbieha v strede polomeru kolíku Stupnica je stlačená k sebe, takže na hraniciach kolíka x y< R эта функция представима степенным рядом, т е å = f (z) = a (z - z), z - z < R -

20 Je zrejmé, že statické rady å = a x v strede svojho rozsahu konvergujú nielen absolútne, ale rovnomerne.

23 a funkcia e z je teraz definovaná pre všetky komplexné z, potom je prirodzené vziať ch z =, def z - z e def z - z e - e sh z = na celú komplexnú plochu: z -z k e - e z sh z = = hyperbolický sínus ;

(k)!

k = z - z k e e z ch z = = hyperbolický kosínus;

26, preto nie je možné vypočítať nivelačný znak pomocou rýchleho vzorca s = sh Potom å = å s sh = = Riadok å sh = nasleduje za znakom D'Alembert: - () - - sh () e - e e (e-e) e lm = lm = lm =< - - sh e - e e (- e) Таким образом, ряд å s = сходится Þ данный ряд сходится абсолютно Решение задач Число z = представить в тригонометрической и комплексной формах y π Решение r = =, tg j = = Þ j =, x 6 π 6 π π = cos s = e è 6 6 Найти область сходимости ряда å (8 -) (z) = Решение Составим ряд из абсолютных величин заданного ряда и найдем его радиус сходимости: a 8 - () () R = lm = lm = lm a =, 6

27 () pretože lm =, z modulov sa spoja 8 - = 8 = V tomto poradí riadok z< Данный ряд при этом же условии сходится, т е внутри круга радиуса с центром в точке при z >body kolíka z = -, budú konvergovať a poloha kruhu, t.j. rad bude divergovať: å 8 - = å = = tak, že daný rad v uzavretom kruhu bude konvergovať, čo znamená z konvergovať absolútne Bring že funkcia å z z e = periodická s periódou π (táto mocnina funkcie e z її je úplne iná =! od funkcie e x) Dôkaz rýchlosti periodickej funkcie a vzorca (6) Je potrebné previesť , kde z z e π = e, kde z = x y Ukážme, že je to tak: z π x y π x (y π) x (y e = e = e = e e x = e (cos(y π) s (y π)) = e Takže e z je periodická funkcia!) x π = (cos y s y ) = e x y = e z 7

28 4 Nájdite vzorec, ktorý spája čísla e, i a π Riešenie zápisu j komplexného čísla pomocou rýchleho zobrazovacieho tvaru: z = re Pre z = - matematicky r =, j = π i, takto π e = - () Deliteľný vzorec A napriek tomu, že výskyt čísla π v matematike, s výskytom ďalších dvoch nemá nič spoločné!

Vzorec () tiež ukazuje, že je zobrazená funkcia e z, pri dosadení funkcie ex môžeme získať záporné hodnoty e x 5 Nájdite súčet radu å cos x =!< (докажите по признаку Даламбера) сходится при Банк задач для самостоятельной работы Представить в тригонометрической и показательной формах числа z =, z = -, z = -, z = 4 Построить в декартовой системе координат точки, соответствующие заданным числам Записать в алгебраической и тригонометрической формах числа e π и Используя формулу z = r (cosj s j), вычислить () и (e π) 4 Исследовать на сходимость ряд å e = Ответ Ряд сходится абсолютно 5 Исследовать ряд å z на сходимость в точках = z = и z = 4 Ответ В точке z ряд сходится абсолютно, в точке z ряд расходится 9

30 6 Nájdite polomer R a tok radov 4 Pozorujte správanie sa radu na hraničných bodoch kružnice toku (v bodoch, ktoré ležia na kolíku) å!(z -) ;

å(z);

= = å () z = ();

4 å z = 9 Typy:) R =, rady konvergujú v bode z = - ;) R =, rady sa zbiehajú absolútne v uzavretom kruhu z so stredom v bode z = - alebo pre myseľ x (y) ;) R =, rad ísť absolútne v uzavretom kruhu z alebo pre myseľ x y;

