Побудова правильних багатокутників - технічне креслення. Побудова правильних багатокутників Побудова 8 кутника

У кресленні найчастіше потрібна будувати позитивні багатокутники. Так, скажімо, позитивні восьмиугольникизастосовуються на щитах дорожніх знаків.

Вам знадобиться

• - циркуль
• - лінійка
• - олівець

Інструкція

1. Нехай заданий відрізок, рівний довжинібоку бажаного восьмикутника. Потрібно звести вірний восьмикутник. Першим кроком побудуйте трикутник на заданому відрізку, застосовуючи відрізок, як підставу. Для цього спочатку побудуйте квадрат зі стороною, що дорівнює відрізку, проведіть в ньому діагоналі. Зараз побудуйте бісектриси кутів при диагоналях (на малюнку бісектриси вказані синім), на перетині биссектрис утворюється вершина рівнобедреного трикутника, Сторони якого рівні радіусу кола, описаного навколо правильного восьмикутника.

2. Побудуйте коло з центром у вершині трикутника. радіус кола дорівнює сторонітрикутника. Зараз розведіть циркуль на відстань, рівну величині заданого відрізка. Відкладіть це відстань на колі, починаючи від всякого кінця відрізка. Об'єднайте всі отримані точки в восьмикутник.

3. Якщо ж задана окружність, в яку повинен бути вписаний восьмикутник, то побудови будуть ще простіше. Побудуйте дві перпендикулярні один одному осьові лінії, що проходять через центр кола. На перетині осьових та кола вийдуть чотири вершини майбутнього восьмикутника. Залишилося поділити відстань між цими точками на дузі кола навпіл, щоб отримати ще чотири вершини.

вірний трикутник- той, у якого всі сторони володіють ідентичною довжиною. Виходячи з цього визначення, побудова подібної різновиди трикутника є неважко завданням.

Вам знадобиться

• Лінійка, лист розлініяної паперу, олівець

Інструкція

1. Взяти аркуш чистого паперу, розлініяної в клітинку, лінійку і підмітити на папері три точки так, щоб вони знаходилися на ідентичному відстані один від одного (рис.1)

2. З підмогою лінійки об'єднати помічені на аркуші точки поступово, один за одним так, як це показано на малюнку 2.

Зверніть увагу!
У вірному (рівнобічному) трикутнику всі кути рівні 60 градусам.

Корисна порада
Рівносторонній трикутник так само є і рівнобедреним. Якщо трикутник рівнобедрений, то це означає, що 2 з 3-х його сторін рівні, а третя сторона вважається підставою. Всякий позитивний трикутник є рівнобедреним, в той час як зворотне заява не правильно.

восьмикутник- це, по своїй суті, два квадрата, зміщених щодо один одного на 45 ° і об'єднаних на вершинах цільної лінією. А тому, для того щоб позитивно зобразити таку геометричну фігуру, потрібно твердим олівцем дюже охайно, за правилами накреслити квадрат або коло, з якими і проводити наступні дії. Виклад орієнтоване на довжину сторони, що дорівнює 20 см. А значить, при розташуванні креслення розглядайте, щоб вертикальна і горизонтальна лінії довжиною 20 см вміщалися на аркуші паперу.

Вам знадобиться

• Лінійка, прямокутний трикутник, транспортир, олівець, циркуль, аркуш паперу

Інструкція

1. Метод 1. Накресліть внизу горизонтальну лінію довжиною 20 см. Після цього з одного боку зауважте транспортиром прямий кут, той, що складає 90 °. Те ж саме можна зробити з підтримкою прямого трикутника. Проведіть вертикальну лінію і зауважте 20 см. Виконайте ті ж самі маніпуляції з іншої сторони. Об'єднайте дві отримані точки горизонтальною лінією. В результаті вийшла геометрична фігура- квадрат.

2. Для того щоб звести 2-й (зміщений) квадрат, потрібно центр фігури. Для цього поділіть будь-яку сторону квадрата на 2 частини. Об'єднайте спочатку 2 точки паралельних верхньої і нижньої сторін, а потім точки бічних сторін. Проведіть через центр квадрата 2 прямі лінії, перпендикулярні відносно один одного. Починаючи від центру, відміряйте на нових прямих довжину по 10 см, що в результаті дасть 4 прямі лінії. Об'єднайте 4 отримані зовнішні точки між собою, в результаті чого вийде 2-й квадрат. Зараз будь-який пункт з 8 отриманих кутів об'єднайте між собою. Таким чином, буде накреслено восьмикутник.

