Механічні коливання – Гіпермаркет знань. Основні формули розділу «Коливання та хвилі Формули з фізики коливання

Рівняння гармонійних коливань

де х -зміщення коливається точки від положення рівноваги;
t- Час; А,ω, φ- відповідно амплітуда, кутова частота,
початкова фаза коливань; - фаза коливань у момент t.

Кутова частота коливань

де ν і Т - частота та період коливань.

Швидкість точки, що здійснює гармонічні коливання,

Прискорення при гармонійному коливанні

Амплітуда Арезультуючого коливання, отриманого при додаванні двох коливань з однаковими частотами, що відбуваються по одній прямій, визначається за формулою

де a 1 та А 2 - амплітуди складових коливань; ? 1 і ? 2 - їх початкові фази.

Початкова фаза φ результуючого коливання може бути знайдена з формули

Частота биття, що виникають при додаванні двох коливань, що відбуваються по одній прямій з різними, але близькими за значенням частотами 1 і 2 ,

Рівняння траєкторії точки, що бере участь у двох взаємно перпендикулярних коливаннях з амплітудами A 1 і A 2 і початковими фазами 1 і 2 ,

Якщо початкові фази φ 1 і φ 2 складових коливань однакові, то рівняння траєкторії набуває вигляду

т. е. точка рухається прямою.

У тому випадку, якщо різниця фаз , рівняння
набуває вигляду

т. е. точка рухається еліпсом.

Диференціальне рівняння гармонійних коливань матеріальної точки

Або ,
де m – маса точки; k -коефіцієнт квазіпружної сили ( k=тω 2).

Повна енергія матеріальної точки, що здійснює гармонічні коливання,

Період коливань тіла, підвішеного на пружині (пружинний маятник),

де m- маса тіла; k -жорсткість пружини. Формула справедлива для пружних коливань у межах, у яких виконується закон Гука (при малій масі пружини проти масою тіла).

Період коливань математичного маятника

де l- Довжина маятника; g -прискорення вільного падіння. Період коливань фізичного маятника

де J- момент інерції тіла, що коливається відносно осі

коливань; а- відстань центру мас маятника від осі коливань;

Наведена довжина фізичного маятника.

Наведені формули є точними для випадку нескінченно малих амплітуд. При кінцевих амплітудах ці формули дають лише наближені результати. При амплітудах трохи більше помилка у значенні періоду вбирається у 1 %.

Період крутильних коливань тіла, підвішеного на пружній нитці,

де J -момент інерції тіла щодо осі, що збігається з пружною ниткою; k -жорсткість пружної нитки, що дорівнює відношенню пружного моменту, що виникає при закручуванні нитки, до кута, на який закручується нитка.

Диференціальне рівняння загасаючих коливань
, або ,

де r- Коефіцієнт опору; δ - коефіцієнт згасання: ; ω 0 - власна кутова частота коливань *

Рівняння загасаючих коливань

де A(t) -амплітуда загасаючих коливань у момент t;ω - їхня кутова частота.

Кутова частота загасаючих коливань

Про Залежність амплітуди загасаючих коливань від часу

де А 0 - амплітуда коливань у момент t=0.

Логарифмічний декремент коливань

де A(t)і A (t+T) -амплітуди двох послідовних коливань, віддалених у часі друг від друга період.

Диференційне рівняння вимушених коливань

де - Зовнішня періодична сила, що діє на
коливається матеріальна точка і викликає вимушені
коливання; F 0 -її амплітудне значення;

Амплітуда вимушених коливань

Резонансна частота та резонансна амплітуда і

Приклади розв'язання задач

приклад 1.Крапка здійснює коливання згідно із законом x(t)= ,де А = 2див. Визначити початкову фазу φ, якщо

x(0)= см і х , (0)<0. Построить векторную диаграмму для мо-
мента t=0.

Рішення. Скористаємося рівнянням руху та висловимо зміщення у момент t=0 через початкову фазу:

Звідси знайдемо початкову фазу:

* У наведених раніше формулах гармонійних коливань та сама величина позначалася просто ω (без індексу 0).

Підставимо в цей вираз задані значення x(0) та А:φ=
=. Значення аргументу задовольняють
два значення кута:

Для того щоб вирішити, яке з цих значень кута удовле
Краще ще й умові, знайдемо спочатку:

Підставивши в цей вираз значення t=0 та по черзі значення
початкових фаз і , знайдемо

Так як завжди A>0 і ω>0, то умові задовольняє толь
до першого значення початкової фази.
Таким чином, шукана початкова
фаза

За знайденим значенням?
їм векторну діаграму (рис. 6.1).
приклад 2.Матеріальна точка
масою т= 5 г здійснює гармонійний-
чі коливання з частотою ν = 0,5 Гц.
Амплітуда коливань A= 3 см. Оп-
реділити: 1) швидкість υточки в мо-
мент часу, коли зміщення х=
= 1,5 см; 2) максимальну силу
F max , що діє на точку; 3)
Мал. 6.1 повну енергію Еколивається точ
ки.

а формулу швидкості отримаємо, взявши першу похідну за часом від усунення:

Щоб виразити швидкість через усунення, треба виключити з формул (1) і (2) час. Для цього зведемо обидва рівняння у квадрат, розділимо перше на А 2 ,друге на A 2 ω 2 і складемо:

Або

Вирішивши останнє рівняння щодо υ , знайдемо

Виконавши обчислення за цією формулою, отримаємо

Знак плюс відповідає випадку, коли напрямок швидкості збігається з позитивним напрямком осі х,знак мінус - коли напрямок швидкості збігається з негативним напрямком осі х.

Усунення при гармонійному коливанні крім рівняння (1) може бути визначене також рівнянням

Повторивши з цим рівнянням таке саме рішення, отримаємо ту саму відповідь.

2. Силу, що діє на точку, знайдемо за другим законом Ньютона:

де а -прискорення точки, яку отримаємо, взявши похідну за часом від швидкості:

Підставивши вираз прискорення у формулу (3), отримаємо

Звідси максимальне значення сили

Підставивши в це рівняння значення величин π, ν, ті A,знайдемо

3. Повна енергія точки, що коливається, є сума кінетичної та потенційної енергій, обчислених для будь-якого моменту часу.

Найпростіше обчислити повну енергію у момент, коли кінетична енергія досягає максимального значення. У цей момент потенційна енергія дорівнює нулю. Тому повна енергія Eколивальної точки дорівнює максимальної кінетичної енергії

Максимальну швидкість визначимо з формули (2), поклавши
: . Підставивши вираз швидкості у фор-
мулу (4), знайдемо

Підставивши значення величин у цю формулу і здійснивши обчислення, отримаємо

чи мкДж.

приклад 3. l= 1 м та масою m 3 = 400 г укріплені кульки малих розмірів масами m 1 = 200 гі m 2 = 300г. Стрижень коливається біля горизонтальної осі, перпен-

дикулярну стрижню і проходить через його середину (точка О на рис. 6.2). Визначити період Тколивань, скоєних стрижнем.

Рішення. Період коливань фізичного маятника, яким є стрижень із кульками, визначається співвідношенням

Де J - т -його маса; l З -відстань від центру мас маятника до осі.

