Приведення до канонічного вигляду методом лагранжу онлайн. Приведення квадратичних форм до канонічного вигляду. Приведення квадратичної форми до канонічного вигляду

Даний метод полягає у послідовному виділенні у квадратичній формі повних квадратів.

Нехай дана квадратична форма

Нагадаємо, що через симетричність матриці

,

Можливі два випадки:

1. Хоча б один із коефіцієнтів при квадратах відмінний від нуля. Не порушуючи спільності, будемо рахувати (цього завжди можна досягти відповідною перенумерацією змінних);

2. Усі коефіцієнти,

але є коефіцієнт , відмінний від нуля (для певності нехай буде).

В першому випадкуперетворимо квадратичну форму наступним чином:

,

а через позначені всі інші доданки.

є квадратичною формою від (n-1) змінних .

З нею надходять аналогічним чином і таке інше.

Зауважимо, що

Другий випадокзаміною змінних

зводиться до першого.

Приклад 1:квадратичну форму привести до канонічного виду за допомогою невиродженого лінійного перетворення.

Рішення. Зберемо всі доданки, що містять невідоме , і доповнимо їх до повного квадрата

.

(Так як .)

або

(3)

або


(4)

і від невідомих
форма набуде вигляду. Далі вважаємо

або

і від невідомих
форма набуде вже канонічного вигляду

Дозволимо рівності (3) щодо
:

або

Послідовне виконання лінійних перетворень
і
, де

,

має матрицю

Лінійне перетворення невідомих
наводить квадратичну форму до канонічного виду (4). Змінні
пов'язані з новими змінними
співвідношеннями

З LU – розкладанням ми познайомились у практикумі 2_1

Згадаймо твердження з практикуму 2_1

Твердження(див.Л.5, стор. 176)

Цей скрипт покликаний зрозуміти роль LU в методі Лагранжа, з ним потрібно працювати в блокноті EDITOR за допомогою кнопки F9.

А в доданих нижче завданнях краще створити свої М-функції, що допомагають обчисленню та усвідомленню задач лінійної алгебри (у рамках даної роботи)

Ax=X."*A*X % отримуємо квадратичну форму

Ax = simple (Ax) % спрощуємо її

4*x1^2 - 4*x1*x2 + 4*x1*x3 + x2^2 - 3*x2*x3 + x3^2

% знайдемо LU розкладання без перестановки рядків матриці A

% При перетворенні матриці до ступінчастого вигляду

%без перестановок рядків, ми отримаємо матрицю M1 та U3

% U виходить з A U3=M1*A,

% ось такою матрицею елементарних перетворень

0.5000 1.0000 0

0.5000 0 1.0000

%ми отримаємо U3=M1*A, де

4.0000 -2.0000 2.0000

% з M1 легко отримати L1, змінивши знаки

% у першому стовпці у всіх рядках крім першої.

0.5000 1.0000 0

0.5000 0 1.0000

% L1 таке, що

A_=L1*U % ось це і є потрібне нам LU розкладання

% Елементи, що стоять на головній діагоналі U -

% це коефіцієнти за квадратів y i ^2

% у перетвореній квадратичній формі

% у нашому випадку, є лише один коефіцієнт

% значить, у нових координатах буде лише 4y 1 2 у квадраті,

% при решті 0y 2 2 і 0y 3 2 коефіцієнти дорівнюють нулю

% стовпці матриці L1 – це розкладання Y по X

% по першому стовпцю бачимо y1=x1-0.5x2+0.5x3

% по другому бачимо y2 = x2; по третьому y3 = x3.

% якщо транспонувати L1,

% тобто T=L1."

% T - матриця переходу від (X) до (Y): Y=TX

0.5000 1.0000 0

1.0000 -0.5000 0.5000

% A2 – матриця перетвореної квадратичної форми

% Зауважимо U=A2*L1." і A=L1* A2*L1."

4.0000 -2.0000 2.0000

1.0000 -0.5000 0.5000

% Отже, ми отримали розкладання A_=L1* A2*L1." або A_=T."* A2*T

%, що показує заміну змінних

% y1=x1-0.5x2+0.5x3

% та подання квадратичної форми в нових координатах

A_=T."*A2*T % T=L1." матриця переходу від (X) до (Y): Y=TX

isequal(A,A_) % має збігтися з вихідною A

4.0000 -2.0000 2.0000

2.0000 1.0000 -1.5000

2.0000 -1.5000 1.0000

Q1=inv(T) % знаходимо матрицю переходу від (Y) до (X)

% Знайдемо перетворення,

%, що приводить квадратичну форму Ax=X."*A*X

% до нового виду Ay=(Q1Y)."*A*Q1Y=Y." (Q1."*A*Q1)*Y=Y." (U)*Y

Ay = 4 * y1 ^ 2 - y2 * y3

x1 - x2/2 + x3/2

% матриця другого перетворення,

%, що складається значно простіше.

