Абсолютна переносна та відносна швидкості приклади. Переносний рух. Закон складання швидкостей

Складний рух точки

Про рух тіла судять за рухом кожної його точки. Раніше ми розглядали рух точки в деякій системі координат, яка умовно бралася за нерухому. Однак на практиці доводиться вирішувати завдання, в яких відомо, як рухається точка щодо однієї системи координат і потрібно з'ясувати, як вона рухається щодо іншої системи координат, якщо відомо, як ці системи координат рухаються одна щодо одної. Щоб описувати рух точки, переходячи від однієї системи координат в іншу, необхідно встановити, як пов'язані між собою величини, що характеризують рух точки в цих системах. З цією метою одну систему координат приймають умовно за нерухому, а іншу за рухливу та вводять поняття абсолютного, відносного та переносного руху точки.

Абсолютний рух- Рух точки в нерухомій системі координат.

Відносний рух- Рух точки в рухомий системі координат.

Переносний рух- Рух рухомого простору щодо нерухомого.

Завдання, в яких задано переносний рух і потрібно знайти абсолютний рух, називаються завданнями складання рухів.

У ряді випадків доводиться вирішувати обернену задачу.

Раціональним вибором рухомий системи координат – часто вдається складний абсолютний рух точки звести до двох простих: відносного та переносного. Такі завдання називаються завданнями на розкладання рухів.

нерухомій системікоординат називають абсолютною швидкістюі абсолютним прискоренням.

Швидкість та прискорення точки по відношенню до рухомий системікоординат називають відносною швидкістюі відносним прискоренням.

Переносною швидкістюі переносним прискореннямрухомої точки називають абсолютну швидкість і абсолютне прискорення тієї точки рухомого простору, з якою в даний момент часу збігається точка, що рухається.

Всі отримані раніше результати для швидкості і прискорення повністю застосовні щодо відносного руху, бо за їх виведення ми не накладаємо жодних обмежень щодо вибору системи координат.

Закон складання швидкостей

Закон складання швидкостей визначає зв'язок між швидкостями точки М у нерухомій системі координат XYZі рухомий системі координат https://pandia.ru/text/78/244/images/image002_52.jpg"

- Закон складання швидкостей.

КІНЕМАТИКА АБСОЛЮТНО-ТВЕРДОГО ТІЛА

Перейдемо до розгляду руху абсолютно твердого тіла (АТТ). Тверде тіло складається з нескінченної кількості точок, проте, як буде показано пізніше, для опису руху АТТ немає необхідності задавати рух кожної його точки.

Незмінність відстані між точками твердого тілапризводить до залежності між швидкостями окремих точок. Ця залежність виражається наступною основною теоремою кінематики твердого тіла: проекції швидкостей двох будь-яких точок твердого тіла на відрізок, що їх з'єднує, рівні.

Для доказу розглянемо довільні точки А та В твердого тіла.

Положення точок А і В в просторі задамо радіусами-векторами і напрямок якого в процесі руху тіла змінюється, а модуль зберігається постійним (через незмінність відстані між точками твердого тіла) Даний вектор можна представити у вигляді .

. (2.1)

Для визначення вектора зауважимо, що , де ABмодуль вектора. Так як АВне змінюється з часом, то, продиференціювавши цю рівність по t, Отримаємо:

,

т. е..gif" width="29" height="24 src="> спрямована перпендикулярно до самого вектора :

Проектуючи тепер кожну частину рівності (2..gif" width="37" > пр.=0

,

що й доводить сформульовану теорему.

Поступальний рух твердого тіла

Розглянемо спочатку прості випадки руху - поступальний рух твердого тіла та обертання твердого тіла.

Найпростішим видом руху твердого тіла є такий рух, при якому вектори швидкості трьох його точок, що не лежать на одній прямій, рівні між собою у кожний момент часу. Визначимо положення цих точок у певний момент часу радіус-векторами:

https://pandia.ru/text/78/244/images/image020_14.gif" width="263 height=43" height="43">

Отже, вектори не залежать від часу і, отже, переміщаються у просторі, залишаючись паралельними собі. Три точки твердого тіла визначають систему координат, чітко пов'язану із твердим тілом. У цьому випадку рух буде таким, що осі будуть переміщатися, залишаючись паралельними самі собі. Але це означає, що будь-яка пряма, проведена в твердому тілі, Залишається в процесі руху паралельної самої собі. Такий рух називається поступальним (наприклад, рух кабіни в атракціоні "колесо огляду").

Виберемо в твердому тілі, що рухається поступально, дві довільні точки А і В.