Момент інерції даного маятника дорівнює сумімоментів інерції кульок J 1 та J 2та стрижня J 3:

Приймаючи кульки за матеріальні точки, висловимо моменти їхньої інерції:

Так як вісь проходить через середину стрижня, то
його момент інерції щодо цієї осі J 3 =
= . Підставивши отримані вирази J 1 , J 2і
J 3 у формулу (2), знайдемо загальний момент інерції фі-
зичного маятника:

Зробивши обчислення за цією формулою, знайдемо

Мал. 6.2 Маса маятника складається з мас кульок та маси
стрижня:

Відстань l Зцентру мас маятника від осі коливань знайдемо, з наступних міркувань. Якщо вісь хнаправити вздовж стрижня та початок координат поєднати з точкою О,та шукана відстань lодно координаті центру мас маятника, тобто.

Підставивши значення величин m 1 , m 2 , m, lі зробивши обчислення, знайдемо

Здійснивши розрахунки за формулою (1), отримаємо період коливань фізичного маятника:

приклад 4.Фізичний маятник є стрижнем.
довжиною l= 1 м та масою 3 т 1 зприкріпленим до одного з його кінців
обручем діаметром та масою т 1 . Горизонтальна вісь Oz

маятника проходить через середину стрижня перпендикулярно до нього (рис. 6.3). Визначити період Тколивань такого маятника.

Рішення. Період коливань фізичного маятника визначається за формулою

(1)

де J -момент інерції маятника щодо осі коливань; т -його маса; l C - відстань від центру мас маятника до осі коливань.

Момент інерції маятника дорівнює сумі моментів інерції стрижня J 1 та обруча J 2:

Момент інерції стрижня щодо осі,
перпендикулярною стрижню та прохідній
через його центр мас, визначається за формою-
ле. В даному випадку т= 3т 1 та

Момент інерції обруча знайдемо, восполь-
покликавшись теоремою Штейнера,
де J -момент інерції щодо про-
довільної осі; J 0 -момент інерції відно-
осі, що проходить через центр мас
паралельно заданої осі; а -відстань
між вказаними осями. Застосувавши цю фор-
мулу до обруча, отримаємо

Мал. 6.3

Підставивши вирази J 1 та J 2 у формулу (2), знайдемо момент інерції маятника щодо осі обертання:

Відстань l Звід осі маятника до його центру мас одно

Підставивши у формулу (1) вирази J, lз і маси маятника, знайдемо період його коливань:

Після обчислення за цією формулою отримаємо T= 2,17 с.

Приклад 5.Складаються два коливання однакового напрямку.
ня, що виражаються рівняннями; х 2 =
= , де А 1 = 1см, A 2 = 2 см, с, с, ω =
=. 1. Визначити початкові фази φ 1 і φ 2 складових коле-

баній. 2. Знайти амплітуду Ата початкову фазу φ результуючого коливання. Написати рівняння результуючого коливання.

Рішення. 1. Рівняння гармонійного коливання має вигляд

Перетворимо рівняння, задані за умови завдання, до такого виду:

З порівняння виразів (2) з рівністю (1) знаходимо початкові фази першого і другого коливань:

Радий і радий.

2. Для визначення амплітуди Арезультуючого коливання зручно скористатися векторною діаграмою, представленою на Мал. 6.4. Відповідно до теореми косінусів, отримаємо

де - Різниця фаз складових коливань.
Оскільки , то, підставляючи знайдені
значення 2 і 1 отримаємо радий.

Мал. 6.4

Підставимо значення А 1 , А 2 та у формулу (3) та
зробимо обчислення:

A= 2,65 см.

Тангенс початкової фази φ результуючого коливання визна-
лім безпосередньо з рис. 6.4: , відку-
так початкова фаза

Підставимо значення А 1 , А 2 , φ 1 , φ 2 і зробимо обчислення:

Так як кутові частоти коливань, що складаються, однакові,
то результуюче коливання матиме ту саму частоту? Це
дозволяє написати рівняння результуючого коливання у вигляді
, де A=2,65 див, , рад.

Приклад 6.Матеріальна точка бере участь одночасно у двох взаємно перпендикулярних гармонійних коливаннях, рівняння яких

де a 1 = 1 см, A 2 = 2 см, . Знайти рівняння траєкторії точ-
ки. Побудувати траєкторію з дотриманням масштабу та вказати
напрямок руху точки.

Рішення. Щоб знайти рівняння траєкторії точки, виключимо час tіз заданих рівнянь (1) та (2). Для цього восполь-

зуємося формулою. В даному випадку
тому

Оскільки згідно з формулою (1) , то рівняння траекто-
рії

Отриманий вираз є рівнянням параболи, вісь якої збігається з віссю Ох.З рівнянь (1) і (2) випливає, що зміщення точки по осях координат обмежено та укладено в межах від -1 до +1 см по осі Охі від -2 до +2 см по осі Оу.

Для побудови траєкторії знайдемо за рівнянням (3) значення у,відповідні ряду значень х,задовольняють умові див, і складемо таблицю:

Для того щоб вказати напрямок руху точки, простежимо за тим, як змінюється її положення з часом. У початковий момент t=0 координати точки дорівнюють x(0)=1 см і y(0)=2 см. У наступний момент часу, наприклад при t 1 =l с, координати точок зміняться і стануть рівними х(1) = -1 см, y( t )=0. Знаючи положення точок у початковий і наступний (близький) моменти часу, можна вказати напрямок руху точки по траєкторії. На рис. 6.5 цей напрямок руху вказано стрілкою (від точки Ана початок координат). Після того, як в момент t 2 = 2 з точка, що коливається, досягне точки D,вона рухатиметься у зворотному напрямку.

Кінематика гармонійних коливань

6.1. Рівняння коливань точки має вигляд ,
де ω=π -1 , τ=0,2 с. Визначити період Тта початкову фазу φ
коливань.

6.2. Визначити період Т,частоту v і початкову фазу коливань, заданих рівняннямде ω=2,5π з -1 ,
= 0,4 с.

6.3.
де A х(0)=2см і
; 2) х(0) = см і; 3) х(0)=2см і; 4)
х(0)= та . Побудувати векторну діаграму для
моменту t=0.

6.4. Крапка здійснює вагання.
де A=4 см. Визначити початкову фазу φ, якщо: 1) х(0)=2см і
; 2) x(0)= см і; 3) х(0)= см і;
4) x(0) = см і . Побудувати векторну діаграму для
моменту t=0.

6.5. Крапка здійснює коливання за законом ,
де A= 2 см; ; φ= π/4 рад. Побудувати графіки залежності
від часу: 1) усунення x(t); 2) швидкості; 3) прискорення

6.6. Крапка здійснює коливання з амплітудою A=4 см та періодом Т = 2 с.Написати рівняння цих коливань, вважаючи, що в
момент t=0 усунення x(0)=0та . Визначити фазу
для двох моментів часу: 1) коли зсув х= 1см і;
2) коли швидкість = -6 см/с та x<0.

6.7. Крапка рівномірно рухається по колу проти годинникової стрілки з періодом Т = 6 с. Діаметр dкола дорівнює 20 см. Написати рівняння руху проекції точки на вісь х,проходить через центр кола, якщо в момент часу, прийнятий за початковий, проекція на вісь хдорівнює нулю. Знайти усунення х,швидкість та прискорення проекції точки в момент t= 1с.

6.8. Визначити максимальні значення швидкості та прискорення точки, що здійснює гармонічні коливання з амплітудою А = 3см та кутовою частотою

6.9. Крапка здійснює вагання за законом , де А =
= 5 см; . Визначити прискорення точки в момент часу,
коли її швидкість = 8 см/с.