4*z1^2 - z2^2 + z3^2

% R = Q1 * Q2, X = R * Z

R=Q1*Q2 % невироджене лінійне перетворення

% приводить матрицю оператора до канонічного виду.

det(R) % визначник не дорівнює нулю - перетворення невироджене

4*z1^2 - z2^2 + z3^2 ok

4*z1^2 - z2^2 + z3^2

Сформулюємо алгоритм приведення квад ратичної форми до канонічного виду ортогональним перетворенням:

Вступ

квадратична форма канонічний вигляд рівняння

Спочатку теорія квадратичних формвикористовувалася для дослідження кривих і поверхонь, що задаються рівняннями другого порядку, що містять дві або три змінні. Пізніше ця теорія знайшла інші додатки. Зокрема, при математичне моделюванняекономічних процесів цільові функції можуть містити квадратичні доданки. Численні додатки квадратичних форм зажадали побудови загальної теорії, коли кількість змінних дорівнює будь-якому, а коефіцієнти квадратичної форми не завжди є речовими числами.

Теорія квадратичних форм вперше була розвинена французьким математиком Лагранжем, якому належать багато ідей у ​​цій теорії, зокрема, він ввів важливе поняття наведеної форми, за допомогою якого їм було доведено кінцівку числа класів бінарних квадратичних форм заданого дискримінанта. Потім ця теорія значно була розширена Гауссом, який ввів багато нових понять, на основі яких йому вдалося отримати докази важких і глибоких теорем теорії чисел, що вислизали від його попередників у цій галузі.

Метою роботи є вивчення видів квадратичних форм та способів приведення квадратичних форм до канонічного виду.

У цій роботі поставлені такі завдання: вибрати необхідну літературу, розглянути визначення та основні теореми, вирішити низку завдань з цієї теми.

Приведення квадратичної форми до канонічного вигляду

Витоки теорії квадратичних форм лежать в аналітичній геометрії, саме в теорії кривих (і поверхонь) другого порядку. Відомо, що рівняння центральної кривої другого порядку на площині, після перенесення початку прямокутних координат до центру цієї кривої, має вигляд

що у нових координатах рівняння нашої кривої матиме «канонічний» вигляд

у цьому рівнянні коефіцієнт при добутку невідомих дорівнює, отже, нулю. Перетворення координат (2) можна тлумачити, очевидно, як лінійне перетворення невідомих, до того ж невироджене, оскільки визначник з його коефіцієнтів дорівнює одиниці. Це перетворення застосовується до лівої частини рівняння (1), і тому можна сказати, що ліва частина рівняння (1) невиродженим лінійним перетворенням (2) перетворюється на ліву частину рівняння (3).

Численні додатки зажадали побудови аналогічної теорії для випадку, коли число невідомих замість двох дорівнює будь-якому, а коефіцієнти є або дійсними, або будь-якими комплексними числами.

Узагальнюючи вираз, що стоїть у лівій частині рівняння (1), ми приходимо до такого поняття.

Квадратичною формою від невідомих називається сума, кожен член якої є або квадратом одного з цих невідомих, або твором двох різних невідомих. Квадратична форма називається дійсною або комплексною залежно від того, чи є її коефіцієнти дійсними або можуть бути будь-якими комплексними числами.

Вважаючи, що у квадратичній формі вже зроблено приведення подібних членів, введемо такі позначення для коефіцієнтів цієї форми: коефіцієнт при позначимо через, а коефіцієнт при добутку для - через (порівняти з (1)!).

Оскільки, проте, то коефіцієнт у своїй творі міг бути позначений і через, тобто. введені нами позначення припускають справедливість рівності

Член можна записати тепер у вигляді

а всю квадратичну форму - у вигляді суми всіляких членів, де вже незалежно один від одного приймають значення від 1 до:

зокрема, коли виходить член

З коефіцієнтів можна становити, очевидно, квадратну матрицю порядку; вона називається матрицею квадратичної форми, та її ранг - рангом цієї квадратичної форми.

Якщо, зокрема, тобто. матриця – невироджена, те й квадратична форма називається невиродженою. Зважаючи на рівність (4) елементи матриці А, симетричні щодо головної діагоналі, рівні між собою, тобто. матриця А – симетрична. Назад для будь-якої симетричної матриці А порядку можна вказати цілком певну квадратичну форму (5) від невідомих, що має елементи матриці А своїми коефіцієнтами.

Квадратичну форму (5) можна записати в іншому вигляді, використовуючи множення прямокутних матриць. Умовимося спочатку про таке позначення: якщо дана квадратна або взагалі прямокутна матриця А, то через позначатиметься матриця, отримана з матриці А транспонуванням. Якщо матриці А і В такі, що їх твір визначено, має місце рівність:

тобто. матриця, отримана транспонуванням добутку, дорівнює добутку матриць, що виходять транспонуванням співмножників, причому взятих у зворотному порядку.

Насправді, якщо добуток АВ визначено, то буде визначено, як легко перевірити, і добуток: число стовпців матриці дорівнює кількості рядків матриці. Елемент матриці, що стоїть в її рядку і стовпці, в матриці АВ розташований в рядку і стовпці. Він дорівнює тому сумі творів відповідних елементів рядки матриці А і го стовпця матриці В, тобто. дорівнює сумітворів відповідних елементів го стовпця матриці та й рядки матриці. Цим рівність (6) доведено.

