Ступінні вирази (вирази зі ступенями) та їх перетворення. Перетворення виразів. Детальна теорія (2020) 1 варіант різні перетворення виразів, що містять ступеня
Виразом виду a (m/n) , де n - деяке натуральне число, m - деяке ціле число і основа ступеня а більше нуля, називається ступінь із дробовим показником.Причому вірною є така рівність. n√(a m) = a (m/n).
Як ми знаємо, числа виду m/n, де n - деяке натуральне число, а m - деяке ціле число, називають дробовими чи раціональними числами. З усього вищесказаного отримуємо, що ступінь визначено, для будь-якого раціонального показника ступеня та будь-якої позитивної основи ступеня.
Для будь-яких раціональних чисел p,qі будь-яких a>0 і b>0 вірні такі рівності:
- 1. (a p)*(a q) = a (p+q)
- 2. (a p): (b q) = a (p-q)
- 3. (a p) q = a (p*q)
- 4. (a*b) p = (a p)*(b p)
- 5. (a/b) p = (a p)/(b p)
Дані властивості широко використовуються при перетворенні різних виразів, де містяться ступені з дрібними показниками.
Приклади перетворень виразів, що містять ступінь із дробовим показником
Розглянемо кілька прикладів, що демонструють застосування цих властивостей перетворення виразів.
1. Обчислити 7 (1/4) * 7 (3/4).
- 7 (1/4) * 7 (3/4) = z (1/4 + 3/4) = 7.
2. Обчислити 9 (2/3): 9 (1/6).
- 9 (2/3) : 9 (1/6) = 9 (2/3 - 1/6) = 9 (1/2) = √9 = 3.
3. Обчислити (16 (1/3)) (9/4).
- (16 (1/3)) (9/4) = 16 ((1/3)*(9/4)) =16 (3/4) = (2 4) (3/4) = 2 (4*3/4) = 2 3 = 8.
4. Обчислити 24 (2/3).
- 24 (2/3) = ((2 3)*3) (2/3) = (2 (2*2/3))*3 (2/3) = 4*3√(3 2)=4*3√9.
5. Обчислити (8/27) (1/3).
- (8/27) (1/3) = (8 (1/3))/(27 (1/3)) = ((2 3) (1/3))/((3 3) (1/3))= 2/3.
6. Спростити вираз ((a (4/3))*b + a*b (4/3))/(3√a + 3√b)
- ((a (4/3))*b + a*b (4/3))/(3√a + 3√b) = (a*b*(a (1/3) + b (1/3) )))/(1/3) + b (1/3)) = a * b.
7. Обчислити (25 (1/5)) * (125 (1/5)).
- (25 (1/5))*(125 (1/5)) =(25*125) (1/5) = (5 5) (1/5) = 5.
8. Спростити вираз
- (a (1/3) - a (7/3))/(a (1/3) - a (4/3)) - (a (-1/3) - a (5/3)))/( a (2/3) + a (-1/3)).
- (a (1/3) - a (7/3))/(a (1/3) - a (4/3)) - (a (-1/3) - a (5/3)))/( a (2/3) + a (-1/3)) =
- = ((a (1/3))*(1-a 2))/((a (1/3))*(1-a)) - ((a (-1/3))*(1- a 2))/ ((a (-1/3))*(1+a)) =
- = 1 + a - (1-a) = 2 * a.
Як бачите, використовуючи ці властивості, можна значно спростити деякі вирази, які містять ступеня з дробовими показниками.
Арифметична дія, яка виконується останнім при підрахунку значення виразу, є «головною».
Тобто, якщо ти підставиш замість літер якісь (будь-які) числа, і спробуєш обчислити значення виразу, то якщо останньою дією буде множення - значить, у нас твір (вираз розкладено на множники).
Якщо останньою дією буде додавання або віднімання, це означає, що вираз не розкладено на множники (а отже, скорочувати не можна).
Для закріплення виріши самостійно кілька прикладів:
Приклади:
Рішення:
1. Сподіваюся, ти не кинувся зразу ж скорочувати і? Ще не вистачало «зменшити» одиниці типу такого:
Першим дією має бути розкладання на множники:
4. Додавання та віднімання дробів. Приведення дробів до спільного знаменника.
Додавання і віднімання звичайних дробів - операція добре знайома: шукаємо спільний знаменник, домножуємо кожен дріб на недостатній множник і складаємо/віднімаємо чисельники.
Давай згадаємо:
Відповіді:
1. Знаменники і – взаємно прості, тобто у них немає спільних множників. Отже, НОК цих чисел дорівнює їхньому твору. Це і буде спільний знаменник:
2. Тут спільний знаменник дорівнює:
3. Тут насамперед змішані дроби перетворюємо на неправильні, а далі – за звичною схемою:
Зовсім інша річ, якщо дроби містять літери, наприклад:
Почнемо з простого:
a) Знаменники не містять літер
Тут все те ж, що і зі звичайними числовими дробами: знаходимо спільний знаменник, домножуємо кожен дріб на множник, що бракує, і складаємо/віднімаємо чисельники:
тепер у чисельнику можна наводити подібні, якщо є, і розкладати на множники:
Спробуй сам:
Відповіді:
b) Знаменники містять літери
Давай згадаємо принцип знаходження спільного знаменника без літер:
· Насамперед ми визначаємо спільні множники;
· Потім виписуємо всі загальні множники по одному разу;
· І домножуємо їх на всі інші множники, не загальні.
Щоб визначити спільні множники знаменників, спершу розкладемо їх на прості множники:
Підкреслимо спільні множники:
Тепер випишемо спільні множники по одному разу і допишемо до них усі загальні (не підкреслені) множники:
Це і є спільний знаменник.
Повернемося до букв. Знаменники наводяться за такою ж схемою:
· Розкладаємо знаменники на множники;
· Визначаємо загальні (однакові) множники;
· Виписуємо всі загальні множники по одному разу;
· Домножуємо їх на всі інші множники, не загальні.
Отже, по порядку:
1) розкладаємо знаменники на множники:
2) визначаємо загальні (однакові) множники:
3) виписуємо всі загальні множники по одному разу і домножуємо їх на всі інші (непідкреслені) множники:
Отже, спільний знаменник тут. Перший дріб потрібно домножити на, другий - на:
До речі, є одна хитрість:
Наприклад: .
Бачимо в знаменниках одні й самі множники, тільки з різними показниками. До спільного знаменника підуть:
у ступені
у ступені
у ступені
у ступені.
Ускладнимо завдання:
Як зробити у дробів однаковий знаменник?
Давай згадаємо основну властивість дробу:
Ніде не сказано, що з чисельника і знаменника дробу можна віднімати (або додавати) те саме число. Тому що це не так!
Переконайся сам: візьми будь-який дріб, наприклад, і додай до чисельника і знаменника якесь число, наприклад, . Що повчилося?
Отже, чергове непорушне правило:
Коли наводиш дроби до спільного знаменника, користуйся тільки операцією множення!
Але на що ж треба примножити, щоб одержати?
Ось на і домнож. А примножуй на:
Вирази, які неможливо розкласти на множники називатимемо «елементарними множниками».
Наприклад, це елементарний множник. - Теж. А ось – ні: він розкладається на множники.
Що скажеш щодо висловлювання? Воно елементарне?
Ні, оскільки його можна розкласти на множники:
(Про розкладання на множники ти вже читав у темі «Реферат»).
Так ось, елементарні множники, на які ти розкладаєш вираз із літерами – це аналог простих множників, на які ти розкладаєш числа. І робитимемо з ними так само.
Бачимо, що в обох знаменниках є множник. Він піде у спільний знаменник у міру (пам'ятаєш, чому?).
