Математичні моделі конфліктних ситуацій. Математичне моделювання конфліктів Моделі конфліктних ситуацій у теорії ігор

Теорія ігор є набір математичних інструментів для побудови моделей, а соціально-економічних додатках є невичерпним джерелом гнучких концепцій.

Гра є математичною моделлю колективної поведінки, що відображає взаємодію учасників-гравців у прагненні досягти кращого результату, причому їхні інтереси можуть бути різними. Розбіжність, антагонізм інтересів породжують конфлікт, а збіг інтересів призводить до кооперації. Часто інтереси в соціально-економічних ситуаціях не є строго антагоністичними, ні точно збігаються. Продавець і покупець згодні, що у їхніх спільних інтересах домовитися про продаж, звісно, ​​за умови, що угода вигідна обом. Вони активно торгуються при виборі взаємовигідної ціни в межах обмежень. Теорія ігор дозволяє виробити оптимальні правила поведінки у конфліктах.

Можливість конфліктів закладено у суті самого людського життя. Причини конфліктів кореняться в аномаліях суспільного життя та недосконалості самої людини. Серед причин, що породжують конфлікти, слід назвати насамперед соціально-економічні, політичні та моральні причини. Вони є живильним середовищем для виникнення різноманітних конфліктів. На виникнення конфліктів впливають психофізичні та біологічні особливості людей.

У всіх сферах людської діяльності при вирішенні найрізноманітніших завдань у побуті, на роботі чи відпочинку доводиться спостерігати різні за своїм змістом і силою прояви конфлікти. Про це щодня пишуть газети, передають радіо, транслює телебачення. Вони займають значне місце у житті кожної людини, причому наслідки деяких конфліктів бувають надто відчутні навіть упродовж багатьох років життя. Вони можуть з'їдати життєву енергію однієї людини або групи людей протягом кількох днів, тижнів, місяців чи навіть років. Буває так, правда, на жаль, рідко, що вирішення одних конфліктів проходить дуже коректно та професійно, грамотно, а інших, що буває значно частіше – непрофесійно, безграмотно, з поганими наслідками іноді для всіх учасників конфлікту, де немає переможців, а є тільки переможені. Очевидно, необхідні рекомендації щодо раціонального способу дій у конфліктних ситуаціях.

Причому частіше частина конфліктів є надуманими, штучно роздутими, створеними для прикриття професійної некомпетентності деякими особами та шкідливими у комерційній діяльності.

Інші ж конфлікти, будучи неминучим супутником життя будь-якого колективу, можуть бути дуже корисні і служать імпульсом для розвитку комерційної діяльності на краще.

Конфлікти нині є ключовою проблемою життя як окремих осіб, і цілих колективів.

Дії літературних персонажів, героїв неминуче супроводжуються проявом, розвитком будь-якого життєвого конфлікту, який так чи інакше дозволяється іноді мирно, іноді драматично чи трагічно, наприклад, на дуелі. Найкращими джерелами наших знань про людські конфлікти є класичні трагедії, серйозні та глибокі романи, їхня екранізація чи театральна постановка.

Діяльності людини можуть протистояти конфлікту інтереси інших людей чи стихійні сили природи. В одних конфліктах протилежною стороною виступає свідомо та цілеспрямовано діючий активний противник, зацікавлений у нашій поразці, свідомо перешкоджає успіху, намагається зробити все від нього залежне, щоб здобути свою перемогу будь-якими засобами, наприклад, за допомогою кілера.

В інших конфліктах такого свідомого супротивника немає, а діють лише «сліпі сили природи»: погодні умови, стан торговельного обладнання для підприємства, хвороби співробітників тощо. У таких випадках природа не зловмисна і виступає пасивно, причому іноді на шкоду людині, а іноді до її вигоди, проте її стан та прояв можуть відчутно впливати на результат комерційної діяльності.

Рушійною силою у конфлікті є цікавість людини, прагнення перемогти, зберегти чи поліпшити своє становище, наприклад безпека, стійкість у колективі, чи сподівання успіх досягнення поставленої у явному чи неявному вигляді мети.

Як вчинити в тій чи іншій ситуації часто буває неясно. Характерною особливістю будь-якого конфлікту є те, що жодна з сторін, що беруть участь, не знає заздалегідь точно і повністю всіх своїх можливих рішень, а також інші сторони, їх майбутню поведінку, і, отже, кожен змушений діяти в умовах невизначеності.

Невизначеність результату може бути обумовлена ​​як свідомими діями активних противників, і несвідомими, пасивними проявами, наприклад стихійних сил природи: дощу, сонця, вітру, лавини тощо. У разі виключається можливість точного передбачення результату.

Спільність всіх конфліктів незалежно від своїх природи полягає у зіткненні інтересів, прагнень, цілей, шляхів досягнення цілей, відсутності згоди двох чи більше сторін - учасників конфлікту. Складність конфліктів обумовлюється розумними та розважливими діями окремих осіб чи колективів із різними інтересами.

Невизначеність результату конфлікту, цікавість, інтерес і прагнення перемоги спонукають людей свідомому вступу у конфлікт, що притягує до конфліктів і учасників, і спостерігачів.

Математична теорія ігор дає науково обґрунтовані рекомендації поведінки у конфліктних ситуаціях, показуючи «як грати, щоб не програти». Для застосування цієї теорії необхідно вміти представляти конфлікти як ігор.

Основою будь-якого конфлікту є наявність протиріччя, яке набуває форми розбіжності. Конфлікт можна визначити як відсутність згоди між двома або більше сторонами - особами чи групами, що виявляється при спробі вирішити протиріччя, причому часто на тлі гострих негативних емоційних переживань, хоча відомо, за визначенням В. Гюго, що «з двох сварячих винен той, хто розумніший ».

Слід зазначити, що залучення до конфлікту великої кількості людей дозволяє різко збільшити безліч. альтернативі результатів, що є важливою позитивною функцією конфлікту, пов'язаною з розширенням кругозору, збільшенням кількості альтернатив та відповідно можливих наслідків.

У процесі комерційних переговорів доводиться шукати сферу взаємних інтересів (рис. 3.4), в якій знаходиться компромісне рішення. Роблячи великі поступки за менш значущим аспектам для фірми, але більш значущим для опонента, комерсант отримує більше за іншими позиціями, які є більш значущими і вигідними для фірми. Ці поступки мають мінімальні та максимальні межі інтересів. Ця умова отримала назву принцип Паретона ім'я італійського вченого В. Парето.

Для сучасних умовринкових відносин характерні ситуації, аналогічні кооперативним іграм із двома гравцями, які ведуть пошук вдалої угоди, наприклад, при купівлі-продажі квартири, автомобіля тощо. У таких випадках результати взаємодії учасників можна подати як безліч рішень Sна площині (див. рис. 3.4) серед загальних виграшів Xі У. Ця множина є опуклим, замкнутим, обмеженим зверху, а оптимальні рішення знаходяться на правій верхній північно-східній межі. На цьому кордоні виділяється між Рі Р 2 безліч оптимальних рішень щодо Парето(Р), на якому збільшення виграшу партнера можливе лише за рахунок зменшення виграшу іншого партнера. Точка загрози Т (х т, у т)визначає величини виграшів, які можуть здобути гравці, не вступаючи в коаліцію один з одним. На множині (Р) виділено F xі Р 2 , переговорна безліч F, в межах якого-

Мал. ЗА

го має сенс вести переговори, де виділяється точка N,відповідна рівновазі по Нешу, - точка Неша, у ній досягається максимум твору тах(й Л. - x m)(h y - у т),в якому співмножники є перевищенням виграшів кожного з гравців над платежами, які можуть бути отримані без операції. Крапка Неша є найбільш привабливим орієнтиром у пошуку оптимального рішення.

Одним із типових соціально-психологічних міжособистісних конфліктів є незбалансована рольова взаємодія. Теоретичну основу аналізу міжособистісних конфліктів запропонував американський психолог Е. Берн, який представив опис рольової взаємодії партнерів (рис. 3.5, а -немає конфлікту, б -можливий конфлікт) у вигляді мережевих моделей.

Мал. 35

Кожна людина у процесі взаємодії з оточуючими змушена грати більше десятка ролей, причому далеко не завжди успішно. У запропонованій моделі кожен партнер може імітувати роль С – старшого, Р – рівного чи М – молодшого. Якщо рольова взаємодія збалансована, спілкування може розвиватися безконфліктно, інакше при розбалансі ролей можливий конфлікт.

У тривалих конфліктах часто частка ділового змісту з часом зменшується і починає домінувати сфера особистості, що і представлено на рис. 3.6.

Конфлікт є процес, що розвивається у часі (рис. 3.7), який можна розділити кілька періодів, тобто. подати у вигляді динамічних моделей розвитку конфлікту. Такими, наприклад, можуть бути передконфліктний період (/„), конфліктна взаємодія (?/е) та післяконфліктний період (/„) t c).

Напруженість із часом у передконфліктний період (? 0 ~ t)поступово (1) або лавиноподібно (2) пара-

Мал. 3.6

чи стає, а потім досягає найбільшого значення в момент кульмінації? 2 і потім спадає. Слід зазначити, що найчастіше конфліктна взаємодія має тривалість (?3 - 1 1) всього близько 1 хв, а післяконфліктний період може бути більшим за нього в 600-2000 і більше разів. Причому показники результату конфлікту обох сторін можуть не містити виграшних показників, тобто. одні збитки.

Оцінку стану партнера у взаємодії можна інтерпретувати графічно як поєднання ступеня його активності Ата рівня настрою (рис. 3.8).

Вимірювання цих показників можна проводити від середнього, нейтрального (0) рівня. Тоді точка стану визначається вектором із відповідними координатами, наприклад М(х,1 ) 2 ). Стан, що визначається іншим вектором N(pci, У[) увідрізняється меншою активністю у= (z/2 - У) Стан партнера, що визначається вектором А(х 3, г/ 2), відрізняється більш поганим настроєм, ніж стан, що визначається вектором В(х 2 , у 2).

Мал. 3.7

Мал. 3.8

На рис. 3.9 представлена ​​модель взаємодії партнерів, стан яких зафіксовано векторами Аі У, якими можна побудувати результуючий конфлікт-вектор е.Ця зона готовності до конфлікту з усіх квадрантів є найнесприятливішою. Використовуючи такі графічні моделі оцінки стану партнерів, можна заздалегідь підготуватися до можливих результатів їх взаємодії.

