Як знаходити спільне кратне. Як знайти найменше загальне кратне чисел. Знаходження шляхом розкладання на множники

Розглянемо три способи знаходження найменшого загального кратного.

Знаходження шляхом розкладання на множники

Перший спосіб полягає у знаходженні найменшого загального кратного шляхом розкладання даних чисел на прості множники.

Допустимо, нам потрібно знайти НОК чисел: 99, 30 і 28. Для цього розкладемо кожне з цих чисел на прості множники:

Щоб число ділилося на 99, на 30 і на 28, необхідно і достатньо, щоб до нього входили всі прості множники цих дільників. Для цього нам необхідно взяти всі прості множники цих чисел найбільшою мірою, що зустрічається, і перемножити їх між собою:

2 2 · 3 2 · 5 · 7 · 11 = 13 860

Таким чином, НОК (99, 30, 28) = 13860. Ніяке інше число менше 13860 не ділиться націло на 99, на 30 і на 28.

Щоб знайти найменше загальне кратне даних чисел, потрібно розкласти їх на прості множники, потім взяти кожен простий множник із найбільшим показником ступеня, з яким він зустрічається, та перемножити ці множники між собою.

Бо взаємно прості числанемає загальних простих множників, їх найменше загальне кратне дорівнює добутку цих чисел. Наприклад, три числа: 20, 49 та 33 – взаємно прості. Тому

НОК (20, 49, 33) = 20 · 49 · 33 = 32340.

Так само треба робити, коли знаходиться найменше загальне кратне різних простих чисел. Наприклад, НОК (3, 7, 11) = 3 · 7 · 11 = 231.

Знаходження шляхом підбору

Другий спосіб полягає у знаходженні найменшого загального кратного шляхом підбору.

Приклад 1. Коли найбільше з цих чисел ділиться націло інші дані числа, то НОК цих чисел дорівнює більшому їх. Наприклад, дано чотири числа: 60, 30, 10 та 6. Кожне з них ділиться націло на 60, отже:

НОК (60, 30, 10, 6) = 60

В інших випадках, щоб знайти найменше загальне кратне, використовується наступний порядок дій:

1. Визначаємо найбільше з даних чисел.
2. Далі знаходимо числа, кратні найбільшому числу, множачи його на натуральні числа в порядку їх зростання і перевіряючи чи діляться на отриманий твір інші дані числа.

Приклад 2. Дано три числа 24, 3 і 18. Визначаємо найбільше з них - це число 24. Далі знаходимо числа кратні 24, перевіряючи чи ділиться кожне з них на 18 і 3:

24 · 1 = 24 – ділиться на 3, але не ділиться на 18.

24 · 2 = 48 – ділиться на 3, але не ділиться на 18.

24 · 3 = 72 - ділиться на 3 та на 18.

Отже, НОК (24, 3, 18) = 72.

Знаходження шляхом послідовного знаходження НОК

Третій спосіб полягає у знаходженні найменшого загального кратного шляхом послідовного знаходження НОК.

НОК двох цих чисел дорівнює добутку цих чисел, поділеного з їхньої найбільший спільний дільник.

Приклад 1. Знайдемо НОК двох даних чисел: 12 та 8. Визначаємо їх найбільший спільний дільник: НОД (12, 8) = 4. Перемножуємо дані числа:

Ділимо твір на їхній НОД:

Таким чином НОК (12, 8) = 24.

Щоб знайти НОК трьох чи більше чисел використовується наступний порядок дій:

1. Спочатку знаходять НОК якихось двох із цих чисел.
2. Потім НОК знайденого найменшого загального кратного і третього даного числа.
3. Потім НОК отриманого найменшого загального кратного і четвертого числа і т.д.
4. Таким чином, пошук НОК триває до тих пір, поки є числа.

Приклад 2. Знайдемо НОК трьох даних чисел: 12, 8 та 9. НОК чисел 12 та 8 ми вже знайшли у попередньому прикладі (це число 24). Залишилося знайти найменше загальне кратне числа 24 та третього даного числа - 9. Визначаємо їх найбільший спільний дільник: НОД (24, 9) = 3. Перемножуємо НОК з числом 9:

Ділимо твір на їхній НОД:

Отже, НОК (12, 8, 9) = 72.

