Zberi niz kompleksnih števil.

Rusija 19.4.1.

Števila s kompleksnimi izrazi. Aktivni izpad nikakor ne vpliva na vse glavne pomene fiaska, moč vrst, ki se zbližujejo, znake fiaska za kompleksne vrstice. 19.4.1.1. 1 , 19.4.1.1. 2 , 19.4.1.1. 3 , …, 19.4.1.1. Glavni namen . 19.4.1.1. Glavni namen Naj vam ponudimo neskončno zaporedje kompleksnih števil z Glavni namen n , ….prevzamem del številke Glavni namen

resno bomo mislili 19.4.1.1. Glavni namen = z Glavni namen + a , ….prevzamem del številke Glavni namen , Glavni namen = 1, 2, 3, …).

, izjavljam - b

(Tobto.jazSerije številk: - Zapisni um. 1 = 19.4.1.1. 1 , - Zapisni um. 2 = 19.4.1.1. 1 + 19.4.1.1. 2 , - Zapisni um. 3 = 19.4.1.1. 1 + 19.4.1.1. 2 + 19.4.1.1. 3 , - Zapisni um. 4 = 19.4.1.1. 1 + 19.4.1.1. 2 + 19.4.1.1. 3 + 19.4.1.1. 4 , …,

- Zapisni um. Glavni namen = 19.4.1.1. 1 + 19.4.1.1. 2 + 19.4.1.1. 3 + … + 19.4.1.1. Glavni namen , …

Častkovi sumi - Zapisni um. število
S - Zapisni um. Viznachennya. - Zapisni um. = 19.4.1.1. 1 + 19.4.1.1. 2 + 19.4.1.1. 3 + … + 19.4.1.1. Glavni namen Kako obstaja meja
.

zaporedje delnih vsot v vrsti pri

- Zapisni um. Glavni namen = 19.4.1.1. 1 + 19.4.1.1. 2 + 19.4.1.1. 3 + … + 19.4.1.1. Glavni namen = (z 1 + a , ….prevzamem del številke 1) + (z 2 + a , ….prevzamem del številke 2) + (z 3 + a , ….prevzamem del številke 3) + … + (z Glavni namen + a , ….prevzamem del številke Glavni namen ) = (z 1 + z 2 + z 3 +…+ z Glavni namen ) +

, Kaj je močno kompleksno število, potem se zdi, da vrsta konvergira; і število

poimenujte vrstico in jo napišite+ ... oz .

Poznamo delovanje in očitne dele zasebnih zneskov: De simboli

Dodeljeni del zasebnega zneska je učinkovit in očiten.

ČastkoviŠtevilska zaporedja konvergirajo le, če konvergirajo zaporedja, sestavljena iz njegovih aktivnih in eksplicitnih delov. Na ta način se bo serija kompleksnih členov zbližala bodisi ali manj, če lava konvergira, kar ustvarja njene aktivne in vidne dele. Na tej podlagi je eden od načinov za raziskovanje vrednosti nizov s kompleksnimi členi. zadnjica.
Sledite seriji za uspeh Vipishemo kilka, kar pomeni virazu: Te vrednosti se periodično ponavljajo.

Številni aktivni elementi: ;
več očitnih delov; (
ofenzivno se vrstici zbližata (miselno), zato se zbliža izhodna vrsta. 19.4.1.2. Absolutno super.
Vrsti klical

Številska zaporedja konvergirajo le, če konvergirajo zaporedja, sestavljena iz njegovih aktivnih in eksplicitnih delov.
popolnoma podoben

poimenujte vrstico in jo napišite+ ... oz
.

ko serija konvergira
, zlaganje
absolutne vrednosti

19.4. 1 . 3 člani yoga. Torej, tako kot za numerično akcijsko vrsto z dodatki, je enostavno dokazati, da vrsta konvergira

, potem niz zlahka konvergira to serijo, ustvarjeno z aktivnimi in eksplicitnimi deli serije
.

, absolutno konvergirajo). Yakshcho vrstica

Če serija konvergira, potem je vsota presežka yoga poGlavni namen -th člen pragne na nič pri
.

Če se vsi člani vrstice združijo, pomnožite z istim številomh , potem bo vsota shranjena in znesek pomnožen sh .

Vrste sestankov (A ) to (U ) se lahko zloži in odstrani kos za kosom;
.

Niz lahko tudi konvergira in njegova vsota je enaka

Če so člani vrstice, ki pridejo skupaj, združeni v ustreznem vrstnem redu in je nova vrsta zložena iz vsot členov vsakega para okroglih krakov, potem se bo ta nova vrsta tudi zbližala in ta vsota bo podobna vsote izhodne vrstice.

Če je vrstica povsem pravilna, se v primeru kakršne koli prerazporeditve katerega koli člana prihranek shrani in znesek ne spremeni.A ) to (U Vrstica Yakscho (
і
) absolutno konvergirajo k njihovim vsotam
.

, lahko njihove vsote z zadostnim vrstnim redom členov absolutno konvergirajo in njihova vsota je enaka

Serije s kompleksnimi členi. 19.4.1.

19.3.1.Števila s kompleksnimi izrazi.

, izjavljam - 19.3.1.1. .

Glavni namen:

Častkovi sumi - Zapisni um. . - Zapisni um. Naj obstaja neskončno zaporedje kompleksnih števil.

Označili bomo diysnu del številke, razkril bom - (temu .

poimenujte vrstico in jo napišite

- zapis um

Častkovi Chatkoví sumi vrstica Na tej podlagi je eden od načinov za raziskovanje vrednosti nizov s kompleksnimi členi. zadnjica. zaporedje delnih vsot v nizu za , ki je močno kompleksno število, potem se zdi, da niz konvergira;

število

poimenujte vrstico in napišite bodisi.

poimenujte vrstico in jo napišite Poznamo dejanje in očitne dele zasebnih vsot: , kjer simboli označujejo dejanje in očitne dele zasebne vsote.

