adsby.ru → Fizika

Aksiom ponavljanja (neprekinitve). Aksiomi aktivnih števil Druge formulacije potence brez prekinitve in enakovredni predlogi

U šolski tečaj matematiki so bila aktivna števila izračunana na konstruktiven način, ki temelji na potrebi po izvajanju eksperimentov. Takšen pomen je bil neizogiben in se je pogosto obračal na privržence gluhega kuta. Na primer, lekcija govori o kontinuiteti aktivnih števil, tako da so v tej množici prazna. Zato je potrebno, da mati pred izvajanjem matematičnih preiskav razume pomen preiskav, da med njimi sprejme določene intuitivne predpostavke (aksiome), ki so uporabni v praksi.

Viznachennya. Celota elementov x, y, z, …, ki je sestavljen iz več kot enega elementa, se imenuje brez osebnosti R aktivne številke, saj so za te objekte nameščene naslednje operacije in opombe:

Aksiomi I. skupine- Aksiomi operacij zgibanja.

V brezobraznem R uvedena je dodatna operacija za kateri koli par elementov aі b z vrečko in je prikazano a + b
jaz 1. a+b=b+a, a, b R .

jaz 2. a+(b+c)=(a+b)+c,a, b, c R .

I 3. Obstaja tak element naslovov nič in je označena 0, torej za katero koli a R pride na misel a+0=a.

jaz 4. Za katerikoli element a R To je element, imenovan youmu predrazjede in je označen - a, za katerega a+(-a) = 0. Element a+(-b), a, b R , poklical zakristija elementi aі b in je prikazano a - b.

II-skupina aksiomov - aksiome operacij množenja. V brezobraznem R vneseno z operacijo množenje, potem za kateri koli par elementov aі b označen kot en sam element, ki se imenuje ustvarjanje in je prikazano a b, zakaj se torej te misli končajo:
II 1. ab=ba, a, b R .

II 2 a(pr)=(ab)c, a, b, c R .

II 3 . To je element, imenovan eno in je označen z 1, torej za karkoli a R pride na misel a 1=a.

II 4. Za kogarkoli a 0 Je element, naslov youmu prehod in je označen z 1/ a, za katerega a=1. element a , b 0, klicano naj bo zasebno po spolu a na b in je prikazano a:b bodisi ali drugače a/b.

II 5. Povezava operacij zlaganja in množenja: za poljubno a, b, c R um je zgoščen ( ac + b)c=ac+bc.

Množica objektov, ki zadoščajo skupini aksiomov I in II, se imenuje numerično polje ali preprosto polje. In dodatni aksiomi se imenujejo aksiomi polja.

III – tretja skupina aksiomov – aksiomi reda. Za elemente R Navedeno je, da je vse v redu. Tam leži blizu stopnice. Za katera koli dva različna elementa aі b Lahko je eno od dveh razmerij: bodisi a b(preberi" a manj ali bolj staro b«), oz a b(preberi" a večje ali starejše b"). Ko gre za to, je jasno, da je treba narediti naslednje zaključke:

III 1. a a za kožo a. Z a b, b sled a = b.

III 2. Prehodnost. Yakshcho a bі b c, To a c.

III 3. Yakshcho a b, potem za kateri koli element c morda mesto a+c b+c.

III 4 . Yakshcho a 0, b 0, to ab 0 .

IV skupino aksiomov sestavlja en aksiom - aksiom kontinuitete. Za morebitne nedopustne množice Xі Y h R tak, da za kožo par elementov x Xі l Y nelagodje se konča x < l, glavni element a R, ki razveseljuje um

majhna 2

x < a < l, x X, l Y(slika 2). Seznami pooblastil jasno kažejo na odsotnost efektivnih števil v smislu, da vse druge pooblastila izhajajo iz teh pooblastil. Danin termin nedvoumno določa pomen realnih števil z natančnostjo do specifične narave svojih elementov. Zadržki glede tistih, ki v brezosebnosti vsebujejo več kot en element, so nujni za brezosebnost, ki je sestavljena iz ene ali več ničel, kar očitno zadošča vsem aksiomom. Odslej se elementi množitelja R imenujejo števila.

Pomembno je, da zdaj poznamo koncepte naravnih, racionalnih in iracionalnih števil. Števila 1, 2 1+1, 3 2+1, ... so imenovana naravna števila, njihova neosebnost pa je označena n . Iz pomena neosebnosti naravnih števil izhaja, da lahko pride do značilne moči: yakscho

1) A n ,

3) za kožni element x Kraj za vklop x+ 1 A, nato A=n .

Učinkovit, enostaven za uporabo 2) možno 1 A to za moč 3) і 2 A, potem pa zato oblast sama zavrne 3 A. Oskolki je naravno število n izhod z 1 zadnjim dodatkom pred njim, tj. 1, nato n A, potem. n A, drobci za umivalnikom 1 pa kažejo na vklop A n , To A=n .

Na tej moči naravnih števil je načelo dokaza z uporabo metode matematične indukcije. Ker gre za neosebno trdno snov, je koži dodeljeno naravno število (th number) n=1, 2, ..., in navedeno je bilo, da:

1) veljavno potrdilo iz številke 1;

2) zaradi poštenosti potrditev s katero koli številko n n sled potrditvene številke n+1;

takrat je bila dokazana pravičnost vseh nebes. potrditev s številko n n .

Številke 0, + 1, + 2, ... pokličite cela števila, njihovo neosebno pomenijo Z .

Številke mislijo m/n, de mі n cilje, in n 0, klicano racionalna števila. Označena je brezosebnost vseh racionalnih števil Q .

Realna števila, ki niso racionalna, imenujemo neracionalno, njihova neosebnost je navedena jaz .

To je posledica dejstva, da je možno, da bodo racionalna števila vsebovala vse elemente množitelja R? Dokaz te prehrane je aksiom kontinuitete. Jasno je, da se za racionalna števila ta aksiom ne spremeni. Na primer, poglejmo dva dejavnika:

Zlahka je razumeti, da za kateri koli element obstaja neravnovesje. Vendar racionalnoštevilke, ki delijo dva faktorja, niso pomembne. Pravzaprav je to število morda ravno to, vendar ni racionalno. To dejstvo nakazuje, da so v množenju iracionalna števila R.

Poleg več aritmetičnih operacij s številkami lahko delate na korakih korena. Za katero koli številko a R in naravno n korak a n je označena kot trdna n bratje in sestre, enaki a:

Za sestanke a 0 1, a>0, a- n 1/ a n, a 0, n- naravno število.

zadnjica. Bernoullijeva nervoza: ( 1+x)n> 1+nx Pripeljite pot do indukcije.

Pojdimo a>0, n- naravno število. številka b klical koren n korak številk a, yakscho b n =a. Kakšna škoda pisati. Izvor in enotnost pozitivnega korena katere koli stopnje n Vsako pozitivno število bo prikazano spodaj v odstavku 7.3.
Koren seznanjenega koraka a 0 ima lahko dva pomena: yakscho b = , k n , nato th -b=. Res je, s b 2k = a kriči, kaj

(-b)2k = ((-b) 2 )k = (b 2)k = b 2k

Neznani pomen se imenuje jogo aritmetične vrednosti .
Yakshcho r = p/q, de strі q cilji, q 0, torej. r je racionalno število, potem za a > 0

(2.1)

Na ta način stopite a r določeno za poljubno racionalno število r. Od tu izhaja pomen, tako da za vsako racionalno r Tukaj pride ljubosumje

a -r = 1/a r.

korak a x(številka x klical odrski šovman) za poljubno število x presegajo pomoč neprekinjenega širjenja stopnje z racionalnim prikazom (razdelitveni postopek v klavzuli 8.2). Za katero koli številko a R neznana številka

imenovan jogo absolutna vrednost drugače modul. Za absolutne vrednosti poštene številke

|a + b| < |a| + |b|,
||a - b|| < |a - b|, a, b R

Smrad pride po pomoč organi I-IV operativne številke.

Vloga aksioma kontinuitete v vsakdanjem življenju matematična analiza

Pomen aksioma kontinuitete je tolikšen, da brez njega strogost matematične analize ni mogoča. [ dzherelo ni vključeno 1351 dni] Za ponazoritev predstavljamo številna temeljna načela analize, katerih dokaz se vrti okoli kontinuitete realnih števil:

· (Weierstrassov izrek). Ne glede na to, ali je obdan z monotono rastočim zaporedjem konvergence

· (Bolzano–Cauchyjev izrek). Funkcija, ki je zvezna na rezu in ki na svojih koncih sprejema vrednosti znaka za delitev, se pretvori v nič na trenutni notranji točki reza.

· (Osnova statičnega, prikazovalnega, logaritemskega in vsega trigonometrične funkcije v celotnem "naravnem" območju pomena). Na primer, če se izkaže, da je vse in celota res, potem je odločitev enakovredna. To nam omogoča, da ugotovimo pomen virusa za vse razumne ljudi:

Še enkrat, še enkrat, lahko kontinuiteto številske premice izračunamo za dovolj dolgo časa. Podobno se vikoryist in moč brez prekinitve pripelje do osnove števila ljudi.