Ігрову модель конфлікту можна представити як поєднання відображення (рис. 3.10) можливих позитивних та негативних альтернатив (ходів) учасників-гравців К та П та варіантів наслідків для кожної пари ходів К, П у вигляді платіжної матриці В =|| І, елемент якої можна визначити за формулою

Мал. 3.9

Мал. 3.10

де Буги М* - відповідно ось нка характеристики результату конфлікту в балах та її вага, k = 1 у т.ч.

На рис. 3.10 показано, що дії обох сторін з негативними альтернативами (-/-) свідчать, що з допомогою «війн» зрозуміти одне одного не можна. Позитивні дії з обох боків призводять до мирного результату. Варіанти альтернатив (-/+) або (+/-) можуть призвести до мирного варіанту згоди, що визначається ланцюжком причинно-наслідкових альтернатив у багатоходовій взаємодії.

Приклад 3.14. Розглянемо приклад вирішення конфліктної ситуації.

Жінка заплатила на ринку за 2 кг помідорів, а контрольні ваги показали недовагу 200 р. Вона попросила продавця забрати помідори та повернути гроші. Продавець відмовив та образив покупницю.

Альтернативи покупниці: IIi - викликати адміністрацію, П 2 - звернутися до правоохоронні органи, П 3 - образити продавця та вимагати повернути гроші.

Альтернативи продавця: К -повернути гроші, До 2 – образити покупницю і не повернути гроші, До 3 – не повернути гроші.

Як показники оцінки результатів конфлікту виберемо такі.

Е – сила емоційного збудження, дБ (0,19)

tk -час конфліктної взаємодії, хв (0,17)

т - тривалість негативних емоцій, хв (0,15)

Про с – кількість образливих, грубих слів, шт. (0,13)

Л к - кількість учасників конфлікту, людина (0,11)

t cn -післяконфліктний період, хв (0,09);

Т -сумарні витрати часу, хв (0,07);

З м – витрати матеріальні, руб. (0,05);

t n- Передконфліктний період, хв (0,03);

т+ - тривалість позитивних

Характеристики розташовані за рангом, у дужках зазначена їхня вага М/ 0 знайдений методом парних порівнянь (п. 1.3).

Введемо 10-бальну оцінку характеристик конфлікту за шкалою гірше (Б/, = 1) – краще (Б* = 10) та сформуємо матрицю їх можливих значень (табл. 3.22).

та нейтральних емоцій, хв (0,01).

Таблиця 3.22

Тепер необхідно кожної пари альтернатив (П„ К,) встановити фактичні значення характеристик конфлікту Ру,визначити бальну оцінку характеристик Б/ХЛ))* а потім обчислити значення результатів byза формулою

де т -кількість показників конфлікту; М -вага k-Показники конфлікту; Б ь(Ру) -бальне значення k-йПоказники конфлікту результату пари альтернатив II/, К,-.

Наприклад, для пари альтернатив Пj, Доі умовних значенняххарактеристик знайдемо значення результату Ь п

Аналогічно проводимо обчислення результатів byдля решти пар альтернатив і таким чином побудуємо ігрову модель конфліктної ситуації у вигляді платіжної матриці

Користуючись принципом мінімаксу, знаходимо нижню та верхню ціни гри, які рівні а = Р = 3,23, тоді пара альтернатив 11 (, К] визначає сідлову точку гри. Отже, мінімаксні стратегії учасників конфлікту П [, Kj є оптимальними.

Фактично покупниця так і зробила: викликала адміністратора, який вилучив гирі у продавця, заборонив торгівлю, а продавець прийняв помідори назад і повернув гроші.

Слід зазначити, що з інших значеннях показників конфлікту може бути побудована матриця, яка містить сідлової точки, тоді можна скористатися критеріями Вальда, Севіджа, Гурвіца, і навіть скористатися симплексним методом лінійного програмування на вирішення гри у змішаних стратегіях.

Ключові слова

КОНФЛІКТ / Формальна логіка/ ЕЛЕМЕНТИ / ЛОГІЧНІ ОПЕРАЦІЇ/ ЗАКОНИ ЛОГІКИ / ВИКАЗАННЯ / Двозначна логіка / БАГАТОЗНАЧНА ЛОГІКА/ CONFLICT / FORMAL LOGIC ELEMENTS / LOGIC OPERATIONS / LAWS OF LOGIC / STATEMENT / TWO-VALUED LOGIC / MANY-VALUED LOGIC

Анотація наукової статті з математики, автор наукової роботи - Левін Віталій Ілліч, Нємкова Олена Анатоліївна

Актуальність. У статті розглянуто актуальну проблему адекватного математичного моделювання поведінки конфліктуючих систем стосовно систем, конфлікти в яких не обов'язково пов'язані з антагоністичним протиріччям між учасниками системи. Дано формальну постановку завдання логіко-математичного моделювання процесу взаємодії конфліктуючих учасників системи. Це завдання полягає в побудові алгебр двозначної та багатозначної логіки, що моделюють різні типи мислення, відмінність яких і є джерелом конфлікту. Ціль статті. Метою статті є виклад та детальний аналіз двозначної та багатозначний логік, з упором на з'ясування фундаментальних відмінностей законів цих логік, що тягнуть у себе істотні розбіжності у мисленні індивідів, що базуються на зазначених логіках, і конфлікти між носіями різних логік мислення. Метод. Для вирішення поставленої задачі використовується традиційний метод побудови логічних систем, заснований на введенні базових постійних елементів, основних операцій над ними та виявленні законів, яким підпорядковуються ці операції. При цьому основна увага приділяється відмінностям елементів операцій над ними та законів операцій між двозначною та багатозначною логіками. Новизна. Сформульовано становище, згідно з яким існують системи, конфлікти між учасниками яких викликаються не антагоністичними протиріччями їхніх інтересів, а відмінністю їхнього логіка мислення, наслідком якого є нерозуміння, що провокує підозрілість, а потім і агресію. Це так зване уявні конфлікти, боротьба з якими потребує спеціальних підходів. Результат. Розроблено процедуру побудови алгебри логіки різної значущості, що адекватно моделює процеси мислення. Описані двозначні та багатозначна логікамислення та його закони. Встановлено фундаментальні відмінності двозначної та багатозначний логік. Наведено приклад аналізу конфлікту, викликаного різницею логік мислення.

Схожі теми наукових праць з математики, автор наукової роботи - Левін Віталій Ілліч, Нємкова Олена Анатоліївна

• Логіко-математичні методи та їх застосування

  2018 / Левін Віталій Ілліч

• Логіка Н. А. Васильєва та багатозначні логіки

  2016 / Максимов Д.Ю.

• Логічні способи розрахунку надійності систем. Частина i. математичний апарат

  2017 / Левін Віталій Ілліч

• Логіко-алгебраїчний підхід до моделювання конфліктів

  2015 / Левін Віталій Ілліч

• Некласичні модифікації багатозначних матриць класичної логіки. Частина i

  2016 / Девяткін Л.Ю.

• Предмет та перспективи розвитку логіки

  2018 / Івлєв Ю.В.

• Умови застосування класичної логіки до філософських міркувань

  2018 / Павлов Сергій Опанасович

• Математичний апарат синтезу k-значних цифрових логічних схем на основі лінійної алгебри

  2016 / Будяков П.С., Чернов Н.І., Югай В.Я., Прокопенко Н.М.

• Система натурального висновку для тризначної логіки.

  2017 / Петрухін Ярослав Ігорович

• Оптимізація вибору базису для лінійного логічного синтезу цифрових структур

  2014 / Прокопенко Микола Миколайович, Чернов Микола Іванович, Югай Владислав Якович

Relevance. У матеріалі сучасного питання сприятливого математичного modeling of behavior of conflicting systems in relation to systems, conflicts не є необхідним у відношенні до contradiction між учасниками in system. Визначається положення про питання логічного і математичного modeling of interaction між conflicting parties of the system. У цій справі є два алгебри, а також багаторазові логіки, що simulating different types of thinking, that difference is source of conflict . purpose of the article. Значення літератури є сумарним і detailed analysis of the 2-valued and multi-valued logic, with focus on finding the fundamental differences of the laws of logic , entailing significant differences in the thinking of individuals, based on these logics and the resulting differences in conflicts між carriers of different logics of thinking. Метод. Для того, щоб розв'язати це питання, ми використовуємо традиційний метод будови логічних систем, що базуються на впровадженні основних елементів permanentних, основних функцій на них і identify законів, що влада цих операцій. Основним поняттям є доцільність до відмінностей елементів функцій на них і перебігу між законами двох-вимірюваних і багаторазових логічних. Novelty. Formulated provision according to which there areсистеми, conflicts між parties, які не можуть бути пов'язані з відношеннями своїх інтересів і різниці з їх логічним мисленням, результатом яких є розуміння, посилення suspicion, і агресії. Це так-звані imaginary conflicts, боротьба проти яких вимагається особливі approaches. Result. Процедура конструювання алгебри логічного різного значення, досконало моделюючи процеси мислення. We describe the two-valued and multi-valued логічний мислення і їхні права. Зазначені принципові відмінності з двома-виявленими і багаторазовими логіками. На прикладі analysis of conflict caused by the difference logic thinking.

Текст наукової роботи на тему "Логіко-математичне моделювання конфліктів"

Логіко-математичне моделювання конфліктів

Левін В. І., Нємкова Є. А.

Актуальність. У статті розглянуто актуальну проблему адекватного математичного моделювання поведінки конфліктуючих систем стосовно систем, конфлікти в яких не обов'язково пов'язані з антагоністичним протиріччям між учасниками системи. Дано формальну постановку завдання логіко-математичного моделювання процесу взаємодії конфліктуючих учасників системи. Це завдання полягає у побудові алгебр двозначної та багатозначної логіки, що моделюють різні типи мислення, відмінність яких і є джерелом конфлікту. Ціль статті. Метою статті є виклад і детальний аналіз двозначної та багатозначної логік, з упором на з'ясування фундаментальних відмінностей законів цих логік, що спричиняють істотні відмінності в мисленні індивідів, що базуються на зазначених логіках, і конфлікти між носіями різних логік мислення. Метод. Для вирішення поставленої задачі використовується традиційний метод побудови логічних систем, заснований на запровадженні базових постійних елементів, основних операцій над ними та виявленні законів, яким підпорядковуються ці операції. При цьому основна увага приділяється відмінностям елементів операцій над ними та законів операцій між двозначною та багатозначною логіками. Новизна. Сформульовано становище, згідно з яким існують системи, конфлікти між учасниками яких викликаються не антагоністичними протиріччями їхніх інтересів, а відмінністю їхнього логіка мислення, наслідком якого є нерозуміння, що провокує підозрілість, а потім і агресію. Це так зване уявні конфлікти, боротьба з якими потребує спеціальних підходів. Результат. Розроблено процедуру побудови алгебри логіки різної значущості, що адекватно моделює процеси мислення. Описано двозначну та багатозначну логіку мислення та їх закони. Встановлено фундаментальні відмінності двозначної та багатозначної логік. Наведено приклад аналізу конфлікту, викликаного різницею логік мислення.