При поступальному русі АТТ

(2.2)

Оскільки то (2.2) набуде вигляду:

Точки А та В обрані довільно. Отже, при поступальному русі всі точки твердого тіла мають у кожний момент часу однакові вектори швидкості.

Продиференціювавши за часом рівняння (2..gif" width="56" height="24"> (2.4)

Точки А та В обрані довільно. Отже: точки твердого тіла, що рухається поступально, мають у кожний момент часу однакові прискорення.

Т. к. траєкторії точок А і В є конгруентними, тобто їх. можна поєднати один з одним під час накладання. Таким чином, траєкторії, що описуються точками твердого тіла, що рухається поступально, однакові і однаково розташовані.

З отриманих результатів слід зробити висновок: для опису поступального руху твердого тіла достатньо задати рух лише однієї його точки.

Обертання твердого тіла

Обертанням твердого тіла називається такий вид руху, при якому принаймні одна точка твердого тіла залишається нерухомою. Розглянемо, проте, простіший випадок – обертання АТТ навколо нерухомої осі.

Обертання абсолютно твердого тіла навколо нерухомої осі

Закріпимо дві точки АТТ. Розглянемо, як рухатимуться всі точки твердого тіла та навчимося визначати швидкості та прискорення цих точок. Ясно, що точки твердого тіла, що лежать на прямій, що проходить через дві закріплені точки, не рухатимуться: цю пряму називають нерухомою віссю обертання. Рух твердого тіла, у якому принаймні дві його точки нерухомі, називають обертанням АТТ навколо нерухомої осі.

Зрозуміло, що точки, що не лежать на осі обертання, описують кола, центри яких лежать на осі обертання. Площини, в яких лежать такі кола, перпендикулярні до осі обертання. Отже, нам відомі траєкторії всіх точок тіла. Це дозволяє почати знаходження швидкості будь-якої точки твердого тіла.

При природному способі завдання руху точки:

Виберемо нерухому систему відліку, вісь 0 Zякої збігається з віссю обертання. Кут між нерухомою площиною X0Z, що проходить через вісь обертання та площиною, жорстко пов'язаною з твердим тілом і проходить через вісь обертання, позначимо через http://www.pandia.ru/text/78/244/images/image036_12.gif" Розглянемо рух точки М по колу радіуса R.

; ; https://pandia.ru/text/78/244/images/image040_13.gif" width="20" height="26 src="> є постійними:

Підставивши (2.6) у (2.5) отримаємо:

Ця формула незручна, тому що сюди входить одиничний вектор. Він повинен входити в формулу для швидкості. Для цього проведемо такі перетворення:

використовуючи, що , перепишемо співвідношення (2.7) у вигляді

(2.8)

Позначимо:

- Не залежить від вибору розглянутої точки М; (2.9)

- Вектор, проведений з центру кола до точки М. (2.10)

Зрозуміло, що модуль дорівнює радіусу кола.

Підставимо (2.9) і (2.10) у (2.8):

https://pandia.ru/text/78/244/images/image051_11.gif" width="91" height="27"> (2.12)

Напрями збігаються з напрямком одиничного вектора торкання width="64"> – лінійна швидкістьточки М. (2.13)

- кутова швидкість. (2.14)

Кутова швидкість – величина однакова всім точок твердого тіла.

Лінійна швидкість будь-якої точки твердого тіла, що обертається навколо нерухомої осі, дорівнює векторному добутку кутової швидкості АТТ на радіус-вектор, проведений з довільної точки осі обертання, розкладемо https://pandia.ru/text/78/244/images/image057_9.gif " width="145" height="29">.(2.15)

Порівнюючи (2.15) та (2.14) отримаємо:

;

Модуль кутової швидкості пов'язаний із частотою обертання абсолютно твердого тіла:

При обертанні тіла його кутова швидкість може змінюватися, необхідно вміти визначити кутову швидкість тіла будь-якої миті часу. Для цього введено величину, яка характеризує зміну кутової швидкості з часом. Цю величину називають кутовим прискоренням.

Дамо визначення кутового прискорення.

Нехай у момент часу tкутова швидкість . А в момент часу t+∆tкутова швидкість дорівнює. Складемо відношення зміни кутової швидкості до проміжку часу, протягом якого ця зміна відбувається, і знайдемо межу цього відношення при ∆ t→ 0. У механіці цю межу називають кутовим прискоренням тілаі позначають тому:

.

Кутове прискорення – величина однакова всім точок твердого тіла.

Одиницею виміру кутового прискорення є.