4) R =, rad absolútne konverguje v uzavretej množine z alebo pre myseľ x y 9 7 Premeniť na rad rad funkciu f(x) = e x s x, () x vikoristicky rozložiť na rad funkciu e 8 Premeniť, tzv. že pre ľubovoľný komplex z matimut Pomocou vzorca: s z = s z cos z, s z cos z =, s (z π) = s z (použite Eulerove vzorce)

31 ZOZNAM ODPORÚČANEJ LITERATÚRY Hlavná literatúra Piskunov, NR Diferenciálny a integrálny počet pre vysoké školy / NR Piskunov TM: Veda, 8 C 86 9 Fikhtengolts, GM Základy matematickej analýzy / Séria GM Fikhtengolts / PN Vorobyov - 8 Petrohrad: St. z 4 Pismový, DP Poznámky z prednášky z vysokej matematiky P/DP Pismový M: Aires-press, 8 5 Vysoká matematika má práva a znalosti P/PE Danko, AG Popov, TY Kozhevnikova [ta in] M: ONIKS, 8 C Dopl. literatúra Kudryavtsev, LD Kurz matematickej analýzy / LD Kudryavtsev TM: škola Vishcha, 98 S Khabibullin, MV Komplexné čísla: metodické vloženia / MV Khabibullin Tomsk, TGASU, 9 6 z Moldavova, EA Séria a komplexná analýza: základná príručka / Є A Moldavova , AN Kharlamova, VA Kilin Tomsk: TPU, 9

Federálna agentúra pre informácie Štátna univerzita architektúry a stavebníctva v Tomsku

Federálna agentúra pre vzdelávanie MOSKVA ŠTÁTNA UNIVERZITA GEODÉZIE A KARTOGRAFIE (MIIGAIK O.V. Isakova L.A. Saykova M.D. Ulimzhiev ÚVODNÁ KNIHA PRE ŠTUDENTOV O SEBE

Téma Komplexný číselný rad Pozrime sa na číselný rad k ak s komplexnými číslami v tvare A rad sa nazýva podobný, pretože postupnosť jeho čiastočných súčtov S ak k k konverguje.

Keď hranica S postupnosť

MINISTERSTVO VZNIKU RUSKEJ FEDERÁCIE TEÓRIA FUNKCIÍ KOMPLEXNÉHO MINISTERSTVA Metodická príručka Administrátori: MDUlimzhiev LIINKHЄIVA IBYUMIV SZHYUMOVA Prehľad metodickej poz

8 Komplexný číselný rad Pozrime sa na číselný rad s komplexnými číslami tvaru k a, (46) de (a k) - daná číselná postupnosť so zloženými členmi k Rad (46) sa nazýva podobný, pretože

Prednášky pripravil doc. Musina MV Vaznachennya Viza pohľad Číselné a funkčné rady Číselné rady: základné pojmy (), nazývané číselný rad (alebo jednoducho výrok) Čísla, členovia radu.

Hutnícka fakulta Katedra vyššej matematiky ROZSAH Metodické pokyny Novokuzneck 5 Federálna agentúra pre osvetlenie Inštalácia štátneho osvetlenia pre vyššie profesionálne osvetlenie

Ministerstvo školstva a vedy Ruskej federácie Federálny štátny rozpočtový fond pre vyššie odborné vzdelávanie Novgorodská štátna univerzita pomenovaná po

Federálna agentúra pre vzdelávanie Federálne štátne vzdelávanie Zriadenie vyššieho odborného vzdelávania PIVDENNIY FEDERÁLNA UNIVERZITA R. M. Gavrilova, G. S. Kostetska metodička

Číselný rad Číselná postupnosť Definícia Číselná postupnosť je číselná funkcia vypočítaná z násobku prirodzených čísel x - konečný člen postupnosti x =, x =, x =, x =,

Federálna agentúra pre vzdelávanie Moskovská štátna univerzita geodézie a kartografie (MIIGAIK) METODICKÉ POKYNY A ÚLOHY PRE SAMOSTATNÚ PRÁCU PRE KURZ

METODICKÉ POKYNY PRED ÚLOHAMI ROZRAKHUNKOVIKH V KURZE MATEMATIKY VISCHKA „VÝZNAMNÁ DIFERENCIÁCIA RIVAL SÉRIE PODRIADKOVÉ INTEGRÁLY“ ČASŤ SH TÉMA SÉRIA

Federálna agentúra pre vzdelávanie Štátny počiatočný fond pre vyššie odborné vzdelávanie Novgorodská štátna univerzita pomenovaná po Yaroslavovi Múdry inštitút elektroniky

Ministerstvo školstva Bieloruskej republiky EE „Štátna technologická univerzita Vitebsk“ Téma.

