Похідна складної функції конспект. Урок "похідна складної функції". III. Актуалізація опорних знань

Тип уроку:комбінований

освітня:

- формування поняття складної функції;

Формування вміння знаходити за правилом похідну складної функції;

Відпрацювання алгоритму застосування правила знаходження похідної складної функції при вирішенні прикладів.

розвиваюча:

Розвивати уміння узагальнювати, систематизувати на основі порівняння, робити висновок;

Розвивати наочно-дієве творчу уяву;

Розвивати пізнавальний інтерес.

виховна:

Виховання відповідального ставлення до навчальної праці, Волі та наполегливості для досягнення кінцевих результатів при знаходженні похідних складних функцій;

Формування вміння раціонально, акуратно оформити завдання на дошці і в зошити.

Виховання дружнього ставлення між студентами при проведенні уроку.

Студент повинен знати:

поняття складної функції, правило знаходження її похідної.

Студент повинен вміти:

знаходити за правилом похідну складної функції, використовувати це правило при вирішенні прикладів.

Міжпредметні зв'язки: фізика, геометрія, економіка.

Оснащення уроку: мультимедіа-проектор, магнітна дошка, класна дошка, крейда, роздатковий матеріал до уроку.

План уроку:

Повідомлення мети, завдань уроку і мотивації навчальної діяльності - 3 хв.

1. Перевірка виконання домашнього завдання - 5 хв (фронтальна перевірка, самоконтроль).
2. Всебічна перевірка знань - 10 хв (фронтальна робота, взаємоконтроль).
3. Підготовка до засвоєння (вивчення) нового навчального матеріалучерез повторення і актуалізацію опорних знань - 5 хв (проблемна ситуація).
4. Засвоєння нових знань - 15 хв (фронтальна робота під керівництвом викладача).
5. Первинне осмислення і розуміння нового матеріалу - 20 хв (фронтальна робота: один студент показує рішення прикладу на дошці, інші вирішують в зошитах).
6. Закріплення нових знань - 15 хв (самостійна робота - тест в двох варіантах, з диференційованими завданнями).
7. Інформація про домашнє завдання, інструкція про його виконанні - 2 хв.
8. Підведення підсумків уроку, рефлексія - 5 хв.

I. Хід уроку: Повідомлення мети, завдань і плану уроку, мотивації навчальної діяльності:

Перевірити підготовленість аудиторії і готовність студентів до уроку, відзначити відсутніх.

Відзначити, що на даному уроці триває робота по темі "Похідна функції".

II. Перевірка домашнього завдання.

На будинок задані приклади на знаходження похідної функції:

5) в точці х = 0.

Відповіді спроектовані на мультимедиапроектор.

Студенти індивідуально перевіряють свої відповіді і ставлять собі (самоконтроль) оцінку в лист контролю. У кожного студента є лист контролю, критерій оцінки за домашню роботуі зразок листа контролю в раздаточном матеріалі до уроку

лист контролю

Викликати до дошки студента показати оформлення рішення прикладу № 5 з коментарем щодо виконаних робіт.

Звернути увагу на правильне рішення і правильне оформлення рішення домашнього прикладу №5.

III. Всебічна перевірка знань.

Гра "Математичне лото" - перевірка знань правил диференціювання, таблиці похідних.

У спеціальному конверті кожній парі студентів пропонується набір карток (всього 10 карток). Це - картки-формули. Є інший набір карток. Це - картки-відповіді, яких більше, так як серед відповідей є помилкові відповіді. Студент знаходить відповідь на завдання, і цією карткою (відповіддю) накриває відповідний номер в спеціальній карті. Студенти працюють в парі, тому оцінюють один одного, виставляють оцінки в лист контролю згідно критерію: "5" - знає 9-10 формул; "4" - знає 7-8 формул; "3" - знає 5-6 формул; "2" - знає менше 5 формул.

Йде перевірка і оцінка знань формул на магнітній дошці. У разі правильних відповідей на магнітній дошці зворотні сторони карток-відповідей становлять велику картину, яку бачить вся група. Номери в спеціальній карті збігаються з номерами карток-формул. Якщо розкрити на магнітній дошці відповіді зі зворотного боку, то все картки в цілому утворюють картину.

