adsby.ru → твори

Як знаходити похідну з під кореня. Похідна складної функції. Висновок формули похідної степеневої функції

Функції складного виду не завжди підходять під визначення складної функції. Якщо є функція виду y = sin x - (2 - 3) · a r c t g x x 5 7 x 10 - 17 x 3 + x - 11, то її не можна вважати складною на відміну від y = sin 2 x.

Дана стаття покаже поняття складної функції і її виявлення. Попрацюємо з формулами знаходження похідної з прикладами рішень в ув'язненні. Застосування таблиці похідних та правила диференціювання помітно зменшують час для знаходження похідної.

Основні визначення

визначення 1

Складною функцією вважається така функція, у якій аргумент також є функцією.

Позначається це таким чином: f (g (x)). Маємо, що функція g (x) вважається аргументом f (g (x)).

визначення 2

Якщо є функція f і є функцією котангенс, тоді g (x) = ln x - це функція натурального логарифма. Отримуємо, що складна функція f (g (x)) запишеться як arctg (lnx). Або функція f, що є функцією зведеної в 4 ступінь, де g (x) = x 2 + 2 x - 3 вважається цілої раціональної функцією, отримуємо, що f (g (x)) = (x 2 + 2 x - 3) 4 .

Очевидно, що g (x) може бути складною. З прикладу y = sin 2 x + 1 x 3 - 5 видно, що значення g має кубічний корінь з дробом. Цей вираз дозволено позначати як y = f (f 1 (f 2 (x))). Звідки маємо, що f - це функція синуса, а f 1 - функція, що розташовується під квадратним коренем, f 2 (x) = 2 x + 1 x 3 - 5 - дрібна раціональна функція.

визначення 3

Ступінь вкладеності визначено будь-яким натуральним числом і записується як y = f (f 1 (f 2 (f 3 (... (F n (x)))))).

визначення 4

Поняття композиція функції відноситься до кількості вкладених функцій за умовою задачі. Для вирішення використовується формула знаходження похідної складної функції виду

(F (g (x))) "= f" (g (x)) · g "(x)

приклади

приклад 1

Знайти похідну складної функції виду y = (2 x + 1) 2.

Рішення

За умовою видно, що f є функцією зведення в квадрат, а g (x) = 2 x + 1 вважається лінійною функцією.

Застосуємо формулу похідної для складної функції і запишемо:

f "(g (x)) = ((g (x)) 2)" = 2 · (g (x)) 2 - 1 = 2 · g (x) = 2 · (2 x + 1); g "(x) = (2 x + 1)" = (2 x) "+ 1" = 2 · x "+ 0 = 2 · 1 · x 1 - 1 = 2 ⇒ (f (g (x))) "= f" (g (x)) · g "(x) = 2 · (2 x + 1) · 2 = 8 x + 4

Необхідно знайти похідну зі спрощеним вихідним видом функції. отримуємо:

y = (2 x + 1) 2 = 4 x 2 + 4 x + 1

Звідси маємо, що

y "= (4 x 2 + 4 x + 1)" = (4 x 2) "+ (4 x)" + 1 "= 4 · (x 2)" + 4 · (x) "+ 0 = = 4 · 2 · x 2 - 1 + 4 · 1 · x 1 - 1 = 8 x + 4

Результати збіглися.

При вирішенні завдань такого виду важливо розуміти, де буде розташовуватися функція виду f і g (x).

приклад 2

Слід знайти похідні складних функцій виду y = sin 2 x і y = sin x 2.

Рішення

Перший запис функції говорить про те, що f є функцією зведення в квадрат, а g (x) - функцією синуса. Тоді отримаємо, що

y "= (sin 2 x)" = 2 · sin 2 - 1 x · (sin x) "= 2 · sin x · cos x

Другий запис показує, що f є функцією синуса, а g (x) = x 2 позначаємо ступеневу функцію. Звідси випливає, що твір складної функції запишемо як

y "= (sin x 2)" = cos (x 2) · (x 2) "= cos (x 2) · 2 · x 2 - 1 = 2 · x · cos (x 2)

Формула для похідної y = f (f 1 (f 2 (f 3 (... (Fn (x)))))) запишеться як y "= f" (f 1 (f 2 (f 3 (... ( fn (x)))))) · f 1 "(f 2 (f 3 (... (fn (x))))) · f 2" (f 3 (... (fn (x)) )) ·. . . · F n "(x)

приклад 3

Знайти похідну функції y = sin (ln 3 a r c t g (2 x)).

