Канонічне та параметричне рівняння прямої. Параметричні рівняння Складання параметричного рівняння прямої

Обов'язково прочитайте цей параграф!Параметричні рівняння, звичайно, не альфа і омега просторової геометрії, але робоча мураха багатьох завдань. Причому цей вид рівнянь часто застосовується несподівано, і я б сказав, витончено.

Якщо відома точка , що належить прямої, і напрямний вектор даної прямої, параметричні рівняння цієї прямої задаються системою :

Про поняття параметричних рівнянь я розповідав на уроках Рівняння прямої на площиніі Похідна параметрично заданої функції.

Все простіше пареної ріпи, тому доведеться приперчити завдання:

Приклад 7

Рішення: Прямі задані канонічними рівняннями і першому етапі слід знайти якусь точку, що належить прямої, та її напрямний вектор.

а) З рівнянь знімаємо крапку та напрямний вектор: . Крапку можна вибрати й іншу (як це зробити – розказано вище), але краще взяти саму очевидну. До речі, щоб уникнути помилок, завжди підставляйте її координати на рівняння.

Складемо параметричні рівняння даної прямої:

Зручність параметричних рівнянь у тому, що з допомогою дуже легко знаходити інші точки прямий. Наприклад, знайдемо точку , координати якої, скажімо, відповідають значенню параметра:

Таким чином:

б) Розглянемо канонічні рівняння. Вибір точки тут нескладний, але підступний: (будьте уважні, не переплутайте координати!). Як витягнути напрямний вектор? Можна поміркувати, чому паралельна дана пряма, а можна використовувати простий формальний прийом: у пропорції знаходяться «гравець» і «зет», тому запишемо напрямний вектор, а на місце поставимо нуль: .

Складемо параметричні рівняння прямої:

в) Перепишемо рівняння у вигляді, тобто «зет» може бути будь-яким. А якщо будь-яким, то нехай, наприклад, . Таким чином, точка належить даній прямій. Для знаходження напрямного вектора використовуємо наступний формальний прийом: у вихідних рівняннях знаходяться «ікс» та «гравець», і в напрямному векторі на даних місцях записуємо нулі: . На місце, що залишилося, ставимо одиницю: . Замість одиниці підійде будь-яке число, крім нуля.

Запишемо параметричні рівняння прямої:

Для тренування:

Приклад 8

Скласти параметричні рівняння наступних прямих:

Рішення та відповіді наприкінці уроку. Отримані вами відповіді можуть дещо відрізнятися від моїх відповідей, річ у тому, що параметричні рівняння можна записати не єдиним способом. Важливо, щоб ваші та мої напрямні вектори були колінеарними, і ваша точка «підходила» до моїх рівнянь (ну, або навпаки, моя точка до ваших рівнянь).

Як ще можна задати пряму у просторі? Хочеться щось вигадати з вектором нормалі. Однак номер не пройде, у просторової прямої нормальні вектори можуть дивитися зовсім у різні боки.

Ще про один спосіб вже згадувалося на уроці Рівняння площинита на початку цієї статті.

У цій статті ми розглянемо параметричне рівняння прямої на площині. Наведемо приклади побудови параметричного рівняння прямої, якщо відомі дві точки цієї прямої або якщо відома одна точка і напрямний вектор цієї прямої. Представимо методи перетворення рівняння у параметричному вигляді на канонічний та загальний види.

Параметричне рівняння прямої Lна площині представляється наступною формулою:

(1)

де x 1 , y 1 координати деякої точки M 1 на прямий L. Вектор q={m, p) є напрямним вектором прямої L, t− деякий параметр.

Зазначимо, що при записі рівняння прямої в параметричному вигляді, напрямний вектор прямий не повинен бути нульовим вектором, тобто хоча б один координат напрямного вектора qмає бути відмінним від нуля.