6.10. Крапка здійснює гармонійні коливання. Найбільше
зміщення x m ах точки дорівнює 10 см, найбільша швидкість =
= 20 см/с. Знайти кутову частоту ω коливань та максимальне прискорення точки.

6.11. Максимальна швидкість точки, що здійснює гармонічні коливання, дорівнює 10см/с, максимальне прискорення =
= 100 см/с2. Знайти кутову частоту ω коливань, їх період Т
та амплітуду А.Написати рівняння коливань, прийнявши початкову фазу, що дорівнює нулю.

6.12. Крапка здійснює коливання згідно із законом. У деякий момент часу усунення х 1 точки виявилося рівним 5 см. Коли фаза коливань збільшилася вдвічі, зміщення х стало рівним 8 см. Знайти амплітуду Аколивань.

6.13. Коливання точки відбуваються згідно із законом.
У деякий момент часу усунення хточки дорівнює 5 см, її швидкість
= 20 см/с та прискорення =-80 см/с 2 . Знайти амплітуду A, кутову частоту ω, період Тколивань і фазу в даний момент часу.

Складання коливань

6.14. Два однаково спрямовані гармонійні коливання одного періоду з амплітудами A 1 = 10 см і A 2 = 6 см складаються в одне коливання з амплітудою А = 14 см. Знайти різницю фаз коливань, що складаються.

6.15. Два гармонійні коливання, спрямованих по одній прямій і мають однакові амплітуди та періоди, складаються в одне коливання тієї ж амплітуди. Знайти різницю фаз коливань, що складаються.

6.16. Визначити амплітуду Аі початкову фазу ф результу
коливання, що виникає при складанні двох коливань
однакових напрямів та періоду: і
, де A 1 =A 2 = 1 см; ω=π з -1; = 0,5 с. Знайти рівняння результуючого коливання.

6.17. Крапка бере участь у двох однаково спрямованих коливаннях: і , де а 1 = 1см; A 2 = 2 см; ω=
= 1 з -1. Визначити амплітуду Арезультуючого коливання,
його частоту і початкову фазу φ. Знайти рівняння цього руху.

6.18. Складаються два гармонійні коливання одного на
правління з однаковими періодами T 1 =T 2 = 1,5 с та амплітудами
А 1 =А 2 = 2см. Початкові фази коливань та . Визначити амплітуду Ата початкову фазу φ результуючого коливання. Знайти його рівняння та побудувати з дотриманням масштабу
векторної діаграми складання амплітуд.

6.19. Складаються три гармонійні коливання одного напрямку з однаковими періодами Т 1 = Т 2 = Т 3 = 2з та амплітудами A 1 =A 2 =A 3 =3 см. Початкові фази коливань φ 1 =0, φ 2 =π/3, φ 3 =2π/3. Побудувати векторну діаграму складання амплітуд. Визначити з креслення амплітуду Ата початкову фазу φ результуючого коливання. Знайти його рівняння.

6.20. Складаються два гармонійні коливання однаковою
частоти та однакового напрямку: і x 2 =
=. Накреслити векторну діаграму на момент
часу t=0. Визначити аналітично амплітуду Ата початкову
фазу φ результуючого коливання. Відкласти Aта φ на векторній
діаграми. Знайти рівняння результуючого коливання (у тригонометричній формі через косинус). Завдання вирішити для двох
випадків: 1) А 1 = 1см, φ 1 =π/3; A 2 = 2 см, ? 2 = 5?/6; 2) А 1 = 1см,
? 1 = 2? / 3; A 2 = 1 см, φ 2 = 7 / 6.

6.21. Два камертони звучать одночасно. Частоти 1 і 2 їх коливань відповідно дорівнюють 440 і 440,5 Гц. Визначити період Тбиття.

6.22. Складаються два взаємно перпендикулярні коливання,
виражаються рівняннями і , де
а 1 =2 см, A 2 = 1 см, , = 0,5 с. Знайти рівняння траєкторії
і побудувати її, показавши напрямок руху точки.

6.23. Крапка здійснює одночасно два гармонійні коливання, що відбуваються за взаємно перпендикулярними напрямками.
і виражаються рівняннями і ,
де а 1 = 4 см, A 1 = 8 см, τ = 1 с. Знайти рівняння траєкторії точки та побудувати графік її руху.

6.24. Точка здійснює одночасно два гармонійні коливання однакової частоти, що відбуваються за взаємно перпендикулярними напрямками рівнянь, що виражаються: 1) і

Знайти (для восьми випадків) рівняння траєкторії точки, побудувати її з дотриманням масштабу та вказати напрямок руху. Прийняти: А = 2см, A 1 = 3 см, А 2 = 1см; φ 1 =π/2, φ 2 =π.

6.25 . Крапка бере участь одночасно у двох взаємно перпендикулярних коливаннях, що виражаються рівняннями і
, де A 1 = 2 см, A 2 = 1 см. Знайти рівняння траєкторії
точки і побудувати її, вказавши напрямок руху.

6.26. Крапка одночасно здійснює два гармонійні коливання, що відбуваються за взаємно перпендикулярними напрямками.
і виражаються рівняннями і , де А 1 =
=0,5 див; A 2 = 2 см. Знайти рівняння траєкторії точки та побудувати
її, вказавши напрямок руху.

6.27. Рух точки задано рівняннями та у=
= , де A 1 = 10 см, A 2 = 5 см, ω=2 з -1, τ=π/4 с. Знайти
рівняння траєкторії та швидкості точки в момент часу t= 0,5 с.

6.28. Матеріальна точка бере участь одночасно у двох взаємно перпендикулярних коливаннях, що виражаються рівняннями
і де A 1 =2 см, A 2 = 1 см. Знайти
рівняння траєкторії та побудувати її.

6.29. Крапка бере участь одночасно у двох гармонійних коливаннях, що відбуваються за взаємно перпендикулярними напрямками, що описуються рівняннями: 1) і

Знайти рівняння траєкторії точки, побудувати її з дотриманням масштабу та вказати напрямок руху. Прийняти: A= 2 см; A 1 =здив.

6.30. Крапка бере участь одночасно у двох взаємно перпенди-
кулярних коливаннях, що виражаються рівняннями та

y=A 2 sin 0,5ω t, де A 1 = 2см, A 2 = 3 см. Знайти рівняння траєкторії точки та побудувати її, вказавши напрямок руху.

6.31. Зміщення крапки, що світиться, на екрані осцилографа є результатом складання двох взаємно перпендикулярних коливань, які описуються рівняннями: 1) х = А sin 3 ω tі у=A sin 2ω t; 2) х = А sin 3ω tі y=A cos 2ω t; 3) х = А sin 3ω tта y= A cos ω t.

Застосовуючи графічний метод складання і дотримуючись масштабу, побудувати траєкторію крапки, що світиться на екрані. Прийняти А= 4 див.

Динаміка гармонійних коливань. Маятники

6.32. Матеріальна точка масою т=50 г робить коливання, рівняння яких має вигляд х = А cos ω t,де А= 10 см, ω=5 -1 . Знайти силу F,що діє на точку, у двох випадках: 1) у момент, коли фаза ω t=π/3; 2) у положенні найбільшого усунення точки.

6.33. Коливання матеріальної точки масою т=0,1 г відбуваються згідно з рівнянням х=A cos ω t,де A= 5 см; ω=20 -1 . Визначити максимальні значення повертаючої сили F max та кінетичної енергії Т m ах.