Številska zaporedja konvergirajo le, če konvergirajo zaporedja, sestavljena iz njegovih aktivnih in eksplicitnih delov. absolutne vrednosti

Na ta način se bo serija kompleksnih členov zbližala bodisi ali manj, če lava konvergira, kar ustvarja njene aktivne in vidne dele. Torej, tako kot za numerično akcijsko vrsto z dodatki, je enostavno dokazati, da vrsta konvergira

, potem niz zlahka konvergira to serijo, ustvarjeno z aktivnimi in eksplicitnimi deli serije.

19.3.1.2.

Če serija konvergira, potem je vsota presežka yoga poGlavni namen -th člen pragne na nič pri.

Absolutno super. h Serija se imenuje h.

, Dodatki absolutnih vrednosti članov. A Torej, tako kot za numerično vrsto z dodatnimi členi, lahko sklepamo, da kadar koli vrsta konvergira, mora serija konvergirati. U) se lahko zloži in odstrani kos za kosom;.

Niz lahko tudi konvergira in njegova vsota je enaka

Če niz konvergira in niz razhaja, se niz imenuje intelektualno konvergenten. A Torej, tako kot za numerično vrsto z dodatnimi členi, lahko sklepamo, da kadar koli vrsta konvergira, mora serija konvergirati. U Vrstica Yakscho (і) absolutno konvergirajo k njihovim vsotam.

Niz je niz z nenegativnimi členi; preučite njegovo podobnost, lahko sestavite vse vrste predznakov (kot je izrek izravnave na integralni predznak).

Častkovi Koračna navodila s kompleksnimi členi se imenujejo več vrst

de - Konstantna kompleksna števila (koeficienti serije), - fiksno kompleksno število (središče koeficienta). 19.4.1.1. Za katero koli številčno vrednost 19.4.1.1. Niz se preoblikuje v numerični niz s kompleksnimi členi, ki konvergirajo ali razhajajo.

Ko niz konvergira v točki

, potem se ta točka imenuje konvergenčna točka serije. Vrstica korakov vsebuje vsaj eno točko konvergence.

Celota konvergenčnih točk se imenuje območje konvergence serije. ;

Kar zadeva statično vrsto z aktivnimi členi, lahko vse informacije o statični vrsti najdete v Abelovem izreku. 19.4.1.1. Abelov izrek. Če niz stanj natančno konvergira, potem

1. moramo absolutno konvergirati na kateri koli točki 2. Če ta serija divergira v točki, mora divergirati v kateri koli točki, ki zadovoljuje neravnine

(To gre dlje od spodnje točke). Dokaz dobesedno ponavlja dokaz odseka 18.2.4.2. Dokaz dobesedno ponavlja dokaz odseka Abelov izrek Dokaz dobesedno ponavlja dokaz odseka Na ta način se bo serija kompleksnih členov zbližala bodisi ali manj, če lava konvergira, kar ustvarja njene aktivne in vidne dele. za več aktivnih članov. Abelov izrek razkriva izvor takega nevidnega realnega števila R, tako da serija absolutno konvergira v kateri koli notranji točki polmera Dokaz dobesedno ponavlja dokaz odseka s središčem v točki in se razhajajo na kateri koli točki v krogu.

številka

radij bližine , barvno

kolikor je mogoče

.

Na točkah kordona tega količka - količka do polmera s središčem v točki - serija lahko konvergira in razhaja. Na teh točkah se prikaže več modulov. Možni so naslednji pojavi: 1. Niz konvergira.

In tukaj, na kateri koli točki vložka, se serija popolnoma združi. 2. Vrstica se razhaja, ale yogo speči član. In tukaj se na nekaterih točkah vložka lahko nizi miselno zbližajo, na drugih pa se razhajajo. VV Dzyubo z 5 do 55 Originalna postavitev, ki jo je pripravil avtor Lastnoročno podpisan Format 6 84/6 Papier ofset Tipografija Časi Vrsta računa l, 6 Naklada 4 Podpis Pogled TGASU, 64, m Tomsk, Solyana sq., Nadrukovo iz originalne postavitve v OOP TGASU 64, m Tomsk, st. Partizanska, 5

3 NIZE S KOMPLEKSNIMI ČLENI TEMA Številske vrste s kompleksnimi členi Ne smemo pozabiti, da kompleksna števila imenujemo števila oblike z = x y, kjer sta x in y aktivni števili, jasno pa je enota, kar je označeno z enakostjo = - Števili x in y se imenujejo edinstvena za aktivne in očitne dele števila z i pomenijo x = Rez, y = Imz Očitno je med točkama M(x, y) ravnine XOU s pravokotnim kartezičnim koordinatnim sistemom in kompleksnimi števili oblike z = x y obstaja medsebojno edinstvena ravnina, ki se imenuje kompleksna ravnina, z pa ravnina aktivne številke predstavlja celotno absciso, ki jo imenujemo aktivna os, številke oblike z = y pa predstavljajo celotno ordinato, ki se imenuje eksplicitna polarna os točke M(x, y), označena z r in j , potem x = r cos j, y = r s j i število z lahko zapišemo v obliki: z = r (cosj sj), kjer je r = x y Ta oblika zapisa kompleksnega števila se imenuje trigonometrična, zapisovanje z v obliki z = x y imenujemo algebraična oblika zapisa Število r imenujemo modul števila z, število j je argument (v točki z = razumevanje argumenta ni razširjeno) Modul števila z enolično določa formula z = x y Argument j je enolično določen z dodatni možgani - π < j π (или j < π), обозначается в этом случае arq z и называется главным значением аргумента

4 številke z (slika) Vrednost pomnilniške sledi, ki je y arq z - π izražena z< arctg y x < π y arctg, при x r = z = x y М (x, y) j = arq z Рис x Если считать, что - π < arg z π, то y arg z = arctg, если х >, y;< ; х у arg z = -π arctg, если х <, y < ; х у arg z = π - arctg, если х <, y ; х π arg z =, если х =, y >x y arg z = -arctg, kjer je x>, y< Например, если z = - (х <, y >), 4