Рішення

Даний приклад показує складність запису і вкажіть місце функцій. Тоді y = f (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x))))) позначимо, де f, f 1, f 2, f 3, f 4 (x) є функцією синуса, функцією зведення в 3 ступінь, функцією з логарифмом і підставою е, функцією арктангенса і лінійної.

З формули визначення складної функції маємо, що

y "= f" (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x))))) · f 1 "(f 2 (f 3 (f 4 (x)))) · f 2" (f 3 (f 4 (x))) · f 3 "(f 4 (x)) · f 4" (x)

Отримуємо, що слід знайти

f "(f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x))))) в якості похідної синуса по таблиці похідних, тоді f" (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) ) = cos (ln 3 arctg (2 x)).
f 1 "(f 2 (f 3 (f 4 (x)))) в якості похідної степеневої функції, тоді f 1" (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) = 3 · ln 3 - 1 arctg (2 x) = 3 · ln 2 arctg (2 x).
f 2 "(f 3 (f 4 (x))) в якості похідної логарифмічної, тоді f 2" (f 3 (f 4 (x))) = 1 a r c t g (2 x).
f 3 "(f 4 (x)) в якості похідної арктангенса, тоді f 3" (f 4 (x)) = 1 + 1 + (2 x) 2 = 1 + 1 + 4 x 2.
При знаходженні похідної f 4 (x) = 2 x зробити винесення 2 за знак похідної із застосуванням формули похідної степеневої функції з показником, який дорівнює 1, тоді f 4 "(x) = (2 x)" = 2 · x "= 2 · 1 · x 1 - 1 = 2.

Виробляємо об'єднання проміжних результатів і отримуємо, що

y "= f" (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x))))) · f 1 "(f 2 (f 3 (f 4 (x)))) · f 2" (f 3 (f 4 (x))) · f 3 "(f 4 (x)) · f 4" (x) = = cos (ln 3 arctg (2 x)) · 3 · ln 2 arctg (2 x) · 1 arctg (2 x) · 1 1 + 4 x 2 · 2 = = 6 · cos (ln 3 arctg (2 x)) · ln 2 arctg (2 x) arctg (2 x) · (1 + 4 x 2)

Розбір таких функцій нагадує матрьошки. Правила диференціювання не завжди можуть бути застосовані в явному вигляді за допомогою таблиці похідних. Найчастіше потрібно застосовувати формулу знаходження похідних складних функцій.

Існують деякі відмінності складного виду від складних функцій. При явному умінні це розрізняти, знаходження похідних даватиме особливо легко.

приклад 4

Необхідно розглянути на приведення подібного прикладу. Якщо є функція виду y = t g 2 x + 3 t g x + 1, тоді її можна розглянути в якості складної виду g (x) = t g x, f (g) = g 2 + 3 g + 1. Очевидно, що необхідно застосування формули для складної похідною:

f "(g (x)) = (g 2 (x) + 3 g (x) + 1)" = (g 2 (x)) "+ (3 g (x))" + 1 "= = 2 · g 2 - 1 (x) + 3 · g "(x) + 0 = 2 g (x) + 3 · 1 · g 1 - 1 (x) = = 2 g (x) + 3 = 2 tgx + 3; g "(x) = (tgx)" = 1 cos 2 x ⇒ y "= (f (g (x)))" = f "(g (x)) · g" (x) = (2 tgx + 3 ) · 1 cos 2 x = 2 tgx + 3 cos 2 x

Функція виду y = t g x 2 + 3 t g x +1 не вважається складною, так як має суму t g x 2, 3 t g x і 1. Однак, t g x 2 вважається складною функцією, то отримуємо ступеневу функцію виду g (x) = x 2 і f, що є функцією тангенса. Для цього слід продифференцировать за сумою. Отримуємо, що

y "= (tgx 2 + 3 tgx + 1)" = (tgx 2) "+ (3 tgx)" + 1 "= = (tgx 2)" + 3 · (tgx) "+ 0 = (tgx 2)" + 3 cos 2 x