Ministerstvo školstva a vedy Ruskej federácie Federálny štátny rozpočet Osvetlenie Zriadenie vyššieho odborného vzdelávania „Tomské štátne architektonické a stavebné inžinierstvo

Sgups Katedra vyššej matematiky Metodické doplnky k finalizácii štandardnej štruktúry „Seriál“ Novosibirsk 006 Akty teoretických informácií Číselný rad Nehaj u;

u;

u;

;

u;

є nespočetné numerické

MINISTERSTVO ŠKOLSTVA A VEDY RUSKEJ FEDERÁCIE KAZAN ŠTÁTNA ARCHITEKTONICKÁ A STAVEBNÍCKA UNIVERZITA KAPITOLY A ROZSAH FUNKCIÍ

PREDNÁŠKA N 7. Stupňovité riadky a Taylorove riadky..Stupňovité riadky.....Taylorov riadok.... 4.Dispozícia určitých elementárnych funkcií v Taylorovom a Maclaurinovom rade....Stupňové riadky

Téma modulu Funkčné postupnosti a riadky Sila rovnomerne rozložených postupností postupností a riadkov Krokové riadky Prednáška Význam funkčných postupností a riadkov Rovnomerne

BILORUSKÁ ŠTÁTNA UNIVERZITA EKONOMICKÁ FAKULTA KATEDRA EKONOMICKÝCH INFORMÁCIÍ A MATEMATICKEJ EKONOMIE Séria Poznámky a workshop pre študentov ekonómie

Ministerstvo školstva Ruskej federácie Uljanovská štátna technická univerzita NUMERICKÁ A FUNKČNÁ SÉRIA FURY Uljanovsk MDT 57(76) BBK 9 i 7 Ch-67 Recenzent Kandidát vied Fyzika-Mat

Ministerstvo školstva Ruskej federácie Uljanovská štátna technická univerzita NUMERICKÁ A FUNKČNÁ SÉRIA FURY Uljanovsk MDT 57(76) BBK 9 i 7 Ch-67 Recenzent Kandidát vied Fyzika-Mat

3724 SÉRIA VIACNÁSOBNÝCH A KRIVOKOVÝCH INTEGRÁLOV 1 PRACOVNÝ PROGRAM ROZDILIV „SÉRIA VIACNÁSOBNÝCH A KRIVKOVÝCH INTEGRÁLOV“ 11 Číselný rad Pochopenie číselného radu Mocnina čísel

Sekcia Rad Formálny záznam súčtu členov danej číselnej postupnosti Číselné rady sa nazývajú číselné rady Sumi S, nazývajú sa čiastkové súčty radu Ako medzi lim S, S potom rad

MINISTERSTVO ŠKOLSTVA A VEDY RUSKEJ FEDERÁCIE Národná štátna univerzita v Nižnom Novgorode pomenovaná po NI Lobačevského NP Semerikova AA Dubkov AA Charčeva

„Série“ Testy na samokontrolu Veta vyžaduje znak konvergencie pre rad Veta vyžaduje znak konvergencie Ak rad konverguje, potom lim + Existuje dostatočná intelektuálna diverzita pre rad Ak lim, potom rad diverguje

Ministerstvo školstva a vedy Ruskej federácie Ačinská pobočka Federálneho štátneho autonómneho vzdelávacieho zariadenia vyššieho odborného vzdelávania "Sibírska federálna univerzita" MATEMATIKA

(funkčný rad, mocninový rad, rozsah použiteľnosti, poradie nájdenia rozsahu - zadok, polomer, rozsah rozsahu zadku) Nech je špecifikovaná nekonečná postupnosť funkcií, Funkčné

Riadky Číselný rad Číselné pojmy Definícia Ak je každému prirodzenému číslu priradené číslo podľa zákona dňa, potom sa absencia očíslovaných čísel nazýva číselná postupnosť,

Ministerstvo školstva Ruskej federácie MATI - RUSKÁ ŠTÁTNA TECHNOLOGICKÁ UNIVERZITA im.