Для побудови прямої на площині в декартовій системі координат, заданої параметричним рівнянням (1), достатньо задати параметру tдві різні значення, обчислити xі yта провести через ці точки пряму лінію. При t=0 маємо точку M 1 (x 1 , y 1) при t=1, отримаємо точку M 2 (x 1 +m, y 1 +p).

Для складання параметричного рівняння прямої на площині Lдостатньо мати точку на прямій Lі напрямний вектор прямої або дві точки, що належать прямій L. У першому випадку для побудови параметричного рівняння прямої потрібно координати точки і напрямного вектора вставити в рівняння (1). У другому випадку спочатку потрібно знайти напрямний вектор прямий q={m, p), обчислюючи різниці відповідних координат точок M 1 та M 2: m=x 2 −x 1 , p=y 2 −y 1 (Рис.1). Далі, аналогічно першому випадку, підставити координати однієї з точок (не має значення якої саме) і напрямного вектора qпрямий (1).

Приклад 1. Пряма проходить через точку M=(3,−1) і має напрямний вектор q=(-3, 5). Побудувати параметричне рівняння прямої.

Рішення. Для побудови параметричного рівняння прямої, підставимо координати точки і напрямного вектора рівняння (1):

Спростимо отримане рівняння:

З виразів (3) можемо записати канонічне рівняння прямої на площині:

Привести дане рівняння прямої до канонічному вигляду.

Рішення: Виразимо параметр tчерез змінні xі y:

(5)

З виразів (5) можемо записати.

Нехай l- Деяка пряма простору. Як і в планіметрії, будь-який вектор

а =/= 0, колінеарний прямий l, називається напрямним векторомцієї прямої.

Положення прямий у просторі повністю визначається завданням напрямного вектора та точки, що належить прямій.

Нехай пряма lз напрямним вектором а проходить через точку M 0 а М - довільна точка простору. Вочевидь, що точка М (рис. 197) належить прямий lтоді і тільки тоді, коли вектор \(\overrightarrow(M_0 M)\) колінеарен вектору а , тобто.

\(\overrightarrow(M_0 M)\) = t a , t\(\in \) R. (1)

Якщо точки М та M 0 задані своїми радіус-векторами r і r 0 (рис. 198) щодо деякої точки Про простору, то \(\overrightarrow(M_0 M)\) = r - r 0 , і рівняння (1) набуває вигляду

r = r 0 + t a , t\(\in \) R. (2)

Рівняння (1) та (2) називаються векторно-параметричними рівняннями прямої. Змінна tу векторно-параметричних рівняннях прямої називається параметром.

Нехай точка M 0 пряма lта напрямний вектор а задані своїми координатами:

M 0 ( х 0 ; у 0 , z 0), а = (а 1 ; а 2 ; а 3).

Тоді, якщо ( х; у; z) - координати довільної точки М прямої l, то

\(\overrightarrow(M_0 M) \) = ( х - х 0 ; у - у 0 ; z - z 0)

і векторне рівняння (1) рівносильно наступним трьом рівнянням:

х - х 0 = tа 1 , у - у 0 = tа 2 , z - z 0 = tа 3

$$ \begin(cases) x = x_0 + ta_1 \\ y = y_0 + ta_2 \\ z = z_0 + ta_3, \;\;t\in R\end(cases) (3)$$

Рівняння (3) називаються параметричними рівняннями прямої в просторі.

Завдання 1.Написати параметричні рівняння прямої, що проходить через точку

M 0 (-3; 2; 4) і має напрямний вектор а = (2; -5; 3).

В даному випадку х 0 = -3, у 0 = 2, z 0 = 4; а 1 = 2; а 2 = -5; а 3 = 3. Підставивши ці значення до формули (3), отримаємо параметричні рівняння даної прямої

$$ \begin(cases) x = -3 - 2t \\ y = 2 - 5t \\ z = 4 + 3t, ​​\;\;t\in R\end(cases) $$

Виключимо параметр tіз рівнянь (3). Це можна зробити, оскільки а =/= 0 і тому одна з координат вектора а свідомо відмінна від нуля.