IV. Підготовка до (засвоєнню) вивчення нового навчального матеріалу через повторення і актуалізацію опорних знань.

Постановка проблемної ситуації: знайти похідну функції ;

На минулих уроках ми навчилися знаходити похідні елементарних функцій. функції складні. Чи вміємо ми знаходити похідні складних функцій?

Значить, з чим ми повинні сьогодні познайомитися?

[З знаходженням похідної складних функцій.]

Студенти самі формулюють тему і завдання уроку, викладач записує тему на дошці, а студенти - в зошиті.

Історична довідка, зв'язок з майбутньою професійною діяльністю.

V. Засвоєння нових знань.

Показати на дошці знаходження похідних функцій: ;

Вирішіть приклади:

3)

VI. Первинне осмислення і розуміння нового матеріалу.

Повторити алгоритм знаходження похідної складної функції;

Вирішити приклади:

2)

3)

4) ;

VII. Закріплення нових знань за допомогою тесту за варіантами.

Завдання з тестами диференційовані: приклади з № 1-3 оцінюються на "3", до № 4 - на "4", всі п'ять прикладів - на "5".

Студенти вирішують в зошиті і перевіряють відповіді один у одного за допомогою мультимедіа і ставлять оцінку один одному (взаємоконтроль) в лист контролю.

Варіант 1.

Знайти похідні функцій. (А., В., С. - відповіді)

1
2
3
4
5
4
5

Даний урок є уроком вивчення нової теми. Представлена ​​розробка уроку розкриває методичні підходи до введення поняття складної функції, алгоритму обчислення її похідної. Розробка призначена для проведення уроків серед учнів 1 курсу установ рівня професійної освіти.

Завантажити:

Попередній перегляд:

Похідна складної функції

цілі: 1) освітня - сформувати поняття складної функції, вивчити алгоритм обчислення похідної складної функції, показати його застосування при обчисленні похідних.

2) розвиваюча - продовжити розвиток умінь логічно і аргументовано міркувати, використовуючи узагальнення, аналіз, порівняння при вивченні похідної складної функції.

3) виховна - виховувати спостережливість в ході відшукання математичних залежностей, продовжити формування самооцінки при здійсненні диференційованого навчання, підвищувати інтерес до математики.

Обладнання: таблиця похідних, презентація до уроку.

Схема уроку:

I. АЗ.

1. мобілізує початок (постановка мети роботи на уроці).

2. Усна робота з метою актуалізації опорних знань.

3. Перевірка домашнього завдання з метою мотивації вивчення нового матеріалу.

4. Підведення підсумків I етапу і постановка задач наступного.

II. ФНЗ і СД.

1. Евристична бесіда з метою введення поняття складної функції.
2. Усна фронтальна робота з метою закріплення визначення складної функції.
3. Повідомлення учителем алгоритму обчислення похідної складної функції.
4. Первинне закріплення алгоритму обчислення похідної складної функції фронтально.
5. Підведення підсумків II етапу та постановка завдань на наступний.

III. Фун.

1. Рішення завдання з опорою на алгоритм обчислення похідної складної функції фронтально біля дошки учнем.

2. Диференційована робота по вирішенню завдань з подальшою перевіркою фронтально біля дошки.

3. Підбиття підсумків уроку

4. Видача домашнього завдання.

Хід уроку.

I АЗ

1. Видає російський математик і кораблебудівник академік Олексій Миколайович Крилов (1863-1945) одного разу зауважив, людина звертається до математики «не для того, щоб милуватися незліченними скарбами. Йому перш за все потрібно ознайомитися зі століттями випробуваними інструментами і навчитися ними правильно і майстерно володіти ». З одним з таких інструментів ми з вами познайомилися - це похідна. Сьогодні на уроці ми продовжуємо вивчати тему «Похідна» і наше завдання розглянути новий питання «Похідна складної функції», тобто ми з'ясуємо, що таке складне функція і як обчислюється її похідна.

2. Тепер давайте згадаємо, як обчислюється похідна різних функцій. Для цього ви повинні виконати 7 завдань. До кожного завдання запропоновані варіанти відповідей, зашифровані буквами. Правильне рішення кожного завдання дозволяє відкрити потрібну літеру прізвища вченого, який ввів позначення y", F" (x).

Знайти похідну функції.

