Поняття про інтеграл фур'є. Достатні умови представності функції інтегралом фур'є. Розкладання ряд Фур'є парних і непарних функцій

Які вже добряче набридли. І я відчуваю, що настав момент, коли зі стратегічних запасів теорії настав час витягти нові консерви. Чи не можна розкласти функцію в ряд якось інакше? Наприклад, виразити відрізок прямої лінії через синуси та косинуси? Здається неймовірним, але такі, начебто, далекі одна від одної функції піддаються
"возз'єднання". Крім примелькавшихся ступенів у теорії та практиці існують інші підходи до розкладання функції в ряд.

На даному уроці ми познайомимося з тригонометричним рядом Фур'є, торкнемося питання його збіжності та суми і, звичайно ж, розберемо численні приклади на розкладання функцій у ряді Фур'є. Щиро хотілося назвати статтю «Ряди Фур'є для чайників», але це було б лукавством, оскільки для вирішення завдань знадобляться знання інших розділів математичного аналізу та деякий практичний досвід. Тому преамбула нагадуватиме підготовку космонавтів =)

По-перше, до вивчення матеріалів сторінки слід підійти у відмінній формі. Виспалися, відпочили і тверезі. Без сильних емоцій з приводу зламаної лапи хом'ячка та нав'язливих думок про тягар життя акваріумних рибок. Ряд Фур'є не складний з погляду розуміння, проте практичні завданнявимагають просто підвищеної концентрації уваги - в ідеалі слід повністю відмовитися від зовнішніх подразників. Ситуація ускладнюється тим, що не існує легкого способу перевірки рішення та відповіді. Таким чином, якщо ваше самопочуття нижче середнього, то краще зайнятися чимось простим. Щоправда.

По-друге, перед польотом у космос необхідно вивчити панель приладів космічного корабля. Почнемо із значень функцій, які повинні клацатися на автоматі:

При будь-якому натуральному значенні:

1). І справді, синусоїда «прошиває» вісь абсцис через кожне «пі»:
. Що стосується негативних значень аргументу результат, звісно ж, буде таким же: .

2). А це знали не всі. Косинус «пі ен» є еквівалентом «мигалки»:

Негативний аргумент справи не змінює: .

Мабуть, достатньо.

І, по-третє, шановний загін космонавтів, необхідно вміти... інтегрувати.
Зокрема, упевнено підводити функцію під знак диференціалу, інтегрувати частинамиі бути в ладах з формулою Ньютона-Лейбніца. Почнемо важливі передпольотні вправи. Категорично не рекомендую пропускати, щоб потім не плющило у невагомості:

Приклад 1

Обчислити певні інтеграли

де набуває натуральних значень.

Рішення: інтегрування проводиться за змінною "ікс" і на даному етапі дискретна змінна "ен" вважається константою. У всіх інтегралах підводимо функцію під знак диференціалу:

Коротка версія рішення, до якої добре пристрілятися, виглядає так:

Звикаємо:

Чотири пункти, що залишилися, самостійно. Постарайтеся сумлінно поставитися до завдання та оформити інтеграли коротким способом. Зразки рішень наприкінці уроку.

Після якісного виконання вправ надягаємо скафандри
і готуємось до старту!

Розкладання функції у ряд Фур'є на проміжку

Розглянемо деяку функцію, яка визначенопринаймні на проміжку (а, можливо, і на більшому проміжку). Якщо ця функція інтегрована на відрізку , її можна розкласти в тригонометрический ряд Фур'є:
де – так звані коефіцієнти Фур'є.

При цьому число називають періодом розкладання, А число - напівперіодом розкладання.

Очевидно, що в загальному випадку ряд Фур'є складається з синусів та косінусів:

Дійсно, розпишемо його докладно:

Нульовий член низки прийнято записувати як .

Коефіцієнти Фур'є розраховуються за такими формулами:

Прекрасно розумію, що початківцям вивчати тему поки що малозрозумілі нові терміни: період розкладання, напівперіод, коефіцієнти Фур'єта ін Без паніки, це не порівняно з хвилюванням перед виходом у відкритий космос. У всьому розберемося в найближчому прикладі, перед виконанням якого логічно поставитися насущними практичними питаннями:

Що потрібно зробити в наведених нижче завданнях?

Розкласти функцію до ряду Фур'є. Додатково нерідко потрібно зобразити графік функції, графік суми ряду, часткової суми і у разі витончених професорських фантазій зробити щось ще.

Як розкласти функцію до ряду Фур'є?

По суті, потрібно знайти коефіцієнти Фур'єтобто скласти і обчислити три певних інтегралів.

Будь ласка, перепишіть загальний вигляд ряду Фур'є та три робочі формули до себе у зошит. Я дуже радий, що у деяких відвідувачів сайту прямо на моїх очах здійснюється дитяча мрія стати космонавтом.

Приклад 2

Розкласти функцію в ряд Фур'є на проміжку. Побудувати графік, графік суми ряду та часткової суми.

Рішення: перша частина завдання полягає у розкладанні функції в ряд Фур'є.

Початок стандартний, обов'язково записуємо, що:

У цьому завдання період розкладання, напівперіод.

Розкладемо функцію в ряд Фур'є на проміжку:

Використовуючи відповідні формули, знайдемо коефіцієнти Фур'є. Тепер потрібно скласти та обчислити три певних інтегралів. Для зручності я нумеруватиму пункти:

1) Перший інтеграл найпростіший, однак і він уже вимагає око та око:

2) Використовуємо другу формулу:

Цей інтеграл добре знайомий і береться він частинами:

При знаходженні використаний метод підведення функції під знак диференціалу.

