Teori fungsi satu perubahan. Analisis matematika. Teori fungsi satu perubahan teori Matan 1 semester

A.V. Glasko

KULIAH dari analisis matematis

"FUNGSI DASAR I INTERIOR"

Moskow, MSTU im. Bukan. Bauman

1. Simbolisme logika.

Saat menulis virus matematika, kita akan menggunakan simbol logika berikut:

	nilai		nilai
			Untuk menjadi seperti, untuk menjadi seperti, untuk semua (lihat
			Snu, tahu, (ada)
			Tyagne, meluncur (keluar)
			Setara, todi dan tilki todi,
			perlu dan cukup
Jadi, jika A dan B be-yaky mencintai, maka

			nilai
			A chi B (abo A abo B, abo A B)
			Untuk menjadi seperti x maє tikus A
			Isnuє x, untuk setiap ma mіsce A
			Z A geser B (jika benar A, maka benar B)
(Іmplіkatsіya)
			A setara dengan B, A maє tikus todi dan hanya todі, jika maє mіsce B,
			untuk Dalam perlu dan cukup A
	Menghormati. "A B" berarti bahwa untuk B menyelesaikan A, dan untuk A perlu B.

Pantat. (X = 1) => (x2 -3x + 2 = 0) => ((x = 1) (x = 2)).

Dalam beberapa kasus, kita akan menggunakan satu simbol khusus: A = df B.

Vin berarti, scho A = B untuk nilainya.

2. Tanpa lichi. Elemen dan bagian dari yang tak bernyawa.

Memahami banyak adalah hal pertama yang harus dipahami, karena itu tidak datang dari hal-hal sederhana. Kata-kata: sukupnist, keluarga, typ - sinonim yogo.

Tambahkan banyak: tanpa siswa di kelas, tanpa siswa di departemen, tanpa mobil di tempat parkir dan masuk.

Saksi pertama juga saksi tanpa elemen vіdnosini

elemen mіzh tanpa lіch.

Pantat. N - tidak ada bilangan asli, di mana elemen adalah angka 1,2,3, ... Jika x dan y adalah elemen N, maka bau busuk ditemukan di salah satu langkah berikut: x = y, x pada.

Kita akrab dengan yang tidak berarti dengan huruf besar: A, B, C, X, Y, ..., dan unsur-unsurnya adalah malimi: a, b, c, x, y, ...

Elemen atau bentuk jamak Vіdnosini mіzh diwakili oleh simbol yang disisipkan dengan huruf. Maju. Nekhai A adalah deyakiy bezl_ch. Todi vidnoshennya a A artinya, siapa a adalah elemen tanpa A.

Anda tidak dapat meminta apa-apa dengan cara yang berbeda... 1. Pererahuvannyam unsur yogo.

Misalnya, A = (a, b, c, d), B = (1, 7, 10)

2. Kekuatan elemen Vkaz_vkoyu. Nekhai A - elemen bezlich a, yang akan memberi daya pada r. Harga dapat ditulis di viewer: A = (a:p) atau A = (ap).

Misalnya, penulisan A = (x: (x R) (x2 -1> 0)) berarti A tidak memiliki bilangan yang valid, yang senang dengan ketidakteraturan x2 -1> 0.

Masukkan sejumlah nilai penting.

Def. Bezlich disebut Kintsev, karena merupakan jumlah elemen tunggal. Pertama-tama, itu tidak disebut tanpa akhir.

Misalnya, kurangnya siswa di kelas tidak seperti biasanya, dan kurangnya bilangan asli atau jumlah titik di tengah tidak ada habisnya.

Def. Bezlich, bagaimana tidak membalas dendam pada elemen yang diinginkan, disebut kosong dan dikenal.

Def. Dua yang putus asa disebut rivnim, karena bau disimpan dari satu dan sama

Artinya, pemahaman yang tak berdaya tidak mampu menghormati urutan berlalunya unsur-unsur. Def. Bezlich X disebut sub-multiplisitas Y, seolah-olah itu adalah elemen dari X yang tidak berdaya elemen dari multiplisitas Y

elemen Y elemen X). Saat tsyom vikoristovutsya artinya : X Y.

