adsby.ru → Вихователю

Похідна e у ступені x та показової функції. Похідна e у ступені x та показової функції Похідні вищих порядків показової функції

При виведенні першої формули таблиці виходити з визначення похідної функції у точці. Візьмемо, де x– будь-яке дійсне число, тобто, x- Будь-яке число з області визначення функції. Запишемо межу відношення збільшення функції до збільшення аргументу при:

Слід зазначити, що під знаком межі виходить вираз, який не є невизначеністю нуль ділити на нуль, тому що в чисельнику знаходиться не нескінченно мала величина, а саме нуль. Іншими словами, збільшення постійної функції завжди дорівнює нулю.

Таким чином, похідна постійної функціїдорівнює нулю по всій області визначення.

Похідна статечної функції.

Формула похідної статечної функціїмає вигляд де показник ступеня p- Будь-яке дійсне число.

Доведемо спочатку формулу для натурального показника ступеня, тобто для p = 1, 2, 3, …

Будемо користуватися визначенням похідної. Запишемо межу відношення збільшення статечної функції до збільшення аргументу:

Для спрощення виразу в чисельнику звернемося до формули бінома Ньютона:

Отже,

Цим доведено формулу похідної статечної функції для натурального показника.

Похідна показової функції.

Висновок формули похідної наведемо на основі визначення:

Прийшли до невизначеності. Для її розкриття введемо нову змінну, причому при. Тоді. В останньому переході ми використали формулу переходу до нової основи логарифму.

Виконаємо підстановку у вихідну межу:

Якщо згадати другу чудову межу, то прийдемо до формули похідної показової функції:

Похідна логарифмічна функція.

Доведемо формулу похідної логарифмічної функції всім xв галузі визначення та всіх допустимих значеннях підстави aлогарифму. За визначенням похідної маємо:

Як Ви помітили, за доказом перетворення проводилися з використанням властивостей логарифму. Рівність справедливо з другого чудової межі.

Похідні тригонометричних функцій.

Для виведення формул похідних тригонометричних функцій нам доведеться згадати деякі формули тригонометрії, а також перша чудова межа.

За визначенням похідної для функції синуса маємо .

Скористаємося формулою різниці синусів:

Залишилося звернутися до першої чудової межі:

Таким чином, похідна функції sin xє cos x.

Абсолютно аналогічно доводиться формула похідної косинуса.

Отже, похідна функції cos xє -sin x.

Виведення формул таблиці похідних для тангенсу та котангенсу проведемо з використанням доведених правил диференціювання (похідна дробу).

Похідні гіперболічні функції.

Правила диференціювання та формула похідної показової функції з таблиці похідних дозволяють вивести формули похідних гіперболічного синуса, косинуса, тангенсу та котангенсу.

Похідна зворотної функції.

Щоб при викладі не було плутанини, давайте позначати в нижньому індексі аргумент функції, за яким виконується диференціювання, тобто це похідна функції f(x)по x.

Тепер сформулюємо правило знаходження похідної зворотної функції.

Нехай функції y = f(x)і x = g(y)взаємно зворотні, визначені на інтервалах та відповідно. Якщо у точці існує кінцева відмінна від нуля похідна функції f(x), то в точці існує кінцева похідна зворотної функції g(y), причому . В іншому записі .

Можна це правило переформулювати для будь-кого xз проміжку, тоді отримаємо .

Перевіримо справедливість цих формул.

Знайдемо зворотну функцію для натурального логарифму (тут y- функція, а x- Аргумент). Дозволивши це рівняння щодо x, отримаємо (тут x- функція, а y- Її аргумент). Тобто, та взаємно зворотні функції.

З таблиці похідних бачимо, що і .

Переконаємося, що формули знаходження похідних зворотної функції призводять нас до цих результатів:

Доказ та виведення формул похідної експоненти (e у ступені x) та показової функції(a ступенем x). Приклади обчислення похідних від e^2x, e^3x та e^nx. Формули похідних вищих систем.

