Теорія функцій однієї змінної. Математичний аналіз. Теорія функцій однієї змінної Матан теорія 1 семестр

А.В. Гласко

ЛЕКЦІЇ З МАТЕМАТИЧНОГО АНАЛІЗУ

«ЕЛЕМЕНТАРНІ ФУНКЦІЇ І МЕЖІ»

Москва, МДТУ ім. н.е. Баумана

§1. логічна символіка.

При записі математичних виразів будемо використовувати такі логічні символи:

	Значення		Значення
			Для будь-кого, для кожного, для всіх (від
			Існує, знайдеться, є (exist)
			Вабить, слід (отже)
			Еквівалентно, тоді і тільки тоді,
			необхідно і достатньо
Так якщо А і В якісь висловлювання, то

			Значення
			А або В (або А або В, або А і В)
			Для будь-якого x має місце А
			Існує x, для якого має місце А
			З А випливає В (якщо вірно А, то вірно В)
(імплікація)
			А еквівалентно, А має місце тоді і тільки тоді, коли має місце,
			для В необхідно і достатньо
	Зауваження. "AB" означає, що для В достатньо А, а для А необхідно В.

приклад. (х=1) => (х2 -3х+2=0) => ((х=1) (x=2)).

Іноді ми використовуватимемо ще один спеціальний символ: А = df.

Він означає, що А = по визначенню.

§2. Безліч. Елементи та частини множини.

Поняття множини – первинне поняття, яке не визначається через більш прості. Слова: сукупність, сімейство, набір – його синоніми.

Приклади множин: безліч студентів в аудиторії, безліч викладачів на кафедрі, безліч автомобілів на стоянці та ін.

Первинними поняттями також є поняття елемента множинита відносини

між елементами множини.

приклад. N – безліч натуральних чисел, його елементами є числа 1,2,3,… Якщо х і у – елементи N, всі вони перебувають у одному таких відносин: х=у, х у.

Умовимося позначати безлічі великими літерами: A, B, C, X, Y, …, які елементи – малими: a, b, c, x, y, …

Відносини між елементами чи множинами позначаються символами, вставленими між літерами. Наприклад. Нехай А - кілька. Тоді відношення a А означає, що а – елемент множини А. Запис а А означає, що а не є елементом А.

Безліч можна поставити у різний спосіб. 1. Перерахування його елементів.

Наприклад, А=(a, b, c, d), B=(1, 7, 10)

2. Вказівкою властивостей елементів. Нехай A – безліч елементів а, що мають властивість р. Це можна записати у вигляді: A = (a: p) або A = (ap).

Наприклад, запис А= ( x: (x R ) (x2 -1>0) ) означає, що A – є безліч речових чисел, що задовольняють нерівності x2 -1>0.

Введемо кілька важливих визначень.

Опр. Багато називається кінцевим , якщо воно складається з певного кінцевого числа елементів. Інакше воно називається нескінченним.

Наприклад, безліч студентів в аудиторії звичайно, а безліч натуральних чисел або безліч точок усередині відрізка нескінченно.

Опр. Безліч, що містить жодного елемента, називається порожнім і позначається.

Опр. Дві множини називаються рівними, якщо вони складаються з одних і тих же

Тобто. поняття множини не передбачає того чи іншого порядку прямування елементів. Опр. Безліч Х називається підмножиною множини Y, якщо будь-який елемент множини Х є елементом множини Y (при цьому, взагалі кажучи, не будь-який

елемент множини Y є елементом множини X). У цьому використовується позначення: X Y.

Наприклад, безліч апельсинів O є підмножиною безлічі фруктів F : O F , а безліч натуральних чисел N є підмножиною безлічі речових чисел R : N R .

Символи “ ” та “ ” називаються символами увімкнення. Вважають, що кожна множина є підмножиною самого себе. Порожня множина є підмножиною будь-якої множини.

Опр. Будь-яке непусте підмножина У множини А, не рівну А, називається

власним підмножиною.

§ 3. Діаграми Ейлера-Венна. Елементарні операції над множинами.

Безліч зручно зобразити графічно, як областей на площині. При цьому мається на увазі, що точки області відповідають елементам множини. Такі графічні уявлення множин називаються діаграмами Ейлера-Венна.

приклад. А – безліч студентів МДТУ, У – безліч студентів в аудиторії. Рис. 1 наочно демонструє, що A B .

Діаграми Ейлера-Венна зручно використовувати для наочного елементарного зображення операцій над множинами. До основних операцій належать такі.

Рис. 1. Приклад діаграми Ейлер-Венна.

