Правила і процедури математичної статистики спираються на. Сучасне уявлення про математичній статистиці. Емпірична функція розподілу, гістограма

Під математичною статистикою розуміють «розділ математики, присвячений математичним методам збору, систематизації, обробки й інтерпретації статистичних даних, а також використання їх для наукових або практичних висновків. Правила і процедури математичної статистики спираються на теорію ймовірностей, що дозволяє оцінити точність і надійність висновків, одержуваних в кожній задачі на підставі наявного статистичного матеріалу ». При цьому статистичними даними називаються відомості про кількість об'єктів в будь-якої більш-менш великої сукупності, що володіють тими чи іншими ознаками.

За типом вирішуваних завдань математична статистика зазвичай ділиться на три розділи: опис даних, оцінювання і перевірка гіпотез.

По виду оброблюваних статистичних даних математична статистика ділиться на чотири напрямки:
- одномірна статистика (статистика випадкових величин), в якій результат спостереження описується дійсним числом;
- багатовимірний статистичний аналіз, де результат спостереження над об'єктом описується декількома числами (вектором);
- статистика випадкових процесів і часових рядів, де результат спостереження - функція;
- статистика об'єктів нечислової природи, в якій результат спостереження має нечислову природу, наприклад, є безліччю ( геометричною фігурою), Упорядкуванням або отриманий в результаті вимірювання за якісною ознакою.

Історично першою з'явилися деякі області статистики об'єктів нечислової природи (зокрема, завдання оцінювання частки шлюбу і перевірки гіпотез про неї) і одномірна статистика. Математичний апарат для них простіше, тому на їх прикладі зазвичай демонструють основні ідеї математичної статистики.

Лише ті методи обробки даних, тобто математичної статистики, є доказовими, які спираються на імовірнісні моделі відповідних реальних явищ і процесів. Мова йде про моделі поведінки споживачів, виникнення ризиків, функціонування технологічного обладнання, отримання результатів експерименту, перебігу захворювання і т.п. Вірогідну модель реального явища слід вважати побудованої, якщо розглянуті величини і зв'язку між ними виражені в термінах теорії ймовірностей. Відповідність ймовірнісної моделі реальності, тобто її адекватність, доводять, зокрема, за допомогою статистичних методів перевірки гіпотез.

Невероятностной методи обробки даних є пошуковими, їх можна використовувати лише при попередньому аналізі даних, так як вони не дають можливості оцінити точність і надійність висновків, отриманих на підставі обмеженого статистичного матеріалу.

Імовірнісні і статистичні методи застосовні скрізь, де вдається побудувати і обгрунтувати імовірнісну модель явища чи процесу. Їх застосування обов'язково, коли зроблені на основі вибіркових даних висновки переносяться на всю сукупність (наприклад, з вибірки на всю партію продукції).

У конкретних областях застосувань використовуються як ймовірносно-статистичні методи широкого застосування, так і специфічні. Наприклад, в розділі виробничого менеджменту, присвяченого статистичних методів управління якістю продукції, використовують прикладну математичну статистику (включаючи планування експериментів). За допомогою її методів проводиться статистичний аналіз точності і стабільності технологічних процесів і статистична оцінка якості. До специфічних методів належать методи статистичного приймального контролю якості продукції, статистичного регулювання технологічних процесів, оцінки і контролю надійності та ін.

Широко застосовуються такі прикладні ймовірносно-статистичні дисципліни, як теорія надійності та теорія масового обслуговування. Зміст першої з них ясно з назви, друга займається вивченням систем типу телефонної станції, на яку в випадкові моменти часу надходять виклики - вимоги абонентів, що набирають номери на своїх телефонних апаратах. Тривалість обслуговування цих вимог, тобто тривалість розмов, також моделюється випадковими величинами. Великий внесок у розвиток цих дисциплін внесли член-кореспондент АН СРСР А.Я. Хинчин (1894-1959), академік АН УРСР Б. В. Гнеденко (1912-1995) та інші вітчизняні вчені.

Зміст.