V težavnem zgodovinskem obdobju so matematiki razvili izreke iz analize na »subtilnih mestih«, pri čemer so se osredotočali na geometrične temelje in jih pogosteje preskočili, tako da so bili fragmenti očitni. Najpomembnejši koncept kontinuitete vikorizma je bil promoviran brez jasne definicije. Šele v zadnji tretjini 19. stoletja je nemški matematik Karl Weierstrass razvil aritmetizacijsko analizo in razvil teorijo realnih števil kot neskončnih desetih ulomkov. Vzpostavili smo klasični pomen med mojimi, ko smo dokončali vrsto trditev, ki so bile prej spoštovane kot "očitne", in s tem dokončali temelje matematične analize.

Kasneje so bili uvedeni drugi pristopi, dokler ni bil določen datum začetka veljavnosti. V aksiomatskem pristopu je kontinuiteta realnih števil jasno vidna kot aksiom. V konstruktivnih pristopih k teoriji aktivnega števila, na primer v primeru dnevnih aktivnih števil, z uporabo Dedekindovih presekov se moč kontinuitete (v takšni ali drugačni formulaciji) vzame kot izrek.

Druge formulacije koncepta kontinuitete in enakovrednih trditev [ur. uredi wiki besedilo]

Obstaja več različnih trditev, ki izražajo moč kontinuitete operativnih številk. Ta načela lahko uporabimo kot osnovo za teorijo aktivnega števila kot aksioma kontinuitete, vse druge pa lahko izpeljemo iz nje. O prehranskem poročilu bomo razpravljali v naslednjem razdelku.

Kontinuiteta za Dedekinda[ur. uredi wiki besedilo]

Glavni članek:Teorija ponovnih rezov v sferi racionalnih števil

Dedekind razpravlja o kontinuiteti realnih števil v svojem delu "Kontinuiteta iracionalnih števil". Vsak ima enaka racionalna števila s točkami na premici. Očitno lahko med racionalnimi števili in točkami na ravni črti nastavite vrsto, če izberete na ravni črti cob točka in en vimir vidrezkiv. Za ostalo lahko uporabite ustrezen razdelek glede na vsako racionalno število in ga postavite na desno ali levo, odvisno od tega, katero število je pozitivno ali negativno, odštejte točko od ustreznega števila. Tako je vsako racionalno število označeno z eno ali več kot eno točko na ravni črti.

V tem primeru se zdi, da je na premici nesmiselna točka, ki ne ustreza istemu racionalnemu številu. Na primer, točka je označena s potjo, ki je razporejena vzdolž dolžine diagonale kvadrata, ustvarjenega v enem rezu. Tako območje racionalnih števil ne znova in znova, drugače brez prekinitve kot ravnilo ravne črte.

Da bi razumel, zakaj je to pomanjkanje kontinuitete, si mora Dedekind prizadevati za spoštovanje. Ker gre za eno točko premice, potem vse točke premice spadajo v dva razreda: točke, premaknjene levo, in točke, premaknjene desno. Sama točka je lahko precej napredovala v nižji ali v višji razred. Dedekind poudarja pomen kontinuitete v principu obračanja:

Geometrično je to načelo očitno, moramo si ga zamisliti. Dedekind poudarja, da je to načelo v bistvu postulat, ki izraža bistvo te neposredne moči, ki se pripisuje temu, čemur pravimo neprekinjenost.

Da bi bolje razumeli bistvo zveznosti številske premice v Dedekindovem smislu, si pobliže oglejmo brezosebnost realnih števil, tako da vsa realna števila razdelimo v dva neprazna razreda, tako da so vsa števila enega razreda ležijo na številih Njegova neposredna levičarstvo se razlikuje od vseh števil drugega. Ti razredi se imenujejo edinstveno nižjeі višji razredi perezruz. Teoretično obstajajo 4 možnosti:

1. Nižji razred ima največji element, zgornji razred nima minimalnega

2. Nižji razred nima največjega elementa, zgornji razred pa ima minimalni element

3. Nižji razred ima največ, zgornji pa minimalne elemente

4. Nižji razred nima maksimuma, zgornji razred pa minimalne elemente

Pri prvem in drugih vrstah je največji element spodnjega ali minimalni element zgornje podlage in vibrira ta rez. Na tretji stopnji lahko trak, in četrti - udarjen. Tako zveznost številske premice pomeni, da v brezosebnosti realnih števil ni nobenih grebenov, nobenih vrzeli, tako da v prenesenem pomenu ni praznega prostora.

Če uvedemo koncept rezanja množice realnih števil, potem lahko Dedekindov princip neprekinitve formuliramo na naslednji način.

Dedekindov princip kontinuitete (ponavljanje). Pri kožnem rezu je množica aktivnih števil glavno število, ki vibrira rez.

Spoštovanje. Dedekindov princip kontinuitete operacijskih števil.

Lema o vstavitvi rezov (Cauchy-Cantorjev princip)[ur. uredi wiki besedilo]

Glavni članek:Lema o vstavljanjih

Lema o vstavljanjih (Cauchy - Kantor). Pa naj gre za sistem vstavljanj

Ni praznega presledka, zato obstaja samo ena številka, ki mora biti dodeljena vsem razdelkom tega sistema.

Če je poleg tega skupno število rezov v tem sistemu nič, potem

potem je presek sistema sestavljen iz ene točke.

Ta moč se imenuje kontinuiteta brezosebnosti aktivnih števil v Sensi Cantor. Spodaj bo prikazano, da je za Arhimedovo urejenost polj Cantorjeva kontinuiteta enakovredna Dedekindovi kontinuiteti.

Načelo supremuma[ur. uredi wiki besedilo]

Načelo supremuma. Ne glede na to, ali ni prazno ali ne, obstaja supremum med zverjo in absolutnim številom aktivnih števil.

V tečajih matematične analize se ta predlog imenuje izrek in dokaz v bistvu vikoristične kontinuitete brezosebnosti realnih števil v eni ali drugi obliki. Obenem pa lahko nehote postuliramo obstoj supremuma v vsaki neprazni, zaprti zveri brezosebnosti in s tem prinesemo na primer načelo ne-prekinitve po Dedekindu. Tako je izrek supremuma eden od enakovredne formule moč kontinuitete operativnih števil.

Spoštovanje.

Namesto supremuma lahko uporabimo podrejeno razumevanje infimuma. Načelo infimuma.

Če ni prazno, je lahko spodnji del števila aktivnih številk.

Ta predlog je enakovreden tudi Dedekindovemu načelu kontinuitete. Poleg tega se lahko pokaže, da iz potrditve izreka o supremumu neposredno sledi potrditev izreka o infimumu (div. spodaj).[ur. uredi wiki besedilo]

Glavni članek:Lema o Kintseve Pokrittya (Heine–Borel princip)

Heine-Borelova lema Lema o kintsevo krittya

(Heine - Borel). Vsak sistem intervalov, ki pokriva segment, ima končni podsistem, ki pokriva celoten segment.[ur. uredi wiki besedilo]

Glavni članek:Lema o mejni točki (Bolzano-Weierstrassov princip)

Bolzano - Weierstrassov izrek Lema o mejni točki

(Bolzano - Weierstrass). Ne glede na to, kako neskončno omejena je lahko številčna mnogoterost, obstaja ena mejna točka.

Cenimo dejanja bodočega spoštovanja. Na podlagi aksiomatskega pomena realnega števila množica realnih števil zadošča trem skupinam aksiomov. Prva skupina – aksiomi področja. Drugo skupino določa dejstvo, da je množica realnih števil linearno urejena množina, relativni vrstni red pa je skladen z osnovnimi operacijami polja. Tako vsaka druga skupina aksiomov pomeni, da je zbirka realnih števil urejeno polje. Tretjo skupino aksiomov sestavlja en aksiom - aksiom kontinuitete (oz. ponavljanja).

Da pokažemo enakovrednost različnih formulacij kontinuitete realnih števil, moramo pokazati, da je urejeno polje eden od teh predlogov, iz katerega izhaja pravičnost odločitve.

Izrek. Kar naprej - množica je precej linearno urejena. Predujmi so enakovredni:

1. Ne glede na to, kakšne so neprazne mnogoterosti in takšne, da se za katera koli dva elementa in neenakost konča, obstaja tak element, ki za vse in obstaja prostor za razmerje

2. Za kakršen koli rez je bistven element, ki ta rez vibrira

3. Ne glede na to, ali je neprazno obkroženo z zverjo, je neosebno lahko vrhovno

4. Ali je neprazen prostor na dnu obdan z infimumom

Kot je razvidno iz tega izreka, ti predlogi uporabljajo le tiste, ki so uvedeni v linearni red, in ne uporabljajo strukture polja. Na ta način koža njih izraža moč kot linearno urejeno mnogoterost. Ta moč (dokaj linearno urejenih mnogoterosti, ne nujno brezosebnost efektivnih števil) se imenuje brez prekinitve ali ponavljanja po Dedekindu.

Dokaz enakovrednosti drugih predlogov bo prav tako zahteval strukturo polja.

Izrek. Pusti - polje je urejeno. Trenutni predlogi so enakovredni:

1. (kot linearno urejeno neosebno) še vedno sledi Dedekindu

2. Slediti Arhimedovemu principuі princip vstavljanja

3. Slediti načelu Heine-Borel

4. Slediti principu Bolzano - Weierstrass

Spoštovanje. Kot je očitno iz izreka, je načelo vstavljanja samoumevno ni enako

Dedekindov princip kontinuitete. Na podlagi Dedekindovega načela kontinuitete sledi načelu ugnezdenih odsekov, da je treba postopek za vrnitev dodatno pritisniti, tako da urejeno polje zadosti Arhimedovim aksiomom;

· Dokaz teh izrekov lahko najdete v spodaj navedenih knjigah in referencah. Kudrjavcev, L.D.