1) y = 5 y "= 0 Л

Y "= 5x Н

Y "= 1 Б

2) y = -x y "= 1 В

Y "= -1 А

Y "= x 2 І

3) y = 2x + 3 y "= 3 У

Y "= x І

Y "= 2 Г

4) y = - 12 y "= Р

Y "= 1 Т

Y "= -12 Г

5) y = x 4 y "= П

Y "= 4x 3 А

y "= x 3 З

6) y = -5x 3 y "= -15x 2 Н

Y "= -5x 2 Про

y "= 5x 2 Р

7) y = x-x 3 y "= 1-x 2 Д

Y "= 1-3x 2 Ж

Y "= x-3x 2 А

(Завдання на слайдах 2 - 3).

Отже, прізвище вченого Лагранж, а ми тим самим повторили обчислення похідних різних функцій.

3. Один з учнів заповнює таблицю: (слайд 4).

f (x)	f (1)	f "(x)	f "(1)
1) 4-x
2) 2x 5		10x 4
5) (4-x) 5

Які є питання? В результаті бесіди приходимо до висновку, що не знаємо, як обчислити () "; ((4-x) 3)"

4. Як називається функція 1), 2), 3), 4).

1) - лінійна, 2) статечна, 3) статечна, 4) - ?, 5) -?

Зараз ми з'ясуємо, як називаються такі функції, як обчислюються їх похідні.

II. ФНЗ і СД.

1. Для того, щоб це зробити розглянемо функцію Z = f (x) =

Яка послідовність обчислення значень функції?

А) g = 4-x

Б) h =

Як називається залежність між g і h?

функцією

Значить g і h можуть бути представлені у вигляді:

G = g (x) = 4-x

H = h (g) =

В результаті послідовного виконання функцій g і h по заданому значенню x буде обчислено значення якої функції?

F (x)

Z = f (x) = h (g) = h (g (x))

Таким чином, f (x) = h (g (x)).

Кажуть, що f є складна функція, складена з g і h. функція

g - внутрішня, h - зовнішня.

У нашому прикладі 4-x внутрішня функція, а √ - зовнішня.

G (x) = 4-x

H (g) =

2. Які з наступних функцій є складними? У разі складної функції назвіть внутрішню і зовнішню (на слайді 8 написані такі функції:

а) f (x) = 5x + 1; б) f (x) = (3-5x) 5; в) f (x) = cos3x.

3. Отже, ми з'ясували, що таке складна функція. Як же вважати її похідну?

Алгоритм обчислення похідної складної функції f (x) = h (g (x)).

1. визначити внутрішню функцію g (x).
2. знайти похідну внутрішньої функції g "(x)
3. визначити зовнішню функцію h (g)
4. знайти похідну зовнішньої функції h "(g)
5. знайти твір похідною внутрішньої на похідну зовнішньої функції g "(x) ∙ h" (g)

Кожному дається пам'ятника з алгоритмом.

4. Учитель біля дошки: f (x) = (3-5x) 5

1. g (x) = 3-5x
2. g "(x) = -5
3. h (g) = g 5
4. h "(g) = 5g 4
5. f "(x) = g" (x) ∙ h "(g) = -5 ∙ 5g 4 = -5 ∙ 5 (3-5x) 4 = -25 (3-5x) 4

5. Отже, ми з'ясували, що таке складна функція і як обчислюється її похідна.

III. Фун.

1. Тепер давайте повчимося знаходити похідні різних складних функцій. Виконується учням з просунутим рівнем навчання.

Знайти похідну функції f (x) =

1) g (x) = 4-x

2) g "(x) = -1

3) h (g) =

4) h "(g) =

5) f "(x) = g" (x) ∙ h "(g) = -1 ∙ = -

2. Знайти похідну функції:

«3» f (x) = (1 - 2x) 4

«4» f (x) = (x 2 - 6x + 5) 7

«5» f (x) = - (1 - x) 3

3. Підбиття підсумків.

4. Д / З: вивчити алгоритм. Знайти похідну.

«3» - f (x) = (2 + 4x) 9

«4» - f (x) =

«5» - f (x) =

Використовувана література:

1. Колмогоров А.Н. Алгебра і початки аналізу. Підручник для 10 - 11 кл. - М .: Просвещение, 2010 року.

2. Івлєв Б.М., Саакян С.М. Дидактичні матеріали з алгебри і початків аналізу для 10 кл. М .: Просвещение - 2006.