Зміст

Див. також: Показова функція – властивості, формули, графік
Експонента, e у ступені x - властивості, формули, графік

Основні формули

Похідна експоненти дорівнює самій експоненті (похідна e у ступені x дорівнює e у ступені x):
(1) (e x )′ = e x.

Похідна показової функції з основою ступеня a дорівнює самій функції, помноженій на натуральний логарифм від a:
(2) .

Експонента - це показова функція, у якої основа ступеня дорівнює числу e, яке є такою межею:
.
Тут може бути як натуральним, так і дійсним числом. Далі ми виводимо формулу (1) похідної експоненти.

Висновок формули похідної експоненти

Розглянемо експоненту, e у ступені x :
y = e x.
Ця функція визначена всім .
(3) .

Знайдемо її похідну за змінною x.
За визначенням, похідна є такою межею:Перетворимо цей вислів, щоб звести його до відомих математичних властивостей та правил. Для цього нам знадобляться такі факти:
(4) ;
а)Властивість експоненти:
(5) ;
Б)Властивість логарифму:
(6) .
в)
Безперервність логарифму та властивість меж для безперервної функції:Тут - деяка функція, у якої існує межа і ця межа позитивна.
(7) .

г)
;
.

Значення другої чудової межі:
Застосовуємо ці факти до нашої межі (3). Використовуємо властивість (4):
.
Зробимо підстановку.
.

Тоді;
.

.
В силу безперервності експоненти,
.

Тому за , .
.
В результаті отримуємо:
.

Зробимо підстановку.

Тоді.

При , .
(8)
І ми маємо:

Застосуємо властивість логарифму (5):
;
.
.
.

Тоді

Застосуємо властивість (6). Оскільки існує позитивна межа та логарифм безперервний, то:
(14) .
(1) .

Тут ми також скористалися другою чудовою межею (7). Тоді
;
.

Таким чином, ми отримали формулу (1) похідної експоненти.
.

Висновок формули похідної показової функції

Тепер виведемо формулу (2) похідної показової функції з основою ступеня a.
.
Ми вважаємо, що і .
(15) .

Тоді показова функція
;
.

Визначено для всіх.
.

Перетворимо формулу (8). Для цього скористаємося властивостями показової функції та логарифму.

Отже, ми перетворили формулу (8) на такий вид:

Похідні вищих порядків від e до ступеня xТепер знайдемо похідні найвищих порядків. Спочатку розглянемо експоненту:

Ми, що похідна від функції (14) дорівнює самій функції (14). Диференціюючи (1), отримуємо похідні другого та третього порядку:

Звідси видно, що похідна n-го порядку також дорівнює вихідній функції:

Похідні вищих порядків показової функціїТепер розглянемо показову функцію з основою ступеня a:

Ми знайшли її похідну першого порядку:

Диференціюючи (15), отримуємо похідні другого та третього порядку:Ми, що кожне диференціювання призводить до множення вихідної функції на .Тому похідна n-го порядку має такий вигляд: Див. також:

Наведемо зведену таблицю для зручності та наочності щодо теми.

Константа

y = C

(x p) " = p · x p - 1

Показова функція

y = a x

Зворотні тригонометричні функції

(a r c sin x) " = 1 1 - x 2 (a r c cos x) " = - 1 1 - x 2 (a r c t g x) " = 1 1 + x 2 (a r c t g x) " = - 1 1 + x 2

Гіперболічні функції

(s h x) "= c h x (c h x)" = s h x (t h x) "= 1 c h 2 x (c t h x)" = - 1 s h 2 x

Розберемо, як було отримано формули зазначеної таблиці чи, інакше кажучи, доведемо висновок формул похідних кожному за виду функций.

Похідна постійною

Доказ 1

Для того щоб вивести цю формулу, візьмемо за основу визначення похідної функції в точці. Використовуємо x 0 = x , де xприймає значення будь-якого дійсного числа, або, інакше кажучи, xє будь-яким числом області визначення функції f (x) = C . Складемо запис межі відношення збільшення функції до збільшення аргументу при ∆ x → 0:

lim ∆ x → 0 ∆ f (x) ∆ x = lim ∆ x → 0 C - C ∆ x = lim ∆ x → 0 0 ∆ x = 0

Зауважте, що під знак межі потрапляє вираз 0 ∆ x . Воно не є невизначеністю «нуль ділити на нуль», оскільки в чисельнику записана не нескінченно мала величина, а саме нуль. Інакше висловлюючись, збільшення постійної функції завжди є нуль.