Переходимо до знаходження похідної складної функції (t g x 2) ":

f "(g (x)) = (tg (g (x)))" = 1 cos 2 g (x) = 1 cos 2 (x 2) g "(x) = (x 2)" = 2 · x 2 - 1 = 2 x ⇒ (tgx 2) "= f" (g (x)) · g "(x) = 2 x cos 2 (x 2)

Отримуємо, що y "= (t g x 2 + 3 t g x + 1)" = (t g x 2) "+ 3 cos 2 x = 2 x cos 2 (x 2) + 3 cos 2 x

Функції складного виду можуть бути включені до складу складних функцій, причому самі складні функції можуть бути складовими функції складного виду.

приклад 5

Для прикладу розглянемо складну функцію виду y = log 3 x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 e x 2 + 3 3 + ln 2 x · (x 2 + 1)

Ця функція може бути представлена у вигляді y = f (g (x)), де значення f є функцією логарифма за основою 3, а g (x) вважається сумою двох функцій виду h (x) = x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 ex 2 + 3 3 і k (x) = ln 2 x · (x 2 + 1). Очевидно, що y = f (h (x) + k (x)).

Розглянемо функцію h (x). Це відношення l (x) = x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 до m (x) = e x 2 + 3 3

Маємо, що l (x) = x 2 + 3 cos 2 (2 x + 1) + 7 = n (x) + p (x) є сумою двох функцій n (x) = x 2 + 7 та p (x) = 3 cos 3 (2 x + 1), де p (x) = 3 · p 1 (p 2 (p 3 (x))) є складною функцією з числовим коефіцієнтом 3, а p 1 - функцією зведення в куб, p 2 функцією косинуса, p 3 (x) = 2 x + 1 - лінійною функцією.

Отримали, що m (x) = ex 2 + 3 3 = q (x) + r (x) є сумою двох функцій q (x) = ex 2 і r (x) = 3 3, де q (x) = q 1 (q 2 (x)) - складна функція, q 1 - функція з експонентою, q 2 (x) = x 2 - статечна функція.

Звідси видно, що h (x) = l (x) m (x) = n (x) + p (x) q (x) + r (x) = n (x) + 3 · p 1 (p 2 ( p 3 (x))) q 1 (q 2 (x)) + r (x)

При переході до вираження виду k (x) = ln 2 x · (x 2 + 1) = s (x) · t (x) видно, що функція представлена у вигляді складної s (x) = ln 2 x = s 1 ( s 2 (x)) з цілої раціональної t (x) = x 2 + 1, де s 1 є функцією зведення в квадрат, а s 2 (x) = ln x - логарифмічною з основою е.

Звідси випливає, що вираз набуде вигляду k (x) = s (x) · t (x) = s 1 (s 2 (x)) · t (x).

Тоді отримаємо, що

y = log 3 x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 ex 2 + 3 3 + ln 2 x · (x 2 + 1) = = fn (x) + 3 · p 1 (p 2 (p 3 (x))) q 1 (q 2 (x)) = r (x) + s 1 (s 2 (x)) · t (x)

За структурам функції стало явно, як і будь формули необхідно застосовувати для спрощення виразу при його диференціюванні. Для ознайомлення подібних завдань і і для поняття їх вирішення необхідно звернутися до пункту диференціювання функції, тобто знаходження її похідної.

Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl + Enter

Інструкція

Перед тим як знаходити похідну кореня, зверніть увагу на інші функції, присутні в вирішуваному прикладі. Якщо в задачі є багато підкореневих виразів, то скористайтеся наступним правилом знаходження похідної квадратного кореня:

(√х) "= 1 / 2√х.

А для знаходження похідної кубічного кореня застосуйте формулу:

(³√х) "= 1/3 (³√х) ²,

де через ³√х позначений кубічний корінь з х.

Якщо, призначеному для диференціювання, зустрічається змінна в дрібних, то переведіть кореня в ступеневу функцію з відповідним показником. Для квадратного кореня це буде ступінь ½, а для кубічного кореня - ⅓:

√х = х ^ ½,
³√х = x ^ ⅓,

де ^ позначає зведення в ступінь.

