adsby.ru → Росія

Як знайти бічну. Як обчислити площу піраміди: підстави, бічну і повну? Зв'язок піраміди з конусом

визначення піраміди

піраміда- це багатогранник, в основі якого лежить багатокутник, а межі його є трикутниками.

Онлайн-калькулятор

Варто зупинитися на визначенні деяких складових піраміди.

У неї, як і у інших багатогранників, є ребра. Вони сходяться до однієї точки, яка називається вершиноюпіраміди. В її основі може лежати довільний багатокутник. межеюназивається геометрична фігура, Утворена однією зі сторін підстави і двома найближчими ребрами. У нашому випадку це трикутник. висотоюпіраміди називається відстань від площини, в якій лежить її підставу, до вершини багатогранника. Для правильної піраміди існує ще поняття апофеми- це перпендикуляр, опущений з вершини піраміди до її основи.

види пірамід

Існують 3 види пірамід:

прямокутна- та, у якій будь-яке ребро утворює прямий кут з основою.
правильна- у неї підставу - правильна геометрична фігура, а вершина самого багатокутника є проекцією центру підстави.
тетраедр- піраміда, складена з трикутників. Причому кожен з них може бути прийнятий за основу.

Формула площі поверхні піраміди

Для знаходження повної площі поверхні піраміди потрібно скласти площа бічної поверхні і площа підстави.

Найпростішою є випадок правильної піраміди, тому нею ми і займемося. Обчислимо повну площу поверхні такої піраміди. Площа бічної поверхні дорівнює:

S-пліч = 1 2 ⋅ l ⋅ p S _ (\ text (бок)) = \ frac (1) (2) \ cdot l \ cdot pS пліч = 2 1 ⋅ l ⋅p

L l l- апофема піраміди;
p p p- периметр основи піраміди.

Повна площа поверхні піраміди:

S = S бік + S осн S = S _ (\ text (бок)) + S _ (\ text (осн))S =S пліч + S осн

S-пліч S _ (\ text (бок)) S пліч - площа бічної поверхні піраміди;
S осн S _ (\ text (осн)) S осн - площа основи піраміди.

Приклад рішення задачі.

приклад

Знайти повну площу трикутної піраміди, якщо її апофема дорівнює 8 (див.), А в основі лежить рівносторонній трикутник зі стороною 3 (див.)

Рішення

L = 8 l = 8 l =8
a = 3 a = 3 a =3

Знайдемо периметр підстави. Так як в основі лежить рівносторонній трикутник зі стороною a a a, То його периметр p p p(Сума всіх його сторін):

P = a + a + a = 3 ⋅ a = 3 ⋅ 3 = 9 p = a + a + a = 3 \ cdot a = 3 \ cdot 3 = 9p =a +a +a =3 ⋅ a =3 ⋅ 3 = 9

Тоді бічна площа піраміди:

S-пліч = 1 2 ⋅ l ⋅ p = 1 2 ⋅ 8 ⋅ 9 = 36 S _ (\ text (бок)) = \ frac (1) (2) \ cdot l \ cdot p = \ frac (1) (2) \ cdot 8 \ cdot 9 = 36S пліч = 2 1 ⋅ l ⋅p =2 1 ⋅ 8 ⋅ 9 = 3 6 (Див. Кв.)

Тепер знайдемо площа основи піраміди, тобто площа трикутника. У нашому випадку трикутник рівносторонній і його площа можна обчислити за формулою:

S осн = 3 ⋅ a 2 4 S _ (\ text (осн)) = \ frac (\ sqrt (3) \ cdot a ^ 2) (4)S осн = 4 3 ⋅ a 2

A a a- сторона трикутника.

отримуємо:

S осн = 3 ⋅ a 2 4 = 3 ⋅ 3 2 4 ≈ 3.9 S _ (\ text (осн)) = \ frac (\ sqrt (3) \ cdot a ^ 2) (4) = \ frac (\ sqrt (3 ) \ cdot 3 ^ 2) (4) \ approx3.9S осн = 4 3 ⋅ a 2 = 4 3 ⋅ 3 2 ≈ 3 . 9 (Див. Кв.)