6.34. Знайти повертаючу силу Fв момент t=1 с та повну енергію Ематеріальної точки, що здійснює коливання згідно із законом х = А cos ω t, де А = 20 см; ω=2π/3 з -1. Маса тматеріальна точка дорівнює 10 г.

6.35. Коливання матеріальної точки відбуваються відповідно до рівняння х = A cos ω t,де A=8 см, ω=π/6 з -1. У момент, коли сила, що повертає FВперше досягла значення -5 мН, потенційна енергія П точки стала рівною 100 мкДж. Знайти цей момент часу tта відповідну йому фазу ω t.

6.36. Грузик масою m=250 г, підвішений до пружини, коливається по вертикалі з періодом Т= 1с.Визначити жорсткість kпружини.

6.37. До спіральної пружини підвісили грузик, внаслідок чого пружина розтяглася на х = 9див. Який буде період Тколивань грузика, якщо його трохи відтягнути вниз і відпустити?

6.38. Гиря, підвішена до пружини, вагається по вертикалі з амплітудою A=4 см. Визначити повну енергію Еколивань гирі, якщо жорсткість kпружини дорівнює 1 кН/м.

6.39. Знайти відношення довжин двох математичних маятників, якщо відношення періодів їх коливань дорівнює 1,5.

6.40. l= 1м встановлений у ліфті. Ліфт піднімається із прискоренням а=2,5 м/с2. Визначити період Тколивань маятника.

6.41. На кінцях тонкого стрижня завдовжки l=30 см укріплені однакові грузики по одному кожному кінці. Стрижень із грузиками коливається біля горизонтальної осі, що проходить через точку, віддалену на d=10 см від одного з кінців стрижня. Визначити наведену довжину Lта період Тколивань такого фізичного маятника. Масою стрижня знехтувати.

6.42. На стрижні завдовжки l=30 см укріплені два однакові грузики: один - у середині стрижня, інший - на одному з його кінців. Стрижень із грузиком коливається біля горизонтальної осі, що проходить через вільний кінець стрижня. Визначити наведену довжину Lта період Тколивань такої системи. Масою стрижня знехтувати.

6.43. Система з трьох вантажів, з'єднаних стрижнями завдовжки l=30 см (рис. 6.6), коливається щодо горизонтальної осі, що проходить через точку Про перпендикулярно площині креслення. Знайти період Тколивань системи. Масами стрижнів знехтувати, вантажі розглядати як матеріальні точки.

6.44. Тонкий обруч, повішений на цвях, убитий горизонтально у стіну, коливається у площині, паралельній стіні. Радіус Rобруча дорівнює 30 см. Обчислити період Тколивань обруча.

Мал. 6.6

Мал. 6.7

6.45. Однорідний диск радіусом R=30 см коливається біля горизонтальної осі, що проходить через одну з утворюючих циліндричних поверхонь диска. Який період Тйого вагань?

6.46. Диск радіусом R= 24см коливається біля горизонтальної осі, що проходить через середину одного з радіусів перпендикулярно до площини диска. Визначити наведену довжину Lта період Тколивань такого маятника.

6.47. З тонкого однорідного диска радіусом R=20 см вирізана частина, що має вигляд кола радіусом r= 10см, оскільки це показано на рис. 6.7. Частина диска, що залишилася, коливається відносно горизонтальної осі О, що збігається з однією з утворюють циліндричної поверхні диска. Знайти період Тколивань такого маятника.

6.48. Математичний маятник завдовжки l 1 = 40 см та фізичний маятник у вигляді тонкого прямого стрижня завдовжки l 2 = 60 см синхронно коливаються біля однієї й тієї горизонтальної осі. Визначити відстань ацентру мас стрижня від осі коливань.

6.49. Фізичний маятник у вигляді тонкого прямого стрижня завдовжки l=120 см коливається біля горизонтальної осі, що проходить перпендикулярно стрижню через точку, віддалену на деяку відстань авід центру мас стрижня. При якому значенні аперіод Тколивань має найменше значення?

6.50. тіз укріпленою на ньому маленькою кулькою масою т.Маятник здійснює коливання біля горизонтальної осі, що проходить через точку на стрижні. Визначити період Тгармонійних коливань маятника для випадків а, б, в,м, зображених на рис. 6.8. Довжина lстрижня дорівнює 1 м. Кулька розглядати як матеріальну точку.

Мал. 6.9

Мал. 6.8

6.51. Фізичний маятник є тонким однорідним стрижнем масою тіз укріпленими на ньому двома маленькими кульками масами ті 2 т. Маятник здійснює коливання біля горизонтальної осі, що проходить через точку. Прона стрижні. Визначити частоту гармонійних коливань маятника для випадків а Б В Г,зображених на рис. 6.9. Довжина lстрижня дорівнює 1 м. Кульки розглядати як матеріальні точки.

6.52. Тіло масою т=4 кг, закріплене на горизонтальній осі, робило коливання з періодом T 1 = 0,8 с. Коли на цю вісь був насаджений диск так, що його вісь збіглася з віссю коливань тіла, період T 2 коливань став рівним 1,2 с. Радіус Rдиска дорівнює 20 см, маса його дорівнює масі тіла. Знайти момент інерції Jтіла щодо осі коливань.

6.53. Ареометр масою т=50 г, що має трубку діаметром d= 1 см, плаває у воді. Ареометр трохи занурили у воду і потім надали собі, в результаті чого він став здійснювати гармонійні коливання. Знайти період Тцих коливань.

6.54. У відкриту з обох кінців U-подібну трубку з площею поперечного перерізу S=0,4 см 2 швидко вливають ртуть масою т=200 р. Визначити період Тколивань ртуті у трубці.

6.55. Набрякла колода, перетин якої постійно по всій довжині, занурився вертикально у воду так, що над водою знаходиться лише мала (порівняно з довжиною) його частина. Період Тколивань колоди дорівнює 5 с. Визначити довжину lколоди.

Затухаючі коливання

6.56. Амплітуда загасаючих коливань маятника за час t 1=5 хв зменшилася вдвічі. За який час t 2 ,рахуючи від початкового моменту, амплітуда зменшиться у вісім разів?

6.57. За час t=8 хв амплітуда загасаючих коливань маятника зменшилася втричі. Визначити коефіцієнт загасання δ .

6.58. Амплітуда коливань маятника завдовжки l= 1м за час t=10 хв зменшилася вдвічі. Визначити логарифмічний декремент коливань Θ.

6.59. Логарифмічний декремент коливань Θ маятника дорівнює 0,003. Визначити число Nповних коливань, які має зробити маятник, щоб амплітуда зменшилася вдвічі.

6.60. Гиря масою т=500 г підвішена до спіральної пружини жорсткістю k=20 Н/м і робить пружні коливання в певному середовищі. Логарифмічний декремент коливань Θ=0,004. Визначити число Nповних коливань, які має зробити гиря, щоб амплітуда коливань зменшилася в n= 2 рази. За який час tстанеться це зменшення?

6.61. Тіло масою т=5 г здійснює загасаючі коливання. Впродовж часу t= 50с тіло втратило 60% своєї енергії. Визначити коефіцієнт опору b.

6.62. Визначити період Тзагасаючих коливань, якщо період Т 0власних коливань системи дорівнює 1 с та логарифмічний декремент коливань Θ=0,628.