Для знаходження похідної степеневої функції взагалі і х ^ ½, x ^ ⅓, зокрема, скористайтеся наступним правилом:

(Х ^ n) "= n * x ^ (n-1).

Для похідною кореня з цього співвідношення випливає:

(Х ^ ½) "= ½ x ^ (-½) і
(X ^ ⅓) "= ⅓ x ^ (-⅔).

Продифференцировав все, уважно подивіться на інші частини прикладу. Якщо у відповіді у вас вийшло дуже громіздке вираження, то напевно його можна спростити. Більшість шкільних прикладів складено таким чином, щоб в результаті вийшло невелике число або компактне вираз.

У багатьох задачах на знаходження похідної, коріння (квадратні і кубічні) зустрічаються разом з іншими функціями. Щоб знайти похідну кореня в цьому випадку, застосовуйте наступні правила:
похідна константи (постійного числа, C) дорівнює нулю: C "= 0;
постійний множник виноситься за знак похідної: (k * f) "= k * (f)" (f - довільна функція);
похідна суми декількох функцій дорівнює сумі похідних: (f + g) "= (f)" + (g) ";
похідна добутку двох функцій дорівнює ... ні, не твору похідних, а наступного виразу: (fg) "= (f)" g + f (g) ";
похідна приватного також дорівнює не приватній похідних, а знаходиться згідно наступного правила: (f / g) "= ((f)" g - f (g) ") / g².

Зверніть увагу

На цій сторінці ви зможете обчислювати похідну функції онлайн з отриманням докладного рішення задачі. Рішення похідних функції проводиться з використанням тих правил диференціювання, які студенти вивчають у курсі математичного аналізув Інституті. Для того, щоб знайти похідну функції потрібно в поле "Функція" ввести функцію для диференціювання згідно правил введення даних.

Корисна порада

Похідної функції називається границя відношення приросту функції до приросту аргументу, коли приріст аргументу прямує до нуля: Математичний зміст цього визначення зрозуміти не дуже просто, оскільки в шкільному курсі алгебри поняття границі функції або не вивчають зовсім, або вивчають дуже поверхнево. Але для того, щоб навчитися знаходити похідні різних функцій, Це і не обов'язково.

джерела:

похідна корінь з ікс

Загальний випадок формули похідної кореня довільного ступеня- дріб, у чисельнику якого одиниця, а в знаменнику число, рівне ступеню кореня, для якого обчислювалася похідна, помножена на корінь такій же мірі, подкоренное вираз якого - змінна в ступеня кореня, для якого обчислювалася похідна, зменшеної на одиницю
Похідна квадратного кореня- є окремим випадком попередньої формули. Похідна квадратного кореня з x- це дріб, чисельник якого дорівнює одиниці, а знаменник - двійка, помножена на квадратний корінь х
Похідна кубічного кореня, Також окремий випадок загальної формули. Похідна кубічного кореня - це одиниця, поділена на три кубічних кореня з ікс квадрат.

Нижче наведені перетворення, що пояснюють, чому формули знаходження похідної квадратного і кубічного кореня саме такі, як наведено на малюнку.

Зрозуміло, дані формули можна взагалі не запам'ятовувати, якщо взяти до уваги, що витяг кореня похідною ступеня - це те ж саме, що зведення в ступінь дробу, знаменник якого дорівнює тій же мірі. Тоді знаходження похідної кореня зводиться до застосування формули знаходження похідної ступеня відповідної дробу.

Похідна змінної під квадратним коренем

(√x) "= 1 / (2√x)або 1/2 х -1/2

пояснення:
(√x) "= (х 1/2)"

Квадратний корінь - це точно те ж саме діяння, що і зведення в ступінь 1/2,значить для знаходження похідної кореня можна застосувати формулу з правила знаходження похідної від змінної в довільній ступеня:

(Х 1/2) "= 1/2 х -1/2 = 1 / (2√х)

Похідна кубічного кореня (похідна кореня третього ступеня)

Похідна кубічного кореня знаходиться точно за таким же принципом, що і квадратного.