Повна площа:

S = S бік + S осн ≈ 36 + 3.9 = 39.9 S = S _ (\ text (бок)) + S _ (\ text (осн)) \ approx36 + 3.9 = 39.9S =S пліч + S осн ≈ 3 6 + 3 . 9 = 3 9 . 9 (Див. Кв.)

відповідь: 39.9 см. Кв.

Ще один приклад, трохи складніше.

приклад

Підставою піраміди є квадрат з площею 36 (см. Кв.). Апофема багатогранника в 3 рази більше сторони основи a a a. Знайти повну площу поверхні даної фігури.

Рішення

S квад = 36 S _ (\ text (квад)) = 36S квад = 3 6
l = 3 ⋅ a l = 3 \ cdot a l =3 ⋅ a

Знайдемо сторону підстави, тобто сторону квадрата. Його площа і довжина сторони пов'язані:

S квад = a 2 S _ (\ text (квад)) = a ^ 2S квад = a 2
36 = a 2 36 = a ^ 2 3 6 = a 2
a = 6 a = 6 a =6

Знайдемо периметр основи піраміди (тобто, периметр квадрата):

P = a + a + a + a = 4 ⋅ a = 4 ⋅ 6 = 24 p = a + a + a + a = 4 \ cdot a = 4 \ cdot 6 = 24p =a +a +a +a =4 ⋅ a =4 ⋅ 6 = 2 4

Знайдемо довжину апофеми:

L = 3 ⋅ a = 3 ⋅ 6 = 18 l = 3 \ cdot a = 3 \ cdot 6 = 18l =3 ⋅ a =3 ⋅ 6 = 1 8

У нашому випадку:

S квад = S осн S _ (\ text (квад)) = S _ (\ text (осн))S квад = S осн

Залишилося знайти тільки площа бічної поверхні. За формулою:

S-пліч = 1 2 ⋅ l ⋅ p = 1 2 ⋅ 18 ⋅ 24 = 216 S _ (\ text (бок)) = \ frac (1) (2) \ cdot l \ cdot p = \ frac (1) (2) \ cdot 18 \ cdot 24 = 216S пліч = 2 1 ⋅ l ⋅p =2 1 ⋅ 1 8 ⋅ 2 4 = 2 1 6 (Див. Кв.)

Повна площа:

$(\ text (бок)) + S _ (\ text (осн)) = 216 + 36 = 252$

відповідь: 252 см. Кв.

Типовими геометричними завданнями на площині і в тривимірному просторі є проблеми визначення площ поверхонь різних фігур. У даній статті наведемо формулу площі бічної поверхні правильної піраміди чотирикутної.

Що собою являє піраміда?

Наведемо суворе геометричне визначенняпіраміди. Припустимо, що є деякий багатокутник з n сторонами і з n кутами. Виберемо довільну точку простору, яка не буде знаходитися в площині зазначеного n-кутника, і з'єднаємо її з кожною вершиною багатокутника. Ми отримаємо фігуру, що має певний обсяг, яка називається n-вугільної пірамідою. Для прикладу покажемо на малюнку нижче, як виглядає п'ятикутна піраміда.

Два важливих елемента будь-якої піраміди - це її основа (n-кутник) і вершина. Ці елементи з'єднані один з одним n трикутниками, які в загальному випадку не дорівнюють один одному. Перпендикуляр, опущений з вершини до основи, називається висотою фігури. Якщо він перетинає підставу в геометричному центрі (збігається з центром мас багатокутника), то таку піраміду називають прямою. Якщо крім цього умови підстава є правильним багатокутником, То і вся піраміда називається правильною. Малюнок нижче показує, як виглядають правильні піраміди з трикутним, чотирикутним, п'ятикутним і шестикутним підставами.

поверхня піраміди

Перш ніж переходити до питання про площу бічної поверхні правильної піраміди чотирикутної, слід докладніше зупинитися на понятті самої поверхні.

