Як знайти відстань на координатній площині Відстань між точками координатної прямої Відстань від точки до точки на площині, формула

Відстань між точками на координатній прямій – 6 клас.

Формула знаходження відстані між точками на координатній прямій

Алгоритм знаходження координати точки - середини відрізка

Дякую колегам по інтернету, чий матеріал використала у даній презентації!

Завантажити:

Попередній перегляд:

Щоб скористатися попереднім переглядом презентацій, створіть собі обліковий запис Google і увійдіть до нього: https://accounts.google.com

Підписи до слайдів:

Відстань між точками на координатній прямій х 0 1 АВ АВ = ρ (А, В)

Відстань між точками на координатній прямій Мета уроку: - Знайти спосіб (формулу, правило) для знаходження відстані між точками на координатній прямій. - Навчитися знаходити відстань між точками на координатній прямій, використовуючи знайдене правило.

1. Усний рахунок 15 -22 +8 -31 +43 -27 -14

2 . Усно вирішіть завдання за допомогою координатної прямої: скільки цілих чисел укладено між числами: а) – 8,9 та 2 б) – 10,4 та – 3,7 в) – 1,2 та 4,6? а) 10 б) 8 в) 6

0 1 2 7 позитивні числа -1 -5 про незначні числа Відстань від будинку до стадіону 6 Відстань від будинку до школи 6 Координатна пряма

0 1 2 7 -1 -5 Відстань від стадіону до будинку 6 Відстань від школи до будинку 6 Знаходження відстані між точками на координатній прямій ρ (-5 ; 1)=6 ρ (7 ; 1)=6 Відстань між точками позначатимемо літерою ρ (ро)

0 1 2 7 -1 -5 Відстань від стадіону до будинку 6 Відстань від школи до будинку 6 Знаходження відстані між точками на координатній прямій ρ (-5 ; 1)=6 ρ (7 ; 1)=6 ρ (a; b) =? | a-b |

Відстань між точками a і b дорівнює модулю різниці координат цих точок. ρ (a; b) = | a-b | Відстань між точками на координатній прямій

Геометричний зміст модуля дійсного числа a b a a = b b x x x Відстань між двома точками

0 1 2 7 -1 -5 Знайдіть відстані між точками на координатній прямій - 2 - 3 - 4 3 4 5 6 -6 ρ (-6 ; 2)= ρ (6 ; 3)= ρ (0 ; 7)= ρ (1 ; -4) = 8 3 7 5

0 1 2 7 -1 -5 Знайдіть відстані між точками на координатній прямій - 2 - 3 - 4 3 4 5 6 -6 ρ (2 ; -6)= ρ (3 ; 6)= ρ (7 ; 0)= ρ (-4 ; 1) = 8 3 7 5

Висновок: значення виразів a - b | та | b - a | рівні за будь-яких значень а і b =

-16 -2 0 -3 +8 0 +4 +17 0 ρ (-3; 8) = 11; |(–3) – (+8)| = 11; |(+8) – (–3)| = 11. ρ(-16; -2) = 14; |(–16) – (–2)| = 14; |(–2) – (–16)| = 14. ρ(4; 17) = 13; |(+4) – (+17)| = 13; |(+17) – (+4)| = 13. Відстань між точками координатної прямої

Знайдіть ρ(х; у), якщо: 1) x = – 14, у = – 23; ρ(х; у)=| х – у |=|–14–(– 23)|=|–14+23|=| 9 | = 9 2) x = 5,9, у = -6,8; ρ(х; у)=|5, 9 –(– 6,8)|=|5,9+6,8|=| 12,7 | = 12,7

Продовжити пропозицію 1. Координатна пряма – це пряма із зазначеними на ній … 2. Відстань між двома точками – це … 3. Протилежні числа – це числа, … 4. Модулем числа Х називають … 5. - Порівняйте значення виразів a – b V b – a зробіть висновок… - Порівняйте значення виразів | a - b | V | b - a | c робіть висновок…

Гвинтик і Шпунтік йдуть координатним променем. Гвинтик знаходиться в точці В (236), Шпунтік - в точці Ш (193) На якій відстані один від одного знаходяться Гвинтик і Шпунтік? ρ (B, Ш) = 43