У розглянутому завданні зручніше відразу використовувати формулу інтегрування частинами у певному інтегралі :

Пара технічних зауважень. По-перше, після застосування формули весь вираз потрібно покласти у великі дужки, оскільки перед вихідним інтегралом є константа . Не втрачаємо її! Дужки можна розкрити на будь-якому подальшому кроці, я це зробив в останню чергу. У першому «шматку» виявляємо крайню акуратність у підстановці, як бачите, константа не при справах, і межі інтегрування підставляються у твір. Ця дія виділена квадратними дужками. Ну а інтеграл другого «шматка» формули вам добре знайомий із тренувального завдання;-)

І найголовніше – гранична концентрація уваги!

3) Шукаємо третій коефіцієнт Фур'є:

Отримано родича попереднього інтеграла, який теж інтегрується частинами:

Цей екземпляр трохи складніший, закоментую подальші дії покроково:

(1) Вираз повністю укладаємо у великі дужки. Не хотів здатися занудою, надто часто втрачають константу.

(2) У цьому випадку я негайно розкрив ці великі дужки. Особливу увагуприділяємо першому «шматку»: константа палить осторонь і бере участь у підстановці меж інтегрування ( і ) до твір . Через захаращеність запису цю дію знову доцільно виділити квадратними дужками. З другим «шматком» все простіше: тут дріб з'явився після розкриття великих дужок, а константа – внаслідок інтегрування знайомого інтеграла;-)

(3) У квадратних дужках проводимо перетворення, а правому інтегралі – підстановку меж інтегрування.

(4) Виносимо «мигалку» з квадратних дужок: після чого розкриваємо внутрішні дужки: .

(5) Взаємознищуємо 1 та –1 у дужках та проводимо остаточні спрощення.

Нарешті знайдено всі три коефіцієнти Фур'є:

Підставимо їх у формулу :

При цьому не забуваємо розділити навпіл. На останньому етапі константа («мінус два»), яка не залежить від «ен», винесена за межі суми.

Таким чином, ми отримали розкладання функції в ряд Фур'є на проміжку:

Вивчимо питання збіжності низки Фур'є. Я поясню теорію, зокрема теорему Діріхле, буквально «на пальцях», тому якщо вам необхідні суворі формулювання, будь ласка, зверніться до підручника з математичного аналізу (Наприклад, 2-й том Бохана; або 3-й том Фіхтенгольця, але в ньому важче).

У другій частині завдання потрібно зобразити графік, графік суми ряду та графік часткової суми.

Графік функції є звичайною пряму на площині, яка проведена чорним пунктиром:

Розбираємось із сумою ряду. Як ви знаєте, функціональні ряди сходяться до функцій. У нашому випадку побудований ряд Фур'є за будь-якого значення «ікс»зійдеться до функції, яка зображена червоним кольором. Ця функція терпить розриви 1-го родуу точках , але визначена і в них (червоні точки на кресленні)

Таким чином: . Легко бачити, що помітно відрізняється від вихідної функції саме тому в записі ставиться значок «тильда», а чи не знак рівності.

Вивчимо алгоритм, яким зручно будувати суму ряду.

На центральному інтервалі ряд Фур'є сходиться до функції (центральний червоний відрізок збігається з чорним пунктиром лінійної функції).

Тепер трохи поміркуємо про природу тригонометричного розкладання, що розглядається. У ряд Фур'є входять лише періодичні функції (константа, синуси та косинуси), тому сума ряду теж є періодичною функцією.

Що це означає у нашому конкретному прикладі? А це означає те, що сума ряду –неодмінно періодичнаі червоний відрізок інтервалу повинен нескінченно повторюватися ліворуч і праворуч.

Думаю, зараз остаточно прояснилося значення фрази «період розкладання». Спрощено кажучи, через кожну ситуацію знову і знову повторюється.

Насправді зазвичай досить зобразити три періоди розкладання, як і зроблено на кресленні. Ну і ще "обрубки" сусідніх періодів - щоб було зрозуміло, що графік продовжується.

Особливий інтерес представляють точки розриву 1-го роду. У таких точках ряд Фур'є сходить до ізольованих значень, які розташовані рівно посередині «стрибка» розриву (червоні точки на кресленні). Як дізнатися ординату цих точок? Спочатку знайдемо ординату «верхнього поверху»: при цьому обчислимо значення функції крайньої правої точки центрального періоду розкладання: . Щоб обчислити ординату «нижнього поверху» найпростіше взяти крайнє ліве значення цього періоду: . Ордината середнього значення – це середня арифметична сума «верха і низу»: . Приємним є той факт, що при побудові креслення ви відразу побачите, чи правильно чи неправильно обчислено середину.

Побудуємо часткову суму низки і заразом повторимо сенс терміна «збіжність». Мотив відомий ще з уроку про сумі числового ряду. Розпишемо наше багатство докладно:

Щоб скласти часткову суму, необхідно записати нульовий + ще два члени ряду. Тобто,

На кресленні графік функції зображений зеленим кольором, і, як бачите, досить щільно «обвиває» повну суму. Якщо розглянути часткову суму з п'яти членів ряду , то графік цієї функції ще точніше наближатиме червоні лінії, якщо сто членів – то «зелений змій» фактично повністю зіллється з червоними відрізками тощо. Таким чином, ряд Фур'є сходиться до своєї суми.

Цікаво відзначити, що будь-яка часткова сума – це безперервна функція, проте повна сума ряду все ж таки розривна.

Насправді негаразд рідко потрібно побудувати і графік часткової суми. Як це зробити? У разі необхідно розглянути функцію на відрізку , обчислити її значення кінцях відрізка й у проміжних точках (що більше точок розглянете – то точніше буде графік). Потім слід зазначити дані точки на кресленні та акуратно зобразити графік на періоді, після чого «розтиражувати» його на сусідні проміжки. А як інакше? Адже наближення – це теж періодична функція… …щось мені її графік нагадує рівний ритм серця на дисплеї медичного приладу.

Виконувати побудову, звичайно, не дуже зручно, тому що і доводиться виявляти надакуратність, витримуючи точність не менше ніж до половини міліметра. Втім, читачів, які не в ладах із кресленням, порадую – у «реальному» завданні виконувати креслення потрібно далеко не завжди, десь у 50% випадків потрібно розкласти функцію до ряду Фур'є і все.