6.64. Тіло масою т=1 кг знаходиться у в'язкому середовищі з коефіцієнтом опору b=0,05 кг/сек. За допомогою двох однакових пружин жорсткістю k=50 Н/м кожне тіло утримується у положенні рівноваги, пружини при цьому не деформовані (рис. 6.10). Тіло змістили від положення рівноваги та

відпустили. Визначити: 1) коефіцієнт загасання δ ; 2) частоту коливань; 3) логарифмічний декремент коливань Θ; 4) число Nколивань, після яких амплітуда зменшиться в раз.

Вимушені коливання. Резонанс

6.65. Під дією сили тяжіння електродвигуна консольна балка, де він встановлений, прогнулась на h= 1 мм. При якій частоті обертання пЯкоря електродвигуна може виникнути небезпека резонансу?

6.66. Вагон масою т=80 т має чотири ресори. Жорсткість kпружин кожної ресори дорівнює 500 кН/м. При якій швидкості υвагон почне сильно розгойдуватися внаслідок поштовхів на стиках рейок, якщо довжина lрейки дорівнює 12,8 м?

6.67. Коливальна система здійснює загасаючі коливання з частотою = 1000 Гц. Визначити частоту 0 власних коливань, якщо резонансна частота pe з = 998 Гц.

6.68. Визначити, наскільки резонансна частота відрізняється від частоти ν 0 =l кГц власних коливань системи, що характеризується коефіцієнтом загасання δ=400 -1 .

6.69. Визначити логарифмічний декремент коливань Θ коливальної системи, для якої резонанс спостерігається при частоті, меншій за власну частоту ν 0 =10 кГц на Δν=2 Гц.

6.70. Період Т 0 власних коливань пружинного маятника дорівнює 0,55 с. У в'язкому середовищі період Ттого ж маятника дорівнював 0,56 с. Визначити резонансну частоту pe з коливань.

6.71. Пружинний маятник (жорсткість kпружини дорівнює 10 Н/м, маса твантажу дорівнює 100 г) здійснює вимушені коливання у в'язкому середовищі з коефіцієнтом опору r= 2 · 10 -2 кг / с. Визначити коефіцієнт загасання δ та резонансну амплітуду Aрез, якщо амплітудне значення сили, що змушує F 0 = 10 мН.

6.72. Тіло здійснює вимушені коливання серед з коефіцієнтом опору r= 1г/с. Вважаючи загасання малим, визначити амплітудне значення сили, що змушує, якщо резонансна амплітуда Aрез =0,5 см і частота ν 0 власних коливань дорівнює 10 Гц.

6.73. Амплітуди вимушених гармонійних коливань при частоті 1 = 400 Гц і 2 = 600 Гц рівні між собою. Визначити резонансну частоту pe з. Згасанням знехтувати.

6.74. До спіральної пружини жорсткістю k= 10Н/м підвісили вантаж масою т=10 г і занурили всю систему у в'язке середовище. Прийнявши коефіцієнт опору bрівним 0,1 кг/с, визначити: 1) частоту 0 власних коливань; 2) резонансну частоту pe з; 3) резонансну амплітуду Aрез, якщо сила, що змушує, змінюється за гармонічним законом і її амплітудне значення F 0 ==0,02 Н; 4) відношення резонансної амплітуди до статичного зміщення під дією сили F0.

6.75. У скільки разів амплітуда вимушених коливань буде меншою від резонансної амплітуди, якщо частота зміни примусової сили буде більшою за резонансну частоту: 1) на 10 %? 2) удвічі? Коефіцієнт згасання δ в обох випадках прийняти рівним 0,1 0 (ω 0 - кутова частота власних коливань).

При вивченні цього розділу слід мати на увазі, що коливанняРізної фізичної природи описуються з єдиних математичних позицій. Тут треба чітко усвідомити такі поняття, як гармонійне коливання, фаза, різницю фаз, амплітуда, частота, період коливання.

Треба пам'ятати, що у будь-якій реальній коливальній системі є опору середовища, тобто. коливання будуть загасаючими. Для характеристики загасання коливань вводиться коефіцієнт загасання та логарифмічний декремент згасання.

Якщо коливання відбуваються під дією зовнішньої сили, що періодично змінюється, то такі коливання називають вимушеними. Вони будуть незагасаючими. Амплітуда вимушених коливань залежить від частоти сили, що змушує. При наближенні частоти вимушених коливань до частоти власних коливань амплітуда вимушених коливань різко зростає. Це називається резонансом.

Переходячи до вивчення електромагнітних хвиль потрібно чітко уявляти, щоелектромагнітна хвиля- це електромагнітне поле, що розповсюджується в просторі. Найпростішою системою, що випромінює електромагнітні хвилі, є електричний диполь. Якщо диполь здійснює гармонійні коливання, він випромінює монохроматичну хвилю.

Таблиця формул: коливання та хвилі

Фізичні закони, формули, змінні

Формули коливання та хвилі

Рівняння гармонійних коливань:

де х - зміщення (відхилення) величини, що коливається від положення рівноваги;

А – амплітуда;

ω – кругова (циклічна) частота;

α - початкова фаза;

(ωt+α) - фаза.

Зв'язок між періодом та круговою частотою:

Частота:

Зв'язок кругової частоти з частотою:

Періоди власних коливань

1) пружинного маятника:

де k – жорсткість пружини;

2) математичного маятника:

де l - довжина маятника,

g – прискорення вільного падіння;

3) коливального контуру:

де L - індуктивність контуру,

С – ємність конденсатора.

Частота своїх коливань:

Складання коливань однакової частоти та напряму:

1) амплітуда результуючого коливання

де А 1 і А 2 - амплітуди складових коливань,

α 1 і α 2 - початкові фази складових коливань;

2) початкова фаза результуючого коливання

Рівняння загасаючих коливань:

е = 2,71... - основа натуральних логарифмів.

Амплітуда загасаючих коливань:

де А 0 - Амплітуда в початковий момент часу;

β - коефіцієнт загасання;

Коефіцієнт згасання:

вагаючого тіла

де r - коефіцієнт опору середовища,

m – маса тіла;

коливального контуру

де R - активний опір,

L – індуктивність контуру.

Частота загасаючих коливань ω:

Період загасаючих коливань Т:

Логарифмічний декремент згасання:

Теми кодифікатора ЄДІ: гармонійні коливання; амплітуда, період, частота, фаза коливань; вільні коливання, вимушені коливання, резонанс.

Коливання - це зміни стану системи, що повторюються в часі. Поняття коливань охоплює дуже широке коло явищ.

Коливання механічних систем, або механічні коливання- це механічний рух тіла або системи тіл, яке має повторюваність у часі і відбувається в околиці положення рівноваги. Положення рівновагиназивається такий стан системи, в якому вона може залишатися як завгодно довго, не відчуваючи зовнішніх впливів.

Наприклад, якщо маятник відхилити та відпустити, то почнуться коливання. Положення рівноваги - це положення маятника за відсутності відхилення. У цьому положенні маятник, якщо його не чіпати, може перебувати як завгодно довго. При коливаннях маятник багато разів проходить положення рівноваги.

Відразу після того, як відхилений маятник відпустили, він почав рухатися, пройшов положення рівноваги, досягнув протилежного крайнього становища, на мить зупинився в ньому, рушив у зворотному напрямку, знову пройшов положення рівноваги і повернувся назад. Здійснилося одне повне коливання. Далі цей процес періодично повторюватиметься.

Амплітуда коливань тіла - Це величина його найбільшого відхилення від положення рівноваги.

Період коливань - Це час одного повного коливання. Можна сказати, що за період тіло проходить шлях у чотири амплітуди.