Зауважимо, що матриця А тоді й тільки тоді буде симетричною, якщо вона збігається зі своєю транспонованою, тобто. якщо

Позначимо тепер через стовпець, складений із невідомих.

є матрицею, що має рядків та один стовпець. Транспонуючи цю матрицю, отримаємо матрицю

Складену з одного рядка.

Квадратична форма (5) з матрицею може бути записана тепер у вигляді наступного твору:

Справді, твір буде матрицею, що складається з одного стовпця:

Помножуючи цю матрицю зліва на матрицю, ми отримаємо "матрицю", що складається з одного рядка та одного стовпця, а саме праву частину рівності (5).

Що станеться з квадратичною формою, якщо невідомі, що входять до неї, будуть піддані лінійному перетворенню

Звідси по (6)

Підставляючи (9) та (10) у запис (7) форми, отримуємо:

Матриця В буде симетричною, тому що зважаючи на рівність (6), справедливу, очевидно, для будь-якого числа множників, і рівності рівносильної симетричності матриці, маємо:

Таким чином, доведено таку теорему:

Квадратична форма від невідомих, що має матрицю, після виконання лінійного перетворення невідомих з матрицею перетворюється на квадратичну форму від нових невідомих, причому матрицею цієї форми служить твір.

Припустимо тепер, що ми виконуємо невироджене лінійне перетворення, тобто. а тому і - матриці невироджені. Твір виходить у разі множенням матриці на невироджені матриці і тому, ранг цього твору дорівнює рангу матриці. Таким чином, ранг квадратичної форми не змінюється під час виконання невиродженого лінійного перетворення.

Розглянемо тепер, за аналогією із зазначеною на початку параграфа геометричним завданнямприведення рівняння центральної кривої другого порядку до канонічного виду (3), питання про приведення довільної квадратичної форми деяким невиродженим лінійним перетворенням на вигляд суми квадратів невідомих, тобто. до такого виду, коли всі коефіцієнти при творах різних невідомих дорівнюють нулю; цей спеціальний вид квадратичної форми називається канонічним. Припустимо спочатку, що квадратичну форму від невідомих вже наведено невиродженим лінійним перетворенням до канонічного виду.

де – нові невідомі. Деякі коефіцієнти можуть. Звісно, ​​бути нулями. Доведемо, що кількість відмінних від нуля коефіцієнтів (11) неодмінно дорівнює рангу форми.

Справді, оскільки ми прийшли до (11) з допомогою невиродженого перетворення, то квадратична форма, яка стоїть правої частини рівності (11), також має бути рангу.

Однак матриця цієї квадратичної форми має діагональний вигляд

і вимога, щоб ця матриця мала ранг, рівносильне припущенню, що на її головній діагоналі стоїть рівно відмінних від нуля елементів.

Перейдемо до підтвердження наступної основний теореми про квадратичні форми.

Будь-яка квадратична форма може бути наведена деяким невиродженим лінійним перетворенням до канонічного вигляду. Якщо при цьому розглядається дійсна квадратична форма, всі коефіцієнти зазначеного лінійного перетворення можна вважати дійсними.

Ця теорема правильна для випадку квадратичних форм від одного невідомого, тому що будь-яка така форма має вигляд канонічного. Ми можемо, отже, вести підтвердження індукцією за кількістю невідомих, тобто. доводити теорему для квадратичних форм від n невідомих, вважаючи її вже доведеною для форм із меншим числом невідомих.

Пуст дана квадратична форма

від n невідомих. Ми намагатимемося знайти таке невироджене лінійне перетворення, яке виділило з квадрат однієї з невідомих, тобто. призвело б до виду суми цього квадрата та деякої квадратичної форми від інших невідомих. Ця мета легко досягається в тому випадку, якщо серед коефіцієнтів, що стоять у матриці форми на головній діагоналі, є відмінні від нуля, тобто. якщо в (12) входить на відміну від нуля коефіцієнтів квадрат хоча б одного з невідомих

Нехай, наприклад, . Тоді, як легко перевірити, вираз, що є квадратичною формою, містить такі ж члени з невідомим, як і наша форма, а тому різниця

буде квадратичною формою, що містить лише невідомі, але не. Звідси

Якщо ми введемо позначення

то отримаємо

де буде тепер квадратичною формою про невідомих. Вираз (14) є шуканий вираз для форми, оскільки він отриманий з (12) невиродженим лінійним перетворенням, саме перетворенням, зворотним лінійному перетворенню (13), яке має своїм визначником і тому не вироджено.

Якщо ж мають місце рівності, то попередньо потрібно здійснити допоміжне лінійне перетворення, що призводить до появи в нашій формі квадратів невідомих. Оскільки серед коефіцієнтів у записи (12) цієї форми мали бути зацікавленими відмінні від нуля, - інакше було б доводити, - то нехай, наприклад, тобто. є сумою члена та членів, до кожного з яких входить хоча б одне з невідомих.