Математичні висловлювання та завдання вимагають безлічі додаткових знань. НОК - це одне з основних, особливо часто застосовується в Тема вивчається в середній школі, при цьому не є особливо складним у розумінні матеріалом, людині знайомій зі ступенями та таблицею множення не важко виділити необхідні числа та виявити результат.

Визначення

Загальне кратне - число, здатне націло розділитись на два числа одночасно (а і b). Найчастіше це число отримують методом перемноження вихідних чисел a і b. Число має ділитися одночасно на обидва числа, без відхилень.

НОК – це прийняте для позначення коротка назвазібрані з перших літер.

Способи отримання числа

Для знаходження НОК не завжди підходить спосіб перемноження чисел, він краще підходить для простих однозначних або двозначних чисел. прийнято розділяти на множники, що більше число, то більше вписувалося множників буде.

Приклад №1

Для найпростішого прикладу у школах зазвичай беруться прості, однозначні чи двоцифрові числа. Наприклад, необхідно вирішити наступне завдання, знайти найменше загальне кратне від чисел 7 і 3, рішення досить просте, їх просто перемножити. У результаті є число 21, менше просто немає.

Приклад №2

Другий варіант завдання набагато складніший. Дано числа 300 і 1260, знаходження НОК - обов'язково. Для вирішення завдання передбачаються такі дії:

Розкладання першого та другого чисел на найпростіші множники. 300 = 2 2 * 3 * 5 2; 1260 = 2 2 * 3 2 * 5 * 7. Перший етап завершено.

Другий етап передбачає роботу з отриманими даними. Кожне з отриманих чисел має брати участь у обчисленні підсумкового результату. Для кожного множника зі складу вихідних чисел береться найбільша кількість входжень. НОК - це загальна кількість, тому множники з чисел повинні в ньому повторяться все до одного, навіть ті, що присутні в одному екземплярі. Обидва початкові числа мають у своєму складі числа 2, 3 і 5, у різних ступенях, 7 є тільки в одному випадку.

Для обчислення підсумкового результату необхідно взяти кожне число у найбільшій їх представлених ступенів, до рівняння. Залишається тільки перемножити і отримати відповідь, при правильному заповненні завдання укладається у дві дії без пояснень:

1) 300 = 2 2 * 3 * 5 2 ; 1260 = 2 2 * 3 2 *5 *7.

2) НОК = 6300.

Ось і вся задача, якщо спробувати обчислити потрібне число за допомогою перемноження, то відповідь однозначно не буде правильною, оскільки 300 * 1260 = 378000.

Перевірка:

6300/300 = 21 - вірно;

6300/1260 = 5 - вірно.

Правильність отриманого результату визначається за допомогою перевірки - розподілу НОК на обидва вихідні числа, якщо число ціле в обох випадках, то відповідь вірна.

Що означає НОК у математиці

Як відомо, в математиці немає жодної марної функції, ця – не виняток. Найпоширенішим призначенням цього є приведення дробів до спільного знаменника. Що вивчають зазвичай у 5-6 класах середньої школи. Також додатково є спільним дільником для всіх кратних чисел, якщо такі умови стоять у завданні. Подібний вираз може знайти кратне не тільки до двох чисел, але й до набагато більшій кількості- Трьом, п'яти і так далі. Чим більше чисел – тим більше дій у завданні, але складність від цього не збільшується.

Наприклад, дані числа 250, 600 і 1500, необхідно знайти їх загальний НОК:

1) 250 = 25 * 10 = 5 2 * 5 * 2 = 5 3 * 2 - на цьому прикладі детально описано розкладання на множники, без скорочення.

2) 600 = 60 * 10 = 3 * 2 3 *5 2 ;

3) 1500 = 15 * 100 = 33 * 5 3 *2 2 ;

Для того щоб скласти вираз, потрібно згадати всі множники, в цьому випадку дано 2, 5, 3 - для всіх цих чисел потрібно визначити максимальний ступінь.

Увага: всі множники необхідно доводити до спрощення, по можливості, розкладаючи до рівня однозначних.

Перевірка:

1) 3000/250 = 12 - вірно;

2) 3000/600 = 5 - вірно;

3) 3000/1500 = 2 - вірно.

Даний метод не вимагає будь-яких хитрощів чи здібностей рівня генія, все просто і зрозуміло.