Як було сказано вище і показано на малюнках, будь-яка піраміда утворена набором граней або сторін. Одна сторона є підставою, і n сторін є трикутники. Поверхня всієї фігури - це сума площ кожної її сторони.

Поверхня зручно вивчати на прикладі розгортки фігури. Розгортка для правильної чотирикутної піраміди приведена на малюнки нижче.

Бачимо, що площа її поверхні дорівнює сумі чотирьох площ однакових рівнобедрених трикутників і площі квадрата.

Загальну площу всіх трикутників, що утворюють бічні сторони фігури, прийнято називати площею бічної поверхні. Далі покажемо, як її розрахувати для чотирикутної піраміди правильної.

Площа бічної поверхні чотирикутної правильної піраміди

Щоб обчислити площу бічної поверхні зазначеної фігури, знову звернемося до наведеної вище розгортці. Припустимо, що нам відома сторона квадратного підстави. Позначимо її символом a. Видно, що кожен з чотирьох однакових трикутників, має підставу довжиною a. Щоб обчислити їх сумарну площу, необхідно знати цю величину для одного трикутника. З курсу геометрії відомо, що трикутника площа S t дорівнює добутку основи на висоту, яке слід поділити навпіл. Тобто:

Де h b - висота рівнобедреного трикутника, Проведена до основи a. Для піраміди ця висота є апотемой. Тепер залишається помножити отриманий вираз на 4, щоб отримати площа S b поверхні бічної для даної піраміди:

S b = 4 * S t = 2 * h b * a.

Ця формула містить два параметри: АПВТ і сторону підстави. Якщо остання в більшості умов завдань відома, то першу доводиться обчислювати, знаючи інші величини. Наведемо формули для розрахунку апотеми h b для двох випадків:

коли відома довжина бічного ребра;
коли відома висота піраміди.

Якщо позначити довжину ребра бокового (сторона рівнобедреного трикутника) символом L, тоді апотема h b визначитися за формулою:

h b = √ (L 2 - a 2/4).

Це вираження є результатом застосування теореми Піфагора для трикутника бічній поверхні.

Якщо відома висота h піраміди, тоді АПВТ h b можна розрахувати так:

h b = √ (h 2 + a 2/4).
Отримати цей вислів також не складно, якщо розглянути всередині піраміди прямокутний трикутник, Утворений катетами h і a / 2 і гіпотенузою h b.
Покажемо, як застосовувати ці формули, вирішивши дві цікаві завдання.

Завдання з відомою площею поверхні

Відомо, що площа бічної поверхні чотирикутної дорівнює 108 см 2. Необхідно обчислити значення довжини її апотеми h b, якщо висота піраміди дорівнює 7 см.
Запишемо формулу площі S b поверхні бічної через висоту. маємо:

S b = 2 * √ (h 2 + a 2/4) * a.

Тут ми просто підставили відповідну формулу апотеми в вираз для S b. Зведемо обидві частини рівності в квадрат:

S b 2 = 4 * a 2 * h 2 + a 4.

Щоб знайти значення a, зробимо заміну змінних:

t 2 + 4 * h 2 * t - S b 2 = 0.

Підставляємо тепер відомі значення і вирішуємо квадратне рівняння:

t 2 + 196 * t - 11664 = 0.

Ми виписали тільки позитивний корінь цього рівняння. Тоді сторони основи піраміди буде дорівнює:

a = √t = √47,8355 ≈ 6,916 см.

Щоб отримати довжину апотеми, досить скористатися формулою:

h b = √ (h 2 + a 2/4) = √ (7 2 + 6,916 2/4) ≈ 7,808 см.

Бічна поверхня піраміди Хеопса

Визначимо значення бічної для найбільшої єгипетської піраміди. Відомо, що в її основі лежить квадрат з довжиною сторони 230,363 метра. Висота споруди спочатку становила 146,5 метра. Підставами ці цифри в відповідну формулу для S b, отримаємо:

S b = 2 * √ (h 2 + a 2/4) * a = 2 * √ (146,5 2 +230,363 2/4) * 230,363 ≈ 85 860 м 2.