Для кутового прискорення, його проекції на вісь 0 Z, модуля кутового прискорення справедливі співвідношення:

(2.16)

Перепишемо вираз для прискорення крапки:

(2.17)

Тангенціальне прискорення будь-якої точки твердого тіла, що обертається навколо нерухомої осі, дорівнює векторному добутку кутового прискорення тіла на радіус – вектор цієї точки, проведеної з довільної точки осі обертання.

Обертання твердого тіла з постійним кутовим прискоренням

Подивимося, як у цьому русі запишеться кінематичне рівняння руху тіла. Спочатку отримаємо формулу, якою у разі можна знайти кутову швидкість тіла. Направимо вісь 0 Zвздовж осі обертання тіла.

Так як, то https://pandia.ru/text/78/244/images/image078_5.gif" width="98" height="54"> (т. к.) обертальні рухи (фізика)" href=" /text/category/vrashatelmznie_dvizheniya__fizika_/" rel="bookmark">обертового руху навколо полюса з кутовою швидкістю, яка не залежить від вибору полюса .

Можна показати, що швидкість будь-якої точки тіла щодо нерухомої системи координат дорівнює:

- Кутове прискорення обертання тіла щодо полюса.

Закон складання прискорень

Формулу, що виражає закон складання прискорень у складному русі називають формулою Коріоліса, а факт, що нею виражається – теорема Коріоліса. Відповідно до цієї теореми абсолютне прискорення точки дорівнює сумі трьох векторів: вектора відносного прискорення, вектора переносного прискорення і вектора, що є поворотним або коріолісовим прискоренням:

(2.21)

Воно з'являється внаслідок двох причин, що не враховуються відносним та переносним прискореннями: не враховує зміну напрямку відносної швидкості в нерухомому просторі внаслідок обертання рухомої системи координат у переносному русі. не враховує зміни переносної швидкості, що виходить при переході точки, що рухається, від однієї точки рухомого простору до іншої (цей перехід викликаний відносним рухом).

У таких випадках:

Складне рух точки-це такий рух, у якому точка одночасно бере участь у двох чи кількох рухах.

Розглянемо складний рух точки М, що переміщається по відношенню до рухомої системи відліку Оxyz, яка у свою чергу рухається щодо іншої системи відліку О 1 х 1 у 1 z 1 , яку умовно називатимемо нерухомою (рис. 10.1).

Рух точки М стосовно рухомих осях координат називається відносним рухом. Швидкість і прискорення точки стосовно рухомих осях називаються відносною швидкістю та відносним прискоренням. Ці величини позначатимемо і .

Переносним називається рух відносно нерухомої системи відліку тієї точки рухомої системи відліку, з якою в даний момент збігається точка М, що рухається. М. Переносну швидкість та переносне прискорення позначаємо та .

Рух точки М щодо нерухомої системи відліку називається абсолютним рухом. Швидкість та прискорення точки в цьому русі називається абсолютною швидкістю та абсолютним прискоренням. Ці величини позначаються і.

Якщо точка одночасно бере участь у відносному та переносному рухах, то її абсолютний рух називають складним, а її відносне та переносне рухи називаються складовими рухами.

10.2. Швидкість точки в абсолютному, відносному та переносному рухах

Якщо точка М бере участь у складному русі, то справедлива теорема, згідно з якою абсолютна швидкість точки дорівнює геометричній сумі переносної та відносної швидкості цієї точки:

Для визначення переносної швидкості подумки зупиняється відносний рух і переносна швидкість обчислюється за правилами кінематики твердого тіла, тобто як швидкість тієї точки рухомої системи відліку, з якою в даний момент збігається точка, що рухається.

Для визначення відносної швидкості точки слід уявно зупинити переносний рух і обчислити відносну швидкість за правилами кінематики точки.

Мал. 10.2

За допомогою рівняння (10.1) величину абсолютної швидкості можна визначити геометрично та аналітично. Для геометричного методу розв'язання цієї задачі можна побудувати замкнутий трикутник швидкостей (рис. 10.2 а) або паралелограм швидкостей (рис. 10.2 б).

Тоді абсолютна швидкість визначається формулами

(10.2)

або , (10.3)

де β і γ- кути, утворені вектором з векторами та .

При застосуванні методу проекцій достатньо вибрати осі координат та спроектувати рівність (10.1) на ці осі.

§ 20 . Відносне, переносне та абсолютне

рух точки

Складним рухом точки називається такий її рух, при якому вона рухається щодо системи відліку, що переміщається по відношенню до деякої іншої системи відліку, прийнятої за нерухому. Наприклад, можна вважати, що пасажир, що йде по вагону поїзда, що рухається, здійснює складний рух по відношенню до полотна дороги, що складається з руху пасажира по відношенню до вагона ( рухлива система відліку) та руху пасажира разом з вагоном по відношенню до полотна дороги ( нерухома система відліку).

