Де знаходиться тангенс. Синус, косинус, тангенс: що таке? Як знайти синус, косинус і тангенс? Тригонометричні функції в житті
Тригонометрія, як наука, зародилася на Стародавньому Сході. Перші тригонометричні співвідношення були виведені астрономами для створення точного календаряі орієнтування по зірках. Дані обчислення ставилися до сферичної тригонометрії, в той час як в шкільному курсі вивчають співвідношення сторін і кута плоского трикутника.
Тригонометрія - це розділ математики, що займається властивостями тригонометричних функцій і залежністю між сторонами і кутами трикутників.
У період розквіту культури і науки I тисячоліття нашої ери знання поширилися з Стародавнього Сходу в Грецію. Але основні відкриття тригонометрії - це заслуга чоловіків арабського халіфату. Зокрема, туркменський учений аль-Маразві ввів такі функції, як тангенс і котангенс, склав перші таблиці значень для синусів, тангенсів і котангенсів. Поняття синуса і косинуса введені індійськими вченими. Тригонометрії присвячено чимало уваги в працях таких великих діячів давнини, як Евкліда, Архімеда і Ератосфена.
Основні величини тригонометрії
Основні тригонометричні функції числового аргументу - це синус, косинус, тангенс і котангенс. Кожна з них має свій графік: синусоїда, косинусоид, тангенсоіда і котангенсоіда.
В основі формул для розрахунку значень зазначених величин лежить теорема Піфагора. Школярам вона більше відома в формулюванні: «Піфагорови штани, однієї ширини», так як доказ наводиться на прикладі рівнобедреного прямокутного трикутника.
Синус, косинус і інші залежності встановлюють зв'язок між гострими кутами і сторонами будь-якого прямокутного трикутника. Наведемо формули для розрахунку цих величин для кута A і простежимо взаємозв'язку тригонометричних функцій:
Як видно, tg і ctg є зворотними функціями. Якщо уявити катет a як твір sin A і гіпотенузи с, а катет b у вигляді cos A * c, то отримаємо такі формули для тангенса і котангенс:
тригонометричний коло
Графічно співвідношення згаданих величин можна представити таким чином:
Окружність, в даному випадку, є всі можливі значення кута α - від 0 ° до 360 °. Як видно з малюнка, кожна функція приймає негативне або позитивне значення в залежності від величини кута. Наприклад, sin α буде зі знаком «+», якщо α належить I і II чверті кола, тобто, знаходиться в проміжку від 0 ° до 180 °. При α від 180 ° до 360 ° (III і IV чверті) sin α може бути тільки негативним значенням.
Спробуємо побудувати тригонометричні таблиці для конкретних кутів і дізнатися значення величин.
Значення α рівні 30 °, 45 °, 60 °, 90 °, 180 ° і так далі - називають окремими випадками. Значення тригонометричних функцій для них прораховані і представлені у вигляді спеціальних таблиць.
Дані кути обрані аж ніяк не випадково. Позначення π в таблицях варто для радіан. Радий - це кут, при якому довжина дуги кола відповідає її радіусу. Дана величина була введена для того, щоб встановити універсальну залежність, при розрахунках в радіанах не має значення дійсна довжина радіуса в см.
Кути в таблицях для тригонометричних функцій відповідають значенням радіан:
Отже, не важко здогадатися, що 2π - це повна окружність або 360 °.
Властивості тригонометричних функцій: синус і косинус
Для того, щоб розглянути і порівняти основні властивості синуса і косинуса, тангенса і котангенс, необхідно накреслити їх функції. Зробити це можна у вигляді кривої, розташованої в двовимірної системі координат.
Розглянь порівняльну таблицювластивостей для синусоїди і косинусоид:
| синусоїда | косинусоид |
|---|---|
| y = sin x | y = cos x |
| ОДЗ [-1; 1] | ОДЗ [-1; 1] |
| sin x = 0, при x = πk, де k ε Z | cos x = 0, при x = π / 2 + πk, де k ε Z |
| sin x = 1, при x = π / 2 + 2πk, де k ε Z | cos x = 1, при x = 2πk, де k ε Z |
| sin x = - 1, при x = 3π / 2 + 2πk, де k ε Z | cos x = - 1, при x = π + 2πk, де k ε Z |
| sin (-x) = - sin x, т. е. функція непарна | cos (-x) = cos x, т. е. функція парна |
| функція періодична, найменший період - 2π | |
| sin x> 0, при x належить I і II чвертях або від 0 ° до 180 ° (2πk, π + 2πk) | cos x> 0, при x належить I і IV чвертях або від 270 ° до 90 ° (- π / 2 + 2πk, π / 2 + 2πk) |
| sin x <0, при x належить III і IV чвертях або від 180 ° до 360 ° (π + 2πk, 2π + 2πk) | cos x <0, при x належить II і III чвертяхабо від 90 ° до 270 ° (π / 2 + 2πk, 3π / 2 + 2πk) |
| зростає на проміжку [- π / 2 + 2πk, π / 2 + 2πk] | зростає на проміжку [-π + 2πk, 2πk] |
| убуває на проміжках [π / 2 + 2πk, 3π / 2 + 2πk] | убуває на проміжках |
| похідна (sin x) '= cos x | похідна (cos x) '= - sin x |
Визначити чи є функція парному чи ні дуже просто. Досить уявити тригонометричний коло зі знаками тригонометричних величин і подумки «скласти» графік щодо осі OX. Якщо знаки збігаються, функція парна, в іншому випадку - непарна.