3. Дорофєєв Г.В. «Збірник завдань для проведення письмового іспиту з математики за курс середньої школи»- М .: Дрофа, 2007.

4. Башмаков М.І. Алгебра і початки аналізу. Підручник для 10 - 11 кл. 2-е изд. - М .: 1992.- 351с.

Урок № 19Дата:

ТЕМА: Похідна складної функції

Мета уроку:

освітня:

формування поняття складної функції;

формування вміння знаходити за правилом похідну складної функції;

відпрацювання алгоритму застосування правила знаходження похідної складної функції при вирішенні завдань.

розвиваюча:

розвивати вміння узагальнювати, систематизувати на основі порівняння, робити висновок;

розвивати наочно-дієве творчу уяву;

розвивати пізнавальний інтерес.

сприяти формуванню вміння раціонально, акуратно оформити завдання на дошці і в зошити.

виховна:

виховувати відповідальне ставлення до навчальної праці, волі і наполегливості для досягнення кінцевих результатів при знаходженні похідних складних функцій;

сприяти вихованню дружнього ставлення між учнями під час проведення уроку.

Навчається повинен знати:

правила і формули диференціювання;

поняття складної функції;

правило знаходження похідної складної функції.

Навчається повинен вміти:

обчислювати похідні складних функцій, використовуючи таблицю похідних і правила диференціювання;

застосовувати отримані знання до вирішення задач.

Тип уроку : урок рефлексія.

Забезпечення уроку:

презентація; таблиця похідних; таблиця Правила диференціювання;

картки - завдання для індивідуальної роботи; картки - завдання для перевірочної роботи.

устаткування :

комп'ютер, телевізор.

ХІД УРОКУ:

1. організаційний момент(1 хв).

вступ

Готовність класу до роботи.

Загальний настрій.

2. Мотиваційний етап (2-3 хв).

(Покажемо самі собі, що ми готові з упевненістю осягати знання, які нам можуть стати в нагоді!)

Скажіть мені, яке домашнє завдання ви виконали на цей урок? (На минулому уроці було задано вивчити матеріал по темі «Похідна складної функції» і як результат скласти конспект).

Якими джерелами ви користувалися при вивченні даної теми? (Відеофільм, підручник, додаткова література).

Який додатковою літературою ви скористалися? (Література з бібліотеки).

Таким чином темою уроку є ...? ( «Похідна складної функції»)

Відкриваємо зошити і записуємо: число, класна робота, і тему уроку. (Слайд 1)

Виходячи з теми, давайте позначимо цілі і завдання уроку (формування поняття складної функції, формування вміння знаходити за правилом похідну складної функції; відпрацювати алгоритм застосування правила знаходження похідної складної функції при вирішенні задач).

3. Актуалізація знань і здійснення первинного дії (7-8 хв)

Переходимо безпосередньо до досягнення цілей уроку.

Сформулюємо поняття складної функції (функція виду y = f ( g (X)) називається складною функцією, Складеної з функцій fі g, де f- зовнішня функція і g- внутрішня) (слайд 2 )

Розглянемо Завдання 1: Знайти похідну функції у = (х 2 + sinx) 3 (Запис на дошці)

Ця функція є елементарною або складної? (Складної)

Чому? (Тому що аргументом служить не незалежна змінна х, а функція х 2 + sinx цієї змінної).

Для знаходження похідної даної функції необхідне знання основних формул похідною елементарних функцій і знання правил диференціювання. Згадаймо їх, провівши диктант: (Слайд 3)

1) З '= 0; 2) (x n) '= nx n-1; ; 4) a x = a x ln a; 5)

Результат диктанту перевіряється (Слайд 4)

Виберемо з таблиці похідних та правил диференціювання ті, які потрібні для вирішення даного завданняі запишемо їх у вигляді схеми на дошці.

4. Виявлення індивідуальних труднощів в реалізації нового знання і вміння (4 хв)

Вирішимо приклад 1 і знайдемо похідну функції y '= ( (х 2 + sin x) 3) '

Які ж формули потрібні для вирішення завдання? ((X n) '= nx n -1;

Робота біля дошки:

(х 2 + sin x) 3 = U;

y '= (U 3)' = 3 U 2 U` = 3 (х 2 + sin x) 2 ( 2х + cos x)

Можна помітити, що без знання формул і правил неможливо взяти похідну складної функції, але для правильного розрахунку потрібно бачити в диференціюванні основну функцію.