Prednáška 3 Taylorov a Maclaurinov rad Stav statických radov Rozširujúce funkcie v statických radoch Taylorov a Maclaurinov rad Pre doplnky je dôležité zahrnúť túto funkciu rozširovania do statických radov, túto funkciu

ŠTÁTNE ZRIADENIE ODBORNÉHO VZDELÁVANIA VISCHKA "BILORUSKÁ-RUSKÁ UNIVERZITA" Katedra "Vischa Mathematics" VISCHA MATEMATIKA MATEMATIKA MATEMATIKA

Numerické a štatistické rady Zamestnanosti.

Číselný rad.

Sumy sú nízke.

Ministerstvo školstva a vedy Ruskej federácie Federálny štátny rozpočet Osvetlenie Zriadenie vyššieho odborného vzdelávania „Tomské štátne architektonické a stavebné inžinierstvo

Známky nebezpečenstva. Vypočítajte sumu pre riadok.

6 Rozhodnutie.

Súčet členov nekonečnej geometrickej progresie q je staroveký, kde q je znak pokroku.

KAZAŇSKÁ ŠTÁTNA UNIVERZITA Katedra matematickej štatistiky NUMERICKÝ RAD Základná metodická učebnica KAZAN 008 Nadväzuje na rozhodnutia sekcie vedecko-metodickej pre potreby Kazanskej univerzity

Funkčný rad Súčet a oblasť funkčného radu Nehay v delení Δ reči alebo komplexných čísel je daná postupnosťou funkcií k (k 1 Funkčný rad je tzv.

Federálna agentúra pre vzdelávanie MOSKVA ŠTÁTNA UNIVERZITA GEODÉZY A KARTOGRAFIE (MIIGAIK) O. V. Isaková L. A. Sayková ZÁKLADNÁ PRÍRUČKA PRE ŠTUDENTOV PRE SAMOSTATNÝ RAST

Mocninný rad a a a Rad tvaru a a a a () nazývame statický, de, a, stacionárny, nazývame koeficienty radu.

Prednáška N34.

Čísla so zložitými pojmami.

Rad nôh v zložitom galuzu.

Analytické funkcie.

Hradlové funkcie...číselné rady s komplexnými pojmami.....krokové rady v komplexnej doméne....

Možnosť: Vypočítajte hodnoty funkcie dátumu v algebraickom tvare: a sh ;

b l Riešenie a Vzorec slúži na urýchlenie spojenia medzi trigonometrickým sínusom a hyperbolickým sínusom: ;

Ministerstvo školstva a vedy Ruskej federácie Federálny štátny rozpočet Osvetlenie Zriadenie vyššieho odborného vzdelávania „Tomské štátne architektonické a stavebné inžinierstvo

sh -s Nemožno odmietnuť

Federálna agentúra pre vzdelávanie Štátne osvetlenie Inštalácia vyššieho odborného vzdelávania Štátna technická univerzita Ukhta KOMPLEXNÉ ČÍSLA Metodické doplnky

MINISTERSTVO ŠKOLSTVA A VEDY RUSKÉHO FEDERÁLNEHO ENERGETICKÉHO ROZPOČTOVÉHO INŠTITÚCIE PRE ODBORNÉ VZDELÁVANIE VISCH "ŠTÁTNE TECHNICKÉ CENTRUM SAMARA"

Symbol mysle W 1 + W 2 +…+ W Hlavný účel +…= (1), de W Hlavný účel = u Hlavný účel + a· v Hlavný účel (Hlavný účel = 1, 2, …) nazývajú sa komplexné čísla (postupnosti komplexných čísel). poradie komplexných čísel.