Введення радіан і перелік основних властивостей синусоїди і косинусоид дозволяють привести таку закономірність:
Переконатися у вірності формули дуже просто. Наприклад, для x = π / 2 синус дорівнює 1, як і косинус x = 0. Перевірку можна здійснити звернули до таблиць або простеживши криві функцій для заданих значень.
Властивості тангенсоіди і котангенсоіди
Графіки функцій тангенса і котангенс значно відрізняються від синусоїди і косинусоид. Величини tg і ctg є зворотними один одному.
- Y = tg x.
- Тангенсоіда прагне до значень y при x = π / 2 + πk, але ніколи не досягає їх.
- Найменший позитивний період тангенсоіди дорівнює π.
- Tg (- x) = - tg x, т. Е. Функція непарна.
- Tg x = 0, при x = πk.
- Функція є зростаючою.
- Tg x> 0, при x ε (πk, π / 2 + πk).
- Tg x <0, при x ε (- π / 2 + πk, πk).
- Похідна (tg x) '= 1 / cos 2 x.
Розглянемо графічне зображення котангенсоіди нижче по тексту.
Основні властивості котангенсоіди:
- Y = ctg x.
- На відміну від функцій синуса і косинуса, в тангенсоіде Y може набувати значень безлічі всіх дійсних чисел.
- Котангенсоіда прагне до значень y при x = πk, але ніколи не досягає їх.
- Найменший позитивний період котангенсоіди дорівнює π.
- Ctg (- x) = - ctg x, т. Е. Функція непарна.
- Ctg x = 0, при x = π / 2 + πk.
- Функція є спадною.
- Ctg x> 0, при x ε (πk, π / 2 + πk).
- Ctg x <0, при x ε (π / 2 + πk, πk).
- Похідна (ctg x) '= - 1 / sin 2 x Виправити
ЄДІ на 4? А чи не лопнеш від щастя?
Питання, як то кажуть, цікавий ... Можна, можна здати на 4! І при цьому не луснути ... Головна умова - займатися регулярно. Тут - основна підготовка до ЄДІ з математики. З усіма секретами і таємницями ЄДІ, про які Ви не прочитаєте в підручниках ... Вивчайте цей розділ, вирішуйте більше завдань з різних джерел - і все вийде! Передбачається, що базовий розділ "З тебе і трійки вистачить!" у вас утруднень не викликає. Але якщо раптом ... За ссилочку-то ходите, не лінуйтеся!
І почнемо ми з великою і жахливою теми.
тригонометрія
Увага!
До цієї теми є додаткові
матеріали в Особливому розділі 555.
Для тих, хто сильно "не дуже ..."
І для тих, хто "дуже навіть ...")
Ця тема доставляє масу проблем учням. Вважається однією з найсуворіших. Що таке синус і косинус? Що таке тангенс і котангенс? Що таке числова окружність?Варто задати ці нешкідливі питання, як людина блідне і намагається відвести розмову в бік ... А даремно. це прості поняття. І нічим ця тема не складніше інших. Просто потрібно з самого початку чітко усвідомити відповіді на ці самі питання. Це дуже важливо. Якщо усвідомили - тригонометрія вам сподобається. Отже,
Що таке синус і косинус? Що таке тангенс і котангенс?
Почнемо з глибокої давнини. Не хвилюйтеся, все 20 століть тригонометрії ми пройдемо хвилин за 15. І, непомітно для себе, повторимо шматочок геометрії з 8 класу.
Намалюємо прямокутний трикутник зі сторонами а, в, зі кутом х. Ось такий.
Нагадаю, що сторони, які утворюють прямий кут, називаються катетами. а й в- катети. Їх два. Частина, що залишилася сторона називається гіпотенузою. з- гіпотенуза.
Трикутник і трикутник, подумаєш! Що з ним робити? А ось стародавні люди знали, що робити! Повторимо їх дії. виміряємо сторону в. На малюнку спеціально клітинки намальовані, як в завданнях ЄДІбуває. сторона вдорівнює чотирьом клітинам. Гаразд. виміряємо сторону а.Три клітини.
А тепер поділимо довжину сторони ана довжину сторони в. Або, як ще кажуть, візьмемо відношення адо в. а / в= 3/4.
Можна навпаки, поділити вна а.Отримаємо 4/3. Можна, можливо вподілити на с.гіпотенузу зпо клітинках не злічити, але вона дорівнює 5. Отримаємо в / с= 4/5. Коротше, можна ділити довжини сторін одна на одну і отримувати якісь числа.
Ну і що? Який сенс в цьому цікавому занятті? Поки ніякого. Безглузде заняття, прямо скажемо.)
А тепер зробимо ось що. Збільшимо трикутник. продовжимо боку в і з, Але так, щоб трикутник залишився прямокутним. кут х, Природно, не змінюється. Щоб це побачити, наведіть курсор мишки на картинку, або торкніться її (якщо у вас - планшет). сторони а, в і зперетворяться в m, n, k, І, ясна річ, довжини сторін зміняться.
А ось їхні стосунки - ні!
ставлення а / вбуло: а / в= 3/4, стало m / n= 6/8 = 3/4. Відносини інших відповідних сторін також не зміняться . Можна як завгодно змінювати довжини сторін в прямокутному трикутнику, збільшувати, зменшувати, не змінюючи кута х – відносини відповідних сторін не зміняться . Можна перевірити, а можна повірити стародавнім людям на слово.