;

6 6 Ključne prehranske teorije Kratki pogledi Pomen niza s kompleksnimi členi Koncepti niza nizov Nujnost miselne kompleksnosti Vrednosti Nehay glede na zaporedje z ) = ( x y ) = z, z, z, kompleksna števila Simbol za obliko ( å = z se imenuje red, z podzemni člen vrste. Koncepti delnih vsot v nizu S, njihova podobnost in razpršenost so na splošno skladni s podobnimi koncepti za nize z aktivnimi členi. Zaporedje delnih vsot v nizu izgleda takole to: S = z z; Pomeni med zaporedji kompleksnih števil, ki smo jih našli, se formalno nič ne povečajo glede na zaporedje aktivnih števil: def (lm S = S) = (" ε > $ N > : > N Þ S - S< ε) Как и в случае рядов с действительными членами, необходимым условием сходимости ряда å = z является стремление к

7 nič z-halalnega izraza v vrstici pri Tse pomeni, da če je ta um uničen, potem se lm z ¹ vrstica razhaja, ker je lm z = prehrana okoli vrstice prikrajšana. Vrstici lahko sledite å (x = na poti do Jennia x i å = na številu vrstic ? y, kjer ?

8 Rešitev Niz å konvergirati, ker k ~ = () () s Suma S je ta niz prejšnji (poglavje, tema, p) Niz å konvergirati, saj gre za neskončno padajočo geometrijsko = progresijo, s katero je å = () è S b = - q = konvergirati, і yogo seštevek V tem vrstnem redu je vrstica S = zadnja vrstica å razhaja, t razhaja = è!

harmonične vrste å V tem primeru sledite konvergenčni - = maščevalni vrsti å =!

Nima smisla Butt Row?

11 cosπ, vrstica pa je å!!

=!< ряд будет расходиться, т к α π lm s ¹ Þ ряд å π s расходится, а это будет означать, что расходится и данный è = è ряд α π α π cost При α >konvergirati za znakom D'Alemberta. Za znakom ravni je vrsta? cosπ konvergirati? vrsta? =!

konvergirajo absolutno cosπ =!

Povezava nalog Sledite zaporedju vrstic 4: å;< = lm ряд сходится Это означает, что данный ряд сходится абсолютно Банк задач для самостоятельной работы Ряды 6 исследовать на сходимость å = è ; å = è π s! 5 ; å = è π s! 5 ; 4 å = è è - l) (; 5 å = - è π tg e ; 6 å = è l Ответы:, 6 расходятся;, 4, 5 сходятся

å(-) = è l l = è!

l å = π - cos и α tan π ;

4 å = и и;!< z Заметим, что и формулировка, и доказательство теоремы Абеля для рассмотренных ранее степенных рядов å aх ничем = не отличается от приведенной теоремы, но геометрическая иллюстрация теоремы Абеля разная Ряд å = условия х a х при выполнении х < будет сходиться на интервале - х, х) (рис), y (а для ряда с комплексными членами условие z z < означает, что ряд будет сходиться внутри круга радиуса z (рис 4) x x x - x z z x Рис Рис 4 7

Odločitev?< R, ряд () сходится, а при всех z, для которых z >R, vrstica () se razhaja 4 Kakšno je območje konvergence vrstice ()?< R принадлежит кругу радиуса R, этот круг называют кругом сходимости ряда () Координаты точек М (х, у), соответствующих числам z = x y, попавшим в круг сходимости, будут удовлетворять неравенству x < y R Очевидно, круг сходимости ряда å a (z - z) имеет центр = уже не в начале координат, а в точке М (х, у), соответствующей числу z Координаты точек М (х, у), попавших в круг сходимости, будут удовлетворять неравенству (x - х) (y - у < R) 8

Če je R polmer vrstice (), potem je točka z neosebna za vsak z< есть точки, в которых ряд сходится, и есть точки, в которых расходится Например, при z = будем иметь гармонический ряд å, который расходится, а при = z = - будем иметь ряд å (-), который сходится по теореме = Лейбница Пример Найти область сходимости ряда å z =! Решение! R = lm = lm () = Þ ряд сходится ()! на всей комплексной плоскости 9

19 5 Kako najti polmer polmera a z uporabo enačb R = lm in R = lm in kaj je malo prostora za statične vrste z aktivnimi členi?< R, будет сходиться абсолютно и равномерно Сумма S (z) степенного ряда с комплексными членами внутри круга сходимости обладает теми же свойствами, что и сумма S (x) степенного ряда å a х внутри интервала сходимости Свойства, о которых идет речь, рекомендуется = повторить 6 Ряд Тейлора функции комплексного переменного При изучении вопроса о разложении в степенной ряд функции f (x) действительного переменного было доказано, что если функция f (x) на интервале сходимости степенного ряда å a х представима в виде å f (x) = a х, то этот степенной ряд является ее рядом Тейлора, т е коэффициенты вычис- = = () f () ляются по формуле a =! Аналогичное утверждение имеет место и для функции f (z): если f (z) представима в виде f (z) = a a z a z

Možno je, saj se med temi mejami zdi, da je R =, kar pomeni, da niz () konvergira le v točki z = ali z = z za niz (). Ko je R =, se niz konvergira na celotni kompleksni ravnini. Primer Poišči polmer konvergence niza å z = a Odločitev R = lm = lm = a Na ta način se vrstica zbliža na sredini polmera vložka Butt stisnemo skupaj tako, da na robovih vložka x y< R эта функция представима степенным рядом, т е å = f (z) = a (z - z), z - z < R -

20 Jasno je, da statični nizi å = a x na sredini svojega obsega konvergirajo ne le absolutno, ampak enakomerno.

23 in je funkcija e z zdaj definirana za vse kompleksne z, potem je naravno vzeti ch z =, def z - z e def z - z e - e sh z = na celotnem kompleksnem območju: z -z k e - e z sh z = = hiperbolični sinus ;

(k)!