Множник - елементарний, і він у них не загальний, значить перший дріб на нього доведеться просто домножити:
Ще приклад:
Рішення:
Перш ніж у паніці перемножувати ці знаменники, треба подумати, як їх розкласти на множники? Обидва вони представляють:
Чудово! Тоді:
Ще приклад:
Рішення:
Як завжди, розкладемо знаменники на множники. У першому знаменнику просто виносимо за дужки; у другому - різниця квадратів:
Здавалося б, спільних множників немає. Але якщо придивитися, то й так схожі.
Так і напишемо:
Тобто вийшло так: усередині дужки ми поміняли місцями доданки, і при цьому знак перед дробом помінявся на протилежний. Візьми на замітку, так робити доведеться часто.
Тепер наводимо до спільного знаменника:
Засвоїв? Зараз перевіримо.
Завдання для самостійного вирішення:
Відповіді:
Тут треба згадати ще одну - різницю кубів:
Зверніть увагу, що у знаменнику другого дробу не формула «квадрат суми»! Квадрат суми виглядав так: .
А - це так званий неповний квадрат суми: другий доданок у ньому - це твір першого та останнього, а не подвоєний їхній твір. Неповний квадрат суми - це один із множників у розкладанні різниці кубів:
Що робити, якщо дробів три штуки?
Та те саме! Насамперед зробимо так, щоб максимальна кількість множників у знаменниках була однаковою:
Зверніть увагу: якщо поміняти знаки всередині однієї дужки, знак перед дробом змінюється на протилежний. Коли міняємо знаки у другій дужці, знак перед дробом знову змінюється протилежним. В результаті він (знак перед дробом) не змінився.
У загальний знаменник виписуємо повністю перший знаменник, а потім дописуємо до нього всі множники, які ще не написані, з другого, а потім із третього (і так далі, якщо дробів більше). Тобто виходить ось так:
Хм... З дробами зрозуміло що робити. Але як бути з двійкою?
Все просто: адже ти вмієш складати дроби? Отже, треба зробити так, щоб двійка стала дробом! Згадуємо: дріб – це операція поділу (числитель ділиться на знаменник, якщо ти раптом забув). І немає нічого простішого, ніж розділити число на. При цьому саме число не зміниться, але перетвориться на дріб:
Те що потрібно!
5. Множення та розподіл дробів.
Ну що ж, найскладніше тепер позаду. А попереду у нас найпростіше, але при цьому найважливіше:
Порядок дій
Який порядок дій при підрахунку числового виразу? Згадай, порахувавши значення такого виразу:
Порахував?
Повинно вийти.
Отже, нагадую.
Насамперед обчислюється ступінь.
Другим - множення та розподіл. Якщо множень і поділок одночасно кілька, робити їх можна у будь-якому порядку.
І наостанок виконуємо складання та віднімання. Знову ж таки, в будь-якому порядку.
Але: вираз у дужках обчислюється позачергово!
Якщо кілька дужок множаться або діляться один на одного, обчислюємо спочатку вираз у кожній із дужок, а потім множимо або поділи їх.
А якщо всередині дужок є ще одні дужки? Ну, давай подумаємо: усередині дужок написано якийсь вираз. А при обчисленні виразу насамперед треба робити що? Правильно, обчислювати дужки. Ну ось і розібралися: спочатку обчислюємо внутрішні дужки, потім решту.
Отже, порядок дій для вираження вище такий (червоним виділено поточне дію, тобто дію, яке виконую зараз):
Добре, це просто.
Але ж це не те саме, що вираз з літерами?
Ні, це те саме! Тільки замість арифметичних дій треба робити алгебраїчну, тобто дії, описані в попередньому розділі: приведення подібних, додавання дробів, скорочення дробів і так далі. Єдиною відмінністю буде дія розкладання багаточленів на множники (його часто застосовуємо при роботі з дробами). Найчастіше для розкладання на множники потрібно застосовувати або просто виносити загальний множник за дужки.
Зазвичай наша мета - уявити вираз у вигляді твору чи приватного.
Наприклад:
Спростимо вираз.
1) Першим спрощуємо вираз у дужках. Там у нас різниця дробів, а наша мета – представити її як твір чи приватний. Отже, наводимо дроби до спільного знаменника і складаємо:
Більше цього виразу спростити неможливо, всі множники тут - елементарні (ти ще пам'ятаєш, що це означає?).
2) Отримуємо:
Розмноження дробів: що може бути простіше.
3) Тепер можна і скоротити:
Ну от і все. Нічого складного, правда?
Ще приклад:
Спрости вираз.
Спочатку спробуй вирішити сам, і тільки потім подивися рішення.
Рішення:
Насамперед визначимо порядок дій.
Спочатку виконаємо складання дробів у дужках, вийде замість двох дробів один.
Потім виконаємо поділ дробів. Ну і результат складемо з останнім дробом.
Схематично пронумерую дії:
Тепер покажу звістку процес, підфарбовуючи поточну дію червоним:
1. Якщо є такі, їх треба негайно навести. У який би момент у нас не утворилися подібні, їх бажано наводити одразу.
2. Те саме стосується скорочення дробів: як тільки з'являється можливість скоротити, їй треба скористатися. Виняток становлять дроби, які ти складаєш або віднімаєш: якщо у них зараз однакові знаменники, то скорочення потрібно залишити на потім.
Ось тобі завдання для самостійного вирішення:
І обіцяна на самому початку:
Відповіді:
Рішення (короткі):
Якщо ти впорався хоча б із першими трьома прикладами, то тему ти, вважай, опанував.
Тепер уперед до навчання!
ПЕРЕТВОРЕННЯ ВИРАЗІВ. КОРОТКИЙ ВИКЛАД І ОСНОВНІ ФОРМУЛИ
Базові операції спрощення:
- Приведення подібних: щоб скласти (навести) подібні доданки, треба скласти їх коефіцієнти і приписати буквену частину.
- Розкладання на множники:винесення загального множника за дужки, застосування тощо.
- Скорочення дробу: чисельник і знаменник дробу можна множити або ділити на те саме ненульове число, від чого величина дробу не змінюється.
1) чисельник та знаменник розкласти на множники
2) якщо в чисельнику та знаменнику є спільні множники, їх можна викреслити.ВАЖЛИВО: скорочувати можна лише множники!
- Додавання та віднімання дробів:
; - Розмноження та розподіл дробів:
;
Розглянемо тему перетворення виразів зі ступенями, але спочатку зупинимося на ряді перетворень, які можна проводити з будь-якими виразами, у тому числі зі статечними. Ми навчимося розкривати дужки, наводити подібні доданки, працювати з основою та показником ступеня, використовувати властивості ступенів.
Що являють собою статечні вирази?
У шкільному курсімало хто використовує словосполучення «статечні висловлювання», натомість цей термін постійно зустрічається у збірниках для підготовки до ЄДІ. Найчастіше словосполученням позначаються висловлювання, які у своїх записах ступеня. Це ми й відобразимо у нашому визначенні.
Визначення 1
Ступінь вираз- Це вираз, який містить ступеня.
Наведемо кілька прикладів статечних виразів, починаючи зі ступеня з натуральним показникомі закінчуючи ступенем із дійсним показником.
Найпростішими статечними виразами можна вважати ступеня числа з натуральним показником: 3 2 , 7 5 + 1 , (2 + 1) 5 , (− 0 , 1) 4 , 2 2 3 3 , 3 · a 2 − a + a 2 , x 3 − 1 , (a 2) 3 . А також ступеня з нульовим показником: 5 0 , (a + 1) 0 , 3 + 5 2 − 3 , 2 0 . І ступеня з цілими негативними ступенями: (0, 5) 2 + (0, 5) - 2 2 .
Трохи складніше працювати зі ступенем, який має раціональний та ірраціональний показники: 264 1 4 - 3 · 3 · 3 1 2 , 2 3 , 5 · 2 - 2 2 - 1 , 5 , 1 - 1 6 · b 1 2 , x π · x 1 - π , 2 3 3 + 5 .