Зробимо тепер лінійне перетворення

Воно буде невиродженим, оскільки має визначник

В результаті цього перетворення член нашої форми набуде вигляду

тобто. у формі з'являться, з відмінними від нуля коефіцієнтами, квадрати відразу двох невідомих, причому вони не можуть скоротитися з жодним з інших членів, так як у кожен з цих останніх входить хоча б одне з невідомих тепер ми перебуваємо в умовах вже розглянутого вище випадку, тобто. Ще одним невиродженим лінійним перетворенням можемо навести форму виду (14).

Для закінчення доказу залишається відзначити, що квадратична форма залежить від меншого, ніж числа невідомих і тому, за припущенням індукції, деяким невиродженим перетворенням невідомих наводиться до канонічного вигляду. Це перетворення, яке розглядається як (невироджене, як легко бачити) перетворення всіх невідомих, при якому залишається без зміни, приводить, отже, (14) до канонічного вигляду. Таким чином, квадратична форма двома або трьома невиродженими лінійними перетвореннями, які можна замінити одним невиродженим перетворенням – їх твором, наводиться до виду суми квадратів невідомих із деякими коефіцієнтами. Число цих квадратів дорівнює, як ми знаємо, рангу форми. Якщо, крім того, квадратична форма дійсна, то коефіцієнти як у канонічному вигляді форми, так і в лінійному перетворенні, що призводить до цього виду, будуть дійсними; насправді, і лінійне перетворення, зворотне (13), і лінійне перетворення (15) мають дійсні коефіцієнти.

Доказ основної теореми закінчено. Метод, використаний у цьому доказі, може бути використаний у конкретних прикладах для дійсного приведення квадратичної форми до канонічного вигляду. Потрібно лише замість індукції, яку ми використовували у доказі, послідовно виділяти викладеним вище методом квадрати невідомих.

Приклад 1. Привести до канонічного вигляду квадратичну форму

Через відсутність у цій формі квадратів невідомих ми виконаємо спочатку невироджене лінійне перетворення

з матрицею

після чого отримаємо:

Тепер коефіцієнти при відмінний від нуля, і тому з нашої форми можна виділити квадрат одного невідомого. Вважаючи

тобто. здійснюючи лінійне перетворення, для якого зворотне матиме матрицю

ми приведемо до вигляду

Поки що виділився лише квадрат невідомого, оскільки форма ще містить твір двох інших невідомих. Використовуючи нерівність нулю коефіцієнта, ще раз застосуємо викладений вище метод. Здійснюючи лінійне перетворення

для якого зворотне має матрицю

ми наведемо, нарешті, форму до канонічного вигляду

Лінійне перетворення, що приводить (16) відразу до виду (17), матиме своєю матрицею твір

Можна і безпосередньою підстановкою перевірити, що невироджене (оскільки визначник дорівнює) лінійне перетворення

перетворює (16) на (17).

Теорія приведення квадратичної форми до канонічного виду побудована за аналогією з геометричною теорією центральних кривих другого порядку, але не може вважатися узагальненням цієї останньої теорії. Насправді, в нашій теорії допускається використання будь-яких невироджених лінійних перетворень, у той час як приведення кривої другого порядку до канонічного виду досягається застосуванням лінійних перетворень спеціального виду,

є обертанням площини. Ця геометрична теорія може бути, однак, узагальнена у разі квадратичних форм від невідомих з дійсними коефіцієнтами. Виклад цього узагальнення, що називається приведенням квадратичних форм до головних осях, буде дано нижче.

Дана квадратична форма (2) A(x, x) = , де x = (x 1 , x 2 , …, x n). Розглянемо квадратичну форму у просторі R 3 , тобто x = (x 1 , x 2 , x 3), A(x, x) =
+
+
+
+
+
+ +
+
+
=
+
+
+ 2
+ 2
+ + 2
(використовували умову симетричності форми, а саме а 12 = а 21 , а 13 = а 31 , а 23 = а 32). Випишемо матрицю квадратичної форми Aу базисі ( e}, A(e) =
. При зміні базису матриця квадратичної форми змінюється за формулою A(f) = C t A(e)C, де C- матриця переходу від базису ( e) до базису ( f), а C t– транспонована матриця C.

Визначення11.12. Вид квадратичної форми з діагональною матрицею називається канонічним.

Отже, нехай A(f) =
тоді A"(x, x) =
+
+
, де x" 1 , x" 2 , x 3 – координати вектора xу новому базисі ( f}.

Визначення11.13. Нехай у n Vобраний такий базис f = {f 1 , f 2 , …, f n), у якому квадратична форма має вигляд

A(x, x) =
+
+ … +
, (3)

де y 1 , y 2 , …, y n– координати вектора xу базисі ( f). Вираз (3) називається канонічним виглядомквадратичні форми. Коефіцієнти  1 , λ 2 , …, λ nназиваються канонічними; базис, у якому квадратична форма має канонічний вигляд, називається канонічним базисом.

