Теорията на функциите на една промяна. Математически анализ. Теория на функциите на една промяна Матан теория 1 семестър
A.V. Гласко
ЛЕКЦИЯ от математически анализ
„ЕЛЕМЕНТРНИ ФУНКЦИИ И ИНТЕРИОР“
Москва, МГТУ им. Не. Бауман
§1. Логическа символика.
Когато пишем математически вируси, ще използваме следните логически символи:
стойност |
стойност |
||
За бъдещите, за подобни, за всички (вж |
|||
Snu, знам, е (съществува) |
|||
Tyagne, плъзна (навън) |
|||
Еквивалентно, todi и tilki todi, |
|||
необходимо и достатъчно |
|||
Така че, ако А и В са много любящи, тогава |
|||
стойност |
|||
A chi B (или A Abo B, Abo и A B) |
|||
За бе-подобен x maê mіsce A |
|||
Isnuê x, за всякакви мами A |
|||
Z A плъзгане B (ако е вярно A, значи е вярно B) |
|||
(Импликация) |
|||
A е еквивалентно на B, A maê мишки todi и само todі, ако maê mіsce B, |
|||
за В необходимо и достатъчно А |
|||
Уважение. "A B" означава, че за да завърши A, а за A е необходимо B. |
|||
Задник. (X = 1) => (x2 -3x + 2 = 0) => ((x = 1) (x = 2)).
В някои случаи ще използваме един специален символ: A = df B.
Vin означава, scho A = B за стойността.
§2. Без личи. Елементи и части от безжизнените.
Разбирането на много е първото нещо, което трябва да се разбере, тъй като не идва от прости неща. Думи: сукупнист, семейство, набир - його синоними.
Добавете много: без ученици в класната стая, без деца в отдела, без автомобили на паркинга и вътре.
Първият, който го разбира, също е разбирането безелементнаи видносини
миж елементи без личи.
Задник. N - няма естествени числа, където елементите й са числа 1,2,3, ... Ако x и y са елементи от N, тогава вонята се открива в една от следващите стъпки: x = y, x
Ние сме запознати с безсмисленото чрез големите букви: A, B, C, X, Y, ..., а елементите са malimi: a, b, c, x, y, ...
Видносините миж елементи или множествено число са представени със символи, вмъкнати с букви. Напред. Nekhai A е deyakiy bezl_ch. Todi vidnoshennya a означава A, който a е елемент без A.
Не можете да поискате нищо по различни начини... 1. Pererahuvannyam його елементи.
Например, A = (a, b, c, d), B = (1, 7, 10)
2. Редът на силата на елементите. Nekhai A - безлични елементи a, които ще захранват r. Цената може да бъде написана в зрителя: A = (a: p) или A = (ap).
Например, писането на A = (x: (x R) (x2 -1> 0)) означава, че A е без валидни числа, което е доволно от неравностите x2 -1> 0.
Въведете редица важни стойности.
Def. Безлих се нарича Кинцев, тъй като представлява единствен брой елементи. На първо място, той не се нарича безкраен.
Например липсата на ученици в аудиторията е екстравагантна, а липсата на естествени числа или безсмислените точки са безкрайни.
Def. Безлих, как да не отмъсти на желаната стихия, да се нарече празен и да бъде известен.
Def. Две отчаяни се наричат ривни, тъй като вонята се съхраняват от едно и също
Твърде разбирането на безпомощните не е в състояние да спазва реда на елементите. Def. Безлих X се нарича подмножество на множеството Y, сякаш е елемент от безсилното X е елемент от множеството Y
елемент на Y е елемент на X). Когато tsyom vikoristovutsya значение: X Y.
Например, без портокали O е чрез множество плодове F: O F, и без естествени числа N е чрез множество числа R: N R.
Символът "" i "" се нарича включване символи. Vvazhayut, scho без кожа е за себе си. Празно много е много.
Def. Be-подобен празен pidmzhina In без A, не равен на A, се нарича
Да се махнем от пътя.
§ 3. Диаграми на Ойлер-Вен. Елементарни операции върху кратни.
Невъзможно е да го визуализирате графично на ръка, при вида на области на квадрата. В същото време ние разчитаме на уважение, така че точките от региона съответстват на елементите на много. Такива графични изявления се наричат диаграми на Ойлер-Вен.
Задник. А - без студенти в Московския държавен технически университет, Б - без студенти в класната стая. Малка. 1, демонстриращ нарочно A B.
Диаграми на Euler-Venn ръчно vikoristovuvati за научния образ на елементарните операция върху множество... Преди основните операции това са следните.