Як показник може виступати змінна 3 x - 54 - 7 · 3 x - 58 або логарифм x 2 · l g x − 5 · x l g x.
З питанням про те, що таке статечні вирази, ми розібралися. Тепер займемося їх перетворенням.
Основні види перетворень статечних виразів
Насамперед ми розглянемо основні тотожні перетворення виразів, які можна виконувати зі статечними виразами.
Приклад 1
Обчисліть значення статечного виразу 2 3 · (4 2 − 12).
Рішення
Всі перетворення ми проводитимемо з дотриманням порядку виконання дій. В даному випадку почнемо ми з виконання дій у дужках: замінимо ступінь на цифрове значення та обчислимо різницю двох чисел. Маємо 2 3 · (4 2 − 12) = 2 3 · (16 − 12) = 2 3 · 4.
Нам залишається замінити ступінь 2 3 її значенням 8 та обчислити твір 8 · 4 = 32. Ось наша відповідь.
Відповідь: 2 3 · (4 2 − 12) = 32 .
Приклад 2
Спростіть вираз зі ступенями 3 · a 4 · b - 7 - 1 + 2 · a 4 · b - 7.
Рішення
Дане нам в умові завдання вираз містить подібні доданки, які ми можемо навести: 3 · a 4 · b - 7 - 1 + 2 · a 4 · b - 7 = 5 · a 4 · b - 7 - 1.
Відповідь: 3 · a 4 · b - 7 - 1 + 2 · a 4 · b - 7 = 5 · a 4 · b - 7 - 1 .
Приклад 3
Подайте вираз зі ступенями 9 - b 3 · π - 1 2 у вигляді твору.
Рішення
Уявимо число 9 як ступінь 3 2 і застосуємо формулу скороченого множення:
9 - b 3 · π - 1 2 = 3 2 - b 3 · π - 1 2 = = 3 - b 3 · π - 1 3 + b 3 · π - 1
Відповідь: 9 - b 3 · π - 1 2 = 3 - b 3 · π - 1 3 + b 3 · π - 1 .
А тепер перейдемо до розбору тотожних перетворень, які можуть застосовуватися саме щодо статечних виразів.
Робота з основою та показником ступеня
Ступінь у підставі чи показнику може мати і числа, і змінні, і деякі вирази. Наприклад, (2 + 0 , 3 · 7) 5 − 3 , 7і . Працювати із такими записами складно. Набагато простіше замінити вираз у підставі ступеня чи вираз у показнику тотожно рівним виразом.
Проводяться перетворення ступеня та показника за відомими нам правилами окремо один від одного. Найголовніше, щоб у результаті перетворень вийшло вираз, тотожний вихідному.
Мета перетворень – спростити вихідний вираз чи отримати розв'язання задачі. Наприклад, у прикладі, який ми навели вище, (2 + 0 , 3 · 7) 5 − 3 , 7 можна виконати дії для переходу до ступеня 4 , 1 1 , 3 . Розкривши дужки, ми можемо навести подібні доданки в основі ступеня (a · (a + 1) − a 2) 2 · (x + 1)і отримати статечне вираз простішого виду a 2 · (x + 1).
Використання властивостей ступенів
Властивості ступенів, записані у вигляді рівностей, є одним із головних інструментів перетворення виразів зі ступенями. Наведемо тут основні їх, враховуючи, що aі b- це будь-які позитивні числа, а rі s- довільні дійсні числа:
Визначення 2
- a r · a s = a r + s;
- a r: a s = a r − s;
- (a · b) r = a r · b r;
- (a: b) r = a r: b r;
- (a r) s = a r · s.
У тих випадках, коли ми маємо справу з натуральними, цілими, позитивними показниками ступеня, обмеження числа a і b можуть бути набагато менш строгими. Так, наприклад, якщо розглянути рівність a m · a n = a m + n, де mі n– натуральні числа, воно буде вірним для будь-яких значень a , як позитивних, і негативних, і навіть для a = 0.
Застосовувати властивості ступенів без обмежень можна у випадках, коли підстави ступенів позитивні чи містять перемінні, область допустимих значень яких така, що у ній підстави набувають лише позитивні значення. Фактично, у рамках шкільної програмиз математики завданням учня є вибір відповідного властивості і його застосування.
При підготовці до вступу до ВНЗ можуть зустрічатися завдання, в яких неакуратне застосування властивостей призводитиме до звуження ОДЗ та інших складнощів з рішенням. У цьому розділі ми розберемо лише два такі випадки. Більше інформації з питання можна знайти у темі «Перетворення виразів із використанням властивостей ступенів».
Приклад 4
Уявіть вираз a 2 , 5 · (a 2) − 3: a − 5 , 5у вигляді ступеня з основою a.
Рішення
Для початку використовуємо властивість зведення в ступінь і перетворюємо по ньому другий множник (a 2) − 3. Потім використовуємо властивості множення та поділу ступенів з однаковою основою:
a 2 , 5 · a − 6: a − 5 , 5 = a 2 , 5 − 6: a − 5 , 5 = a − 3 , 5: a − 5 , 5 = a − 3 , 5 − (− 5 , 5) = a2.
Відповідь: a 2 , 5 · (a 2) − 3: a − 5 , 5 = a 2 .
Перетворення статечних виразів згідно з властивістю ступенів може здійснюватися як зліва направо, так і у зворотному напрямку.
Приклад 5
Знайти значення статечного виразу 3 1 3 · 7 1 3 · 21 2 3 .
Рішення
Якщо ми застосуємо рівність (a · b) r = a r · b r, Праворуч наліво, то отримаємо твір виду 3 · 7 1 3 · 21 2 3 і далі 21 1 3 · 21 2 3 . Складемо показники при множенні ступенів з однаковими основами: 21 1 3 · 21 2 3 = 21 1 3 + 2 3 = 21 1 = 21 .
Є ще один спосіб провести перетворення:
3 1 3 · 7 1 3 · 21 2 3 = 3 1 3 · 7 1 3 · (3 · 7) 2 3 = 3 1 3 · 7 1 3 · 3 2 3 · 7 2 3 = = 3 1 3 · 3 2 3 · 7 1 3 · 7 2 3 = 3 1 3 + 2 3 · 7 1 3 + 2 3 = 3 1 · 7 1 = 21
Відповідь: 3 1 3 · 7 1 3 · 21 2 3 = 3 1 · 7 1 = 21
Приклад 6
Дано статечний вираз a 1 , 5 − a 0 , 5 − 6, введіть нову змінну t = a 0,5.
Рішення
Уявимо ступінь a 1 , 5як a 0 , 5 · 3. Використовуємо властивість ступеня до ступеня (a r) s = a r · sправоруч наліво і отримаємо (a 0 , 5) 3: a 1 , 5 − a 0 , 5 − 6 = (a 0 , 5) 3 − a 0 , 5 − 6 . В отриманий вираз можна без проблем вводити нову змінну t = a 0,5: отримуємо t 3 − t − 6.
Відповідь: t 3 − t − 6 .
Перетворення дробів, що містять ступеня
Зазвичай ми маємо справу з двома варіантами статечних виразів з дробами: вираз є дріб зі ступенем або містить такий дріб. До таких виразів застосовуються всі основні перетворення дробів без обмежень. Їх можна скорочувати, приводити до нового знаменника, працювати окремо з чисельником та знаменником. Проілюструємо це прикладами.
Приклад 7
Спростити статечний вираз 3 · 5 2 3 · 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 · x 2 - 3 - 3 · x 2 .