1. Перетином А В множин А і В називається безліч C, що складається з усіх елементів, що належать одночасно обох множин А і В:

З = А В = df (z: (z A) (z B))

(На рис. 2 безліч C представлено заштрихованою областю).

Рис. 2. Перетин множин.

2. Об'єднанням АВ множин А і В називається множина C, що складається з усіх елементів, що належать хоча б одному з множин А або В.

C = А = df ( z: (z A) (z B) )

(На рис. 3 безліч C представлено заштрихованою областю).

Рис. 3. Об'єднання множин.

Рис. 4. Різниця множин.

3.Різністю А\В множин А і В називається безліч C, що складається з усіх елементів, що належать безлічі А, але не належать безлічі В:

А \ В = (z: (z A) (z B))

(На рис. 4 безліч C представлено зафарбованою жовтим кольором областю).

§4.Багато дійсних чисел.

Побудуємо безліч дійсних чисел R. Для цього розглянемо, перш за все, безліч натуральних чисел, яке визначимо в такий спосіб. Як перший елемент візьмемо число n=1. Кожен наступний елемент будемо отримувати з попереднього додавання одиниці:

N = (1, 1+1, (1+1)+1, …) = (1, 2, 3, …, n, …).

N = (-1, -2, -3, …, -n, …).

Безліч цілих чисел Zвизначимо як об'єднання трьох множин: N, -N та множини, що складається з єдиного елемента – нуля:

Багато раціональних чисел визначимо як безліч всіляких відносин цілих чисел:

Q = (xx = m/n; m, n Z, n 0).

Вочевидь, що N Z Q.

Відомо, що кожне раціональне число може бути записане у вигляді кінцевого дійсного або нескінченного періодичного дробу. Чи достатньо раціональних чисел для вимірювання всіх величин, з якими ми можемо зустрітися при вивченні навколишнього світу? Вже у Стародавній Греції було показано, що ні: якщо розглянути рівнобедрений прямокутний трикутникз катетами довгою одиниця, довжину гіпотенузи не можна у вигляді раціонального числа. Отже, ми можемо обмежитися безліччю раціональних чисел. Потрібно розширити поняття числа. Це розширення досягається запровадженням безлічі ірраціональних чисел J, яке найпростіше мислити як безліч усіх неперіодичних нескінченних десяткових дробів.

Об'єднання множин раціональних та ірраціональних чисел називається

безліччю дійсних (речових) чисел R: R = Q Y.

Іноді розглядають ще розширене безліч дійсних чисел R , розуміючи

Справжні числа зручно зображати точками на числовій осі.

Опр. Числовою віссю називається пряма, де зазначено початок відліку, масштаб і напрямок отсчета.

Між дійсними числами та точками числової осі встановлюється взаємно однозначна відповідність: будь-якому речовому числу відповідає єдина точка числової осі і навпаки.

Аксіома повноти (безперервності) безлічі дійсних чисел. Які б не були непусті множини А = (a) R і B = (b) R такі, що для будь-яких a і b виконується нерівність a ≤ b, знайдеться число cR таке, що a ≤ c ≤ b (рис. 5).

Рис.5. Ілюстрація аксіоми повноти множини речових чисел.

§5. Числові множини. Околиці.

Опр. Числовою безліччюназивається будь-яке підмножина множини R. Найважливіші числові множини: N, Z, Q, J, а також

відрізок: (x R | a x b),

інтервал: (a, b) (x R | a x b), (,) = R

напівінтервали: ( x R| a x b),

(x R | x b).

Найважливішу роль математичному аналізі грає поняття околиці точки числової осі.

Опр. -навколо точки x 0 називають інтервал довжиною 2 з центром в точці x 0 (рис. 6):

u (x 0) (x 0, x 0).

Рис. 6. Околиця точки.

Опр. Проколотою -околицею точки називається околиця цієї точки,

з якої виключено саму точку x 0 (рис. 7):

u (x 0) u (x 0) \ (x 0) (x 0, x 0) (x 0, x 0).

Рис. 7. Проколота околиця точки.

Опр. Правосторонньою околицею точки x0 називається напівінтервал

u (x 0), область значень: E = [-π/2,π/2].

Рис. 11. Графік функції y arc sin x.

Введемо тепер поняття складної функції (композиції відображень). Нехай дані три множини D, E, M і нехай f: D→E, g: E→M. Очевидно, можна побудувати нове відображення h: D→M, яке називається композицією відображень f і g або складною функцією (мал. 12).

Складна функція позначається так: z = h (x) = g (f (x)) або h = f o g.

Рис. 12. Ілюстрація до поняття складної функції.