Уявімо собі кубічний корінь як ступінь 1/3 і знайдемо похідну по загальними правиламидиференціювання. коротку формулуможна подивитися на зображенні вище, а нижче розписано пояснення, чому саме так.

Ступінь -2/3 виходить в наслідок вирахування одиниці з 1/3

Операція відшукання похідної називається диференціюванням.

В результаті рішення задач про відшукання похідних у найпростіших (і не дуже простих) функцій по визначенню похідною як межі відношення приросту до приросту аргументу з'явилися таблиця похідних і точно певні правила диференціювання. Першими на ниві знаходження похідних потрудилися Ісаак Ньютон (1643-1727) і Готфрід Вільгельм Лейбніц (1646-1716).

Тому в наш час, щоб знайти похідну будь-якої функції, не треба обчислювати згаданий вище границя відношення приросту функції до приросту аргументу, а потрібно лише скористатися таблицею похідних і правилами диференціювання. Для знаходження похідної підходить наступний алгоритм.

Щоб знайти похідну, Треба вираз під знаком штриха розібрати на складові прості функціїі визначити, якими діями (Твір, сума, приватне)пов'язані ці функції. Далі похідні елементарних функцій знаходимо в таблиці похідних, а формули похідних твори, суми і приватного - в правилах диференціювання. Таблиця похідних і правила диференціювання дані після перших двох прикладів.

Приклад 1.Знайти похідну функції

Рішення. З правил диференціювання з'ясовуємо, що похідна суми функцій є сума похідних функцій, т. Е.

З таблиці похідних з'ясовуємо, що похідна "ікси" дорівнює одиниці, а похідна синуса - косинусу. Підставляємо ці значення в суму похідних і знаходимо необхідну умовою завдання похідну:

Приклад 2.Знайти похідну функції

Рішення. Диференціюючи як похідну суми, в якій другий доданок з постійним множником, його можна винести за знак похідної:

Якщо поки виникають питання, звідки що береться, вони, як правило, прояснюються після ознайомлення з таблицею похідних і найпростішими правилами диференціювання. До них ми і переходимо прямо зараз.

Таблиця похідних простих функцій

1. Похідна константи (числа). Будь-якого числа (1, 2, 5, 200 ...), яке є в вираженні функції. Завжди дорівнює нулю. Це дуже важливо пам'ятати, так як потрібно дуже часто
2. Похідна незалежної змінної. Найчастіше "ікси". Завжди дорівнює одиниці. Це теж важливо запам'ятати надовго
3. Похідна ступеня. В ступінь при вирішенні задач потрібно перетворювати неквадратні коріння.
4. Похідна змінної в ступені -1
5. Похідна квадратного кореня
6. Похідна синуса
7. Похідна косинуса
8. Похідна тангенса
9. Похідна котангенс
10. Похідна арксинуса
11. Похідна арккосинуса
12. Похідна арктангенса
13. Похідна арккотангенса
14. Похідна натурального логарифма
15. Похідна логарифмічної функції
16. Похідна експоненти
17. Похідна показовою функції

Правила диференціювання

1. Похідна суми або різниці
2. Похідна твори
2a. Похідна вираження, помноженого на постійний множник
3. Похідна приватного
4. Похідна складної функції

Правило 1.якщо функції

діфференцируєми в деякій точці, то в тій же точці мають похідні і функції

причому

тобто похідна алгебраїчної суми функцій дорівнює алгебраїчній сумі похідних цих функцій.

Слідство. Якщо дві диференціюються відрізняються на постійний доданок, то їх похідні рівні, Тобто

Правило 2.якщо функції

діфференцируєми в деякій точці, то в той же точці дифференцируемого і їх твір

причому

тобто похідна добутку двох функцій дорівнює сумі творів кожної з цих функцій на похідну інший.

Слідство 1. Постійний множник можна виносити за знак похідної:

Слідство 2. Похідна твори кількох диференціюються дорівнює сумі творів похідною кожного із співмножників на всі інші.

Наприклад, для трьох множників:

Правило 3.якщо функції

діфференцируєми в деякій точці і , то в цій точці дифференцируемого і їхня приватнаu / v, причому

тобто похідна приватного двох функцій дорівнює дробу, чисельник якого є різниця творів знаменника на похідну чисельника і чисельника на похідну знаменника, а знаменник є квадрат колишнього чисельника.