k = z - z k e e z ch z = = hiperbolični kosinus;

26, zato ni mogoče izračunati nivelacijskega znaka s hitro formulo s = sh Potem å = å s sh = = Vrstica å sh = sledi D'Alembertovemu znaku: - () - - sh () e - e e (e- e) e lm = lm = lm =< - - sh e - e e (- e) Таким образом, ряд å s = сходится Þ данный ряд сходится абсолютно Решение задач Число z = представить в тригонометрической и комплексной формах y π Решение r = =, tg j = = Þ j =, x 6 π 6 π π = cos s = e è 6 6 Найти область сходимости ряда å (8 -) (z) = Решение Составим ряд из абсолютных величин заданного ряда и найдем его радиус сходимости: a 8 - () () R = lm = lm = lm a =, 6

27 (), ker lm =, iz modulov pridejo skupaj 8 - = 8 = V tem vrstnem redu vrstica z< Данный ряд при этом же условии сходится, т е внутри круга радиуса с центром в точке при z >točke vložka z = -, bodo konvergirale, položaj kroga, tj. serija bo divergirala: å 8 - = å = = tako da bo dana serija v zaprtem krogu konvergirala, kar pomeni, da z konvergira absolutno Prinesi da je funkcija å z z e = periodična s periodo π (ta potenca funkcije e z ї je popolnoma drugačna =! od funkcije e x) Dokaz hitrosti periodične funkcije in formule (6) Treba je pretvoriti , kjer je z z e π = e, kjer je z = x y. Pokažimo, da je tako: z π x y π x (y π) x (y e = e = e = e e x = e (cos(y π) s (y π)) = e Torej je e z periodična funkcija!) x π = (cos y s y ) = e x y = e z 7

28 4 Poiščite formulo, ki povezuje števila e, i in π. Rešitev zapisa j kompleksnega števila z uporabo hitrega prikaza: z = re Za z = - matematično r =, j = π i, na ta način, π e = - () Deljiva formula In kljub dejstvu, da je pojav števila π v matematiki, ni nič skupnega s pojavom drugih dveh!

Formula () prav tako kaže, da je prikazana funkcija e z, pri zamenjavi funkcije ex lahko dobimo negativne vrednosti e x 5 Poiščite vsoto niza å cos x =!< (докажите по признаку Даламбера) сходится при Банк задач для самостоятельной работы Представить в тригонометрической и показательной формах числа z =, z = -, z = -, z = 4 Построить в декартовой системе координат точки, соответствующие заданным числам Записать в алгебраической и тригонометрической формах числа e π и Используя формулу z = r (cosj s j), вычислить () и (e π) 4 Исследовать на сходимость ряд å e = Ответ Ряд сходится абсолютно 5 Исследовать ряд å z на сходимость в точках = z = и z = 4 Ответ В точке z ряд сходится абсолютно, в точке z ряд расходится 9

30 6 Poiščite polmer R in tok vrstic 4 Opazujte obnašanje vrste na mejnih točkah kroga toka (na točkah, ki ležijo na količku) å!(z -) ;

å(z);

= = å () z = ();

4 å z = 9 Vrste:) R =, nizi konvergirajo v točki z = - ;) R =, nizi konvergirajo absolutno v zaprtem krogu z s središčem v točki z = - ali za x (y) ;) R =, nizi iti absolutno v zaprtem krogu z ali za um x y;

4) R =, vrsta konvergira absolutno v zaprti množici z ali za um x y 9 7 Ponovno pretvorimo v vrsto serije funkcijo f(x) = e x s x, () x viuporabno razgradimo v vrsto funkcijo e 8 Ponovno pretvorimo, torej da za vsak kompleks z matimut Z uporabo formule: s z = s z cos z, s z cos z =, s (z π) = s z (uporabite Eulerjeve formule)

31 SEZNAM PRIPOROČENE LITERATURE Glavna literatura Piskunov, NR Diferencialni in integralni račun za visoke šole / NR Piskunov TM: Znanost, 8 C 86 9 Fikhtengolts, GM Osnove matematične analize / serija GM Fikhtengolts / PN Vorobyov - St. Petersburg: Lan, 8 48 z 4 Pismovy, DP Lecture notes on high mathematics P/DP Pismovy M: Aires-press, 8 5 Visoka matematika ima pravice in znanje P/PE Danko, AG Popov, TY Kozhevnikova [ta in] M: ONIKS, 8 C Dodatno literatura Kudryavtsev, LD Tečaj matematične analize / LD Kudryavtsev TM: Vishcha school, 98 S Khabibullin, MV Kompleksna števila: metodični vstavki / MV Khabibullin Tomsk, TGASU, 9 6 z Moldovanov, EA Serijska in kompleksna analiza: osnovni vodnik / Є A Moldovanova , AN Kharlamova, VA Kilin Tomsk: TPU, 9

Zvezna agencija za informacije Tomska državna univerza za arhitekturo in gradbeništvo

Zvezna agencija za izobraževanje MOSKVSKA DRŽAVNA UNIVERZA ZA GEODEZIJO IN KARTOGRAFIJO (MIIGAIK O.V. Isakova L.A. Saykova M.D. Ulimzhiev ZAČETNA KNJIGA ZA ŠTUDENTE O SAMOSTOJNOSTI

Tema Kompleksna številska vrsta Oglejmo si številsko vrsto k ak s kompleksnimi števili v obliki Vrsto imenujemo podobna, ker zaporedje njenih delnih vsot S ak k k konvergira.