Рух точки стосовно рухомої системи координат називається відносним рухом точки. Швидкість та прискорення цього руху називають відносною швидкістюі відносним прискореннямі позначають та .

Рух точки, зумовлений рухом рухомої системи координат, називається переносним рухом точки.

Переносною швидкістю і переносним прискоренням крапки називають швидкість і прискорення тієї, жорстко пов'язаної з рухомою системою координат точки, з якою збігається в даний момент часу точка, що рухається, і позначаютьта .

Рух точки стосовно нерухомої системи координат називається абсолютнимабо складним. Швидкість та прискорення точки у цьому русі називають абсолютної швидкістюі абсолютним прискореннямі позначають та .

У наведеному вище прикладі рух пасажира щодо вагона буде відносним, а швидкість – відносною швидкістю пасажира; рух вагона по відношенню до полотна дороги буде для пасажира переносним рухом, а швидкість вагона, в якому перебуває пасажир, буде на цей момент його переносною швидкістю; нарешті, рух пасажира стосовно полотна буде його абсолютним рухом, а швидкість – абсолютною швидкістю.

§ 21 .Визначення швидкості точки при складному

русі

Нехай є нерухома система відліку щодо якої рухається рухома система відліку . Щодо рухомої системи координат рухається точка (рис. 2.26) . Рівняння руху точки , що знаходиться в складному русі, можна задати векторним способом

,(2.67)

де - радіус-вектор точки , що визначає її положення щодо

нерухомої системи відліку;

Радіус-вектор, що визначає положення початку відліку рухомий

системи координат;

Радіус-вектор цієї точки , що визначає її

положення щодо рухомої системи координат.

Нехай координати точки рухомих осях. Тоді

,(2.68)

де - одиничні вектори, спрямовані вздовж рухомих осей. Підставляючи (2.68) у рівність (2.67), отримаємо:

.(2.69)

При відносному русі координати змінюються з часом. Щоб знайти швидкість відносного руху, потрібно продиференціювати радіус-вектор за часом, враховуючи його зміну тільки за рахунок відносного руху, тобто за рахунок зміни координат , а рухому систему координат припускати при цьому нерухомої, тобто вектора вважати не залежними від часу. Диференціюючи рівність (2.68) за часом з урахуванням зроблених застережень, отримаємо відносну швидкість:

, (2.70)

де крапки над величинами означають похідні від цих величин за часом:

, , .

Якщо відносного руху немає, то точка буде рухатися разом з рухомою системою - координат і швидкість точки дорівнюватиме переносній швидкості. Таким чином, вираз для переносної швидкості можна отримати, якщо продиференціювати за часом радіус-вектор, вважаючи не залежними від часу:

.(2.71)

Вираз для абсолютної швидкості знайдемо, диференціюючи за часом, враховуючи, що від часу залежать відносні координати орти рухомої системи координат:

.(2.72)

Відповідно до формул (2.70), (2.71) перша дужка (2.72) є переносна швидкість точки, а друга - відносна. Отже,

.(2.73)

Рівність (2.73) виражає теорему про складання швидкостей : абсолютна швидкість точки дорівнює геометричній сумі переносної та відносної швидкостей.

Завдання 2.9. Потяг рухається прямоліноюнейномугоризонтальному шляху з постійною швидкістю . Пасажир бачить із вікна вагона траєкторії крапель дощу нахиленими до вертикалі під кутом. Визначити абсолютну швидкість падіння дощових крапель вертикально падаючого дощу, нехтуючи тертям крапель об скло.

Рішення. Краплі дощу мають абсолютну швидкість

де - Відносна швидкість краплі при її русі по склу вагона;

Переносна швидкість краплі, що дорівнює швидкості руху поїзда.

Паралелограм швидкостей (рис. 2.27), що вийшов, діагональ ділить на два рівні трикутники. Розглянувши будь-який із цих трикутників, знаходимо

.

Перекладаємо отриману швидкість падіння крапель в:

.

§ 22 .Визначення прискорення точки при складному

русі

Вираз для відносного прискоренняточки можна отримати, диференціюючи відносну швидкість (2.70), враховуючи її та зміну тільки за рахунок відносного руху, тобто за рахунок зміни відносних координат точки , , . Вектора слід вважати постійними, оскільки рух нерухомої системи координат не враховується щодо відносної швидкості і відносного прискорення точки. Отже, маємо

,(2.74)

Переносне прискорення отримаємо, диференціюючи за часом рівність (2.71), вважаючи, що точка лежить по відношенню до рухомої системи координат, тобто що відносні координати точки , , не залежить від часу.