Зауваження. Якщо квадратична форма A(x, x) наведено до канонічного вигляду, то, взагалі кажучи, не всі коефіцієнти  iвідмінні від нуля. Ранг квадратичної форми дорівнює рангу її матриці у будь-якому базисі.

Нехай ранг квадратичної форми A(x, x) дорівнює r, де r ≤ n. Матриця квадратичної форми у канонічному вигляді має діагональний вигляд. A(f) =
оскільки її ранг дорівнює r, то серед коефіцієнтів  iповинно бути r, Не рівних нулю. Звідси випливає, що кількість відмінних від нуля канонічних коефіцієнтів дорівнює рангу квадратичної форми.

Зауваження. Лінійним перетворенням координат називається перехід від змінних x 1 , x 2 , …, x nдо змінних y 1 , y 2 , …, y n, коли старі змінні виражаються через нові змінні з деякими числовими коефіцієнтами.

x 1 = α 11 y 1 + α 12 y 2 + … + α 1 n y n ,

x 2 = α 2 1 y 1 + α 2 2 y 2 + … + α 2 n y n ,

………………………………

x 1 = α n 1 y 1 + α n 2 y 2 + … + α nn y n .

Оскільки кожному перетворення базису відповідає невироджене лінійне перетворення координат, питання приведення квадратичної форми до канонічного виду можна вирішувати шляхом вибору відповідного невиродженого перетворення координат.

Теорема 11.2 (Основна теорема про квадратичні форми).Будь-яка квадратична форма A(x, x), задана в n-мірного векторного простору V, за допомогою невиродженого лінійного перетворення координат може бути приведена до канонічного вигляду.

Доведення. (Метод Лагранжа) Ідея цього методу полягає у послідовному доповненні квадратного тричлена за кожною змінною до повного квадрата. Вважатимемо, що A(x, x) ≠ 0 та в базисі e = {e 1 , e 2 , …, e n) має вигляд (2):

A(x, x) =
.

Якщо A(x, x) = 0, то ( a ij) = 0, тобто форма вже канонічна. Формулу A(x, x) можна перетворити так, щоб коефіцієнт a 11 ≠ 0. Якщо a 11 = 0, то коефіцієнт при квадраті іншої змінної відмінний від нуля, тоді за допомогою перенумерації змінних можна досягти, щоб a 11 ≠ 0. Перенумерація змінних є невиродженим лінійним перетворенням. Якщо всі коефіцієнти при квадратах змінних дорівнюють нулю, то необхідні перетворення виходять в такий спосіб. Нехай, наприклад, a 12 ≠ 0 (A(x, x) ≠ 0, тому хоча б один коефіцієнт a ij≠ 0). Розглянемо перетворення

x 1 = y 1 – y 2 ,

x 2 = y 1 + y 2 ,

x i = y i, при i = 3, 4, …, n.

Це невироджене перетворення, оскільки визначник його матриці відмінний від нуля
= = 2 ≠ 0.

Тоді 2 a 12 x 1 x 2 = 2 a 12 (y 1 – y 2)(y 1 + y 2) = 2
– 2
, тобто у формі A(x, x) з'являться квадрати відразу двох змінних.

A(x, x) =
+ 2
+ 2
+
. (4)

Перетворимо виділену суму до виду:

A(x, x) = a 11
, (5)

при цьому коефіцієнти a ijзмінюються на . Розглянемо невироджене перетворення

y 1 = x 1 + + … + ,

y 2 = x 2 ,

y n = x n .

Тоді отримаємо

A(x, x) =
. (6).

Якщо квадратична форма
= 0, то питання про приведення A(x, x) до канонічного виду вирішено.

Якщо ця форма не дорівнює нулю, то повторюємо міркування, розглядаючи перетворення координат y 2 , …, y nі не змінюючи при цьому координату y 1 . Очевидно, що ці перетворення будуть невиродженими. За кінцеве число кроків квадратична форма A(x, x) буде наведено до канонічного виду (3).

Зауваження 1. Потрібне перетворення вихідних координат x 1 , x 2 , …, x nможна отримати шляхом перемноження знайдених у процесі міркувань невироджених перетворень: [ x] = A[y], [y] = B[z], [z] = C[t], тоді [ x] = AB[z] = ABC[t], тобто [ x] = M[t], де M = ABC.

Зауваження 2. Нехай A(x, x) = A(x, x) =
+
+ …+
, де  i ≠ 0, i = 1, 2, …, r, причому  1 > 0, λ 2 > 0, …, λ q > 0, λ q +1 < 0, …, λ r < 0.

Розглянемо невироджене перетворення

y 1 = z 1 , y 2 = z 2 , …, y q = z q , y q +1 =
z q +1 , …, y r = z r , y r +1 = z r +1 , …, y n = z n. В результаті A(x, x) набуде вигляду: A(x, x) = + + … + – – … – , який називається нормальним видом квадратичної форми.