Частота коливань - це величина, обернена до періоду: . Частота вимірюється в герцах (Гц) і показує скільки повних коливань відбувається за одну секунду.

Гармонійні коливання.

Будемо вважати, що положення тіла, що коливається, визначається однією-єдиною координатою . Положення рівноваги відповідає значення. Основне завдання механіки у разі полягає у знаходженні функції , дає координату тіла у час.

Для математичного опису коливань можна використовувати періодичні функції. Таких функцій багато, але дві з них – синус та косинус – є найважливішими. Вони мають багато хороших властивостей, і вони тісно пов'язані з широким колом фізичних явищ.

Оскільки функції синус і косинус виходять друг з друга зрушенням аргументу на , можна лише однієї. Ми для певності використовуватимемо косинус.

Гармонічні коливання- це коливання, у яких координата залежить від часу за гармонійним законом:

(1)

З'ясуємо сенс величин, що входять до цієї формули.

Позитивна величина є найбільшим за модулем значенням координати (оскільки максимальне значення модуля косинуса дорівнює одиниці), тобто найбільшим відхиленням від положення рівноваги. Тому – амплітуда коливань.

Аргумент косинуса називається фазоюколивань. Розмір , рівна значенню фази при , називається початковою фазою. Початкова фаза відповідає початковій координаті тіла: .

Величина називається циклічною частотою. Знайдемо її зв'язок з періодом коливань та частотою. Одному повному коливанню відповідає збільшення фази, рівне радіан: , звідки

(2)

(3)

Вимірюється циклічна частота рад/с (радіан в секунду).

Відповідно до виразів (2) і (3) отримуємо ще дві форми запису гармонійного закону (1) :

Графік функції (1), що виражає залежність координати від часу при гармонійних коливаннях, наведено на рис. 1 .

Гармонічний закон виду (1) має найзагальніший характер. Він відповідає, наприклад, ситуації, коли з маятником вчинили одночасно дві початкові дії: відхилили на величину і надали йому деяку початкову швидкість. Є два важливі окремі випадки, коли одна з цих дій не відбувалася.

Нехай маятник відхилили, але початкову швидкість не повідомляли (відпустили без початкової швидкості). Ясно, що в цьому випадку , тому можна покласти . Ми отримуємо закон косинуса:

Графік гармонійних коливань у разі представлений на рис. 2 .

Мал. 2. Закон косинуса

Допустимо тепер, що маятник не відхиляли, але ударом повідомили йому початкову швидкість із положення рівноваги. В цьому випадку, так що можна покласти. Отримуємо закон синуса:

Графік коливань представлений рис. 3 .

Мал. 3. Закон синусу

Рівняння гармонійних коливань.

Повернемося до загального гармонійного закону (1). Диференціюємо цю рівність:

. (4)

Тепер диференціюємо отриману рівність (4) :

. (5)

Давайте зіставимо вираз (1) для координати та вираз (5) для проекції прискорення. Ми, що проекція прискорення відрізняється від координати лише множником :

. (6)

Це співвідношення називається рівнянням гармонійних коливань. Його можна переписати і в такому вигляді:

. (7)

З математичної точки зору рівняння (7) є диференціальним рівнянням. Рішеннями диференціальних рівнянь служать функції (а чи не числа, як і звичайній алгебрі).
Так от, можна довести, що:

Рішенням рівняння (7) є будь-яка функція виду (1) з довільними;

Жодна інша функція рішенням цього рівняння не є.

Іншими словами, співвідношення (6), (7) описують гармонійні коливання з циклічною частотою і лише їх. Дві константи визначаються з початкових умов - за початковими значеннями координати та швидкості.

Пружинний маятник.

Пружинний маятник - це закріплений на пружині вантаж, здатний здійснювати коливання горизонтальному або вертикальному напрямку.

Знайдемо період малих горизонтальних коливань пружинного маятника (рис. 4). Коливання будуть малими, якщо величина деформації пружини набагато менша від її розмірів. За малих деформацій ми можемо користуватися законом Гука. Це призведе до того, що коливання виявляться гармонійними.

Тертям нехтуємо. Вантаж має масу, жорсткість пружини дорівнює.

Координаті відповідає положення рівноваги, у якому пружина не деформована. Отже, величина деформації пружини дорівнює модулю координати вантажу.

Мал. 4. Пружинний маятник

У горизонтальному напрямку на вантаж діє лише сила пружності з боку пружини. Другий закон Ньютона для вантажу в проекції на вісь має вигляд:

. (8)

Якщо (вантаж зміщений праворуч, як на малюнку), то сила пружності спрямована в протилежний бік, і . Навпаки, якщо , то . Знаки і постійно протилежні, тому закон Гука можна записати так:

Тоді співвідношення (8) набуває вигляду:

Ми отримали рівняння гармонійних коливань виду (6) , в якому

Циклічна частота коливань пружинного маятника, таким чином, дорівнює:

. (9)

Звідси і із співвідношення знаходимо період горизонтальних коливань пружинного маятника:

. (10)

Якщо підвісити вантаж на пружині, то вийде пружинний маятник, який здійснює коливання у вертикальному напрямку. Можна показати, що й у разі для періоду коливань справедлива формула (10) .

Математичний маятник.

Математичний маятник - це невелике тіло, підвішене на невагомій нерозтяжній нитці (рис. 5). Математичний маятник може коливатися у вертикальній площині в полі сили тяжіння.

Мал. 5. Математичний маятник

Знайдемо період малих коливань математичного маятника. Довжина нитки дорівнює. Опір повітря нехтуємо.

Запишемо для маятника другий закон Ньютона:

і спроектуємо його на вісь:

Якщо маятник займає становище як у малюнку (т. е. ), то:

Якщо ж маятник знаходиться з іншого боку положення рівноваги (т. е. ), то:

Отже, за будь-якого положення маятника маємо:

. (11)

Коли маятник лежить у положенні рівноваги, виконано рівність . При малих коливаннях, коли відхилення маятника від положення рівноваги малі (проти довжиною нитки), виконано наближену рівність . Скористаємося ним у формулі (11) :

Це - рівняння гармонійних коливань виду (6) , в якому

Отже, циклічна частота коливань математичного маятника дорівнює:

. (12)

Звідси період коливань математичного маятника:

. (13)

Зверніть увагу, що до формули (13) не входить маса вантажу. На відміну від пружинного маятника період коливань математичного маятника не залежить від його маси.

Вільні та вимушені коливання.

Кажуть, що система здійснює вільні коливання, якщо вона одноразово виведена зі становища рівноваги і надалі надана сама собі. Жодних періодичних зовнішніх
впливів система при цьому не відчуває, і жодних внутрішніх джерел енергії, що підтримують коливання, у системі немає.

Розглянуті вище коливання пружинного та математичного маятників є прикладами вільних коливань.

Частота, з якою відбуваються вільні коливання, називається власною частотоюколивальної системи. Так, формули (9) і (12) дають власні (циклічні) частоти коливань пружинного та математичного маятників.

В ідеалізованій ситуації за відсутності тертя вільні коливання є незагасаючими, тобто мають постійну амплітуду і тривають необмежено довго. У реальних коливальних системах завжди є тертя, тому вільні коливання поступово згасають (рис. 6).

Вимушені коливання- це коливання, що здійснюються системою під впливом зовнішньої сили, що періодично змінюється в часі (так званої сили, що змушує).