Після виконання креслення завершуємо завдання:

Відповідь:

Багато завдань функція терпить розрив 1-го родупрямо на періоді розкладання:

Приклад 3

Розкласти в ряд Фур'є функцію, задану на відрізку. Накреслити графік функції та повної суми ряду.

Запропонована функція задана кусковим чином (Причому, зауважте, тільки на відрізку)і терпить розрив 1-го родуу точці. Чи можна визначити коефіцієнти Фур'є? Без проблем. І ліва і права частини функції інтегруються на своїх проміжках, тому інтеграли в кожній із трьох формул слід подати у вигляді суми двох інтегралів. Подивимося, наприклад, як це робиться у нульового коефіцієнта:

Другий інтеграл дорівнював нулю, що зменшило роботи, але так буває далеко не завжди.

Аналогічно розписуються два інші коефіцієнти Фур'є.

Як зобразити суму ряду? На лівому інтервалі креслимо відрізок прямої, а на інтервалі – відрізок прямої (жирно-жирно виділяємо ділянку осі). Тобто, на проміжку розкладання сума ряду збігається з функцією скрізь, крім трьох «поганих» точок. У точці розриву функції ряд Фур'є зійдеться до ізольованого значення, яке розташовується посередині «стрибка» розриву. Його неважко побачити і усно: лівостороння межа: , правостороння межа: і очевидно, що ордината середньої точки дорівнює 0,5.

З огляду на періодичність суми , картинку необхідно «розмножити» на сусідні періоди, зокрема зобразити те саме на інтервалах і . При цьому, у точках ряд Фур'є зійдеться до серединних значень.

По суті, нічого нового тут немає.

Постарайтеся самостійно впоратися з цим завданням. Зразок чистового оформлення та креслення наприкінці уроку.

Розкладання функції ряд Фур'є на довільному періоді

Для довільного періоду розкладання , де «ель» – будь-яке позитивне число, формули ряду Фур'є та коефіцієнтів Фур'є відрізняються трохи ускладненим аргументом синуса та косинуса:

Якщо , то виходять формули проміжку , з яких ми починали.

Алгоритм та принципи вирішення задачі повністю зберігаються, але зростає технічна складність обчислень:

Приклад 4

Розкласти функцію в ряд Фур'є та побудувати графік суми.

Рішення: фактично аналог Прикладу № 3 с розривом 1-го родуу точці. У цьому завдання період розкладання, напівперіод. Функція визначена тільки на напівінтервалі, але це не змінює справи – важливо, що обидва шматки функції інтегруються.

Розкладемо функцію до ряду Фур'є:

Оскільки функція розривна на початку координат, то кожен коефіцієнт Фур'є очевидно слід записати у вигляді суми двох інтегралів:

1) Перший інтеграл розпишу максимально докладно:

2) Ретельно вдивляємось у поверхню Місяця:

Другий інтеграл беремо частинами:

На що слід звернути пильну увагу після того, як ми зірочкою відкриваємо продовження рішення?

По-перше, не втрачаємо перший інтеграл де відразу ж виконуємо підведення під знак диференціалу. По-друге, не забуваємо злощасну константу перед великими дужками та не плутаємось у знакахпри використанні формули . Великі дужки, все-таки зручніше розкривати відразу на наступному кроці.

Інша справа техніки, складнощі може викликати лише недостатній досвід розв'язання інтегралів.

Так, недаремно імениті колеги французького математика Фур'є обурювалися - як це той посмів розкладати функції в тригонометричні ряди?! =) До речі, напевно, всім цікавий практичний зміст завдання. Сам Фур'є працював над математичною моделлю теплопровідності, а згодом ряд, названий його ім'ям став застосовуватися для вивчення багатьох періодичних процесів, яких у навколишньому світі мабуть-невидимо. Зараз, до речі, впіймав себе на думці, що не випадково порівняв графік другого прикладу з періодичним ритмом серця. Бажаючі можуть ознайомитися з практичним застосуванням перетворення Фур'єу сторонніх джерелах. …Хоча краще не треба – буде згадуватися, як Перше Кохання =)

3) Враховуючи слабкі ланки, що неодноразово згадувалися, розбираємося з третім коефіцієнтом:

Інтегруємо частинами:

Підставимо знайдені коефіцієнти Фур'є у формулу , не забуваючи поділити нульовий коефіцієнт навпіл:

Побудуємо графік суми низки. Коротко повторимо порядок дій: на інтервалі будуємо пряму, але в інтервалі – пряму . При нульовому значенні «ікс» ставимо крапку посередині «стрибка» розриву та «тиражуємо» графік на сусідні періоди:


На «стиках» періодів сума також дорівнюватиме серединам «стрибка» розриву.

Готово. Нагадую, що сама функція за умовою визначена лише на напівінтервалі та, очевидно, збігається із сумою ряду на інтервалах

Відповідь:

Іноді шматково-задана функція буває безперервна на періоді розкладання. Найпростіший зразок: . Рішення (Див. 2-й том Бохана)таке саме, як і двох попередніх прикладах: незважаючи на безперервність функціїу точці , кожен коефіцієнт Фур'є виражається сумою двох інтегралів.

На проміжку розкладання точок розриву 1-го родута/або точок «стику» графіка може бути і більше (дві, три і взагалі будь-яке кінцевекількість). Якщо функція інтегрована кожної частини, вона також розкладена до низки Фурье. Але з практичного досвіду таку жерсть щось не пригадую. Тим не менш, зустрічаються більш важкі завдання, ніж щойно розглянуте, і наприкінці статті для всіх бажаючих є посилання на ряди Фур'є підвищеної складності.

А поки розслабимося, відкинувшись у кріслах і споглядаючи безкраї зоряні простори:

Приклад 5

Розкласти функцію у ряд Фур'є на проміжку та побудувати графік суми ряду.