Рішення
Ми маємо справу з дробом, тому проведемо перетворення і в чисельнику, і у знаменнику:
3 · 5 2 3 · 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 · x 2 - 3 - 3 · x 2 = 3 · 5 2 3 · 5 1 3 - 3 · 5 2 3 · 5 - 2 3 - 2 - x 2 = = 3 · 5 2 3 + 1 3 - 3 · 5 2 3 + - 2 3 - 2 - x 2 = 3 · 5 1 - 3 · 5 0 - 2 - x 2
Помістимо мінус перед дробом для того, щоб змінити знак знаменника: 12 - 2 - x 2 = - 12 2 + x 2
Відповідь: 3 · 5 2 3 · 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 · x 2 - 3 - 3 · x 2 = - 12 2 + x 2
Дроби, що містять ступеня, приводяться до нового знаменника так само, як і раціональні дроби. Для цього необхідно знайти додатковий множник та помножити на нього чисельник та знаменник дробу. Підбирати додатковий множник необхідно таким чином, щоб він не звертався в нуль за жодних значень змінних з ОДЗ змінних для вихідного виразу.
Приклад 8
Наведіть дроби до нового знаменника: а) a + 1 a 0 , 7 до знаменника aб) 1 x 2 3 - 2 · x 1 3 · y 1 6 + 4 · y 1 3 до знаменника x + 8 · y 1 2 .
Рішення
а) Підберемо множник, який дозволить нам привести до нового знаменника. a 0, 7 · a 0, 3 = a 0, 7 + 0, 3 = a,отже, як додатковий множник ми візьмемо a 0 , 3. Область допустимих значень змінної а включає множину всіх позитивних дійсних чисел. У цій галузі ступінь a 0 , 3не перетворюється на нуль.
Виконаємо множення чисельника та знаменника дробу на a 0 , 3:
a + 1 a 0 , 7 = a + 1 · a 0 , 3 a 0 , 7 · a 0 , 3 = a + 1 · a 0 , 3 a
б) Звернімо увагу на знаменник:
x 2 3 - 2 · x 1 3 · y 1 6 + 4 · y 1 3 = = x 1 3 2 - x 1 3 · 2 · y 1 6 + 2 · y 1 6 2
Помножимо цей вираз на x 1 3 + 2 · y 1 6 отримаємо суму кубів x 1 3 і 2 · y 1 6 , тобто. x + 8 · y 1 2 . Це наш новий знаменник, до якого нам треба привести вихідний дріб.
Так ми знайшли додатковий множник x 1 3 + 2 · y 1 6 . На області допустимих значень змінних xі yвираз x 1 3 + 2 · y 1 6 не звертається в нуль, тому ми можемо помножити на нього чисельник і знаменник дробу:
1 x 2 3 - 2 · x 1 3 · y 1 6 + 4 · y 1 3 = = x 1 3 + 2 · y 1 6 x 1 3 + 2 · y 1 6 x 2 3 - 2 · x 1 3 · y 1 6 + 4 · y 1 3 = = x 1 3 + 2 · y 1 6 x 1 3 3 + 2 · y 1 6 3 = x 1 3 + 2 · y 1 6 x + 8 · y 1 2
Відповідь:а) a + 1 a 0 , 7 = a + 1 · a 0 , 3 a , б) 1 x 2 3 - 2 · x 1 3 · y 1 6 + 4 · y 1 3 = x 1 3 + 2 · y 1 6 x + 8 · y 1 2 .
Приклад 9
Скоротіть дріб: а) 30 · x 3 · (x 0 , 5 + 1) · x + 2 · x 1 1 3 - 5 3 45 · x 0 , 5 + 1 2 · x + 2 · x 1 1 3 - 5 3 б) a 1 4 - b 1 4 a 1 2 - b 1 2 .
Рішення
а) Використовуємо найбільший загальний знаменник (НОД), який можна скоротити чисельник і знаменник. Для чисел 30 та 45 це 15 . Також ми можемо зробити скорочення на x 0 , 5 + 1та на x + 2 · x 1 1 3 - 5 3 .
Отримуємо:
30 · x 3 · (x 0 , 5 + 1) · x + 2 · x 1 1 3 - 5 3 45 · x 0 , 5 + 1 2 · x + 2 · x 1 1 3 - 5 3 = 2 · x 3 3 · (x 0 , 5 + 1)
б) Тут наявність однакових множників є очевидною. Доведеться виконати деякі перетворення для того, щоб отримати однакові множники у чисельнику та знаменнику. Для цього розкладемо знаменник, використовуючи формулу різниці квадратів:
a 1 4 - b 1 4 a 1 2 - b 1 2 = a 1 4 - b 1 4 a 1 4 2 - b 1 2 2 = = a 1 4 - b 1 4 a 1 4 + b 1 4 · a 1 4 - b 1 4 = 1 a 1 4 + b 1 4
Відповідь:а) 30 · x 3 · (x 0 , 5 + 1) · x + 2 · x 1 1 3 - 5 3 45 · x 0 , 5 + 1 2 · x + 2 · x 1 1 3 - 5 3 = 2 · x 3 3 · (x 0, 5 + 1), б) a 1 4 - b 1 4 a 1 2 - b 1 2 = 1 a 1 4 + b 1 4 .
До основних дій з дробами відноситься приведення до нового знаменника і скорочення дробів. Обидві дії виконують із дотриманням низки правил. При складанні та відніманні дробів спочатку дроби приводяться до спільного знаменника, після чого проводяться дії (складання або віднімання) з чисельниками. Знаменник залишається тим самим. Результатом наших дій є новий дріб, чисельник якого є твором чисельників, а знаменник є витвір знаменників.
Приклад 10
Виконайте дії x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 · 1 x 1 2 .
Рішення
Почнемо з віднімання дробів, які розташовуються у дужках. Наведемо їх до спільного знаменника:
x 1 2 - 1 · x 1 2 + 1
Віднімемо чисельники:
x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 · 1 x 1 2 = = x 1 2 + 1 · x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 · x 1 2 + 1 - x 1 2 - 1 · x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 · x 1 2 - 1 · 1 x 1 2 = = x 1 2 + 1 2 - x 1 2 - 1 2 x 1 2 - 1 · x 1 2 + 1 · 1 x 1 2 = = x 1 2 2 + 2 · x 1 2 + 1 - x 1 2 2 - 2 · x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 · x 1 2 + 1 · 1 x 1 2 = = 4 · x 1 2 x 1 2 - 1 · x 1 2 + 1 · 1 x 1 2
Тепер множимо дроби:
4 · x 1 2 x 1 2 - 1 · x 1 2 + 1 · 1 x 1 2 = = 4 · x 1 2 x 1 2 - 1 · x 1 2 + 1 · x 1 2
Зробимо скорочення на ступінь x 1 2отримаємо 4 x 1 2 - 1 · x 1 2 + 1 .
Додатково можна спростити статечне вираз у знаменнику, використовуючи формулу різниці квадратів: квадратів: 4 x 1 2 - 1 · x 1 2 + 1 = 4 x 1 2 2 - 1 2 = 4 x - 1 .
Відповідь: x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 · 1 x 1 2 = 4 x - 1
Приклад 11
Спростіть статечний вираз x 3 4 · x 2 , 7 + 1 2 x - 5 8 · x 2 , 7 + 1 3 .
Рішення
Ми можемо зробити скорочення дробу на (x 2, 7 + 1) 2. Отримуємо дріб x 3 4 x - 5 8 · x 2, 7 + 1 .
Продовжимо перетворення ступенів іксу x 3 4 x - 5 8 · 1 x 2, 7 + 1 . Тепер можна використовувати властивість поділу ступенів з однаковими основами: x 3 4 x - 5 8 · 1 x 2 , 7 + 1 = x 3 4 - - 5 8 · 1 x 2 , 7 + 1 = x 1 1 8 · 1 x 2 7 + 1 .
Переходимо від останнього добутку до дробу x 1 3 8 x 2 , 7 + 1 .