Ще один спосіб

У математиці багато що пов'язано, багато що можна вирішити двома і більше способами, те саме стосується пошуку найменшого загального кратного, НОК. Наступний спосіб можна використовувати у випадку з простими двозначними і однозначними числами. Складається таблиця, в яку вносяться по вертикалі множинне, по горизонталі множник, а в клітинах стовпця, що перетинаються, вказується твір. Можна відобразити таблицю за допомогою рядка, береться число і в ряд записуються результати множення цього числа на цілі числа, від 1 до нескінченності, іноді вистачає і 3-5 пунктів, друге та наступні числа піддаються тому ж обчислювальному процесу. Все відбувається до того, як знайдеться загальне кратне.

Дані числа 30, 35, 42 необхідно знайти НОК, що пов'язує всі числа:

1) Кратні 30: 60, 90, 120, 150, 180, 210, 250 і т.д.

2) Кратні 35: 70, 105, 140, 175, 210, 245 і т.д.

3) Кратні 42: 84, 126, 168, 210, 252 і т.д.

Помітно, що всі числа досить різні, єдине серед них число 210, ось воно і буде НОК. Серед пов'язаних з цим обчисленням процесів є також найбільший спільний дільник, що обчислюється за схожими принципами і часто зустрічається в задачах, що сусідять. Відмінність невелика, але досить значуще, НОК передбачає обчислення числа, яке ділиться попри всі дані вихідні значення, а НОД передбачає під собою обчислення найбільшого значення яке діляться вихідні числа.

Щоб зрозуміти, як обчислювати НОК, слід визначитися насамперед із значенням терміна "кратне".

Кратним числу А називають таке натуральне число, яке без залишку ділиться на А. Так, кратними числами 5 можна вважати 15, 20, 25 і так далі.

Дільників конкретного числа може бути обмежена кількість, а ось кратних безліч.

Загальне кратне натуральних чисел- Число, яке ділиться на них без залишку.

Як знайти найменше загальне кратне чисел

Найменше загальне кратне (НОК) чисел (двох, трьох або більше) - це найменше натуральне число, яке ділиться на ці цифри націло.

Щоб знайти НОК, можна використати кілька способів.

Для невеликих чисел зручно виписати в рядок усі кратні цих чисел доти, доки серед них не знайдеться загальне. Кратні позначають у записі великою літерою До.

Наприклад, кратні числа 4 можна записати так:

До (4) = (8,12, 16, 20, 24, ...)

До (6) = (12, 18, 24, ...)

Так, можна побачити, що найменшим загальним кратним чисел 4 і 6 є число 24. Цей запис виконують таким чином:

НОК (4, 6) = 24

Якщо числа великі, знайти загальне кратне трьох чи більше чисел, краще використовувати інший спосіб обчислення НОК.

Для виконання завдання потрібно розкласти запропоновані числа на прості множники.

Спочатку треба виписати в рядок розкладання найбільшого з чисел, а під ним – інших.

У розкладанні кожного числа може бути різна кількість множників.

Наприклад, розкладемо на прості множники числа 50 та 20.

У розкладанні меншого числа слід підкреслити множники, які відсутні в розкладанні першого найбільшого числа, а потім додати до нього. У наведеному прикладі не вистачає двійки.

Тепер можна обчислити найменше загальне кратне 20 та 50.

НОК (20, 50) = 2 * 5 * 5 * 2 = 100

Так, добуток простих множників більшого числа та множників другого числа, які не увійшли до розкладання більшого, буде найменшим загальним кратним.

Щоб знайти НОК трьох чисел і більше, слід їх розкласти на прості множники, як і в попередньому випадку.

Як приклад можна знайти найменше загальне кратне чисел 16, 24, 36.

36 = 2 * 2 * 3 * 3

24 = 2 * 2 * 2 * 3

16 = 2 * 2 * 2 * 2

Так, у розкладання більшого числа на множники не увійшли лише дві двійки з розкладання шістнадцяти (одна є в розкладі двадцяти чотирьох).

Таким чином, їх потрібно додати до розкладання більшого числа.

НОК (12, 16, 36) = 2 * 2 * 3 * 3 * 2 * 2 = 9

Існують окремі випадки визначення найменшого загального кратного. Так, якщо одне з чисел можна поділити без залишку на інше, то більше з цих чисел буде найменшим загальним кратним.