У цьому завданні функція безперервнана напівінтервалі розкладання, що полегшує рішення. Все дуже схоже на Приклад № 2. З космічного корабля нікуди не подітися – доведеться вирішувати =) Прикладний зразок оформлення наприкінці уроку графік додається.

Розкладання ряд Фур'є парних і непарних функцій

З парними та непарними функціями процес вирішення завдання помітно спрощується. І ось чому. Повернемося до розкладання функції до ряду Фур'є на періоді «два пі» та довільному періоді «два ель» .

Припустимо, що наша функція парна. Загальний член ряду, як ви бачите, містить парні косинуси і непарні синуси. А якщо ми розкладаємо ЧЕТНУ функцію, то навіщо нам непарні синуси? Давайте обнулимо непотрібний коефіцієнт: .

Таким чином, парна функція розкладається в ряд Фур'є тільки по косинусах:

Оскільки інтеграли від парних функційпо симетричному щодо нуля відрізку інтегрування можна подвоювати, то спрощуються та інші коефіцієнти Фур'є.

Для проміжку:

Для довільного проміжку:

До хрестоматійних прикладів, які є практично в будь-якому підручнику з матаналізу, належать розкладання парних функцій . Крім того, вони неодноразово зустрічалися і в моїй особистій практиці:

Приклад 6

Дана функція. Потрібно:

1) розкласти функцію до низки Фур'є з періодом , де – довільне позитивне число;

2) записати розкладання на проміжку, побудувати функцію та графік повної суми ряду.

Рішення: у першому пункті пропонується вирішити задачу в загальному вигляді, І це дуже зручно! З'явиться потреба – просто підставте своє значення.

1) У цій задачі період розкладання, напівперіод. У ході подальших дій, зокрема під час інтегрування, «ель» вважається константою

Функція є парною, а значить, розкладається в ряд Фур'є тільки по косинусах: .

Коефіцієнти Фур'є шукаємо за формулами . Зверніть увагу на їхню безумовну перевагу. По-перше, інтегрування проводиться за позитивним відрізком розкладання, а значить, ми благополучно позбавляємося модуля , розглядаючи з двох шматків лише «ікс». І по-друге, помітно спрощується інтегрування.

Два:

Інтегруємо частинами:

Таким чином:
, у своїй константу , яка залежить від «ен», виносимо межі суми.

Відповідь:

2) Запишемо розкладання на проміжку, для цього в загальну формулупідставляємо потрібне значення напівперіоду:

I. Перетворення Фур'є.

Визначення 1.Функція

Називається перетворенням Фур'єфункції.

Інтеграл тут розуміється у сенсі головного значення

і вважається, що він існує.

Якщо – абсолютно інтегрована на ℝ функція, то оскільки при , для будь-якої такої функції має сенс перетворення Фур'є (1), причому інтеграл (1) сходиться абсолютно і рівномірно на всій прямій ℝ.

Визначення 2. Якщо – перетворення Фур'є функції
, то порівняльний інтеграл

Який розуміється в сенсі головного значення, називається інтегралом Фур'є функції .

приклад 1.Знайти перетворення Фур'є функції

Задана функція абсолютно інтегрована на , дійсно,

Визначення 3.Інтеграли, що розуміються в сенсі головного значення

Називаються відповідно косинус-і синус-перетвореннями Фур'є функції .

Вважаючи , , , отримуємо частково вже знайоме нам по рядах співвідношення Фур'є

Як видно із співвідношень (3), (4),

Формули (5), (6) показують, що перетворення Фур'є цілком визначаються на всій прямій , якщо вони відомі лише для невід'ємних значень аргументу.

приклад 2.Знайти косинус - і синус - перетворення Фур'є функції

Як показано у прикладі 1, задана функція абсолютно інтегрована на .

Знайдемо її косинус - перетворення Фур'є за формулою (3):

Аналогічно, неважко знайти синус - перетворення Фур'є функції f(x) за формулою (4):

Використовуючи приклади 1 і 2, неважко безпосередньою підстановкою переконатися, що для f(x) Виконується співвідношення (5).

Якщо функція речовиннозначна, то із формул (5), (6) у цьому випадку випливає

Оскільки в цьому випадку і – речові функції на R, що видно з визначень (3), (4). Втім, рівність (7) за умови виходить і безпосередньо з визначення (1) перетворення Фур'є, враховуючи, що знак сполучення можна вносити під знак інтеграла. Останні спостереження дозволяє зробити висновок, що для будь-якої функції справедлива рівність

Корисно помітити, що й – речовинна і парна функція, тобто. , то

якщо – речова і непарна функція, тобто. , то

Якщо ж – чисто уявна функція, тобто. . , то

Зауважимо, що якщо – речовиннозначна функція, то інтеграл Фур'є можна записати також у вигляді

Де

приклад 3.
(вважаючи )

оскільки нам відомо значення інтеграла Діріхле

Розглянута в прикладі функція не є абсолютно інтегрованою на її перетворення Фур'є має розриви. Про те, що перетворення Фур'є абсолютно інтегрованих функцій не має розривів, свідчить наступна

Лемма 1. Якщо функція локально інтегрована та абсолютно інтегрована на , то

a) її перетворення Фур'є визначено за будь-якого значення

b)

Нагадаємо, що якщо– речовинно або комплекснозначна функція, визначена на відкритій множині, то функція називається локально інтегрується на, якщо будь-яка крапкамає околиця , у якій функція інтегрована. Зокрема, якщо , умова локальної інтегрованості функції , очевидно, рівнозначно тому, що для будь-якого відрізка.

приклад 4.Знайдемо перетворення Фур'є функції :

Диференціюючи останній інтеграл за параметром і інтегруючи потім частинами, знаходимо, що

або

Значить, де - постійна, яку, користуючись інтегралом Ейлера-Пуассона знаходимо зі співвідношення

Отже, ми знайшли, що , і одночасно показали, що , .