Нехай спочатку всі координати відмінні від нуля. Тоді

$$ t=\frac(x-x_0)(a_1),\;\;t=\frac(y-y_0)(a_2),\;\;t=\frac(z-z_0)(a_3) $$

і, отже,

$$ \frac(x-x_0)(a_1)=\frac(y-y_0)(a_2)=\frac(z-z_0)(a_3) \;\; (4)$$

Ці рівняння називаються канонічними рівняннями прямою .

Зауважимо, що рівняння (4) утворюють систему двох рівнянь із трьома змінними х, уі z.

Якщо у рівняннях (3) одна з координат вектора а , наприклад а 1 дорівнює нулю, виключивши параметр t, знову отримаємо систему двох рівнянь із трьома змінними х, уі z:

\(x=x_0, \;\; \frac(y-y_0)(a_2)=\frac(z-z_0)(a_3)\)

Ці рівняння називаються канонічними рівняннями прямої. Для однаковості їх також умовно записують як (4)

\(\frac(x-x_0)(0)=\frac(y-y_0)(a_2)=\frac(z-z_0)(a_3)\)

вважаючи, що знаменник дорівнює нулю, то дорівнює нулю і відповідний чисельник. Ці рівняння є рівняннями прямої, що проходить через точку M 0 ( х 0 ; у 0 , z 0) паралельно координатної площини yOzтак як цій площині паралельний її напрямний вектор (0; а 2 ; а 3).

Зрештою, якщо в рівняннях (3) дві координати вектора а , наприклад а 1 та а 2 рівні нулю, то ці рівняння набувають вигляду

х = х 0 , y = у 0 , z = z 0 + t a 3 , t\(\in \) R.

Це рівняння прямої, що проходить через точку M 0 ( х 0 ; у 0 ; z 0) паралельно осі Oz. Для такої прямої х = х 0 , y = у 0 , a z- Будь-яке число. І в цьому випадку для однаковості рівняння прямої можна записувати (з тим самим застереженням) у вигляді (4)

\(\frac(x-x_0)(0)=\frac(y-y_0)(0)=\frac(z-z_0)(a_3)\)

Таким чином, для будь-якої прямої простору можна написати канонічні рівняння (4), і, навпаки, будь-яке рівняння виду (4) за умови, що хоча б один із коефіцієнтів а 1 , а 2 , а 3 не дорівнює нулю, задає деяку пряму простір.

Завдання 2.Написати канонічні рівняння прямої, що проходить через точку M 0 (- 1; 1, 7) паралельно вектору а = (1; 2; 3).

Рівняння (4) в даному випадку записуються наступним чином:

\(\frac(x+1)(1)=\frac(y-1)(2)=\frac(z-7)(3)\)

Виведемо рівняння прямої, що проходить через дві дані точки M 1 ( х 1 ; у 1 ; z 1) та

M 2 ( х 2 ; у 2 ; z 2). Очевидно, що за напрямний вектор цієї прямої можна взяти вектор a = (х 2 - х 1 ; у 2 - у 1 ; z 2 - z 1), а за точку М 0 через яку проходить пряма, наприклад, точку M 1 . Тоді рівняння (4) запишуться так:

\(\frac(x-x_1)(x_2 - x_1)=\frac(y-y_1)(y_2 - y_1)=\frac(z-z_1)(z_2 - z_1)\) (5)

Це і є рівняння прямої, що проходить через дві точки M 1 ( х 1 ; у 1 ; z 1) та

M 2 ( х 2 ; у 2 ;z 2).

Завдання 3.Написати рівняння прямої, що проходить через точки M 1 (-4; 1; -3) та M 2 (-5; 0; 3).