Малка. 1. Прикладът на диаграмите на Ойлер-Вен.
1. Преобръща A B набор A и B се нарича набор C, който може да се съхранява от всички елементи, но един час се припокрива с множества A и B:
C = A B = df (z: (z A) (z B))
(На фиг. 2, не C е представен от засенчената област).
Малка. 2. Перетин многожин.
2. За A B множество A и B се наричат множество C, което се съхранява от всички елементи, така че има желание да има един набор A и B.
C = A B = df (z: (z A) (z B))
(На фиг. 3 не е представен С от засенчената област).
Малка. 3. Ob'dnannya мн.ч.
Малка. 4. Ризница мн.ч.
3. Разликата A \ B на множеството A и B се нарича множеството C, което може да бъде подредено с елементи, които могат да бъдат без A, или да не са без B:
A \ B = (z: (z A) (z B))
(На фиг. 4, bezl_ch C е представен от областта, изпълнена с цвят жълти).
§ 4. Наборът от валидни числа.
Ще събудя числата за безмълвна реч (действие) R. без естествени числа, Yake е значителен офанзивен ранг. В качеството на първия елемент е възможно числото n = 1. Кожаният офанзивен елемент ще бъде подрязан преди броя единици:
N = (1, 1 + 1, (1 + 1) +1, ...) = (1, 2, 3, ..., n, ...).
N = (-1, -2, -3, ..., -n, ...).
Без цели числа ZИма значение, че има три кратни: N, -N и без, където да се съхраняват от един елемент - нула:
Без никакви расови числа, той е значителен, както и без какъвто и да е брой различни числа:
Q = (xx = m / n; m, n Z, n 0).
Очевидно N Z Q.
Изглежда, че рационалното число може да бъде записано с оглед на безкрайното действие или незавършената периодична дроб. Колко рационални числа съществуват за определяне на всички стойности, които можем да създадем, когато извикваме светлината на нашите желания? Още в Древна Гърция се показва, че е тъп правоъгълна триколкаС краката човек не може да си представи расово число с оглед на хипотенузата. С такъв ранг не можем да се съдържаме без рационални числа. Необходимо е да се разшири разбирането за числата. Разширяване за достигане на входове без случайни числа J, като най-простия заблуден як без всички неповтарящи се непрекъснати десетки дроби.
Добавянето на набор от рационални и рационални числа се наричат
без никакви действия (реч) числа R: R = Q Y.
В някои случаи е възможно да се разгледа по -широк диапазон от неограничени R числа, по -разумен
Показвайте числата ръчно с точки по числовата ос.
Def. Численият изглед се нарича прав, на който е посочено ухото, скалата е показана директно.
Между числата и точките на числовата ос отговорът е недвусмислен: дали се показва някакъв материал, единична точка от числовата ос и навика.
Аксиома за непрекъсвания (непрекъсвания) на произволни числа. Ако искате да бъдете предубедени, булите не са празни без A = (a) R í B = (b) R, така че за всяко a и b ще видите невъзможността a ≤ b, знаете, че има число cR е също така, където a ≤ c ≤ b (фиг. 5).
Фиг. 5. Илюстрация на аксиомата за използването на безсмислени числа.
§5. Множество числа. Относно.
Def. числено безда се нарича be-yak pídnílіchі R. Nayvazhіvіnіnі nіlіchі: N, Z, Q, J, както и
изтегляне: (x R | a x b),
интервал: (a, b) (x R | a x b), (,) = R
интервал: (x R | a x b),
(X R | x b).
Ще играя роля в математическия анализ на окото на окото на точката на числовата ос.
Def. -съседство на точка x 0 се нарича интервал до 2 с център в точка x 0 (фиг. 6):
u (x 0) (x 0, x 0).
Малка. 6. Близо до точката.
Def. Пробитият квартал на точката се нарича квартал на центъра на точката,
самата точка x 0 е активирана (фиг. 7):
u (x 0) u (x 0) \ (x 0) (x 0, x 0) (x 0, x 0).
Малка. 7. Пункция близо до точката.
Def. Десница -съседство на точка x0 се нарича napivinterval
u (x 0), обхват на стойността: E = [-π / 2, π / 2].
Малка. 11. Графика на функции y arcsin x.
Въведена сега сгъваема функция (композиция на изображението). Нека бъдат дадени три безплатни изображения D, E, M и нека f: D → E, g: E → M. Очевидно е възможно да се създаде ново изображение h: D → M, наречено композитно изображение f и g, или сгъваема функция (фиг. 12).