Misalnya, tanpa jeruk O dengan banyaknya buah F: O F, dan tanpa bilangan asli N dengan banyaknya bilangan R: N R.

Simbol "" i "" disebut simbol inklusi. Vvazhayut, scho tanpa kulit untuk diriku sendiri. Kosong banyak menjadi banyak.

Def. Jadilah seperti pidmzhina kosong Dalam tanpa A, tidak sama dengan A, disebut

Mari kita menyingkir.

3. Diagram Euler-Venn. Operasi dasar pada kelipatan.

Tidak mungkin untuk memvisualisasikannya secara grafis dengan tangan, saat melihat area di alun-alun. Pada saat yang sama, kami mengandalkan rasa hormat, sehingga titik-titik wilayah sesuai dengan elemen banyak. Pernyataan grafis seperti itu disebut diagram Euler-Venn.

Pantat. A - tanpa siswa di Universitas Teknik Negeri Moskow, B - tanpa siswa di dalam kelas. Kecil. 1 mendemonstrasikan dengan tujuan A B.

Diagram Euler-Venn secara manual vikoristovuvati untuk gambar ilmiah sekolah dasar operasi pada kelipatan... Sebelum operasi utama, ini adalah sebagai berikut.

Kecil. 1. Dasar dari diagram Euler-Venn.

1. Overreturn A B himpunan A dan B disebut himpunan C, yang dapat disimpan dari semua elemen, tetapi satu jam tumpang tindih dengan himpunan A dan B:

C = A B = df (z: (z A) (z B))

(Pada Gambar 2, tidak ada C yang diwakili oleh area yang diarsir).

Kecil. 2. Peretin mnogozhin.

2.Menambahkan A B ke himpunan A dan B disebut himpunan C, yang disimpan dari semua elemen, sehingga ada keinginan untuk memiliki satu himpunan A dan B.

C = A B = df (z: (z A) (z B))

(Pada Gambar 3, tidak ada C yang diwakili oleh area yang diarsir).

Kecil. 3. Ob'dnannya jamak.

Kecil. 4. Riznitsya jamak.

3. Selisih A \ B dari himpunan A dan B disebut himpunan C, yang dapat ditumpuk dengan elemen, yang dapat tanpa A, atau tidak tanpa B:

A \ B = (z: (z A) (z B))

(Pada Gambar. 4, bezl_ch C diwakili oleh wilayah yang diisi dengan warna zhovty).

4. Himpunan angka yang valid.

Biar bangun tanpa kata kata (aksi) angka R. tanpa bilangan asli, Yake adalah peringkat ofensif yang signifikan. Dalam kualitas elemen pertama, angka n = 1. Elemen serangan kulit akan dipangkas terlebih dahulu dari jumlah unit:

N = (1, 1 + 1, (1 + 1) +1, ...) = (1, 2, 3, ..., n, ...).

N = (-1, -2, -3, ..., -n, ...).

Tanpa bilangan bulat Z Ini berarti bahwa ada tiga multiplisitas: N, -N dan tanpa, di mana harus disimpan dari satu elemen - nol:

Tanpa nomor ras apa pun, ini penting karena tanpa sejumlah nomor berbeda:

Q = (xx = m / n; m, n Z, n 0).

Jelas, N Z Q.

Tampaknya, bilangan rasional kulit dapat ditulis dalam pandangan aksi tanpa akhir atau pecahan periodik yang belum selesai. Berapa banyak bilangan rasional yang ada untuk definisi semua nilai yang dapat diciptakan ketika kita dibangunkan? Sudah di Yunani Kuno, terbukti bodoh sepeda roda tiga persegi panjang Dengan kaki, orang tidak dapat membayangkan nomor rasial dalam pandangan sisi miring. Dengan peringkat seperti itu, kita tidak dapat ditampung tanpa bilangan rasional. Perlu untuk memperluas pemahaman tentang angka. Perluasan untuk mencapai input tanpa bilangan irasional J, sesederhana mislity seperti tanpa semua lusinan pecahan yang tidak berulang tanpa akhir.