А ось це вже дуже важливо! Відносини сторін в прямокутному трикутнику ніяк не залежать від довжин сторін (при одному і тому ж вугіллі). Це настільки важливо, що відносини сторін заслужили свої спеціальні назви. Свої імена, так би мовити.) Знайомтеся.
Що таке синус кута х ? Це відношення протилежного катета до гіпотенузи:
sinx = а / с
Що таке косинус кута х ? Це відношення прилеглого катета до гіпотенузи:
зosx= в / с
Що таке тангенс кута х ? Це відношення протилежного катета до прилеглого:
tgx =а / в
Що таке котангенс кута х ? Це відношення прилеглого катета до протилежного:
ctgx = в / а
Все дуже просто. Синус, косинус, тангенс і котангенс - це деякі числа. Безрозмірні. Просто числа. Для кожного кута - свої.
Навіщо я так занудно все повторюю? Потім, що це треба запам'ятати. Залізно запам'ятати. Запам'ятовування можна полегшити. Фраза «Почнемо здалеку ...» знайома? Ось і починайте здалеку.
синускута - це відношення далекоговід кута катета до гіпотенузи. косинус- ставлення ближнього до гіпотенузи.
тангенскута - це відношення далекоговід кута катета до ближнього. котангенс- навпаки.
Вже простіше, правда?
Ну а якщо запам'ятати, що в тангенс і котангенс сидять тільки катети, а в синусі і косинусів гіпотенуза з'являється, то все стане зовсім просто.
Всю цю славну сімейку - синус, косинус, тангенс і котангенс називають ще тригонометричними функціями.
А тепер питання на міркування.
Чому ми говоримо синус, косинус, тангенс і котангенс кута?Мова-то йде про відносини сторін, на кшталт ... При чому тут кут?
Дивимося на другу картинку. Точно таку ж, як і перша.
Наведіть мишку на картинку. Я змінив кут х. Збільшив його з х до Х.Всі відносини змінилися! ставлення а / вбуло 3/4, а відповідне ставлення t / встало 6/4.
І всі інші відносини стали іншими!
Стало бути, відносини сторін ніяк не залежать від їх довжин (при одному куті х), але різко залежать від цього самого кута! І тільки від нього.Тому терміни синус, косинус, тангенс і котангенс відносяться до кутку.Кут тут - головний.
Треба залізно усвідомити, що кут нерозривно пов'язаний зі своїми тригонометричними функціями. У кожного кута є свій синус і косинус. І майже у кожного - свій тангенс і котангенс.Це важливо. Вважається, що якщо нам дано кут, то його синус, косинус, тангенс і котангенс нам відомі ! І навпаки. Дан синус, або будь-яка інша тригонометрическая функція - значить, ми знаємо кут.
Існують спеціальні таблиці, де для кожного кута розписані його тригонометричні функції. Таблиці Брадіса називаються. Вони дуже давно складені. Коли ще не було ні калькуляторів, ні комп'ютерів ...
Звичайно, тригонометричні функції всіх кутів запам'ятати не можна. Ви зобов'язані знати їх тільки для декількох кутів, про це далі буде. Але заклинання « знаю кут - значить, знаю його тригонометричні функції »-працює завжди!
Ось ми і повторили шматочок геометрії з 8-го класу. Воно нам треба для ЄДІ? Треба. Ось вам типова задачка з ЄДІ. Для вирішення якої досить 8-го класу. Дана картинка:
Всі. Більше ніяких даних немає. Треба знайти довжину катета ВС.
Клітини слабо допомагають, трикутник якось неправильно розташований .... Спеціально, мабуть ... З інформації є довжина гіпотенузи. 8 клітин. Ще для чогось дан кут.
Ось тут треба відразу згадувати про тригонометрію. Є кут, значить, ми знаємо всі його тригонометричні функції. Яку функцію з чотирьох в справу пустити? А подивимося-ка, що нам відомо? Нам відомі гіпотенуза, кут, а знайти треба прилегладо цього кутку катет! Ясно справа, косинус потрібно в справу запускати! Ось і запускаємо. Просто пишемо, за визначенням косинуса (відношення прилеглогокатета до гіпотенузи):
cosC = ВС / 8
Кут С у нас 60 градусів, його косинус дорівнює 1/2. Це знати треба, без жодних таблиць! Стало бути:
1/2 = ВС / 8
елементарне лінійне рівняння. невідоме - ВС. Хто призабув, як розв'язувати рівняння, прогуляйтеся по посиланню, інші вирішують:
ВС = 4
Коли древні люди зрозуміли, що при кожному розі є свій комплект тригонометричних функцій, у них виникло резонне питання. А чи не пов'язані як-небудь синус, косинус, тангенс і котангенс між собою?Так, щоб знаючи одну функцію кута, можна було знайти інші? Не вважаючи сам кут?
Ось такі вони були невгамовні ...)
Зв'язок між тригонометричними функціями одного кута.