Отже, похідна постійної функції f(x) = C дорівнює нулю по всій області визначення.

Приклад 1

Дано постійні функції:

f 1 (x) = 3, f 2 (x) = a, a ∈ R, f 3 (x) = 4 . 13 7 22 f 4 (x) = 0 f 5 (x) = - 8 7

Рішення

Опишемо задані умови. У першій функції бачимо похідну натурального числа 3 . У наступному прикладі необхідно брати похідну від а, де а- будь-яке дійсне число. Третій приклад задає нам похідну ірраціонального числа 4 . 13 7 22 четвертий - похідну нуля (нуль - ціле число). Нарешті, у п'ятому випадку маємо похідний раціональний дроб - 8 7 .

Відповідь:похідні заданих функцій є нуль за будь-якого дійсного x(на всій області визначення)

f 1 "(x) = (3)" = 0, f 2 "(x) = (a)" = 0, a ∈ R, f 3 "(x) = 4. 13 7 22 " = 0, f 4 "(x) = 0" = 0, f 5 "(x) = - 8 7" = 0

Похідна статечної функції

Переходимо до статечної функції та формули її похідної, що має вигляд: (x p) " = p · x p - 1 де показник ступеня pє будь-яким дійсним числом.

Доказ 2

Наведемо доказ формули, коли показник ступеня – натуральне число: p = 1, 2, 3, …

Знову спираємось на визначення похідної. Складемо запис межі відношення збільшення статечної функції до збільшення аргументу:

(x p) " = lim ∆ x → 0 = ∆ (x p) ∆ x = lim ∆ x → 0 (x + ∆ x) p - x p ∆ x

Щоб спростити вираз у чисельнику, використовуємо формулу бінома Ньютона:

(x + ∆ x) p - x p = C p 0 + x p + C p 1 · x p - 1 · ∆ x + C p 2 · x p - 2 · (∆ x) 2 + . . . + + C p p - 1 · x · (∆ x) p - 1 + C p p · (∆ x) p - x p = = C p 1 · x p - 1 · ∆ x + C p 2 · x p - 2 · (∆ x) 2+. . . + C p p - 1 · x · (∆ x) p - 1 + C p p · (∆ x) p

Таким чином:

(x p) " = lim ∆ x → 0 ∆ (x p) ∆ x = lim ∆ x → 0 (x + ∆ x) p - x p ∆ x = = lim ∆ x → 0 (C p 1 · x p - 1 · ∆ x + C p 2 · x p - 2 · (∆ x) 2 + . x → 0 (C p 1 · x p - 1 + C p 2 · x p - 2 · ∆ x + . . . + C p p - 1 · x · (∆ x) p - 2 + C p p · (∆ x) p - 1) = C p 1 · x p - 1 + 0 .

Так, ми довели формулу похідної статечної функції, коли показник ступеня – натуральне число.

Доказ 3

Щоб навести доказ для випадку, коли p -будь-яке дійсне число, відмінне від нуля, використовуємо логарифмічну похідну (тут слід розуміти на відміну від похідної логарифмічної функції). Щоб мати більш повне розуміння, бажано вивчити похідну логарифмічної функції і додатково розібратися з похідною неявно заданої функції та похідної складної функції.

Розглянемо два випадки: коли xпозитивні і коли xнегативні.

Отже, x> 0 . Тоді: x p> 0 . Логарифмуємо рівність y = x p за основою e і застосуємо властивість логарифму:

y = x p ln y = ln x p ln y = p · ln x

На цьому етапі отримали неявно задану функцію. Визначимо її похідну:

(ln y) " = (p · ln x) 1 y · y" = p · 1 x ⇒ y " = p · y x = p · x p x = p · x p - 1

Тепер розглядаємо випадок, коли x –від'ємне число.