5. Побудова плану з вирішення виниклих труднощів і його реалізація (8 - 9 хв)

Виявивши труднощі, давайте побудуємо алгоритм знаходження похідної складної функції: (Слайд 5)

алгоритм:

1. Визначити зовнішню і внутрішню функції;

2. Похідну знаходимо по ходу читання функції.

А тепер розберемо це на прикладі

завдання 2: Знайти похідну функції:

При спрощення отримуємо: (5-4х) = U,

у '= ’ =

завдання 3: Знайти похідну функції:

1. Визначаємо зовнішню і внутрішню функції:

у = 4 U - показова функція

2. Знаходимо похідну по ходу читання функції:

6. Узагальнення виявлених труднощів (4 хв)

Н.І. Лобачевський "... немає жодної області в математиці, яка коли-небудь не опиниться застосовної до явищ дійсного світу ..."

Тому узагальнюючи наші знання, рішення наступного завдання присвятимо зв'язку з фізичними явищами (біля дошки за бажанням)

завдання 4:

При електромагнітних коливаннях, що виникають в коливальному контурі, заряд на обкладинках конденсатора змінюється за законом q = q 0 cos ωt, де q 0 -амплітуда коливань заряду на конденсаторі. Знайти миттєве значення сили змінного струму I.

'= -. Якщо додати початкову фазу, то за формулами приведення отримаємо - .

7. Здійснення самостійної роботи (6 хв)

Учні виконують тестування за індивідуальними картками в зошиті. Одного відповіді не достатньо, має бути і рішення. (Слайд 6)

Картки «Самостійна робота до уроку № 19»

Критерії оцінювання : "3 відповіді" - 3 бали; "2 відповіді" - 2 бали; "1 відповідь" - 1 бал

ключі відповідей(Слайд 7)

№ завдання	1 варіант	2 варіант	3 варіант	4 варіант
	відповідь	відповідь	відповідь	відповідь

Після перевірки (Слайд 8)

8. Реалізація плану з вирішення виниклих труднощів (6 - 7 хв)

Відповіді на питання учнів по ускладнень, що виникли в ході самостійної роботи, обговорення типових помилок.

Приклади - завдання для відповіді на виниклі питання ***:

9. Домашнє завдання(2 хв) (Слайд 9)

Вирішити індивідуальне завдання за картками-завданнями.

Виставляння оцінок за підсумками роботи.

10. Рефлексія (2 хв)

"Хочу запитати"

Учень задає питання, починаючи зі слів «Хочу запитати ...». На отриману відповідь повідомляє своє емоційне ставлення: "Я задоволений…." або «Я не задоволений, тому що ...».

За відповідями учнів підвести підсумки, з'ясувавши при цьому, чи досягнуті були цілі уроку.

Тема: "Похіднаскладної функції”.

Тип уроку: - урок вивчення нового матеріалу.

форма уроку : Застосування інформаційних технологій.

Місце уроку в системі уроків з даного розділу: перший урок.

цілі:

навчити розпізнавати складні функції, вміти застосовувати правила обчислення похідних; удосконалювати предметні, в тому числі обчислювальні, вміння і навички; Навички роботи з комп'ютером;

розвивати готовність до інформаційно-навчальної діяльності через застосування інформаційних технологій.

виховувати адаптивність до сучасних умов навчання.

устаткування: електронні файли з друкованим матеріалом, індивідуальні комп'ютери.

Хід уроку.

I. Організаційний момент (1 хв.).

II. Постановка цілей. Мотивація учнів (1 хв.).

Навчальні цілі: навчитися розпізнавати складні функції, знати правила диференціювання, вміти застосовувати формулу похідної складної функції при вирішенні завдань; удосконалювати предметні, в тому числі обчислювальні, вміння і навички; Навички роботи з комп'ютером.

Розвиваючі цілі: розвивати пізнавальні інтереси через застосування інформаційних технологій.

Виховні цілі: виховувати адаптивність до сучасних умов навчання.

III. Актуалізація опорних знань (5 хв.).

Назвіть правила обчислення похідної.

3. Усна робота.

Знайдіть похідні функцій.

а) y = 2x 2 + XІ;

б) f (x) = 3x 2 - 7x + 5;

в) f (x) =;

г) f (x) = 1 / 2x 2 ;

д) f (x) = (2x - 5) (x + 3).