Звичайно, синус, косинус, тангенс і котангенс одного і того ж кута пов'язані між собою. Будь-який зв'язок між виразами задається в математиці формулами. У тригонометрії формул - колосальна кількість. Але тут ми розглянемо найосновніші. Ці формули так і називаються: основні тригонометричні тотожності.Ось вони:
Ці формули треба знати залізно. Без них взагалі в тригонометрії робити нічого. З цих основних тотожностей випливають ще три допоміжних тотожності:
Відразу попереджаю, що три останні формули швидко випадають з пам'яті. Чомусь.) Можна, звичайно, вивести ці формули з перших трьох. Але, в скрутну хвилину ... Самі розумієте.)
У стандартних завданнях, типу тих, що наведені нижче, є спосіб обійтися без цих не запам'ятовуються формул. І різко зменшити помилкичерез забудькуватість, та й в обчисленнях теж. Цей практичний прийом - в Розділі 555, урок "Зв'язок між тригонометричними функціями одного кута."
У яких завданнях і як використовуються основні тригонометричні тотожності? Найпопулярніше завдання - знайти якусь функцію кута, якщо дана інша. В ЄДІ таке завдання з року в рік присутня.) Наприклад:
Знайти значення sinx, якщо х - гострий кут, а cosx = 0,8.
Завдання майже елементарна. Шукаємо формулу, де є синус і косинус. Ось вона ця формула:
sin 2 x + cos 2 x = 1
Підставляємо сюди відому величину, а саме, 0,8 замість косинуса:
sin 2 x + 0,8 2 = 1
Ну і вважаємо, як зазвичай:
sin 2 x + 0,64 = 1
sin 2 x = 1 - 0,64
Ось, практично і все. Ми вирахували квадрат синуса, залишилося витягти квадратний корінь і відповідь готовий! Корінь з 0,36 буде 0,6.
Завдання майже елементарна. Але слівце "майже" тут не дарма стоїть ... Справа в тому, що відповідь sinx = - 0,6 теж підходить ... (-0,6) 2 теж 0,36 буде.
Два різних відповіді виходять. А потрібен один. Другий - неправильний. Як бути!? Так як зазвичай.) Уважно прочитати завдання. Там чомусь написано: ... якщо х - гострий кут ...А в завданнях кожне слово сенс має, так ... Ця фраза - і є додаткова інформація до вирішення.
Гострий кут - це кут менше 90 °. А у таких кутів всітригонометричні функції - і синус, і косинус, і тангенс з котангенсом - позитивні.Тобто негативну відповідь ми тут просто відкидаємо. Маємо право.
Власне, восьмикласникам такі тонкощі не потрібні. Вони працюють тільки з прямокутними трикутниками, де кути можуть бути тільки гострі. І не знають, щасливі, що бувають і негативні кути, і кути в 1000 ° ... І у всіх цих жахливих кутів є свої тригонометричні функції і з плюсом, і з мінусом ...
А ось старшокласникам без урахування знака - ніяк. Багато знання примножують печалі, так ...) І для правильного вирішення в завданні обов'язково присутня додаткова інформація (якщо вона необхідна). Наприклад, вона може бути дана таким записом:
Або як-небудь інакше. У прикладах нижче побачите.) Для вирішення таких прикладів потрібно знати, в яку чверть потрапляє заданий кут х і який знак має потрібна тригонометрическая функція в цій чверті.
Ці ази тригонометрії розглянуті в уроках що таке тригонометричний коло, відлік кутів на цьому колі, Радіанна міра кута. Іноді потрібно знати і таблицю синусів косинусів тангенсов і котангенсів.
Отже, відзначимо найголовніше:
1. Запам'ятайте визначення синуса, косинуса, тангенса і котангенс. Дуже стане в нагоді.
2. Чітко засвоюємо: синус, косинус, тангенс і котангенс міцно пов'язані з кутами. Знаємо одне - значить, знаємо й інше.
3. Чітко засвоюємо: синус, косинус, тангенс і котангенс одного кута пов'язані між собою основними тригонометричними тотожністю. Знаємо одну функцію - значить, можемо (при наявності необхідної додаткової інформації) обчислити всі інші.
А тепер повирішуємо, як водиться. Спочатку завдання в обсязі 8-го класу. Але і старшокласникам теж можна ...)
1. Обчислити значення tgА, якщо ctgА = 0,4.
2. β - кут в прямокутному трикутнику. Знайти значення tgβ, якщо sinβ = 12/13.
3. Визначити синус гострого кута х, якщо tgх = 4/3.
4. Знайти значення виразу:
6sin 2 5 ° - 3 + 6cos 2 5 °
5. Знайти значення виразу:
(1-cosx) (1 + cosx), якщо sinх = 0,3
Відповіді (через крапку з комою, в безладді):
0,09; 3; 0,8; 2,4; 2,5
Вийшло? Відмінно! Восьмикласники можуть вже пройти за своїми п'ятірками.)
Чи не все вийшло? Завдання 2 і 3 якось не дуже ...? Не біда! Є один гарний прийом для подібних завдань. Все вирішується, практично, взагалі без формул! Ну і, отже, без помилок. Цей прийом в уроці: "Зв'язок між тригонометричними функціями одного кута" в Розділі 555 описаний. Там же розібрані і всі інші завдання.
Це були завдання типу ЄДІ, але в урізаному варіанті. Єдиний державний іспит - лайт). А зараз майже такі ж завдання, але в повноцінному егешном вигляді. Для обтяжених знаннями старшокласників.)
6. Знайти значення tgβ, якщо sinβ = 12/13, а
7. Визначити sinх, якщо tgх = 4/3, а х належить інтервалу (- 540 °; - 450 °).