· Tečaj matematične analize. - 5 vrst. – M.: “Drofa”, 2003. – T. 1. – 704 str. - ISBN 5-7107-4119-1. Fikhtengolts, G. M.

· Dedekind, R. Zveznost in iracionalna števila = Stetigkeit und irrationale Zahlen. - 4. vipravlene vidannya. – Odessa: Mathesis, 1923. – 44 str.

· Zorič, V. A. Matematična analiza. I. del – Pogled. 4., vipr. - M.: "MCNMO", 2002. - 657 str. - ISBN 5-94057-056-9.

· Neprekinljivost funkcij in numeričnih območij: B. Bolzano, L. O. Koschi, R. Dedekind, G. Kantor. - 3 vrste. – Novosibirsk: ANT, 2005. – 64 str.

4.5. Aksiom kontinuitete

Kakšni bi bili dve neprazni množici? aktivne številke A i

B , ki imajo za poljubna elementa a ∈ A in b ∈ B neenakomernost

a ≤ b obstaja število λ tako, da za vse a ∈ A, b ∈ B ni mesta

ljubosumje a ≤ λ ≤ b .

Moč kontinuitete operativnih številk pomeni, da v reki

vendar ravna črta nima "prazne", zato so točke, ki predstavljajo števila, zapolnjene

ves govor vse.

Tukaj je še ena formulacija aksioma kontinuitete. Za koga predstavljamo

Vrednost 1.4.5. Dva množitelja A in B imenujemo mrežnica

množice realnih števil, kot npr

1) števili A in B nista prazni;

2) združeni množici A in B seštejeta odsotnost vseh besed -

njihove številke;

3) število množitelja A manjše število pomnoži B.

To je mnogoterost kože, ki jo mrežnica ustvarja, rad bi se maščeval sam

element, ki ga ni mogoče množiti zagalnyh elementovі, ker a ∈ A in b ∈ B, potem

Blaženi A se imenuje nižji razred, blaženi B pa višji razred.

Odrezal ga bom v razredu. Označite prečko skozi A B.

Največji oprosti riti ponovno rezanje in ponovno rezanje, trganje

z velikim rangom. Vzemimo število α in ga postavimo

A = ( x x< α } , B = { x x ≥ α } . Легко видеть, что эти множества не пусты, не пере-

trčijo, če a ∈ A in b ∈ B, potem a< b , поэтому множества A и B образуют

perez. Podobno lahko naredite rez v množicah

A = (x x ≤ α), B = (x x > α).

Takšni rezi se imenujejo rezi, ki jih generira število α oz

Rekli bomo, da je za ta rez odgovorno število α. To lahko zapišemo kot

Perezis, ustvarjen s katero koli številko, se obetata dve roži

organi:

Moč 1. Ali pa se bo višji razred maščeval najmanjšemu številu in v spodnjem

razred nima največjega števila, spodnji razred pa vsebuje največje število

No, višji razred nima nič z najmanjšimi.

Moč 2. Število, ki vibrira ta rez, je ena.

Izkazalo se je, da je aksiom kontinuitete oblikovan na podoben način

Vrstica izreka, ki se imenuje Dedekindov princip:

Dedekindov princip. Za kožni rez obstaja osnovna številka, ki povzroči

tse retin.

Dokažimo enakovrednost teh trditev.

Naj velja aksiom kontinuitete in to je dano

chenna A B. Zato fragmenti razreda A in B zadovoljujejo ume, oblikujejo

v aksiomu je osnovno število λ takšno, da velja a ≤ λ ≤ b za poljubna števila

a ∈ A in b ∈ B. Vsako število λ lahko pripada eni ali več kot ena

razreda A ali B, potem bo dodeljena ena od neenakosti a ≤ λ< b или

a< λ ≤ b . Таким образом, число λ либо является наибольшим в нижнем классе,

in za tiste, ki so najeti iz višjega razreda, bo to povzročilo ta presežek.

Nazaj, ne pozabite na Dedekindov princip in nalogi sta dve neprazni

množitelja A in B tako, da za vse a ∈ A in b ∈ B velja neenakost

a ≤ b. Signifikantno skozi B neosebna števila, taka da je a ≤ b za poljubno

b ∈ B in vsi a ∈ A . Todi B ⊂ B . Za neosebni A sprejemamo neosebne usich chi-

Prosimo, ne vstopajte do B.

Dokažimo, da množitelja A in B tvorita presečišče.

V resnici je očitno, da faktor B ni prazen, drobce je treba maščevati

neprazen množek B . Bezlích A ni prazen, ker je število a ∈ A,

potem število a − 1∉ B, ne glede na število, ki je pred B, ne sme biti nič manjše

števila a , potem a − 1∈ A .

brez poljubnega števila aktivnih števil z izbiro množic.

I, ugotovim, da če je a ∈ A in b ∈ B, potem a b. Resnično, kot je

število c je zadovoljno z negotovostjo c > b , kjer je b ∈ B , potem bomo prepričani, da ne

enakost c > a (a je dodatni element množitelja A) in c ∈ B.

Tudi A in B ustvarjata rez, ki je po Dedekindovem principu čist

lo λ, ki generira ta rez, potem je najvišji razred

Poglejmo, da ta številka ne more pripadati razredu A. Ukrepljivo

Če je λ ∈ A, potem obstaja število a* ∈ A tako, da je λ< a* . Тогда существует

število a′, ki leži med številoma λ in a*. Z nervozo a′< a* следует, что

a′ ∈ A tedaj zaradi neenakosti λ< a′ следует, что λ не является наибольшим в

razreda A, kar je v skladu z Dedekindovim načelom. No, število λ je

otroci so najmlajši v razredu B in vsi a ∈ A in obstaja neenakost

a ≤ λ ≤ b , kar je bilo potrebno doseči.◄

Na ta način je moč formulirana v aksiomu, da moč,

oblikovan po Dedekindovem enakovrednem principu. Nadal ci

moč neosebnosti govornih števil imenujemo neprekinjena

za Dedekinda.

Iz kontinuitete brezosebnosti operativnih številk izhaja Dedekind

dva pomembna izreka.

Izrek 1.4.3. (Arhimedov princip) Če ne bi bilo govornega števila

a, obstaja naravno število n tako, da je a< n .

Predpostavimo, da je trditev izreka napačna, potem postane jasno, da

število b0, kar je enako neenakosti n ≤ b0 za vsa naravna števila

n. Nefunkcionalna števila delimo v dva razreda: do razreda B je vključen

vsa števila b, ki za poljubno naravno število n izpolnjujejo neenakomernost n ≤ b.

Ta razred ni prazen, zato mu je dodeljeno število b0. Vse je nadgrajeno v razred A

reshta številke. Ta razred ni prazen, pa naj bo naravno število

vnesite pred A. Razreda A in B se ne spremenita in postaneta enaka

množica vseh realnih števil.

Če vzamete več števil a ∈ A in b ∈ B, ga boste našli naravno

tudi število n0 je a< n0 ≤ b , откуда следует, что a < b . Следовательно, классы

A in B zadoščata Dedekindovemu principu in osnovno število α je

bo povzročila prečko A B, potem je bodisi največja v razredu A, kar je

za zaposlene iz razreda B. Če predpostavimo, da α vstopi v razred A, potem

je mogoče bolj naravno spoznati n1, za katerega je določena neenakost α< n1 .

Ker je n1 mogoče vključiti v A, potem število ne bo največje v svojem razredu,

No, naše dovoljenje je nezvestim in najmanjšim

razred B.

Po drugi strani pa vzamemo število α - 1, da vstopimo v razred A. Slidov-

Torej obstaja naravno število n2 tako, da je α − 1< n2 , откуда получим

α < n2 + 1 . Так как n2 + 1 - натуральное число, то из последнего неравенства

sledi, da je α ∈ A. Otrimane je poskušal dokazati izrek.

Preiskava. Kakšni bi bili števili a in b, tako da je 0< a < b , существует

naravno število n, za katero je določena neenakost na> b.

Da bi to dokazali, je dovolj navesti Arhimedov princip

in jih hitro preplavi moč nemira.

Preiskava je preprosta geometrijsko območje: Želim si, da bi bila dva

odsek, kot pri večini njih, z enega od njegovih koncev je zaporedno

postavite manjšega, nato pa lahko za končno število krokov presežete meje

velik udarec.

Primer 1. Pokažite, da za poljubno neznano število velja a

To je ena neznana govorna številka

t n = a, n ∈ , n ≥ 2 .

Ta izrek govori o odkritju aritmetičnega korena n-te stopnje

iz neznanega števila v šolskem tečaju algebre je sprejet brez dokazila.

stva.

☺Če je a = 0, potem je x = 0, to dokažemo z aritmetiko

Za a > 0 je potreben en koren števila a manj.

Sprejemljivo je, da je a > 0 in je množica vseh realnih števil

za dva razreda. Vsa pozitivna števila x so vključena v razred B, kot smo zadovoljni

ustvari neravnine x n > a , razred A , reshta.