4. Правила обчислення похідних .

Повторення формул по комп'ютеру зі звуковим супроводом.

IV. Програмований контроль (5 хв.).

Знайти похідну.

Дізнайтеся більше зошитами. Відзначте в діагностичних картах вірно виконані завдання знаком +, а невірно виконані завдання знаком "-".

V. Вивчення нового матеріалу (5 хв.).

складна функція.

Розглянемо функцію, задану формулою f (x) =

Для того, щоб знайти похідну даної функції, треба спочатку обчислити похідну внутрішньої функціїu = v (x) = XІ + 7x + 5, а потім обчислюють похідну функціїg (u) = .

Кажуть, що функціяf (x) - є складна функція, складена з функційg іv , І пишуть:

f (x) = g (v (x)) .

Область визначення складної функції - безліч всіх тихх з області визначення функціїv , для якихv (x) входить в область визначення функціїg.

ТЕОРЕМА.

Нехай складна функція у = f (x) = g (v (x)) така, що функція у = v (x) визначена на проміжку U, а функція u = v (x) визначена на проміжку Х і безліч всіх її значень входить в проміжок U. Нехай функція u = v (x) має похідну в кожній точці всередині проміжку Х, а функція y = g (u) має похідну в кожній точці всередині проміжку U. Тоді функція y = f (x) має похідну в кожній точці всередині проміжку Х, яка обчислюється за формулою

y " x = Y " u u " x .

Формулу читають так: похіднаy поx дорівнює похідноюy поu , Помноженої на похіднуu поx .

Формулу записують ще так:

f "(x) = g" (u) v "(x).

Доведення.

У точціх Х задамо приріст аргументу, (Х +х)Х. тоді функціяu = v (x) одержить збільшення , а функціяy = g (u) одержить збільшення y. Треба врахувати, що, так як функціяu = v (x) в точціx має похідну, то вона неперервна в цій точці іпри . у = (1 + х 2 ) 100 .

Рішення.

Приклад 2 і приклад 3 з підручника (усно розібрати рішення).

Рішення прикладів № 304, № 305, № 306 з подальшою перевіркою по комп'ютеру.

VII. приклади для самостійного рішення(8 хв.).

На робочому столі комп'ютера. 5(P - x);

y = sin (2x 2 – 3).

y = (1 + sin3x) cos3x;

y = tg x (tg x - 1).

IX. Підсумок уроку (1 хв.).

Дати визначення похідної функції.

Назвіть правила обчислення похідних.

Яка функція є складною?

Яка область визначення складної функції?

Назвіть формулу знаходження похідної складної функції.

X. Домашнє завдання (0.5 хв.).

§4. П16. № 224. Індивідуальні завдання на картках.

ВІДКРИТЕ ЗАНЯТТЯ З ДИСЦИПЛІНИ ЕЛЕМЕНТИ ВИЩОЇ МАТЕМАТИКИ ДЛЯ СПЕЦІАЛЬНОСТІ ПРОГРАМНЕ ЗАБЕЗПЕЧЕННЯ ОБЧИСЛЮВАЛЬНОЇ ТЕХНІКИ ТА АВТОМАТИЗОВАНИХ СИСТЕМ

ПЛАН ЗАНЯТТЯ

1 ОРГАНІЗАЦІЙНИЙ МОМЕНТ

1.1 Вступ

1.2 Готовність групи до роботи

1.3 Постановка мети заняття

2 ПОВТОРЕННЯ ПРОЙДЕНОГО МАТЕРІАЛУ

2.1 Фронтальне опитування

2.2 Індивідуальна робота за картками

2.3 Гра «Доміно»

2.4 Усна робота

3 ПОЯСНЕННЯ НОВОГО МАТЕРІАЛУ

3.1 Похідна складної функції

4 ЗАСТОСУВАННЯ ЗНАНЬ ПРИ ВИРІШЕННІ ТИПОВИХ ЗАВДАНЬ

5.1 Перевірочна роботаз вибіркової системою відповідей

6 ВИСНОВОК

6.1 Підведення підсумків

6.2 Домашнє завдання

ТЕМА: ПОХІДНА СКЛАДНОЇ ФУНКЦІЇ

Тип заняття: комбінований

Цілі вивчення теми:

освітня:

1. формування поняття складної функції;
2. формування вміння знаходити за правилом похідну складної функції;
3. відпрацювання алгоритму застосування правила знаходження похідної складної функції при вирішенні прикладів.