Наприклад, НОК дванадцяти та двадцяти чотирьох буде двадцять чотири.

Якщо необхідно знайти найменше загальне кратне взаємно простих чисел, які мають однакових дільників, їх НОК дорівнюватиме їх твору.

Наприклад, НОК (10, 11) = 110.

Енциклопедичний YouTube

• 1 / 5

  НОК( a, b) можна обчислити кількома способами.

  1. Якщо відомий найбільший загальний дільник , можна використовувати його зв'язок з НОК:

  lcm ⁡ (a, b) = |

  a ⋅ b |

  gcd ⁡ (a, b) (\displaystyle \operatorname (lcm) (a,b)=(\frac (|a\cdot b|)(\operatorname (gcd) (a,b)))) 2. Нехай відомий канонічне розкладання обох чисел на прості множники:

  a = p 1 d 1 ⋅ ⋯ ⋅ p k d k , (\displaystyle a=p_(1)^(d_(1))\cdot \dots \cdot p_(k)^(d_(k)),) p 1 , … , p k (\displaystyle p_(1),\dots ,p_(k))- різні прості числа, а d 1 , … , d k (\displaystyle d_(1),\dots ,d_(k))і e 1 , … , e k (\displaystyle e_(1),\dots ,e_(k))- невід'ємні цілі числа (вони можуть бути нулями, якщо відповідне просте відсутнє у розкладанні). Тоді НОК( a,b) обчислюється за формулою:

  [ a , b ] = p 1 max (d 1 , e 1) ⋅ ⋯ ⋅ p k max (d k , e k) .

  (\displaystyle =p_(1)^(\max(d_(1),e_(1)))\cdot \dots \cdot p_(k)^(\max(d_(k),e_(k))) .) a, bІншими словами, розкладання НОК містить усі прості множники, що входять хоча б до одного з розкладів чисел

  , причому із двох показників ступеня цього множника береться найбільший. Приклад: 8 = 2 3 ⋅ 3 0 ⋅ 5 0 ⋅ 7 0 (\displaystyle 8\;\,\;\,=2^(3)\cdot 3^(0)\cdot 5^(0)\cdot 7^( 0)) 9 = 2 0 ⋅ 3 2 ⋅ 5 0 ⋅ 7 0 (\displaystyle 9\;\,\;\,=2^(0)\cdot 3^(2)\cdot 5^(0)\cdot 7^( 0)) 21 = 2 0 ⋅ 3 1 ⋅ 5 0 ⋅ 7 1 .

  (\displaystyle 21\;\,=2^(0)\cdot 3^(1)\cdot 5^(0)\cdot 7^(1).)

  lcm ⁡ (8 , 9 , 21) = 2 3 ⋅ 3 2 ⋅ 5 0 ⋅ 7 1 = 8 ⋅ 9 ⋅ 1 ⋅ 7 = 504. (\displaystyle \operatorname (lcm) (8,9,21)= (3)\cdot 3^(2)\cdot 5^(0)\cdot 7^(1)=8cdot 9cdot 1cdot 7=504.)

  Обчислення найменшого загального кратного кількох чисел може бути зведено до кількох послідовних обчислень НОК від двох чисел.

  Числа, які діляться на 10, ми називаємо кратними 10. Наприклад, 30 чи 50 кратні 10. 28 кратно 14. Числа, які діляться одночасно і 10, і 14, природно називати загальними кратними 10 і 14.

  Загальних кратних ми можемо знайти скільки завгодно. Наприклад, 140, 280 і т.д.

  Природне питання: як знайти найменше із загальних кратних, найменше загальне кратне?

  Зі знайдених кратних для 10 і 14 поки що найменше - це 140. Але чи є воно найменшим загальним кратним?

  Розкладемо наші числа на множники: Сконструюємо таке число, яке ділиться на 10 і 14. Щоб ділитися на 10, потрібно мати множники 2 і 5. Щоб ділитися на 14, потрібно мати множники 2 і 7. Але 2 вже є, залишилося додати 7. Отримане число 70 - це загальне кратне для 10 і 14. При цьому не вийде побудувати число менше цього, щоб воно теж було загальним кратним.Значить, це і є

  найменше загальне кратне

  

  . Для нього ми використовуємо позначення НОК.

  3.

  Знайдемо НОД та НОК для чисел 182 та 70.