Відповідь: x 3 4 · x 2, 7 + 1 2 x - 5 8 · x 2, 7 + 1 3 = x 1 3 8 x 2, 7 + 1.
Множники з негативними показниками ступеня здебільшого зручніше переносити з чисельника у знаменник і назад, змінюючи знак показника. Ця дія дозволяє спростити подальше рішення. Наведемо приклад: статечний вираз (x + 1) - 0 , 2 3 · x - 1 можна замінити на x 3 · (x + 1) 0 , 2 .
Перетворення виразів з корінням та ступенями
У завданнях зустрічаються статечні висловлювання, які містять як ступеня з дробовими показниками, а й коріння. Такі вирази бажано привести тільки до коріння або тільки до ступенів. Перехід до ступенів краще, оскільки з ними простіше працювати. Такий перехід є особливо доцільним, коли ОДЗ змінних для вихідного виразу дозволяє замінити коріння ступенями без необхідності звертатися до модуля або розбивати ОДЗ на кілька проміжків.
Приклад 12
Подайте вираз x 1 9 · x · x 3 6 у вигляді ступеня.
Рішення
Область допустимих значень змінної xвизначається двома нерівностями x ≥ 0і x · x 3 ≥ 0 які задають безліч [ 0 , + ∞) .
На цій множині ми маємо право перейти від коріння до ступенів:
x 1 9 · x · x 3 6 = x 1 9 · x · x 1 3 1 6
Використовуючи властивості ступенів, спростимо отриманий статечний вираз.
x 1 9 · x · x 1 3 1 6 = x 1 9 · x 1 6 · x 1 3 1 6 = x 1 9 · x 1 6 · x 1 · 1 3 · 6 = = x 1 9 · x 1 6 · x 1 18 = x 1 9 + 1 6 + 1 18 = x 1 3
Відповідь: x 1 9 · x · x 3 6 = x 1 3 .
Перетворення ступенів зі змінними у показнику
Дані перетворення досить легко зробити, якщо грамотно використовувати властивості ступеня. Наприклад, 5 2 · x + 1 - 3 · 5 x · 7 x - 14 · 7 2 · x - 1 = 0.
Ми можемо замінити твором ступеня, у показниках яких перебуває сума певної змінної та числа. У лівій частині це можна зробити з першим і останнім складовими лівої частини виразу:
5 2 · x · 5 1 - 3 · 5 x · 7 x - 14 · 7 2 · x · 7 - 1 = 0,5 · 5 2 · x - 3 · 5 x · 7 x - 2 · 7 2 · x = 0.
Тепер поділимо обидві частини рівності на 7 2 · x. Цей вираз на ОДЗ змінної x набуває лише позитивних значень:
5 · 5 - 3 · 5 x · 7 x - 2 · 7 2 · x 7 2 · x = 0 7 2 · x , 5 · 5 2 · x 7 2 · x - 3 · 5 x · 7 x 7 2 · x - 2 · 7 2 · x 7 2 · x = 0, 5 · 5 2 · x 7 2 · x - 3 · 5 x · 7 x 7 x · 7 x - 2 · 7 2 · x 7 2 · x = 0
Скоротимо дроби зі ступенями, отримаємо: 5 · 5 2 · x 7 2 · x - 3 · 5 x 7 x - 2 = 0 .
Нарешті, відношення ступенів з однаковими показниками замінюється ступенями відносин, що призводить до рівняння 5 · 5 7 2 · x - 3 · 5 7 x - 2 = 0, яке рівносильне 5 · 5 7 x 2 - 3 · 5 7 x - 2 = 0 .
Введемо нову змінну t = 5 7 x , що зводить рішення вихідного показового рівняння до рішення квадратного рівняння 5 · t 2 - 3 · t - 2 = 0 .
Перетворення виразів зі ступенями та логарифмами
Вирази, що містять із запису ступеня та логарифми, також зустрічаються в задачах. Прикладом таких виразів можуть бути: 1 4 1 - 5 · log 2 3 або log 3 27 9 + 5 (1 - log 3 5) · log 5 3 . Перетворення подібних виразів проводиться з використанням розібраних вище підходів та властивостей логарифмів, які докладно розібрали у темі «Перетворення логарифмічних виразів».
Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl+Enter
Вирази, перетворення виразів
Ступінні вирази (вирази зі ступенями) та їх перетворення
У цій статті ми поговоримо про перетворення виразів зі ступенями. Спочатку ми зупинимося на перетвореннях, які виконуються з виразами будь-яких видів, у тому числі зі статечними виразами, таких як розкриття дужок, приведення подібних доданків. А далі розберемо перетворення, властиві саме виразам зі ступенями: робота з основою та показником ступеня, використання властивостей ступенів тощо.
Навігація на сторінці.
Що таке статечні вирази?
Термін «статечні висловлювання» практично не зустрічається шкільних підручниках математики, але він часто фігурує у збірниках завдань, особливо призначених для підготовки до ЄДІ та ОДЕ, наприклад, . Після аналізу завдань, у яких потрібно виконати будь-які дії зі статечними виразами, стає зрозуміло, що під статечними виразами розуміють вирази, що містять у своїх записах ступеня. Тому для себе можна прийняти таке визначення:
Визначення.
Ступінні вирази- Це вирази, що містять ступеня.
Наведемо приклади статечних виразів. Причому будемо їх представляти відповідно до того, як відбувається розвиток поглядів на ступінь з натуральним показником до ступеня з дійсним показником.
Як відомо, спочатку відбувається знайомство зі ступенем числа з натуральним показником, на цьому етапі з'являються перші найпростіші статечні вирази типу 3 2 , 7 5 +1 , (2+1) 5 , (−0,1) 4 , 3·a 2 −a+a 2 , x 3−1 , (a 2) 3 тощо.
Трохи пізніше вивчається ступінь числа з цілим показником, що призводить до появи статечних виразів з негативними ступенями, на кшталт наступних: 3 −2 , 
, a −2 +2·b −3 +c 2 .
У старших класах знову повертаються до ступенів. Там вводиться ступінь з раціональним показником, що тягне за собою появу відповідних статечних виразів: 
, , 
і т.п. Нарешті, розглядаються ступеня з ірраціональними показниками і їх висловлювання: , .
Переліченими статечними виразами справа не обмежується: далі в показник ступеня проникає змінна, і виникають, наприклад, такі вирази 2 x 2 +1 або 
. А після знайомства з , починають зустрічатися вирази зі ступенями і логарифмами, наприклад, x 2 lgx −5 x lgx .
Отже, ми розібралися з питанням, що є статечними виразами. Далі вчитимемося перетворювати їх.
Основні види перетворень статечних виразів
Зі статечними виразами можна виконувати будь-які з основних тотожних перетворень виразів. Наприклад, можна розкривати дужки, замінювати числові вирази їх значеннями, наводити подібні доданки тощо. Природно, при цьому варто дотримуватися прийнятого порядку виконання дій. Наведемо приклади.
приклад.
Обчисліть значення статечного виразу 23 · (42-12).
Рішення.
Відповідно до порядку виконання дій спочатку виконуємо дії у дужках. Там, по-перше, замінюємо ступінь 4 2 її значенням 16 (за потреби дивіться ), і по-друге, обчислюємо різницю 16-12=4 . Маємо 2 3 ·(4 2 −12)=2 3 ·(16−12)=2 3 ·4.
В отриманому вираженні замінюємо ступінь 2 3 її значенням 8 після чого обчислюємо твір 8 · 4 = 32 . Це і є потрібне значення.
Отже, 2 3 ·(4 2 −12)=2 3 ·(16−12)=2 3 ·4=8·4=32.
Відповідь:
2 3 · (4 2 -12) = 32 .
приклад.
Спростити вирази зі ступенями 3·a 4 ·b −7 −1+2·a 4 ·b −7.