Po Arhimedovem aksiomu obstajata takšni naravni števili k in m, da

< a < k . Тогда k 2 ≥ k >a ta 2 ≤< a , т.е. оба класса непусты, причем класс

Maščevanje pozitivnih števil.

Očitno je A ∪ B = in če x1 ∈ A in x2 ∈ B, potem x1< x2 .

Na ta način naredita rez razreda A in B. Število, ki ga rešim

perez, pomenljivo prek t. Kakorkoli največje število pri razredu

ce A, ali najeti iz razreda B.

Predpostavimo, da je t ∈ A i t n< a . Возьмем число h , удовлетворяющее нера-

suverenost 0< h < 1 . Тогда

(t + h)n = t n + Cnt n−1h + Cn t n−2h2 + ... + Cnn hn< t n + Cnt n−1h + Cn t n−2h + ... + Cn h =

T n + h (Cnt n−1 + Cn t n−2 + ... + Cn + Cn t n) − hCn t n = t n + h (t + 1) − ht n =

T n + h (t + 1) − t n

To je odstranjeno (t + h)< a . Это означает,

Zvidsi, kako jemati h<

da t + h ∈ A, kar pomeni, da je t največji element razreda A.

Podobno, če predpostavimo, da t - najmanjši element razred B,

nato pa vzamemo število h, ki izpolnjuje neenakost 0< h < 1 и h < ,

reducibilno (t − h) = t n − Cnt n−1h + Cn t n−2 h 2 − ... + (−1) Cn h n >

> t n − Cnt n−1h + Cn t n−2h + ... + Cn h = t n − h (t + 1) − t n > a .

To pomeni, da t − h ∈ B in t ne more biti najmanjši element

razred B. Otje, t n = a.

Enotnost izhaja iz dejstva, da t1< t2 , то t1n < t2 .☻ n

Primer 2. Prinesite, kaj pomeni a< b , то всегда найдется рациональное число r

torej kaj a< r < b .

☺Ker sta števili a in b racionalni, je število racionalno in zadovoljivo

služi potrebnim umom. Sprejemljivo je, da želite eno od številk a ali b

Iracionalno je, na primer, sprejemljivo je, da je število b iracionalno. Verjetno

pritisnite tudi, tako da je a ≥ 0 in nato b > 0. V obrazec zapišimo števili a in b

deseti ulomki: a = α 0,α1α 2α 3.... in b = β 0, β1β 2 β3..., kjer je drugi ulomek neskončen

pogosto in neperiodično. Dokler je manifestacija števila a dvomljiva, bomo upoštevali

Če je število a racionalno, potem to zapiše Kintsev ali ce-

Periodični drip, katerega obdobje ne presega 9.

Če je b > a, potem je β 0 ≥ 0; če je β 0 = α 0, potem je β1 ≥ α1; če je β1 = α1, potem je β 2 ≥ α 2

i itd., in tam bo taka vrednost i, za katero se bo prva pojavila

prišlo bo do povečanja negotovosti βi > αi. Potem bo število β 0, β1β 2 ...βi racionalno

njih in bo ležalo med številoma a in b.

Yakshcho a< 0 , то приведенное рассуждение надо применить к числам a + n и

b + n, kjer je n naravno število, tako da je n ≥ a. Spanje na takem zmenku

sledi Arhimedovim aksiomom. ☻

Vrednost 1.4.6. Navedite zaporedje odsekov numerične osi

([an; bn]), an< bn . Эту последовательность будем называть системой вло-

deljenja, saj za vsak n veljajo neenakosti an ≤ an+1 i

Za tak sistem vključitev

[a1; b1] ⊃ [a2; b2] ⊃ [a3; b3 ] ⊃ ... ⊃ [an; bn ] ⊃ ... ,

tako da se koža napredujočega reza nahaja spredaj.

Izrek 1.4.4. Za vsak sistem vstavljanja odsekov temelji na

Obstaja ena točka, kjer lahko vstopite v kožo iz teh kosov.

Vzemimo dva faktorja A = (an) in B = (bn). Smradi niso prazni in iz kakršnega koli razloga

n in m neenakomernost an< bm . Докажем это.

Če je n ≥ m, potem je an< bn ≤ bm . Если n < m , то an ≤ am < bm .

Tako sta razreda A in B zadovoljna z aksiomi kontinuitete in

Zato obstaja takšno število, da je an ≤ λ ≤ bn za vsak n. to

število pripada kateri koli osebi [an; bn ] .◄

Nato (izrek 2.1.8) bomo razjasnili ta izrek.

Princip, formuliran v izreku 1.4.4, se imenuje princip

Cantor, in neosebna stvar, ki ugaja temu umu, se imenuje ne-

Oddahnimo si od Cantorja.

Povedali so nam, da ker je bilo vse brez prekinitev urejeno po Dedi-

Lepo prosim, potem je v novi različici Arhimedov princip in vedno isti kot Cantor.

Lahko rečemo, da je mnogoterost urejena v katerem koli Wiconovem principu -

besedila Arhimeda in Cantorja, bo neprekinjeno za Dedekindom. Dokončano

Čigavo dejstvo bi se bilo treba maščevati, denimo, pri.

Arhimedov princip omogoča neposreden rez na kožo

To je edina pozitivna številka, ki razveseljuje ume:

1. Enaka števila predstavljajo enake odseke;

2. Rezišče AC ter reznici AB in BC označujeta števili a in

b, potem je odsek AC označen s številko a + b;

3. Vsak razdelek je označen s številko 1.

Število, ki ustreza kožni leziji in ustreza umu 1-3 na-

se imenuje dowzhna tega oddelka.

Cantorjevo načelo nam omogoča, da osvetlimo tisto, kar je potrebno za pozitivno kožo

Številke je mogoče najti z deljenjem, dozhna katerega koli prejšnjega števila. Na takšen način

med odsotnostjo pozitivnih aktivnih števil in odsotnostjo pozitivnih

kív, ki so nameščeni na kateri koli točki vzdolž ravne črte naloge b_k

Iz teh točk lahko vzpostavite medsebojno nedvoumen odnos.

Tako lahko vnesete datum dodeljene numerične osi in vnesete vrsto lokacije.

Preverjam z govornimi številkami in pikami na ravni črti. Za koga naj vzamemo deko-

No, pojdimo naravnost in na njej izberimo točko O, da lahko to ravnino razdelimo na dvoje

o meni. Ena od teh izmenjav je tako imenovana pozitivna, druga pa je prekomerna.

njega. Todi pravi, da so nas pripeljali direktno na to direktno linijo.

Vrednost 1.4.7. Številčno vse se imenuje ravno, v katerem

a) točko O, ki jo imenujemo storž razdalje ali storž koordinat;

b) neposredno;

c) del enega samega dowzhina.

Zdaj lahko številki kožnega govora a dodelimo točko M številki

vitya kar tako

a) številka 0 je bila označena z začetkom koordinat;

b) OM = a - Dovžinov rez od začetka koordinat do točke M se je povečal

modulno število;

c) če je a pozitiven, potem je točka vzeta na pozitivni menjavi i, es-

Če je bolj negativno, potem je negativno.

To pravilo vzpostavlja razmerje ena proti ena med

ni govornih števil in nobene točke na ravni črti.

Številsko premico (vse) bomo imenovali tudi govorna premica

Zvezda prikazuje tudi geometrijski premik modula čistosti fluora

la: modul števila je od izhodišča koordinat do točke

Kaj pomeni to število na številski osi?

Sedaj lahko podamo geometrično interpretacijo organov 6 in 7

govorni številčni modul. Če je število x pozitivno 3, sem zadovoljen -

kjer je potenca 6, zapolni vrzel (−C, C) in števila x, ki izpolnjujejo

potenca 7, ležijo na izmenjavah (−∞,C) ali (C, +∞) .

Bistveno še ena čudežna geometrijska moč govornega modula.

brez številke.

Modul razlike med dvema številoma je relativna razlika med točkama, ki ustrezata

podobno tem številkam na govorni osi.

bogate standardne številske množice.

Bezlích naravna števila;

Celih števil ni;

Odsotnost racionalnih števil;

Ni aktivnih številk;

Neosebno, očitno, celovito, racionalno in govori

realna neznana števila;

Bezlichnyh kompleksna števila.

Poleg tega je večkratnost realnih števil označena kot (−∞, +∞).

Podvečkratniki teh množiteljev:

(a, b) = (x | x ∈ R, a< x < b} - интервал;

[a, b] = (x | x ∈ R, a ≤ x ≤ b) - rez;

(a, b] = (x | x ∈ R, a< x ≤ b} или [ a, b) = { x | x ∈ R, a ≤ x < b} - полуинтерва-

ali ne;

(a, +∞) = (x | x ∈ R, a< x} или (−∞, b) = { x | x ∈ R, x < b} - открытые лучи;

[ a, +∞) = ( x | x ∈ R, a ≤ x) ali (−∞, b] = ( x | x ∈ R, x ≤ b) so zaprte borze.

Priznajmo si, včasih bomo potrebovali vrzeli, ki nam bodo vseeno,

ležijo na koncu tega intervala. Takšna vrzel bo

pomeni a, b.

§ 5 Medsebojna povezanost številskih mnogoterosti

Vrednost 1.5.1. Številčno večkratnost X imenujemo interdigitirana

zver, saj je osnovno število M takšno, da je x ≤ M za kateri koli element x 3

pomnoži X.