приклад11.1. Привести до канонічного вигляду квадратичну форму A(x, x) = 2x 1 x 2 – 6x 2 x 3 + 2x 3 x 1 .

Рішення. Оскільки a 11 = 0, використовуємо перетворення

x 1 = y 1 – y 2 ,

x 2 = y 1 + y 2 ,

x 3 = y 3 .

Це перетворення має матрицю A =
, тобто [ x] = A[y] отримаємо A(x, x) = 2(y 1 – y 2)(y 1 + y 2) – 6(y 1 + y 2)y 3 + 2y 3 (y 1 – y 2) =

2– 2– 6y 1 y 3 – 6y 2 y 3 + 2y 3 y 1 – 2y 3 y 2 = 2– 2– 4y 1 y 3 – 8y 3 y 2 .

Оскільки коефіцієнт при не дорівнює нулю, можна виділити квадрат одного невідомого, хай це буде y 1 . Виділимо всі члени, які містять y 1 .

A(x, x) = 2(– 2y 1 y 3) – 2– 8y 3 y 2 = 2(– 2y 1 y 3 + ) – 2– 2– 8y 3 y 2 = 2(y 1 – y 3) 2 – 2– 2– 8y 3 y 2 .

Виконаємо перетворення, матриця якого дорівнює B.

z 1 = y 1 – y 3 ,  y 1 = z 1 + z 3 ,

z 2 = y 2 ,  y 2 = z 2 ,

z 3 = y 3 ;  y 3 = z 3 .

B =
, [y] = B[z].

Отримаємо A(x, x) = 2– 2–– 8z 2 z 3 . Виділимо члени, які містять z 2 . Маємо A(x, x) = 2– 2(+ 4z 2 z 3) – 2= 2– 2(+ 4z 2 z 3 + 4) + + 8 – 2 = 2– 2(z 2 + 2z 3) 2 + 6.

Виконуємо перетворення з матрицею C:

t 1 = z 1 ,  z 1 = t 1 ,

t 2 = z 2 + 2z 3 ,  z 2 = t 2 – 2t 3 ,

t 3 = z 3 ;  z 3 = t 3 .

C =
, [z] = C[t].

Отримали: A(x, x) = 2– 2+ 6канонічний вид квадратичної форми, при цьому [ x] = A[y], [y] = B[z], [z] = C[t], звідси [ x] = ABC[t];

ABC =


=
. Формули перетворень наступні

x 1 = t 1 – t 2 + t 3 ,

x 2 = t 1 + t 2 – t 3 ,

220400 Алгебра та геометрія Толстиков А.В.

Лекції 16. Білінійні та квадратичні форми.

План

1. Білінійна форма та її властивості.

2. Квадратична форма. Матриця квадратичних форм. Перетворення координат.

3. Приведення квадратичної форми до канонічного виду. Метод Лагранжа.

4. Закон інерції квадратичних форм.

5. Приведення квадратичної форми до канонічного виду методом власних значень.

6. Критерій Сильверста позитивної визначеності квадратичної форми.

1. Курс аналітичної геометрії та лінійної алгебри. М: Наука, 1984.

2. Бугр Я.С., Микільський С.М. Елементи лінійної алгебри та аналітичної геометрії. 1997.

3. Воєводін В.В. Лінійна алгебра. М.: Наука 1980.

4. Збірник завдань для втузів. Лінійна алгебра та основи математичного аналізу. За ред. Єфімова А.В., Демидовича Б.П.. М: Наука, 1981.

5. Бутузов В.Ф., Крутицька Н.Ч., Шишкін А.А. Лінійна алгебра у питаннях та завданнях. М.: Фізматліт, 2001.

, , , ,

1. Білінійна форма та її властивості.Нехай V - n-мірний векторний простір над полем P.

Визначення 1.Білінійною формою, визначеної на V,називається таке відображення g: V 2 ® P, яке кожній упорядкованій парі ( x , y ) векторів x , y з ставить у Vвідповідність число з поля P, що позначається g(x , y ), і лінійне за кожною зі змінних x , y , тобто. що володіє властивостями:

1) ("x , y , z Î V)g(x + y , z ) = g(x , z ) + g(y , z );

2) ("x , y Î V) ("a Î P)g(a x , y ) = a g(x , y );

3) ("x , y , z Î V)g(x , y + z ) = g(x , y ) + g(x , z );

4) ("x , y Î V) ("a Î P)g(x , a y ) = a g(x , y ).

Приклад 1. Будь-який скалярний твір, визначений на векторному просторі Vє білінійною формою.

2 . Функція h(x , y ) = 2x 1 y 1 - x 2 y 2 +x 2 y 1 , де x = (x 1 ,x 2), y = (y 1 ,y 2)Î R 2 , білінійна форма на R 2 .

Визначення 2.Нехай v = (v 1 , v 2 ,…, v n V.Матрицею білінійної формиg(x , y ) щодо базисуvназивається матриця B=(b ij)n ´ n, елементи якої обчислюються за формулою b ij = g(v i, v j):

Приклад 3. Матриця білінійної форми h(x , y ) (див. приклад 2) щодо базису e 1 = (1,0), e 2 = (0,1) дорівнює .