Рішення.
Вочевидь, що це вираз містить подібні доданки 3·a 4 ·b −7 і 2·a 4 ·b −7 , і ми можемо навести їх: .
Відповідь:
3·a 4 ·b −7 −1+2·a 4 ·b −7 =5·a 4 ·b −7 −1.
приклад.
Подайте вираз зі ступенями у вигляді твору.
Рішення.
Впоратися з поставленим завданням дозволяє подання числа 9 у вигляді ступеня 3 2 і подальше використання формули скороченого множення різниця квадратів: 
Відповідь:
Також існує ряд тотожних перетворень, властивих саме статечним виразам. Далі ми їх і розберемо.
Робота з основою та показником ступеня
Зустрічаються ступеня, в основі та/або показнику яких знаходяться не просто числа або змінні, а деякі вирази. Як приклад наведемо записи (2+0,3·7) 5−3,7 та (a·(a+1)−a 2) 2·(x+1) .
Працюючи з подібними виразами можна як вираз у основі ступеня, і вираз у показнику замінити тотожно рівним виразом на ОДЗ його змінних. Іншими словами, ми можемо за відомими нам правилами окремо перетворювати основу ступеня, і окремо – показник. Зрозуміло, що в результаті цього перетворення вийде вираз, що тотожно дорівнює вихідному.
Такі перетворення дозволяють спрощувати вирази зі ступенями або досягати інших потрібних нам цілей. Наприклад, у згаданому вище статечному вираженні (2+0,3·7) 5-3,7 можна виконати дії з числами на підставі та показнику, що дозволить перейти до ступеня 4,1 1,3 . А після розкриття дужок і приведення подібних доданків в підставі ступеня (a · (a + 1) -a 2) 2 · (x + 1) ми отримаємо статечне вираз простішого виду a 2 · (x + 1) .
Використання властивостей ступенів
Один із головних інструментів перетворення виразів зі ступенями – це рівності, що відображають . Нагадаємо основні із них. Для будь-яких позитивних чисел a і b та довільних дійсних чисел r та s справедливі такі властивостіступенів:
- a r · a s = a r + s;
- a r: as = a r−s;
- (a b) r = a r b r ;
- (a:b) r = a r: b r;
- (a r) s = a r · s.
Зауважимо, що з натуральних, цілих, і навіть позитивних показниках ступеня обмеження числа a і b може бути менш строгими. Наприклад, для натуральних чисел m і n рівність a m ·a n =a m+n вірно як для позитивних a , але й негативних, й у a=0 .
У школі основну увагу при перетворенні статечних виразів зосереджено саме на вмінні вибрати відповідну властивість і правильно її застосувати. При цьому основи ступенів зазвичай позитивні, що дозволяє використовувати властивості ступенів без обмежень. Це саме стосується і перетворення виразів, що містять в підставах ступенів змінні – область допустимих значень змінних зазвичай така, що на ній підстави набувають лише позитивних значень, що дозволяє вільно використовувати властивості ступенів. Взагалі, потрібно постійно ставити питання, а чи можна в даному випадку застосовувати будь-яку властивість ступенів, адже неакуратне використання властивостей може призводити до звуження ОДЗ та інших неприємностей. Детально і на прикладах ці моменти розібрані у статті перетворення виразів з використанням властивостей ступенів. Тут ми обмежимося розглядом кількох простих прикладів.
приклад.
Подайте вираз a 2,5 ·(a 2) −3:a −5,5 у вигляді ступеня з основою a .
Рішення.
Спочатку другий множник (a 2) −3 перетворимо за якістю зведення ступеня на ступінь: (a 2) −3 =a 2·(−3) =a −6. Вихідний статечний вираз при цьому набуде вигляду a 2,5 ·a −6:a −5,5 . Очевидно, залишається скористатися властивостями множення та поділу ступенів з однаковою основою, маємо
a 2,5 ·a −6:a −5,5 =
a 2,5−6:a −5,5 =a −3,5:a −5,5 =
a −3,5−(−5,5) =a 2 .
Відповідь:
a 2,5 ·(a 2) −3:a −5,5 =a 2.
Властивості ступенів при перетворенні статечних виразів використовуються як зліва направо, так і праворуч наліво.
приклад.
Знайти значення статечного виразу.
Рішення.
Рівність (a b) r = a r b r , застосоване праворуч наліво, дозволяє від вихідного виразу перейти до твору виду і далі . А при множенні ступенів з однаковими основами показники складаються: 
.
Можна було виконувати перетворення вихідного виразу та інакше: 
Відповідь:
.
приклад.
Дано статечний вираз a 1,5 −a 0,5 −6 , введіть нову змінну t=a 0,5 .
Рішення.
Ступінь a 1,5 можна як a 0,5·3 і далі з урахуванням якості ступеня ступеня (a r) s =a r·s , застосованого праворуч наліво, перетворити її до виду (a 0,5) 3 . Таким чином, a 1,5 −a 0,5 −6=(a 0,5) 3 −a 0,5 −6. Тепер легко ввести нову змінну t=a 0,5 одержуємо t 3 −t−6 .
Відповідь:
t 3 −t−6 .
Перетворення дробів, що містять ступеня
Ступінні вирази можуть містити дроби зі ступенями або являти собою такі дроби. До таких дробів повною мірою застосовні будь-які з основних перетворень дробів, які притаманні дробам будь-якого виду. Тобто, дроби, які містять ступеня, можна скорочувати, приводити до нового знаменника, працювати окремо з їх чисельником та окремо зі знаменником тощо. Для ілюстрації сказаних слів розглянемо розв'язання кількох прикладів.
приклад.
Спростити статечний вираз 
.
Рішення.
Дане статечне вираз являє собою дріб. Попрацюємо з її чисельником та знаменником. У чисельнику розкриємо дужки і спростимо отриманий після цього вираз, використовуючи властивості ступенів, а в знаменнику наведемо такі складові: 
І ще змінимо знак знаменника, помістивши мінус перед дробом: 
.
Відповідь:
.
Приведення дробів, що містять ступеня, до нового знаменника проводиться аналогічно до приведення до нового знаменника раціональних дробів. При цьому знаходиться додатковий множник і виконується множення на нього чисельника і знаменника дробу. Виконуючи цю дію, варто пам'ятати, що приведення до нового знаменника може спричинити звуження ОДЗ. Щоб цього не відбувалося, потрібно, щоб додатковий множник не звертався в нуль за жодних значень змінних з ОДЗ змінних для вихідного виразу.
приклад.
Наведіть дроби до нового знаменника: а) до знаменника a, б) 
до знаменника.
Рішення.
а) У цьому випадку досить просто збагнути, який додатковий множник допомагає досягти потрібного результату. Це множник a 0,3, оскільки a 0,7 · 0,3 = a 0,7 +0,3 = a. Зауважимо, що на області допустимих значень змінної a (це є безліч всіх позитивних дійсних чисел) ступінь a 0,3 не звертається в нуль, тому ми маємо право виконати множення чисельника та знаменника заданого дробу на цей додатковий множник: 
б) Придивившись уважніше до знаменника, можна виявити, що 
і множення цього виразу дасть суму кубів і , тобто, . А це і є новим знаменником, до якого нам потрібно привести вихідний дріб.
Так ми знайшли додатковий множник. На ділянці допустимих значень змінних x і y вираз не звертається в нуль, тому ми можемо помножити на нього чисельник і знаменник дробу: 
Відповідь:
а) 
, б) 
.
У скороченні дробів, що містять ступеня, також немає нічого нового: чисельник і знаменник представляються у вигляді деякої кількості множників, і скорочуються однакові множники чисельника та знаменника.
приклад.
Скоротіть дріб: а) 
б) .
Рішення.