1. Введення:
- Як використовуються теорія ймовірностей і математична статистика? - стор. 2
- Що таке «математична статистика»? - стор. 3
2) Приклади застосування теорії ймовірностей і математичної статистики:
- Вибірка. - стор. 4
- Завдання оцінювання. - стор. 6
- Ймовірносно-статистичні методи і оптимізація. - стор. 7
3) Висновок.

Вступ.

Як використовуються теорія ймовірностей і математична статистика? Ці дисципліни - основа ймовірносно-статистичних методів прийняття рішень. Щоб скористатися їх математичним апаратом, необхідно завдання прийняття рішень висловити в термінах ймовірносно-статистичних моделей. Застосування конкретного ймовірносно-статистичного методу прийняття рішень складається з трьох етапів:
- перехід від економічної, управлінської, технологічної реальності до абстрактного математико-статистичній схемі, тобто побудова імовірнісної моделі системи управління, технологічного процесу, процедури прийняття рішень, зокрема за результатами статистичного контролю, і т.п.
- проведення розрахунків і отримання висновків чисто математичними засобами в рамках ймовірнісної моделі;
- інтерпретація математико- статистичних висновків стосовно реальної ситуації і прийняття відповідного рішення (наприклад, про відповідність або невідповідність якості продукції встановленим вимогам, необхідності налагодження технологічного процесу і т.п.), зокрема, укладення (про частку дефектних одиниць продукції в партії, про конкретний вид законів розподілу контрольованих параметрів технологічного процесу та ін.).

Математична статистика використовує поняття, методи і результати теорії ймовірностей. Розглянемо основні питання побудови імовірнісних моделей прийняття рішень в економічних, управлінських, технологічних та інших ситуаціях. Для активного і правильного використання нормативно-технічних та інструктивно-методичних документів по ймовірносно-статистичних методів прийняття рішень потрібні попередні знання. Так, необхідно знати, за яких умов слід застосовувати той чи інший документ, яку вихідну інформацію необхідно мати для його вибору та застосування, які рішення повинні бути прийняті за результатами обробки даних і т.д.

Що таке «математична статистика»? Під математичною статистикою розуміють «розділ математики, присвячений математичним методам збору, систематизації, обробки й інтерпретації статистичних даних, а також використання їх для наукових або практичних висновків. Правила і процедури математичної статистики спираються на теорію ймовірностей, що дозволяє оцінити точність і надійність висновків, одержуваних в кожній задачі на підставі наявного статистичного матеріалу ». При цьому статистичними даними називаються відомості про кількість об'єктів в будь-якої більш-менш великої сукупності, що володіють тими чи іншими ознаками.

За типом вирішуваних завдань математична статистика зазвичай ділиться на три розділи: опис даних, оцінювання і перевірка гіпотез.

По виду оброблюваних статистичних даних математична статистика ділиться на чотири напрямки:

Одновимірна статистика (статистика випадкових величин), в якій результат спостереження описується дійсним числом;

Багатовимірний статистичний аналіз, де результат спостереження над об'єктом описується декількома числами (вектором);

Статистика випадкових процесів і часових рядів, де результат спостереження - функція;

Статистика об'єктів нечислової природи, в якій результат спостереження має нечислову природу, наприклад, є безліччю (геометричною фігурою), упорядкуванням або отриманий в результаті вимірювання за якісною ознакою.

Приклади застосування теорії ймовірностей і математичної статистики.
Розглянемо кілька прикладів, коли вероятностно- статистичні моделі є хорошим інструментом для вирішення управлінських, виробничих, економічних, народногосподарських завдань. Так, наприклад, монетка, яку використовують як жереб, повинна бути «симетричною», тобто при її киданні в середньому в половині випадків повинен випадати герб, а в половині випадків - решітка (решка, цифра). Але що означає «в середньому»? Якщо провести багато серій по 10 бросаний в кожній серії, то часто будуть зустрічатися серії, в яких монетка 4 рази випадає гербом. Для симетричною монети це буде відбуватися в 20,5% серій. А якщо на 100000 бросаний виявиться 40000 гербів, то чи можна вважати монету симетричною? Процедура прийняття рішень будується на основі теорії ймовірностей і математичної статистики.