Де що шукати на інших сторінках

При знаходженні похідної добутку і частки в реальних задачах завжди потрібно застосовувати відразу кілька правил диференціювання, тому більше прикладів на ці похідні - в статті"Похідна добутку і частки функцій".

Зауваження.Слід не плутати константу (тобто, число) як доданок в сумі і як постійний множник! У разі доданка її похідна дорівнює нулю, а в разі постійного множника вона виноситься за знак похідних. це типова помилка, Яка зустрічається на початковому етапі вивчення похідних, але в міру рішення вже декількох одно- двоскладові прикладів середній студент цієї помилки вже не робить.

А якщо при диференціюванні твори або приватного у вас з'явилося доданок u"v, в котрому u- число, наприклад, 2 або 5, тобто константа, то похідна цього числа буде дорівнює нулю і, отже, все доданок дорівнюватиме нулю (такий випадок розібраний в прикладі 10).

Інша часта помилка - механічне рішення похідною складної функції як похідною простої функції. Тому похідною складної функціїприсвячена окрема стаття. Але спочатку будемо вчитися знаходити похідні простих функцій.

По ходу не обійтися без перетворень виразів. Для цього може знадобитися відкрити в нових вікнах посібники Дії зі ступенями і коріннямі Дії з дробами .

Якщо Ви шукаєте рішення похідних дробів зі ступенями і корінням, тобто, коли функція має вигляд начебто , То йдіть на заняття "Похідна суми дробів зі ступенями і корінням".

Якщо ж перед Вами завдання на зразок , То Вам на заняття "Похідні простих тригонометричних функцій".

Покрокові приклади - як знайти похідну

Приклад 3.Знайти похідну функції

Рішення. Визначаємо частини виразу функції: все вираз являє твір, а його співмножники - суми, в другій з яких одна з складових містить постійний множник. Застосовуємо правило диференціювання твори: похідна добутку двох функцій дорівнює сумі творів кожної з цих функцій на похідну інший:

Далі застосовуємо правило диференціювання суми: похідна алгебраїчної суми функцій дорівнює алгебраїчній сумі похідних цих функцій. У нашому випадку в кожній сумі другий доданок зі знаком мінус. У кожній сумі бачимо і незалежну змінну, похідна якої дорівнює одиниці, і константу (число), похідна якої дорівнює нулю. Отже, "ікс" у нас перетворюється в одиницю, а мінус 5 - в нуль. У другому вираженні "ікс" помножений на 2, так що двійку множимо на ту ж одиницю як похідну "ікси". Отримуємо наступні значення похідних:

Підставляємо знайдені похідні в суму творів і отримуємо необхідну умовою завдання похідну всієї функції:

А перевірити рішення задачі на похідну можна на.

Приклад 4.Знайти похідну функції

Рішення. Від нас вимагається знайти похідну приватного. Застосовуємо формулу диференціювання приватного: похідна приватного двох функцій дорівнює дробу, чисельник якого є різниця творів знаменника на похідну чисельника і чисельника на похідну знаменника, а знаменник є квадрат колишнього чисельника. отримуємо:

Похідну сомножителей в чисельнику ми вже знайшли в прикладі 2. Не забудемо також, що твір, що є другим співмножником в чисельнику в поточному прикладі береться зі знаком мінус:

Якщо Ви шукаєте рішення таких задач, в яких треба знайти похідну функції, де суцільне нагромадження коренів і ступенів, як, наприклад, , То ласкаво просимо на заняття "Похідна суми дробів зі ступенями і корінням" .

Якщо ж Вам потрібно дізнатися більше про похідні синусів, косинусів, тангенсів і інших тригонометричних функцій, Тобто, коли функція має вигляд начебто , То Вам на урок "Похідні простих тригонометричних функцій" .

Приклад 5.Знайти похідну функції

Рішення. У даній функції бачимо твір, один із співмножників яких - квадратний корінь з незалежною змінною, з похідною якого ми ознайомилися в таблиці похідних. За правилом диференціювання твори і табличному значенню похідної квадратного кореня отримуємо:

Перевірити рішення задачі на похідну можна на калькуляторі похідних онлайн .