čísla W Hlavný účel (Hlavný účel = 1, 2, …) sa volajú členovia z, člen W Hlavný účel Týmto spôsobom sa séria zložitých členov bude zbiehať buď alebo menej, ak sa láva zbieha, čím sa vytvoria jej aktívne a viditeľné časti. spiaci člen v rade.

Čísla myslia - Zaznamenajte myseľ. Hlavný účel = W 1 + W 2 +…+ W Hlavný účel (2) (Hlavný účel = 1, 2, …) , sa volajú súkromné ​​sumy v rade (1).

Kintsevove nekonečné hranice - Zaznamenajte myseľ. sekvencie - Zaznamenajte myseľ. Hlavný účel Týmto spôsobom sa séria zložitých členov bude zbiehať buď alebo menej, ak sa láva zbieha, čím sa vytvoria jej aktívne a viditeľné časti. v koho rade.

Aká je hranica - Zaznamenajte myseľ. terminál, potom sa riadok zavolá podobný keďže hranica je nekonečná alebo vôbec neexistuje, potom séria rozbіzhniy.

Yakshcho - Zaznamenajte myseľ. súčet riadok (1), potom napíšte
.

Poďme
, A
. σ Hlavný účel = u 1 + u 2 +…+ u Hlavný účel , τ Hlavný účel = v 1 + v 2 +…+ v Hlavný účel Samozrejme
(- Zaznamenajte myseľ..
і
Ako vieme, žiarlivosť і absolútne) ekvivalentné dvom rovnosti

. Tiež podobnosť riadku (1) je ekvivalentná podobnosti dvoch rečových radov:

.Hlavný účel > Preto sa na zložitých radoch, ktoré sa zbiehajú, rozširujú základné mocniny podobných číselných radov.Napríklad pre komplexné série je platným Cauchyho kritériom:rad (1) konvergovať buď alebo nie, ak pre niekoho, čo pre každého.

N a byť-kýmW Hlavný účel → 0 .

p = 1, 2, … pripočíta sa nerovnosť і Z tohto kritéria vyplýva nevyhnutný znak podobnosti so sériou:- Zaznamenajte myseľ.іna to, aby rad (1) konvergoval, je potrebný a postačujúci pre jeho spoločný členTakéto mocenské rady sú dostatočné na to, aby sa zblížili:
і
yakscho riadok- Zaznamenajte myseľ. ± na to, aby rad (1) konvergoval, je potrebný a postačujúci pre jeho spoločný členі λ·- Zaznamenajte myseľ. .

konvergujú k ich sumám

d , potom veslujte Na tomto základe existuje jeden zo spôsobov, ako skúmať hodnotu radov s komplexnými členmi. zadok.
(2).

konvergovať každý deň v súčte

Absolútne podobný rad komplexných čísel.

Rad komplexných čísel

(1) tzv
Veta.

Kozhen celý rad (1) komplexných čísel konverguje. Hlavný účel > Preto sa na zložitých radoch, ktoré sa zbiehajú, rozširujú základné mocniny podobných číselných radov.і Dokončené. Je zrejmé, že stačí, aby sme zistili, že séria je v súlade s Cauchyho kritériom pre podobnosť série.
Vezmime si to aj tak

.
Prostredníctvom absolútnej konvergencie radu (1) konverguje rad (2). Hlavný účel > Preto sa na zložitých radoch, ktoré sa zbiehajú, rozširujú základné mocniny podobných číselných radov.і rad (1) konvergovať buď alebo nie, ak pre niekoho=1,2,… K tomu v prospech

konvergovať každý deň v súčte

, čo do pekla p = 1,2, ... vznikne nepokoj , pivoW Hlavný účel = u Hlavný účel + a· v Hlavný účel (Hlavný účel = 1, 2,…).

, a potom prichádza čoraz väčší nepokoj

z akéhokoľvek dôvodu

(5)

Pre sériu (1) sa tiež riadi Cauchyho kritériom použiteľnosti komplexnej série. Preto rad (1) konverguje.
і
Veta je pravdivá.
S cieľom získať rad komplexných čísel

(1) keďže je absolútne podobný, je potrebné a postačujúce, aby rečový rad absolútne konvergoval(3) to
.