Розглянутий приклад може здатися недостатньо серйозним. Однак це не так. Жеребкування широко використовується при організації промислових техніко-економічних експериментів, наприклад, при обробці результатів вимірювання показника якості (моменту тертя) підшипників в залежності від різних технологічних факторів (впливу лепьохіна середовища, методів підготовки підшипників перед виміром, впливу навантаження підшипників в процесі вимірювання і т. п.). Припустимо, необхідно порівняти якість підшипників в залежності від результатів зберігання їх в різних консерваційних маслах, тобто в оліях складу А і В. При плануванні такого експерименту виникає питання, які підшипники слід помістити в масло складу А, а які - в масло складу В, але так, щоб уникнути суб'єктивізму і забезпечити об'єктивність прийнятого рішення.

вибірка
Відповідь на це питання може бути отриманий за допомогою жереба. Аналогічний приклад можна привести і з контролем якості будь-якої продукції. Щоб вирішити, відповідає чи не відповідає контрольована партія продукції встановленим вимогам, з неї відбирається вибірка. За результатами контролю вибірки робиться висновок про всю партії. В цьому випадку дуже важливо уникнути суб'єктивізму при формуванні вибірки, тобто необхідно, щоб кожна одиниця продукції в контрольованій партії мала однакову ймовірність бути відібраної у вибірку. У виробничих умовах відбір одиниць продукції у вибірку зазвичай здійснюють не за допомогою жереба, а за спеціальними таблицями випадкових чисел або за допомогою комп'ютерних датчиків випадкових чисел.
Аналогічні проблеми забезпечення об'єктивності порівняння виникають при зіставленні різних схем організації виробництва, оплати праці, при проведенні тендерів і конкурсів, підбору кандидатів на вакантні посади і т.п. Усюди потрібна жеребкування або подібні до неї процедури. Пояснимо на прикладі виявлення найбільш сильною і другий за силою команди при організації турніру за олімпійською системою (хто програв вибуває). Нехай завжди сильніша команда перемагає більш слабку. Ясно, що найсильніша команда однозначно стане чемпіоном. Друга за силою команда вийде в фінал тоді і тільки тоді, коли до фіналу у неї не буде ігор з майбутнім чемпіоном. Якщо така гра буде запланована, то друга за силою команда у фінал не потрапить. Той, хто планує турнір, може або достроково «вибити» другу за силою команду з турніру, звівши її в першій же зустрічі з лідером, або забезпечити їй друге місце, забезпечивши зустрічі з більш слабкими командами аж до фіналу. Щоб уникнути суб'єктивізму, проводять жеребкування. Для турніру з 8 команд ймовірність того, що в фіналі зустрінуться дві найсильніші команди, дорівнює 4/7. Відповідно з імовірністю 3/7 друга за силою команда покине турнір достроково.
При будь-якому вимірі одиниць продукції (за допомогою штангенциркуля, мікрометра, амперметра і т.п.) є похибки. Щоб з'ясувати, чи є систематичні похибки, необхідно зробити багаторазові вимірювання одиниці продукції, характеристики якої відомі (наприклад, стандартного зразка). При цьому слід пам'ятати, що крім систематичної похибки присутній і випадкова похибка.

Тому постає питання, як за результатами вимірювань дізнатися, є л систематична похибка. Якщо відзначати тільки, чи є отримана при черговому вимірі похибка позитивною або негативною, то це завдання можна звести до попередньої. Дійсно, можна порівняти вимір з киданням монети, позитивну похибка - з випаданням герба, негативну - решітки (нульова похибка при достатній кількості поділок шкали практично ніколи не зустрічається). Тоді перевірка відсутності систематичної похибки еквівалентна перевірці симетричності монети.

Метою цих міркувань є зведення завдання перевірки відсутності систематичної похибки до задачі перевірки симетричності монети. Проведені міркування призводять до так званого «критерієм знаків» в математичній статистиці.
«Критерій знаків» (sign test) - статистичний критерій, що дозволяє перевірити нульову гіпотезу, що вибірка підпорядковується біноміальному розподілу з параметром p = 1/2. Критерій знаків можна використовувати як непараметричний статистичний критерій для перевірки гіпотези рівності медіани заданому значенню (зокрема, нулю), а також відсутність зсуву (відсутність ефекту обробки) в двох зв'язкових вибірках. Він також дозволяє перевіряти гіпотезу симетричності розподілу, однак для цього існують і більш потужні критерії - одновиборочний критерій Уилкоксона і його модифікації.