Знайдіть відстань між точками А(0), В(1) А(2), В(5) А(0), В(-3) А(-10), В(1) АВ = 1 АВ = 3 АВ = 3 АВ = 11

Знайдіть відстань між точками А(- 3,5), В(1,4) К(1,8), В(4,3) А(- 10), С(3)

Перевірка АВ = КВ = АС =

З(– 5) З(– 3) Знайдіть координату точки - середини відрізка ВА

На координатній прямій відзначені точки А (-3,25) і (2,65). Знайдіть координату точки О – середини відрізка АВ. Рішення: 1) ρ(А;В)= |-3,25 - 2,65 | = | -5,9 | = 5,9 2) 5,9: 2 = 2,95 3) -3,25 + 2,95 = - 0,3 або 2,65 - 2,95 = - 0,3 Відповідь: О(-0, 3)

На координатній прямій відзначені точки С(-5,17) і D(2,33). Знайдіть координату точки А – середини відрізка CD. Рішення: 1) ρ(С; D) = | - 5, 17 - 2, 33 | = | - 7, 5 | = 7 , 5 2) 7 , 5: 2 = 3 , 7 5 3) – 5 , 17 + 3 , 7 5 = – 1 , 42 або 2, 33 – 3 , 7 5 = – 1 , 42 Відповідь: A ( - 1, 42)

Висновок: Алгоритм знаходження координати точки – середини даного відрізка: 1. Знайти відстань між точками – кінцями даного відрізка = 2. Розділити результат-1 на 2 (половина величини) = з 3. Додати результат-2 до координати а чи відняти результат-2 з координати а + с або - з 4. Результат-3 є координатою точки - середини даного відрізка

Робота з підручником: §19, с.112, А. № 573, 575 В. № 578, 580 Домашнє завдання: §19, с.112, А. № 574, 576, В. № 579, 581 підготуватися до КР «Складання та віднімання раціональних чисел. Відстань між точками на координатній прямій»

Сьогодні я дізнався... Було цікаво... Я зрозумів, що... Тепер я можу... Я навчився... У мене вийшло... Я спробую... Мене здивувало... Мені захотілося...

Відстань від точки до точки- Це довжина відрізка, що з'єднує ці точки, у заданому масштабі. Таким чином, коли йдеться про вимірювання відстані, потрібно знати масштаб (одиницю довжини), в якому будуть проводитися вимірювання. Тому завдання знаходження відстані від точки до точки зазвичай розглядають або на координатній прямій, або в прямокутній декартовій системі координат на площині або в тривимірному просторі. Інакше кажучи, найчастіше доводиться обчислювати відстань між точками з їхньої координатам.

У цій статті ми, по-перше, нагадаємо, як визначається відстань від точки до точки на координатній прямій. Далі отримаємо формули для обчислення відстані між двома точками площини чи простору за заданими координатами. Наприкінці, докладно розглянемо рішення характерних прикладів і завдань.

Навігація на сторінці.

Відстань між двома точками на координатній прямій.

Давайте спочатку визначимося з позначеннями. Відстань від точки А до точки буде позначати як .

Звідси можна зробити висновок, що відстань від точки А з координатою до точки В з координатою дорівнює модулю різниці координат, тобто, при будь-якому розташуванні точок на координатній прямій.

Відстань від крапки до крапки на площині, формула.

Отримаємо формулу для обчислення відстані між точками і заданими в прямокутній декартовій системі координат на площині.

Залежно від розташування точок А та В можливі наступні варіанти.

Якщо точки А та В збігаються, то відстань між ними дорівнює нулю.

Якщо точки А і В лежать на прямій, перпендикулярній осі абсцис, то точки і збігаються, а відстань дорівнює відстані. У попередньому пунктіми з'ясували, що відстань між двома точками на координатній прямій дорівнює модулю різниці їх координат, тому, . Отже, .

Аналогічно, якщо точки А та В лежать на прямій, перпендикулярній осі ординат, то відстань від точки А до точки знаходиться як .