Припустимо, що власна частота коливань системи дорівнює , а сила, що змушує, залежить від часу за гармонійним законом:

Протягом деякого часу відбувається встановлення вимушених коливань: система здійснює складний рух, який є накладенням вимушених та вільних коливань. Вільні коливання поступово згасають, і в режимі, що встановився, система здійснює вимушені коливання, які також виявляються гармонійними. Частота вимушених коливань, що встановилися, збігається з частотою
змушує сили (зовнішня сила хіба що нав'язує системі свою частоту).

Амплітуда встановлених вимушених коливань залежить від частоти сили, що змушує. Графік цієї залежності показано на рис.

7 .

Мал. 7. Резонанс

Ми, що поблизу частоти настає резонанс - явище зростання амплітуди вимушених коливань. Резонансна частота приблизно дорівнює своїй частоті коливань системи: , і це рівність виконується тим точніше, що менше тертя у системі. За відсутності тертя резонансна частота збігається зі своєю частотою коливань, а амплітуда коливань зростає до нескінченності при .§ 6. МЕХАНІЧНІ КОЛИВАННЯ

Основні формули

де Рівняння гармонійних коливаньх - tзміщення коливається точки від положення рівноваги; А,- Час; t.

ω, φ- відповідно амплітуда, кутова частота, початкова фаза коливань;

- фаза коливань у момент

Кутова частота коливань

де ν і Т - частота та період коливань.

Швидкість точки, що здійснює гармонічні коливання, АПрискорення при гармонійному коливанні

Амплітуда a 1 результуючого коливання, отриманого при додаванні двох коливань з однаковими частотами, що відбуваються по одній прямій, визначається за формулою А 2 - де

амплітуди складових коливань; ? 1 і ? 2 - їх початкові фази.

Початкова фаза φ результуючого коливання може бути знайдена з формули

Якщо початкові фази φ 1 і φ 2 складових коливань однакові, то рівняння траєкторії набуває вигляду

т. е. точка рухається прямою.

У тому випадку, якщо різниця фаз , рівняння набуває вигляду

т. е. точка рухається еліпсом. k- Диференціальне рівняння гармонійних коливань матеріальної точки k=тω 2).

Або , де m – маса точки;

коефіцієнт квазіпружної сили (

Амплітуда m- маса тіла; k- жорсткість пружини.

Формула справедлива для пружних коливань у межах, у яких виконується закон Гука (при малій масі пружини проти масою тіла).

Амплітуда lПеріод коливань математичного маятника - Довжина маятника;- g

де Jприскорення вільного падіння. Період коливань фізичного маятника

- момент інерції тіла, що коливається відносно осі аколивань;

- відстань центру мас маятника від осі коливань;

Наведена довжина фізичного маятника.

де J- Період крутильних коливань тіла, підвішеного на пружній нитці, k- момент інерції тіла щодо осі, що збігається з пружною ниткою;

жорсткість пружної нитки, що дорівнює відношенню пружного моменту, що виникає при закручуванні нитки, до кута, на який закручується нитка.

де rДиференціальне рівняння загасаючих коливань , або , - - Коефіцієнт опору; δ

коефіцієнт згасання: ; ω 0 - власна кутова частота коливань *

де Рівняння загасаючих коливань- A(t) t;амплітуда загасаючих коливань у момент

ω - їхня кутова частота.

Кутова частота загасаючих коливань

Амплітуда А 0 - Про Залежність амплітуди загасаючих коливань від часу t=0.

амплітуда коливань у момент

Амплітуда Рівняння загасаючих коливаньрезультуючого коливання, отриманого при додаванні двох коливань з однаковими частотами, що відбуваються по одній прямій, визначається за формулою Логарифмічний декремент коливань- A (t+T)

амплітуди двох послідовних коливань, віддалених у часі друг від друга період.

Диференційне рівняння вимушених коливань F 0 - де - зовнішня періодична сила, що діє на матеріальну точку, що коливається і викликає вимушені коливання;

її амплітудне значення;

Амплітуда вимушених коливань

Резонансна частота та резонансна амплітуда та

Приклади розв'язання задачприклад 1. Крапка здійснює коливання згідно із законом , Амплітуда А = 2 x(t)=

xдив. Визначити початкову фазу φ, якщо х , (0)<0. Построить векторную диаграмму для мо- мента t=0.

(0)= см і tРішення. Скористаємося рівнянням руху та висловимо зміщення у момент

=0 через початкову фазу:

Звідси знайдемо початкову фазу:

* У наведених раніше формулах гармонійних коливань та сама величина позначалася просто ω (без індексу 0). xПідставимо в цей вираз задані значення А:(0) та

φ= = .

Значення аргументу задовольняють два значення кута: tДля того щоб вирішити, яке з цих значень кута φ задовольняє ще й умові, знайдемо спочатку:

Т Підставивши в цей вираз значення A>0 і ω>0, то умові задовольняє лише перше значення початкової фази. Таким чином, шукана початкова фаза

За знайденим значенням φ побудуємо векторну діаграму (рис. 6.1). приклад 2.Матеріальна точка масою т=5 г здійснює гармонічні коливання з частотою ν = 0,5 Гц. Амплітуда коливань A=3 см. Визначити: 1) швидкість υ точки в момент часу, коли зміщення х== 1,5 см; 2) максимальну силу F max , що діє на точку; 3) Мал. 6.1 повну енергію Еточки, що коливається.

а формулу швидкості отримаємо, взявши першу похідну за часом від усунення:

Щоб виразити швидкість через усунення, треба виключити з формул (1) і (2) час. Для цього зведемо обидва рівняння у квадрат, розділимо перше на А 2 , друге на A 2 ω 2 і складемо:

Вирішивши останнє рівняння щодо υ , знайдемо

Виконавши обчислення за цією формулою, отримаємо

Усунення при гармонійному коливанні крім рівняння (1) може бути визначене також рівнянням

Повторивши з цим рівнянням таке саме рішення, отримаємо ту саму відповідь.

2. Силу, що діє на точку, знайдемо за другим законом Ньютона:

де а -прискорення точки, яку отримаємо, взявши похідну за часом від швидкості:

Підставивши вираз прискорення у формулу (3), отримаємо

Звідси максимальне значення сили

Підставивши в це рівняння значення величин π, ν, трезультуючого коливання, отриманого при додаванні двох коливань з однаковими частотами, що відбуваються по одній прямій, визначається за формулою A,знайдемо

Максимальну швидкість визначимо з формули (2), поклавши: . Підставивши вираз швидкості у формулу (4), знайдемо

Підставивши значення величин у цю формулу і здійснивши обчислення, отримаємо

чи мкДж.

приклад 3.На кінцях тонкого стрижня завдовжки l= 1 м та масою m 3 = 400 г укріплені кульки малих розмірів масами m 1 = 200 г результуючого коливання, отриманого при додаванні двох коливань з однаковими частотами, що відбуваються по одній прямій, визначається за формулою m 2 = 300г. Стрижень коливається біля горизонтальної осі, перпен-

Рішення. Період коливань фізичного маятника, яким є стрижень із кульками, визначається співвідношенням

Амплітуда J- т -його маса; l З - відстань від центру мас маятника до осі.