Potom z pravej strany nerovnosti (5) konverguje rad (2). Séria (1) je absolútne konvergentná. Taktiež absolútna podobnosť komplexného radu (1) je ekvivalentná absolútnej podobnosti rečového číselného radu (3) a (4).

Preto na komplexných radoch, ktoré absolútne konvergujú, sa všetky základné mocniny reči rozširujú absolútne podobné číselné rady.

Takže pre komplexný rad, ktorý je absolútne konvergentný, platí veta o permutácii jeho členov.
preskupenie členov v rade, ktoré je absolútne správne, nepridáva súčet riadku. < 1 , то ряд (1) абсолютно сходится, если .Na stanovenie absolútnej kompatibility komplexného radu je možné stagnovať ako znak primeranosti pozitívneho radu..

Cauchy znamenie.

Nechajte riadok (1) spadnúť medzi čiary
, potom. < 1 этот ряд абсолютно сходится, а если .q

zavolajte to do radu a napíšte to

>1, potom séria (1) diverguje
Sign d'Alembert.
.

Pre rad (1) komplexných čísel existuje hranica
.
=
=
.

, potom, keď

> 1, potom sa rad rozchádza.

Sledujte absolútnu hodnotu série

, tu Vieme No, na konvergenciu je to úplne príliš nízke. Absolútne podobné série sa dajú znásobiť. Tvir je úplne podobný seriálu, takže choďte - konvergujte. Dve podobné veci sa môžu rozchádzať.

Štandardnými metódami skončili v tmavom kúte s červovým zadkom.

Kto čelí ťažkostiam a kde môže byť problém?

Zabime umytý motor, pokojne analyzujme dôvody a uvedomme si praktické riešenia. : vo väčšine prípadov je na preskúmanie rýchlosti série potrebné použiť nejakú známu metódu, inak je skrytý člen série napchaný záludnou náplňou, z ktorej nie je vôbec zrejmé, čo s ňou robiť. No, na konvergenciu je to úplne príliš nízke.. Za všetko v prvom semestri vytrasiete dušu na dôkaz na 1-2-3 stranách, no zároveň to stačí na preukázanie nevídanej inteligencie, ktorú séria vyžaduje, s odvolaním sa na fakty.

Vidomi?

Ak študent nevie, že koreňová fáza je veľmi ťažká vec, potom, povedzme, láska

dajte Yogo na tmavé miesto.

Chcem riešenie, napríklad dve z dvoch: potom. Z rozumných dôvodov sa rady rozchádzajú. Skromný komentár k „údajom medzi dvoma zisteniami v teórii“ (alebo vlastne všeobecne) by mal byť na tento účel úplne odstránený, prostredníctvom tabuliek by sa dôležité veci mali vysvetliť a umiestniť presne nie pred rozdelenie číselného radu. A po zaskrutkovaní najbližších zadkov budete ohromení len konzistenciou a jasnosťou bohatých riešení:

zadok 1

Sledujte priebeh riadku

rozhodnutie

: persh pre vsetko overene Vikonanny

dajte Yogo na tmavé miesto.

Chcem riešenie, napríklad dve z dvoch: potom. nevyhnutné známky nebezpečenstva

.

Toto nie je formalita, ale zázračná šanca zbaviť sa zadku „malou krvou“.

„Rozhliadnuť sa na mieste“ naznačuje myšlienku o rade, ktorý sa líši (typ zaobleného harmonického radu), ale opäť vyvstáva problém výživy, ako získate logaritmus z čítačky čísel? Navrhnite obrázky pre lekciu. Nie je nezvyčajné, ak musíte vykonať obojsmerný (alebo dokonca trojcestný) proces: zadok 6 – : od začiatku pozorne rozumieme gýču chrumkača čísel Sekvencia – obklopená: . Todi:

Aktualizujeme náš riadok z objednávky. Kvôli starostlivo odstránenej základnej nerovnosti bude pre všetky „en“ napísané: Teraz vyrovnáme rad s harmonickým radom, ktorý sa rozbieha.

Výstrel transparentu menej zástava výstrelu, že

Sám Drib

viac

zlomky (zapíšte si niekoľko prvých slov, ak to nie je jasné).

dajte Yogo na tmavé miesto.