Якщо показник pє парне число, то статечна функція визначається при x< 0 , причем является четной: y (x) = - y ((- x) p) " = - p · (- x) p - 1 · (- x) " = = p · (- x) p - 1 = p · x p - 1

Тоді x p< 0 и возможно составить доказательство, используя логарифмическую производную.

Якщо pє непарне число, тоді статечна функція визначена і при x< 0 , причем является нечетной: y (x) = - y (- x) = - (- x) p . Тогда x p < 0 , а значит логарифмическую производную задействовать нельзя. В такой ситуации возможно взять за основу доказательства правила дифференцирования и правило нахождения производной сложной функции:

y " (x) = (- (- x) p) " = - ((- x) p) " = - p · (- x) p - 1 · (- x) " = = p · (- x) p - 1 = p · x p - 1

Останній перехід можливий через те, що якщо p- непарне число, то p - 1або парне число, або нуль (при p = 1), тому, при негативних xправильна рівність (- x) p - 1 = x p - 1 .

Отже, ми довели формулу похідної статечної функції за будь-якого дійсного p .

Приклад 2

Дано функції:

f 1 (x) = 1 x 2 3 f 2 (x) = x 2 - 1 4 f 3 (x) = 1 x log 7 12

Визначте їх похідні.

Рішення

Частину заданих функцій перетворимо на табличний вигляд y = x p , спираючись на властивості ступеня, а потім використовуємо формулу:

f 1 (x) = 1 x 2 3 = x - 2 3 ⇒ f 1 "(x) = - 2 3 · x - 2 3 - 1 = - 2 3 · x - 5 3 f 2 "(x) = x 2 - 1 4 = 2 - 1 4 · x 2 - 1 4 - 1 = 2 - 1 4 · x 2 - 5 4 f 3 (x) = 1 x log 7 12 = x - log 7 12 ⇒ f 3 "( x) = - log 7 12 · x - log 7 12 - 1 = - log 7 12 · x - log 7 12 - log 7 7 = - log 7 12 · x - log 7 84

Похідна показової функції

Доказ 4

Виведемо формулу похідної, взявши за основу визначення:

(a x) " = lim ∆ x → 0 a x + ∆ x - a x ∆ x = lim ∆ x → 0 a x (a ∆ x - 1) ∆ x = a x · lim ∆ x → 0 a ∆ x - 1 ∆ x = 0 0

Ми здобули невизначеність. Щоб розкрити її, запишемо нову змінну z = a ∆ x - 1 (z → 0 при ∆ x → 0). У такому разі a ∆ x = z + 1 ⇒ ∆ x = log a (z + 1) = ln (z + 1) ln a . Для останнього переходу використано формулу переходу до нової основи логарифму.

Здійснимо підстановку у вихідну межу:

(a x) " = a x · lim ∆ x → 0 a ∆ x - 1 ∆ x = a x · ln a · lim ∆ x → 0 1 1 z · ln (z + 1) = = a x · ln a · lim ∆ x → 0 1 ln (z + 1) 1 z = a x · ln a · 1 ln lim ∆ x → 0 (z + 1) 1 z

Згадаймо другу чудову межу і тоді отримаємо формулу похідної показової функції:

(a x) " = a x · ln a · 1 ln lim z → 0 (z + 1) 1 z = a x · ln a · 1 ln e = a x · ln a

Приклад 3

Дано показові функції:

f 1 (x) = 2 3 x f 2 (x) = 5 3 x f 3 (x) = 1 (e) x

Потрібно знайти їх похідні.