3. Метод 2. Для цього буде потрібно циркуль, лінійка і транспортир. Від центру аркуша з підтримкою циркуля накресліть коло діаметром 20 см (радіус 10 см). Через центральну точку проведіть пряму лінію. Після цього накресліть другу перпендикулярну їй лінію. Те ж саме можна виконати з підмогою транспортира або прямого трикутника. В результаті коло буде поділений на 4 рівні частини. Далі кожен із секцій поділіть ще на 2 частини. Для цього також можна скористатися транспортиром, відмірюючи 45 ° або прямокутним трикутником, Той, що прикладіть гострим кутом в 45 ° і проведіть промені. Від центру на будь-якої прямої лінії відміряйте по 10 см. В результаті вийдуть 8 «промінчиків», які об'єднайте між собою. У підсумку вийде восьмикутник.

4. Метод 3. Для цього так само накресліть коло, проведіть через середину лінію. Після цього візьміть транспортир, поставте його на центр і відміряйте кути, розглядаючи, що всякий секція восьмикутника має в центрі кут 45 °. Пізніше цього на отриманих променях відміряйте довжину в 10 см. І об'єднайте їх між собою. восьмикутникготовий.

Корисна порада
Робіть креслення твердим олівцем, побічні лінії на якому після цього легко можна буде видалити

Вірний восьмикутник - це геометрична фігура, у якої всякий кут становить 135 ?, і всі сторони між собою рівні. Ця фігура дюже часто використовується в архітектурі, наприклад, при будівництві колон, а також при виготовленні дорожнього знака STOP. Як же намалювати позитивний восьмикутник?

Вам знадобиться

• - альбомний аркуш;
• - олівець;
• - лінійка;
• - циркуль;
• - ластик.

Інструкція

1. Намалюйте спочатку квадрат. Після цього проведіть коло так, щоб квадрат опинився всередині кола. Зараз проведіть дві осьові серединні лінії квадрата - горизонтальну і вертикальну до перетину з колом. Об'єднайте прямими відрізками точки перетину осей з колом і точки дотику описаного кола з квадратом. Таким чином, отримаєте боку вірного восьмикутника.

2. Намалюйте вірний восьмикутник іншим методом. Спочатку накресліть коло. Після цього проведіть горизонтальну лінію через її центр. Зауважте точку перетину крайній правій межі кола з горизонталлю. Ця точка буде центром ще одному колі, радіусом рівним попередньої фігурі.

3. Проведіть вертикальну лінію через точки перетину 2-й окружності з першої. Поставте ніжку циркуля в точку перетину вертикалі з горизонталлю і накресліть невелике коло радіусом, рівним відстані від центру крихітної окружності до центру початкового кола.

4. Накресліть пряму лінію через дві точки - центр початкового кола і точку перетину вертикалі і крихітної окружності. Продовжіть її до перетину з кордоном початкової фігури. Це буде точка вершини восьмикутника. Циркулем зауважте ще одну точку, провівши коло з центром в точці перетину крайній правій кордоном початкового кола з горизонталлю і радіусом, рівним відстані від центру до вже існуючої вершині восьмикутника.

5. Проведіть пряму лінію через дві точки - центр початкового кола і останню новостворену точку. Продовжіть пряму лінію до перетину з межами первісної фігури.

6. Об'єднайте прямими відрізками східчасто: точку перетину горизонталі з правого кордоном початкової фігури, після цього за годинниковою стрілкою все утворилися точки, включаючи точки перетину осей з первісної окружністю.

Відео по темі

Побудова вписаного в коло правильного шестикутника.Побудова шестикутника засноване на тому, що сторона його дорівнює радіусу описаного кола. Тому для побудови достатньо розділити окружність на шість рівних частин і з'єднати знайдені точки між собою (фіг. 60, а).