Vrednost 1.5.2. Številčno večkratnost X imenujemo interdigitirana

spodaj, saj je tudi osnovno število m takšno, da je x ≥ m za kateri koli element x 3

pomnoži X.

Vrednost 1.5.3. Številčna množina X se imenuje interdigitirana,

kjer je zver, ki jo obkroža spodaj.

Simbolični zapis izgleda takole

množica X je omejena z mejo, saj ∃M ∀x ∈ X: x ≤ M,

obrobljeno spodaj, ker ∃m ∀x ∈ X: x ≥ m in

med seboj povezani, saj ∃m, M ∀x ∈ X: m ≤ x ≤ M .

Izrek 1.5.1. Številčna množina X je omejena na samo in samo todi,

če je osnovno število C takšno, da za vse elemente x iz tega bogatega

Kakovost določa neravnina x ≤ C.

Gremo bezlich X obezhena. Postavite C = max (m, M) - poiščite

več števil m in M. Todi, vikorist in moč govornega modula

števila, izločimo neenakost x ≤ M ≤ M ≤ C i x ≥ m ≥ − m ≥ −C , predznaki so naslednji -

e, torej x ≤ C .

Nazaj, če je neenakost x ≤ C, potem −C ≤ x ≤ C. To je isto

buє, saj sta ploščini M = C in m = −C .◄

Število M, ki ločuje množitelj X od zveri, se imenuje zgornji

kordon pomnožiti. Če je M zgornja meja množitelja X, potem

število M ′, ki je večje od M, bo tudi zgornja meja množitelja.

Na ta način lahko govorimo o brezosebnosti tistih na vrhu množice

X. Precej neosebne zgornje medsebojne povezave skozi M. Todi, ∀x ∈ X in ∀M ∈ M

neenakost x ≤ M, potem po aksiomu ni prekinitve

Res je, da je število M 0 takšno, da je x ≤ M 0 ≤ M . Ta številka se imenuje točno

nova zgornja meja številskega množitelja X ali zgornja meja njegovega

množitelj ali supremum množitelja X i označimo z M 0 = sup X .

Na ta način smo prišli do zaključka, da številčna množina ni prazna,

meje zveri, vedno natančna zgornja meja.

Očitno je ljubosumje M 0 = sup X enako dvema mislima:

1) ∀x ∈ X je neenakost x ≤ M 0 izenačena, torej. M 0 - zgornja meja bogato

2) ∀ε > 0 ∃xε ∈ X se neenakost xε > M 0 − ε konča. qiu gra-

Ničesar ni mogoče pobarvati (spremeniti).

Primer 1. Poglejmo množitelj X = ⎨1 − ⎬ . Dokažimo, da je sup X = 1.

☺ Resnici na ljubo, najprej neenakost 1 −< 1 выполняется для любого

n ∈; na drug način, če vzamemo bolj pozitivno število ε, potem z

Po Arhimedovem principu je mogoče spoznati naravno število nε, kot je nε>. to-

kjer bo torej določena negotovost 1 − > 1 − ε. Znani element xnε je bogat

lastnost X, največja spodnja meja 1 − ε, kar pomeni, da je 1 najmanjša zgornja meja

Podobno je mogoče trditi, da če je večkratnost označena spodaj, potem

obstaja ravno spodnja meja, ki se imenuje tudi spodnja meja

Po novem je infimum množice X i označen z inf X .

Ljubosumje m0 = inf X je enako umom:

1) ∀x ∈ X je določena neenakost x ≥ m0;

2) ∀ε > 0 ∃xε ∈ X tako da velja neenakost xε< m0 + ε .

Ker ima množitelj X največji element x0, se imenuje

največji element množitelja X in vrednost x0 = max X. Todi

sup X = x0. Podobno, saj je najmanjši element v bogatih, torej

imenovali ga bomo minimalni, kar pomeni min X in bo v-

Najvišja vrednost množitelja X.

Na primer, odsotnost naravnih števil ima najmanjši element –

ena, kot ena ura in neskončna množica. Nad-

Ta mati ni brez duše, ker ni priklenjena zver.

Vrednosti natančnih zgornjih in spodnjih intervalov se lahko razširijo

pomnožiti, ki ni med seboj povezan z zverjo, ali spodaj, na veliko, sup X = +∞ ali, ustrezno

V skladu s tem je inf X = −∞.

Končno lahko oblikujemo številne avtoritete višje in nižje ravni.

Power 1. Naj bo X - deyak je številčno neoseben. Bistveno skozi

− X je neoseben (− x | x ∈ X). Potem je sup(−X) = − inf X in inf(−X) = − sup X .

Avtoriteta 2. Nehay X - deyaka numerična večkratnost λ - govor

število.

Pomenljivo skozi λ X je neoseben (λ x | x ∈ X). Če je λ ≥ 0, potem< 0, то

sup (λ X) = λ sup X , inf (λ X) = λ inf X i, ker λ

sup (X) = inf X, inf (X) = sup X.

Potenca 3. Naj bosta X1 in X2 številska množitelja. Bistveno skozi

X1 + X 2 neosebno (x1 + x2 | x1 ∈ X 1, x2 ∈ X 2 ) in skozi X1 − X 2 neosebno

(x1 − x2 | x1 ∈ X1, x2 ∈ X 2) . Todi sup (X 1 + X 2) = sup X 1 + sup X 2

inf (X1 + X 2) = inf X1 + inf X 2, sup (X 1 - X 2) = sup X 1 - inf X 2 i

inf (X1 − X 2) = inf X1 − sup X 2 .

Oblast 4. Naj sta X1 in X 2 številska množitelja, katerih vsi elementi

Neznani so. Todi

sup (X1 X 2) = sup X1 ⋅ sup X 2, inf (X1 X 2) = inf X 1 ⋅ inf X 2.

Poglejmo, na primer, da so oblasti najprej ljubosumne 3.

x ≤ sup X1 + sup X 2 , zvezdice sup (X1 + X 2) ≤ sup X1 + sup X 2 .

Da bi napetost dvignili do vrha, vzemimo številko

l< sup X 1 + sup X 2 . Тогда можно найти элементы x1 ∈ X1 и x2 ∈ X 2 такие,

kaj x1< sup X1 и x2 < sup X 2 , и выполняется неравенство

l< x1 + x2 < sup X1 + sup X 2 . Это означает, что существует элемент

x = +x1 x2 ∈ X1+ X2, kar je večje od števila y i

sup X1 + sup X 2 = sup (X1 + X 2) .◄

Dokazi drugih organov se izvajajo na podoben način in so potrebni.

Bralci so zaskrbljeni.

§ 6 Rakhunkov in nezaceljene množice

Vrednost 1.6.1. Oglejmo si prvih n naravnih števil

n = (1,2,..., n) i deka pomnoži A. Kako lahko namestite medsebojno

obstaja nedvoumna korespondenca med A in n, potem se bo imenoval brezimni A

kintsevim.

Vrednost 1.6.2. Naj se da papalini A. ali je možno

vzpostaviti medsebojno nedvoumen odnos med obema

brez naravnih števil, potem brez osebnega A bomo imenovali rahunok-

Vrednost 1.6.3. Če je neosebni A, je primarno ali rakhunkovo, potem bomo

Verjemite, da ni več kot Nizh Rakhunkov.

Na ta način bo neosebno rahunkovo, saj se njegovi elementi lahko ro-

dajte videz doslednosti.

Primer 1. Bezlích guy numbers – zdravljenje, fragmenti slike n ↔ 2n

Med povsem naravnimi obstaja medsebojno nedvoumno ujemanje

številke in vse vrste številk.

Očitno je takšno doslednost mogoče vzpostaviti na več kot en način.

zom. Na primer, lahko nastavite vrsto med nevtralno in bogato

število (celih števil), ki določa veljavnost te metode

načrt:

1 Aksiom kontinuitete
2 Vloga aksioma kontinuitete v vsakdanji matematični analizi
3 Druge formulacije moči neprekinjene moči in enakovrednih predlogov
- 3.1 Kontinuiteta za Dedekinda
- 3.2 Lema o vstavitvi rezov (Cauchy-Cantorjev princip)
- 3.3 Načelo supremuma
- 3.4 Ta predlog je enakovreden tudi Dedekindovemu načelu kontinuitete. Poleg tega se lahko pokaže, da iz potrditve izreka o supremumu neposredno sledi potrditev izreka o infimumu (div. spodaj).
- 3.5 (Heine - Borel). Vsak sistem intervalov, ki pokriva segment, ima končni podsistem, ki pokriva celoten segment.
4 Ekvivalentnost je besedna zveza, ki izraža kontinuiteto in neosebnost realnih števil

Vnesite

Nezamenljivost operativnih številk-Moč sistema realnih števil, kar pa ne velja za racionalna števila. Včasih namesto o kontinuiteti govorimo o popolnost sistema aktivnih številk. Obstaja več različnih formulacij moči brez prekinitve, predvsem iz: Dedekindov princip kontinuitete operacijskih števil, Cauchyjevo – Cantorjevo načelo investicije, vrhovni izrek. Odvisno od sprejete vrednosti efektivnega števila se moč kontinuitete lahko postulira kot aksiom - vključno z drugimi formulacijami, ali pa kot izrek.