розвиваюча:

1. розвивати вміння узагальнювати, систематизувати на основі порівняння, робити висновок;
2. розвивати наочно-дієве творчу уяву;
3. розвивати пізнавальний інтерес.

виховна:

1. виховання відповідального ставлення до навчальної праці, волі і наполегливості для досягнення кінцевих результатів при знаходженні похідних складних функцій;
2. формування вміння раціонально, акуратно оформити завдання на дошці і в зошити.
3. виховання дружнього ставлення між студентами при проведенні уроку.

Забезпечення заняття:

1. таблиця похідних;
2. таблиця Правила диференціювання;
3. картки для гри доміно;
4. картки - завдання для індивідуальної роботи;
5. картки - завдання для перевірочної роботи.

Студент повинен знати:

1. визначення похідною;
2. правила і формули диференціювання;
3. поняття складної функції;
4. правило знаходження похідної складної функції.

Студент повинен вміти:

1. обчислювати похідні складних функцій, використовуючи таблицю похідних і правила диференціювання;
2. застосовувати отримані знання до вирішення задач.

ХІД ЗАНЯТТЯ

I ОРГАНІЗАЦІЙНИЙ МОМЕНТ

1. вступ
2. Готовність групи до роботи
3. Постановка мети заняття

II ПЕРЕВІРКА ДОМАШНЬОГО ЗАВДАННЯ

а) Питання для фронтального опитування:

1. Що називається похідною функції в точці?
2. . Що таке диференціювання?
3. Яка функція називається диференційованою в точці?
4. Що значить обчислити похідну за алгоритмом?
5. Які правила диференціювання ви знаєте?
6. Як взаємопов'язані безперервність функції в точці і її дифференцируемость в цій точці?

б) індивідуальний роботаза картками

в) Гра «Доміно»

х /		() /
З /		() /
() /		f / (x)
() /		() /
() /
() /		() /
() /		() /
() /		() /
() /		() /
() /	2 х	() /

У комплекті «Доміно» 20 карток. Пари перемішують свої картки, ділять навпіл і починають розкладати доміно з картки, в якій заповнена тільки права чи ліва частина. Далі ви повинні знайти на іншій картці вираз тотожно рівний виразу на першій картці і т. Д. В результаті виходить ланцюжок.

Доміно вважається розкладеним тільки тоді, коли всі картки використані і крайні половинки останньої і першої картки порожні.

Якщо не всі картки розкладені, значить, ви де - то допустили помилку, і її потрібно знайти.

Студенти, що працюють в парі повинні оцінити один одного і виставити оцінки в лист контролю. Критерії оцінки написані на конвертах.

Критерії оцінювання:

1. "5" - без помилок;
2. "4" - 1-2 помилки;
3. "3" - 3-4 помилки.

г) Усна робота

приклад 1 Знайти похідну функції.

Рішення: .

приклад 2 Знайти похідну функції.

Рішення: .

приклад 3 Знайти похідну функції.

Рішення: .

приклад 4 Постановка проблемної ситуації: знайти похідну функції

у = ln (cos x).

Ми маємо тут логарифмічну функцію, Аргументом якої служить не незалежна зміннах, а функція cos x цього змінного.

Як називаються такого роду функції?

[Такого роду функції називаються складними

Функціями або функціями від функцій.]

Чи вміємо ми знаходити похідні складних функцій?

[Ні.]

Значить, з чим ми повинні зараз познайомитися?

[З знаходженням похідної складних функцій.]

Як буде звучати тема нашого сьогоднішнього заняття?

[Похідна складної функції]

Студенти самі формулюють тему і мети уроку, викладач записує тему на дошці, а студенти - в зошиті.

III ВИВЧЕННЯ НОВОГО МАТЕРІАЛУ

Правила і формули диференціювання, розглянуті нами на минулому занятті, є основними при обчисленні похідних.

Однак якщо для нескладних виразів користування основними правилами не становить особливих труднощів, то для складних виразів, застосування загального правиламоже виявитися справою вельми копіткою.

Мета нашого сьогоднішнього заняття розглянути поняття складної функції і оволодіти технікою диференціювання складної функції, тобто технікою застосування основних формул при диференціюванні складних функцій.