Теорема 1. НехайX, Y- координатні стовпці відповідно векторівx , yу базисіv, B – матриця білінійної формиg(x , y ) щодо базисуv. Тоді білінійну форму можна записати у вигляді

g(x , y )=X t BY. (1)

Доведення.За властивостями білінійної форми отримуємо

Приклад 3. Білій формі h(x , y ) (див. приклад 2) можна записати у вигляді h(x , y )=.

Теорема 2. Нехай v = (v 1 , v 2 ,…, v n), u = (u 1 , u 2 ,…, u n) - два базиси векторного просторуV, T-матриця переходу від базисуv до базисуu. Нехай B= (b ij)n ´ n і З=(з ij)n ´ n - матриці білінійної формиg(x , y ) відповідно щодо базисівv іu. Тоді

З=Tt BT.(2)

Доведення.За визначенням матриці переходу та матриці білінійної форми знаходимо:



Визначення 2.Білінійна форма g(x , y ) називається симетричною, якщо g(x , y ) = g(y , x ) для будь-яких x , y Î V.

Теорема 3. Білінійна формаg(x , y )- симетричною тоді й тільки тоді, коли матриця білінійної форми щодо будь-якого базису симетрична.

Доведення.Нехай v = (v 1 , v 2 ,…, v n) - базис векторного простору V, B= (b ij)n ´ n- матриці білінійної форми g(x , y ) щодо базису v.Нехай білінійна форма g(x , y ) - симетрична. Тоді за визначенням 2 для будь-яких i, j = 1, 2,…, nмаємо b ij = g(v i, v j) = g(v j, v i) = b ji. Тоді матриця B- Симетрична.

Назад, нехай матриця B- Симетрична. Тоді B t= Bі для будь-яких векторів x = x 1 v 1 + …+ x n v n =vX, y = y 1 v 1 + y 2 v 2 +…+ y n v n =vY Î V, згідно з формулою (1), отримуємо (враховуємо, що число - матриця порядку 1, і при транспонуванні не змінюється)

g(x , y ) =g(x , y )t = (X t BY)t = Y t B t X = g(y , x ).

2. Квадратична форма. Матриця квадратичних форм. Перетворення координат.

Визначення 1.Квадратичною формоювизначеною на V,називається відображення f: V ® P, яке для будь-якого векторів x з Vвизначається рівністю f(x ) = g(x , x ), де g(x , y ) - симетрична білінійна форма, визначена на V .

Властивість 1.За заданою квадратичною формоюf(x )білінійна форма знаходиться однозначно за формулою

g(x , y ) = 1/2(f(x + y ) - f(x )-f(y )). (1)

Доведення.Для будь-яких векторів x , y Î Vотримуємо за властивостями білінійної форми

f(x + y ) = g(x + y , x + y ) = g(x , x + y ) + g(y , x + y ) = g(x , x ) + g(x , y ) + g(y , x ) + g(y , y ) = f(x ) + 2g(x , y ) + f(y ).

Звідси випливає формула (1). 

Визначення 2.Матрицею квадратичної формиf(x ) щодо базисуv = (v 1 , v 2 ,…, v n) називається матриця відповідної симетричної білінійної форми g(x , y ) щодо базису v.

Теорема 1. НехайX= (x 1 ,x 2 ,…, x n)t- координатний стовпець вектораx у базисіv, B – матриця квадратичної формиf(x ) щодо базисуv. Тоді квадратичну формуf(x )

Приведення квадратичної форми до канонічного вигляду.

Канонічний та нормальний вид квадратичної форми.

Лінійні перетворення змінних.

Концепція квадратичні форми.

Квадратичні форми.

Визначення:Квадратичною формою від змінних називається однорідний багаточлен другого ступеня щодо цих змінних.

Змінні можна розглядати як афінні координати точки арифметичного простору Аn або як координати вектора n-мірного простору Vn. Будемо позначати квадратичну форму від змінних як.

Приклад 1:

Якщо квадратичній формі вже виконано приведення подібних членів, то коефіцієнти при позначаються, а при () – . Т.ч., вважається, що. Квадратичну форму можна записати так:

Приклад 2:

Матриця системи (1):

- називається матрицею квадратичної форми.

Приклад:Матриці квадратичних форм прикладу 1 мають вигляд:

Матриця квадратичної форми прикладу 2:

Лінійним перетворенням зміннихназивають такий перехід від системи змінних до системи змінних, при якому старі змінні виражаються через нові за допомогою форм:

де коефіцієнти утворюють невироджену матрицю.

Якщо змінні розглядати як координати вектора в Евклідов просторі щодо деякого базису, то лінійне перетворення (2) можна розглядати як перехід у цьому просторі до нового базису, щодо якого цей же вектор має координати.