У цьому випадку трикутник АВС – прямокутний за побудовою, причому та . за теоремі Піфагорами можемо записати рівність, звідки.

Узагальним усі отримані результати: відстань від точки до точки на площині знаходиться через координати точок за формулою .

Отриману формулу для знаходження відстані між точками можна використовувати коли точки А і В збігаються або лежать на прямій, перпендикулярній одній з координатних осей. Справді, якщо і В збігаються, то . Якщо точки А і В лежать на прямій, перпендикулярній до осі Ох , то . Якщо А і В лежать на прямій, перпендикулярній до осі Оу , то .

Відстань між точками у просторі, формула.

Введемо прямокутну систему координат Оxyz у просторі. Отримаємо формулу для знаходження відстані від точки до точки .

У загальному випадку, точки А та В не лежать у площині, паралельній одній з координатних площин. Проведемо через точки А та В площині, перпендикулярні координатним осям Ох, Оу та Oz. Точки перетину цих площин з координатними осями дадуть нам проекції точок А і на ці осі. Позначимо проекції .

Шукана відстань між точками А і являє собою діагональ прямокутного паралелепіпеда, зображеного на малюнку. За побудовою, виміри цього паралелепіпеда рівні та . В курсі геометрії середньої школибуло доведено, що квадрат діагоналі прямокутного паралелепіпеда дорівнює суміквадратів трьох його вимірів, тому, . Спираючись на інформацію першого розділу цієї статті, ми можемо записати наступні рівності , отже,

звідки отримуємо формулу для знаходження відстані між точками у просторі .

Ця формула також справедлива, якщо точки А та В

• збігаються;
• належать до однієї з координатних осей або прямої, паралельної до однієї з координатних осей;
• належать до однієї з координатних площин або площини, паралельної одній з координатних площин.

Знаходження відстані від точки до точки, приклади та рішення.

Отже, ми отримали формули для знаходження відстані між двома точками координатної прямої, площини та тривимірного простору. Настав час розглянути рішення характерних прикладів.

Число завдань, при вирішенні яких кінцевим етапом є знаходження відстані між двома точками за їх координатами, воістину величезне. Повний огляд таких прикладів виходить за межі цієї статті. Тут ми обмежимося прикладами, у яких відомі координати двох точок і потрібно обчислити відстань з-поміж них.

План уроку.

Відстань між двома точками на прямій.

Прямокутна (декартова) система координат.

Відстань між двома точками на прямій.

Теорема 3.Якщо А(х) і В(у) – будь-які дві точки, то d – відстань між ними обчислюється за формулою: d = lу – хl.

Доведення.Відповідно до теореми 2 маємо АВ = у - х. Але відстань між точками А та В дорівнює довжині відрізка АВ, ті. довжині вектора АВ. Отже, d = lАВl = lу-хl.

Оскільки числа у-х і х-у беруться за модулем, можна писати d =lх-уl. Отже, щоб знайти відстань між точками координатної прямої, потрібно знайти модуль різниці їх координат.

Приклад 4. Дано точки А(2) і В(-6), знайти відстань між ними.

Рішення.Підставимо формулу замість х=2 і у=-6. Отримаємо, АВ=lу-хl=l-6-2l=l-8l=8.

Приклад 5.Побудувати точку, симетричну точці М(4) щодо початку координат.

Рішення.Т.к. від точки М до точки 4 одиничних відрізка, відкладені праворуч, те, щоб побудувати симетричну їй точку, відкладаємо від точки 4 одиничних відрізка вліво, отримаємо точку М "(-4).

Приклад 6.Побудувати точку С(х), симетричну точці А(-4) щодо точки В(2).

Рішення.Зазначимо точки А(-4) і В(2) на числовій прямій. Знайдемо відстань між точками по теоремі 3, отримаємо 6. Тоді відстань між точками і С теж має бути рівним 6. Відкладаємо від точки В вправо 6 одиничних відрізків, отримаємо точку С(8).

Вправи. 1) Знайти відстань між точками А і В: а) А(3) та В(11), б) А(5) та В(2), в) А(-1) та В(3), г) А (-5) і В(-3), д) А(-1) і В(3), (Відповідь: а)8, б)3, в)4, г)2, д)2).