Ключові слова: конфлікт, формальна логіка, елементи, логічні операції, закони логіки, висловлювання, двозначна логіка, багатозначна логіка.

Вступ

Безперечна важливість загальної теорії конфлікту - науки, що займається розрахунком, аналізом, синтезом та вирішенням загальних моделей конфліктних ситуацій. У той самий час ясно, що побудова продуктивних моделей конфлікту має грунтуватися на прив'язці до найважливішим конкретним класам конфліктуючих систем. І найбільший інтерес серед цих систем викликає, звісно, ​​суспільство.

Конфліктами в людському суспільствіз метою їх практичного вирішення в даний час займається гуманітарна наука-конфліктологія, що є частиною соціології. Однак ця наука не прагне розкрити внутрішню природу конфліктних ситуацій, а без цього неможливо побудувати відповідні добрі математичні моделі, що дають змогу детально вивчати такі ситуації.

Зазвичай вважається, що джерелом людських конфліктів є протиріччя між цілями, які різні людиставлять між собою. Однак не секрет, що велика (а можливо, і переважна) частина людства - це люди, які не ставлять собі ніяких особливих цілей.

№3. 2016

Sccs.intelgr.com

Але при цьому вони часто конфліктують з іншими людьми - як безцільно існуючими, подібними до них, так і з цілеспрямованими людьми. Цей факт спонукає припускати, що в основі конфліктів для людей лежить ще й якась інша особливість людської особистості, не пов'язана безпосередньо з діяльністю людини та її цілями, а властива їй на генетичному рівні. У цій статті висувається та обґрунтовується гіпотеза, згідно з якою особливість людини, яка сильно, а іноді вирішальним чином впливає на виникнення (або відсутність) її конфліктів з оточуючими, це тип, а точніше – логіка його мислення. З цією метою розглядаються два суттєво різні типи логіки - двозначна і багатозначна, а потім показується, що засновані на них варіанти людського мислення значною мірою несумісні. Ця несумісність і призводить до взаєморозуміння між прихильниками двох зазначених типів мислення і, зрештою, до конфліктів між ними.

1. Двозначна формальна логіка

Двозначна формальна (інакше – математична, символічна) логіка висловлювань, звана ще класичною, є основою звичайного людського мислення. Ця логіка будується за допомогою двох постійних елементів: ІСТИНА (позначення І) та брехня (позначення Л); змінних, значеннями яких є значення істинності різних висловлювань, і логічних операцій, які можна виконувати над постійними елементами. Висловлювання - це твердження, яке може бути істинним (І), або хибним (Л). Тому логічні операції можна виконувати над висловлюваннями. Логічні операції над постійними елементами або висловлюваннями Р, Qнаступні: заперечення Р (інакше «НЕ Р»), диз'юнкція Р V Q (інакше «Р АБО Q»), кон'юнкція Р л Q (інакше «Р І Q»), розділювальна диз'юнкція Р 0 Q (інакше «АБО Р, АБО Q »), еквівалентність Р « Q (інакше « Р РІВНОСИЛЬНО Q»), імплікація Р ® Q (інакше «ЯКЩО Р, ТО Q»). Ці операції визначені в таблицях істинності 1 і 2. Крім висловлювань, що мають змінні значення істинності (І або Л), є два висловлювання з постійними значеннями істинності: тотожно істинний вислів або тавтологія (позначення Т) і тотожно хибне висловлювання або протиріччя (позначення) .

Таблиця 1 - Операція заперечення

Системи управління, зв'язку та безпеки

Systems of Control, Communication and Security

sccs.intelgr.com

Таблиця 2 - Операції диз'юнкції, кон'юнкції, розділової диз'юнкції, еквівалентності та імплікації

P Q P V Q P ? Q P ® Q P « Q P ® Q

Л Л Л Л Л І І

І Л І Л І Л Л

Л І І Л І Л І

І І І І Л І І

У введеній логіці справедливі такі закони:

Переміщувальний закон для диз'юнкції та кон'юнкції

Р V Q = Q V Р, Р л Q = Q л Р; (1)

Сполучний закон для диз'юнкції та кон'юнкції

(Р V Q) V Я = Р V (£ V Я), (Р л Q) л Я = Р л (£ л Я). (2)

Розподільний закон для кон'юнкції щодо диз'юнкції

(Р V Q) л Я = (Р л Я) V (д л Я); (3)

Розподільний закон для диз'юнкції щодо кон'юнкції

(Р л Q) V Я = (Р V Я) л (д V Я); (4)

Закон де Моргана

Р V Q = Р л Q, Р л Q = Р V Q; (5)

закон тавтології

Р V Р = Р, Р л Р = Р, (6)

Закон поглинання

Р л (Р V Q) = Р, Р V (Р л Q) = Р; (7)

Закон дії над висловлюваннями із постійними значеннями істинності

Р V П = Р, Р V T = ^ Р л T = Р, Р л П = П, (8)

Закон подвійного заперечення

Закон виключеного третього

Р V Р = Т; (10)

Закон протиріччя

Р л Р = П; (11)

Закон перетворення імплікації

(Р ® Q) = PV Q (12)

Для підтвердження законів двозначної логіки будуються таблиці істинності їх обох елементів, подібні до табл. 1, 2. Якщо виявляється, що таблиці обох частин збігаються, закон справедливий. Логічні закони дозволяють замінювати висловлювання логіки висловлювань еквівалентними, але простішими (чи зручнішими у сенсі) выражениями.

Системи управління, зв'язку та безпеки №3. 2016

Systems of Control, Communication and Security sccs.intelgr.com

Побудована логіка висловлювань дозволяє формально описувати процес людського мислення, використовуючи формальну конструкцію

А1 л А2 л... л Ап ® В. (13)

Тут А1, ..., Ап - вихідні висловлювання (посилки), В - нове

висловлювання (висновок). Складне висловлювання (13) називається логічним висновком. Логічний висновок може бути істинним чи хибним. Якщо він правдивий за будь-яких значень істинності посилок і укладання (тобто тотожно правдивий), він вважається вірним. За інших випадках логічний висновок вважається неправильним. Для перевірки вірності логічного висновку можна побудувати його таблицю істинності і переконатися, що він тотожно істинний або перетворити вираз (13) логічного висновку за допомогою відповідних логічних законів і призвести до тотожно істинного висловлювання.

Наведемо ще один логічний закон - транзитивність імплікації, важливий для логічного висновку

(Р ® 0л(0 ® Я) ® (Р ® Я). (14)

Закон (14) показує, що операція імплікації ® транзитивна, що дозволяє здійснювати логічний висновок як багатоступінчастий (ланцюжковий) процес.

Двозначна формальна логіка і автомати, що її реалізують, широко використовуються для математичного моделювання багатьох класів систем. Зокрема, конфліктуючих систем.

2. Багатозначна формальна логіка

Усі основні риси багатозначної логіки виявляються, починаючи зі значимості до = 3. Тому обмежимося тризначною формальною логікою висловлювань. Ця логіка є основою людського мислення, складнішого, ніж звичайне. Вона будується з допомогою тих самих постійних елементів, як і двозначна логіка: І і Л, з додаванням постійного елемента НЕВИЗНАЧЕННІСТЬ (позначення Н). Новий елемент є невизначеністю в тому сенсі, що він не є істинним і не кладеним. Як і двозначної логіці, як змінних значень використовується істинність різних висловлювань. Ці значення тепер можуть бути І, Л або Н. Логічні операції можна виконувати над постійними елементами І, Л і Н і над змінними (висловлюваннями), що приймають ці значення І, Л і Н. У тризначній логіці є ті ж операції, що і у двозначній. Однак кількість можливих варіантів кожної операції значно більша. У табл. 3-5 визначено три найбільш уживані варіанти операції заперечення. У табл. 6 визначено операції диз'юнкції Р V 0, кон'юнкції Р л 0, розділової диз'юнкції Р Ф 0, еквівалентності Р «0, імплікації Р ® 0 (за одним варіантом для кожної операції). Крім висловлювань зі змінними значеннями істинності (І, Л або Н), є три висловлювання з постійними значеннями істинності: І (зване тавтологією Т), Л (зване протиріччям П) і Н (зване невизначеністю Н).

Системи управління, зв'язку та безпеки №3. 2016

Systems of Control, Communication and Security sccs.intelgr.com

Перші дві збігаються з відповідними двозначною логікою, третє є новим висловлюванням з постійним значенням істинності.

Таблиця 3 - Дзеркальне заперечення

Таблиця 4 - Ліве циклічне заперечення

Таблиця 5 - Праве циклічне заперечення

Таблиця 6 - Операції диз'юнкції, кон'юнкції, розділової диз'юнкції, еквівалентності та імплікації

P Q P v Q P A Q P ® Q P « Q P ® Q

Л Л Л Л Л І І

Л Н Н Л Н Н І

Л І І Л І Л І

Н Л Н Л Н Н Н

Н Н Н Н Н Н Н

Н І І Н Н Н І

І Л І Л І Л Л

І Н І Н Н Н Н

І І І І Л І І

У введеній тризначній логіці залишаються справедливі закони двозначної логіки, які не містять операції заперечення. Це закони переміщувальний, сполучний та розподільний (1)-(4), тавтології, поглинання та дій з постійними (6)-(8), транзитивності (14). Однак з'являються нові закони дій над висловлюваннями із постійним значенням істинності Н

Н V Л = Н, Н V І = І, Н л Л = Л, Н л І = Н. (15)

Головна ж відмінність тризначної логіки від двозначної полягає у суттєвій зміні законів, що містять операцію заперечення. Конкретний вид цих законів залежить від обраного варіанта операції заперечення. Якщо це операція дзеркального заперечення (табл. 3), залишаються

Системи управління, зв'язку та безпеки

Systems of Control, Communication and Security

sccs.intelgr.com

справедливими закони де Моргана, подвійного заперечення та перетворення імплікації (5), (9), та (12) двозначної логіки, проте закон виключеного третього (10) переходить до наступного закону «частково виключеного третього»

Р V Р = Т"(Р), де Т"(Р) = (І, при Р = І або Л; (16)

[І, за Р = Н; у 7

а закон протиріччя (11) - до наступного закону «часткового протиріччя»

Р л Р = П"(Р), де П"(Р) = (Л, при Р = І або Л; (17)

[І, при Р = І. у 7

Для операцій лівого та правого циклічного заперечення (табл. 4 і 5) усі закони двозначної логіки, що містять заперечення, трансформується у відповідні нові, складніші закони тризначної логіки. Так, закони подвійного заперечення (9), виключеного третього (10) та протиріччя (11) трансформується у відповідні закони - закон потрійного заперечення

закон виключеного четвертого

Р V Р V Р = Т (19)

та закон повної суперечності

Р л Р л Р = П, (20)

а закони де Моргана (5) і перетворення імплікації (12) - у відповідні складніші закони, форма яких вже залежить від того, яке циклічне заперечення використане - ліве чи праве. У зв'язку з обговорюваною проблемою логіки мислення особливе значення має конкретизація закону (18) як

Р ф Р, "Р; (21)

закону (19) як закону «частково виключеного третього»

ГІ, за Р = І або Л, Р V Р = Тл(Р), де Тл(Р) = ( " р

[І, при Р = І,

П п ГІ, при Р = І або І, Р V Р = Тп (Р), де Тп (Р) = ( "Р

[І, за Р = Л,

для правого циклічного заперечення; і закону (20) як закону «часткового протиріччя»

- „Г Л, при Р = Л або І, Р л Р = Пл (Р), де Пл (Р) = ( " р _ тя

[І, при Р = І,

для лівого циклічного заперечення;

П п Г Л при Р = Л або І, Р л Р = Пп (Р), де Пп (Р) = ( " р

[І, при Р = І,

для правого циклічного заперечення.