.(2.75)

Абсолютне прискорення отримаємо, диференціюючи вираз для абсолютної швидкості (2.72), враховуючи, що з часом змінюються як відносні координати , , точки, так і орти рухомої системи координат

.(2.76)

Видно, що перша дужка (2.76) є переносне прискорення, третя - відносне прискорення. Друга дужка є додатковим або коріолісово прискорення:

.(2.77)

Отже, рівність (2.76) можна записати як

.(2.78)

Ця формула і висловлює теорему Коріоліса : у разі непоступального переносного руху абсолютне прискорення точки дорівнює векторній сумі

переносного, відносного та поворотного прискорень.

Перетворимо формулу (2.77) для прискорення Коріоліса.Для похідних одиничних векторів рухомої системикоординат мають місце наступні формули Пуассона :

; ; .(2.79)

Тут – вектор миттєвої кутової швидкості рухомої системи координат. Знаком є ​​векторний добуток векторів.

Підставляючи формули (2.79) (2.77), отримаємо:

Вираз у дужках є нічим іншим, як відносна швидкість (див. (2.70)). Остаточно отримаємо:

.(2.80)

Отже, прискорення Коріоліса дорівнює подвоєному векторному твору миттєвої кутової швидкості рухомої системи координат на вектор відносної швидкості.

за загальному правилувизначення напряму, векторного творумаємо: прискорення Коріоліса спрямоване перпендикулярно площині, що проходить через вектор і у той бік, звідки поворот вектора до вектора на менший кут видно проти ходу стрілки годинника (рис. 2.28).

З формули (2.80) випливає також, що прискорення Коріоліса

.(2.81)

Звідси слідує що прискорення Коріоліса дорівнює нулю у трьох випадках:

1) якщо, тобто у разі поступального переносного руху або в моменти звернення в нуль кутової швидкості непоступального переносного руху;

2) якщо , тобто. у разі відносного спокою точки або моменти звернень у нуль відносної швидкості точки;

3) якщо , тобто у разі, коли вектор відносної швидкості точки паралельний вектору кутової швидкості переносного руху , як, наприклад, при русі точки вздовж утворює циліндра, що обертається навколо осі.

Завдання 2.10. Залізничним пкачки, прокладеному по паралелі північної широти, рухається тепловоз зі швидкістю із заходу Схід. Знайти коріолісове прискорення тепловоза.

Рішення.Нехтуючи розмірами тепловоза, розглядатимемо його як деяку точку (точка на рис. 2.29). Крапка здійснює складний рух. За переносний рух приймемо обертальний рух точки разом із Землею, а за відносний рух – рух цієї точки стосовно Землі з постійною швидкістю.

Величина прискорення Коріоліса згідно (2.81) дорівнює

,

де - Кутова швидкість обертання Землі.

Знайдемо кутову швидкість обертання Землі. За добу Земля робить один обіг. Кут, що відповідає одному обороту, дорівнює і число секунд на добу дорівнює , звідси

.

Положення та напрямок вектора прискорення Коріоліса визначаємо за загальним правилом визначення напрямку векторного твору. Вектор прискорення Коріоліса знаходиться на прямий, так як він повинен бути перпендикулярним векторам і , і спрямований у бік протилежний напряму векторівта .

Досі ми вивчали рух точки чи тіла стосовно однієї заданої системи відліку. Однак у ряді випадків при вирішенні завдань механіки виявляється доцільним (а іноді і необхідним) розглядати рух точки (або тіла) одночасно по відношенню до двох систем відліку, з яких одна вважається основною або умовно нерухомою, а інша певним чином рухається по відношенню до першої. Рух, який відбувається при цьому точкою (або тілом), називають складовимабо складним. Наприклад, куля, що котиться по палубі пароплава, що рухається, можна вважати що робить по відношенню до берега складний рух, що складається з кочення по відношенню до палуби (рухлива система відліку), і рух разом з палубою пароплава по відношенню до берега (нерухома система відліку). Таким шляхом складний рух кулі розкладається на два простіших і легко досліджуваних.

Рис.48

Розглянемо точку М, що рухається по відношенню до рухомої системи відліку Oxyz, яка у свою чергу якось рухається щодо іншої системи відліку , яку називаємо основною чи умовно нерухомою (рис. 48). Кожна з цих систем відліку пов'язана, звичайно, з певним тілом, на кресленні не показаним. Введемо такі визначення.