2) Побудуйте точку С(х), симетричну точці А(-5) щодо точки В(-1). (Відповідь: С(3)).

Прямокутна (декартова) система координат.

Дві взаємно перпендикулярні осі Ох та Оу, що мають загальний початок Про і однакову одиницю масштабу, утворюють прямокутну(або декартову) систему координат на площині.

Ось Ох називається віссю абсцис, а вісь Оу - віссю ординат. Крапка Про перетин осей називається початком координат. Площина, в якій розташовані осі Ох та Оу, називається координатною площиною та позначається Оху.

Нехай М – довільна точка площини. Опустимо з неї перпендикуляри МА та МВ відповідно на осі Ох та Оу. Точки перетину А і В еітх перпендикулярів з осями називаються проекціямиточки М на осі координат.

Точкам А та В відповідають певні числа х та у - їх координати на осях Ох та Оу. Число х називається абсцисоюточки М, число у - її ординатою.

Той факт, що точка М має координати х і у символічно позначають так: М(х,у). При цьому першою в дужках вказують абсцис, а другий - ординату. Початок координат має координати (0,0).

Таким чином, при обраній системі координат кожній точці М площині відповідає пара чисел (х,у) - її прямокутні координати і, назад, кожній парі чисел (х,у) відповідає, і до того ж одна, точка М на площині Оху така, що її абсцис дорівнює х, а ордината дорівнює у.

Отже, прямокутна система координат на площині встановлює взаємно однозначну відповідність між безліччю всіх точок площини та безліччю пар чисел, що дає можливість при вирішенні геометричних завданьзастосовувати алгебраїчні методи.

Осі координат розбивають площину на чотири частини, їх називають чвертями, квадрантамиабо координатними кутамиі нумерують римськими цифрами I, II, III, IV так, як показано на малюнку (гіперпосилання).

На малюнку вказані також знаки координат точок залежно від їхнього розташування. (наприклад, у першій чверті обидві координати позитивні).

Приклад 7.Побудувати точки: А(3;5), В(-3;2), С(2;-4), D(-5;-1).

Рішення.Побудуємо точку А (3; 5). Насамперед введемо прямокутну систему координат. Потім осі абсцис відкладемо 3 одиниці масштабу вправо, а по осі ординат - 5 одиниць масштабу вгору і через остаточні точки поділу проведемо прямі, паралельні осям координат. Точка перетину цих прямих є точкою А(3;5). Інші точки будуються таким же чином (див. рисунок-гіперпосилання).

Вправи.

Не малюючи точки А(2;-4), з'ясуйте, якій чверті належить.

У яких чвертях може бути точка, якщо її ордината позитивна?

На осі Оу взято точку з координатою -5. Які її координати на площині? (відповідь: т.к. точка лежить на осі Оу, її абсцис дорівнює 0, ордината дана за умовою, отже, координати точки (0;-5)).

Дано крапки: а) А(2;3), б) В(-3;2), в) С(-1;-1), г) D(x;y). Знайдіть координати точок, симетричних їм щодо осі Ох. Збудуйте всі ці точки. (відповідь: а) (2;-3), б) (-3;-2), в) (-1;1), г) (х;-у)).

Дано крапки: а) А(-1;2), б) В(3;-1), в) С(-2;-2), г) D(x;y). Знайдіть координати точок, симетричних їм щодо осі Оу. Збудуйте всі ці точки. (відповідь: а) (1; 2), б) (-3; -1), в) (2; -2), г) (-х; у)).

Дано крапки: а) А(3;3), б) В(2;-4), в) С(-2;1), г) D(x;y). Знайдіть координати точок, симетричних їм щодо початку координат. Збудуйте всі ці точки. (відповідь: а) (-3;-3), б) (-2;4), в) (2;-1), г) (-х;-у)).

Дано точку М(3;-1). Знайдіть координати точок, симетричних їй щодо осі Ох, осі Оу та початку координат. Побудуйте всі точки. (відповідь: (3;1), (-3;-1), (-3;1)).