Рішення

Використовуємо формулу похідної показової функції та властивості логарифму:

f 1 "(x) = 2 3 x " = 2 3 x · ln 2 3 = 2 3 x · (ln 2 - ln 3) f 2 " (x) = 5 3 x " = 5 3 x · ln 5 1 3 = 1 3 · 5 3 x · ln 5 f 3 "(x) = 1 (e) x " = 1 e x " = 1 e x · ln 1 e = 1 e x · ln e - 1 = - 1 e x

Похідна логарифмічна функція

Доказ 5

Наведемо доказ формули похідної логарифмічної функції будь-яких xв області визначення та будь-яких допустимих значеннях підстави алогарифму. Спираючись на визначення похідної, отримаємо:

(log a x) " = lim ∆ x → 0 log a (x + ∆ x) - log a x ∆ x = lim ∆ x → 0 log a x + ∆ x x ∆ x = = lim ∆ x → 0 1 ∆ x · log a 1 + ∆ x x = lim ∆ x → 0 log a 1 + ∆ x x 1 ∆ x = = lim ∆ x → 0 log a 1 + ∆ x x 1 ∆ x · x x = lim ∆ x → 0 1 x · log a 1 + ∆ x x x ∆ x = = 1 x · log a lim ∆ x → 0 1 + ∆ x x x ∆ x = 1 x · log a e = 1 x · ln e ln a = 1 x · ln a

З зазначеного ланцюжка рівностей видно, що перетворення будувалися з урахуванням властивості логарифму. Рівність lim ∆ x → 0 1 + ∆ x x x ∆ x = e є вірною відповідно до другої чудової межі.

Приклад 4

Задано логарифмічні функції:

f 1 (x) = log ln 3 x , f 2 (x) = ln x

Необхідно обчислити їх похідні.

Рішення

Застосуємо виведену формулу:

f 1 "(x) = (log ln 3 x)" = 1 x · ln (ln 3); f 2 "(x) = (ln x)" = 1 x · ln e = 1 x

Отже, похідна натурального логарифму є одиниця, поділена на x.

Похідні тригонометричних функцій

Доказ 6

Використовуємо деякі тригонометричні формули та перша чудова межа, щоб вивести формулу похідної тригонометричної функції.

Відповідно до визначення похідної функції синуса, отримаємо:

(sin x) " = lim ∆ x → 0 sin (x + ∆ x) - sin x ∆ x

Формула різниці синусів дозволить нам зробити такі дії:

(sin x) " = lim ∆ x → 0 sin (x + ∆ x) - sin x ∆ x = = lim ∆ x → 0 2 · sin x + ∆ x - x 2 · cos x + ∆ x + x 2 ∆ x = = lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 · cos x + ∆ x 2 ∆ x 2 = = cos x + 0 2 · lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 ∆ x 2

Нарешті, використовуємо першу чудову межу:

sin " x = cos x + 0 2 · lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 ∆ x 2 = cos x

Отже, похідної функції sin xбуде cos x.

Цілком також доведемо формулу похідної косинуса:

cos "x = lim ∆ x → 0 cos (x + ∆ x) - cos x ∆ x = = lim ∆ x → 0 - 2 · sin x + ∆ x - x 2 · sin x + ∆ x + x 2 ∆ x = = - lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 · sin x + ∆ x 2 ∆ x 2 = = - sin x + 0 2 · lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 ∆ x 2 = - sin x

Тобто. похідної функції cos x буде - sin x.

Формули похідних тангенсу та котангенсу виведемо на основі правил диференціювання:

t g " x = sin x cos x " = sin " x · cos x - sin x · cos " x cos 2 x = = cos x · cos x - sin x · (- sin x) cos 2 x = sin 2 x + cos 2 x cos 2 x = 1 cos 2 x c t g " x = cos x sin x " = cos " x · sin x - cos x · sin " x sin 2 x = = - sin x · sin x - cos x · cos x sin 2 x = - sin 2 x + cos 2 x sin 2 x = - 1 sin 2 x

Похідні зворотних тригонометричних функцій

Розділ про похідну зворотних функційдає вичерпну інформацію про доказ формул похідних арксинусу, арккосинусу, арктангенсу та арккотангенсу, тому дублювати матеріал тут не будемо.