1. Рух, який відбувається точкою Мпо відношенню до рухомої системи відліку (до осей Oxyz), називається відносним рухом(Такий рух бачитиме спостерігач, пов'язаний з цими осями і переміщується разом з ними). Траєкторія АВ, що описується точкою у відносному русі, називається відносною траєкторією. Швидкість точки Мпо відношенню до осей Oxyzназивається відносною швидкістю (позначається ), a прискорення - відносним прискоренням (позначається ). З визначення випливає, що при обчисленні можна рух осей Oxyzдо уваги не брати (розглядати їх як нерухомі).

2. Рух, який здійснюється рухомою системою відліку Oxyz(і всіма незмінно пов'язаними з нею точками простору) по відношенню до нерухомої системи є для точки М переносним рухом.

Швидкість тієї незмінно пов'язаної з рухомими осями Oxyzкрапки m, з якою в даний момент часу збігається точка, що рухається М, називається переносною швидкістю точки Мв цей момент (позначається ), а прискорення цієї точки m- переносним прискоренням точки М(позначається). Таким чином,

Якщо уявити, що відносний рух точки відбувається по поверхні (або всередині) твердого тіла, з яким жорстко пов'язані рухливі осі Oxyz, то переносною швидкістю (або прискоренням) точки Мв даний момент часу буде швидкість (або прискорення) тієї точки тіла, з якою в цей момент збігається точка М.

3. Рух, що здійснюється точкою по відношенню до нерухомої системи відліку, називається абсолютнимчи складним. Траєкторія CDцього руху називається абсолютною траєкторією, швидкість - абсолютною швидкістю (позначається) і прискорення - абсолютним прискоренням (позначається).

У наведеному вище прикладі рух кулі щодо палуби пароплава буде відносним, а швидкість - відносною швидкістю кулі; рух пароплава по відношенню до берега буде для кулі переносним рухом, а швидкість тієї точки палуби, якої в даний час стосується куля буде в цей момент його переносною швидкістю; нарешті, рух кулі стосовно берега буде його абсолютним рухом, а швидкість - абсолютною швидкістю кулі.

При дослідженні складного руху точки корисно застосовувати "Правило зупинки". Щоб нерухомий спостерігач побачив відносний рух точки, треба зупинити переносний рух.

Тоді відбуватиметься лише відносний рух. Відносний рух стане абсолютним. І навпаки, якщо зупинити відносний рух, переносний стане абсолютним і нерухомий спостерігач побачить лише цей переносний рух.

В останньому випадку, при визначенні переносного руху точки, виявляється одна дуже важлива обставина. Переносний рух точки залежить від того, у який момент буде зупинено відносний рух, від того, де точка знаходиться на середовищі в цей момент. Тому що, взагалі кажучи, всі точки середовища рухаються по-різному. Тому логічніше визначати переносний рух точки як абсолютний рух тієї точки середовища, з якою збігається в даний момент точка, що рухається.

22.Teopeма складання швидкостей.

Нехай певна точка Мздійснює рух по відношенню до системи відліку Oxyz, Яка сама рухається довільним чином по відношенню до нерухомої системи відліку (рис.49).

Звичайно, абсолютний рух точки Мвизначається рівняннями

Відносний рух – у осях, що рухаються, рівняннями

Мал. 10.3.

Рівнянь, що визначають переносний рух точки, може бути взагалі. Оскільки, за визначенням, переносний рух точки М- Це рух відносно нерухомих осей тієї точки системи, з якою збігається точка в даний момент. Але всі точки рухомої системи рухаються по-різному.

Положення рухомої системи відліку може бути визначено, якщо задати положення точки Прорадіусом-вектором , проведеним з початку нерухомої системи відліку, та напрямки одиничних векторів рухомих осей Оx, Oy, Oz.

Рис.49

Довільний переносний рух рухомої системи відліку складається з поступального руху зі швидкістю точки Проі рухи навколо миттєвої осі обертання ВР, що походить через точку Про, з миттєвою кутовою швидкістю. Внаслідок переносного руху рухомої системи відліку радіус-вектора та напрямки одиничних векторів змінюються. Якщо вектори задані функції часу, то переносний рух рухомий системи відліку цілком визначено.

Положення точки Мпо відношенню до рухомої системи відліку можна визначити радіусом-вектором

де координати x, y, zкрапки Мзмінюються з часом внаслідок руху точки Мщодо рухомої системи відліку. Якщо радіус-вектор заданий у функції часу, то відносний рух точки М, тобто. рух цієї точки щодо рухомої системи відліку, задано.

