Чому дорівнює значення виразу. Знаходження значення виразу: правила, приклади, рішення. Обчислення значень виразів раціональними способами

У даній статті розглянуто, як знаходити значення математичних виразів. Почнемо з простих числових виразів і далі будемо розглядати випадки в міру зростання їх складності. В кінці наведемо вираз, що містить буквені позначення, дужки, коріння, спеціальні математичні знаки, ступеня, функції і т.д. Всю теорію, за традицією, забезпечимо рясними і докладними прикладами.

Як знайти значення числового виразу?

Числові вирази, крім іншого, допомагають описувати умову задачі математичною мовою. Взагалі математичні вирази можуть бути як дуже простими, що складаються з пари чисел і арифметичних знаків, так і дуже складними, що містять функції, ступеня, коріння, дужки і т.д. В рамках завдання часто необхідно знайти значення того чи іншого виразу. Про те, як це робити, і піде мова нижче.

найпростіші випадки

Це випадки, коли вираз не містить нічого, крім чисел і арифметичних дій. Для успішного знаходження значень таких виразів знадобляться знання порядку виконання арифметичних дій без дужок, а також вміння виконувати дії з різними числами.

Якщо у виразі є лише числа і арифметичні знаки "+", "·", "-", "÷", то дії виконуються зліва направо в наступному порядку: спочатку множення і ділення, потім додавання і віднімання. Наведемо приклади.

Приклад 1. Значення числового виразу

Нехай потрібно знайти значення виразу 14 - 2 · 15 ÷ 6 - 3.

Виконаємо спочатку множення і ділення. отримуємо:

14 - 2 · 15 ÷ 6 - 3 = 14 - 30 ÷ 6 - 3 = 14 - 5 - 3.

Тепер проводимо віднімання і отримуємо остаточний результат:

14 - 5 - 3 = 9 - 3 = 6 .

Приклад 2. Значення числового виразу

Обчислимо: 0, 5 - 2 · - 7 + 2 3 ÷ 2 3 4 · 11 12.

Спочатку виконуємо перетворення дробів, ділення і множення:

0, 5 - 2 · - 7 + 2 3 ÷ 2 3 4 · 11 12 = 1 2 - (- 14) + 2 3 ÷ 11 4 · 11 12

1 2 - (- 14) +2 3 ÷ 11 4 · 11 12 = 1 2 - (- 14) +2 3 · 4 11 · 11 12 = 1 2 - (- 14) +2 9.

Тепер займемося складанням і відніманням. Згрупуємо дроби і наведемо їх до спільного знаменника:

1 2 - (- 14) + 2 9 = 1 2 + 14 + 2 9 = 14 + 13 18 = 14 13 18 .

Шукане значення знайдено.

Вирази з дужками

Якщо вираз містить дужки, то вони визначають порядок дій у цьому вираженні. Спочатку виконуються дії в дужках, а потім вже все решта. Покажемо це на прикладі.

Приклад 3. Значення числового виразу

Знайдемо значення виразу 0, 5 · (0, 76 - 0, 06).

У виразі присутні дужки, тому спочатку виконуємо операцію віднімання в дужках, а вже потім - множення.

0, 5 · (0, 76 - 0, 06) = 0, 5 · 0, 7 = 0, 35.

Значення виразів, що містять дужки в дужках, знаходиться за таким же принципом.

Приклад 4. Значення числового виразу

Обчислимо значення 1 + 2 · 1 + 2 · 1 + 2 · 1 - 1 4.

Виконувати дії будемо починаючи з самих внутрішніх дужок, переходячи до зовнішніх.

1 + 2 · 1 + 2 · 1 + 2 · 1 - 1 4 = 1 + 2 · 1 + 2 · 1 + 2 • 3 4

1 + 2 · 1 + 2 · 1 + 2 • 3 4 = 1 + 2 · 1 + 2 · 2, 5 = 1 + 2 · 6 = 13.

У знаходженні значень виразів з дужками головне - дотримуватися послідовність дій.

Вирази з корінням

Математичні вирази, значення яких нам потрібно знайти, можуть містити знаки кореня. Причому, сам вираз може бути під знаком кореня. Як бути в такому випадку? Спочатку потрібно знайти значення виразу під коренем, а потім витягти корінь з числа, отриманого в результаті. По можливості від коренів в числових виразах потрібно краще позбавлятися, замінюючи з на числові значення.

Приклад 5. Значення числового виразу

Обчислимо значення виразу з корінням - 2 · 3 - 1 + 60 ÷ 4 3 + 3 · 2, 2 + 0, 1 · 0, 5.

Спочатку обчислюємо подкоренное вираження.