Визначення 4.Говорять, що функція , задана в проколоті околиці точки , задовольняє в точці умовам Діні, якщо

a) у точці існують обидві односторонні межі

b) обидва інтеграли

сходяться абсолютно.

Абсолютна збіжність інтегралу означає абсолютну збіжність інтеграла хоч за якогось значення .

Достатні умови представності функції інтегралом Фур'є.

Теорема 1.Якщо абсолютно інтегрована на і локально шматково безперервна функція задовольняє у точці умовам Діні, її інтеграл Фур'є сходиться у цій точці, причому до значення

, рівному напівсумі лівої та правої меж значень функції у цій точці.

Наслідок 1.Якщо функція безперервна, має у кожній точці кінцеві односторонні похідні та абсолютно інтегрована на , то вона представляється на своїм інтегралом Фур'є

де перетворення Фур'є функції .

Подання функції інтегралом Фур'є можна переписати у вигляді:

Зауваження.Сформульовані в теоремі 1 і наслідку 1 умови на функцію є достатніми, але не є необхідними для такого представлення.

Приклад 5.Уявити функцію інтегралом Фур'є, якщо

Ця функція є непарною і безперервною на ℝ, крім точок , , .

В силу непарності та речовинності функції маємо:

і з рівностей (5) і (10) випливає, що

У точках безперервності функції маємо:

Але функція непарна, тому

оскільки інтеграл обчислюється у значенні головного значення.

Функція парна, тому

якщо . При має виконуватися рівність

Вважаючи, звідси знаходимо

Якщо в останньому виразі для покласти , то

Вважаючи тут , знайдемо

Якщо функція речовиннозначна шматково безперервна на будь-якому відрізку дійсної прямої абсолютно інтегрована на і має в кожній точці кінцеві односторонні похідні, тоді в точках безперервності функції представляється у вигляді інтеграла Фур'є

а в точках розриву функції ліву частину рівності (1) слід замінити на

Якщо безперервна, абсолютно інтегрована на функція має у кожній точці кінцеві односторонні похідні, то у разі, коли ця функція є парною, справедлива рівність

а у разі, коли - непарна функція, виконується рівність

Приклад 5. Подати функцію інтегралом Фур'є, якщо:

Оскільки - безперервна на парна функція, то, використовуючи формули (13.2), (13.2'), маємо

Позначимо символом розуміється у сенсі головного значення інтеграл

Наслідок 2.Для будь-якої функції , що відповідає умовам слідства 1, існують всі перетворення , , , і мають місце рівності

Маючи на увазі ці співвідношення, перетворення (14) часто називають зворотним перетворення Фур'єі замість пишуть , а самі рівності (15) називають формулою обігу перетворення Фур'є.

Приклад 6.Нехай і

Зауважимо, що якщо , то за будь-якої функції

Візьмемо тепер функцію. Тоді

Якщо ж взяти функцію, яка є непарним продовженням функції , на всю числову вісь, то

Використовуючи теорему 1, отримуємо, що

Усі інтеграли тут розуміються у сенсі головного значення,

Відокремлюючи в двох останніх інтегралах дійсні та уявні частини, знаходимо інтеграли Лапласа

Визначення . функцію

називатимемо нормованим перетворенням Фур'є.

Визначення . Якщо – нормоване перетворення Фур'є функції, то порівняльний інтеграл

Будемо називати нормованим інтегралом Фур'є функції.

Розглянемо нормоване перетворення Фур'є (16).

Введемо для зручності такі позначення:

(Тобто. ).

У порівнянні з колишніми позначеннями це лише перенормування: Значить, зокрема, співвідношення (15) дозволяють укласти, що

або, у більш короткому записі,

Визначення 5.Оператор ми називатимемо нормованим перетворенням Фур'є, а оператор називатимемо зворотним нормованим перетворенням Фур'є.

У лемі 1 зазначалося, що перетворення Фур'є будь-який абсолютно інтегрованої на функції прагне нескінченності до нуля. У наступних двох твердженнях констатується, що, подібно до коефіцієнтів Фур'є, перетворення Фур'є тим швидше прагне нуля, чим гладше функція, від якої воно береться (у першому твердженні); взаємний із цим факт полягатиме у цьому, що швидше прагне нуля функція, від якої береться перетворення Фур'є, тим глаже її перетворення Фур'є (друге твердження).

Твердження 1(Про зв'язок гладкості функції та швидкості зменшення її перетворення Фур'є). Якщо і всі функції абсолютно інтегрована на , то:

а) за будь-якого

б)

Твердження 2(Про зв'язок швидкості зменшення функції та гладкості її перетворення Фур'є). Якщо локально інтегрована функція : така, що функція абсолютно інтегрована на , то:

а) перетворення Фур'є функції належить класу

б) має місце нерівність

Наведемо основні апаратні властивості перетворення Фур'є.

Лемма 2.Нехай для функцій і існує перетворення Фур'є (відповідно, зворотне перетворення Фур'є), тоді, які б не були числа і існує перетворення Фур'є (відповідно, зворотне перетворення Фур'є) і для функції , причому

(відповідно).

Ця властивість називається лінійністю перетворення Фур'є (відповідно зворотного перетворення Фур'є).

Слідство. .

Лемма 3. p align="justify"> Перетворення Фур'є, так само як і зворотне перетворення, є взаємно однозначним перетворенням на безлічі безперервних абсолютно інтегрованих на всій осі функцій, що мають у кожній точці односторонні похідні.

Це означає, що якщо і дві функції зазначеного типу і якщо (відповідно, якщо ), то на всій осі.

Зі затвердження леми 1 можна отримати наступну лему.

Лемма 4.Якщо послідовність абсолютно інтегрованих функцій і абсолютно інтегрована функція така, що

то послідовність поступово по всій осі сходить до функції .