При статистичному регулюванні технологічних процесів на основі методів математичної статистики розробляються правила і плани статистичного контролю процесів, спрямовані на своєчасне виявлення розладнання технологічних процесів і вжиття заходів до їх налагодження та запобігання випуску продукції, що не відповідає встановленим вимогам. Ці заходи спрямовані на скорочення витрат виробництва і втрат від постачання неякісних одиниць продукції. При статистичному приймальному контролі на основі методів математичної статистики розробляються плани контролю якості шляхом аналізу вибірок з партій продукції. Складність полягає в тому, щоб уміти правильно будувати ймовірносно-статистичні моделі прийняття рішень, на основі яких можна відповісти на поставлені вище питання. У математичній статистиці для цього розроблені імовірнісні моделі і методи перевірки гіпотез, зокрема, гіпотез про те, що частка дефектних одиниць продукції дорівнює певному числу р0, наприклад, р0 = 0,23.

Завдання оцінювання.
У ряді управлінських, виробничих, економічних, народногосподарських ситуацій виникають завдання іншого типу - завдання оцінки характеристик і параметрів розподілів ймовірностей.

Розглянемо приклад. Нехай на контроль надійшла партія з N електроламп. З цієї партії випадковим чином відібрана вибірка обсягом n електроламп. Виникає ряд природних питань. Як за результатами випробувань елементів вибірки визначити середній термін служби електроламп і з якою точністю можна оцінити цю характеристику? Як зміниться точність, якщо взяти вибірку більшого обсягу? При якому числі годин Т можна гарантувати, що не менше 90% електроламп прослужать Т і більше годин?

Припустимо, що при випробуванні вибірки обсягом n електроламп дефектними виявилися Х електроламп. Тоді виникають наступні питання. Які межі можна вказати для числа D дефектних електроламп в партії, для рівня дефектності D / N і т.п.?

Або при статистичному аналізі точності і стабільності технологічних процесів слід оцінити такі показники якості, як середнє значення контрольованого параметра і ступінь його розкиду в даному процесі. Відповідно до теорії ймовірностей як середнє значення випадкової величини доцільно використовувати її математичне сподівання, а в якості статистичної характеристики розкиду - дисперсію, середньоквадратичне відхилення або коефіцієнт варіації. Звідси виникає питання: як оцінити ці статистичні характеристики за вибірковими даними і з якою точністю це вдається зробити? Аналогічних прикладів можна навести дуже багато. Тут важливо було показати, як теорія ймовірностей і математична статистика можуть бути використані у виробничому менеджменті при прийнятті рішень в області статистичного управління якістю продукції.

Ймовірносно-статистичні методи і оптимізація. Ідея оптимізації пронизує сучасну прикладну математичну статистику і інші статистичні методи. А саме, методи планування експериментів, статистичного приймального контролю, статистичного регулювання технологічних процесів та ін. З іншого боку, оптимізаційні постановки в теорії прийняття рішень, наприклад, прикладна теорія оптимізації якості продукції та вимог стандартів, передбачають широке використання ймовірносно-статистичних методів, перш за все прикладної математичної статистики.

У виробничому менеджменті, зокрема, при оптимізації якості продукції та вимог стандартів особливо важливо застосовувати статистичні методи на початковому етапі життєвого циклу продукції, тобто на етапі науково-дослідної підготовки дослідно-конструкторських розробок (розробка перспективних вимог до продукції, аванпроекта, технічного завдання на дослідно-конструкторську розробку). Це пояснюється обмеженістю інформації, доступної на початковому етапі життєвого циклу продукції, і необхідністю прогнозування технічних можливостей та економічної ситуації на майбутнє. Статистичні методи повинні застосовуватися на всіх етапах виконання завдання оптимізації - при шкалировании змінних, розробці математичних моделей функціонування виробів і систем, проведенні технічних і економічних експериментів і т.д.