Правильний шестикутник можна побудувати, користуючись рейсшиною і косинцем 30X60 °. Для виконання цієї побудови приймаємо горизонтальний діаметр окружності за бісектрису кутів 1 і 4 (фіг. 60, б), будуємо боку 1 -6, 4-3, 4-5 і 7-2, після чого проводимо боку 5-6 і 3 2.

Побудова вписаного в коло рівностороннього трикутника. Вершини такого трикутника можна побудувати за допомогою циркуля і косинця з кутами в 30 і 60 ° або тільки одного циркуля.

Розглянемо два способи побудови вписаного в коло рівностороннього трикутника.

перший спосіб(Фіг. 61, a) заснований на тому, що всі три кути трикутника 7, 2, 3 містять по 60 °, а вертикальна пряма, проведена через точку 7, є одночасно висотою і бісектрисою кута 1. Так як кут 0-1- 2 дорівнює 30 °, то для знаходження сторони

1-2 досить побудувати по точці 1 і стороні 0-1 кут в 30 °. Для цього встановлюємо рейсшини і косинець так, як це показано на фігурі, проводимо лінію 1-2, яка буде однією зі сторін шуканого трикутника. Щоб побудувати сторону 2-3, встановлюємо рейсшини в положення, показане штриховими лініями, і через точку 2 проводимо пряму, яка визначить третю вершину трикутника.

другий спосібзаснований на тому, що, якщо побудувати правильний шестикутник, Вписаний в коло, і потім з'єднати його вершини через одну, то вийде рівносторонній трикутник.

Для побудови трикутника (фіг. 61, б) намічаємо на діаметрі вершину-точку 1 і проводимо діаметральну лінію 1-4. Далі з точки 4 радіусом, рівним D / 2, описуємо дугу до перетину з колом в точках 3 і 2. Отримані точки будуть двома іншими вершинами шуканого трикутника.

Побудова квадрата, вписаного в коло. Це побудова можна виконати за допомогою кутника і циркуля.

Перший спосіб заснований на тому, що діагоналі квадрата перетинаються в центрі описаного кола і нахилені до його осях під кутом 45 °. Виходячи з цього, встановлюємо рейсшини і косинець з кутами 45 ° так, як це показано на фіг. 62, а, і відзначаємо точки 1 і 3. Далі через ці точки проводимо за допомогою рейсшини горизонтальні сторони квадрата 4-1 і 3-2. Потім за допомогою рейсшини по катету кутника проводимо вертикальні боку квадрата 1-2 і 4-3.

Другий спосіб заснований на тому, що вершини квадрата ділять навпіл дуги окружності, ув'язнені між кінцями діаметра (фіг. 62, б). Намічаємо на кінцях двох взаємно перпендикулярних діаметрів точки А, В і С і з них радіусом у описуємо дуги до взаємного їх перетину.

Далі через точки перетину дуг проводимо допоміжні прямі, відмічені на фігурі суцільними лініями. Точки їх перетину з колом визначать вершини 1 і 3; 4 і 2. Отримані таким чином вершини шуканого квадрата з'єднуємо послідовно між собою.

Побудова вписаного в коло правильного п'ятикутника.

Щоб вписати в коло правильний п'ятикутник (фіг. 63), виробляємо наступні побудови.

Намічаємо на колі точку 1 і приймаємо її за одну з вершин п'ятикутника. Ділимо відрізок АТ навпіл. Для цього радіусом АТ з точки А описуємо дугу до перетину з колом в точках M і В. Поєднавши ці точки прямої, отримаємо точку К, яку з'єднуємо потім з точкою 1. Радіусом, рівним відрізку A7, описуємо з точки До дугу до перетину з діаметральної лінією АТ в точці H. Поєднавши точку 1 з точкою H, отримаємо сторону п'ятикутника. Потім розчином циркуля, рівним відрізку 1H, описавши дугу з вершини 1 до перетину з колом, знайдемо вершини 2 і 5. Зробивши тим же розчином циркуля зарубки з вершин 2 і 5, отримаємо інші вершини 3 і 4. Знайдені точки послідовно з'єднуємо між собою.

Побудова правильного п'ятикутника по даній його стороні.