Положення точки М щодо нерухомої системи відліку може бути визначено радіусом-вектором . З рис.49 видно, що

Якщо відносні координати x,y,zкрапки Мі вектори визначені у функції часу, що складається з відносного та переносного рухів складовий рух точки М, тобто. рух цієї точки стосовно нерухомої системи відліку, також треба вважати заданим.

Швидкість складового руху точки М, Абсолютна швидкість цієї точки, дорівнює, очевидно, похідної від радіуса-вектора точки Mпо часу t

Тому, диференціюючи рівність (1) за часом t, отримаємо

Розіб'ємо складові у правій частині цієї рівності на дві групи за такою ознакою. До першої групи віднесемо ті доданки, які містять похідні лише від відносних координат x,y,z,а до другої - ті доданки, які містять похідні від векторів, тобто. від величин, що змінюються лише внаслідок переносного руху рухомої системи відліку

Кожна з груп доданків, позначених через і являє собою, принаймні, за розмірністю деяку швидкість. З'ясуємо фізичний сенсшвидкостей та .

Швидкість , як це випливає з рівності (3), обчислюється у припущенні, що змінюються лише відносні координати x,y,zкрапки Мале вектори залишаються постійними, тобто. рухлива система відліку Oxyzхіба що умовно вважається нерухомої. Отже, швидкість являє собою відносну швидкість точки М.

Швидкість обчислюється так, ніби точка Мне рухалася щодо рухомої системи відліку, оскільки похідні x,y,zдо рівності (4) не входять. Тому швидкість є переносною швидкістю точки М.

Отже, . (5)

Ця рівність виражає теорему складання швидкостей у разі, коли переносний рух є довільним: абсолютна швидкість точки Мдорівнює геометричній сумі переносної та відносної швидкостей цієї точки.

приклад 13.Колечко Мрухається по стрижню, що обертається так, що (см) і (рад).

Рис.50

Раніше було встановлено, що траєкторія відносного руху – пряма лінія, що збігається зі стрижнем, і це визначається рівнянням . Траєкторія переносного руху точки Му момент часу t- Коло радіуса.

Тому відносна швидкість. І направлена ​​по дотичній до траєкторії вздовж стрижня (рис.50). Переносна швидкість кільця, як із обертанні навколо осі, . Направлений вектор цієї швидкості щодо до траєкторії переносного руху, перпендикулярно стрижню.

Абсолютна швидкість кільця. Розмір її, т.к.

23.Теорема складання прискорень. Прискорення Коріолісу.

Прискорення складового руху точки М, або абсолютне прискорення цієї точки, і, очевидно, похідної від абсолютної швидкості точки Мпо часу t

Тому, диференціюючи рівність за часом, отримаємо

Розділимо складові правої частини цієї рівності на три групи.

До першої групи віднесемо доданки, що містять лише похідні від відносних координат x,yі z, але не містять похідні від векторів :

До другої групи віднесемо доданки, які містять лише похідні від векторів, але не містять похідних від відносних координат x,y,z:

Залишилася ще одна група доданків, які не могли бути віднесені ні до першої, ні до другої, оскільки вони містять похідні від усіх змінних x, y,z, . Позначимо цю групу доданків через:

Кожна з виділених груп є, принаймні за розмірністю, деяке прискорення. З'ясуємо фізичний зміст всіх трьох прискорень: .

Прискорення , як це видно з рівності, обчислюється так, якби відносні координати x,y,zзмінювалися з часом, а вектори залишалися незмінними, тобто. рухлива система відліку Oxyzяк би лежала, а крапка Мрухалася. Тому прискорення є відносним прискоренням точки М. Так як прискорення (і швидкість) відносного руху обчислюється в припущенні, що рухома система відліку знаходиться у спокої, то для визначення відносного прискорення (і швидкості) можна користуватися всіма правилами, викладеними раніше в кінематиці точки.

Прискорення , як це видно з рівності, обчислюється у припущенні, що сама точка Мспочиває по відношенню до рухомої системи відліку Oxyz(x= Const, y= Const, z=const) і переміщається разом із цією системою відліку по відношенню до нерухомої системи відліку . Тому прискорення є переносним прискоренням точки М.

Третя група доданків визначає прискорення , яке може бути віднесено немає відносному прискоренню , оскільки містить у своєму вираженні похідні немає переносному прискоренню , оскільки містить у своєму вираженні похідні

Перетворимо праву частину рівності, пригадавши, що

Підставляючи ці значення похідних до рівності, отримаємо

Тут вектор є відносна швидкість точки Мтому

Прискорення називають прискоренням Коріоліса. Зважаючи на те, що прискорення Коріоліса з'являється у разі обертання рухомої системи відліку, його називають ще поворотним прискоренням.