У завданнях оптимізації, в тому числі оптимізації якості продукції та вимог стандартів, використовують все області статистики. А саме, статистику випадкових величин, багатовимірний статистичний аналіз, статистику випадкових процесів і часових рядів, статистику об'єктів нечислової природи. Вибір статистичного методу для аналізу конкретних даних доцільно проводити відповідно до рекомендацій.

Висновок.
В
і т.д.................

English: Wikipedia is making the site more secure. You are using an old web browser that will not be able to connect to Wikipedia in the future. Please update your device or contact your IT administrator.

中文: 维基 百科 正在 使 网站 更加 安全. 您 正在 使用 旧 的 浏览 器, 这 在 将来 无法 连接 维基 百科. 请 更新 您 的 设备 或 联络 您 的 IT 管理员. 以下 提供 更长, 更具 技术性 的 更新 (仅 英语 ).

Español: Wikipedia está haciendo el sitio más seguro. Usted está utilizando un navegador web viejo que no será capaz de conectarse a Wikipedia en el futuro. Actualice su dispositivo o contacte a su administrador informático. Más abajo hay una actualización más larga y más técnica en inglés.

ﺎﻠﻋﺮﺒﻳﺓ: ويكيبيديا تسعى لتأمين الموقع أكثر من ذي قبل. أنت تستخدم متصفح وب قديم لن يتمكن من الاتصال بموقع ويكيبيديا في المستقبل. يرجى تحديث جهازك أو الاتصال بغداري تقنية المعلومات الخاص بك. يوجد تحديث فني أطول ومغرق في التقنية باللغة الإنجليزية تاليا.

Français: Wikipédia va bientôt augmenter la sécurité de son site. Vous utilisez actuellement un navigateur web ancien, qui ne pourra plus se connecter à Wikipédia lorsque ce sera fait. Merci de mettre à jour votre appareil ou de contacter votre administrateur informatique à cette fin. Des informations supplémentaires plus techniques et en anglais sont disponibles ci-dessous.

日本語: ウ ィ キ ペ デ ィ ア で は サ イ ト の セ キ ュ リ テ ィ を 高 め て い ま す. ご 利用 の ブ ラ ウ ザ は バ ー ジ ョ ン が 古 く, 今後, ウ ィ キ ペ デ ィ ア に 接 続 で き な く な る 可能性 が あ り ま す. デ バ イ ス を 更新 す る か, IT 管理者 に ご 相 談 く だ さ い. 技術 面 の 詳 し い 更新 情報 は 以下 に 英語 で 提供 し て い ま す.

Deutsch: Wikipedia erhöht die Sicherheit der Webseite. Du benutzt einen alten Webbrowser, der in Zukunft nicht mehr auf Wikipedia zugreifen können wird. Bitte aktualisiere dein Gerät oder sprich deinen IT-Administrator an. Ausführlichere (und technisch detailliertere) Hinweise findest Du unten in englischer Sprache.

Italiano: Wikipedia sta rendendo il sito più sicuro. Stai usando un browser web che non sarà in grado di connettersi a Wikipedia in futuro. Per favore, aggiorna il tuo dispositivo o contatta il tuo amministratore informatico. Più in basso è disponibile un aggiornamento più dettagliato e tecnico in inglese.

Magyar: Biztonságosabb lesz a Wikipédia. A böngésző, amit használsz, nem lesz képes kapcsolódni a jövőben. Használj modernebb szoftvert vagy jelezd a problémát a rendszergazdádnak. Alább olvashatod a részletesebb magyarázatot (angolul).

Svenska: Wikipedia gör sidan mer säker. Du använder en äldre webbläsare som inte kommer att kunna läsa Wikipedia i framtiden. Uppdatera din enhet eller kontakta din IT-administratör. Det finns en längre och mer teknisk förklaring på engelska längre ned.