Визначте, у яких чвертях може бути розташована точка М(х;у), якщо: а)ху>0, б) ху< 0, в) х-у=0, г) х+у=0. (ответ: а) в первой и третьей, б)во второй и четвертой, в) в первой и третьей, г) во второй и четвертой).

Визначте координати вершин рівностороннього трикутника зі стороною, що дорівнює 10, що лежить у першій чверті, якщо одна з вершин його збігається з початком координат О, а основа трикутника розташована на осі Ох. Зробіть малюнок. (Відповідь: (0; 0), (10; 0), (5; 5v3)).

Використовуючи метод координат, визначте координати всіх вершин правильного шестикутника ABCDEF. (відповідь: A (0; 0), B (1; 0), C (1,5; v3/2), D (1; v3), E (0; v3), F (-0,5; v3) /2). Вказівка: прийміть точку А за початок координат, вісь абсцис направте від А до В, за одиницю масштабу візьміть довжину сторони АВ.

У математиці як алгебра, і геометрія ставлять завдання з знаходження відстані до точки чи прямий від заданого об'єкта. Воно знаходиться зовсім різними способами, Вибір яких залежить від вихідних даних. Розглянемо, як знайти відстань між заданими об'єктами у різних умовах.

Використання вимірювальних інструментів

На початковому етапі освоєння математичної науки вчать, як користуватися елементарними інструментами (такими як лінійка, транспортир, циркуль, трикутник та інші). Знайти відстань між точками чи прямими з допомогою зовсім нескладно. Достатньо докласти шкалу поділів і записати відповідь. Варто лише знати, що відстань буде рівним довжиніпрямий, яку можна провести між точками, а у випадку з паралельними лініями – перпендикуляру між ними.

Використання теорем та аксіом геометрії

Для цього потрібні численні теореми, аксіоми та їх докази. Найчастіше завдання про те, як знайти відстань, зводяться до освіти та пошуку її сторін. Для вирішення таких завдань достатньо знати теорему Піфагора, властивості трикутників та способи їхнього перетворення.

Крапки на координатної площини

Якщо є дві точки і задано їхнє положення на координатній осі, то як знайти відстань від однієї до іншої? Рішення включатиме кілька етапів:

1. З'єднуємо точки прямої, довжина якої і буде відстанню між ними.
2. Знаходимо різницю значень координат точок (к;р) кожної осі: |до 1 - до 2 |= д 1 і |р 1 - р 2 |= д 2 (значення беремо по модулю, тому що відстань не може бути негативною) .
3. Після цього зводимо числа, що вийшли, в квадрат і знаходимо їх суму: д 1 2 + д 2 2
4. Заключним етапом буде вилучення з числа, що вийшло. Це буде відстанню між точками: д=V (д 1 2 + д 2 2).

У результаті все рішення здійснюється за однією формулою, де відстань дорівнює квадратного коренявід суми квадратів різниці координат:

д = V ( | до 1 - до 2 | 2 + | р 1 - р 2 | 2)

Якщо виникне питання про те, як знайти відстань від однієї точки до іншої в пошук відповіді на нього не буде особливо відрізнятися від наведеного вище. Рішення здійснюватиметься за такою формулою:

д=V(|до 1 - до 2 | 2 +|р 1 - р 2 | 2 +|е 1 - е 2 | 2)

Паралельні прямі

Перпендикуляр, проведений з будь-якої точки, що лежить на одній прямій до паралелі, і буде відстанню. При вирішенні завдань у площині необхідно знайти координати будь-якої точки однієї з прямих. А потім обчислити відстань від неї до другої прямої. Для цього наводимо їх до загального виглядуАх + Ву + С = 0. З властивостей паралельних прямих відомо, що їх коефіцієнти А і будуть рівні. У такому випадку можна знайти за формулою:

д = | C 1 - C 2 | / V (A 2 + B 2)

Таким чином, при відповіді на питання про те, як знайти відстань від заданого об'єкта, необхідно керуватися умовою завдання та інструментами її розв'язання. Ними можуть бути як вимірювальні пристрої, так і теореми і формули.