Як видно з (21), у тризначній логіці з операцією циклічного заперечення не діє закон подвійного заперечення. Далі, з (22) випливає, що у цій логіці не діє закон виключеного третього – він трансформується

Системи управління, зв'язку та безпеки №3. 2016

Systems of Control, Communication and Security sccs.intelgr.com

до закону «частково виключеного третього», конкретна форма якого залежить від варіанта операції циклічного заперечення (праве чи ліве). Аналогічно, (23) випливає, що в цій логіці не діє закон протиріччя - він трансформується в закон «часткового протиріччя», конкретна форма якого також залежить від варіанта операції циклічного заперечення.

3. Логіка та конфлікти

Кожен мислячий індивід у своїй розумової діяльності завжди використовує свідомо чи інтуїтивно той чи інший варіант логіки. Вище ми бачили, що між двозначною та багатозначною логіками є суттєві відмінності. Тому всіх індивідуумів, що використовується в їхньому мисленні переважного варіанту логіки, можна розділити на двозначних і багатозначних мислителів. Їхні основні відмінності полягають у тому, що для двозначного мислителя будь-яке висловлювання може мати лише два значення істинності: істинно і хибно, причому заперечення одного дає інше, у той час як для багатозначного мислителя будь-яке висловлювання має, як мінімум, три значення істинності: істинно, хибно і невизначено. У цьому операція заперечення може бути визначена по-різному, отже заперечення будь-якого значення істинності у випадку може дати будь-яке інше значення істинності.

Зважаючи на зазначені глибокі відмінності між двозначними та багатозначними мислителями виникає складна проблема їх взаємовідносин. Сутність цієї проблеми полягає в тому, що в рамках двозначного мислення важко зрозуміти явно багатозначну природу світу (з погляду сучасної науки). Таке постійне непорозуміння веде до підозрілості та страху. У результаті двозначний мислитель починає конфліктувати із багатозначним, схиляючись до силового рішення.

Розглянемо найпростіший характерний приклад. На бенкеті, під час застілля, художник, вже добряче напідпитку звертається до вченого: «Ти що не п'єш?» - Той відповідає: "Не можу!". Художник продовжує наполягати: «Пий!». Вчений заперечує: "Не буду!". Тоді митець заявляє голосно: «Отже, ти збираєшся написати на нас донос!». Наш художник, звичайно, типовий двозначний мислитель, для якого існує лише два варіанти: пити і тому бути не здатним донести і не пити і тому бути здатним написати донос. Йому не спадає на думку, що є й інші варіанти, очевидні для вченого - багатозначного мислителя. Наприклад, напитися до безпам'ятства, а потім донести про те, чого не було, або взагалі не пити і при цьому не доносити з моральних міркувань.

Реальна версія цієї статі фантастичної історії відбулася в 1938 на урядовій дачі в Кунцево, під Москвою, коли під час чергового банкету, влаштованого І.В. Сталіним йому не вдалося змусити пити наркома кінематографії СРСР Бориса Шум'яцького. Після чого за наказом двозначного мислителя Сталіна підозрілого багатозначного мислителя Шум'яцького розстріляли.

Системи управління, зв'язку та безпеки №3. 2016

Systems of Control, Communication and Security sccs.intelgr.com

Викладені в цьому розділі міркування можуть бути покладені в основу нового багатозначно-логічного підходу до моделювання конфліктів, відмінного від двозначно-логічного підходу, що базується на математичному апараті, розглянутому в роботі. Такий новий підхід відкриває нові перспективи моделювання конфліктів. Зокрема, він дозволить збільшити кількість градацій взаємодії конфліктуючих систем і цим зробить аналіз цієї взаємодії тоншим. Детальний виклад цього підходу передбачається у окремій статті.

Висновок

У статті показано, що двозначна та багатозначна логіки підпорядковуються суттєво різним законам, завдяки чому можуть бути використані для моделювання різних типівмислення. Виявлено, що джерелом людських конфліктів може бути не лише протиріччя між цілями, які різні люди ставлять перед собою, а й людське взаєморозуміння, спричинене різницею типів мислення. Гідність описуваного підходу до вивчення конфліктів полягає у можливості тоншого проникнення в суть розвитку конфліктних ситуацій.

Література

1. Дмитрієв А. В. Конфліктологія. – М.: ІІФРА-М, 2009. – 336 с.

2. Сисоєв В. В. Конфлікт. Співпраця. Єзалежність: системна взаємодія у структурно-параметричному поданні. - Москва: МАЕіП, 1999. - 151 с.

3. Світлов В. А. Аналітика конфлікту. – СПб: Росток, 2001. – 512 с.

4. Левін В. І. Математичне моделювання систем за допомогою динамічних автоматів // Інформаційні технології. 1997. № 9. С. 15-24.

5. Левін В. І. Математичне моделювання за допомогою автоматів // Вісник Тамбовського університету. Серія: Природні та технічні науки. 1997. Т. 2. № 2. С. 67-72.

6. Левін В. І. Автоматна модель визначення можливого часу проведення колективних заходів // Вісті РАІ. Теорія та системи управління. 1997. № 3. С. 85-96.

7. Левін В. І. Математичне моделювання біблії. Характеристичний автоматний підхід// Вісник Тамбовського університету. Серія: Природні та технічні науки. 1999. Т. 4. № 3. С. 353-363.

8. Левін В. І. Автоматне моделювання колективних заходів // Автоматика та телемеханіка. 1999. № 12. С. 78-89.

9. Левін В. І. Математичне моделювання біблійної легенди про Вавилонське стовпотворіння // Вісник Тамбовського університету. Серія: Природні та технічні науки. 2001. Т. 6. № 2. С. 123-138.

10. Левін В. І. Автоматне моделювання історичних процесів на прикладі воєн // Радіоелектроніка. Інформатики. Управління. 2002. № 12. С. 93-101.

11. Левін В. І. Автоматне моделювання процесів виникнення та розпаду колективу // Кібернетика та системний аналіз. 2003. № 3. С. 92-101.

Системи управління, зв'язку та безпеки №3. 2016

Systems of Control, Communication and Security sccs.intelgr.com

12. Левін В. І. Логіко-алгебраїчний підхід до моделювання конфліктів // Системи управління, зв'язку та безпеки. 2015. № 4. С. 69-87. URL: http://sccs.intelgr.com/archive/2015-04/03-Levin.pdf (дата звернення 01.08.2016).

1. Dmitriev A.V. Конфліктологія. Moscow, INFRA-M Publ., 2009. 336 p. (in Ukrainian).

2. Сисоєв V. V. Конфлікт. Сотрудничество. Независимість ": системне взаємодіємство в strukturno-parametricheskom představlenii. Moscow, MAEP Publ., 1999. - 151 p. (in Russian).

3. Svetlov V. A. Analitika konflikta. Saint-Petersburg, Burgeon Publ., 2001. 512 p. (in Ukrainian).

4. Levin V. I. Mathematical modeling of systems with dynamic machines. Information technologies, 1997, no. 9, pp. 15-24 (у Russian).

5. Levin V. I. Mathematical modeling using automata. Bulletin of the University of Tambov. Series: Natural and Technical Sciences, 1997, vol. 2, no. 2, pp. 67-72. (in Ukrainian).

6. Levin V. I. Автоматонний режим визначає можливий час з боку колективних дій. Izvestiya RAS. Theory and control systems, 1997, no. 3, pp. 85-96. (in Ukrainian).

7. Левін V. I. Mathematical modeling of the Biblie. Характеристика автомата approach. Bulletin of the University of Tambov. Series: Natural and Technical Sciences, 1999, vol. 4, no. 3, pp. 353-363 (in Ukrainian).

8. Levin V. I. Automatic modeling of collective actions. Automation and Remote Control, 1999, no. 12, pp. 78-89 (in Ukrainian).

9. Levin V. I. Mathematical modeling of biblical legend of the Tower of Babel. Bulletin of the University of Tambov. Series: Natural and Technical Sciences, 2001, vol. 6, no 2, pp. 123-138 (in Ukrainian).

10. Levin V. I. Automatic modeling historical processes на example of the wars. Electronics. Computer science. Control, 2002, no. 12, pp. 93-101 (in Ukrainian).

11. Levin V. I. Automatic modeling processes emergence and collapse of collective // ​​Cybernetics and Systems Analysis, 2003, no. 3, pp. 92-101 (in Ukrainian).

12. Levin V. I. Logical-Algebraic Approach to Conflicts Modeling. Systems of Control, Communication and Security, 2015, no. 4, pp. 69-87. Available at: http://sccs.intelgr.com/archive/2015-04/03-Levin.pdf (accessed 01 Aug 2016) (in Ukrainian).

Левін Віталій Ілліч - лікар технічних наук, професор, PhD, Full Professor. Заслужений діяч науки РФ. Пензенський державний технологічний університет Область наукових інтересів: логіка;

Системи управління, зв'язку та безпеки №3. 2016

Systems of Control, Communication and Security sccs.intelgr.com

математичне моделювання у техніці, економіці, соціології, історії; прийняття рішень; оптимізація; теорія автоматів; теорія надійності; розпізнавання; історія науки; проблеми освіти. E-mail: [email protected]

Нємкова Олена Анатоліївна – кандидат технічних наук, доцент кафедри «Математика». Пензенський державний технологічний університет Область наукових інтересів: логіка; математичне моделювання у техніці та економіці. E-mail: [email protected]

Адреса: 440039, Росія, м. Пенза, пр. Байдукова/вул. Гагаріна, буд. 1 а/11.