2 · 3 - 1 + 60 ÷ 4 3 = - 6 - 1 + 15 3 = 8 3 = 2

2, 2 + 0, 1 · 0, 5 = 2, 2 + 0, 05 = 2, 25 = 1, 5.

Тепер можна обчислити значення всього виразу.

2 · 3 - 1 + 60 ÷ 4 3 + 3 · 2, 2 + 0, 1 · 0, 5 = 2 + 3 · 1, 5 = 6, 5

Часто знайти значення виразу з корінням часто потрібно спочатку провести перетворення вихідного вираження. Пояснимо це на ще одному прикладі.

Приклад 6. Значення числового виразу

Скільки буде 3 + 1 3 - 1 - 1

Як бачимо, у нас немає можливості замінити корінь точним значенням, що ускладнює процес рахунку. Однак, в даному випадку можна застосувати формулу скороченого множення.

3 + 1 3 - 1 = 3 - 1 .

Таким чином:

3 + 1 3 - 1 - 1 = 3 - 1 - 1 = 1 .

Вирази зі ступенями

Якщо у виразі є мірою, їх значення потрібно обчислити перш, ніж приступати до всіх інших дій. Буває так, що сам показник або підставу ступеня є виразами. В такому випадку, спочатку обчислюють значення цих виразів, а потім вже значення ступеня.

Приклад 7. Значення числового виразу

Знайдемо значення виразу 2 3 · 4 - 10 + 16 1 - 1 2 3, 5 - 2 • 1 4.

Починаємо обчислювати по порядку.

2 3 · 4 - 10 = 2 12 - 10 = 2 + 2 = 4

16 · 1 - 1 2 3, 5 - 2 · 1 4 = 16 * 0, 5 3 = 16 · 1 8 = 2.

Залишилося тільки провести операцію додавання і дізнатися значення виразу:

2 3 · 4 - 10 + 16 1 - 1 2 3, 5 - 2 • 1 4 = 4 + 2 = 6.

Також часто доцільно буває провести спрощення виразу з використанням властивостей ступеня.

Приклад 8. Значення числового виразу

Обчислимо значення наступного виразу: 2 - 2 5 · 4 5 - 1 + 3 1 3 6.

Показники ступенів знову такі, що їх точні числові значення отримати не вдасться. Спростимо вихідне вираз, щоб знайти його значення.

2 - 2 5 · 4 5 - 1 + 3 1 3 6 = 2 - 2 5 · 2 2 5 - 1 +3 1 3 · 6

2 - 2 5 · 2 2 5 - 1 +3 1 3 · 6 = 2 - 2 5 · 2 2 · 5 - 2 + 3 2 = 2 2 · 5 - 2 - 2 5 +3 2

2 2 · 5 - 2 - 2 5 + 3 2 = 2 - 2 + 3 = 1 4 + 3 = 3 1 4

Вирази з дробом

Якщо вираз містить дроби, то при обчисленні такого виразу все дробу в ньому потрібно представити у вигляді звичайних дробів і обчислити їх значення.

Якщо в чисельнику і знаменнику дробу присутні вирази, то спочатку обчислюються значення цих виразів, і записується фінальне значення самої дробу. Арифметичні дії виконуються в стандартному порядку. Розглянемо рішення прикладу.

Приклад 9. Значення числового виразу

Знайдемо значення виразу, що містить дроби: 3, 2 2 - 3 · 7 - 2 · 3 6 ÷ 1 + 2 + 3 9 - 6 ÷ 2.

Як бачимо, в вихідному виразі є три дроби. Обчислимо спочатку їх значення.

3, 2 2 = 3, 2 ÷ 2 = 1, 6

7 - 2 • 3 6 = 7 - 6 6 = 1 6

1 + 2 + 3 9 - 6 ÷ 2 = 1 + 2 + 3 9 - 3 = 6 6 = 1.

Перепишемо наше вираз і обчислимо його значення:

1, 6 - 3 · 1 6 ÷ 1 = 1, 6 - 0, 5 ÷ 1 = 1, 1

Часто при знаходженні значень виразів зручно буває проводити скорочення дробів. Існує негласне правило: будь-який вираз перед знаходженням його значення найкраще спростити по максимуму, зводячи все обчислення до найпростіших випадків.

Приклад 10. Значення числового виразу

Обчислимо вираз 2 5 - 1 - 2 5 - 7 4 - 3.

Ми не можемо без остачі витягти корінь з п'яти, проте можемо спростити вихідне вираз шляхом перетворень.

2 5 - 1 = 2 5 + 1 5 - 1 5 + 1 = 2 5 + 1 5 - 1 = 2 5 + 2 4

Початкове вираз набуває вигляду:

2 5 - 1 - 2 5 - 7 4 - 3 = 2 5 + 2 4 - 2 5 - 7 4 - 3 .