Chcem riešenie, napríklad dve z dvoch: potom. Týmto spôsobom pre akékoľvek „sk“:

No, za značkou úrovne je rad rozchádzať sa Vyrovnajme náš rad s podobným radom. V hodine výpočtu medzi vikorystmi Chudova hranica , de yak nekonečne malého rozsahu

objaví sa: konvergovať

naraz z pokynov.
Namiesto vloženia štandardného kusu do techniky násobenia a „trojitého“ rozdelenia bolo možné okamžite vykonať vyrovnanie s ďalším.

Bohužiaľ, nie je tu žiadne varovanie, že konštantný multiplikátor člena halal sa pripojí k sérii.

dajte Yogo na tmavé miesto.

A dizajn pažby je navrhnutý v tomto štýle:

zadok 8

dajte Yogo na tmavé miesto.

Chcem riešenie, napríklad dve z dvoch: potom. Pozrime sa na lekciu. Zadok 9: na predných zadkoch máme kĺby okolo sínusovej oblasti, ale infekcia predstavuje silu hry. Banner výstrelu veľkosti rastie v poriadku

, Čo je to číslo cruncher, potom s argumentom sínus a celý zložený výraz neuveriteľne malý .

Psychická húževnatosť je nevyhnutná, ako si viete predstaviť, čo nám neumožňuje uniknúť práci.

Rekogníciu vykonáme: potvrďte do

zázračná rovnocennosť .

, myšlienky sa pridajú k sínusu a riadok sa odstráni. Kvôli starostlivo odstránenej základnej nerovnosti bude pre všetky „en“ napísané: Teraz vyrovnáme rad s harmonickým radom, ktorý sa rozbieha.

Dobre teda...

dajte Yogo na tmavé miesto.

Robíme rozhodnutie:

Sledujeme riadok po riadku, aby sme sa rozchádzali. Vikoristov hraničný znak vyrovnania: Zameniteľne nekonečne malý ekvivalent: s

Koncové číslo bolo odstránené, odstránené od nuly a potom bola odstránená nasledujúca séria

dajte Yogo na tmavé miesto.
.

Chcem riešenie, napríklad dve z dvoch: potom. Zadok 10


Toto je príklad nezávislého rozhodnutia. Kvôli starostlivo odstránenej základnej nerovnosti bude pre všetky „en“ napísané: Pre plánovanie ďalších akcií v takýchto zadkoch je veľmi užitočné jasne definovať sínus, arksínus, tangens a arkustangens.

Pamätajte, že takáto možnosť trvá len nekonečne malý

argumentov, nedávno sa objavila provokatívna séria:

dajte Yogo na tmavé miesto.

Zadok 11

: tu je ľahké použiť zámenu arkustangens a ekvivalencia tiež nefunguje prekvapivo jednoducho:

Ďalší riadok objaví sa:.

, pretože potrebný znak blízkosti k sérii nie je uvedený. Ďalší dôvod Pre nositeľa čísla a nositeľa znamenia nie je vôbec ťažké trpieť a otvárať náruč.

Zadok 13

dajte Yogo na tmavé miesto.

Zviera je už vzácne, no je uväznené a bolo by nespravodlivé ignorovať ho objektívom fotoaparátu.

Čo je to faktoriál s dvojitým znakom krupobitia?

Faktoriál „navíja“ zisky kladných čísel:

Podobne faktoriál „ukončí“ sčítanie kladných nepárových čísel:

Analyzujte, kto je za to zodpovedný

dajte Yogo na tmavé miesto.

zadok 14 A na tomto skrytom mieste sa snaž nestratiť v krokoch,і obludné ekvivalencie.

obludné hranice

Vyriešte slová a príklady lekcie.

Študent sa však nakŕmi rovnako ako tigre - leopardy tiež poznajú svoje spôsoby:

dajte Yogo na tmavé miesto.