Займемося тепер вивченням перетворення Фур'є згорток двох функцій. Для зручності видозмінимо визначення згортки, додавши додатковий множник

Теорема 2.Нехай функції та обмежені, безперервні та абсолютно інтегровані на речовинно осі, тоді

тобто. перетворення Фур'є згортки двох функцій дорівнює добутку перетворень Фур'є цих функцій.

Складемо зведену таблицю №1 властивостей нормованого перетворення Фур'є, корисних під час вирішення завдань наведених нижче.

Таблиця №1

Функція	Нормоване перетворення Фур'є

Використовуючи властивості 1-4 та 6, отримуємо

Приклад 7.Знайти нормоване перетворення Фур'є функції

У прикладі 4 було показано, що

тому що, якщо

За цим за якістю 3 маємо:

Аналогічно, можна скласти таблицю №2 для нормованого зворотного перетворення Фур'є:

Таблиця №2

Функція	Нормоване зворотне перетворення Фур'є

Як і раніше, використовуючи властивості 1- 4 і 6 отримуємо що

Приклад 8.Знайти нормоване зворотне перетворення Фур'є функції

Як випливає з прикладу 6

При маємо:

Представивши функцію у вигляді

використовуємо властивість 6 при

Варіанти завдань для розрахунково-графічних робіт

1. Знайти синус - перетворення Фур'є функції

2. Знайти синус - перетворення Фур'є функції

3. Знайти косинус – перетворення Фур'є функції

4. Знайти косинус – перетворення Фур'є функції

5. Знайти синус – перетворення Фур'є функції

6.Знайти косинус - перетворення Фур'є функції

7.Знайти синус - перетворення Фур'є функції

8. Знайти косинус – перетворення Фур'є функції

9. Знайти косинус – перетворення Фур'є функції

10. Знайти синус - перетворення Фур'є функції

11. Знайти синус - перетворення Фур'є функції

12. Знайти синус – перетворення функції

13. Знайти синус – перетворення функції

14. Знайти косинус – перетворення функції

15. Знайти косинус – перетворення функції

16. Знайти перетворення Фур'є функції , якщо:

17. Знайти перетворення Фур'є функції , якщо:

18. Знайти перетворення Фур'є функції , якщо:

19. Знайти перетворення Фур'є функції , якщо:

20. Знайти перетворення Фур'є функції , якщо:

21. Знайти перетворення Фур'є функції , якщо:

22. Знайти нормоване зворотне перетворення Фур'є функції

використовуючи формулу

24. Знайти нормоване зворотне перетворення Фур'є функції

використовуючи формулу

26. Знайти нормоване зворотне перетворення Фур'є функції

використовуючи формулу

28. Знайти нормоване зворотне перетворення Фур'є функції

використовуючи формулу

30. Знайти нормоване зворотне перетворення Фур'є функції

використовуючи формулу

23. Знайти нормоване зворотне перетворення Фур'є функції

використовуючи формулу

25. Знайти нормоване зворотне перетворення Фур'є функції

використовуючи формулу

27. Знайти нормоване зворотне перетворення Фур'є функції

використовуючи формулу

29. Знайти нормоване зворотне перетворення Фур'є функції

використовуючи формулу

31. Знайти нормоване зворотне перетворення Фур'є функції

використовуючи формулу

32. Подати функцію інтегралом Фур'є

33. Подати функцію інтегралом Фур'є

34. Подати функцію інтегралом Фур'є

35. Подати функцію інтегралом Фур'є

36. Подати функцію інтегралом Фур'є

37. Подати функцію інтегралом Фур'є

38. Подати функцію інтегралом Фур'є

39. Подати функцію інтегралом Фур'є

40. Подати функцію інтегралом Фур'є

41. Подати функцію інтегралом Фур'є

42. Подати функцію інтегралом Фур'є

43. Уявити інтегралом Фур'є функцію , продовживши її непарним чином інтервал , якщо:

44. Уявити інтегралом Фур'є функцію , продовживши її непарним чином інтервал , если.