8. Знайти значення виразу sinβ · cosβ, якщо ctgβ = 1.
Відповіді (в безладді):
0,8; 0,5; -2,4.
Тут в завданні 6 кут заданий якось не дуже однозначно ... А в задачі 8 і зовсім не заданий! Це спеціально). Додаткова інформація не тільки з завдання береться, але і з голови.) Зате вже якщо вирішили - один вірний завдання гарантовано!
А якщо не вирішили? Гм ... Ну, тут Розділ 555 допоможе. Там вирішення всіх цих завдань детально розписані, важко не розібратися.
У цьому уроці дано дуже обмежене поняття тригонометричних функцій. В межах 8-го класу. А у старших залишаються питання ...
Наприклад, якщо кут х(Дивіться другу картинку на цій сторінці) - зробити тупим !? Трикутник-то взагалі розвалиться! І як бути? Ні катета не буде, ні гіпотенузи ... Пропав синус ...
Якби древні люди не знайшли вихід з цього становища, не було б у нас зараз ні мобільників, ні TV, ні електрики. Так Так! теоретична основавсіх цих речей без тригонометричних функцій - нуль без палички. Але стародавні люди не підвели. Як вони викрутилися - в наступному уроці.
Якщо Вам подобається цей сайт ...
До речі, у мене є ще парочка цікавих сайтів для Вас.)
Можна потренуватися у вирішенні прикладів і дізнатися свій рівень. Тестування з миттєвою перевіркою. Вчимося - з інтересом!)
можна познайомитися з функціями і похідними.
У цій статті ми покажемо, як даються визначення синуса, косинуса, тангенса і котангенс кута і числа в тригонометрії. Тут же ми поговоримо про позначеннях, наведемо приклади записів, дамо графічні ілюстрації. На закінчення проведемо паралель між визначеннями синуса, косинуса, тангенса і котангенс в тригонометрії і геометрії.
Навігація по сторінці.
Визначення синуса, косинуса, тангенса і котангенс
Простежимо за тим, як формуються уявлення про синусі, косинусів, тангенсів і котангенс в шкільному курсі математики. На уроках геометрії дається визначення синуса, косинуса, тангенса і котангенс гострого кута в прямокутному трикутнику. А пізніше вивчається тригонометрія, де йдеться про синусі, косинусів, тангенсів і котангенс кута повороту і числа. Наведемо всі ці визначення, наведемо приклади і дамо необхідні коментарі.
Гострого кута в прямокутному трикутнику
З курсу геометрії відомі визначення синуса, косинуса, тангенса і котангенс гострого кута в прямокутному трикутнику. Вони даються як відношення сторін прямокутного трикутника. Наведемо їх формулювання.
Визначення.
Синус гострого кута в прямокутному трикутнику- це відношення протилежного катета до гіпотенузи.
Визначення.
Косинус гострого кута в прямокутному трикутнику- це відношення прилеглого катета до гіпотенузи.
Визначення.
Тангенс гострого кута в прямокутному трикутнику- це відношення протилежного катета до прилеглого.
Визначення.
Котангенс гострого кута в прямокутному трикутнику- це відношення прилеглого катета до протилежного.
Там же вводяться позначення синуса, косинуса, тангенса і котангенс - sin, cos, tg і ctg відповідно.
Наприклад, якщо АВС - прямокутний трикутник з прямим кутом С, то синус гострого кута A дорівнює відношенню протилежного катета BC до гіпотенузі AB, тобто, sin∠A = BC / AB.
Ці визначення дозволяють обчислювати значення синуса, косинуса, тангенса і котангенс гострого кута по відомим довжинах сторін прямокутного трикутника, а також за відомими значеннями синуса, косинуса, тангенса, котангенса і довжині однієї зі сторін знаходити довжини інших сторін. Наприклад, якби ми знали, що в прямокутному трикутнику катет AC дорівнює 3, а гіпотенуза AB дорівнює 7, то ми могли б обчислити значення косинуса гострого кута A за визначенням: cos∠A = AC / AB = 3/7.
кута повороту
У тригонометрії на кут починають дивитися ширше - вводять поняття кута повороту. Величина кута повороту, на відміну від гострого кута, не обмежена рамками від 0 до 90 градусів, кут повороту в градусах (і в радіанах) може виражатися яким завгодно дійсним числом від -∞ до + ∞.
У цьому світлі дають визначення синуса, косинуса, тангенса і котангенс вже не гострого кута, а кута довільної величини - кута повороту. Вони даються через координати x і y точки A 1, в яку переходить так звана початкова точка A (1, 0) після її повороту на кут α навколо точки O - початку прямокутної декартової системи координат і центру одиничному колі.
Визначення.
Синус кута поворотуα - це ордината точки A 1, тобто, sinα = y.
Визначення.
Косинусом кута поворотуα називають абсциссу точки A 1, тобто, cosα = x.
Визначення.
Тангенс кута поворотуα - це відношення ординати точки A 1 до її абсциссе, тобто, tgα = y / x.
Визначення.
Котангенсом кута поворотуα називають відношення абсциси точки A 1 до її ординате, тобто, ctgα = x / y.