В даному випадку х 1 = -4, у 1 = 1, z 1 = -3, х 2 = -5, у 2 = 0, z 2 = 3. Підставивши ці значення до формули (5), отримаємо

\(\frac(x+4)(-1)=\frac(y-1)(-1)=\frac(z+3)(6)\)

Завдання 4.Написати рівняння прямої, що проходить через точки M 1 (3; -2; 1) та

M 2 (5; -2; 1/2).

Після підстановки координат точок M 1 і M 2 у рівняння (5) отримаємо

\(\frac(x-3)(2)=\frac(y+2)(0)=\frac(z-1)(-\frac(1)(2))\)

Параметричні рівняння прямої елементарно виходять з канонічного рівняння цієї прямої, що має вигляд . Приймемо за параметр величину, яку можна помножити ліву і праву частини канонічного рівняння.

Так як один із знаменників обов'язково відмінний від нуля, а відповідний чисельник може приймати будь-які значення, то областю зміни параметра є вся вісь дійсних чисел: .

Ми отримаємо або остаточно

Рівняння (1) і є потрібні параметричні рівняння прямої. Ці рівняння припускають механічну інтерпретацію. Якщо вважати, що параметр - це час, який відраховується від деякого початкового моменту, то параметричні рівняння визначають закон руху матеріальної точкипо прямій лінії з постійною швидкістю(Такий рух відбувається за інерцією).

приклад 1.Скласти на площині параметричні рівняння прямої, що проходить через точку, що має напрямний вектор .

Рішення. Підставляємо дані точки і напрямного вектора (1) і отримуємо:

Часто в завданнях потрібно перетворити параметричні рівняння прямої на інші види рівнянь, а з рівнянь інших видів отримати параметричні рівняння прямої. Розберемо кілька прикладів. Для перетворення параметричних рівнянь прямої в загальне рівняння прямоїспочатку слід привести їх до канонічного вигляду, а потім з канонічного рівняння отримати загальне рівнянняпрямий

приклад 2.Записати рівняння прямої

у загальному вигляді.

Рішення. Спочатку наводимо параметричні рівняння прямої до канонічного рівняння:

Подальшими перетвореннями наводимо рівняння до загального вигляду:

Дещо складніше перетворення загального рівняння в параметричні рівняння прямої, але й цієї дії можна скласти точний алгоритм. Спочатку можна перетворити загальне рівняння на рівняння з кутовим коефіцієнтомі знайти з нього координати будь-якої точки, що належить прямий, надаючи одній з координат довільне значення. Коли відомі координати точки та напрямного вектора (із загального рівняння), можна записати параметричні рівняння прямої.

приклад 3.Записати рівняння прямої як параметричних рівнянь.

Рішення. Наводимо загальне рівняння прямої рівняння з кутовим коефіцієнтом:

Знаходимо координати деякої точки, що належить прямій. Надамо одній з координат точки довільне значення

З рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом отримуємо іншу координату точки:

Таким чином, нам відомі точка та напрямний вектор . Підставляємо їх дані (1) і отримуємо шукані параметричні рівняння прямої:

приклад 4.Знайти кутовий коефіцієнт прямої, заданої параметричними рівняннями

Рішення. Параметричні рівняння прямої спочатку слід перетворити на канонічне, потім у загальне і, нарешті, на рівняння з кутовим коефіцієнтом.

Таким чином, кутовий коефіцієнт заданої прямої:

Приклад 5.Скласти параметричні рівняння прямої, яка проходить через точку і перпендикулярна до прямої

Лекція №7

Площина та пряма у просторі

проф. Димков М.П.

1. Параметричне рівняння прямої

Нехай дано точку M 0 (x 0 , y 0 , z 0 ) на прямий і вектор s = (l ,m ,n ), що лежить на

цієї прямої (або їй паралельної). Вектор s ще називають напрямним вектором прямий.