Penjumlahan himpunan bilangan rasional dan rasional disebut

tanpa tindakan (ucapan) nomor R: R = Q Y.

Dalam beberapa kasus, dimungkinkan untuk melihat rentang angka R tak terbatas yang lebih luas, lebih masuk akal

Tampilkan angka secara manual dengan titik pada sumbu angka.

Def. Tampilan numerik disebut lurus, di mana telinga ditunjukkan, skala langsung ditampilkan.

Antara angka dan titik sumbu numerik, jawabannya tidak ambigu: apakah ada nomor material yang ditampilkan, satu titik sumbu numerik dan navpaki.

Aksioma bilangan tak terputus-putus Jika ingin dibias boule tidak kosong A = (a) R B = (b) R jadi, untuk setiap a b akan terlihat ketidakmampuan a b, diketahui ada bilangan cR juga di mana a c b (Gbr. 5).

Gambar 5. Ilustrasi aksioma penggunaan angka tak berarti.

5. Beberapa nomor. Tentang.

Def. secara numerik tanpa disebut be-yak pіdnіlіchі R. Nayvazhіvіnіnіі tidak akan: N, Z, Q, J, serta

unduh: (x R | a x b),

interval: (a, b) (x R | a x b), (,) = R

interval: (x R | a x b),

(X R | x b).

Saya akan berperan dalam analisis matematis mata mata titik sumbu numerik.

Def. -ketetanggaan titik x 0 disebut interval hingga 2 dengan pusat di titik x 0 (Gbr. 6):

u (x 0) (x 0, x 0).

Kecil. 6. Dekat titik.

Def. Tetangga titik yang tertusuk disebut ketetanggaan pusat titik,

titik x 0 itu sendiri diaktifkan (gbr. 7):

u (x 0) u (x 0) \ (x 0) (x 0, x 0) (x 0, x 0).

Kecil. 7. Tusukan di dekat titik.

Def. Tangan kanan -tetangga titik x0 disebut interval napiv

u (x 0), rentang nilai: E = [-π / 2, / 2].

Kecil. 11. Grafik fungsi y arcsin x.

Diperkenalkan sekarang mengerti fungsi lipat (komposisi gambar). Misalkan diberikan tiga gambar impulsif D, E, M dan misalkan f: D → E, g: E → M. Jelas, dimungkinkan untuk membuat gambar baru h: D → M, yang disebut gambar komposit f dan g, atau fungsi lipat (Gbr. 12).

Fungsi lipat disebut pangkat ofensif: z = h (x) = g (f (x)) atau h = f o g.

Kecil. 12. Ilustrasi untuk memahami fungsi lipat.

Fungsi f(x) disebut fungsi internal, Dan fungsi g (y) - fungsi baru.

1. Fungsi internal f (x) = x², nilai g (y) sin y. Fungsi lipat z = g (f (x)) = sin (x²)

2. Sekarang navpaki. Fungsi internal f (x) = sinx, nilai g (y) y 2.u = f (g (x)) = sin² (x)

Biar nilainya berubah x n menerima nilai abadi yang tidak terbatas

x 1 , x 2 , ..., x n , ..., (1)

dan mengapa hukum perubahan perubahan x n, Tobto untuk nomor alami kulit n dapat ditentukan x n... Dalam peringkat seperti itu, dimungkinkan untuk mentransfer x n fungsi dari n:

x n = F(n)

Tentu saja, salah satu yang paling penting untuk memahami analisis matematis adalah garis antara yang terakhir, atau, yah, sama, antara besaran yang berbeda. x n, Coba yang terakhir x 1 , x 2 , ..., x n , ... . .