Похідна складної функції

З прикладу видно, що складна функція це функція від функції. Отже, можна дати наступне визначення складної функції:

Означення: Функція виду

y = f (g (x))

називається складною функцією, Складеної з функ ций f u g, або суперпозицией функцій f і g.

Приклад: Функція у = ln (cos x) є складна функція, складена з функцій

у = ln u і u = cos x.

Тому складну функцію часто пишуть у вигляді

y = f (u), де u = g (x).

Зовнішня функція Проміжна

функція

При цьому аргументх називають незалежної змін ної, А u - проміжним аргументом.

Повернемося до прикладу. Похідну кожної з цих функцій ми можемо обчислити, використовуючи таблицю похідних.

Як же обчислити похідну складної функції?

Відповідь на це питання дає наступна теорема.

Теорема: Якщо функція u = g (x) дифференци руемой в деякій точціх 0, а функція y = f (u) диференційована в точці u 0 = g (x 0 ), То складна функціяу = f (g (x)) диференційована в цій точці x 0 .

При цьому

або

тобто похідна віду по змінній х дорівнює похідною віду по змінній і , Помноженої на похідну віді по змінної х.

правило:

1. Щоб знайти похідну складної функції, треба її правильно прочитати;
2. Щоб правильно прочитати функцію, треба визначити в ній порядок дій;
3. Функцію читаємо в зворотному порядкудій напрямку;
4. Похідну знаходимо по ходу читання функції.

А тепер розберемо це на прикладі:

Приклад 1: Функція у = ln (cos x) виходить послідовним виконанням двох операцій: взяття косинуса кутах і знаходження від цього числа натурального логарифма:

Функція читається так: логарифмічна функція від тригонометричної функції.

Продифференцируем функцію:у = ln (cos x) = ln u, u = cos x.

На практиці таке диференціювання проводиться набагато коротше і простіше, у всякому разі, без введення записиі.

Мистецтво диференціювання складної функції полягає в умінні бачити в момент диференціювання тільки одну функцію (саме - диференційовану в даний момент), не помічаючи поки інші, відкладаючи їх бачення до моменту диференціювання.

Будемо використовувати при диференціюванні доповнену таблицю похідних.

Приклад 2: Знайти похідну функціїу = (x 3 - 5х + 7) 9.

Рішення : Позначивши в «умі» u = х 3 - 5x +7, отримаємо у = u 9. знайдемо:

За формулою маємо

4 ЗАСТОСУВАННЯ ЗНАНЬ ПРИ ВИРІШЕННІ ТИПОВИХ ЗАВДАНЬ

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

5 САМОСТІЙНА ЗАСТОСУВАННЯ ЗНАНЬ, УМІНЬ І НАВИЧОК

5.1 Перевірочна робота в формі тесту

Специфікація тесту:

1. Тест гомогенний;
2. Тест закритої форми;
3. Кількість завдань - 3;
4. Час виконання завдання - 5хв .;
5. За правильну відповідь випробуваний отримує 1 бал,

За неправильну - 0 балів.

Інструкція: виберіть правильний варіант відповіді.

Критерії оцінювання :

"5" - 3 бали

"4" - 2 бали

"3" - 1 бал

Студенти вирішують на листочках і перевіряють відповіді за допомогою ключа, представленого на дошці. Ставлять оцінку в лист контролю (самоконтроль).

Варіант 1

1. Похідна функції дорівнює:

а); б); в).

1. Похідна функції дорівнює:

а); б); в).

а); б); в).

Варіант 2

Виберіть правильний варіант відповіді

1. Похідна функції дорівнює:

а); б); в).

1. Похідна функції дорівнює:

а); б); в).

1. Обчислити похідну для функції:

а); б); в).

варіант 3

Виберіть правильний варіант відповіді

1. Похідна функції дорівнює:

а); б); в).

1. Похідна функції дорівнює:

а); б); в).

1. Обчислити похідну для функції:

а); б); в).

варіант 4

Виберіть правильний варіант відповіді

1. Похідна функції дорівнює:

а); б); в).

1. Похідна функції дорівнює:

а); б); в).

1. Обчислити похідну для функції:

а); б); в).

ключі відповідей

№ завдання	1 варіант	2 варіант	3варіант	4 варіант
	відповідь	відповідь	відповідь	відповідь