Ko mejno S zaporedje

MINISTRSTVO ZA USTANOVITEV RUSKE FEDERACIJE TEORIJA FUNKCIJ CELOVITEGA MINISTRSTVA Metodični priročnik Skrbniki: MDUlimzhiev LIINKHЄIVA IBYUMIV SZHYUMOVA Pregled metodične pos

8 Kompleksna številska vrsta Oglejmo si številsko vrsto s kompleksnimi števili oblike k a, (46) de (a k) - dano številsko zaporedje s kompleksnimi členi k Niz (46) imenujemo podobno, ker

Predavanja pripravila izr. prof. Musina MV Vaznachennya Viza pogled Numerične in funkcionalne serije Številske serije: osnovni koncepti (), imenovane številske serije (ali preprosto izjava) Številke, člani serije

Fakulteta za metalurgijo Oddelek za višjo matematiko RANGE Metodološka navodila Novokuznetsk 5 Zvezna agencija za razsvetljavo Državna razsvetljava Namestitev za višjo strokovno razsvetljavo

Ministrstvo za izobraževanje in znanost Ruske federacije Zvezni državni proračunski sklad za visoko strokovno izobraževanje Novgorodska državna univerza poimenovana po

Zvezna agencija za izobraževanje Zvezna državna izobraževalna ustanova za visoko strokovno izobraževanje PIVDENNIY FEDERALNA UNIVERZA R. M. Gavrilova, G. S. Kostetska Metodična

Številski niz Številsko zaporedje Definicija Številsko zaporedje je številska funkcija, izračunana na množici naravnih števil x - končni člen zaporedja x =, x =, x =, x =,

Zvezna agencija za izobraževanje Moskovske državne univerze za geodezijo in kartografijo (MIIGAIK) METODOLOŠKA NAVODILA IN NALOGE ZA SAMOSTOJNO DELO ZA TEČAJ

METODIČNA NAVODILA PRED NALOGAMI ROZRAKHUNKOVIKH V TEČAJU MATEMATIKE VISCHKA “POMEMBNA DIFERENCIACIJA RIVAL SERIES SUBLINE INTEGRALS” DEL SH TOPIC SERIES

Zvezna agencija za izobraževanje Državni začetni sklad za visoko strokovno izobraževanje Novgorodska državna univerza po imenu Yaroslav the Wise Inštitut za elektroniko

Ministrstvo za izobraževanje Republike Belorusije EE "Vitebsk State Technological University" Tema.

Ministrstvo za izobraževanje in znanost Ruske federacije Zvezni državni proračun za razsvetljavo Ustanovitev višjega strokovnega izobraževanja »Državno arhitekturno in gradbeno inženirstvo Tomsk

Sgups Oddelek za višjo matematiko Metodični dodatki k finalizaciji standardne strukture "Serija" Novosibirsk 006 Dejanja teoretičnih informacij Številčna serija Nehaj u;

;

je nešteto število

MINISTRSTVO ZA IZOBRAŽEVANJE IN ZNANOST RUSKE FEDERACIJE DRŽAVNA ARHITEKTURNA IN GRADBENA UNIVERZA KAZAN POGLAVJA IN FUNKCIONALNI OBSEK

PREDAVANJE N 7. Stopničaste vrstice in Taylorjeve vrstice..Stopniške vrstice.....Taylorjeve vrstice.... 4.Razporeditev nekaterih elementarnih funkcij v Taylorjevi in Maclaurinovi vrsti....Stopnične vrstice

Tema modula Funkcionalna zaporedja in vrstice Moč enakomerno porazdeljenih zaporedij zaporedij in vrstic Vrstice korakov Predavanje Pomen funkcijskih zaporedij in vrstic Enakomerno

BELORUSKA DRŽAVNA UNIVERZA EKONOMSKA FAKULTETA ODDELEK ZA EKONOMSKE INFORMACIJE IN MATEMATIČNO EKONOMIJO Serija Zapiski predavanj in delavnice za študente ekonomije

Ministrstvo za šolstvo Ruske federacije Uljanovska državna tehnična univerza NUMERIČNA IN FUNKCIONALNA NIZA FURY Uljanovsk UDK 57(76) BBK 9 i 7 Ch-67 Recenzent kandidat za fiziko-mat znanosti

3724 NIZA VEČKRATNIH IN KRIVOLOŠKIH INTEGRALOV 1 DELOVNI PROGRAM ROZDILIV “NIZA VEČKRATNIH IN KRIVOLOŠKIH INTEGRALOV” 11 Številska vrsta Razumevanje številske vrste Moč števil

Sekcija Serija Formalni zapis vsote članov danega številskega zaporedja Številske serije se imenujejo numerične serije Sumi S, se imenujejo delne vsote serije As med lim S, S nato serije

MINISTRSTVO ZA IZOBRAŽEVANJE IN ZNANOST RUSKE FEDERACIJE Nacionalna zadnja državna univerza v Nižnem Novgorodu poimenovana po NI Lobačevskega NP Semerikova AA Dubkov AA Kharčeva

Preizkusi za samopreverjanje »nizov« Izrek zahteva znak konvergence za niz Izrek zahteva znak konvergence Če niz konvergira, potem je lim + Za vrsto je zadostna intelektualna raznolikost Če je lim, potem niz divergira

Ministrstvo za izobraževanje in znanost Ruske federacije Achinska podružnica zvezne državne avtonomne izobraževalne ustanove višjega strokovnega izobraževanja "Sibirska zvezna univerza" MATEMATIKA

(funkcionalna serija, potenčna vrsta, območje uporabnosti, vrstni red iskanja obsega - čel, polmer, obseg obsega čel) Naj je podano neskončno zaporedje funkcij, Funkcional

Vrstice Številske vrste Številski koncepti Definicija Če je vsakemu naravnemu številu pripisano število po zakonu dneva, potem odsotnost oštevilčenih števil imenujemo številsko zaporedje,

Ministrstvo za izobraževanje Ruske federacije MATI - RUSKA DRŽAVNA TEHNOLOŠKA UNIVERZA im.

Predavanje 3 Taylorjeve in Maclaurinove vrste Status statičnih vrst Razširitvene funkcije v statičnih vrstah Taylorjeve in Maclaurinove serije Za dodatke je pomembno vključiti to funkcijo razširitve v statične vrste, to funkcijo

DRŽAVNA USTANOVITEV STROKOVNEGA IZOBRAŽEVANJA VISCHKA "BILORUSKO-RUSKA UNIVERZA" Oddelek za "Vischa matematiko" VISCHA MATEMATIKA MATEMATIKA MATEMATIKA

Numerične in statistične serije zaposlovanja.