Для побудови правильного п'ятикутника по даній його стороні (фіг. 64) ділимо відрізок AB на шість рівних частин. З точок А і В радіусом AB описуємо дуги, перетин яких дасть точку К. Через цю точку і розподіл 3 на прямий AB проводимо вертикальну пряму.

Отримаємо точку 1-вершину п'ятикутника. Потім радіусом, рівним АВ, з точки 1 описуємо дугу до перетину з дугами, раніше проведеними з точок А і В. Точки перетину дуг визначають вершини п'ятикутника 2 і 5. Знайдені вершини з'єднуємо послідовно між собою.

Побудова вписаного в коло правильного семикутника.

Нехай дана окружність діаметра D; потрібно вписати в неї правильний семикутник (фіг. 65). Ділимо вертикальний діаметр окружності на сім рівних частин. З точки 7 радіусом, рівним діаметру окружності D, описуємо дугу до перетину з продовженням горизонтального діаметра в точці F. Точку F назвемо полюсом багатокутника. Прийнявши точку VII за одну з вершин семикутника, проводимо з полюса F через парні розподілу вертикального діаметра промені, перетин яких з окружністю визначать вершини VI, V і IV семикутника. Для отримання вершин /// - /// з точок IV, V і VI проводимо до перетину з колом горизонтальні прямі. Знайдені вершини з'єднуємо послідовно між собою. Семикутник може бути побудований шляхом проведення променів з полюса F і через непарні поділу вертикального діаметра.

Наведений спосіб придатний для побудови правильних багатокутників з будь-яким числом сторін.

Поділ кола на будь-яке число рівних частин можна проводити також, користуючись даними табл. 2, в якій наведено коефіцієнти, що дають можливість визначати розміри сторін правильних вписаних багатокутників.

Куклін Олексій

Робота носить реферативний характер з елементами дослідницької діяльності. У ній розглядаються різні способипобудови правильних n-кутників. У роботі міститься докладний відповідь на питання про те, що завжди можна побудувати n-кутник за допомогою циркуля і лінійки. До роботи додається презентація, яку можна знайти на даному міні-сайті.

Завантажити:

Попередній перегляд:

Щоб користуватися попереднім переглядом створіть собі аккаунт (обліковий запис) Google і увійдіть в нього: https://accounts.google.com

Попередній перегляд:

https://accounts.google.com

Підписи до слайдів:

Побудова правильних багатокутників Роботу виконав: учень 9 класу «В» МБОУ ЗОШ № 10 Куклін Олексій

Правильні багатокутники Правильним многоугольником називають опуклий багатокутник, у якого всі сторони і кути рівні. Перейти до прикладів опуклий багатокутник називається багатокутник, всі крапки якого лежать по одну сторону від будь-якої прямої, що проходить через дві його сусідні вершини.

Назад Правильні багатокутники

Засновниками розділу математики про правильні багатокутники були давньогрецькі вчені. Одними з них були Архімед і Евклід.

Доказ існування правильного n-кутника Якщо n (число кутів багатокутника) більше 2, то такий багатокутник існує. Спробуємо побудувати 8ми кутник і довести це. Доведення

Візьмемо коло довільного радіуса з центром в точці О. Розділимо її на деяке число рівних дуг, в нашому випадку 8. Для цього проведемо радіуси так, щоб вийшло 8 дуг, і кут між двома найближчими радіусами дорівнював 360 °: кількість сторін (в нашому випадку 8), відповідно кожен кут дорівнюватиме 45 °.

3. Отримуємо точки A1, A2, A3, A4, A5, A6, A7, A8. По черзі з'єднуємо їх і отримуємо правильний восьмикутник. назад

Побудова правильного багатокутника по стороні з використанням повороту Правильний багатокутник можна побудувати, знаючи його кути. Ми знаємо, що сума кутів опуклого n-кутника дорівнює 180 ° (n - 2). З цього можна обчислити кут багатокутника, розділивши суму на n. кути Побудова

Кут правильного: 3-кутника дорівнює 60 ° 4-кутника дорівнює 90 ° 5-кутника дорівнює 108 ° 6-кутника дорівнює 120 ° 8-кутника дорівнює 135 ° 9-кутника дорівнює 140 ° 10-кутника дорівнює 144 ° 12-кутника дорівнює 150 ° Градусная міра кутів правильних трикутників Назад