Обчислимо значення цього виразу:

2 5 + 2 4 - 2 5 - 7 4 - 3 = 2 5 + 2 - 2 5 + 7 4 - 3 = 9 4 - 3 = - 3 4 .

Вирази з логарифмами

Коли в виразі присутні логарифми, їх значення, якщо це можливо, обчислюється з самого початку. Наприклад, в вираженні log 2 4 + 2 · 4 можна відразу замість log 2 4 записати значення цього логарифма, а потім виконати всі дії. Отримаємо: log 2 4 + 2 · 4 = 2 + 2 · 4 = 2 + 8 = 10.

Під самим знаком логарифма і в його підставі також можуть знаходиться числові вирази. В такому випадку, в першу чергу знаходяться їх значення. Візьмемо вираз log 5 - 6 ÷ 3 5 2 + 2 + 7. маємо:

log 5 - 6 ÷ 3 5 2 + 2 + 7 = log 3 27 + 7 = 3 + 7 = 10.

Якщо ж обчислити точне значення логарифма неможливо, спрощення виразу допомагає знайти його значення.

Приклад 11. Значення числового виразу

Знайдемо значення виразу log 2 log 2 256 + log 6 2 + log 6 3+ log 5 729 log 0, 2 27.

log 2 log 2 256 = log 2 8 = 3.

По властивості логарифмів:

log 6 2 + log 6 3 = log 6 (2 · 3) = log 6 6 = 1.

Знову застосовуючи властивості логарифмів, для останньої дробу в вираженні отримаємо:

log 5 729 log 0, 2 27 = log 5 729 log 1 5 27 = log 5 729 - log 5 27 = - log 27 729 = - log 27 27 2 = - 2.

Тепер можна переходити до обчислення значення вихідного вираження.

log 2 log 2 256 + log 6 2 + log 6 3 + log 5 729 log 0, 2 27 = 3 + 1 + - 2 = 2.

Вирази з тригонометричними функціями

Буває, що в вираженні є тригонометричні функції синуса, косинуса, тангенса і котангенс, а також функції, зворотні ім. З значення обчислюються перед виконанням всіх інших арифметичних дій. В іншому випадку, вираз спрощується.

Приклад 12. Значення числового виразу

Знайдіть значення виразу: t g 2 4 π 3 - sin - 5 π 2 + cosπ.

Спочатку обчислюємо значення тригонометричних функцій, Що входять у вираз.

sin - 5 π 2 = - 1

Підставляємо значення у вираз і обчислюємо його значення:

t g 2 4 π 3 - sin - 5 π 2 + cosπ = 3 2 - (- 1) + (- 1) = 3 + 1 - 1 = 3.

Значення виразу знайдено.

Часто для того, щоб знайти значення виразу з тригонометричними функціями, його попередньо потрібно перетворити. Пояснимо на прикладі.

Приклад 13. Значення числового виразу

Потрібно знайти значення виразу cos 2 π 8 - sin 2 π 8 cos 5 π 36 cos π 9 - sin 5 π 36 sin π 9 - 1.

Для перетворення будемо використовувати тригонометричні формули косинуса подвійного кута і косинуса суми.

cos 2 π 8 - sin 2 π 8 cos 5 π 36 cos π 9 - sin 5 π 36 sin π 9 - 1 = cos 2 π 8 cos 5 π 36 + π 9 - 1 = cos π 4 cos π 4 - 1 = 1 - 1 = 0.

Загальний випадок числового виразу

У загальному випадку тригонометрическое вираз може містити всі вищеописані елементи: дужки, ступеня, коріння, логарифми, функції. сформулюємо загальне правилознаходження значень таких виразів.

Як знайти значення виразу

1. Коріння, ступеня, логарифми і т.д. замінюються їх значеннями.
2. Виконуються дії в дужках.
3. Решта дії виконуються по порядку зліва направо. Спочатку - множення і ділення, потім - додавання і віднімання.

Розберемо приклад.

Приклад 14. Значення числового виразу

Обчислимо, чому дорівнює значення виразу - 2 · sin π 6 + 2 · 2 π 5 + 3 π 5 + 3 ln e 2 + 1 + 3 9.

Вираз досить складне і громіздке. Ми не випадково обрали саме такий приклад, постаравшись вмістити в нього всі описані вище випадки. Як знайти значення такого виразу?

Відомо, що при обчисленні значення складного дрібного виду, спочатку окремо знаходяться значення чисельника і знаменника дробу відповідно. Будемо послідовно перетворювати і спрощувати цей вислів.

Насамперед обчислимо значення подкоренного вираження 2 · sin π 6 + 2 · 2 π 5 + 3 π 5 + 3. Щоб зробити це, потрібно знайти значення синуса, і вирази, яке є аргументом тригонометричної функції.