Синус і косинус визначені для будь-якого кута α, так як ми завжди можемо визначити абсциссу і ординату точки, яка виходить в результаті повороту початкової точки на кут α. А тангенс і котангенс визначені не для будь-якого кута. Тангенс не визначений для таких кутів α, при яких початкова точка переходить в точку з нульовою абсцисою (0, 1) або (0, -1), а це має місце при кутах 90 ° + 180 ° · k, k∈Z (π / 2 + π · k рад). Дійсно, при таких кутах повороту вираз tgα = y / x не має сенсу, так як в ньому присутній поділ на нуль. Що ж стосується котангенс, то він не визначений для таких кутів α, при яких початкова точка переходить до в точку з нульовою ординатою (1, 0) або (-1, 0), а це має місце для кутів 180 ° · k, k ∈Z (π · k рад).
Отже, синус і косинус визначені для будь-яких кутів повороту, тангенс визначено для всіх кутів, крім 90 ° + 180 ° · k, k∈Z (π / 2 + π · k рад), а котангенс - для всіх кутів, крім 180 ° · k, k∈Z (π · k рад).
У визначеннях фігурують вже відомі нам позначення sin, cos, tg і ctg, вони використовуються і для позначення синуса, косинуса, тангенса і котангенс кута повороту (іноді можна зустріти позначення tan і cot, що відповідають тангенсу і котангенс). Так синус кута повороту 30 градусів можна записати як sin30 °, записів tg (-24 ° 17 ') і ctgα відповідають тангенс кута повороту -24 градуса 17 хвилин і котангенс кута повороту α. Нагадаємо, що під час запису радіанної міри кута позначення «радий» часто опускають. Наприклад, косинус кута повороту в три пі радий зазвичай позначають cos3 · π.
На закінчення цього пункту варто зауважити, що в розмові про синус, косинус, тангенс і котангенс кута повороту часто опускають словосполучення «кут повороту» або слово «повороту». Тобто, замість фрази «синус кута повороту альфа» зазвичай використовують фразу «синус кута альфа» або ще коротше - «синус альфа». Це ж стосується і косинуса, і тангенса, і котангенс.
Також скажімо, що визначення синуса, косинуса, тангенса і котангенс гострого кута в прямокутному трикутнику узгоджуються з тільки що даними визначеннями синуса, косинуса, тангенса і котангенс кута повороту величиною від 0 до 90 градусів. Це ми обгрунтуємо.
числа
Визначення.
Синусом, косинусом, тангенсом і котангенсом числа t називають число, що дорівнює синусу, косинусу, тангенсу і котангенс кута повороту в t радіанів відповідно.
Наприклад, косинус числа 8 · π за визначенням є число, рівне косинусу кута в 8 · π рад. А косинус кута в 8 · π рад дорівнює одиниці, тому, косинус числа 8 · π дорівнює 1.
Існує й інший підхід до визначення синуса, косинуса, тангенса і котангенс числа. Він полягає в тому, що кожному дійсному числу t ставиться у відповідність точка одиничному колі з центром на початку прямокутної системи координат, і синус, косинус, тангенс і котангенс визначаються через координати цієї точки. Зупинимося на цьому докладніше.
Покажемо, як встановлюється відповідність між дійсними числами і точками кола:
- числу 0 ставиться у відповідність початкова точка A (1, 0);
- позитивному числу t ставиться у відповідність точка одиничному колі, в яку ми потрапимо, якщо будемо рухатися по колу з початкової точки в напрямку проти годинникової стрілки і пройдемо шляхдовжиною t;
- негативного числа t ставиться у відповідність точка одиничному колі, в яку ми потрапимо, якщо будемо рухатися по колу з початкової точки в напрямку за годинниковою стрілкою і пройдемо шлях довжиною | t | .
Тепер переходимо до визначеннями синуса, косинуса, тангенса і котангенс числа t. Припустимо, що числу t відповідає точка окружності A 1 (x, y) (наприклад, числу & pi / 2; відповідає точка A 1 (0, 1)).
Визначення.
синусом числа t називають ординату точки одиничного кола, що відповідає числу t, тобто, sint = y.
Визначення.
косинусом числа t називають абсциссу точки одиничного кола, що відповідає числу t, тобто, cost = x.
Визначення.
тангенсом числа t називають відношення ординати до абсциссе точки одиничного кола, що відповідає числу t, тобто, tgt = y / x. В іншій равносильной формулюванні тангенс числа t - це відношення синуса цього числа до косинусу, тобто, tgt = sint / cost.
Визначення.
котангенсом числа t називають відношення абсциси до ординате точки одиничного кола, що відповідає числу t, тобто, ctgt = x / y. Інша формулювання така: тангенс числа t - це відношення косинуса числа t до синусу числа t: ctgt = cost / sint.
Тут відзначимо, що тільки що дані визначення узгоджуються з визначенням, даним на початку цього пункту. Дійсно, точка одиничному колі, відповідна числу t, збігається з точкою, отриманої в результаті повороту початкової точки на кут в t радіанів.
Ще варто прояснити такий момент. Припустимо, перед нами запис sin3. Як зрозуміти, про синусе числа 3 або про синусі кута повороту в 3 радіана йдеться? Зазвичай це ясно з контексту, в іншому випадку це швидше за все не має принципового значення.
Тригонометричні функції кутового і числового аргументу
Згідно з даними в попередньому пунктівизначень, кожному розі повороту α відповідають цілком певне значення sinα, як і значення cosα. Крім того, кожному куті повороту, відмінним від 90 ° + 180 ° · k, k∈Z (π / 2 + π · k рад) відповідають значення tgα, а відмінним від 180 ° · k, k∈Z (π · k радий ) - значення ctgα. Тому sinα, cosα, tgα і ctgα - це функції кута α. Іншими словами - це функції кутового аргументу.