Знайдене значення трохи більше площі 17 футбольних полів.

піраміда- одна з різновидів багатогранника, утвореного з багатокутників і трикутників, які лежать в основі і є його гранями.

Причому на вершині піраміди (тобто в одній точці) всі грані об'єднуються.

Для того щоб обчислити площу піраміди, варто визначити, що її бокова поверхня складається з декількох трикутників. А їх площі ми зможемо легко знайти, застосовуючи

різні формули. Залежно від того, які дані трикутників нам відомі, ми шукаємо їх площа.

Перерахуємо деякі формули, за допомогою яких можна знайти площу трикутників:

S = (a * h) / 2 . В даному випадку нам відома висота трикутника h , Яка опущена на сторону a .
S = a * b * sinβ . Тут сторони трикутника a , b , А кут між ними - β .
S = (r * (a + b + c)) / 2 . Тут сторони трикутника a, b, c . Радіус кола, яка вписана в трикутник - r .
S = (a * b * c) / 4 * R . Радіус, описаного кола навколо трикутника - R .
S = (a * b) / 2 = r² + 2 * r * R . Дану формулу потрібно застосовувати тільки в тому випадку, коли трикутник є прямокутним.
S = (a² * √3) / 4 . Цю формулу застосовуємо до рівностороннього трикутника.

Лише після того, як розрахуємо площі всіх трикутників, які є гранями нашої піраміди, можна обчислити площу її бічній поверхні. Для цього будемо використовувати вище перераховані формули.

Для того щоб обчислити площу бічної поверхні піраміди, ніяких складнощів не виникає: потрібно дізнатися суму площ всіх трикутників. Висловимо це формулою:

Sп = ΣSi

тут Si є площею першого трикутника, а S п - площа бічної поверхні піраміди.

Розглянемо на прикладі. Дана правильна піраміда, її бічні грані утворені декількома рівносторонніми трикутниками,

« Геометрія є наймогутнішим засобом для хитрощі наших розумових здібностей».

Галілео Галілей.

а квадрат є підставою піраміди. Причому ребро піраміди має довжину 17 см. Знайдемо площу бічної поверхні цієї піраміди.

Міркуємо так: нам відомо, що гранями піраміди є трикутники, вони равносторонние. Також нам відомо, яка довжина ребра у цієї піраміди. Звідси виходить, що всі трикутники мають рівні бічні сторони, їх довжина 17 см.

Для обчислення площі кожного з даних трикутників, можна використовувати таку формулу:

S = (17² * √3) / 4 = (289 * 1.732) / 4 = 125.137 см²

Так, як ми знаємо, що квадрат лежить в основі піраміди, то виходить, що ми маємо чотири рівносторонніх трикутника. А це означає, що площа бічної поверхні піраміди легко розрахувати за такою формулою: 125.137 см² * 4 = 500.548 см²

Наша відповідь наступний: 500.548 см² - така площа бічної поверхні цієї піраміди.

У правильній трикутній піраміді SABC R- середина ребра АВ, S- вершина.
Відомо що SR = 6, А площа бічної поверхні дорівнює 36 .
Знайдіть довжину відрізка BC.

Зробимо креслення. У правильній піраміді бічні грані - трикутник.

відрізок SR- медіана, опущена на основу, а значить, і висота бічної грані.

Площа бічної поверхні правильної трикутної піраміди дорівнює сумі площ
трьох рівнихбічних граней S-пліч. = 3 · S ABS. Звідси S ABS = 36: 3 = 12- площа грані.

Площа трикутника дорівнює половині твори його заснування на висоту
S ABS = 0,5 · AB · SR. Знаючи площу і висоту, знайдемо бік підстави АВ = ВС.
12 = 0,5 · АВ · 6
12 = 3 · АВ
АВ = 4

відповідь: 4

Можна підійти до завдання і з іншого кінця. Нехай сторона підстави АВ = ВС = а.
Тоді площа грані S ABS = 0,5 · AB · SR = 0,5 · а · 6 = 3а.