Похідні гіперболічних функцій

Доказ 7

Виведення формул похідних гіперболічного синуса, косинуса, тангенсу та котангенсу здійснимо за допомогою правила диференціювання та формули похідної показової функції:

s h " x = e x - e - x 2 " = 1 2 e x " - e - x " = = 1 2 e x - - e - x = e x + e - x 2 = c h x c h " x = e x + e - x 2 " = 1 2 e x " + e - x " = = 1 2 e x + - e - x = e x - e - x 2 = s h x t h " x = s h x c h x " = s h " x · c h x - s h x · c h " x c h 2 x = c h 2 x - s h 2 x c h 2 x = 1 c h 2 x c t h " x = c h x s h x " = c h " x · s h x - c h x · s h " x s h 2 x = s h 2 x - c h 2 x s h 2 x = - 1 s h 2 x

Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl+Enter

Основні поняття

Перш ніж розібрати питання про похідну від експоненти в ступеня $x$, нагадаємо визначення

функції;
межі послідовності;
похідною;
експонентів.

Це необхідно для ясного розуміння похідної від експонентів у $x$.

Визначення 1

Функцією називають залежність між двома змінними величинами.

Візьмемо $y=f(x)$, де $x$ і $y$ є змінними величинами. Тут $x$ називається аргументом, а $y$ – функцією. Аргумент може набувати довільних значень. У свою чергу змінна $y$ змінюється за певним законом залежно від аргументу. Тобто аргумент $x$ це незалежна змінна, а функція $y$ це залежна змінна. Будь-яке значення $x$ відповідає єдине значення $y$.

Якщо кожному натуральному числу$n=1, 2, 3, ...$ поставити у відповідність з деякого закону число $x_n$, то кажуть, що визначено послідовність чисел $x_1,x_2,...,x_n$. Інакше така послідовність записується як $(x_n)$. Усі числа $x_n$ називають членами чи елементами послідовності.

Визначення 2

Межею послідовності називають кінцеву або нескінченно віддалену точку числової прямої. Межу записують так: $\lim x_n = \lim\limits_(n\to\infty)x_n = a$. Цей запис означає, що змінна $x_n$ прагне $a$ $x_n\to a$.

Похідної функції $f$ у точці $x_0$ називається така межа:

$\lim\limits_(x\to x_0)\frac(f(x) - f(x_o))(x-x_o)$. Він означає $f"(x_0)$.

Число $e$ дорівнює наступній межі:

$e=\lim\limits_(x\to\infty) (1+\frac(1)(n))\approx2,718281828459045...$

У даній межі $n$ це натуральне чи дійсне число.

Володіючи поняттями про межу, похідну та експонент, можемо приступити до доказу формули $(e^x)"=e^x$.

Висновок похідної від експоненти в $x$

Маємо $e^x$, де $x: -\infty

$y"=\lim\limits_(\Delta x\to 0) \frac(e^(x+\Delta x)-e^x)(\Delta x)$.

За якістю експоненти $e^(a+bx)=e^a*e^b$ можемо перетворити чисельник межі:

$e^(x+\Delta x)-e^x = e^x*e^(\Delta x)-e^x = e^x(e^(\Delta x)-1)$.

Тобто $y"=\lim\limits_(\Delta x\to 0) \frac(e^(x+\Delta x)-e^x)(\Delta x)=\lim\limits_(\Delta x\to 0) \frac(e^x(e^(\Delta x)-1))(\Delta x)$.

Позначимо $t=e^(\Delta x)-1$. Отримаємо $e^(\Delta x)=t+1$, а за якістю логарифму виходить, що $\Delta x = ln(t+1)$.

Оскільки експонента безперервна, маємо $\lim\limits_(\Delta x\to 0) e^(\Delta x)=e^0=1.$ Тому якщо $\Delta x\to 0$, то і $t \ to 0$.

У результаті покажемо перетворення:

$y"=\lim\limits_(\Delta x\to 0) \frac(e^(\Delta x)-1)(\Delta x)=e^x\lim\limits_(t\to 0)\frac (t)(ln(t+1))$.

Позначимо $n=\frac(1)(t)$, тоді $t=\frac(1)(n)$. Виходить, якщо $t\to 0$, то $n\to\infty$.

Перетворимо нашу межу:

$y"=e^x\lim\limits_(t\to 0)\frac(t)(ln(t+1))=e^x\lim\limits_(n\to\infty)\frac(1) (ncdot ln(\frac(1)(n)+1)^n)$.