Аналогічно можна говорити і про функції синус, косинус, тангенс і котангенс числового аргументу. Дійсно, кожному дійсному числу t відповідає цілком певне значення sint, як і cost. Крім того, всім числам, відмінним від π / 2 + π · k, k∈Z відповідають значення tgt, а числах π · k, k∈Z - значення ctgt.
Функції синус, косинус, тангенс і котангенс називають основними тригонометричними функціями.
З контексту зазвичай зрозуміло, з тригонометричними функціями кутового аргументу або числового аргументу ми маємо справу. В іншому випадку ми можемо вважати незалежну змінну як мірою кута (кутовим аргументом), так і числовим аргументом.
Однак, в школі в основному вивчаються числові функції, тобто, функції, аргументи яких, як і відповідні їм значення функції, є числами. Тому, якщо мова йде саме про функції, то доцільно вважати тригонометричні функції функціями числових аргументів.
Зв'язок визначень з геометрії і тригонометрії
Якщо розглядати кут повороту α величиною від 0 до 90 градусів, то дані в контексті тригонометрії визначення синуса, косинуса, тангенса і котангенс кута повороту повністю узгоджуються з визначеннями синуса, косинуса, тангенса і котангенс гострого кута в прямокутному трикутнику, які даються в курсі геометрії. Обґрунтуємо це.
Зобразимо в прямокутній декартовій системі координат Oxy одиничну окружність. Відзначимо початкову точку A (1, 0). Повернемо її на кут α величиною від 0 до 90 градусів, отримаємо точку A 1 (x, y). Опустимо з точки А 1 на вісь Ox перпендикуляр A 1 H.
Легко бачити, що в прямокутному трикутнику кут A 1 OH дорівнює куту повороту α, довжина прилеглого до цього кута катета OH дорівнює абсциссе точки A 1, тобто, | OH | = x, довжина протилежного до кута катета A 1 H дорівнює ординате точки A 1, тобто, | A 1 H | = y, а довжина гіпотенузи OA 1 дорівнює одиниці, так як вона є радіусом одиничному колі. Тоді за визначенням з геометрії синус гострого кута α в прямокутному трикутнику A 1 OH дорівнює відношенню протилежного катета до гіпотенузи, тобто, sinα = | A 1 H | / | OA 1 | = y / 1 = y. А за визначенням з тригонометрії синус кута повороту α дорівнює ординате точки A 1, тобто, sinα = y. Звідси видно, що визначення синуса гострого кута в прямокутному трикутнику еквівалентно визначенню синуса кута повороту α при α від 0 до 90 градусів.
Аналогічно можна показати, що і визначення косинуса, тангенса і котангенс гострого кута α узгоджуються з визначеннями косинуса, тангенса і котангенс кута повороту α.
Список літератури.
- Геометрія. 7-9 класи: Навч. для загальноосвіт. установ / [Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и др.]. - 20-е изд. М .: Просвещение, 2010. - 384 с .: іл. - ISBN 978-5-09-023915-8.
- Погорєлов А. В.Геометрія: Учеб. для 7-9 кл. загальноосвіт. установ / А. В. Погорєлов. - 2-е изд - М .: Просвещение, 2001. - 224 с .: іл. - ISBN 5-09-010803-X.
- Алгебра і елементарні функції: Навчальний посібникдля учнів 9 класу середньої школи/ Є. С. Кочетков, Е. С. Кочеткова; За редакцією доктора фізико-математичних наук О. М. Головіна.- 4-е изд. М .: Просвещение, 1969.
- алгебра:Учеб. для 9 кл. середовищ. шк. / Ю. Н. Макаричєв, Н. Г. Миндюк, К. І. Нешков, С. Б. Суворова; Під ред. С. А. Теляковского.- М .: Просвещение, 1990.- 272 с .: іл.- ISBN 5-09-002727-7
- алгебраі початки аналізу: Учеб. для 10-11 кл. загальноосвіт. установ / А. Н. Колмогоров, А. М. Абрамов, Ю. П. Дудніцин і ін .; Під ред. А. Н. Колмогорова.- 14-е вид.- М .: Просвещение, 2004. 384 с .: іл.- ISBN 5-09-013651-3.
- Мордкович А. Г.Алгебра і початки аналізу. 10 клас. У 2 ч. Ч. 1: підручник для загальноосвітніх установ ( профільний рівень) / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. - 4-е изд., Доп. - М .: Мнемозина, 2007. - 424 с .: іл. ISBN 978-5-346-00792-0.
- алгебраі початку математичного аналізу. 10 клас: навч. для загальноосвіт. установ: базовий і профілі. рівні / [Ю. М. Колягин, М. В. Ткачова, Н. Є. Федорова, М. І. Шабунін]; під ред. А. Б. Жижченко. - 3-е изд. - І .: Просвещение, 2010.- 368 с .: іл.- ISBN 978-5-09-022771-1.
- Башмаков М. І.Алгебра і початки аналізу: Учеб. для 10-11 кл. середовищ. шк. - 3-е изд. - М .: Просвещение, 1993. - 351 с .: іл. - ISBN 5-09-004617-4.