1. Aksiom kontinuitete

Ta predlog je morda najenostavnejši in najbolj neposreden način za dodajanje formulaciji kontinuitete realnih števil. Z aksiomatsko teorijo aktivnega števila so števila teles, ki so enakovredna eni, takoj vključena v število aksiomov aktivnega števila.

Geometrična ponazoritev aksioma kontinuitete

Aksiom kontinuitete (ponavljanje). Ne glede na neprazne množice in takšne, da za katera koli dva elementa obstaja neenakost, obstaja takšno število ξ, da za vse obstaja prostor za medsebojne odnose

Geometrično, če obravnavamo akcijska števila kot točke na premici, je formula očitna. Obstajata dva dejavnika Aі B tako, da na številski premici vsi elementi enega od njih ležijo nad vsemi elementi drugega, potem obstaja število ξ, več Faktorja sta dva, torej ležeči je desno od vseh elementov A(morda tudi sam ξ) in največ za vse elemente B(Ta isti stražar).

Pri tem je treba opozoriti, da se ne glede na »očitnost« podane moči ta za racionalna števila ne bo večno spreminjala. Na primer, poglejmo dva dejavnika:

Zlahka je razumeti, da za vse elemente obstaja razlika a < b. Vendar racionalnoštevilo ξ, ki ga deli na dva faktorja, ne obstaja. Pravzaprav je to število morda ravno to, vendar ni racionalno.

2. Vloga aksioma kontinuitete v vsakdanji matematični analizi

Pomen aksioma kontinuitete je tolikšen, da brez njega strogost matematične analize ni mogoča. Za ponazoritev predstavljamo številna temeljna načela analize, katerih dokaz se vrti okoli kontinuitete realnih števil:

Še enkrat, še enkrat, lahko zveznost številske premice določimo z vrednostjo premice a x samo zaradi tega. Podobno sta vikorist in moč brez prekinitve prinesena na osnovo dnevnika številk a b za tiste, ki so.

3. Druge formulacije vrednosti kontinuitete in enakovrednih trditev

3.1. Kontinuiteta za Dedekinda

Dedekind razpravlja o kontinuiteti realnih števil v svojem delu "Kontinuiteta iracionalnih števil". Vsak ima enaka racionalna števila s točkami na premici. Očitno lahko med racionalnimi števili in točkami na ravni črti vzpostavite razmerje, če izberete grobo točko in enoto števila rezov na ravni črti. Za dodatno pomoč si lahko pomagate z individualnim racionalnim številom a izberite naslednji razdelek in ga premaknite v desno ali levo, pri čemer si oglejte tiste, ki a pozitivno ali negativno število, odstranite piko str, podobno kot številka a. Na ta način je vsako racionalno število a kaže ena ali več točk str usmerjati

Da bi razumel, zakaj je to pomanjkanje kontinuitete, si mora Dedekind prizadevati za spoštovanje. Yakshcho strČe je na ravni črti ena sama točka, potem vse točke na ravni črti spadajo v dva razreda: levosučne točke str, točke pa se premaknejo v desno str. Bistvo same str lahko precej povzdignjen v nižji ali višji razred. Dedekind poudarja pomen kontinuitete v principu obračanja:

Da bi bolje razumeli bistvo zveznosti številske premice v Dedekindovem smislu, si oglejmo popolnost realnih števil, tako da vsa realna števila razdelimo v dva neprazna razreda, tako da so vsa števila enega razreda ležijo na številski neposredni levici od vseh števil drugega. Ti razredi se imenujejo edinstveno nižjeі višji razredi perezruz. Teoretično obstajajo 4 možnosti:

Nižji razred ima maksimum elementa, zgornji razred nima minimalca
Nižji razred nima največjega elementa, zgornji razred pa ima minimalni element
Nižji razred ima največ, višji pa minimalne elemente
Nižji razred nima maksimuma, višji pa minimalnih elementov

Če uvedemo koncept rezanja množice realnih števil, potem lahko Dedekindov princip neprekinitve formuliramo na naslednji način.

Dedekindov princip kontinuitete (ponavljanje). Pri kožnem rezu je množica aktivnih števil glavno število, ki vibrira rez.

Spoštovanje. Dedekindov princip kontinuitete operacijskih števil.

Formulacija aksioma kontinuitete o izvoru točke, ki ločuje dve mnogoterosti, spominja na formulacijo Dedekindovega načela kontinuitete. Pravzaprav so te izjave enakovredne in v bistvu različne formulacije iste stvari. Zato ga imenujemo trdnjava

Lema o vstavljanjih 3.2. Lema o vstavitvi rezov (Cauchy-Cantorjev princip) (Cauchy - Kantor).

Ni praznega presledka, zato obstaja samo ena številka, ki mora biti dodeljena vsem razdelkom tega sistema.

Če je poleg tega skupno število rezov v tem sistemu nič, potem

potem je presek sistema sestavljen iz ene točke.

Ta moč se imenuje kontinuiteta brezosebnosti aktivnih števil v Sensi Cantor Pa naj gre za sistem vstavljanj

. Spodaj bo prikazano, da je za urejanje Arhimedovih polj Cantorjeva kontinuiteta enakovredna Dedekindovi kontinuiteti.

3.3. Načelo supremuma Ne glede na to, ali ni prazno ali ne, obstaja supremum med zverjo in absolutnim številom aktivnih števil.

Načelo supremuma.

V tečajih matematične analize se ta predlog imenuje izrek in dokaz v bistvu vikoristične kontinuitete brezosebnosti realnih števil v eni ali drugi obliki. Obenem pa lahko nehote postuliramo obstoj supremuma v vsaki neprazni, zaprti zveri brezosebnosti in s tem prinesemo na primer načelo ne-prekinitve po Dedekindu. Tako je izrek o supremumu ena od enakovrednih formulacij moči kontinuitete operativnih števil.

Spoštovanje. Načelo infimuma.

Če ni prazno, je lahko spodnji del števila aktivnih številk.

Namesto supremuma lahko uporabimo podrejeno razumevanje infimuma.

Načelo infimuma. 3.4. Lema o Kintseve Pokrittya (Heine–Borel princip) Lema o kintsevo krittya

(Heine - Borel).

Vsak sistem intervalov, ki pokriva segment, ima končni podsistem, ki pokriva celoten segment. 3.5. Lema o mejni točki (Bolzano-Weierstrassov princip) Lema o mejni točki

(Bolzano - Weierstrass).

Da pokažemo enakovrednost različnih formulacij kontinuitete realnih števil, moramo pokazati, da je urejeno polje eden od teh predlogov, iz katerega izhaja pravičnost odločitve.

Ne glede na to, kako neskončno omejena je lahko številčna mnogoterost, obstaja ena mejna točka. Kar naprej - množica je precej linearno urejena. Predujmi so enakovredni:

Dokaz enakovrednosti drugih predlogov bo prav tako zahteval strukturo polja.

Ne glede na to, kako neskončno omejena je lahko številčna mnogoterost, obstaja ena mejna točka. Pusti - polje je urejeno. Trenutni predlogi so enakovredni:

4. Enakovrednost besed, ki izražajo kontinuiteto in neosebnost aktivnih števil Kot je očitno iz izreka, je načelo vstavljanja samoumevno ni enako

Izrek.

Zorič, V. A. Spoštovanje.
Kot je očitno iz izreka, je načelo vstavljanja samoumevno Tečaj matematične analize. - 5 vrst. – M.: “Drofa”, 2003. – T. 1. – 704 str. - ISBN 5-7107-4119-1.
Dokaz teh izrekov lahko najdete v spodaj navedenih knjigah in referencah. Opombe
Dokaz teh izrekov lahko najdete v spodaj navedenih knjigah in referencah. Tečaj matematične analize. - 5 vrst. – M.: “Drofa”, 2003. – T. 1. – Str. 84.
Zorič, V. A. Matematična analiza. I. del – Pogled. 4., vipr.. – M.: “MTsNMO”, 2002. – Str. 81.
Dedekind, R. Zveznost in iracionalna števila - www.mathesis.ru/book/dedekind4 = Stetigkeit und irrationale Zahlen. - 4. vipravlene vidannya. – Odessa: Mathesis, 1923. – 44 str.

Literatura

Dokaz teh izrekov lahko najdete v spodaj navedenih knjigah in referencah. Tečaj matematične analize. - 5 vrst. – M.: “Drofa”, 2003. – T. 1. – 704 str. - ISBN 5-7107-4119-1
Tečaj matematične analize. - 5 vrst. – M.: “Drofa”, 2003. – T. 1. – 704 str. - ISBN 5-7107-4119-1. Osnove matematične analize. - 7. pogled. – M.: “FIZMATLIT”, 2002. – T. 1. – 416 str. - ISBN 5-9221-0196-X
Dedekind, R. Zveznost in iracionalna števila - www.mathesis.ru/book/dedekind4 = Stetigkeit und irrationale Zahlen. - 4. vipravlene vidannya. – Odessa: Mathesis, 1923. – 44 str. , Turingova natančnost, variacija mnogoterosti, variacija mnogoterosti, Stopnja mnogoterosti.

Enciklopedični YouTube

1 / 5

✪ Aksiomatika operativnih števil

✪ Uvod. Referenčne številke | matan #001 | Boris Trushin +

✪ Načelo naložb | matan #003 | Boris Trushin!

✪ Načela kontinuitete | matan #004 | Boris Trushin!