За властивістю логарифму маємо $b\cdot ln c=ln c^b$

$n\cdot ln (\frac(1)(n)+1)=ln(\frac(1)(n)+1)^n=ln(1+\frac(1)(n))^n$ .

Межа перетворюється так:

$y"=e^x\lim\limits_(n\to\infty)\frac(1)(n\cdot ln(\frac(1)(n)+1)) = e^x\lim\limits_( n\to\infty)\frac(1)(ln(\frac(1)(n)+1)^n)= e^x\frac(1)(\lim\limits_(n\to\infty) ln (\frac(1)(n)+1)^n)$.

Відповідно до властивості безперервності логарифму та властивості меж для безперервної функції: $\lim\limits_(x\to x_0)ln(f(x))=ln(\lim\limits_f(x))$, де $f(x)$ має позитивна межа $\lim\limits_(x\to x_0)f(x)$. Отже, у зв'язку з тим, що логарифм безперервний і існує позитивна межа $\lim\limits_(n\to\infty)(\frac(1)(n)+1)^n$, то можемо вивести:

$\lim\limits_(n\to\infty)ln(1+\frac(1)(n))^n=ln\lim\limits_(n\to\infty)ln(1+\frac(1)( n))^n=ln e=1$.

Скористаємося значенням другої чудової межі $\lim\limits_(n\to\infty)(1+\frac(1)(n))^n=e$. Отримуємо:

$y"= e^x\frac(1)(\lim\limits_(n\to\infty) ln(\frac(1)(n)+1)^n) = e^x\cdot\frac(1 )(ln e) = e^x\cdot\frac(1)(1)=e^x$.

Таким чином, ми вивели формулу похідної експоненти і можемо стверджувати, що похідна від експоненти ступенем $x$ еквівалентна експоненті ступеня $x$:

Існують також інші способи виведення цієї формули з використанням інших формул та правил.

Приклад 1

Розглянемо приклад знаходження похідної функції.

Умова: Знайти похідну функції $y=2^x + 3^x + 10^x + e^x$.

Рішення: До доданків $2^x, 3^x$ і $10^x$ застосовуємо формулу $(a^x)"=a^x\cdot ln a$. Згідно з виведеною формулою $(e^x)"=e^x$ четвертий доданок $e^x$ не змінюється.

Відповідь: $y" = 2^x\cdot ln 2 + 3^x\cdot ln 3 + 10^x\cdot ln 10 + e^x$.

Таким чином, ми вивели формулу $(e^x)"=e^x$, при цьому давши визначення основним поняттям, розібрали приклад знаходження похідної функції з експонентою як один із доданків.

Багато чисел набули свою величину і забобонне значення ще в давнину. У наші дні до них додаються нові міфи. Існує багато легенд про кількість пі, небагатьом поступаються йому відомо знамениті числа Фібоначчі. Але, мабуть, найдивовижнішим є число е, без якого не може обійтися сучасна математика, фізика та навіть економіка.

Арифметичне значення числа е дорівнює приблизно 2718. Чому не точно, а приблизно? Тому що це число є ірраціональним і трансцендентним, його не можна виразити дробом з натуральними цілими числами або багаточленом з раціональними коефіцієнтами. Для більшості розрахунків зазначеної точності значення 2,718 достатньо, хоча сучасний рівеньобчислювальної техніки дозволяє визначити його значення з точністю більше трильйона знаків після коми.

Головною особливістю числа є те, що похідна його показової функції f (x) = e x дорівнює значенню самої функції е х. Такої незвичайної якості немає більше в жодній іншій математичній залежності. Розкажемо про це трохи докладніше.

Що таке межа

Спочатку розберемося із поняттям межі. Розглянемо якесь математичне вираз, наприклад, i = 1/n. Можна побачити, що зі збільшенням «n«, значення «i» зменшуватиметься, а при прагненні «n» до нескінченності (яка позначається значком ∞), «i» буде прагнути до граничного значення (називається частіше просто межею), що дорівнює нулю. Вираз межі (позначеної як lim) для даного випадку можна записати у вигляді lim n →∞ (1/ n) = 0 .