Момент інерції даного маятника дорівнює сумі моментів інерції кульок J 1 та J 2 та стрижня J 3:

Приймаючи кульки за матеріальні точки, висловимо моменти їхньої інерції:

Так як вісь проходить через середину стрижня, його момент інерції щодо цієї осі J 3 = = . Підставивши отримані вирази J 1 , J 2 і J 3 у формулу (2), знайдемо загальний момент інерції фізичного маятника:

Зробивши обчислення за цією формулою, знайдемо

Мал. 6.2 Маса маятника складається з мас кульок та маси стрижня:

Відстань l З центру мас маятника від осі коливань знайдемо, з наступних міркувань. Якщо вісь хнаправити вздовж стрижня та початок координат поєднати з точкою О,та шукана відстань lодно координаті центру мас маятника, тобто.

Підставивши значення величин m 1 , m 2 , m, lі зробивши обчислення, знайдемо

Здійснивши розрахунки за формулою (1), отримаємо період коливань фізичного маятника:

приклад 4.Фізичний маятник є стрижнем довжиною l= 1 м та масою 3 т 1 зприкріпленим до одного з його кінців обручем діаметром та масою т 1 . Горизонтальна вісь Oz

Рішення. Період коливань фізичного маятника визначається за формулою

Амплітуда J- момент інерції маятника щодо осі коливань; т -його маса; l C - відстань від центру мас маятника до осі коливань.

Момент інерції маятника дорівнює сумі моментів інерції стрижня J 1 та обруча J 2:

Момент інерції стрижня щодо осі, перпендикулярної стрижню і проходить через його центр мас, визначається за формулою. В даному випадку т= 3т 1 та

Момент інерції обруча знайдемо, скориставшись теоремою Штейнера, де J- момент інерції щодо довільної осі; J 0 - момент інерції щодо осі, що проходить через центр мас паралельно заданої осі; а -відстань між вказаними осями. Застосувавши цю формулу до обруча, отримаємо

Підставивши вирази J 1 та J 2 у формулу (2), знайдемо момент інерції маятника щодо осі обертання:

Відстань l З від осі маятника до його центру мас одно

Підставивши у формулу (1) вирази J, lз і маси маятника, знайдемо період його коливань:

Після обчислення за цією формулою отримаємо T= 2,17 с.

Приклад 5.Складаються два коливання однакового напрямку, що виражаються рівняннями; х 2 = =, де А 1 = 1 см, A 2 = 2 см, с, с, ω = =. 1. Визначити початкові фази φ 1 і φ 2 складових коле-

Рішення. 1. Рівняння гармонійного коливання має вигляд

Перетворимо рівняння, задані за умови завдання, до такого виду:

З порівняння виразів (2) з рівністю (1) знаходимо початкові фази першого і другого коливань:

Радий і радий.

де - Різниця фаз складових коливань. Оскільки , то, підставляючи знайдені значення 2 і 1 отримаємо радий.

Підставимо значення А 1 , А 2 і у формулу (3) і зробимо обчислення:

A= 2,65 см.

Тангенс початкової фази φ результуючого коливання визначимо безпосередньо з рис. 6.4: , звідки - так початкова фаза

Підставимо значення А 1 , А 2 , φ 1 , φ 2 і зробимо обчислення:

Так як кутові частоти коливань, що складаються, однакові, то результуюче коливання буде мати ту ж частоту ω. Це дозволяє написати рівняння результуючого коливання у вигляді де A=2,65 див, , рад.

Амплітуда a 1 = 1 см, A 2 = 2 см, . Знайти рівняння траєкторії точки. Побудувати траєкторію з дотриманням масштабу та вказати напрямок руху точки.

Рішення. Щоб знайти рівняння траєкторії точки, виключимо час tіз заданих рівнянь (1) та (2). Для цього восполь-

зуємося формулою. В даному випадку , тому

Оскільки згідно з формулою (1) , то рівняння траекторії

X , СМ

Накресливши координатні осі та вибравши масштаб, нанесемо на площину хОузнайдені точки. З'єднавши їх плавною кривою, отримаємо траєкторію точки, яка здійснює коливання відповідно до рівнянь руху (1) і (2) (рис. 6.5).

Для того щоб вказати напрямок руху точки, простежимо за тим, як змінюється її положення з часом. У початковий момент t=0 координати точки дорівнюють x(0)=1 см і y(0)=2 см. У наступний момент часу, наприклад при t 1 =l с, координати точок зміняться і стануть рівними х(1) = -1 см, y( t )=0. Знаючи положення точок у початковий і наступний (близький) моменти часу, можна вказати напрямок руху точки по траєкторії. Ана початок координат). Після того, як в момент t 2 = 2 з точка, що коливається, досягне точки D,вона рухатиметься у зворотному напрямку.

Завдання

Кінематика гармонійних коливань

6.1. Рівняння коливань точки має вигляд , де ?=? з -1,? =0,2 с. Визначити період Ті початкову фазу коливань.

6.2. Визначити період Т,частоту v і початкову фазу коливань, заданих рівнянням , де ω=2,5π з -1 , τ=0,4 с.

6.3. Крапка здійснює вагання за законом , де A х(0)=2см та ; 2) х(0) = см і; t=0.

6.4. 3) х(0)=2см і; 4) х(0)= та . AПобудувати векторну діаграму для моменту Точка здійснює вагання.за законом, де= 2 =4 см. Визначити початкову фазу φ, якщо: 1) xх(0) хсм та ; 2) x(0)= см і; 3) t=0.

(0)= см і; 4) (0) = см і . Побудувати векторну діаграму для моменту(Лат.

amplitude

- величина) - це найбільше відхилення тіла, що коливається від положення рівноваги.

Для маятника це максимальна відстань, на яку віддаляється кулька від свого положення рівноваги (рисунок нижче). Для коливань з малими амплітудами за таку відстань можна приймати як довжину дуги 01 чи 02, і довжини цих відрізків.

Період коливаньАмплітуда коливань вимірюється в одиницях довжини - метрах, сантиметрах і т. д. На графіку коливань амплітуда визначається як максимальна (за модулем) ордината синусоїдальної кривої, (див. рис. Нижче).

Період коливань. Т- Це найменший проміжок часу, через який система, що робить коливання, знову повертається в той же стан, в якому вона знаходилася в початковий момент часу, вибраний довільно. ПроІншими словами, період коливань ( Про) - це час, за який відбувається одне повне коливання. Наприклад, на малюнку нижче цей час, за який вантаж маятника переміщається з крайньої правої точки через точку рівноваги

у крайню ліву точку і назад через точку знову в крайню праву.За повний період коливань, таким чином, тіло проходить шлях, рівний чотирьом амплітудам. Період коливань вимірюється в одиницях часу - секундах, хвилинах і т. д. Період коливань може бути визначений

відомому графіку коливань (див. рис. нижче)..

Поняття «період коливань», строго кажучи, справедливе, лише коли значення коливається величини точно повторюються через певний проміжок часу, тобто для гармонійних коливань. Однак це поняття застосовується також і для випадків приблизно повторюваних величин, наприклад, для

Частота коливаньзагасаючих коливань

Частота коливань. - Це число коливань, що здійснюються за одиницю часу, наприклад, за 1 с.(Одиниця частоти у СІ названа) на честь німецького фізика Г. Герца (1857-1894). Якщо частота коливань ( v) дорівнює 1 Одиниця частоти у СІ названа, то це означає, що за кожну секунду відбувається одне коливання. Частота та період коливань пов'язані співвідношеннями:

Теоретично коливань користуються також поняттям циклічною, або кругової частоти ω . Вона пов'язана із звичайною частотою vта періодом коливань Тспіввідношеннями:

Циклічна частота- Це число коливань, що здійснюються за 2πсекунд.