✪ Aksiom kontinuitete. Cantorjevo načelo investicije

Podnaslov

Aksiom kontinuitete

Ta predlog je morda najenostavnejši in najbolj neposreden način za dodajanje formulaciji kontinuitete realnih števil. pri aksiomatska teorija akcijskega števila Glede na trditev, ki je temu enaka, je takoj vključena v število aksiomov realnega števila.

Aksiom kontinuitete (ponavljanje). A ⊂ R (\displaystyle A\subset \mathbb (R) )і B ⊂ R (\displaystyle B\subset \mathbb (R) ) in neenakosti je konec, je to efektivno število ξ (\displaystyle \xi ), kaj za vse a ∈ A (\displaystyle a\in A)і b ∈ B (\displaystyle b\in B) Morda kraj poroke

Geometrično, kako razlagati akcijska števila kot točke na ravni črti, ta izjava je očitna. Obstajata dva dejavnika A (\displaystyle A)і B (\displaystyle B) tako, da na številski premici vsi elementi enega od njih ležijo levo od vseh elementov drugega, potem obstaja število ξ (\displaystyle \xi ), več Faktorja sta dva, torej ležeči je desno od vseh elementov A (\displaystyle A)(smetana morda najbolj ξ (\displaystyle \xi )) in več za vse elemente B (\displaystyle B)(Ta isti stražar).

Pri tem je pomembno opozoriti, da jim ni mar za »očitnost« dane moči, oz. racionalna števila nikoli več ne bo boja. Na primer, poglejmo dva dejavnika:

A = ( x ∈ Q: x > 0 x 2< 2 } , B = { x ∈ Q: x >0 , x 2 > 2 ) (\displaystyle A = \ (x \in \mathbb (Q) : x> 0, \;<2\},\quad B=\{x\in \mathbb {Q} :x>0,\;x^(2)>2\))

Enostavno ustvarjanje za vse elemente a ∈ A (\displaystyle a\in A)і b ∈ B (\displaystyle b\in B) nelagodje se konča a< b {\displaystyle a. Vendar racionalnoštevilke ξ (\displaystyle \xi ), ki deli dva faktorja, ni pomembno. Dejansko je ta številka lahko manjša 2 (\displaystyle (\sqrt (2))), ale wono ni є racionalno.

Vloga aksioma kontinuitete v vsakdanji matematični analizi

Pomen aksioma kontinuitete je tolikšen, da je brez njega izvedba matematične analize nemogoča. Za ponazoritev predstavljamo številna temeljna načela analize, katerih dokaz se vrti okoli kontinuitete realnih števil:

(Weierstrassov izrek). Ne glede na to, ali je obdan z monotono rastočim zaporedjem konvergence
(Bolzano-Cauchyjev izrek). Funkcija, ki je zvezna na rezu in ki na svojih koncih sprejema vrednosti znaka za delitev, se pretvori v nič na trenutni notranji točki reza.
(Isnuvanya statična , razmetljivo , logaritemski in vsi trigonometrične funkcije v celotnem "naravnem" območju pomena). Na primer, izkazalo se je, da za kožo a > 0 (\displaystyle a>0) in celota n ⩾ 1 (\displaystyle n\geqslant 1) sanja a n (\displaystyle (\sqrt[(n)](a))), potem pade odločitev x n = a, x > 0 (\displaystyle x^(n)=a,x>0). To nam omogoča, da ugotovimo pomen virusa za vse racionalne x (\displaystyle x):

A m / n = (a n) m (\displaystyle a^(m/n)=\left((\sqrt[(n)](a))\desno)^(m))

Še enkrat, še enkrat, lahko zveznost številske premice določimo z vrednostjo premice a x (\displaystyle a^(x)) samo zaradi tega x ∈ R (\displaystyle x\in \mathbb (R) ). Podobno sta vikorist in moč brez prekinitve prinesena v temelj števila log a ⁡ b (\displaystyle \log _(a)(b)) za vsakogar a , b > 0 , a ≠ 1 (\displaystyle a,b>0,a\neq 1).

V zaskrbljujočem zgodovinskem obdobju so matematiki razvijali izreke iz analize, na »subtilnih mestih«, ki so se osredotočali na geometrične temelje, in jih pogosteje v celoti preskočili, medtem ko so ostali očitni. Najpomembnejše razumevanje kontinuiteta Uporabil se je brez jasnega pomena. V zadnji tretjini 19. stoletja je nemški matematik Karl Weierstrass Po opravljeni aritmetizacijski analizi sem razvil prvo teorijo realnih števil kot neštetih desetih ulomkov. Vín predstavljen na klasičen način meje moj ε − δ (\displaystyle \varepsilon -\delta ), doseganje nizke ravni, ki je prej veljala za "očitno", in s tem dokončanje temeljev matematične analize.

Kasneje so bili uvedeni drugi pristopi, dokler ni bil določen datum začetka veljavnosti. U aksiomatski pristop Kontinuiteta realnih števil je jasno razvidna iz strogega aksioma. Pri konstruktivnih pristopih k teoriji aktivnih števil, na primer z vsakodnevnimi aktivnimi števili za dodatno pomoč dedkovi dnevi, je moč kontinuitete (v kateri koli formulaciji) predstavljena kot izrek.

Druge formulacije moči neprekinjene moči in enakovrednih predlogov

Kontinuiteta za Dedekinda

Prehrana o kontinuiteti akcijskih številk Dedekind pogleda na njegovo delo »Kontinuiteta in Iracionalna števila" Njene žile so enake racionalna števila s pikami ravna črta. Očitno lahko namestimo med racionalnimi številkami in ravnimi črtami videz, če na ravni črti izberete konico storža in enega od vimirjev potaknjencev. Za dodatno pomoč si lahko pomagate z individualnim racionalnim številom a (\displaystyle a) izberite naslednji razdelek in ga premaknite v desno ali levo, pri čemer si oglejte tiste, ki a (\displaystyle a) pozitivno ali negativno število, odstranite piko p (\displaystyle p), podobno kot številka a (\displaystyle a). Na ta način je vsako racionalno število a (\displaystyle a) kaže ena ali več točk p (\displaystyle p) usmerjati

Da bi razumel, zakaj je to pomanjkanje kontinuitete, si mora Dedekind prizadevati za spoštovanje. Yakshcho p (\displaystyle p) je prva točka premice, potem vse točke premice padejo na dve razred: točke zasukane v levo p (\displaystyle p), točke pa se premaknejo v desno p (\displaystyle p). Bistvo same p (\displaystyle p) lahko precej povzdignjen v nižji ali višji razred. Dedekind poudarja pomen kontinuitete v principu obračanja:

Geometrično je to načelo očitno, moramo si ga zamisliti. Dedekind poudarja, da je v bistvu to načelo postulat, v katerem se izraža bistvo te neposredne moči, ki se pripisuje temu, čemur pravimo neprekinjenost.

Da bi bolje razumeli bistvo kontinuitete številske premice v smislu Dedekinda, si poglejmo pobliže prerezati odsotnosti aktivnih števil, nato vsa aktivna števila razdelimo v dva neprazna razreda, tako da vsa števila enega razreda ležijo na numerični premici vseh števil drugega. Ti razredi se imenujejo edinstveno nižjeі višji razredi perezruz. Teoretično obstajajo 4 možnosti:

Nižji razred ima največji element višji razred nima št minimalno
Nižji razred nima največjega elementa, zgornji razred pa ima minimalni element
Nižji razred ima največ, višji pa minimalne elemente
Nižji razred nima maksimuma, višji pa minimalnih elementov

Če ni prazno, je lahko spodnji del števila aktivnih številk.

Ta predlog je enakovreden tudi Dedekindovemu načelu kontinuitete. Poleg tega se lahko pokaže, da iz potrditve izreka o supremumu neposredno sledi potrditev izreka o infimumu (div. spodaj).

Načelo infimuma. (Heine - Borel). Lema o kintsevo krittya

(Heine - Borel). Vsak sistem intervalov, ki pokriva segment, ima končni podsistem, ki pokriva celoten segment.

Vsak sistem intervalov, ki pokriva segment, ima končni podsistem, ki pokriva celoten segment. (Bolzano - Weierstrass). Lema o mejni točki. Druga skupina ugotavlja, da je celota realnih števil , vrstni red relacije pa je skladen z osnovnimi operacijami polja. Na ta način vsaka druga skupina aksiomov pomeni, da je celota realnih števil teren je urejen. Tretjo skupino aksiomov sestavlja en aksiom - aksiom kontinuitete (oz. ponavljanja).

Da pokažemo enakovrednost različnih formulacij kontinuitete realnih števil, moramo pokazati, da je urejeno polje eden od teh predlogov, iz katerega izhaja pravičnost odločitve.