Logical-Mathematical Modelling of Conflicts

V. I. Levin, E. A. Nemkova

Relevance. У матеріалі сучасного питання сприятливого математичного modeling of behavior of conflicting systems in relation to systems, conflicts не є необхідним у відношенні до contradiction між учасниками in system. Визначається положення про питання логічного і математичного modeling of interaction між conflicting parties of the system. Принципом є побудова двох-виявлених алгебри і багаторазового логічного, simulating різні типи мислення, і те, що є source of conflict. purpose of the article. Ам of the article є загальним і detailed analysis of the 2-valued and multi-valued logic, with focus on finding the fundamental differences of the laws of logic, значущі значні відмінності в мисленні окремих, спираючись на ці логіки and the resulting differences in conflicts між carriers of different logics of thinking. Метод. Для того, щоб розв'язати це питання, ми використовуємо традиційний метод будови логічних систем, що базуються на впровадженні основних елементів permanentних, основних функцій на них і identify законів, що влада цих операцій. Основним поняттям є доцільність до відмінностей елементів функцій на них і перебігу між законами двох-вимірюваних і багаторазових логічних. Novelty. Formulated provision according to which there systems, conflicts between the parties which not caused by the contradictions of their interests and difference of their logical thinking, the result of which is as misunderstanding, provoking suspicion, and then aggression. Це так-звані imaginary conflicts, боротьба проти яких вимагається особливі approaches. Result. Процедура конструювання алгебри логічного різного значення, досконало моделюючи процеси мислення. We describe the two-valued and multi-valued логічний мислення і їхні права. Зазначені принципові відмінності з двома-виявленими і багаторазовими логіками. На прикладі analysis of conflict caused by the difference logic thinking.

Keywords: conflict, formal logic elements, logic operations, закони logic, statement, 2-valued logic, many-valued logic.

Інформація про Authors

Vitaly Ilyich Levin - доктора Engineering Sciences, Professor, PhD, Full Professor. Поновлений роботодавець з російської федерації. Penza State Technological University. Field of Research: logic; математичні modeling in technics, economy, sociology, history; decision-making; optimization; automata theory; theory of reliability; history of science; проблем з освіти. E-mail: [email protected]

Елена Анатоліївна Ньомкова - Ph.D. Engineering Sciences, Associate Professor at the Department of "Mathematics". Penza State Technological University. Field of Research: logic; математичні modeling in technics, economy. E-mail :: elenem5 8 @mail. ru

Address: 440039, Росія, Penza, pr. Baydukova / Gagarin st., 1a/11.

Група вчених під проводом співробітника Нижегородського університету ім. Н.І. Лобачевського Олександра Пєтухова виявила параметри, які потрібні для управління системою, яка описує соціальні конфлікти. У разі повного контролю за цими характеристиками вчені зможуть створювати умови для виникнення або запобігання такому конфлікту. Результати викладено у журналі Simulation.

При математичному моделюванні соціальних і політичних процесів потрібно враховувати те, що вони не можуть бути строго заданими, оскільки схильні до постійних змін. Часто соціальний процес порівнюють із броунівською часткою. Такі частинки рухаються траєкторією, яка з одного боку цілком визначена, але при близькому розгляді виявляється дуже звивистою, з безліччю дрібних зламів. Ці дрібні зміни (флуктуації) пояснюються хаотичним рухом інших молекул. У соціальних процесах флуктуації можна трактувати як прояви вільної волі окремих учасників, і навіть випадковими проявами довкілля.

У фізиці такі процеси зазвичай описуються стохастичним дифузійним рівнянням Ланжевена, яке відносно часто використовується і для моделювання деяких соціальних процесів. Підхід, заснований на подібних рівняннях, дозволяє врахувати прояви вільної волі його окремих учасників та випадкові прояви довкілля для соціальної системи. Крім того, завдяки цьому підходу можна розрахувати поведінку соціальної системи як єдиного цілого, так окремих індивідів-частинок; також дозволяє виявити характерні стійкі режими функціонування систем залежно від різних початкових умов. Нарешті, з погляду чисельного моделювання дифузійні рівняння достатньо апробовані і вивчені.

В основі нової моделі лежить ідея, що індивіди взаємодіють у суспільстві через поле комунікації. Його створює кожен індивід у суспільстві, моделюючи інформаційну взаємодію між індивідами. Однак слід мати на увазі, що тут йдеться про соціум, який відрізняється від об'єктів класичної фізики. За словами керівника досліджень Олександра Пєтухова, з погляду перенесення інформації від індивіда до індивіда, простір у суспільстві поєднує як класичні просторові координати, так і додаткові специфічні особливості. Це пов'язано з тим, що в сучасному світідля передачі не потрібно перебувати поруч із об'єктом впливу.

«Таким чином, соціум - це багатовимірний, соціально-фізичний простір, що відображає можливість одного індивіда "дотягнутися" своїм комунікаційним полем до іншого, тобто вплинути на нього, на його параметри та можливість переміщатися в даному просторі», - зазначає Олександр Пєтухов. Близьке розташування індивідів у цій моделі свідчить, що вони регулярно обмінюються інформацією. Для такої постановки проблеми конфліктом слід вважати варіант взаємодії індивідів чи груп індивідів, у результаті відстань у цьому багатовимірному просторі з-поміж них різко зростає.

На основі такого підходу та розробленої моделі вчені знайшли такі закономірності: вони змогли встановити конкретні граничні умови для виникнення соціального конфлікту та його посилення; виявили характерну сферу стійкості для соціальної системи, в якій між об'єктами зберігається досить мала соціальна дистанція; визначили залежності, які відповідають деяким сучасним етносоціальним конфліктам, що дає можливість використовувати цю модель як інструмент під час прогнозування їх динаміки та формування сценаріїв врегулювання.

Також у межах даних досліджень вчені довели, що перехід із стійкого стану в нестійкий для багатокомпонентної когнітивної системи розподіленого типу є пороговим ефектом. За словами Олександра Пєтухова, виконані експерименти виявили конкретні параметри, необхідні для управління подібною системою: вони визначають перехід із стійкого стану в нестійкий, що дає можливість, за повного контролю, створювати умови для виникнення соціального конфлікту, або, навпаки, - запобігати. «Розвиваючи даний підхід надалі, ми матимемо можливість створити на його основі інструмент для повноцінного прогнозування соціальних конфліктів», - підбиває підсумок Олександр Пєтухов.

Сподобався матеріал? у «Мої джерела» Яндекс.Новин та читайте нас частіше.

Прес-релізи про наукові дослідження, інформацію про останні наукові статті та анонси конференцій, а також дані про виграні гранти та премії надсилайте на адресу science@сайт.

Насправді часто доводиться зіштовхуватися із завданнями, у яких потрібно приймати рішення за умов невизначеності, тобто. виникають ситуації, у яких дві сторони переслідують різні мети і результати дії кожної із сторін залежить від заходів противника (чи партнера).

Ситуація, в якій ефективність рішення, що приймається однією стороною, залежить від дій іншої сторони, називається конфліктною. Конфлікт завжди пов'язані з певного роду розбіжностями (це обов'язково антагоністичне протиріччя).

Конфліктна ситуація називається антагоністичноїякщо збільшення виграшу однієї зі сторін на деяку величину призводить до зменшення виграшу іншої сторони на таку ж величину, і навпаки.

В економіці конфліктні ситуації трапляються дуже часто і мають різноманітний характер. Наприклад, взаємовідносини між постачальником та споживачем, покупцем та продавцем, банком та клієнтом. Кожен з них має свої інтереси і прагне приймати оптимальні рішення, що допомагають досягти поставленої мети найбільшою мірою. При цьому кожному доводиться зважати не лише на свої цілі, а й на цілі партнера та враховувати рішення, які ці партнери прийматимуть (вони заздалегідь можуть бути невідомі). Щоб у конфліктних ситуаціях приймати оптимальні рішення, створено математична теоріяконфліктних ситуацій, яка називається теорією ігор . Виникнення цієї теорії відноситься до 1944, коли була видана монографія Дж. фон Неймана «Теорія ігор і економічна поведінка»

Гра – це математична модель реальної конфліктної ситуації. Сторони, які беруть участь у конфлікті, називаються гравцями. Результат конфлікту називається виграшем. Правила гри – це система умов, що визначає варіанти дій гравців; обсяг інформації кожного гравця про поведінку партнерів; виграш, якого призводить кожна сукупність дій.

Гра називається парний, якщо в ній беруть участь два гравці, та множинноїякщо число гравців більше двох. Ми розглядатимемо лише парні ігри. Гравці позначаються Aі B.

Гра називається антагоністичної (з нульовою сумою), якщо виграш одного з гравців дорівнює програшу іншого.

Вибір та здійснення одного з варіантів дій, передбачених правилами, називається ходомгравця. Ходи можуть бути особистими та випадковими.

Особистий хід- це свідомий вибір гравцем одного з варіантів дій (наприклад, у шахах).

Випадковий хід- це випадково обрана дія (наприклад, кидання гральної кістки). Ми розглядатимемо лише особисті ходи.

Стратегія гравця- це сукупність правил, визначальних поведінка гравця за кожного особистому ході. Зазвичай у процесі гри кожному етапі гравець вибирає хід залежно від конкретної ситуації. Можливо також, що всі рішення ухвалені гравцем заздалегідь (тобто гравець вибрав певну стратегію).

Гра називається кінцевоюякщо у кожного гравця є кінцева кількість стратегій, і нескінченною- в іншому випадку.

Ціль теорії ігор- розробити методи визначення оптимальної стратегії кожного игрока.

Стратегія гравця називається оптимальноюякщо вона забезпечує цьому гравцю при багаторазовому повторенні гри максимально можливий середній виграш (або мінімально можливий середній програш незалежно від поведінки противника).

Розділ Теорія ігор представлений трьома онлайн-калькуляторами:

• 1. Рішення матричної гри. У таких завданнях задана платіжна матриця. Потрібно знайти чисті чи змішані стратегії гравців та, ціну гри. Для вирішення необхідно вказати розмірність матриці та метод розв'язання.
• 2. Біматрична гра. Зазвичай у такій грі задають дві матриці однакового розміру виграшів першого та другого гравців. Рядки цих матриць відповідають стратегіям першого гравця, а стовпці матриць - стратегіям другого гравця. При цьому у першій матриці представлені виграші першого гравця, а у другій матриці – виграші другого.
• 3. Ігри із природою. Використовується, коли необхідно вибрати управлінське рішення за критеріями Максимакса, Байєса, Лапласа, Вальда, Севіджа, Гурвіца.