Цими умовами однозначно визначається пряма у просторі. Знайдемо її

рівняння. Візьмемо довільну точку M (x, y, z) на прямій. Зрозуміло, що вектори

M 0 M (x − x 0 , y − y 0 , z − z 0 ) та s колінеарні.

Отже M 0 M = t s − є векторне рівняння прямої.

У координатному записі останнє рівняння має наступне параметричне подання

x = x0 + t l ,

y = y0 + tm,

z = z0 + tn,

−∞ < t < +∞,

де t – «пробігає»

проміжок (−∞ ,∞ ) ,

(т.к. точка M (x, y, z) повинна

«пробігати»

всю пряму).

2. Канонічне рівняння прямої

Виключивши параметр t із попередніх рівнянь, маємо

x − x

y − y

z − z

T −

канонічне рівняння прямої.

3. Кут між прямими. Умови « » та « » двох прямих

Нехай дані дві прямі

x − xi

y − yi

z − zi

i = 1,2.

Визначення.

Кутом між прямими L 1 і L 2

назвемо будь-який кут з

двох кутів, утвореними двома прямими, відповідно паралельними даної і проходять через одну точку (для чого можливо потрібно зробити паралельне перенесення однієї з прямих).

З визначення випливає, що один з кутів дорівнює куту між

напрямними векторами прямих

= (l 1, m 1, n 1)

= (l 2 ,m 2 ,n 2 ) , [а другий кут

тоді дорівнюватиме (π − φ ) ]. Тоді кут визначається із співвідношення

cosφ =

l 1 2 + m 1 2 + n 1 2

l 2 2 + m 2 2 + n 2 2

Прямі паралельніякщо s і s

колінеарні

Прямі перпендикулярні s 1 s 2 l 1 l 2 + m 1 m 2 + n 1 n 2 = 0 .

4. Кут між прямою та площиною. Умови « » та « »

площині

Нехай пряма L задана своїм канонічним рівнянням x − l x 0 = y − m y 0 = z − n z 0 ,

а площина P – рівнянням

Ax+By+Cz+D=0.

Визначення. Кутом між прямою L

і площиною р називається гострий кутміж прямою L та її проекцією на площину.

З визначення (і малюнка) випливає, що кут ϕ є додатковим (до прямого кута) до кута між вектором нормалі n (A, B, C) і

напрямним вектором s (l, m, n).

Al+Bm+Cn

−φ

Sin φ =

A 2 + B 2 + C 2 l 2 + m 2 + n 2

(. береться, щоб отримати гострий кут).

Якщо L Р , тоді s n (s ,n ) = 0

Al + Bm + Cn = 0 −					умова «».
Якщо L Р , тоді s колінеарно n
				C −	умова «».
5. Точки перетину прямої та площини
L : x = x0 + l, t,					y = y0 + m t, z = z0 + n t;
P: Ax+By+Cz+D=0.
Підставивши вирази для х , у , z рівняння площини і перетворивши,
		t = − Ax 0 + By 0 + Cz 0 + D.
				Al+Bm+Cn

Тепер, якщо підставити знайдене «t» у параметричні рівняння прямої, то знайдемо точку перетину, що шукається.

Лекція №8-9

Основи математичного аналізу

проф. Димков М.П.

Однією з основних операцій математичного аналізу є операція граничного переходу, що у курсі різних формах. Ми почнемо з найпростішої форми операції граничного переходу, що базується на понятті межі так званої числової послідовності. Це полегшить нам запровадження й інший дуже важливої ​​форми операції граничного переходу – межі функції. У подальшому конструкції граничних переходів використовуватимуться у побудові диференціального та інтегрального обчислення.



 Нескінченно малі та нескінченно великі послідовності

 Зв'язок нескінченно великих та нескінченно малих послідовностей.

 Найпростіші властивості нескінченно малих послідовностей

 Межа послідовності.

 Властивості послідовностей, що сходяться

 Арифметичні операції над послідовностями, що сходяться.