а) По-перше, чисельник і знаменник можна скоротити на чисел 30 і 45, який дорівнює 15 . Також, очевидно, можна виконати скорочення на x 0,5+1 та на 
. Ось що ми маємо: 
б) У цьому випадку однакових множників у чисельнику та знаменнику відразу не видно. Щоб отримати їх, доведеться виконати попередні перетворення. У разі вони полягають у розкладанні знаменника на множники по формулі різниці квадратів: 
Відповідь:
а) 
б) 
.
Приведення дробів до нового знаменника та скорочення дробів в основному використовується для виконання дій із дробами. Дії виконуються за відомими правилами. При складанні (відніманні) дробів, вони приводяться до спільного знаменника, після чого складаються (віднімаються) чисельники, а знаменник залишається тим самим. У результаті виходить дріб, чисельник якого є твір чисельників, а знаменник – твір знаменників. Розподіл на дріб є множення на дріб, зворотний їй.
приклад.
Виконайте дії 
.
Рішення.
Спочатку виконуємо віднімання дробів, що знаходяться в дужках. Для цього наводимо їх до спільного знаменника, який є 
, після чого віднімаємо чисельники: 
Тепер множимо дроби: 
Очевидно, можливе скорочення на ступінь x 1/2 після якого маємо 
.
Ще можна спростити статечний вираз у знаменнику, скориставшись формулою різниця квадратів: 
.
Відповідь:
приклад.
Спростіть статечний вираз 
.
Рішення.
Очевидно, цей дріб можна скоротити на (x 2,7 +1) 2 , це дає дріб 
. Зрозуміло, що ще треба щось зробити зі ступенями ікса. Для цього перетворимо отриманий дріб у твір. Це дає можливість скористатися властивістю поділу ступенів з однаковими підставами: 
. І на закінчення процесу переходимо від останнього твору до дробу.
Відповідь:
.
І ще додамо, що можна і в багатьох випадках бажано множники з негативними показниками ступеня переносити з чисельника в знаменник або з знаменника в чисельник, змінюючи знак показника. Такі перетворення часто спрощують подальші дії. Наприклад, статечне вираз можна замінити на .
Перетворення виразів з корінням та ступенями
Часто у виразах, в яких потрібно провести деякі перетворення, разом зі ступенями з дробовими показниками є і коріння. Щоб перетворити подібний вираз до потрібного вигляду, у більшості випадків достатньо перейти тільки до коріння або лише до ступенів. Але оскільки працювати зі ступенями зручніше, зазвичай переходять від коріння до ступенів. Однак, здійснювати такий перехід доцільно тоді, коли ОДЗ змінних для вихідного виразу дозволяє замінити коріння ступенями без необхідності звертатися до модуля або розбивати ОДЗ на кілька проміжків (це ми докладно розібрали у статті перехід від коренів до ступенів і назад). вводиться ступінь із ірраціональним показником, що дозволяє говорити і про ступінь із довільним дійсним показником. На цьому етапі в школі починає вивчатися. показова функція , Яка аналітично задається ступенем, на основі якої знаходиться число, а в показнику - змінна. Так ми стикаємося зі статечними виразами, що містять числа на підставі ступеня, а в показнику - вирази зі змінними, і природно виникає необхідність виконання перетворень таких виразів.
Слід сказати, що перетворення виразів зазначеного виду зазвичай доводиться виконувати під час вирішення показових рівняньі показових нерівностей, і це перетворення досить прості. У переважній кількості випадків вони базуються на властивостях ступеня і націлені переважно на те, щоб надалі ввести нову змінну. Продемонструвати їх нам дозволить рівняння 5 2·x+1 −3·5 x ·7 x −14·7 2·x−1 =0.
По-перше, ступеня, у показниках яких перебуває сума деякої змінної (або вирази зі змінними) та числа, замінюються творами. Це відноситься до першого і останнього доданків вирази з лівої частини:
5 2·x ·5 1 −3·5 x ·7 x −14·7 2·x ·7 −1 =0,
5·5 2·x −3·5 x ·7 x −2·7 2·x =0.
Далі виконується розподіл обох частин рівності на вираз 7 2·x , яке на ОДЗ змінної x для вихідного рівняння приймає тільки позитивні значення (це стандартний прийом розв'язання рівнянь такого виду, зараз не про нього, так що зосередьте увагу на подальших перетвореннях виразів зі ступенями ): 
Тепер скорочуються дроби зі ступенями, що дає 
.
Нарешті, ставлення ступенів з однаковими показниками замінюється ступенями відносин, що призводить до рівняння 
, яке рівносильне 
. Зроблені перетворення дозволяють ввести нову змінну, що зводить рішення початкового показникового рівняння до розв'язання квадратного рівняння
Тема: « Перетворення виразів, що містять ступеня з дробовим показником»
"Нехай хтось спробує викреслити з математики ступеня, і він побачить, що без них далеко не поїдеш". (М.В.Ломоносов)
Цілі уроку:
освітні:узагальнити та систематизувати знання учнів на тему “Ступінь з раціональним показником”; проконтролювати рівень засвоєння матеріалу; ліквідувати прогалини у знаннях та вміннях учнів;
розвиваючі:формувати навички самоконтролю учнів; створити атмосферу зацікавленості кожного учня в роботі, розвивати пізнавальну активністьучнів;
виховні:виховувати інтерес до предмета, до історії математики.
Тип уроку: урок узагальнення та систематизації знань
Обладнання: оціночні листи, картки із завданнями, дешифраторами, кросвордами кожного учня.
Попередня підготовка: клас розбитий на групи, у кожній групі керівник – консультант.
ХІД УРОКУ
Вчитель:Ми закінчили вивчення теми “Ступінь з оптимальним показником та її характеристики”. Ваше завдання на цьому уроці показати, як ви засвоїли вивчений матеріал і як ви вмієте застосовувати отримані знання при вирішенні конкретних завдань. На столі кожен з вас має оціночний лист. До нього ви будете вносити свою оцінку за кожний етап уроку. Наприкінці уроку ви поставите середній бал за урок.
Оціночний лист
| Кросворд | Розминка | Робота в | Рівняння | Перевір себе (ср) | ||
ІІ. Перевірка домашньої роботи.
Взаємоперевірка з олівцем у руках, відповіді зачитуються учнями.
III. Актуалізація знань учнів.
Вчитель:Відомий французький письменник Анатоль Франс сказав свого часу: "Вчитися треба весело. Щоб поглинати знання треба поглинати їх з апетитом".
Повторимо необхідні теоретичні відомості під час розгадування кросворда.
По горизонталі:
1. Дія, за допомогою якого обчислюється значення ступеня (Зведення).
2. Твір, що складається з однакових множників (Ступінь).
3. Дія показників ступенів при зведенні ступеня до ступеня (твір).
4. Дія ступенів, за яких показники ступенів віднімаються (Поділ).
По вертикалі:
5. Число всіх однакових множників (Показник).
6. Ступінь з нульовим показником (одиниця).
7. Повторюваний множник (заснування).
8. Значення 10 5: (2 3 5 5) (чотири).
9. Показник ступеня, який зазвичай не пишуть (одиниця).
IV. Математична розминка.
Вчитель.Повторимо визначення ступеня з раціональним показником та його властивості, виконаємо наступні завдання.
1. Подати вираз х 22 у вигляді добутку двох ступенів з основою х, якщо один із множників дорівнює: х 2 , х 5,5 , х 1\3 , х 17,5 , х 0
2. Спростити:
б) у 5\8 у 1\4: у 1\8 = у
в) з 1,4 до -0,3 з 2,9
3. Обчислити та скласти слово, використовуючи дешифратор.
Виконавши це завдання, ви, хлопці, дізнаєтесь прізвище німецького математика, який запровадив термін – показник ступеня.