- Гусєв В. А., Мордкович А. Г.Математика (посібник для вступників до технікумів): Учеб. посібник.- М .; Вища. шк., 1984.-351 с., іл.
лекція: Синус, косинус, тангенс, котангенс довільного кута
Синус, косинус довільного кута
Щоб зрозуміти, що таке тригонометричні функції, звернемося до кола з одиничним радіусом. Дана окружність має центр на початку координат на координатної площині. Для визначення заданих функцій будемо використовувати радіус-вектор ЗР, Який починається в центрі кола, а точка Рє точкою кола. Даний радіус-вектор утворює кут альфа з віссю ОХ. Так як окружність має радіус, що дорівнює одиниці, то ВР = R = 1.
Якщо з точки Ропустити перпендикуляр на вісь ОХ, То отримаємо прямокутний трикутник з гіпотенузою, що дорівнює одиниці.
Якщо радіус-вектор рухається за годинниковою стрілкою, то даний напрямок називається негативним, Якщо ж він рухається проти руху годинникової стрілки - позитивним.
синусом кута ЗР, Є ордината точки Рвектора на окружності.
Тобто, для отримання значення синуса цього кута альфа необхідно визначитися з координатою Уна площині.
Як дане значення було отримано? Так як ми знаємо, що синус довільного кута в прямокутному трикутнику - це відношення протилежного катета до гіпотенузи, отримаємо, що
А так як R = 1, то sin (α) = y 0 .
В одиничному колі значення ординати не може бути менше -1 і більше 1, значить,
Синус приймає позитивне значення в першій і другій чверті одиничному колі, а в третій і четвертій - негативне.
косинусом кутаданого кола, утвореного радіусом-вектором ЗР, Є абсциса точки Рвектора на окружності.
Тобто, для отримання значення косинуса цього кута альфа необхідно визначитися з координатою Хна площині.
Косинус довільного кута в прямокутному трикутнику - це відношення прилеглого катета до гіпотенузи, отримаємо, що
А так як R = 1, то cos (α) = x 0 .
В одиничному колі значення абсциси не може бути менше -1 і більше 1, значить,
Косинус приймає позитивне значення в першій і четвертій чверті одиничному колі, а в другій і в третій - негативне.
тангенсомдовільного кутавважається відношення синуса до косинусу.
Якщо розглядати прямокутний трикутник, то це відношення протилежного катета до прилеглого. Якщо ж мова йде про одиничному колі, то це відношення ординати до абсциссе.
Судячи з даних відносин, можна зрозуміти, що тангенс не може існувати, якщо значення абсциси дорівнює нулю, тобто при куті в 90 градусів. Всі інші значення тангенс приймати може.
Тангенс має позитивне значення в першій і третій чверті одиничному колі, а в другій і четвертій є негативним.
Спочатку синус і косинус виникли через необхідність розраховувати величини в прямокутних трикутниках. Було відмічено, що якщо значення градусної міри кутів в прямокутному трикутнику не змінювати, то співвідношення сторін, наскільки б ці сторони ні змінювалися в довжині, залишається завжди однаковим.
Саме так і було введено поняття синуса і косинуса. Синус гострого кута в прямокутному трикутнику - це відношення протилежного катета до гіпотенузи, а косинус - прилеглого до гіпотенузи.
Теореми косинусів і синусів
Але косинуси і синуси можуть застосовуватися не тільки в прямокутних трикутниках. Щоб знайти значення тупого або гострого кута, сторони будь-якого трикутника, досить застосувати теорему косинусів і синусів.
Теорема косинусів досить проста: «Квадрат сторони трикутника дорівнює суміквадратів двох інших сторін за вирахуванням подвоєного твори цих сторін на косинус кута між ними ».
Існує два трактування теореми синусів: мала і розширена. Відповідно до малої: «У трикутнику кути пропорційні протилежними сторонам». Дану теорему часто розширюють за рахунок властивості описаного навколо трикутника кола: «У трикутнику кути пропорційні протилежними сторонам, а їх відношення дорівнює діаметру описаного кола».
похідні
Похідна - математичний інструмент, який показує, як швидко змінюється функція щодо зміни її аргументу. Похідні використовуються, геометрії, і, ряді технічних дисциплін.
При вирішенні завдань потрібно знати табличні значення похідних тригонометричних функцій: синуса і косинуса. Похідною синуса є косинус, а косинуса - синус, але зі знаком «мінус».
Застосування в математиці
Особливо часто синуси і косинуси використовуються при вирішенні прямокутних трикутниківі завдань, пов'язаних з ними.
Зручність синусів і косинусів знайшло своє відображення і в техніці. Кути і сторони було просто оцінювати по теорем косинусів і синусів, розбиваючи складні фігури і об'єкти на «прості» трикутники. Інженери і, часто мають справу з розрахунками співвідношення сторін і градусних мір, витрачали чимало часу і зусиль для обчислення косинусів і синусів НЕ табличних кутів.
Тоді «на підмогу» прийшли таблиці Брадіса, що містять тисячі значень синусів, косинусів, тангенсів і котангенсів різних кутів. За радянських часів деякі викладачі змушували своїх підопічних сторінки таблиць Брадіса напам'ять.
Радіан - кутова величина дуги, по довжині рівний радіусу або +57,295779513 ° градусів.
Градус (в геометрії) - 1/360-я частина окружності або 1/90-я частина прямого кута.
π = 3.141592653589793238462 ... (приблизне значення числа Пі).