Існують різні межі для різних виразів. Однією з таких меж, що увійшли до радянських та російських підручників як друга чудова межа, є вираз lim n →∞ (1+1/ n) n . Вже Середньовіччя було встановлено, що межею цього виразу є число е.

До першої чудової межі відносять вираз lim n →∞ (Sin n / n) = 1.

Як знайти похідну e x – у цьому відео.

Що таке похідна функції

Для розкриття поняття похідної слід нагадати, що таке функція в математиці. Щоб не захаращувати текст складними визначеннями, зупинимося на інтуїтивному математичному поняттіфункції, які у тому, що у ній одна чи кілька величин повністю визначають значення інший величини, якщо вони взаємопов'язані. Наприклад, у формулі S = π r 2 площі кола, значення радіуса r повністю і однозначно визначає площу кола S.

Залежно від виду функції можуть бути алгебраїчними, тригонометричними, логарифмічними та ін. У них можуть бути взаємопов'язані два, три і більше аргументів. Наприклад, пройдена відстань S, яку об'єкт подолав з рівноприскореною швидкістю, описується функцією S = 0,5 ∙ a ∙ t 2 + V ∙ t, де «t» - час руху, аргумент «а» прискорення (може бути як позитивною, так і і негативною величиною) та «V» початкова швидкість руху. Таким чином, величина пройденої відстані залежить від значень трьох аргументів, два з яких (а і V) постійні.

Покажемо цьому прикладі елементарне поняття похідної функції. Воно характеризує швидкість зміни функції у цій точці. У прикладі це буде швидкість руху об'єкта в конкретний момент часу. При постійних «а» і «V» вона залежить тільки від часу «t», тобто науковою мовою потрібно взяти похідну функції S за часом «t».

Цей процес називається диференціюванням, виконується шляхом обчислення межі відношення приросту функції до приросту її аргументу на мізерно малу величину. Вирішення подібних завдань для окремих функцій часто є непростою справою і тут не розглядаються. Також варто зазначити, що деякі функції у певних точках взагалі не мають таких меж.

У нашому прикладі похідна Sза часом «t» набуде вигляду S" = ds/dt = а ∙ t + V, з якого видно, що швидкість S" змінюється за лінійним законом залежно від «t».

Похідна експоненти

Експонентою називається показова функція, як основа якої знаходиться число е. Вона зазвичай відображається у вигляді F (x) = e x , де показник ступеня x є змінною величиною. Ця функція має повну диференційність у всьому діапазоні дійсних чисел. Зі зростанням x вона постійно зростає і завжди більша за нуль. Зворотна до неї функція – логарифм.

Відомий математик Тейлор зумів розкласти цю функцію до ряду, названого його ім'ям e x = 1 + x/1! + x 2/2! + x 3/3! + … у діапазоні x від - ∞ до + ∞.

Закон, що базується на цій функціїназивається експоненціальним. Він описує:

зростання складних банківських відсотків;
збільшення популяції тварин та населення планети;
час закручування трупа та багато іншого.

Повторимо ще раз чудове властивість даної залежності - значення її похідної у будь-якій точці завжди дорівнює значенню функції у цій точці, тобто (e x) "= e x .

Наведемо похідні для найбільш загальних випадків експоненти:

(e ax)" = a ∙ e ax;
(e f (x))" = f"(x) e f (x) .

Використовуючи дані залежності, нескладно знайти похідні інших приватних видів цієї функції.

Деякі цікаві факти про кількість

З цим числом пов'язані прізвища таких вчених, як Непер, Відред, Гюйгенс, Бернуллі, Лейбніц, Ньютон, Ейлер та інші. Останній, власне, і ввів позначення е для цього числа, а також знайшов перші 18 знаків, використовуючи для розрахунку відкритий ним ряд е = 1 + 1/1! + 2/2! + 3/3! …

Число e зустрічається у найнесподіваніших місцях. Наприклад, воно входить до рівняння ланцюгової лінії, яке описує провис каната під дією власної ваги, коли його кінці закріплені на опорах.

Відео

Тема відеоуроку – похідна показової функції.