π 6 + 2 · 2 π 5 + 3 π 5 = π 6 + 2 · 2 π + 3 π 5 = π 6 + 2 · 5 π 5 = π 6 + 2 π

Тепер можна дізнатися значення синуса:

sin π 6 + 2 · 2 π 5 + 3 π 5 = sin π 6 + 2 π = sin π 6 = 1 2.

Обчислюємо значення подкоренного вираження:

2 · sin π 6 + 2 · 2 π 5 + 3 π 5 + 3 = 2 · 1 2 + 3 = 4

2 · sin π 6 + 2 · 2 π 5 + 3 π 5 + 3 = 4 = 2.

З знаменником дробу все простіше:

Тепер ми можемо записати значення всієї дробу:

2 · sin π 6 + 2 · 2 π 5 + 3 π 5 + 3 ln e 2 = 2 2 = 1.

З огляду на це, запишемо все вираз:

1 + 1 + 3 9 = - 1 + 1 + 3 3 = - 1 + 1 + 27 = 27 .

Остаточний результат:

2 · sin π 6 + 2 · 2 π 5 + 3 π 5 + 3 ln e 2 + 1 + 3 9 = 27.

В даному випадку ми змогли обчислити точні значення коренів, логарифмів, синусів і т.д. Якщо такої можливості немає, можна спробувати позбутися від них шляхом математичних перетворень.

Обчислення значень виразів раціональними способами

Обчислювати значення числових потрібно послідовно і акуратно. Даний процес можна раціоналізувати і прискорити, використовуючи різні властивості дій з числами. Наприклад, відомо, що добуток дорівнює нулю, якщо нулю дорівнює хоча б один із множників. З урахуванням цієї властивості, можна відразу сказати, що вираз 2 · 386 + 5 + 589 4 1 - sin 3 π 4 · 0 дорівнює нулю. При цьому, зовсім не обов'язково виконувати дії по порядку, описаному в статті вище.

Також зручно використовувати властивість віднімання рівних чисел. Чи не виконуючи ніяких дій, можна замовити, що значення виразу 56 + 8 - 3, 789 ln e 2 - 56 + 8 - 3, 789 ln e 2 також дорівнює нулю.

Ще один прийом, що дозволяє прискорити процес - використання тотожних перетворень таких як угруповання доданків і множників і винесення загального множниказа дужки. Раціональний підхід до обчислення виразів з дробом - скорочення однакових виразів в чисельнику і знаменнику.

Наприклад, візьмемо вираз 2 3 - 1 5 +3 · 289 · 3 4 3 • 2 3 - 1 5 +3 · 289 · 3 4. Чи не виконуючи дій в дужках, а скорочуючи дріб, можна сказати, що значення виразу дорівнює 1 3.

Знаходження значень виразів зі змінними

Значення буквених виразів і вирази зі змінними знаходиться для конкретних заданих значень букв і змінних.

Знаходження значень виразів зі змінними

Щоб знайти значення буквених виразів і вирази зі змінними, потрібно в вихідне вираз підставити задані значення букв і змінних, після чого обчислити значення отриманого числового виразу.

Приклад 15. Значення виразу зі змінними

Обчислити значення виразу 0, 5 x - y при заданих x = 2, 4 і y = 5.

Підставляємо значення змінних у вираз і обчислюємо:

0, 5 x - y = 0, 5 · 2, 4 - 5 = 1, 2 - 5 = - 3, 8.

Іноді можна так перетворити вираз, щоб отримати його значення незалежно від значень назв букв і змінних. Для цього від букв і змінних у виразі потрібно по можливості позбутися, використовуючи тотожні перетворення, властивості арифметичних дій і всі можливі інші способи.

Наприклад, вираз х + 3 - х, очевидно, має значення 3, і для обчислення цього значення зовсім необов'язково знати значення змінної ікс. Значення цього виразу дорівнює трьом для всіх значень змінної ікс з її області допустимих значень.

Ще один приклад. Значення виразу x x дорівнює одиниці для всіх позитивних іксів.

Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl + Enter

В курсі алгебри 7 класу ми займалися перетвореннями цілих виразів, т. Е. Виразів, складених з чисел і змінних за допомогою дій додавання, віднімання і множення, а також поділу на число, відмінне від нуля. Так, цілими є вираження

На відміну від них вирази

крім дії додавання, віднімання і множення, містять розподіл на вираз зі змінними. Такі вирази називають дробовими виразами.

Цілі і дробові вирази називають раціональними виразами.

Ціле вираз має сенс при будь-яких значеннях вхідних в нього змінних, так як для знаходження значення цілого виразу потрібно виконати дії, які завжди можливі.