हिन्दी: विकिपीडिया साइट को और अधिक सुरक्षित बना रहा है। आप एक पुराने वेब ब्राउज़र का उपयोग कर रहे हैं जो भविष्य में विकिपीडिया से कनेक्ट नहीं हो पाएगा। कृपया अपना डिवाइस अपडेट करें या अपने आईटी व्यवस्थापक से संपर्क करें। नीचे अंग्रेजी में एक लंबा और अधिक तकनीकी अद्यतन है।

We are removing support for insecure TLS protocol versions, specifically TLSv1.0 and TLSv1.1, which your browser software relies on to connect to our sites. This is usually caused by outdated browsers, or older Android smartphones. Or it could be interference from corporate or personal "Web Security" software, which actually downgrades connection security.

You must upgrade your web browser or otherwise fix this issue to access our sites. This message will remain until Jan 1, 2020. After that date, your browser will not be able to establish a connection to our servers.

Математична статистика- це сучасна галузь математичної науки, яка займається статистичними описом результатів експериментів і спостережень, а також побудовоюматематичних моделей, що містять поняття ймовірності.Теоретичною базою математичної статистики служить теорія імовірності.

У структурі математичної статистики традиційно виділяють два основні розділи: описова статистикаі статистичні висновки (рис. 1.1).

Мал. 1.1. Основні розділи математичної статистики

описова статистикавикористовується для:

o узагальнення показників однієї змінної (статистика випадкової вибірки);

o виявлення взаємозв'язків між двома і більше змінними (кореляційно-регресійний аналіз).

Описова статистика дає можливість отримати нову інформацію, швидше зрозуміти і всебічно оцінити її, тобто виконує наукову функцію опису об'єктів дослідження, чим і виправдовує свою назву. Методи описової статистики покликані перетворити сукупність окремих емпіричних даних на систему наочних для сприйняття форм і чисел: розподілу частот; показники тенденцій, варіативності, зв'язку. Цими методами розраховуються статистики випадкової вибірки, які служать підставою для здійснення статистичних висновків.

Статистичні висновкидають можливість:

o оцінити точність, надійність і ефективність вибіркових статистик, знайти помилки, які виникають в процесі статистичних досліджень (статистичне оцінювання)

o узагальнити параметри генеральної сукупності, отримані на підставі вибіркових статистик (перевірка статистичних гіпотез).

Головна мета наукових досліджень- це отримання нового знання про великі класи явищ, осіб або подій, які прийнято називати генеральної сукупності.

Генеральна сукупність- це повна сукупність об'єктів дослідження, вибірка- її частина, яка сформована певним науково обґрунтованим способом 2.

Термін "генеральна сукупність" використовується тоді, коли мова йде про великий, але кінцеву сукупність досліджуваних об'єктів. Наприклад, про сукупності абітурієнтів України в 2009 році або сукупність дітей дошкільного вікуміста Рівне. Генеральні сукупності можуть досягати значних обсягів, бути кінцевим і нескінченним. На практиці, як правило, мають справу з кінцевим сумами. І якщо відношення обсягу генеральної сукупності до обсягу вибірки становить понад 100, то, за словами Гласса і Стенлі методи оцінки для кінцевих і нескінченних сукупностей дають по суті однакові результати. Генеральною сукупністю можна називати і повну сукупність значень якоїсь ознаки. Належність вибірки до генеральної сукупності є головною підставою для оцінки характеристик генеральної сукупності за характеристиками вибірки.

Основна ідеяматематичної статистики базується на переконанні про те, що повне вивчення всіх об'єктів генеральної сукупності в більшості наукових завдань або практично неможливо, або економічно недоцільно, оскільки вимагає багато часу і значних матеріальних витрат. Тому в математичній статистиці застосовується вибірковий підхід,принцип якого показано на схемі рис. 1.2.

Наприклад, за технологією формування розрізняють вибірки рандомізовані (прості і систематичні), стратифіковані, кластерні (див. Розділ 4).

Мал. 1.2. Схема застосування методів математичної статистики Згідно вибірковим підходомвикористання математико-статистичних методів може проводитися в такій послідовності (див. Рис. 1.2):

o з генеральної сукупності,властивості якої підлягають дослідженню, визначеними методами формують вибірку- типову але обмежена кількість об'єктів, до яких застосовують дослідні методи;

o в результаті методів спостережень, експериментальних дій і вимірювань над об'єктами вибірки отримують емпіричні дані;

o обробка емпіричних даних за допомогою методів описової статистики дає показники вибірки, які називаються статистиками - як і назва дисципліни, до речі;

o застосовуючи методи статистичних висновків до статистик,отримують параметри, які характеризують властивості генеральної сукупності.