Serije številk.

Zneski so nizki.

Znaki nevarnosti. Izračunajte količino za vrstico.

6 Odločitev.

Vsota členov neskončne geometrijske progresije q je starodavna, kjer je q znak napredka.

DRŽAVNA UNIVERZA KAZAN Oddelek za matematično statistiko NUMERIČNE SERIJE Osnovni metodološki učbenik KAZAN 008 Sledi odločitvam oddelka za znanstveno in metodološko za univerzo v Kazanu

Funkcionalna serija Vsota in površina funkcionalne serije Nehay v razdelku Δ govora ali kompleksnih števil je podana zaporedje funkcij k (k 1 Funkcionalna serija se imenuje

Zvezna agencija za izobraževanje MOSKVSKA DRŽAVNA UNIVERZA ZA GEODEZO IN KARTOGRAFIJO (MIIGAIK) O. V. Isakova L. A. Saykova OSNOVNI VODNIK ZA ŠTUDENTE ZA SAMOSTOJNO RAST

Potenčne vrste a a a Niz oblike a a a a () imenujemo statični, de, a, stacionarni, imenovani koeficienti niza.

Predavanje N34.

Števila s kompleksnimi izrazi.

Vrstice stopal v kompleksnem galuzu.

Analitične funkcije.

Funkcije vrat...številske serije s kompleksnimi členi.....stopenjske serije v kompleksni domeni....

Možnost: Izračunajte vrednosti datumske funkcije v algebraični obliki: a sh ;

b l Rešitev a Za pospešitev povezave med trigonometričnim sinusom in hiperboličnim sinusom se uporablja formula: ;

sh -s Ni mogoče zavrniti

Zvezna agencija za izobraževanje Državna razsvetljava Namestitev višjega strokovnega izobraževanja Državna tehnična univerza Ukhta KOMPLEKSNE ŠTEVILKE Metodični dodatki

MINISTRSTVO ZA IZOBRAŽEVANJE IN ZNANOST RUSKE ZVEZNE PRORAČUNSKE INSTITUCIJE ZA VIŠJE STROKOVNO IZOBRAŽEVANJE "SAMARA STATE TECHNICAL CENTER"

Simbol uma W 1 + W 2 +…+ W Glavni namen +…= (1), de W Glavni namen = u Glavni namen + a· v Glavni namen (Glavni namen = 1, 2, …) imenujemo kompleksna števila (zaporedja kompleksnih števil). vrstni red kompleksnih števil.

Številke W Glavni namen (Glavni namen = 1, 2, …) se imenujejo člani, članica W Glavni namen Na ta način se bo serija kompleksnih členov zbližala bodisi ali manj, če lava konvergira, kar ustvarja njene aktivne in vidne dele. speči član v vrsti.

Številke mislijo - Zapisni um. Glavni namen = W 1 + W 2 +…+ W Glavni namen (2) (Glavni namen = 1, 2, …) , se imenujejo zasebnih zneskov zapored (1).

Kintseva neskončne meje - Zapisni um. zaporedja - Zapisni um. Glavni namen Na ta način se bo serija kompleksnih členov zbližala bodisi ali manj, če lava konvergira, kar ustvarja njene aktivne in vidne dele. v čigavi vrsti.

Kaj je meja - Zapisni um. terminal, nato se vrstica pokliče podobno ker je meja neskončna ali pa sploh ne obstaja, potem serija rozbízhniy.

Yakshcho - Zapisni um. vrstico seštevka (1), nato zapišite
.

Pojdimo
, A
. σ Glavni namen = u 1 + u 2 +…+ u Glavni namen , τ Glavni namen = v 1 + v 2 +…+ v Glavni namen Očitno
(- Zapisni um..
і
Kot poznamo ljubosumje і absolutno) enakovreden dvema enakostima

. Prav tako je podobnost vrstice (1) enakovredna podobnosti dveh govornih nizov:

.Glavni namen > Zato se na kompleksnih vrstah, ki konvergirajo, razširijo osnovne moči podobnih numeričnih vrst.Na primer, za kompleksne nize veljaven Cauchyjev kriterij je:serije (1) konvergirajo ali ne, če za nekoga, kaj za vse.

n in biti-kdoW Glavni namen → 0 .

str = 1, 2, … neravnine se dodajo і Iz tega kriterija sledi potreben znak podobnosti seriji:- Zapisni um.іda vrsta (1) konvergira, je nujen in zadosten njen skupni členTakšni rangi moči so ravno dovolj za konvergenco:
і
yakscho vrstica- Zapisni um. ± da vrsta (1) konvergira, je nujen in zadosten njen skupni členі λ·- Zapisni um. .

konvergirajo k njihovim vsotam

d , nato veslajte Na tej podlagi je eden od načinov za raziskovanje vrednosti nizov s kompleksnimi členi. zadnjica.
(2).

vsak dan konvergirati v seštevek

Absolutno podobna serija kompleksnih števil.

Niz kompleksnih števil

(1) klical
Izrek.

Kozhen cela serija (1) kompleksnih števil konvergira. Glavni namen > Zato se na kompleksnih vrstah, ki konvergirajo, razširijo osnovne moči podobnih numeričnih vrst.і Dokončano. Očitno je dovolj, da ugotovimo, da je niz skladen s Cauchyjevim kriterijem za podobnost niza.
Vzemimo vseeno

.
Z absolutno konvergenco vrste (1) konvergira vrsta (2). Glavni namen > Zato se na kompleksnih vrstah, ki konvergirajo, razširijo osnovne moči podobnih numeričnih vrst.і serije (1) konvergirajo ali ne, če za nekoga=1,2,… Temu v korist

vsak dan konvergirati v seštevek

, kaj za vraga p = 1,2, ... bo prišlo do nelagodja , pivoW Glavni namen = u Glavni namen + a· v Glavni namen (Glavni namen = 1, 2,…).