Дробове вираження при деяких значеннях змінних може не мати сенсу. Наприклад, вираз - не має сенсу при а = 0. При всіх інших значеннях а цей вислів має сенс. Вираз має сенс при тих значеннях х і у, коли х ≠ у.

Значення змінних, при яких вираз має сенс, називають допустимими значеннями змінних.

Вираз виду називається, як відомо, дробом.

Дріб, чисельник і знаменник якого многочлени, називають раціональним дробом.

Прикладами раціональних дробів служать дроби

В раціональної дробу допустимими є ті значення змінних, при яких не звертається в нуль знаменник дробу.

Приклад 1.Знайдемо допустимі значення змінної в дроби

РішенняЩоб знайти, при яких значеннях а знаменник дробу звертається в нуль, потрібно вирішити рівняння а (а - 9) = 0. Це рівняння має два кореня: 0 і 9. Отже, допустимими значеннями змінної а є все числа, крім 0 і 9.

Приклад 2.При якому значенні х значення дробу дорівнює нулю?

РішенняДріб дорівнює нулю тоді і тільки тоді, коли а - 0 і b ≠ 0.

Отже, якщо числове вираз складено з чисел і знаків +, -, · і :, то по порядку зліва направо потрібно спочатку виконати множення і ділення, а потім - додавання і віднімання, що дозволить знайти шукане значення виразу.

Наведемо рішення прикладів для пояснення.

Приклад.

Обчисліть значення виразу 14-2 · 15: 6-3.

Рішення.

Щоб знайти значення виразу, потрібно виконати всі зазначені в ньому дії відповідно до прийнятого порядку виконання цих дій. Спочатку по порядку зліва направо виконуємо множення і ділення, отримуємо 14-2 · 15: 6-3 = 14-30: 6-3 = 14-5-3. Тепер також по порядку зліва направо виконуємо решту кроків: 14-5-3 = 9-3 = 6. Так ми знайшли значення вихідного вираження, воно дорівнює 6.

відповідь:

14-2 · 15: 6-3 = 6.

Приклад.

Знайдіть значення виразу.

Рішення.

В даному прикладі нам спочатку потрібно виконати множення 2 · (-7) і розподіл з множенням в вираженні. Згадавши, як виконується, знаходимо 2 · (-7) = - 14. А для виконання дій у виразі спочатку , після чого , І виконуємо: .

Підставляємо отримані значення у вихідне вираз:.

А як бути, коли під знаком кореня знаходиться числове вираз? Щоб отримати значення такого кореня, потрібно спочатку знайти значення подкоренного вираження, дотримуючись прийнятого порядку виконань дій. Наприклад,.

У числових виразах коріння слід сприймати як деякі числа, і коріння доцільно відразу замінити їх значеннями, після чого знаходити значення отриманого виразу без коренів, виконуючи дії в прийнятій послідовності.

Приклад.

Знайдіть значення виразу з корінням.

Рішення.

Спочатку знайдемо значення кореня . Для цього, по-перше, обчислимо значення подкоренного вираження, маємо -2 · 3-1 + 60: 4 = -6-1 + 15 = 8. А по-друге, знаходимо значення кореня.

Тепер обчислимо значення другого кореня з вихідного вираження:.

Нарешті, ми можемо знайти значення вихідного вираження, замінивши коріння їх значеннями:.

відповідь:

Досить часто, щоб стало можливо знайти значення виразу з корінням, попередньо доводиться проводити його перетворення. Покажемо рішення прикладу.

Приклад.

Яке значення виразу .

Рішення.

Ми не маємо можливості замінити корінь з трьох його точним значенням, що не дозволяє нам обчислити значення цього виразу описаним вище способом. Однак ми можемо обчислити значення цього вираження, виконавши нескладні перетворення. застосуємо формулу різниці квадратів:. З огляду на, отримуємо . Таким чином, значення вихідного вираження дорівнює 1.

відповідь:

.

зі ступенями

Якщо основа і показник ступеня є числами, то їх значення обчислюється за визначенням ступеня, наприклад, 3 2 = 3 · 3 = 9 або 8 -1 = 1/8. Зустрічаються також записи, коли підстава і / або показник ступеня є деякими виразами. У цих випадках потрібно знайти значення виразу в підставі, значення виразу в показнику, після чого обчислити значення самої ступеня.

Приклад.

Знайдіть значення виразу зі ступенями виду 2 3 · 4-10 + 16 · (1-1 / 2) 3,5-2 · 1/4.

Рішення.

У вихідному виразі два ступені 2 3 · 4-10 і (1-1 / 2) 3,5-2 · 1/4. Їх значення потрібно обчислити до виконання інших дій.