Приклад 1.1.З метою оцінки стабільності рівня знань (змінна X)проведено тестування рандомизированной вибірки 3 студентів об'ємом n.Тести містили по m завдань, кожне з яких оцінювалося за системою балів: "виконано" "- 1," не виконано "- 0. залишилися середні поточні досягнення студентів X

3 рандомізованих вибірка(Від англ. Random - випадковий) - це репрезентативна вибірка, яка сформована зі стратегії випадкових випробувань.

на рівні минулих років / ч? Послідовність рішення:

o з'ясувати змістовну гіпотезу типу: "якщо поточні результати тестування не будуть відрізнятися від попередніх, то можна вважати рівень знань студентів незмінним, а навчальний процес- стабільним ";

o сформулювати адекватну статистичну гіпотезу, наприклад, нуль-гіпотезу Н 0про те, що "поточний середній бал X статистично не відрізняється від середнього показника минулих років / ч", тобто Н 0: X = / г, проти відповідної альтернативної гіпотези X Ф ^;

o побудуватиемпіричні розподілу досліджуваної змінної X;

o визначити(При необхідності) кореляційні зв'язки, наприклад, між змінною Xі іншими показниками, побудувати лінії регресії;

o перевірити відповідність емпіричного розподілу нормальному закону;

o оцінити значення точкових показників і довірчий інтервал параметрів, наприклад, середнього;

o визначити критерій для перевірки статистичних гіпотез;

o виконати перевірку статистичних гіпотез на основі обраних критеріїв;

o сформулювати рішення про статистичну нуль-гіпотези на певному рівні значущості;

o перейти від рішення про прийняття або відхилення статистичної нуль-гіпотези інтерпретації висновків щодо гіпотези змістовної;

o сформулювати змістовні висновки.

Отже, якщо узагальнити перераховані вище процедури, застосування статистичних методів складається з трьох основних блоків:

Перехід від об'єкта реальності до абстрактного математико-статистичної схеми, тобто побудова імовірнісної моделі явища, процесу, властивості;

Проведення розрахункових дій власне математичними засобами в рамках ймовірнісної моделі за результатами вимірювань, спостережень, експерименту і формулювання статистичних висновків;

Інтерпретація статистичних висновків про реальну ситуацію і прийняття відповідного рішення.

Статистичні методи обробки та інтерпретації даних спираються на теорію ймовірностей. Теорія ймовірностей є основою методів математичної статистики. Без використання фундаментальних понять і законів теорії ймовірностей неможливо узагальнення висновків математичної статистики, а значить і обгрунтованого їх використання для наукових і практичних цілей.

Так, завданням описової статистики є перетворення сукупності вибіркових даних на систему показників - статистик - розподілів частот, заходів центральну тенденцію і мінливість, коефіцієнтів зв'язку тощо. Однак, статистики є характеристиками, по суті, конкретної вибірки. Звичайно, можна розраховувати вибіркові розподілу, вибіркові середні, дисперсії і т. Д., Але подібний "аналіз даних" має обмежену науково-пізнавальну цінність. "Механічне" перенесення будь-яких висновків, зроблених на основі таких показників, на інші сукупності не є коректним.

Для того, щоб мати можливість перенесення вибіркових показників або інші, або на більш поширені сукупності, необхідно мати математично обгрунтовані положенняпро відповідність і здатності вибіркових характеристик характеристиками цих поширених так званих генеральних сукупностей. Такі положення базуються на теоретичних підходахі схемах, пов'язаних з ймовірними моделях реальності, наприклад, на аксіоматичному підході, в законі великих чисел і т.д. Тільки з їх допомогою можна переносити властивості, які встановлені за результатами аналізу обмеженою емпіричної інформації, або на інші або на поширені сукупності. Таким чином, побудова, закони функціонування, використання імовірнісних моделей, є предметом математичної області під назвою "теорія ймовірностей", стає суттю статистичних методів.