Функція f(x) при цьому називається внутрішньою функцією, а функція g (y) - зовнішньою функцією.

1. Внутрішня функція f(x)= x², зовнішня g(y) sin y. Складна функція z = g (f (x)) = sin (x²)

2 . Тепер навпаки. Внутрішня функція f(x) = sinx, зовнішня g(y) y2. u=f(g(x))=sin²(x)

Нехай змінна величина x nнабуває нескінченної послідовності значень

x 1 , x 2 , ..., x n , ..., (1)

причому відомий закон зміни змінної x n, тобто. для кожного натурального числа nможна вказати відповідне значення x n. Таким чином, передбачається, що змінна x nє функцією від n:

x n = f(n)

Визначимо одне з найважливіших понять математичного аналізу - межа послідовності, або, що те саме, межа змінної величини x n, що пробігає послідовність x 1 , x 2 , ..., x n , ... . .

Визначення.Постійне число aназивається межею послідовності x 1 , x 2 , ..., x n , ... . або межею змінної x n, якщо для будь-якого малого позитивного числа e знайдеться таке натуральне число N(тобто номер N), що всі значення змінної x n, починаючи з x N, відрізняються від aпо абсолютної величинименше, ніж e. Це визначеннякоротко записується так:

| x n - a |< (2)

при всіх n  N, або, що те саме,

Визначення межі по Коші. Число A називається межею функції f (x) у точці a, якщо ця функція визначена в деякій околиці точки a за винятком, можливо, самої точки a, і для кожного ε > 0 існує δ > 0 таке, що для всіх x, що задовольняють умові | x - a |< δ, x ≠ a, выполняется неравенство |f (x) – A| < ε.

Визначення межі за Гейном. Число A називається межею функції f (x) у точці a, якщо ця функція визначена в деякій околиці точки a за винятком, можливо, самої точки a, і для будь-якої послідовності такий, що схожій до a, відповідна послідовність значень функції сходиться до A.

Якщо функція f (x) має межу в точці a, то ця межа єдина.

Число A 1 називається межею функції f(x) ліворуч у точці a, якщо для кожного ε > 0 існує δ >

Число A 2 називається межею функції f(x) праворуч у точці a, якщо для кожного ε > 0 існує δ > 0 таке, що для всіх виконується нерівність

Межа зліва позначається межа праворуч – ці межі характеризують поведінку функції зліва та праворуч від точки a. Їх часто називають односторонніми межами. У позначенні односторонніх меж при x → 0 зазвичай опускають перший нуль: і . Так, для функції

Якщо кожного ε > 0 існує така δ-околиця точки a, що всіх x, задовольняють умові |x – a|< δ, x ≠ a, выполняется неравенство |f (x)| >ε, то кажуть, що функція f(x) має у точці a нескінченну межу:

Так, функція має у точці x = 0 нескінченну межу Часто розрізняють межі, рівні +∞ та –∞. Так,

Якщо кожного ε > 0 існує таке δ > 0, що з будь-якого x > δ виконується нерівність |f (x) – A|< ε, то говорят, что предел функции f (x) при x, стремящемся к плюс бесконечности, равен A:

Теорема про існування точної верхньої грані

Визначення:АR mR, m - верхня (нижня) грань А, якщо аА аm (аm).

Визначення:Безліч A обмежена зверху (знизу), якщо існує таке m, що аА, виконується аm (аm).

Визначення: SupA=m, якщо 1) m - верхня грань A

2) m’: m’ m’ не верхня грань A

InfA = n, якщо 1) n – нижня грань A

2) n': n'>n => n' не нижня грань A

Визначення: SupA=m називається число, таке що: 1)  aA am

2) >0 a  A, таке, що a  a-

InfA = nназивається число, таке що: 1) 1)  aA an

2) >0 a  A, таке, що a E a+

Теорема:Будь-яка, непуста обмежена зверху безліч АR, має точну верхню грань, причому єдину.

Доведення:

Побудуємо на числовий прямий число m і доведемо, що це точна верхня грань А.

[m]=max([a]:aA) [[m],[m]+1]A=>[m]+1 - верхня грань A

Відрізок [[m],[m]+1] – розбиваємо на 10 частин

m 1 =max:aA)]

m 2 =max,m 1:aA)]

m до =max,m 1 ...m K-1:aA)]

[[m],m 1 ...m K , [m],m 1 ...m K + 1 /10 K ]A=>[m],m 1 ...m K + 1/ 10 K – верхня грань A

Доведемо, що m=[m],m 1 ...m K - точна верхня грань і що вона єдина:

к: )