Попередній перегляд:

Щоб користуватися попереднім переглядом презентацій створіть собі аккаунт (обліковий запис) Google і увійдіть в нього: https://accounts.google.com

Підписи до слайдів:

У 1796 році одним з найвидатніших математиків всіх часів Карл Фрідріх Гаус показав можливість побудови правильних n-кутників, якщо виконується рівність, де n - кількість кутів, а k-будь-яке натуральне число. Тим самим вийшло, що в межах 30 можливо поділ кола на 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 16, 17, 20, 24, 30 рівних частин. У 1836 році Ванцель довів, що правильні багатокутники, що не відповідають даним рівності за допомогою лінійки і циркуля побудувати не можна. теорема Гаусса

Побудова трикутника Побудуємо коло з центром в точці О. Побудуємо ще одне коло того ж радіуса проходить через точку О.

3. З'єднаємо центри кіл і одну з точок їх перетину, отримавши правильний багатокутник. Назад Побудова трикутника

Побудова шестикутника 1. Побудуємо коло з центром в точці О. 2. Проведемо пряму лінію через центр кола. 3. Проведемо дугу окружності того ж радіуса з центром в точці перетину прямої з колом до перетину з колом.

4. Проведемо прямі через центр початковій окружності і точки перетину дуги з цим колом. 5. З'єднуємо точки перетину всіх прямих з вихідної окружністю і отримуємо правильний шестикутник. побудова шестикутника

Побудова чотирикутника Побудуємо коло з центром в точці О. Проведемо 2 взаємно перпендикулярних діаметра. З точок в яких діаметри стосуються окружності проводимо інші окружності даного радіуса до їх перетину (кіл).

Побудова чотирикутника 4. Проводимо прямі через точки перетину кіл. 5. З'єднуємо точки перетину прямих і окружності і отримуємо правильний чотирикутник.

Побудова восьмикутника Можна побудувати будь-який правильний багатокутник у якого в 2 рази більше кутів, ніж у даного. Побудуємо восьмикутник за допомогою чотирикутника. З'єднаємо протилежні вершини чотирикутника. Проведемо бісектриси кутів утворених пересічними діагоналями.

4. З'єднаємо точки, що лежать на колі, отримавши при цьому правильний восьмикутник. побудова восьмикутника

Попередній перегляд:

Щоб користуватися попереднім переглядом презентацій створіть собі аккаунт (обліковий запис) Google і увійдіть в нього: https://accounts.google.com

Підписи до слайдів:

Побудова десятіугольніка Побудуємо коло з центром в точці О. Проведемо 2 взаємно перпендикулярних діаметра. Розділимо радіус кола навпіл і з отриманої на ньому точки проведемо окружність проходить через точку О.

Побудова десятіугольніка 4. Проведемо відрізок з центру маленької окружності до точки в якій велика окружність стосується свого радіусу. 5. З точки дотику великому колу і її радіусу проведемо окружність так, що вона буде стикатися з маленькою.

Побудова десятіугольніка 6. З точок перетину великий і отриманої кіл проведемо кола побудовані в минулий раз і так будемо проводити до тих пір поки сусідні коло не стикнуться. 7. З'єднаємо точки і отримаємо десятіугольнік.

Побудова п'ятикутника Для побудови правильного п'ятикутника потрібно під час побудови правильного десятіугольніка з'єднати по черзі не всі точки, а через одну.

Приблизна побудова правильного п'ятикутника методом Дюрера Побудуємо 2 кола проходять через центр один одного. З'єднаємо центри прямий, отримавши одну зі сторін п'ятикутника. З'єднаємо точки перетину кіл.

Приблизна побудова правильного п'ятикутника методом Дюрера 4. Проведемо ще одне коло того ж радіуса з центром в точці перетину двох інших кіл. 5. Проведемо 2 відрізка як зазначено на малюнку.

Приблизна побудова правильного п'ятикутника методом Дюрера 6. З'єднаємо точки дотику цих відрізків з колами з кінцями побудованої боку п'ятикутника. 7. Добудуємо до п'ятикутника.

Приблизна побудова правильного п'ятикутника методами Коваржика, Біона