Сгъваемата функция се нарича обиден ранг: z = h (x) = g (f (x)) или h = f o g.
Малка. 12. Илюстрация към разбирането на сгъваемата функция.
Извиква се функцията f (x) вътрешна функция, А функцията g (y) е нови функции.
1. Вътрешна функция f (x) = x², стойност g (y) sin y. Сгъваема функция z = g (f (x)) = sin (x²)
2. Сега navpaki. Вътрешна функция f (x) = sinx, стойност g (y) y 2.u = f (g (x)) = sin² (x)
Оставете размера да се промени х нприемат неопределена трайна стойност
х 1 , х 2 , ..., х н , ..., (1)
и защо законът за промяна на промяната х н, Тобто за естествен номер на кожата нможе да се уточни х н... В такъв ранг за прехвърляне, х не функция от н:
х н = F (n)
Между другото, един от тези, които искаха да разберат математическия анализ, е границата между последната или, добре, една и съща, между различните величини х н, Опитайте последното х 1 , х 2 , ..., х н , ... . .
Viznachennya.произволен номер ада бъде повикан граничен х 1 , х 2 , ..., х н , ... . за граничната зимария х н, За Як, за подходящо малко положително число е, има и естествено число н(Номер на Тобто н), х н, поправяйки го х н, видяно от аНа абсолютна стойностпо -малко, по -ниско с e. дадена стойностнапиши накратко така:
| х н - а |< (2)
изобщо н н, Або, кои са същите,
Визначение между според Коши... Числото A се нарича граница на функцията f (x) в точка a, тъй като функцията е присвоена на точката в близост до точка a зад винетка, вероятно в самата точка a, и за кожа ε> 0 инуе δ> 0 също , за всички x, добре, моля, обърнете внимание | x - a |< δ, x ≠ a, выполняется неравенство |f (x) – A| < ε.
Визначение между Хайне... Числото A се нарича граница на функцията f (x) в точката a, тъй като функцията е обозначена в действието близо до точката a зад винетка, може би, самата точка a и за това дали е 
сближавайки се с числото а, вероятно стойността на функцията се сближава с числото А.
Тъй като функцията f (x) се намира в точка а, тогава линията е между.
Числото A 1 се нарича гранична функция f (x) зло в точка а, ако за кожа ε> 0 исуе δ> 
Числото A 2 се нарича гранична функция f (x) вдясно в точката a, ако за кожата ε> 0 иsnuє δ> 0 също, за всички тях има неточност 
Между злото се има предвид между десничар-Цялото число характеризира поведението на функцията на злото и десничар от точка а. Їх често се наричат едностранни линии. В определеното едностранно между при x → 0 искате да изпуснете първата нула: i. И така, за функцията 
Също така за кожа ε> 0 е такава δ-окил точка а, но за всички x, които са удовлетворени с | x - a |< δ, x ≠ a, выполняется неравенство |f (x)| >ε, тогава изглежда, че функцията f (x) има неограничена граница в точка a:
И така, функцията е в точка x = 0 с неограничена граница. Така,
Дори за кожата ε> 0 иsny също δ> 0, но за всяко x> δ да види неравномерността | f (x) - A |< ε, то говорят, что предел функции f (x) при x, стремящемся к плюс бесконечности, равен A:
Теорема за точната горна граница
стойност:АR mR, m - горна (долна) страна на А, когато аА аm (аm).
стойност:Безлич А е заобиколен отгоре (отдолу), подобно на isnu takе m, scho аА, vikonutsya аm (аm).
стойност: SupA = m, където 1) m е супремумът на A
2)'m ': m'
InfA = n, където 1) n е долният ръб на A
2) n ': n'> n => n "не е долната граница на A
стойност: SupA = m е число, както следва: 1) aA am
2) > 0 a A, също a a-
InfA = n е число, както следва: 1) 1) aA an
2) > 0 a A, също, A E a +
теорема: Be-yake, neporozhnê заобиколен от върха без lich АR, има точен горен ръб, само с един.
Доставено:
Нека се движим по числова права линия m и горната граница A.
[M] = max ([a]: aA) [[m], [m] +1] A => [m] +1 е горният ръб на A
Открийте [[m], [m] +1] - разделете на 10 части
m 1 = max: aA)]
m 2 = max, m 1: aA)]
m k = max, m 1 ... m K-1: aA)]
[[M], m 1 ... m K, [m], m 1 ... m K + 1/10 K] A => [m], m 1 ... m K + 1 / 10 K - горен ръб A
Може да се каже, че m = [m], m 1 ... m K е точната горна граница и и wona din:
:)К :)