Одним із потужних засобів дослідження задач математичної фізики є метод інтегральних перетворень. Нехай функція f(x) задана на інтервалі (а, 6), кінцевому чи нескінченному. Інтегральним перетворенням функції f(x) називається функція де К(х, ш) - фіксована для цього перетворення функція, звана ядром перетворення (передбачається, що інтеграл (*) існує власному чи невласному сенсі). §1. Інтеграл Фур'є Будь-яка функція f(x), яка на відрізку [-f, I] задовольняє умовам розкладності в ряд Фур'є, може бути на цьому відрізку представлена ​​тригонометричним рядом Коефіцієнти а*, і 6 ряду (1) визначаються за формулами Ейлера-Фур'є : ПЕРЕТВОРЕННЯ ФУР'Є Інтеграл Фур'є Комплексна форма інтеграла Перетворення Фур'є Косинус і синус перетворення Амплітудний і фазовий спектри Властивості Додатки Ряд у правій частині рівності (1) можна записати в іншій формі. З цією метою внесемо в нього з формул (2) значення коефіцієнтів а і оп, підведемо під знаки інтегралів cos ^ х і sin х (що можливо, оскільки змінної інтегрування є т) О) і використовуємо формулу для косинуса різниці. Якщо функція/(ж) спочатку була визначена на інтервалі числової осі, більшому, ніж відрізок [-1,1] (наприклад, на всій осі), то розкладання (3) відтворить значення цієї функції тільки на відрізку [-1, 1] і продовжить се на всю числову вісь як періодичну функцію з періодом 21 (рис. 1). Тому, якщо функція f(x) (взагалі кажучи, неперіодична) визначена по всій числовій осі, у формулі (3) можна спробувати перейти до межі при I +оо. При цьому природно вимагати виконання наступних умов: 1. f(x) задовольняє умовам розкладності в ряд Фур'є на будь-якому кінцевому відрізку осі Ох\ 2. функція f(x) абсолютно інтегрована на всій числовій осі, При виконанні умови 2 перший доданок правої частини рівності (3) при I -* +оо прагне нуля. Насправді, спробуємо встановити, у що перейде в межі при I +оо сума у ​​правій частині (3). Покладемо так, що тоді сума в правій частині (3) набуде вигляду. В силу абсолютної збіжності інтеграла ця сума при великих I мало відрізняється від виразу який нагадує інтегральну суму для функції змінного £ складену для інтервалу (0, +оо) зміни Тому природно очікувати, що при сума (5) перейде в інтеграл з іншого боку, при фіксовано) з формули (3) випливає, що і ми отримуємо рівність Достатня умова справедливості формули (7) виражається наступною теоремою. Теорема 1. Якщо функція f(x) абсолютно інтегрована на всій числовій осі і має разом зі своєю похідною кінцеве число точок розриву першого роду на будь-якому відрізку [а, 6], то справедлива рівність При цьому у будь-якій точці xq, що є точкою розриву 1 -го роду функції / (ж), значення інтеграла в правій частині (7) дорівнює Формулу (7) називають інтегральною формулою Фур'є, а інтеграл, що стоїть в її правій частині - інтегралом Фур'є. Якщо скористатися формулою дня косинуса різниці, то формулу (7) можна записати у вигляді Функції а(£), Ь(£) є аналогами відповідних коефіцієнтів Фур'є ап та Ьп 2тг-періодичної функції, але останні визначені для дискретних значень п, тоді як а(0> АЛЕ визначені для безперервних значень G (-оо, +оо). Комплексна форма інтеграла Фур'є Припускаючи / (х) абсолютно інтегрованої на всій осі Ох, розглянемо інтеграл Цей інтеграл рівномірно сходиться для, так як і тому є безперервною і , очевидно, непарну функцію від Але тоді З іншого боку, інтеграл є парна функція змінної так що Тому інтегральну формулу Фур'є можна записати так: Помножимо рівність на уявну одиницю i і додамо до рівності (10). Це - комплексна форма інтеграла Фур'є.Тут зовнішнє інтегрування по £ розуміється в сенсі головного значення по Коші: § 2. Перетворення Фур'є. абсолютно інтегрована по всій осі. Визначення. Функція звідки, з формули Ейлера, матимемо називається перетворенням Фур'є функції /(г) (спектральної функцією). Це - інтегральне перетворення функції /(г) на інтервалі (-оо,+оо) з ядром Використовуючи інтегральну формулу Фур'є отримуємо Це так зване зворотне перетворення Фур'є, що дає перехід від F(£) до /(х). Іноді пряме перетворення Фур'є задають так: Тоді зворотне перетворення Фур'є визначиться формулою Перетворення Фур'є функції /(ж) визначають також наступним чином: ПЕРЕТВОРЕННЯ ФУР'Є Інтеграл Фур'є При цьому положення множника досить довільно: він може входити або в формулу (1"), або в формулу (2"). Приклад 1. Знайти перетворення Фур'є функції -4 Маємо Це рівність допускає диференціювання по £ під знаком інтеграла (інтеграл, що отримується після диференціювання, рівномірно сходиться, коли ( належить будь-якому кінцевому відрізку): Інтегруючи вроздріб, будемо мати Позаінтегральне доданок звертається отримуємо звідки (С – стала інтегрування). Вважаючи (4) £ = 0, знайдемо С = F(0). З огляду на (3) маємо Відомо, що Зокрема, для) отримуємо, що Приклад 2 (розрід кокдемсетора через спропилення). Розглянемо функцію 4 Для спектрів функції F(£) отримуємо Звідси (рис.2). Умова абсолютної інтегрованості функції f(x) на всій числовій осі є дуже жорстким. Воно виключає, наприклад, такі елементарні функції, як) = cos ж, f(x) = е1, для яких перетворення Фур'є (в класичній формі, що тут розглядається) не існує. Фур'є-образ мають ті функції, які досить швидко прагнуть нуля при |х| -+ +оо (як у прикладах 1 та 2). 2.1. Косинус- та синус-перетворення Фур'є Використовуючи формулу косинуса, різниці, перепишемо інтегральну формулу Фур'є в наступному вигляді: Нехай f(x) - парна функція. Тоді так що зрівняння (5) маємо У разі непарної f(x) аналогічно отримуємо Якщо f(x) задана лише на (0, -foo), то формула (6) продовжує f(x) на всю вісь Ох парним чином, а формула (7) – непарним. (7) Визначення. Функція називається косинус-перетворенням Фур'є функції f(x). З (6) випливає, що парної функції f(x) Це означає, що f(x), своєю чергою, є косинус-перетворенням для Fc(£). Іншими словами, функції / та Fc є взаємними косинус-перетвореннями. Визначення. Функція називається синус-перетворенням Фур'є функції f(x). З (7) отримуємо, що з непарної функції f(x) тобто. f та Fs є взаємними синус-перетвореннями. Приклад 3 (прямокутний імпульс). Нехай f(t) – парна функція, визначена таким чином: (рис. 3). Скористаємося отриманим результатом для обчислення інтеграла В силу формули (9) маємо Рис.3 0 0 У точці t = 0 функція f(t) безперервна і дорівнює одиниці. Тому з (12") отримаємо 2.2. Амплітудний і фазовий спектри інтеграла Фур'є Нехай періодична з періодом 2т функція /(х) розкладається в ряд Фур'є Цю рівність можна записати у вигляді де - амплітуда коливання з частотою п, - фаза. приходимо до понять амплітудного і фазового спектрів періодичної функції.