, potem pa pride na vrsto vedno več nelagodja

iz kakršnega koli razloga

(5)

Prav tako za niz (1) sledi Cauchyjevemu kriteriju za uporabnost kompleksnega niza. Zato vrsta (1) konvergira.
і
Izrek drži.
Da bi dobili vrsto kompleksnih števil

(1) Ker sta si absolutno podobna, je nujno in zadostno, da se govorna serija absolutno zbližata(3) to
.

Nato z desne strani neenakosti (5) konvergira vrstica (2). Niz (1) je absolutno konvergenten. Prav tako je absolutna podobnost kompleksne serije (1) enakovredna absolutni podobnosti govorne številske serije (3) in (4).

Zato se na kompleksnih serijah, ki absolutno konvergirajo, razširijo vse osnovne moči govora absolutno podobne numerične serije.

Torej za kompleksno vrsto, ki je absolutno konvergentna, potem velja izrek o permutaciji njenih členov.
prerazporejanje članov v vrsti, kar je popolnoma pravilno, se ne prišteva k vsoti vrstice. < 1 , то ряд (1) абсолютно сходится, если .Da bi ugotovili absolutno združljivost kompleksne serije, je možna stagnacija kot znak ustreznosti pozitivne serije..

Cauchyjev znak.

Vrstica (1) naj pade med vrstice
, potem. < 1 этот ряд абсолютно сходится, а если .q

poimenujte vrstico in jo napišite

>1, potem niz (1) divergira
Sign d'Alembert.
.

Za niz (1) kompleksnih števil obstaja meja
.
=
=
.

, kdaj potem

> 1, potem se serija razhaja.

Spremljajte absolutno vrednost serije

, tukaj Vemo No, absolutno je prenizko za konvergacijo. Absolutno podobne serije je mogoče pomnožiti. Tvir je popolnoma podoben seriji, zato pojdite - konvergirajte. Dve podobni stvari se lahko razhajata.

S standardnimi metodami so končali v temnem kotu s črvičasto zadnjico.

Kdo se sooča s težavami in kje bi lahko bila težava?

Ugasnimo oprani motor, mirno analizirajmo razloge in poiščimo praktične rešitve. : v večini primerov je za raziskovanje hitrosti serije treba uporabiti kakšno znano metodo, sicer je skriti član serije polnjen z zapletenim polnilom, ki sploh ni jasno, kaj z njim. No, absolutno je prenizko za konvergacijo.. Za vse, v prvem semestru boste stresli dušo za dokazovanje na 1-2-3 straneh, hkrati pa je dovolj, da pokažete neverjetno inteligenco, ki jo zahteva serija, sklicujoč se na dejstva.

Vidomi?

Če učenec ne ve, da je koreninska stopnja zelo težka stvar, potem je, recimo, ljubezen

postavite Yogo v temen prostor.

Želim rešitev, kot dve od dveh: potem. Iz razumnih razlogov se lestvice razhajajo. Skromen komentar o »podatkih med dvema ugotovitvama v teoriji« (ali pa na splošno) je treba v celoti odstraniti, da bi skozi tabele razložili pomembne stvari in jih postavili točno ne pred delitev numeričnih vrst. In ko boste privili najbližje, boste presenečeni nad doslednostjo in jasnostjo bogatih rešitev:

Zadnjica 1

Spremljajte napredek vrstice

Odločitev

: persh za vse, preveril Vikonanny

postavite Yogo v temen prostor.

Želim rešitev, kot dve od dveh: potem. potrebni znaki nevarnosti

To ni formalnost, ampak čudežna priložnost, da se znebite zadnjice z "malo krvjo".

»Ogled okoli kraja« nakazuje misel o nizu, ki se razhaja (vrsta zaokroženega harmoničnega niza), vendar se spet pojavi problem prehrane, kako pridobiti logaritem iz čitalnika številk? Oblikujte slike za lekcijo. Ni neobičajno, če morate izvesti dvosmerni (ali celo trosmerni) postopek: Zadnjica 6 – : od začetka skrbno razumemo blebetanje zaporedja številk – obdano z: . Todi:

Posodabljamo našo vrstico iz naročila. Zaradi skrbno odstranjene osnovne neenakosti bo za vse »en« zapisano: Zdaj izenačimo vrsto s harmonično vrsto, ki se razhaja.

Posnetek transparenta manj prapor strela, to

Drib sam

več

ulomki (zapišite število prvih členov, če ni jasno).

postavite Yogo v temen prostor.

Želim rešitev, kot dve od dveh: potem. Na ta način za vsak »en«:

No, za nivojsko tablo je vrsta razhajajo se Izenačimo našo vrstico s podobno vrstico. Ob uri obračuna med vikoristi Chudova meja , de jak neskončno majhne velikosti

pojavi se: konvergirati

takoj po navodilih.
Namesto da bi standardni del postavili v tehniko množenja in "trojno" delitev, je bilo mogoče takoj izvesti izravnavo z naslednjim.

Žal, tukaj ni nobenega opozorila, da se nizu pridruži konstantni množitelj člana halal.

postavite Yogo v temen prostor.

In dizajn zadnjice je zasnovan v tem slogu:

Zadnjica 8

postavite Yogo v temen prostor.

Želim rešitev, kot dve od dveh: potem. Poglejmo lekcijo. Zadnjica 9: na sprednjih zadnjicah smo udarili okoli sinusov, vendar je okužba moč igre. Zastava strela veličine raste v redu

, Kaj je drobilnik števil, potem z argumentom sinusa in celotnim sestavljenim členom neverjetno majhen .

Psihična trdnost je nujna, kot si lahko mislite, ki nam ne dovoli, da bi se izognili delu.

Izvedli bomo izvid: potrdi do

čudežna enakovrednost .

, misli se dodajo sinusu in vrstica se odstrani. Zaradi skrbno odstranjene osnovne neenakosti bo za vse »en« zapisano: Zdaj izenačimo vrsto s harmonično vrsto, ki se razhaja.