приклад 1.Кожен із гравців, Aабо B, може записати, незалежно від іншого, цифри 1, 2 і 3. Якщо різниця між цифрами, записаними гравцями, позитивна, то Aвиграє кількість очок, що дорівнює різниці між цифрами. Якщо різниця менше 0, виграє B. Якщо різниця дорівнює 0 – нічия.

У гравця Aтри стратегії (варіанту дії): A1 = 1 (записати 1), A2 = 2, A3 = 3, у гравця теж три стратегії: B1, B2, B3.

B A

Завдання гравця A- максимізувати власний виграш. Завдання гравця B- Мінімізувати свій програш, тобто. мінімізувати виграш A. Це парнаОсновні поняття теорії ігор

В економічній практиці часто трапляються конфліктні ситуації. Ігрові моделі – це, в основному, спрощені математичні моделі конфліктів. На відміну від реального конфлікту гра ведеться за чіткими правилами. Для моделювання конфліктних ситуацій розроблено спеціальний апарат – математична теорія ігор. Сторони, які беруть участь у конфлікті, називаються гравцями.

Кожна формалізована гра (модель) характеризується:

• 1. кількістю суб'єктів - гравців, що у конфлікті;
• 2. варіантом дій для кожного з гравців, які називаються стратегіями;
• 3. функціями виграшу чи програшу (платежу) результату конфлікту;

Гра, в якій беруть участь два гравці A та B називається парною. Якщо ж кількість гравців більше двох, то це гра множина. Ми розглядатимемо моделі лише парних ігор.

Гра, в якій виграш одного з гравців точно дорівнює програшу іншого, називається антагоністичною гроюабо грою з нульовою сумою. З розгляду моделей антагоністичних ігор ми почнемо.

Змоделювати (вирішити) антагоністичну гру - значить, для кожного гравця вказати стратегії, що задовольняють умову оптимальності, тобто. гравець A повинен отримати максимальний гарантований виграш, якої б своєї стратегії не дотримувався гравець B, а гравець B повинен отримати мінімальний програш, якої б своєї стратегії не дотримувався гравець A. Оптимальні стратегії характеризуються стійкістю, тобто жодному гравцю не вигідно відхилятися від своєї оптимальної стратегії

Примітка.Розрізняють ігри кооперативні та некооперативні, з повною інформацією та не повною. У грі з повною інформацією перед кожним ходом кожен гравець знає всі можливі ходи (стратегії поведінки) та виграші. У кооперативних іграх допускається можливість попередніх переговорів між гравцями. Ми розглядатимемо некооперативні ігри з повною інформацією.

Математична теорія ігор є розділом математики, що вивчає прийняття рішень у конфліктних ситуаціях.

Визначимо основні поняття теорії ігор.

Гра- Спрощена формалізована модель конфліктної ситуації. Гравець- Одна зі сторін в ігровій ситуації. Залежно від постановки завдання стороною може виступати колектив або навіть ціла держава. Кожен гравець може мати свої стратегії. Стратегією i-го гравця x2 називається одне з можливих рішень із безлічі допустимих рішень цього гравця.

За кількістю стратегій гри поділяються на кінцеві, у яких кількість стратегій обмежена, та нескінченніякі мають нескінченно багато різних стратегій.

Кожен із n учасників гри може обирати свою стратегію. Сукупність стратегій x = x1, x2, ..., xn, які вибрали учасники гри, називається ігровій ситуацією.

Оцінити ситуацію x з погляду переслідуваних ЛПР цілей можна, побудувавши цільові функції (або критерії якості), що ставлять у відповідність кожної ситуації x числові оцінки f1(x),f2(x),…,fn(x) (наприклад, доходи фірм в ситуації x або їх витрати тощо).

Тоді мета i-го ЛПР формалізується так: вибрати таке своє рішення xi, щоб у ситуації x=x1,x2,…,xn число fi(x) було якомога більшим (або меншим). Однак досягнення цієї мети від нього залежить лише частково, оскільки інші учасники гри впливають на загальну ситуацію x з метою досягнення своїх власних цілей (оптимізують цільові функції). Значення цільової функції у тій чи іншій ігровій ситуації можна назвати ь виграшем гравцяв цій ситуації.
За характером виграшів гри можна поділити на ігри з нульовою та ненульовою сумою. У іграх із нульовою сумоюсума виграшів у кожній ігровій ситуації дорівнює нулю. Ігри двох гравців із нульовою сумою називаються антагоністичними.У цих іграх виграш одного гравця дорівнює програшу іншого.

В іграх з ненульовою сумоюу виграші або програші можуть опинитися всі учасники гри.

За видом функції виграшів гри можна розділити на матричні, біматричні, безперервні, сепарабельні і т.д.

Матричними іграминазиваються кінцеві ігри двох гравців із нульовою сумою. У цьому випадку номер рядка матриці відповідає номеру стратегії гравця Ai 1, а номер стовпця - номеру стратегії Bj гравця 2.

Елементами матриці aij є виграш гравця 1 для ситуації (реалізації стратегій) AiBj. З огляду на те, що розглядається матрична гра з нульовою сумою, виграш гравця 1 дорівнює програшу гравця 2.

Можна показати, що будь-яка матрична гра з відомою матрицею платежів зводиться до розв'язання задачі лінійного програмування.

Оскільки в прикладних завданнях економіки та управління ситуації, що зводяться до матричних ігор, зустрічаються не дуже часто, ми не зупинятимемося на вирішенні цих завдань.

Біматрична гра -це кінцева гра двох гравців із ненульовою сумою. У цьому випадку для кожної ігрової ситуації AiBj кожен із гравців має свій виграш aij для першого гравця та bij- для другого гравця. До біматричної гри зводиться, наприклад, поведінка виробників на ринках недосконалої конкуренції. Аналізу цієї проблеми присвячено тему 6 цього навчального посібника.

За ступенем неповноти інформації, яку мають ЛПР, ігри діляться на стратегічні та статистичні.

Стратегічні ігри– це ігри в умовах повної невизначеності.

Статистичні ігри- це ігри із частковою невизначеністю. У статистичній грі завжди є один активний гравець, який має свої стратегії та цілі. Іншим гравцем (пасивним, не переслідує своїх цілей) є природа. Цей гравець реалізує свої стратегії (стан природи) випадковим чином, причому ймовірність реалізації того чи іншого стану можна оцінити за допомогою статистичного експерименту.

Оскільки з теорією статистичних ігор тісно пов'язана теорія прийняття економічних рішень, то надалі обмежимося розглядом тільки цього класу ігор.

Хід у грі це вибір та здійснення одним гравцем одного з передбачених правилами гри дій. Результат одного ходу зазвичай ще результат гри лише зміна ситуації. Стратегія це послідовність всіх ходів до закінчення гри. Позначимо виграш гравця Pj через vj.

Поділіться роботою у соціальних мережах

Якщо ця робота Вам не підійшла внизу сторінки, є список схожих робіт. Також Ви можете скористатися кнопкою пошук

Викладач: Платонова Тетяна Євгенівна

Лекція 15. Ігрові моделі конфліктних ситуацій

Теорія ігор

Основні поняття теорії ігор

Гра -Це математична модель конфліктної ситуації. На відміну від реальних конфліктних ситуацій, у математичній моделі гра ведеться за заздалегідь зафіксованими правилами та умовами.

Хід у грі -це вибір та здійснення одним гравцем одного з передбачених правилами гри дій. У грі двох осіб ходи строго чергуються. Результат одного ходу, зазвичай, ще результат гри, лише зміна ситуації.

Стратегія -це послідовність всіх ходів до закінчення гри. Термінпартія пов'язаний із частковою можливою реалізацією правил.

Нехай у грі беруть участь n партнерів. Позначимо виграш гравця Pj через vj . При цьому позитивне значення v j означає виграш, негативне-програш, а нульове значення-нічия.

Мета гри-максимізація виграшу за рахунок іншого.

Розглянемо коротко класифікацію ігор.

• За кількістю гравців гри буваютьпарні (n = 2) та множинні (n > 2).
• Залежно від кількості стратегій гри поділяються накінцеві якщо у гравців є кінцева кількість стратегій, інескінченні , в іншому випадку.
• Ігри бувають з нульовою сумоюякщо одні виграють за рахунок інших.
• Парні ігри з нульовою сумою називаютьсяантагоністичними.
• Кінцеві антагоністичні ігри називаютьсяматричними.
• Залежно від взаємовідносин гравців гри поділяються накооперативні (у яких заздалегідь визначено коаліції),коаліційні (гравці можуть вступати в угоди) табезкоаліційні(гравцям не можна вступати в угоди).

Ходи гравців поділяються наособисті , якщо хід вибирається свідомо, тавипадкові якщо хід вибирається за механізмом випадкового вибору.

Стратегії буваютьоптимальні , які забезпечують гравцеві найбільший успіх-виграш, танеоптимальні.

Матричні ігри

Загалом матрична гра задається прямокутною матрицею розмірності mxn :

Один гравець має m можливих стратегій ( A 1 , A 2 ,…, A m ), а інший гравець- n можливих стратегій ( B 1 , B 2 ,…, B n ). Елемент-виграш, який платить другий гравець першому, якщо перший вибирає стратегію A і , а другий гравець-стратегію B j . При цьому значення виграшу може бути меншим за нуль.

Представимо матричну гру в табличній формі, яка називаєтьсяплатіжною матрицею:

	a 11	a 12		a 1n
	a 21	a 22		a 2n
	a m1	a m2		a mn

Сформулюємо основний принцип матричної гри: перший гравець прагне якнайбільше виграти, а другий якнайменше програти. Виходячи з цього принципу, обидва гравці є свідомими, а матриця гри складена з погляду виграшу першого гравця; таким чином, виграш першого гравця є одночасно програшем другого.