Chcem riešenie, napríklad dve z dvoch: potom. Zadok 15 : prakticky mittevo spadá do nevyhnutného znaku konvergencie, hraničného znaku, d’Alembertových a Cauchyho znakov. Ale je to najväčšie, bezmocné znamenie, ktoré nás opakovane zachránilo od našich úzkostí. Je pravda, že nie je možné zosúladiť sa so samostatnou objednávkou kvôli nestabilite

nesprávne - logaritmický násobiteľ iba zväčšuje znamienko zmenou samotného zlomku podľa pomeru k zlomku. І iná globálna výživa: prečo sme od začiatku spievali, že náš rad Je povinné divergovať a kto musí byť zarovnaný s akýmkoľvek druhom divergentného radu?

Rozmýšľali ste nad tým, že by ste sa dali dokopy? Integrálny znak? Nevlasný integrál:

vyvoláva smútočnú náladu. Z Yakbi je v nás rad... tak potom.

Stop! Takto sa nápady stávajú populárnymi. Rozhodujeme sa v dvoch termínoch:

1) Spočiatku môžeme sledovať sériu .

, myšlienky sa pridajú k sínusu a riadok sa odstráni. Kvôli starostlivo odstránenej základnej nerovnosti bude pre všetky „en“ napísané: Vikoristovuyemo .

integrálny znak

Funkcia Pіdіntegralnaya

neprerušovaný

dajte Yogo na tmavé miesto.

na

Týmto spôsobom riadkujte

dajte Yogo na tmavé miesto.

Chcem riešenie, napríklad dve z dvoch: potom. divergujú súčasne od podobného nemocninového integrálu. 2) Vyrovnáme náš rad so susedným radom:

. Vikoristov hraničný znak vyrovnania:

spolu s objednávkou

Porovnávame dátumy vedľa ďalšieho, na čo ísť.

Vikoristov hraničný znak vyrovnania:

, myšlienky sa pridajú k sínusu a riadok sa odstráni. objaví sa: konvergovať

Vynásobte a vydeľte výsledným výrazom:

Je možné, že v posledných rokoch boli na našom africkom safari nejaké hviezdy?

dajte Yogo na tmavé miesto.

neviem. Asi to doručili.

Vstúpim na trofejnú kožu, aby som ťa dostal: Zadok 18 Riešenie edukačnej hodiny na konci hodiny A poviem vám ešte jednu myšlienku, ktorú má učiteľ pre bohatých študentov: a prečo nie vikoristovať vzácnejší znak príbuzenstva v seriáli

?

dajte Yogo na tmavé miesto.

Chcem riešenie, napríklad dve z dvoch: potom. Raabeho znak, Ábelov znak, Gausov znak, Dirichletov znak a iné neviditeľné živočíchy. Myšlienka funguje, ale v reálnych aplikáciách je dokonca zriedkavá.:

Najmä za všetky roky praxe som sa presadil až

znamenie Raabe

keby nič naozaj nepomohlo štandardnému arzenálu.

Zhrniem priebeh môjho extrémneho hľadania:

Zadok 19

: Bez akýchkoľvek pochybností je d'Alembertov znak pod hodinou na výpočet aktívnej vikoristickej sily krokov, ako aj
sumi kamarát Chudov hranica
Osi raz. Kvôli starostlivo odstránenej základnej nerovnosti bude pre všetky „en“ napísané: D'Alembertovo znamenie neprinieslo žiadne výsledky, aj keď sa nič také nezdalo.
Keď som prešiel dôkazom, viem, že v teórii je malý rozdiel medzi a silným radikálnym Cauchyho znakom: objaví sa: Os sú dve.
A úprimne povedané, nie je mi vôbec jasné, že séria sa zbližuje a rozchádza (pre mňa mimoriadne zriedkavá situácia). Potrebujete značku na čistenie?.

Bez zvláštnych nádejí určite poradím podľa poradia rastu čísla a znaku, ale to ešte nezaručuje vínne záhrady.


Povniy d'Alembert, ale naigirshe, takže treba pridať riadok. Požadovaný. Bude to naozaj hanba, ak to vzdám. A potom mi napadlo, že by sa mohli objaviť nejaké ďalšie silné znaky.

Mal som šancu vrátiť sa k ruskej ľudovej múdrosti: Ak nič nepomôže, prečítajte si pokyny.