Приклад 6.Знайти похідну функції

Рішення. У даній функції бачимо приватне, ділене якого - квадратний корінь з незалежної змінної. За правилом диференціювання приватного, яке ми повторили і застосували в прикладі 4, і табличному значенню похідної квадратного кореня отримуємо:

Щоб позбутися від дробу в чисельнику, множимо чисельник і знаменник на.

Висновок формули похідної степеневої функції (x в ступені a). Розглянуто похідні від коренів з x. Формула похідної степеневої функції вищого порядку. Приклади обчислення похідних.

зміст

Див. також: Степенева функція і коріння, формули і графік
Графіки статечної функції

Основні формули

Похідна від x в ступені a дорівнює a, помноженому на x в ступені a мінус один:
(1) .

Похідна від кореня ступеня n з x в ступені m дорівнює:
(2) .

Висновок формули похідної степеневої функції

Випадок x> 0

Розглянемо ступеневу функцію від змінної x з показником ступеня a:
(3) .
Тут a є довільним дійсним числом. Спочатку розглянемо випадок.

Щоб знайти похідну функції (3), скористаємося властивостями статечної функції і перетворимо її до наступного вигляду:
.

Тепер знаходимо похідну, застосовуючи:
;
.
Тут.

Формула (1) доведена.

Висновок формули похідною від кореня ступеня n з x в ступені m

Тепер розглянемо функцію, яка є коренем наступного виду:
(4) .

Щоб знайти похідну, перетворимо корінь до статечної функції:
.
Порівнюючи з формулою (3) ми бачимо, що
.
тоді
.

За формулою (1) знаходимо похідну:
(1) ;
;
(2) .

На практиці немає необхідності запам'ятовувати формулу (2). Набагато зручніше спочатку перетворити коріння до статечним функцій, а потім знаходити їх похідні, застосовуючи формулу (1) (див. Приклади в кінці сторінки).

Випадок x = 0

Якщо, то статечна функція визначена і при значенні змінної x = 0 . Знайдемо похідну функції (3) при x = 0 . Для цього скористаємося визначенням похідної:
.

Підставами x = 0 :
.
При цьому під похідною ми розуміємо правобічний межа, для якого.

Отже, ми знайшли:
.
Звідси видно, що при,.
При,.
При,.
Цей результат виходить і за формулою (1):
(1) .
Тому формула (1) справедлива і при x = 0 .

випадок x< 0

Знову розглянемо функцію (3):
(3) .
При деяких значеннях постійної a, вона визначена і при негативних значеннях змінної x. А саме, нехай a буде раціональним числом. Тоді його можна представити у вигляді нескоротного дробу:
,
де m і n - цілі числа, які не мають загального дільника.

Якщо n непарне, то статечна функція визначена і при негативних значеннях змінної x. Наприклад, при n = 3 і m = 1 ми маємо кубічний корінь з x:
.
Він визначений і при негативних значеннях змінної x.

Знайдемо похідну статечної функції (3) при і при раціональних значенняхпостійної a, для яких вона визначена. Для цього представимо x в наступному вигляді:
.
тоді,
.
Знаходимо похідну, виносячи постійну за знак похідної та застосовуючи правило диференціювання складної функції:

.
Тут. але
.
Оскільки, то
.
тоді
.
Тобто формула (1) справедлива і при:
(1) .

Похідні вищих порядків

Тепер знайдемо похідні вищих порядків від статечної функції
(3) .
Похідну першого порядку ми вже знайшли:
.

Виносячи постійну a за знак похідної, знаходимо похідну другого порядку:
.
Аналогічним чином знаходимо похідні третього і четвертого порядків:
;

.

Звідси видно, що похідна довільного n-го порядкумає наступний вигляд:
.

Зауважимо, що якщо a є натуральним числом,, То n -а похідна є постійною:
.
Тоді всі наступні похідні дорівнюють нулю:
,
при.

Приклади обчислення похідних

приклад

Знайдіть похідну функції:
.

Перетворимо коріння до ступенями:
;
.
Тоді вихідна функція набуває вигляду:
.

Знаходимо похідні ступенів:
;
.
Похідна постійної дорівнює нулю:
.