  

  Щоб зрозуміти, що таке НОД та НОК, не обійтися без розкладання на множники. Але коли ми вже зрозуміли, що це таке, вже не обов'язково щоразу розкладати на множники.

  Наприклад:

  Ви можете легко переконатися, що для двох чисел, де одне ділиться на інше, менше їх НОД, а більше - НОК. Спробуйте пояснити, чому це так.

  Довжина кроку тата – 70 см, а у маленької дочки – 15 см. Вони починають йти, поставивши ноги на одну позначку. Яку відстань вони пройдуть, щоб їхні ноги знову встали врівень?

  Тато та дочка починають рух. Спочатку ноги знаходяться на одній позначці. Пройшовши кілька кроків, у них ноги знову стали на одну позначку. Значить, і у тата, і доньки вийшла ціла кількість кроків до цієї позначки. Отже, відстань до неї має ділитися на довжину кроку татата, і дочки.

  Тобто ми повинні знайти:

  Тобто це станеться через 210 см = 2 м 10 см.

  Неважко зрозуміти, що тато зробить 3 кроки, а дочка – 14 (рис. 1).

  

  Мал. 1. Ілюстрація до завдання

  Завдання 1

  У Петі в мережі «ВКонтакте» 100 друзів, а у Вані – 200. Скільки всього друзів у Петі та Вані разом, якщо спільних друзів 30?

  Відповідь 300 – невірна, адже у них можуть бути спільні друзі.

  Вирішимо це завдання так. Зобразимо безліч усіх друзів Петі довкола. Зобразимо безліч друзів Вані іншим колом, більше.

  Ці кола мають загальну частину. Там є спільні друзі. Ця Загальна частинаназивається «перетин» двох множин. Тобто безліч спільних друзів - це перетин множини друзів кожного.

  

  Мал. 2. Кола множин друзів

  Якщо спільних друзів 30, то ліворуч 70 – це друзі тільки Петіни, а 170 – лише Ванини (див. рис. 2).

  Скільки всього?

  Все безліч, що складається з двох кіл, називається об'єднанням двох множин.

  Насправді ВК сам вирішує за нас завдання перетину двох множин, він відразу вказує безліч спільних друзів, коли ви заходите на сторінку іншої людини.

  Ситуація з НОДом та НОКом двох чисел дуже схожа.

  Завдання 2

  Розглянемо два числа: 126 та 132.

  

  

  Їх прості множники зобразимо у колах (див. рис. 3).

  

  Мал. 3. Кола з простими множниками

  Перетин множин - це спільні дільники. З них складається НОД.

  Об'єднання двох множин дає нам НОК.

  Список літератури

  1. Віленкін Н.Я., Жохов В.І., Чесноков А.С., Шварцбурд С.І. Математика 6. – К.: Мнемозіна, 2012.

  2. Мерзляк А.Г., Полонський В.В., Якір М.С. Математика 6 клас. – Гімназія. 2006.

  3. Депман І.Я., Віленкін Н.Я. За сторінками підручника з математики. - М: Просвітництво, 1989.

  4. Рурукін О.М., Чайковський І.В. Завдання з курсу математики 5-6 клас. - М: ЗШ МІФІ, 2011.

  5. Рурукін А.М., Сочілов С.В., Чайковський К.Г. Математика 5-6. Посібник для учнів 6-х класів заочної школи МІФІ. - М: ЗШ МІФІ, 2011.

  6. Шеврін Л.М., Гейн А.Г., Коряков І.О., Волков М.В. Математика: Підручник-співрозмовник для 5-6 класів середньої школи. - М: Просвітництво, Бібліотека вчителя математики, 1989.

  3. Інтернет-сайт «Шкільний помічник» ()

  Домашнє завдання

  1. У портовому місті починаються три туристські теплохідні рейси, перший з яких триває 15 діб, другий - 20 і третій - 12 діб. Повернувшись у порт, теплоходи цього ж дня знову вирушають у рейс. Сьогодні з порту вийшли теплоходи всіма трьома маршрутами. Через скільки діб вони вперше знову разом підуть у плавання? Яку кількість рейсів зробить кожен теплохід?

  2. Знайдіть НОК чисел:

  3. Знайдіть прості множники найменшого загального кратного чисел:

  І якщо: , , .