Почнемо зі степені 2 3 · 4-10. В її показнику знаходиться числове вираження, обчислимо його значення: 3 · 4-10 = 12-10 = 2. Тепер можна знайти значення самої ступеня 2 3 · 4-10 = 2 + 2 = 4.

У підставі і показнику ступеня (1-1 / 2) 3,5-2 · 1/4 знаходяться вирази, обчислюємо їх значення, щоб потім знайти значення ступеня. маємо (1-1 / 2) 3,5-2 · 1/4 = (1/2) 3 = 1/8.

Тепер повертаємося до початкового виразу, замінюємо в ньому ступеня їх значеннями, і знаходимо потрібний нам значення виразу: 2 3 · 4-10 + 16 · (1-1 / 2) 3,5-2 · 1/4 = 4 + 16 · 1/8 = 4 + 2 = 6.

відповідь:

2 3 · 4-10 + 16 · (1-1 / 2) 3,5-2 · 1/4 = 6.

Варто зауважити, що більш поширені випадки, коли доцільно провести попереднє спрощення виразу зі ступенямина базі .

Приклад.

Знайдіть значення виразу .

Рішення.

Судячи з показників ступенів, що знаходяться в даному виразі, точні значення ступенів отримати не вдасться. Спробуємо спростити вихідне вираз, може бути це допоможе знайти його значення. маємо

відповідь:

.

Ступеня в виразах найчастіше йдуть рука об руку з логарифмами, але про знаходження значень виразів з логарифмами ми поговоримо в одному з.

Знаходимо значення виразу з дробом

Числові вирази в своєму записі можуть містити дроби. Там, де необхідно знайти значення подібного вираження, дробу, відмінні від звичайних дробів, слід замінити їх значеннями перед виконанням інших дій.

У чисельнику і знаменнику дробів (які відмінні від звичайних дробів) можуть перебувати як деякі числа, так і вирази. Щоб обчислити значення такої дробу потрібно обчислити значення виразу в чисельнику, обчислити значення виразу в знаменнику, після чого обчислити значення самої дробу. Такий порядок пояснюється тим, що дріб a / b, де a і b - деякі вирази, по суті являє собою частку виду (a) :( b), так як.

Розглянемо рішення прикладу.

Приклад.

Знайдіть значення виразу з дробом .

Рішення.

У вихідному числовому вираженні три дроби і. Щоб знайти значення вихідного вираження, нам спочатку потрібно ці дроби, замінити їх значеннями. Зробимо це.

У чисельнику і знаменнику дробу знаходяться числа. Щоб знайти значення такої дробу, замінюємо дробову риску знаком ділення, і виконуємо цю дію: .

В чисельнику дробу знаходиться вираз 7-2 · 3, його значення знайти легко: 7-2 · 3 = 7-6 = 1. Таким чином, . Можна переходити до знаходження значення третьої дробу.

Третя дріб в чисельнику і знаменнику містить числові вирази, тому, спочатку потрібно обчислити їх значення, а це дозволить знайти значення самої дробу. маємо .

Залишилося підставити знайдені значення у вихідне вираз, і виконати решту кроків:.

відповідь:

.

Часто при знаходженні значень виразів з дробом доводиться виконувати спрощення дробових виражень, Що базується на виконанні дій з дробами і на скороченні дробів.

Приклад.

Знайдіть значення виразу .

Рішення.

Корінь з п'яти остачі не виймається, тому для знаходження значення вихідного вираження для початку спростимо його. Для цього позбудемося ірраціональності в знаменникупершого дробу: . Після цього вихідне вираз набуде вигляду . Після вирахування дробів пропадуть коріння, що нам дозволить знайти значення спочатку заданого виразу:.

відповідь:

.

З логарифмами

Якщо числове вираз містить, і якщо є можливість позбутися від них, то це робиться перед виконанням інших дій. Наприклад, при знаходженні значення виразу log 2 4 + 2 · 3, логарифм log 2 4 замінюється його значенням 2, після чого виконуються інші дії в звичайному порядку, тобто, log 2 4 + 2 · 3 = 2 + 2 · 3 = 2 + 6 = 8.

Коли під знаком логарифма і / або в його підставі знаходяться числові вирази, то спочатку знаходяться їх значення, після чого обчислюється значення логарифма. Для прикладу розглянемо вираз з логарифмом виду . У підставі логарифма і під його знаком знаходяться числові вирази, знаходимо їх значення:. Тепер знаходимо логарифм, після чого завершуємо обчислення:.

Якщо ж логарифми не вирахував точно, то знайти значення вихідного вираження може допомогти попереднє його спрощення з використанням. При цьому потрібно добре володіти матеріалом статті перетворення логарифмічних виразів.

Приклад.