Viznachennya. nomor berapa saja A disebut perbatasan x 1 , x 2 , ..., x n , ... . untuk batas musim dingin x n, Untuk yak, untuk bilangan positif kecil yang tepat e, ada juga bilangan asli n(Nomor Tobto n), x n, memperbaikinya x n, dilihat dari A pada nilai mutlak kurang, lebih rendah e. nilai yang diberikan singkat tulis seperti ini:

| x n - A |< (2)

sama sekali n  n, Abo, apa itu sama,

Viznachennya antara menurut Koshi... Bilangan A disebut batas fungsi f (x) di titik a, karena fungsi ditunjuk dalam kasus titik a di belakang sketsa, mungkin titik a itu sendiri, untuk kulit > 0 nuє > 0 juga, untuk semua x, harap diingat | x - a |< δ, x ≠ a, выполняется неравенство |f (x) – A| < ε.

Viznachennya antara Heine... Bilangan A disebut batas fungsi f (x) di titik a, karena fungsi tersebut ditunjuk dalam aksi di dekat titik a di belakang sketsa, mungkin, titik a itu sendiri, dan untuk apakah itu konvergen ke bilangan a, kemungkinan nilai fungsi konvergen ke bilangan A.

Karena fungsi f(x) terletak di titik a, maka garisnya berada di antara.

Bilangan A 1 disebut fungsi batas f(x) evil di titik a, jika untuk skin > 0 >

Bilangan A 2 disebut fungsi batas f(x) di sebelah kanan titik a, jika untuk skin > 0 snuє > 0 juga, untuk semuanya terdapat ketidaktepatan

Antara kejahatan yang dimaksud antara orang yang tidak kidal - Bilangan bulat mencirikan perilaku fungsi orang jahat dan orang yang tidak kidal dari titik a. sering disebut garis satu sisi. Di satu sisi yang ditunjuk antara di x → 0, Anda ingin menghilangkan nol pertama: i. Jadi, untuk fungsi

Juga untuk kulit > 0 seperti -okіl titik a, tetapi untuk semua x, yang dipenuhi dengan | x - a |< δ, x ≠ a, выполняется неравенство |f (x)| >, maka tampak bahwa fungsi f(x) memiliki batas tak terbatas di titik a:

Jadi, fungsi tersebut berada di titik x = 0 dengan batas tak terbatas. Jadi,

Bahkan untuk skin ε> 0 sny juga > 0, tapi untuk setiap x> tidak jelas | f (x) - A |< ε, то говорят, что предел функции f (x) при x, стремящемся к плюс бесконечности, равен A:

Teorema tentang definisi batas atas yang tepat

nilai: R mR, m - bagian atas (bawah) wajah Anda, ketika Anda melakukan (semua).

nilai: Bezlich A dikelilingi oleh atas (bawah), seperti snu take m, scho аА, vikonutsya аm (аm).

nilai: SupA = m, di mana 1) m adalah supremum dari A

2) m ': m' m "bukan batas atas A

InfA = n, di mana 1) n adalah tepi bawah A

2) n ': n'> n => n "bukanlah batas bawah dari A

nilai: SupA = m adalah bilangan, sebagai berikut: 1) aA am

2) > 0 a A, juga a-

InfA = n adalah bilangan, sebagai berikut: 1) 1) aA an

2) > 0 a A, juga a E a +

dalil: Be-yake, neporozhnє dikelilingi dari atas tanpa lich R, memiliki tepi atas yang tepat, dengan hanya satu.

Terkirim:

Mari kita bergerak pada garis lurus numerik angka m dan batas atas A.

[M] = max ([a]: aA) [[m], [m] +1] A => [m] +1 adalah tepi atas A

ок [[m], [m] +1] - dibagi menjadi 10 bagian

m 1 = maks: aA)]

m 2 = maks, m 1: aA)]

m k = maks, m 1 ... m K-1: aA)]

[[M], m 1 ... m K, [m], m 1 ... m K + 1/10 K] A => [m], m 1 ... m K + 1 / 10 K - tepi atas A

Diperdebatkan, m = [m], m 1 ... m K adalah batas atas yang tepat dan wona din:

kk :)