Ne glede na to, kako neskončno omejena je lahko številčna mnogoterost, obstaja ena mejna točka. Pusti - več kot dovolj linearno urejena množica. Predujmi so enakovredni:

Kaj bi bile neprazne množice? B ⊂ R (\displaystyle B\subset (\mathsf(R))), torej za katera koli dva elementa a ∈ A (\displaystyle a\in A)і b ∈ B (\displaystyle b\in B) nelagodje se konča a ⩽ b (\displaystyle a\leqslant b) Obstaja tak element ξ ∈ R (\displaystyle \xi \in (\mathsf(R))), kaj za vse a ∈ A (\displaystyle a\in A)і b ∈ B (\displaystyle b\in B) Morda kraj poroke a ⩽ ξ ⩽ b (\displaystyle a\leqslant \xi \leqslant b)
Iz katerega koli razloga bom posegel R (\displaystyle (\mathsf(R))) To je element, ki vibrira ta rez
Ali je neprazen obkrožen z živaljo brez osebe A ⊂ R (\displaystyle A\subset (\mathsf(R))) Morda vrhovni
Ali je neprazen prostor spodaj obrobljen z neosebnim A ⊂ R (\displaystyle A\subset (\mathsf(R))) Maj infimum

Kot je razvidno iz tega izreka, tudi tisti, ki so na R (\displaystyle (\mathsf(R))) uvedel odnos do linearnega reda in ne popačil strukture polja. Na tak način njihova koža izraža avtoriteto R (\displaystyle (\mathsf(R))) kot linearno urejena množica. Ta moč (dokaj linearno urejenih mnogoterosti, ne nujno brezosebnost efektivnih števil) se imenuje brez prekinitve ali ponavljanja po Dedekindu.

Dokaz enakovrednosti drugih predlogov bo prav tako zahteval strukturo polja.

Ne glede na to, kako neskončno omejena je lahko številčna mnogoterost, obstaja ena mejna točka. Pojdimo R (\displaystyle (\mathsf(R)))- Teren je bolj urejen. Trenutni predlogi so enakovredni:

4. Enakovrednost besed, ki izražajo kontinuiteto in neosebnost aktivnih števil Kot je očitno iz izreka, je načelo vstavljanja samoumevno Dedekindov princip kontinuitete. Na podlagi Dedekindovega principa kontinuitete sledi princip ugnezdenih odsekov, tako da je za vrnitev potrebno dodatno pritisniti, da se polje uredi.

Matematične teorije se praviloma izognejo dejstvu, da dovoljujejo pretvorbo enega niza števil (izhodnih podatkov) v drug niz števil, da bi ustvarili vmesne ali rezidualne izračune. Zato zavzemajo v matematiki in njenih prilogah posebno mesto numerične funkcije. Te (natančneje, imenovane diferencirane numerične funkcije) postanejo glavni predmet raziskovanja v klasični analizi. Ali pa z vidika sodobne matematike nov opis moči teh funkcij, kot ste se morda že učili v šoli in se boste kmalu spopadli, brez tega ni mogoče natančna oznaka množice realnih števil, na katerih delujejo funkcije.

Število pri matematiki je, tako kot ura pri fiziki, pisano na kožo, fahovcem pa ni jasno. To je ena glavnih matematičnih abstrakcij, ki jo morda še vedno spremlja pravi razvoj in razkritja o tem, kako se lahko sprožijo samozadostni tečaji. Tukaj lahko spoštljivo obvestimo le tiste, ki so bralec v glavnem seznanjeni z akcijskimi številkami Srednja šola, Ko sem videl aksiome temeljne in neodvisne moči števil. V tem primeru je naša meta v tem, da smo natančnejši, natančneje za kasneje math wiki vrednost realnih števil in posveča posebno spoštovanje njihovi moči ponavljanja, in to brez prekinitev, kar je zametek mejnega prehoda – glavne nearitmetične operacije analize.

§ 1. Aksiomatika in dejanja skritih moči množice aktivnih števil

1. Vrednosti množine realnih števil

Pomen 1. Neosebni E imenujemo neosebna aktivna (govorna) števila, saj so elementi aktivni (govorni)

števil, saj je bil identificiran naslednji kompleks umov, nazivov in aksiomatike operativnih števil:

(I) Zlaganje aksioma

Določena slika (operacija dodajanja)

nastavi vrstni red preobleke parov elementov z aktivnim elementom E, poimenuje vsoto x in y. V tem primeru razmišljajte takole:

Obstaja nevtralni element 0 (včasih se uvrsti z ničlo), tako da za kateri koli

Za kateri koli element ê element so naslovi protiležni tako, da

Operacija 4 je asociativna, torej za vse elemente z viconano

Operacija 4 je komutativna, torej za vse elemente z E viconano

Ker je operacija dodeljena vsaki neosebnosti, ki zadovoljuje aksiome, se zdi, da struktura skupine ali skupine ni podana. Če se operacija imenuje aditivna, potem se skupina imenuje aditivna. Ker je poleg tega jasno, da je operacija komutativna, potem mislim, da se skupina imenuje komutativna ali Abelova. No, aksioma je, da je aditivna Abelova skupina.

(II) Aksiomi množenja

Določena slika (operacija množenja)

ustvari vrstni red preobleke parov elementov z aktivnim elementom E, ki se imenuje ustvarjanje x in y, in tako, da so mnenja:

1. Obstaja nevtralni element, pomnožen z ena), tako da

2. Za vsak element obstaja element naslova, tako da

3. Operacija je asociativna, pa naj bo

4. Operacija je komutativna, tako da za vse

S spoštovanjem, sto odstotkov operacij množenja brez obravnave lahko preverimo z (množilno) skupino.

(I, II) Zvok se dodaja in množi

Distributivno množenje sto odstotkov, dokler se ne doda, potem.

Pomembno je, da se zaradi komutativne narave mnogoterosti lahko ohrani preostala enakost, če se spremeni vrstni red mnogoterosti v obeh delih.

Ker obstajata dve operaciji, ki izpolnjujeta vse preglasene aksiome, se imenuje algebraično polje ali preprosto polje.

(III) Aksiomi po naročilu

Med elementi E obstaja razmerje, tako da se za elemente z E ugotovi, da so med seboj enaki. Po čigavi krivdi bodo takšni umi zadovoljni:

Nastavitev imenujemo nastavitev neenakosti.

Ne glede na to, med določenimi elementi obstaja razmerje, ki zadovoljuje aksiome 0, 1, 2, kot vemo, imenujemo pogosto urejeno, poleg tega pa z aksiomom 3 lahko katera koli dva elementa pomnožimo in izenačimo, potem se množica imenuje linearna naročeno.

Na ta način je število aktivnih števil linearno urejeno z umestitvijo neenakosti med njegove elemente.

(I, III) Povezava je dodana naročilu v R

Če je x element R, potem

(II, III) Povezava je pomnožena po vrsti v R

Če je element R, potem

(IV) Aksiom ponavljanja (neprekinitev)

Ker X in Y nista prazni podmnožici E, saj avtoritetama namigujeta, da je iz katerega koli elementa mogoče sklepati, da iz katerega koli elementa.

To dopolnjuje seznam aksiomov, katerih definicija nam omogoča, da upoštevamo specifično izvedbo ali, navidezno, model realnih števil.

Ta vrednost formalno ne posreduje nobenih naprednih informacij o številih in iz tega, "vključujoč matematično misel", spet, formalno, smo krivi za zavrnitev izrekov o drugih potencah realnih števil. S tem aksiomatskim formalizmom bi si rad prislužil nekaj neformalnega spoštovanja.

Zavedajte se, da še niste prešli stopnje od seštevanja jabolk, kock in drugih poimenovanih količin do seštevanja abstraktnih naravnih števil; da niste študirali sveta delitev in niste prišli do racionalnih števil; Kaj ne veste o velikem izreku starih časov o tistih, da je diagonala kvadrata neenakomerna s stranico in zato isti dan ne more biti racionalno število, torej zahtevana iracionalna števila; Da nimate koncepta »več«, ki nastane v procesu izumiranja, da ne ponazarjate reda, na primer vrstnega reda številske premice. Kot da se ni nič zgodilo prej, potem pretirana reakcija nabora aksiomov ne bi bila dojeta le kot končni rezultat duhovnega razvoja, ampak bi se prej zdela najmanj čudovit in najbolj zadovoljujoč plod fantazije.

Ne glede na kateri koli abstraktni sistem aksiomov se takoj pojavita dve načeli.

Prvič, ne glede na aksiome, obstaja jasna resnica, ki zadovolji vse preveč zaščitene ume. Ta članek govori o ne-supernosti aksiomatike.

Drugače pa, če dani sistem aksiomov nedvoumno označuje matematični objekt, potem je, kot bi rekli logiki, kategorični sistem aksiomov.

Edinstvenost tukaj je treba razumeti na ta način. Ker sta posameznika A in B torej njuna modela, na primer numeričnih sistemov, zadovoljna z aksiomi, je možno vzpostaviti bijektivno razmerje med množitelji, brez varčevanja z aritmetičnimi operacijami in relativnim vrstnim redom ku, tobto.

Z matematičnega vidika gre v tem primeru za zelo različne (povsem enake) izvedbe (modele) realnih števil (na primer neskončnih) desetine ulomkov, a - točke na številski premici). Take realizacije imenujemo izomorfne, reprezentacije pa izomorfizem. Rezultati matematične dejavnosti se torej ne prenesejo na posamezno izvedbo, temveč na kožni model razreda izomorfnih modelov dane aksiomatike.

Tukaj ne razpravljamo o preskrbi s hrano in izmenjujemo le informativne odgovore nanje.

Pozitiven odziv na prehrano o nepovršnosti aksiomatike vedno dobi miselni značaj. Kar se tiče števil, je videti takole: na podlagi aksiomatike teorije mnogoterosti, ki smo jo sprejeli (Div. poglavje I, § 4, str. 2), lahko identificiramo naravne, nato racionalne in, končno nevtralna Realna števila, ki zadovolji vse organe zdravljenja.