Знайдіть значення виразу з логарифмами .

Рішення.

Почнемо з обчислення log 2 (log 2 256). Так як 256 = 2 8, то log 2 256 = 8, отже, log 2 (log 2 256) = log 2 8 = log 2 2 3 = 3.

Логарифми log 6 2 і log 6 3 можна згрупувати. Сума логарифмів log 6 2 + log 6 3 дорівнює логарифму твору log 6 (2 · 3), таким чином, log 6 2 + log 6 3 = log 6 (2 · 3) = log 6 6 = 1.

Тепер розберемося з дробом. Для початку підставу логарифма в знаменнику перепишемо у вигляді звичайного дробу як 1/5, після чого скористаємося властивостями логарифмів, що дозволить нам отримати значення дробу:
.

Залишилося лише підставити отримані результати в вихідне вираз і закінчити перебування його значення:

відповідь:

Як знайти значення тригонометричного виразу?

Коли числове вираз містить або й т.п., то їх значення обчислюються перед виконанням інших дій. Якщо під знаком тригонометричних функцій стоять числові вирази, то спочатку обчислюються їх значення, після чого знаходяться значення тригонометричних функцій.

Приклад.

Знайдіть значення виразу .

Рішення.

Звернувшись до статті, отримуємо і cosπ = -1. Підставляємо ці значення у вихідне вираз, воно набирає вигляду . Щоб знайти його значення, спочатку потрібно виконати зведення в ступінь, після чого закінчити обчислення:.

відповідь:

.

Варто зазначити, що обчислення значень виразів з синусами, косинусами і т.п. часто вимагає попереднього перетворення тригонометричного виразу.

Приклад.

Чому дорівнює значення тригонометричного виразу .

Рішення.

Перетворимо вихідне вираз, використовуючи, в даному випадку нам будуть потрібні формула косинуса подвійного кута і формула косинуса суми:

Виконані перетворення допомогли нам знайти значення виразу.

відповідь:

.

Загальний випадок

У загальному випадку числове вираження може містити і коріння, і ступеня, і дробу, і будь-які функції, і дужки. Знаходження значень таких виразів полягає у виконанні наступних дій:

• спочатку коріння, ступеня, дробу і т.п. замінюються їх значеннями,
• далі дії в дужках,
• і по порядку зліва направо виконується решту кроків - множення і ділення, а за ними - додавання і віднімання.

Перераховані дії виконуються до отримання кінцевого результату.

Приклад.

Знайдіть значення виразу .

Рішення.

Вид цього виразу досить складний. У цьому виразі ми бачимо дріб, коріння, ступеня, синус і логарифм. Як же знайти його значення?

Просуваючись по запису зліва на право, ми натикаємося на дріб виду . Ми знаємо, що при роботі з дробами складного виду, нам потрібно окремо обчислити значення чисельника, окремо - знаменника, і, нарешті, знайти значення дробу.

У чисельнику ми маємо корінь виду . Щоб визначити його значення, спочатку треба обчислити значення подкоренного вираження . Тут є синус. Знайти його значення ми зможемо лише після обчислення значення виразу . Це ми можемо зробити:. Тоді, звідки і .

З знаменником все просто:.

Таким чином, .

Після підстановки цього результату в вихідне вираз, воно набуде вигляду. В отриманому виразі міститься ступінь. Щоб знайти її значення, спочатку доведеться знайти значення показника, маємо .

Отже,.

відповідь:

.

Якщо ж немає можливості обчислити точні значення коренів, ступенів і т.п., то можна спробувати позбутися від них за допомогою будь-яких перетворень, після чого повернутися до обчислення значення за вказаною схемою.

Раціональні способи обчислення значень виразів

Обчислення значень числових виразів вимагає послідовності і акуратності. Так, необхідно дотримуватися послідовності виконання дій, записаної в попередніх пунктах, Але не потрібно це робити сліпо і механічно. Цим ми хочемо сказати, що часто можна раціоналізувати процес знаходження значення виразу. Наприклад, значно прискорити і спростити перебування значення висловлювання дозволяють деякі властивості дій з числами.

Наприклад, ми знаємо таку властивість множення: якщо один із множників у творі дорівнює нулю, то і значення твору дорівнює нулю. Використовуючи цю властивість, ми можемо відразу сказати, що значення виразу 0 · (2 ​​· 3 + 893-3234: 54 · 65-79 · 56 · 2,2) ·(45 · 36-2 · 4 + 456: 3 · 43) дорівнює нулю. Якби ми дотримувалися стандартного порядку виконання дій, то спочатку нам би довелося обчислювати значення громіздких виразів в дужках, а це б зайняло багато часу, і в результаті все одно вийшов би нуль.