Площа кожної з трьох граней дорівнює 3а, Площа трьох граней дорівнює 9а.
За умовою завдання площа бічної поверхні піраміди дорівнює 36.
S-пліч. = 9а = 36.
Звідси а = 4.

Площа бічної поверхні довільної піраміди дорівнює сумі площ її бічних граней. Спеціальну формулу для вираження цієї площі має сенс дати в разі правильної піраміди. Так, нехай дана правильна піраміда, в основі якої лежить правильний n-кутник зі стороною, що дорівнює а. Нехай h - висота бічної грані, називається також апофемойпіраміди. Площа однієї бічної грані дорівнює 1 / 2ah, а вся бокова поверхня піраміди має площу, рівну n / 2ha.Так як na - периметр основи піраміди, то можна написати знайдену формулу у вигляді:

Площа бічної поверхніправильної піраміди дорівнює добутку її апофеми на половину периметра підстави.

Що стосується площі повної поверхні, То просто до бічної додаємо площа підстави.

Вписані і описані сфера і куля. Потрібно відзначити, що центр вписаною в піраміду сфери лежить на перетині биссекторной площин внутрішніх двогранні кутів піраміди. Центр описаного навколо піраміди сфери лежить на перетині площин, що проходять через середини ребер піраміди і перпендикулярних їм.

Усічена піраміда.Якщо піраміду розсікти площиною, паралельної її основи, то частина, яка знаходиться між січною площиною і підставою, називається усіченої пірамідою.На малюнку показана піраміда, відкидаючи її частина, що лежить вище січної площини, отримуємо усічену піраміду. Ясно, що мала відкидається піраміда гомотетічна піраміді з центром гомотетии в вершині. Коефіцієнт подібності дорівнює відношенню висот: k = h 2 / h 1, або бічних ребер, або інших відповідних лінійних розмірів обох пірамід. Ми знаємо, що площі подібних фігур відносяться, як квадрати лінійних розмірів; так площі підстав обох пірамід (тобто пощади підстав усіченої піраміди) відносяться, як

Тут S 1 - площа нижньої основи, а S 2 - площа верхнього підстави усіченої піраміди. У такому ж відношенні знаходяться і бічні поверхні пірамід. Подібне правило є і для обсягів.

Обсяги подібних тілвідносяться, як куби їх лінійних розмірів; наприклад, обсяги пірамід відносяться, як твори їх висот на площі підстав, звідки наше правило виходить відразу. Воно має абсолютно загальний характер і прямо випливає з того, що обсяг завжди має розмірність третього ступеня довжини. Користуючись цим правилом, виведемо формулу, яка має обсяг усіченої піраміди через висоту і площі підстав.

Нехай дана усічена піраміда з висотою h і площами підстав S 1 і S 2. Якщо уявити собі, що його не було продовжено до повної піраміди, то коефіцієнт подібності полнорй піраміди і малої піраміди легко знайти, як корінь з відносини S 2 / S 1. Висота усіченої піраміди виражається як h = h 1 - h 2 = h 1 (1 - k). Тепер маємо для обсягу усіченої піраміди (через V 1 і V 2 позначені обсяги повної і малої пірамід)

формула обсягу усіченої піраміди

Виведемо формулу площі S бічної поверхні правильної зрізаної піраміди через периметри Р 1 і Р 2 підстав і довжину апофеми а. Міркуємо точно так же, як і при виведенні формули для об'єму. Доповнюємо піраміду верхньою частиною, маємо P 2 = kP 1, S 2 = k 2 S 1, де k - коефіцієнт подібності, P 1 і P 2 - периметри підстав, а S 1 і S 2 - Кінь бічних поверхонь всієї отриманої піраміди і її верхньої частини відповідно. Для бічної поверхні знайдемо (а 1 і а 2 - апофеми пірамід, а = а 1 - а 2 = а 1 (1-k))

формула площі бічної поверхні правильної зрізаної піраміди