 Монотонні послідовності

 Критерій збіжності Коші

 Число е та його економічна ілюстрація.

 Застосування меж в економічних розрахунках

§ 1. Числові послідовності та найпростіші властивості

1. Поняття числової послідовності. Арифметичні операції над послідовностями

Числові послідовності являють собою нескінченні множини чисел. Приклади послідовностей відомі зі школи:

1) послідовність всіх членів нескінченної арифметичної та геометричної прогресій;

2) послідовність периметрів правильних n -кутників, вписаних у дане коло;

	3) послідовність чисел							наближають число

будемо називати числовою послідовністю (або просто послідовністю).

Окремі числа x 3 , x 5 , x n називатимемо елементами або членами послідовності (1). Символ x n називають загальним або n членом даної послідовності. Надаючи значення n = 1, 2, … у загальному члені x n ми отримуємо, відповідно, перший x 1 другий x 2 і т.д. члени.

Послідовність вважається заданою (див. Опр.), якщо вказано спосіб отримання будь-якого її елемента. Часто послідовність задають формулою загального члена послідовності.

Для скорочення запису послідовність (1) іноді записують як

(x n). Наприклад,			означає послідовність 1,
( 1+ (− 1)n ) маємо			0, 2, 0, 2, … .

Структура загального члена (його формула) може бути складною. Наприклад,

							n N.
x n =					n-непарне

Іноді послідовність задається так званими рекурентними формулами, тобто. формулами, що дозволяють знаходити наступні члени послідовності за відомими попередніми.

Приклад (числа Фібоначчі).Нехай x 1 = x 2 = 1 і задано рекурентну формулу x n = x n − 1 + x n − 2 для n = 3, 4, … . Тоді маємо послідовність 1, 1,

2, 3, 5, 8, … (числа Леонардо з Пізи на прізвисько Фібоначчі). Геометрично числову послідовність можна зобразити на чис-

лової осі у вигляді послідовності точок, координати яких рівні соот-

членам послідовності. Наприклад, (x n) = 1 n.

Лекція №8-9 Основи математичного аналізу проф. Димков М.П. 66

Розглянемо поряд з послідовністю (x n) ще одну послідовність (y n): y 1, y 2, y, n (2).

Визначення. Сумою (різницею, твором, приватним) після-

( xn ) і ( yn ) називається послідовність ( zn ) , члени кото-

утворені за

z n = x n + y n

X − y

≠ 0

Добутком послідовності (xn) на число c R називається послідовність (c xn).

Визначення. Послідовність ( xn ) називається обмеженою

зверху (знизу), якщо існує речовинне число М (m), таке, що кожен елемент цієї послідовності xn задовольняє нерівний-

ству xn ≤ M (xn ≥ m) . Послідовність називається обмеженою, якщо вона обмежена зверху і знизу m ≤ xn ≤ M . Послідовність xn називає-

ється необмеженою, якщо для позитивного числа А (скільки завгодно більшого) знайдеться хоча бодин елемент послідовності xn , задовольняючи-

який нерівності xn > A.

( x n ) = ( 1n ) - Обмежена, т.к. 0 ≤ x n ≤ 1.

( x n ) = ( n ) − обмежена знизу 1, але є необмеженою.

( x n ) = ( − n ) − обмежена зверху (–1), але також необмежена.

Визначення. Послідовність ( x n ) називається нескінченно малою,

якщо для будь-якого позитивного речового числаε (наскільки б малим його не взяли) існує номер N , який залежить, взагалі кажучи від ε , (N = N (ε )) такий, що при всіх n ≥ N виконується нерівність x n< ε .

приклад. (x n) = 1 n.

Визначення. Послідовність (xn) називається нескінченно біль-

шой , якщо для позитивного речовинного числа А (яке б велике воно не було) знайдеться номер N (N = N(A)) такий, що при всіх n ≥ N викон-

няється нерівність xn > A.