Для неперіодичної функції f(x), заданої на (-оо, +оо), за певних умов виявляється можливим уявити її інтегралом Фур'є здійснюючим розкладання цієї функції по всіх частотах (розкладання по безперервному спектру частот ) Визначення Спектральною функцією, або спектральною щільністю інтеграла Фур'є, називається вираз (пряме перетворення Фур'є функції f називається амплітудним спектром, а функція Ф«) = -агgSfc) - фазовим спектром функції /(«). Амплітудний спектр.А(£) служить мірою вкладу частоти £ у функцію /(ж). Приклад 4. Знайти амплітудний та фазовий спектри функції 4 Знаходимо спектральну функцію Звідси Графіки цих функцій зображені на рис. 4. §3. Властивості перетворення Фур'є 1. Лінійність. Якщо і G(0 - перетворення Фур'є функцій /(х) і д(х) відповідно, то при будь-яких постійних а і р перетворенням Фур'є функції a f(x) + р д(х) буде функція a Користуючись властивістю лінійності інтеграла, маємо такі Отже, перетворення Фур'є є лінійний оператор, позначаючи його через писати, якщо F(£) є перетворення Фур'є абсолютно інтегрованої на всій числовій осі функції /(ж), то F(() обмежена при всіх. Нехай функція f(x) абсолютно інтегрована на всій осі - перетворення Фур'є функції f(x).Тоді 3«fltsJ.Нехай f(x) - функція, допуску кнцея перетворення Фур'є, Л - дой теляв число. F(x).Користуючись визначеним ним перетворення Фур'є, показати, що Завдання.Нехай функція f(z) має перетворення Фур'є F(0> h - дійсне число . Показати, що 3. Перетворення Фур'є та ооереції диференціювання. Нехай абсолютно інтегрована функція f(x) має похідну f"(x), також абсолютно інтегровану по всій осі Ох, так що /(я) прагне до нуля при |ж| -» +оо. Вважаючи f"(x) гладкою функцією , запишемо Інтегруючи частинами, будемо мати Позаінтегральне доданок звертається в нуль (оскільки, і ми отримуємо Таким чином, диференціюванню функції /(х) відповідає множення її образу Фур'є ^П/] на множник Якщо функція f(x) має глад*«е абсолютно похідні, що інтефуються, до порядку m включно і всі вони, як і сама функція f(x), прагнуть до нуля при тому, інтегруючи частинами потрібну кількість разів, отримаємо Перетворення Фур'є дуже корисно саме тому, що воно замінює операцію диференціювання операцією множення на величину і тим самим спрощує задачу інтегрування деяких видів диференціальних рівнянь.Так як перетворення Фур'є абсолютно інтегрованої функції f^k\x) є обмежена функція від (властивість 2), то із співвідношення (2) отримуємо для наступну оцінку: ПЕРЕТВОРЕННЯ ФУР'Є Інтеграл Фур'є Перетворення Фур'є Косинус і синус перетворення Амплітудний та фазовий спектри Властивості Додатки З цієї оцінки випливає: чим більше функція f(x) має абсолютно інтегрованих похідних, тим швидше її перетворення Фур'є прагне до нуля. Зауваження. Умова є досить природною, оскільки звичайна 1еорія інтегралів Фур'є має справу з процесами, які в тому чи іншому сенсі мають початок і коней, але не продовжуються необмежено з приблизно однаковою інтенсивністю. 4. Зв'язок між швидкістю зменшення функції f(x) при |z| -» -f оо та гладкістю її перетворення Фурм. Припустимо, що не тільки /(х), але і її твір xf(x) є абсолютно інтегрованою функцією на всій осі Ох. Тоді перетворення Фур'є) буде функцією, що диференціюється. Дійсно, формальне диференціювання за параметром £ підінтегральної функції призводить до інтегралу, який є абсолютно і рівномірно схожим щодо параметра. . Якщо разом із функцією f(x) абсолютно інтегрованими по всій осі Ох є функції, процес диференціювання можна продовжити. Отримаємо, що функція має похідні до порядку m включно, причому Таким чином, чим швидше функція f(x) зменшується, тим більше гладкою виходить функція Теорема 2 (про свердло). Нехай-перетворення Фур'є функцій /, (ж) і f2 (x) відповідно. Тоді до того ж подвійний інтеграл у правій частині сходиться абсолютно. Припустимо - х. Тоді будемо мати або, змінюючи порядок інтегрування, Функція називається згорткою функцій і позначається символом Формула (1) може бути записана так: Звідси видно, що перетворення Фур'є згортки функцій f\(x) і f2(x) дорівнює помноженому на у/2ж твору перетворень Фур'є функцій, що згортаються, Зауваження. Неважко встановити такі властивостізгортки: 1) лінійність: 2) комутативність: §4. Додатки перетворення Фур'є 1. Нехай Р(^) - лінійний диференціальний оператор порядку m з постійними коефіцієнтами, Використовуючи формулу для перетворення Фур'є похідних функції у(х), знаходимо "Розглянемо диференціальне рівняння де Р - введений вище диференціальний оператор. у(х) має перетворення Фур'є у (О. а функція f(x) має перетворення /(£) Застосовуючи перетворення Фур'є до рівняння (1), отримаємо замість диференціального рівняння алгебри на осі відносно звідки так що формально де символ позначає зворотне перетворення Фур'є Основне обмеження застосування цього методу пов'язане з наступним фактом: Рішення звичайного диференціального рівняння з постійними коефіцієнтами містить функції виду еЛ *, eaz cos fix, еах sinрх. Вони є абсолютно інтегрованими на осі -оо< х < 4-оо, и преобразование Фурье для них не определено, так что, строго говоря, применятьданный метод нельзя. Это ограничение можно обойти, если ввести в рассмотрение так называемые обобщенные функции. Однако в ряде случаев преобразование Фурье все же применимо в своей классической форме. Пример. Найти решение а = а(х, t) уравнения (а = const), при начальных условиях Это - задача о свободных колебаниях бесконечной однородной струны, когда задано начальное отклонение <р(х) точек сгруны, а начальные скорости отсутствуют. 4 Поскольку пространственная переменная х изменяется в пределах от -оо до +оо, подвергнем уравнение и начальные условия преобразованию Фурье по переменной х. Будем предполагать, что 1) функции и(х, t) и