Також зручно користуватися властивістю віднімання рівних чисел: якщо від числа відняти рівне йому число, то в результаті вийде нуль. Це властивість можна розглядати ширше: різниця двох однакових числових виразів дорівнює нулю. Наприклад, не обчислюючи значення виразів в дужках можна знайти значення виразу (54 · 6-12 · 47362: 3) - (54 · 6-12 · 47362: 3), Воно дорівнює нулю, так як вихідне вираз являє собою різницю однакових виразів.

Раціонального обчислення значень виразів можуть сприяти тотожні перетворення. Наприклад, буває корисна угруповання доданків і множників, Не менше часто використовується винесення спільного множника за дужки. Так значення виразу 53 · 5 + 53 · 7-53 · 11 + 5 дуже легко знаходиться після винесення множника 53 за дужки: 53 · (5 + 7-11) + 5 = 53 · 1 + 5 = 53 + 5 = 58. Безпосереднє обчислення зайняло б набагато більше часу.

На закінчення цього пункту звернемо увагу на раціональний підхід до обчислення значень виразів з дробом - однакові множники в чисельнику і знаменнику дробу скорочуються. Наприклад, скорочення однакових виразів в чисельнику і знаменнику дробу дозволяє відразу знайти її значення, що дорівнює 1/2.

Знаходження значення буквених виразів і вирази зі змінними

Значення буквених виразів і вирази зі зміннимизнаходиться для конкретних заданих значень букв і змінних. Тобто, мова йде про знаходження значення буквених виразів для даних значень букв або про знаходження значення виразу зі змінними для обраних значень змінних.

правилознаходження значення буквених виразів або виразу зі змінними для даних значень букв або обраних значень змінних таке: у вихідне вираз потрібно підставити дані значення букв або змінних, і обчислити значення отриманого числового виразу, воно і є шуканим значенням.

Приклад.

Обчисліть значення виразу 0,5 · x-y при x = 2,4 і y = 5.

Рішення.

Щоб знайти потрібну установку вираження, спочатку потрібно підставити у вихідне вираз дані значення змінних, після чого виконати дії: 0,5 · 2,4-5 = 1,2-5 = -3,8.

відповідь:

−3,8 .

На закінчення відзначимо, що іноді виконання перетворень буквених виразів і виразів зі змінними дозволяє отримати їх значення, незалежно від значень букв і змінних. Наприклад, вираз x + 3-x можна спростити, після чого воно набуде вигляду 3. Звідси можна зробити висновок, що значення виразу x + 3-x дорівнює 3 для будь-яких значень змінної x з її області допустимих значень (ОДЗ). Ще приклад: значення виразу дорівнює 1 для всіх позитивних значень x, так областю допустимих значень змінної x в вихідному виразі є безліч позитивних чисел, і на цій області має місце рівність.

Список літератури.

• Математика: Навч. для 5 кл. загальноосвіт. установ / Н. Я. Віленкін, В. І. Жохов, А. С. Чесноков, С. І. Шварцбурд. - 21-е изд., Стер. - М .: Мнемозина, 2007. - 280 с .: іл. ISBN 5-346-00699-0.
• Математика. 6 клас: навч. для загальноосвіт. установ / [Н. Я. Виленкин и др.]. - 22-е изд., Испр. - М .: Мнемозина, 2008. - 288 с .: іл. ISBN 978-5-346-00897-2.
• алгебра:навч. для 7 кл. загальноосвіт. установ / [Ю. Н. Макаричєв, Н. Г. Миндюк, К. І. Нешков, С. Б. Суворова]; під ред. С. А. Теляковского. - 17-е изд. - М.: Просвещение, 2008. - 240 с. : Ил. - ISBN 978-5-09-019315-3.
• алгебра:навч. для 8 кл. загальноосвіт. установ / [Ю. Н. Макаричєв, Н. Г. Миндюк, К. І. Нешков, С. Б. Суворова]; під ред. С. А. Теляковского. - 16-е изд. - М.: Просвещение, 2008. - 271 с. : Ил. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• алгебра: 9 клас: навч. для загальноосвіт. установ / [Ю. Н. Макаричєв, Н. Г. Миндюк, К. І. Нешков, С. Б. Суворова]; під ред. С. А. Теляковского. - 16-е изд. - М.: Просвещение, 2009. - 271 с. : Ил. - ISBN 978-5-09-021134-5.
• алгебраі початки аналізу: Учеб. для 10-11 кл. загальноосвіт. установ / А. Н. Колмогоров, А. М. Абрамов, Ю. П. Дудніцин і ін .; Під ред. А. Н. Колмогорова.- 14-е вид.- М .: Просвещение, 2004. 384 с .: іл.- ISBN 5-09-013651-3.