Розглянемо гру з позиції першого гравця. Нехай перший гравець розглядає можливість застосування своєї першої стратегії (першого рядка матриці). Тоді його виграш у найгіршому разі нічого очікувати менше, ніж мінімальний елемент першого рядка, тобто. . Аналогічно, його виграш при застосуванні довільної стратегіїА і становитиме величину, не меншу, ніж. Таким чином він може серед усіх своїх стратегій вибрати стратегію, найкращу в сенсі найбільшого з можливих мінімальних виграшів. Це значення гарантованого виграшу у найгірших умовах протидії другого гравця називаєтьсянижньою чистою ціною гримаксиміну):

Тепер розглянемо думку другого гравця. При використанні ним своєї першої стратегії, яка представлена ​​першим стовпцем платіжної матриці, його максимальний програш складе величину при найнесприятливіших діях першого гравця. Аналогічно, його програш при застосуванні довільної стратегіїУ j становитиме величину, не більшу, ніж. Це значення гарантованого програшу у найгірших умовах протидії першого гравця називаєтьсяверхньою чистою ціною гри, і воно дорівнює наступному виразу (мінімакс ):

Тому стратегії першого гравця називаютьсямаксимінними, а другого мінімаксними.

Приклад 1 . Знайти нижню та верхню чисті ціни матричної гри з матрицею:

Нижня чиста ціна гри дорівнює, верхня чиста ціна гри дорівнює. Отже, у разі. Елемент називаєтьсясідловим елементом матриці гри (він є одночасно мінімальним у своєму рядку і максимальним у своєму стовпці), а сама гра |грою з сідловою точкою.При цьому нижня та верхня чисті ціни матричної гри збігаються, і вони дорівнюють чистій ціні гри. Прийнятними стратегіями гравців є, і відступати від них невигідно жодному з гравців.

Приклад 2 . Вирішимо аналогічне завдання для гри з матрицею:

Тут маємо. Чиста ціна гри. Таким чином, і в грі відсутня сідлова точка. Рішення такої гри утруднене. Пояснимо цю думку. Стратегія гарантує першому гравцю виграш щонайменше 4 одиниць у разі, коли другий гравець вибирає стратегію. Аналогічно стратегія гарантує другому гравцю програш трохи більше 7 одиниць у разі, коли перший гравець вибирає стратегію. Першому гравцеві можна вибрати стратегію, щоб виграти 9 одиниць, але другий гравець вибере стратегію.

Створюється ситуація, коли партнери кинулися за стратегіями. Отже, у разі сам підхід до гри необхідно змінювати.

Чисті та змішані стратегії гравців

Чиста стратегія гравцяЦе можливий хід гравця, обраний ним з ймовірністю, що дорівнює 1.

Представимо чисті стратегії гравців з прикладу 1 як одиничних векторів: стратегія першого гравця, стратегія другого гравця. Загалом для пари стратегій чисті стратегії можна записати у вигляді, причому в першому векторі одиниця стоїть на i - й позиції, а в другому векторі j – ї позиції.

Змішаною стратегієюпершого (другого) гравця називається вектор:

Тут величини ймовірності застосування відповідних стратегій першого та другого гравців.

Гра називається активною, якщо.

Виходячи з розглянутих визначень, можна зробити такі висновки:

1. Гра набуває випадкового характеру.
2. Випадковою стає величина виграшу (програшу).
3. Середня величина виграшу (математичне очікування виграшу) є функцією від змішаних стратегій: і називаєтьсяплатіжною функцією гри.

Стратегії називаютьсяоптимальними , якщо довільних стратегій виконується умова.

Значення платіжної функції за оптимальних стратегій гравців визначаєціну гри, тобто. .

Рішенням гри називається сукупність оптимальних статегій та ціни гри.

Теорема (Основна теорема матричних теорії ігор – теорема фон Неймана). Будь-яка матрична гра має принаймні одне рішення в змішаних стратегіях дві оптимальні стратегії та відповідну їм ціну: .

Методи вирішення матричних ігор

Усі методи розв'язання матричних ігор, що розглядаються в нашому курсі, спираються на теорему про активні стратегії.

Теорема (Про активні стратегії). Якщо один гравець дотримується своєї оптимальної змішаної стратегії, виграш залишається незмінним і рівним ціні гри, якщо інший гравець не виходить за межі своїх активних стратегій (тобто користується будь-який з них у чистому вигляді або змішує їх у будь-яких пропорціях).

Тепер розглянемо деякі окремі випадки розв'язуваних матричних ігор.

1. Гра, що має сідловий елемент у платіжній матриці (гра з сідловою точкою)

У цьому випадку перший гравець реалізує свою максимінну стратегію, а другий гравець свою мінімаксну стратегію, нижня чиста ціна гри дорівнює верхній чистій ціні гри. Тоді кажуть, щогра вирішується в чистих стратегіях,відхилятися від яких невигідно нікому (див. приклад 1).

1. Гра з платіжною матрицею 2 на 2, що не має сідлового елемента.

Тут немає раціонального рішення у чистих стратегіях, тому рішення перебуває у змішаних стратегіях. Щоб їх знайти, скористаємося теоремою про активні статеї. Якщо перший гравець дотримується своєї оптимальної змішаної стратегії, то його середній виграш дорівнюватиме ціні гри, якою б активною стратегією не користувався другий гравець.

Нехай дана платіжна матриця

(Навколо матриці записані змішані стратегії гравців). Запишемо для першого гравця два рівняння: перше для випадку застосування другим гравцем тільки його першої стратегії, і тоді використовуються тільки елементи першого стовпця матриці, друге для випадку застосування другим гравцем тільки своєї другої стратегії, і тоді використовуються тільки елементи другого стовпця матриці. Ліві частини цих рівнянь обчислюють математичне очікування виграшу першого гравця, яке дорівнює ціні гри. Ці два рівняння містять відразу три невідомі - і самі рівняння при цьому є однорідними, тому для однозначної розв'язності системи необхідне третє рівняння з вільним членом. Цим додатковим і дуже важливим рівнянням є умова нормування, згідно з якою сума ймовірностей усіх подій має дорівнювати одиниці. Таким чином, остаточно система рівнянь для першого гравця виглядає так:

Ця система вирішується дуже просто тому, що в ній можна з третього рівняння висловити одну невідому величину через іншу. Рішення цієї системи дає значення оптимальної змішаної стратегії першого гравця та відповідну їй ціну гри.

Для повного вирішення гри залишилося знайти оптимальну змішану стратегію другого гравця. Тут гравці хіба що міняються місцями. Побудова системи рівнянь аналогічна попередньому випадку. Відмінність у тому, що як коефіцієнт системи беруться не стовпці матриці, а рядки, оскільки саме рядки відповідають чистим стратегіям першого гравця. Таким чином, система виглядає так:

приклад 3. Знайти змішану стратегію гравців для матриці.

Складемо системи рівнянь для першого гравця та для другого:

Рішення яких дає

Таким чином, запишемо рішення гри у вигляді:

1. Графічне рішення гри два на два.

Знову розглянемо приклад 3. Відкладемо на осі абсцис відрізок одиничної довжини. На кінцях цього відрізка намалюємо вертикальні осі I-I та II-II. Відкладемо на осі I - I значення виграшівпершого гравця при використанні нимпершою стратегії. На осі II - II відкладемо виграшіпершого гравця при використанні нимдругий стратегії. З'єднаємо точки відрізками прямих. Ламана B 1 KB 2 - нижня межа виграшу. На цьому кордоні лежить мінімальний виграш гравцяА за будь-якої його змішаної стратегії. КрапкаДо , в якій цей виграш досягає максимуму, визначає рішення та ціну гри. Для змішаної стратегії другого гравця можемо також записати:

Стратегію другого гравця можна знайти і безпосередньо, якщо на графіку поміняти гравців місцями, а замість максимуму нижньої межі виграшу розглянути мінімум верхньої межі програшу. У будь-якому випадку точкаДо є одночасно точкою максиміну та мінімаксу.

1. Графічне рішення гри.

Побудова аналогічна випадку два на два. Тут n стратегій противника зобразяться відрізками n прямих. Далі розглядається нижня межа, яка є ламаною. Максимум ламаної досягається в одній з вершин, де перетинаються дві стратегії супротивника, які єактивними.

Теоретично ігор доводиться, що з будь-якої кінцевої гри існує рішення, у якому кількість активних стратегій кожної сторони вбирається у найменшого з чисел чи. Отже, грамає рішення, у якому з кожного боку бере участь трохи більше двох активних стратегій. (Так само може бути вирішена і гра). Варто тільки знайти ці стратегії і гра перетворюється на гру.

Приклад 4 . Вирішити гру з наступною платіжною матрицею:

Ця гра має 2 стратегії з боку першого гравця та три стратегії з боку другого. Тому графічним способом визначимо одну із стратегій другого гравця, яка є неактивною. Побудуємо графік щодо стратегій першого гравця.

З графіка видно, що другого гравця явно невигідною є перша стратегія, яка є неактивною. Таким чином, з матриці гри виключаємо перший стовпець, що відповідає першій стратегії другого гравця, і приходимо до матриці розмірності два на два наступного виду:

Для цієї матриці запишемо систему рівнянь – для першого гравця, та систему: – для другого гравця.Рішення цих систем дає наступний результат:

1. Гра з платіжною матрицею mx2

Як зазначалося вище, гра попередньо вирішується графічно з погляду другого гравця. У цьому визначаються активні стратегії другого гравця. На графіці застосовується мінімаксна стратегія і розглядається мінімум верхньої межі програшу. Розглянемо приклад.

приклад . Вирішити матричну гру з наступною матрицею:

Побудуємо графік, де ліворуч відкладемо значення програшів другого гравця при використанні ним першої стратегії, а праворуч значення програшів другого гравця при використанні ним другої стратегії.

З графіка видно, що друга стратегія для першого гравця є невигідною, оскільки при її застосуванні виграш першого гравця (і, відповідно, програш другого) буде меншим. Таким чином, активними стратегіями першого гравця будуть перша та третя. Відповідно запишемо системи рівнянь для змішаних стратегій гравців:

Рішення системи: Для першого гравця система має вигляд (стратегіюА 2 не враховуємо як неперспективну):

Рішенням системи будуть значення Таким чином, рішення гри виглядає так: .

1. Ігри з домінуючими та дублюючими стратегіями.

Розглянемо дві стратегії першого гравця i ю і k Ю. У цьому хай всім елементів відповідних рядків матриці виконуються умови: . У цьому випадку кажуть, що i Я стратегія першого гравцядомінує над його j І стратегією. Якщо кожна нерівність виконується як сувора, то кажуть, що одна стратегіястрого домінуєнад іншою. У будь-якому випадку з двох стратегій перший гравець віддасть перевагу домінуючій, оскільки при використанні домінованої стратегії його виграш щонайменше не збільшиться. І тут можна прийняти.

Аналогічно розглянемо дві стратегії другого гравця. j - ю та l ю, і при цьому для елементів відповідних стовпців матриці виконуються умови: . Для другого гравця, як відомо, вигіднішою є стратегія, що дає менший програш, тому кажуть, що j - я стратегія домінує над l - й. Якщо попарні нерівності є суворими, то кажуть, що одна стратегіястрого домінуєнад іншою. У цьому, звісно, ​​.