З фізичної точки зору поява поворотного прискорення точки пояснюється взаємним впливом переносного та відносного рухів.

Отже, прискорення Коріоліса точки дорівнює модулю і напрямку подвоєному векторному добутку кутової швидкості переносного руху на відносну швидкість точки.

Рівність, яку тепер можна скорочено записати у вигляді

представляє теорему складання прискорень у разі, коли переносний рух є довільним: абсолютне прискорення точки дорівнює векторної суми переносного, відносного та поворотного прискорень. Цю теорему часто називають теоремою Коріоліса.

З формули випливає, що модуль поворотного прискорення буде

де - кут між вектором та вектором. Щоб визначити напрямок поворотного прискорення, потрібно подумки перенести вектор до точки Мта керуватися правилом векторної алгебри. Згідно з цим правилом, вектор потрібно направляти перпендикулярно до площини, що визначається векторами і , і так, щоб, дивлячись з кінця вектора , спостерігач міг бачити найкоротший поворот від годинникової стрілки, що відбувається проти руху (рис. 30). в даний момент часу перетворюється на нуль.

Крім того, поворотне прискорення точки може, очевидно, звертатися в нуль, якщо:

а) вектор відносної швидкості точки паралельний вектору кутовий швидкості переносного обертання, тобто. відносний рух точки відбувається за напрямом, паралельним осі переносного обертання;

б) точка не має руху щодо рухомої системи відліку або відносна швидкість точки на даний момент часу дорівнює нулю ().

приклад 14.Нехай тіло обертається довкола нерухомої осі z. По поверхні його рухається крапка М(Рис. 52). Звичайно, швидкість цього руху точки - відносна швидкість, а швидкість обертання тіла - кутова швидкість переносного руху.

Прискорення Коріоліса спрямовано перпендикулярно цим двом векторам, за правилом напрямку вектора векторного твору. Так, як показано на рис. 52.

Рис.52

Неважко сформулювати зручніше правило визначення напрямку вектора: потрібно спроектувати вектор відносної швидкості на площину перпендикулярну до осі переносного обертання і потім повернути цю проекцію на 90 градусів у площині у напрямку переносного обертання. Кінцеве положення проекції вектора вкаже напрямок прискорення коріоліс. (Це правило було запропоновано Н.Є. Жуковським).

приклад 15.(Повернемося до прикладу 13). Знайдемо абсолютне прискорення кільця М

Загальна постановка задачі про відносний рух така: рух точки визначається спостерігачами, пов'язаними з двома різними координатними системами (системами відліку), причому ці системи рухаються заданим чином один до одного. Кожен спостерігач визначає кінематичні елементи руху: траєкторію, швидкість та прискорення у своїй системі відліку. Ставиться завдання: знаючи рух однієї системи відліку по відношенню до іншої, знайти зв'язок між кінематичними елементами руху точки по відношенню до кожної системи окремо. Припустимо, що рух точки Му просторі розглядається у двох рухомих один до одного системах координат: Oxyz, і (Рис.41). Залежно від змісту завдання, що стоїть перед нами, одну з цих систем Oxyzприймемо за основну та назвемо абсолютною системою і всі кінематичні елементи його абсолютними. Іншу систему назвемо відносною і відповідно рух щодо цієї системи, а також його кінематичні елементи відносними. Терміни «абсолютний» та «відносний» мають тут умовне значення; при розгляді рухів може бути доцільним то одну, то іншу систему брати за абсолютну. Елементи абсолютного руху позначатимемо підрядковим індексом « а », а відносного – індексом « r ».

Введемо поняття переносного руху, елементи якого позначатимемо підрядковим індексом « е ». Переносним рухом точки будемо називати рух (стосовно абсолютної системи) того пункту відносної системи, через який в даний момент часу проходить точка, що рухається. Поняття переносного руху потребує пояснення. Необхідно чітко розрізняти точку, абсолютний і відносний рух якої розглядається, від тієї, незмінно пов'язаної з відносною системою точки, через яку в даний момент проходить точка, що рухається. Зазвичай та й інша точка позначені однією літерою М, оскільки малюнок не передає руху; насправді це дві різні точки, що рухаються один до одного.

Зупинимося двох ілюстраціях поняття переносного руху. Якщо людина йде по платформі, що рухається, то можна розглядати, по-перше, «абсолютний» рух людини по відношенню до землі, по-друге, «відносний» її рух по платформі. Переносним рухом при цьому буде рух по відношенню до землі того місця платформи, яким проходить в даний момент людина.