Надалі ми розглядатимемо квадратичні форми тільки з дійсними коефіцієнтами. Вважатимемо, що й змінні набувають лише дійсних значень. Якщо квадратичній формі (1) змінні піддати лінійному перетворенню (2), то вийде квадратична форма від нових змінних. Надалі ми покажемо, за належного вибору перетворення (2) квадратичну форму (1) можна призвести до виду, що містить лише квадрати нових змінних, тобто. . Такий вид квадратичної форми називається канонічним. Матриця квадратичної форми у разі діагональна: .

Якщо всі коефіцієнти можуть набувати лише одного з значень: -1,0,1 відповідний вид називається нормальним.

Приклад:Рівняння центральної кривої другого порядку за допомогою переходу до новій системікоординат

можна привести до вигляду: , а квадратична форма в цьому випадку набуде вигляду:

Лемма 1: Якщо квадратична форма(1)не містить квадратів змінних, то за допомогою лінійного перетворення її можна привести у форму, що містить квадрат хоча б однієї змінної.

Доведення:За умовою, квадратична форма містить лише члени із творами змінних. Нехай за будь-яких різних значеннях i і j відмінний від нуля, тобто. – один із таких членів, що входять у квадратичну форму. Якщо здійснити лінійне перетворення, проте інші не змінювати, тобто. (визначник цього перетворення відмінний від нуля), то квадратичній формі з'явиться навіть два члени з квадратами змінних: . Ці доданки що неспроможні зникнути під час приведення подібних членів, т.к. кожен із складників містить хоча б одну змінну, відмінну або від або від.

Приклад:

Лемма 2: Якщо квадратна форма (1) містить доданок з квадратом змінної, наприклад ще хоча б один доданок зі змінною , то за допомогою лінійного перетворення, f можна перевести у форму від змінних , що має вигляд: (2), де g – квадратична форма, що не містить змінної .

Доведення:Виділимо у квадратичній формі (1) суму членів, що містять: (3) тут через g 1 позначено суму всіх доданків, що не містять.

Позначимо

(4), де через позначено суму всіх доданків, що не містять.

Розділимо обидві частини (4) на та віднімемо отриману рівність з (3), після приведення подібних будемо мати:

Вираз у правій частині не містить змінної та є квадратичною формою від змінних. Позначимо це вираз через g, а коефіцієнт через, а тоді f дорівнюватиме: . Якщо зробити лінійне перетворення: , визначник якого відмінний від нуля, то g буде квадратичною формою від змінних, і квадратична форма f буде приведена до виду (2). Лемма доведена.

Теорема: Будь-яка квадратична форма може бути приведена до канонічного виду за допомогою перетворення змінних.

Доведення:Проведемо індукцію за кількістю змінних. Квадратична форма має вигляд: , яке вже є канонічним. Припустимо, що теорема правильна для квадратичної форми від n-1 змінних і доведемо, що вона вірна для квадратичної форми від n змінних.

Якщо f не містить квадратів змінних, то по лемі 1 її можна привести до виду, що містить квадрат хоча б однієї змінної, лемі 2 отриману квадратичну форму можна представити у вигляді (2). Т.к. квадратична форма є залежною від n-1 змінних, то за індуктивним припущенням вона може бути приведена до канонічного виду за допомогою лінійного перетворення цих змінних до змінних, якщо до формул цього переходу ще додати формулу, то ми отримаємо формули лінійного перетворення, яке призводить до канонічного виду квадратичну форму, що міститься в рівності (2). Композиція всіх аналізованих змін змінних є шуканим лінійним перетворенням, що призводить до канонічного виду квадратичну форму (1).

Якщо квадратична форма (1) містить квадрат будь-якої змінної, лему 1 застосовувати не потрібно. Наведений спосіб називається методом Лагранжа.

Від канонічного виду, де можна перейти до нормального вигляду, де, якщо, і, якщо, за допомогою перетворення:

Приклад:Привести до канонічного вигляду методом Лагранжа квадратичну форму:

Т.к. квадратична форма f містить квадрати деяких змінних, то лему 1 застосовувати не потрібно.

Виділяємо члени, що містять:

3. Щоб отримати лінійне перетворення, що безпосередньо приводить форму f до виду (4), знайдемо спочатку перетворення, обернені перетворенням (2) і (3).

Тепер, за допомогою цих перетворень збудуємо їхню композицію:

Якщо підставити отримані значення (5) (1), ми відразу ж отримаємо уявлення квадратичної форми у вигляді (4).

Від канонічного вигляду (4) за допомогою перетворення

можна перейти до нормального вигляду:

Лінійне перетворення, що приводить квадратичну форму (1) до нормального вигляду, виражається формулами:

Бібліографія:

1. Воєводін В.В. Лінійна алгебра. СПБ: Лань, 2008, 416 с.

2. Беклемішев Д. В. Курс аналітичної геометрії та лінійної алгебри. М: Фізматліт, 2006, 304 с.

3. Кострікін А.І. Введення до алгебри. Частина II. Основи алгебри: підручник для вузів, -М. : Фізико-математична література, 2000, 368 с.

Лекція №26 (ІІ семестр)

Тема: Закон інерції. Позитивно певні форми.