No potem ...

postavite Yogo v temen prostor.

Odločimo se:

Spremljamo vrstico za vrstico, da se razhajamo. Vikoristov mejni znak izravnave: Zamenljivo neskončno majhen ekvivalent: z

Končna številka je bila odstranjena, odstranjena z ničle, nato pa je bila odstranjena naslednja serija

postavite Yogo v temen prostor.
.

Želim rešitev, kot dve od dveh: potem. Zadnjica 10

To je primer neodvisne odločitve. Zaradi skrbno odstranjene osnovne neenakosti bo za vse »en« zapisano: Za načrtovanje nadaljnjih dejanj v takšnih zadnjicah je zelo koristno, če jasno določimo sinus, arkusin, tangens in arktangens.

Ne pozabite, da takšna možnost traja samo neskončno majhen

argumentov, je nedavno nastala provokativna serija:

postavite Yogo v temen prostor.

Zadnjica 11

: tukaj je enostavno uporabiti izmenjavo arktangensa, enakovrednost pa tudi ne deluje presenetljivo preprosto:

Dodatna vrstica pojavi se:.

, ker ni naveden potreben znak bližine serije. Drug razlog Nosilcu številke in znamenju ni prav nič težko trpeti in razpirati roke.

Zadnjica 13

postavite Yogo v temen prostor.

Žival je že tako redka, a je ujeta in bi bilo nepošteno, če bi jo prezrli z objektivom fotoaparata.

Kaj je faktoriel z dvojnim znakom toče?

Faktoriel "navije" dobičke pozitivnih števil:

Podobno faktoriel "navije" seštevanje pozitivnih neparnih števil:

Analizirajte, kdo je odgovoren za

postavite Yogo v temen prostor.

Zadnjica 14 In na tem skritem mestu se poskušaj ne izgubiti v korakih,і pošastne enakovrednosti.

pošastne meje

Rešite besede in primere lekcije.

Toda študent se lahko nahrani prav toliko kot tigri - tudi leopardi poznajo svoje poti:

postavite Yogo v temen prostor.

Želim rešitev, kot dve od dveh: potem. Zadnjica 15 : praktično mittevo spada v nujni znak konvergence, mejni znak, d’Alembertov in Cauchyjev znak. Ale je največje, tisto nemočno znamenje, ki nas je vedno znova reševalo iz naših skrbi. Res je, nemogoče se je uskladiti z ločenim redom zaradi nestabilnosti

napačno - logaritemski množitelj samo poveča predznak s spremembo samega ulomka glede na razmerje do ulomka. І druga globalna prehrana: zakaj smo peli od začetka, to je naša vrsta Ali je razhajanje obvezno in kdo mora biti usklajen s kakršno koli razhajajočo se vrsto?

Sta razmišljala, da bi se dobila? Integralni znak? Nevlasni integral:

vzbuja otožno razpoloženje. Od Yakbija je vrstica v nas... potem pa tako.

nehaj! Tako postanejo ideje priljubljene. Odločitve sprejemamo v dveh terminih:

1) Na začetku lahko sledimo seriji .

, misli se dodajo sinusu in vrstica se odstrani. Zaradi skrbno odstranjene osnovne neenakosti bo za vse »en« zapisano: Vikoristovuyemo .

integralni znak

Pídíntegralnaya funkcija

neprekinjeno

postavite Yogo v temen prostor.

Na ta način veslajte

postavite Yogo v temen prostor.

Želim rešitev, kot dve od dveh: potem. istočasno odstopajo od podobnega nepotenčnega integrala. 2) Našo vrsto izenačimo s sosednjo:

. Vikoristov mejni znak izravnave:

skupaj z naročilom

Primerjamo datume ob naslednjem, na kaj iti.

Vikoristov mejni znak izravnave:

, misli se dodajo sinusu in vrstica se odstrani. pojavi se: konvergirati

Pomnožite in delite z dobljenim izrazom:

Je možno, da je bilo v zadnjih letih na našem afriškem safariju nekaj zvezdnikov?

postavite Yogo v temen prostor.

ne vem Dostavili so ga, mislim.

Stopil bom na trofejno kožo, da te dobim: Zadnjica 18 Rešitev poučne lekcije na koncu lekcije In naj vam povem še eno misel, ki jo ima učitelj za bogate učence: in zakaj ne bi uporabil bolj redkega znaka sorodstva v seriji

postavite Yogo v temen prostor.

Želim rešitev, kot dve od dveh: potem. Raabejevo znamenje, Abelovo znamenje, Gausovo znamenje, Dirichletovo znamenje in druge nevidne živali. Ideja deluje, a v realnih aplikacijah še redko.:

Zlasti sem se v vseh letih prakse prebijal do

znak Raabe

če nič ne pomaga standardnemu arzenalu.

Povzel bom napredek mojega ekstremnega iskanja:

Zadnjica 19

: Brez dvoma je d'Alembertov znak pod uro za izračun aktivne zmagovalne moči korakov, pa tudi
sumi prijatelj Chudov meja
Os te enkrat. Zaradi skrbno odstranjene osnovne neenakosti bo za vse »en« zapisano: D'Alembertov znak ni prinesel nobenih rezultatov, čeprav ni bilo občutka, da bi bil tak rezultat.
Ko sem šel skozi dokaz, vem, da je v teoriji majhna razlika med in močnim radikalnim Cauchyjevim znakom: pojavi se: Os je dve.
In, odkrito povedano, sploh mi ni jasno, da se serije zbližujejo in razhajajo (kar je zame izjemno redka situacija). Potrebujete znak za čiščenje?.

Brez posebnih upov bom zagotovo uredil vrstni red rasti številke in znaka, vendar to še vedno ne zagotavlja vinogradov.

Povniy d'Alembert, ale naigirshe, zato je treba dodati vrstico. Obvezno. Res bo škoda, če odneham.

Imel sem priložnost uporabiti rusko ljudsko modrost: Če nič ne pomaga, preberi navodila.