У випадку, якщо у якого або з гравців дві стратегії мають у матриці тільки збігаються елементи, то ці стратегії називаютьсядублюючими . При цьому неважливо, яку з них гравець віддасть перевагу для вирішення гри.

У результаті за наявності домінуючих і дублюючих стратегій частина стратегій можна розглядати, що призведе часом до значного спрощення платіжної матриці.

1. Еквівалентне перетворення платіжної матриці.

Це перетворення застосовується для полегшення розрахунків і при цьому оптимальні змішані стратегії гравців не змінюються.

Теорема . Оптимальні змішані стратегії відповідно 1 і 2 гравців у матричній грі з ціною v будуть оптимальними і у матричній грі з ціною, де.

приклад . У матричній грі з платіжною матрицею приймемо b = 10, C = -6 . Застосуємо перетворення bA + c тоді отримаємо гру з тими ж оптимальними стратегіями, але з іншою еквівалентною матрицею: .

Еквівалентність матричної гри парі двоїстих ЗЛП.

Розглянемо матричну гру розміром. Зведемо її до завдання лінійного програмування у загальному вигляді. Маємо:

Вважатимемо, що. Це завжди можна зробити за теоремою про еквівалентне перетворення платіжної матриці, отже, можна вважати ціну гри позитивним числом, v >0.

Для першого гравця маємо систему нерівностей (з урахуванням того, що перший гравець прагне якнайбільше виграти, ціна гри для нього перевищуватиме v):

Введемо нові змінні розподілом на ціну гри: тоді отримаємо ЗЛП:

При побудові цільової функції враховуємо, що ціна гри першого гравця максимізується.

Аналогічно маємо для другого гравця систему нерівностей:

Розділивши на ціну гри та ввівши нові змінні, отримаємо ЗЛП для другого гравця:

Тут цільова функція задана максимум, т.к. ціна гри другого гравця мінімізується.

В результаті отримали пару симетричних двоїстих ЗЛП. Відповідно до першої теореми двоїстості, отже, ціна гри v має одне і те ж значення для обох гравців.

Поняття про гру з природою (статистичні ігри)

Тут один із учасників – людина чи група осіб із загальною метою – т.зв.статистик (гравець А), інший учасникприрода (гравець П), чи весь комплекс зовнішніх умов, у яких статистику доводиться приймати рішення. Природа байдужа до виграшу і прагне звернути на користь промахи статистика.

Статистик має m стратегії; природа може реалізувати n різних станів. При цьому можуть бути відомі можливості реалізації станів природи. Якщо статистик може оцінити застосування кожної своєї стратегії за будь-якого стану природи, гру можна задати платіжної матрицею:

	П 1	П 2		П n
	a 11	a 12		a 1n
	a 21	a 22		a 2n
	a m1	a m2		a mn

За спрощення платіжної матриці не можна відкидати ті чи інші стани природи, т.к. природа може реалізувати будь-який зі своїх станів незалежно від того, вигідно це статистику чи ні. Природа може навіть допомагати гравцюА.

При виборі раціональної стратегії статистика користуються різними умовами. У цьому спираються як у платіжну матрицю, і на матрицю ризиків.

Ризик статистики. Матриця ризиків має таку ж розмірність, як і платіжна матриця:

Перерахунок з платіжної матриці в матрицю ризиків виробляється по стовпцям: у кожному стовпці платіжної матриці вибирається найбільший елемент, який у матриці ризиків замінюють нулем, інші елементи стовпця матриці ризиків отримують відніманням відповідних елементів із цього найбільшого елемента.

Якщо ймовірність станів природи відома, використовуєтьсякритерій Байєса : вибирається та стратегія, що забезпечує максимальну величину середнього виграшу статистика:

При невідомих ймовірностях станів природи застосовується принцип недостатньої основи Лапласа, коли всі стани вважаються рівноймовірними:

Тоді середній виграш за кожною стратегією розраховується як середнє арифметичне виграшів за всіма можливими станами природи:

Еквівалентний підхід полягають у доборі стратегії, що забезпечує найменший середній ризик статистики:

при відомих ймовірностях станів природи та

якщо ці ймовірності невідомі. При такому підході результат буде таким самим, що і при аналізі найбільшого середнього виграшу.

Якщо ймовірності станів природи невідомі, то широко використовуються критерії Вальда, Севіджа і Гурвіца.

Оптимальною за критерієм Вальда вважається стратегіяА і , Що забезпечує з усіх найменших виграшів найбільше значення. У цьому випадку з матриці виграшів (тобто платіжної матриці) у кожному рядку вибирається найменший елемент, а потім серед цих елементів вибирається найбільший:

За критерієм Севіджа оптимальною вважається стратегія, що мінімізує величину максимального ризику, тобто. з кожного рядка матриці ризиків вибирається максимальний елемент, а потім серед цих елементів вибирається рядок, в якому знаходиться мінімальний елемент:

Оптимально за критерієм Гурвіца вважається стратегія, знайдена за умови:

де – «коефіцієнт песимізму». При ? = 1 маємо критерій Вальда, або критерій крайнього песимізму, при ? = 0 ? критерій «крайнього оптимізму». Рекомендується вибирати між нулем і одиницею, з суб'єктивних міркувань.

В результаті застосування кількох критеріїв вони порівнюються між собою, і як найкраща вибирається та стратегія статистика, яка найчастіше фігурує як найкраща.

Інші схожі роботи, які можуть вас зацікавити.
14639.		Етичні принципи та норми діалогової взаємодії викладача та студентів. Попередження конфліктних ситуацій в освітній практиці	17.82 KB
	Етичні принципи та норми діалогової взаємодії викладача та студентів. Навчальне заняття покликане як забезпечити теоретичну основу навчання розвинути інтерес до навчальної діяльностіта конкретної навчальної дисципліни сформувати у студентів орієнтири для самостійної роботи над курсом та усвідомити ними принципи та норми етики ділової взаємодії з викладачами та однокурсниками. Етичні принципи та норми ділового спілкування викладача та студентів на занятті — це ще й спосіб емоційного впливу на тих, хто навчається...
16112.		Ігрові моделі форвардних ринків однорідних товарів	63.56 KB
	Робота виконана за фінансової підтримки Російського фондуфундаментальних досліджень за проектом 08-01-00249 та гранту НШ 693. Ринок електроенергії, що характеризується значною концентрацією виробництва бар'єрами для входу на ринок та високими вимогами до надійності компаній, надає виробникам реальні можливості отримання надприбутку за рахунок використання ринкової влади на шкоду споживачам та сумарному суспільному добробуту. На практиці обмеженість виробничих потужностей має суттєве значення при...
18059.		Взаємозв'язок якостей особистості та особливостей спілкування у конфліктних ситуаціях в управлінській діяльності	148.51 KB
	Істотним елементом міжособистісного спілкування впливає зниження конфліктності в управлінської діяльності є індивідуальні особливості особистості. Незважаючи на те що в інтересах управлінської діяльності робилося і робиться чимало все ж таки цього недостатньо що в черговий разпідтверджує актуальність цієї проблеми. Наукова новизна роботи полягає в тому, що...
9697.		Ігрові технології навчання на уроках географії	1014.86 KB
	Вивчити науково-педагогічну, психолого-педагогічну, методичну літературу на тему дослідження; виявити та обґрунтувати комплекс ігрових технологій навчання на уроках географії; розробити та проаналізувати розробки із застосуванням ігрових технологій.
18262.		Ігрові методи навчання як умова соціальної адаптації молодших школярів	711.61 KB
	Теоретично обґрунтувати та перевірити через експеримент ефективність впливу дидактичної гри на соціальну адаптацію молодших школярів. Процес соціальної адаптації молодших школярів буде протікати ефективніше якщо: -між педагогом та учнями встановлюються суб'єкт-суб'єктні відносини; -враховуються індивідуальні якості молодших школярів; -На урокахв початковій школібудуть використовуватись ігри. Визначити стан впливу дидактичної гри на молодших школярів у педагогічній теорії. Розкрити...
3111.		Інвестиції та заощадження в кейнсіанській моделі. Макроекономічна рівновага в моделі "кейнсіанський хрест"	27.95 KB
	Інвестиція ¦ це функція ставки відсотка: I=Ir Ця функція спадна: що вищий рівень відсоткової ставки, то нижчий рівень інвестицій. За поглядами Кейнса заощадження - це функція доходу не відсоткової ставки: S = SY Т. Інвестиції є функцією процентної ставки а заощадження - функцією доходу.
545.		Класифікація надзвичайних ситуацій	5.35 KB
	Джерелом надзвичайної ситуації може служити небезпечне природне явище аварія або небезпечна техногенна подія. Надзвичайні ситуації можуть бути класифіковані за значною кількістю ознак. Так за походженням надзвичайні ситуації можна поділяти на ситуації техногенного антропогенного та природного характеру.
546.		Фази розвитку надзвичайних ситуацій	4.9 KB
	Фази розвитку надзвичайних ситуацій Надзвичайні ситуації у тому числі аварії на промислових об'єктах у своєму розвитку проходять п'ять умовних типових фаз: Перша фаза – це накопичення відхилень від нормального стану чи процесу. Друга фаза це ініціювання надзвичайної події, тобто аварії катастрофи або стихійного лиха. Для випадку аварії на виробництві в цей період підприємство або його частина переходять у нестабільний стан, коли з'являється фактор нестійкості. При аварії на виробництві у цей період відбувається...
554.		Ліквідація наслідків надзвичайних ситуацій	5.54 KB
	Ліквідація наслідків надзвичайних ситуацій Як рятувальні сили використовують навчені рятувальні формування створювані заздалегідь і знову сформовані підрозділи з числа працівників промислового об'єкта. Як технічні засоби використовують як об'єктову техніку бульдозери екскаватори зі змінним обладнанням самоскиди і так далі так і спецтехніку, що знаходиться в розпорядженні рятувальних формувань, спеціальні підйомнотранспортні машини ручний рятувальний інструмент засобу контролю.
4641.		Профілактика криміногенних ситуацій, що виникають у сім'ї	187.63 KB
	Злочинність у тому числі всередині сім'ї важко викорінити, проте потрібно прагнути до того, щоб подібних потворних проявів людського буття було якнайменше. Так якщо їх розподілити і порядок убування значимості то отримаємо наступну номінальну шкалу концентруючих об'єктів за даними засудженого подружжя: подружні зради ревнощі зловживання спиртним проведення одним із подружжя дозвілля поза сім'єю відмова одного з подружжя від спільного проживання відносини з друзями подругами стосунки з...