Таким чином, в математичній статистиці використовуються два паралельних рядки показників: перший рядок, що має відношення до практики (це вибіркові показники) і другий, заснований на теорії (це показники ймовірнісної моделі). Наприклад, емпіричним частотам, які визначені на вибірці, відповідають поняття теоретичної ймовірності; вибірковому середньому (практика) відповідає математичне очікування (теорія) і т.д. Причому, в дослідженнях вибіркові характеристики, як правило, є первинними. Вони розраховуються на основі спостережень, вимірювань, експериментів, після чого проходять статистичне оцінювання спроможності та ефективності, перевірку статистичних гіпотез відповідно до цілей досліджень і в кінці приймаються з певною ймовірністю як показники властивостей досліджуваних сукупностей.

Питання. Завдання.

1. Охарактеризуйте основні розділи математичної статистики.

2. У чому полягає основна ідея математичної статистики?

3. Охарактеризуйте співвідношення генеральної і вибіркової сукупностей.

4. Поясніть схему застосування методів математичної статистики.

5. Вкажіть перелік основних завдань математичної статистики.

6. З яких основних блоків складається застосування статистичних методів? Охарактеризуйте їх.

7. Розкрийте зв'язок математичної статистики з теорією ймовірностей.

Кожне дослідження в області випадкових явищ своїм корінням завжди йде в експеримент, в досвідчені дані. Числові дані, які збирають при вивченні якої-небудь ознаки деякого об'єкту, називаються статистичними. Статистичні дані є початковим матеріалом дослідження. Для того, щоб вони представляли наукову або практичну цінність, їх треба обробити методами математичної статистики.

Математична статистика- це наукова дисципліна, предметом вивчення якої є розробка методів реєстрації, опису та аналізу статистичних експериментальних даних, отриманих в результаті спостережень масових випадкових явищ.

Основними завданнями математичної статистики є:

визначення закону розподілу випадкової величини або системи випадкових величин;

перевірка правдоподібності гіпотез;

визначення невідомих параметрів розподілу.

Всі методи математичної статистики засновані на теорії ймовірностей. Однак в силу специфічності вирішуваних завдань математична статистика виділяється з теорії ймовірностей в самостійну область. Якщо в теорії ймовірностей вважається заданої модель явища і проводиться розрахунок можливого реального перебігу цього явища (рис.1), то в математичній статистиці підбирається підходяща теоретико-імовірнісна модель, виходячи зі статистичних даних (рис.2).

Рис.1. Загальна задача теорії ймовірностей

Рис.2. Загальна задача математичної статистики

Як наукова дисципліна математична статистика розвивалася разом з теорією ймовірностей. Математичний апарат цієї науки побудований у другій половині XIX століття.

2. Генеральна сукупність і вибірка.

Для вивчення статистичних методів вводяться поняття генеральної і вибіркової сукупностей. У загальному випадку під генеральною сукупністюрозуміється випадкова величина X з функцією розподілу
. Вибіркової сукупністю чи вибіркою об'емаn для даної випадкової величини X називається набір
незалежних спостережень цієї величини, де носить назву вибіркового значення або реалізації випадкової велічіниX. Таким чином, можна розглядати як числа (якщо експеримент проведений і вибірка відбулася) і як випадкові величини(До проведення експерименту), оскільки вони змінюються від вибірки до вибірки.

приклад 1. Для визначення залежності товщини стовбура дерева від його висоти було відібрано 200 дерев. В даному випадку обсяг вибірки n = 200.

Приклад 2.В результаті розпилювання деревностружкових плит на круглопилковому верстаті було отримано 15 значень питомої роботи різання. В цьому випадку n = 15.

Д
ля того щоб за даними вибірки впевнено судити про цікавить нас ознаці генеральної сукупності, об'єкти вибірки повинні правильно її представляти, тобто вибірка повинна бути репрезентативною(Представницької). Репрезентативність вибірки зазвичай досягається випадковістю відбору об'єктів: кожному об'єкту генеральної сукупності забезпечується рівна з усіма іншими ймовірність попадання у вибірку.

Рис.3. Демонстації репрезентативності вибірки