1) (-8) 1\3 2) 81 1\2 3) (3\5) -1 4) (5\7) 0 5) 27 -1\3 6) (2\3) -2 7) 16 1\2 * 125 1\3
Слово: 1234567 (Штифель)
V. Письмова робота у зошитах (відповіді відкриваються на дошці) .
Завдання:
1. Спростити вираз:
(х-2): (х 1\2 -2 1\2) (у-3): (у 1\2 - 3 1\2) (х-1): (х 2\3 -х 1\3 +1)
2. Знайти значення виразу:
(х 3\8 х 1\4:) 4 при х = 81
VI. Робота у групах.
Завдання. Розв'язати рівняння та скласти слово, використовуючи дешифратор.
Картка № 1
Слово: 1234567 (Діофант)
Картка № 2
Картка № 3
Слово: 123451 (Ньютон)
Дешифратор
Вчитель.Всі ці вчені зробили свій внесок у розвиток поняття “ступінь”.
VII. Історичні відомості про розвиток поняття ступеня (повідомлення учня).
Поняття ступеня з натуральним показником сформувалося ще древніх народів. Квадрат та куб числа використовувалися для обчислення площ та обсягів. Ступені деяких чисел використовувалися при вирішенні окремих завдань вченими Стародавнього Єгиптута Вавилону.
У III столітті вийшла книга грецького вченого Діофанта "Арифметика", в якій було започатковано введення буквеної символіки. Діофант вводить символи для перших шести ступенів невідомого та обернених їм величин. У книзі квадрат позначається знаком з індексом r; куб – знаком k c індексом r тощо.
З практики вирішення складніших алгебраїчних завдань та оперування зі ступенями виникла необхідність узагальнення поняття ступеня та розширення його за допомогою введення як показник нуля, негативних і дробових чисел. До ідеї узагальнення поняття ступеня на ступінь із ненатуральним показником математики дійшли поступово.
Дробові показники ступеня та найпростіші правила дії над ступенями з дробовими показниками зустрічаються у французького математика Миколи Орема (1323–1382 рр.) у його праці “Алгоритм пропорцій”.
Рівність, а 0 = 1 (для а не рівного 0) застосовував у своїх працях на початку ХV століття самаркандський вчений Гіясаддін Каші Джемшид. Незалежно від нього нульовий показник було запроваджено Миколою Шюке у ХV столітті. Відомо, що Микола Шюке (1445–1500 рр.) розглядав ступені з негативними та нульовими показниками.
Пізніше дробові та негативні, показники зустрічаються у “Повній арифметиці” (1544 р.) німецького математика М.Штифеля та у Симона Стевіна. Симон Стевін припустив на увазі під а 1/n корінь.
Німецький математик М.Штіфель (1487–1567 рр.) дав визначення а 0 =1 при і ввів назву показник (це літерний переклад з німецької Exponent). Німецьке potenzieren означає зведення в ступінь.
Наприкінці ХVI століття Франсуа Вієт запровадив літери для позначення як змінних, а й їх коефіцієнтів. Він застосовував скорочення: N, Q, C – для першого, другого та третього ступенів. Але сучасні позначення (типу а 4, а 5) XVII ввів Рене Декарт.
Сучасні визначення та позначення ступеня з нульовим, негативним та дробовим показником беруть початок від робіт англійських математиків Джона Валліса (1616–1703) та Ісаака Ньютона (1643–1727).
Про доцільність введення нульового, негативних та дробових показників та сучасних символів уперше докладно писав у 1665 р. англійський математик Джон Валліс. Його справу завершив Ісаак Ньютон, який став систематично застосовувати нові символи, після чого вони увійшли до спільного побуту.
Введення ступеня з раціональним показником є одним із багатьох прикладів узагальнення понять математичної дії. Ступінь з нульовим, негативним і дробовими показниками визначається в такий спосіб, щоб до неї були застосовані самі правила дій, які мають місце для ступеня з натуральним показником, тобто. щоб збереглися основні властивості первісного певного поняття ступеня.
Нове визначення ступеня з раціональним показником не суперечить старому визначенню ступеня з натуральним показником, тобто зміст нового визначення ступеня з раціональним показником зберігається і для окремого випадку з натуральним показником. Цей принцип, що дотримується під час узагальнення математичних понять, називається принципом перманентності (збереження сталості). У недосконалій формі його висловив 1830 англійський математик Дж. Пікок, повністю і чітко його встановив німецький математик Г. Ганкель в 1867 р.
VIII. Перевір себе.
Самостійна роботаза картками (відповіді відкриваються на дошці) .
Варіант 1
1. Обчислити: (1 бал)
(а + 3а 1\2): (а 1\2 +3)
Варіант 2
1. Обчислити: (1 бал)
2. Спростити вираз: по 1 балу
а) х 1,6 х 0,4 б) (х 3\8) -5\6
3. Розв'язати рівняння: (2 бали)
4. Спростити вираз: (2 бали)
5. Знайти значення виразу: (3 бали)
IX. Підбиття підсумків уроку.
Які формули та правила згадали на уроці?
Проаналізуйте свою роботу на уроці.
Оцінюється робота учнів під час уроку.
Х. Домашнє завдання. До: Р IV (повторити) ст.156-157 № 4 (а-в), № 7 (а-в),
Додатково: №16
додаток
Оціночний лист
Ф/І/ учня__________________________________________
| Кросворд | Розминка | Робота в | Рівняння | Перевір себе (ср) | ||
Картка № 1
1) Х 13 = 4; 2) у -1 = 35; 3) а 12 = 23; 4) х -0,5 х 1,5 = 1; 5) у 13 = 2; 6) а 27 а 127 = 25; 7) а 1\2: а = 1\3
Дешифратор
Картка № 2
1) Х 13 = 4; 2) у -1 = 3; 3) (х +6) 1 \ 2 = 3; 4) у 13 = 2; 5) (у-3) 13 =2; 6) а 1\2: а = 1\3
Дешифратор
Картка № 3
1) а 27 а 127 = 25; 2) (х-12) 13 = 2; 3) х -0,7 х 3,7 = 8; 4) а 12: а = 13; 5) а 1\2 = 2\3
Дешифратор
Картка № 1
1) Х 13 = 4; 2) у -1 = 35; 3) а 12 = 23; 4) х -0,5 х 1,5 = 1; 5) у 13 = 2; 6) а 27 а 127 = 25; 7) а 1\2: а = 1\3
Дешифратор
Картка № 2
1) Х 13 = 4; 2) у -1 = 3; 3) (х +6) 1 \ 2 = 3; 4) у 13 = 2; 5) (у-3) 13 =2; 6) а 1\2: а = 1\3
Дешифратор
Картка № 3
1) а 27 а 127 = 25; 2) (х-12) 13 = 2; 3) х -0,7 х 3,7 = 8; 4) а 12: а = 13; 5) а 1\2 = 2\3
Дешифратор
Картка № 1
1) Х 13 = 4; 2) у -1 = 35; 3) а 12 = 23; 4) х -0,5 х 1,5 = 1; 5) у 13 = 2; 6) а 27 а 127 = 25; 7) а 1\2: а = 1\3
Дешифратор
Картка № 2
1) Х 13 = 4; 2) у -1 = 3; 3) (х +6) 1 \ 2 = 3; 4) у 13 = 2; 5) (у-3) 13 =2; 6) а 1\2: а = 1\3
Дешифратор
Картка № 3
1) а 27 а 127 = 25; 2) (х-12) 13 = 2; 3) х -0,7 х 3,7 = 8; 4) а 12: а = 13; 5) а 1\2 = 2\3
Дешифратор
| Варіант 1 1. Обчислити: (1 бал) 2. Спростити вираз: по 1 балу а) х 1\2 х 3\4 б)(х -5\6) -2\3 в) х -1\3: х 3\4 г) (0,04 х 7\8) -1\2 3. Розв'язати рівняння: (2 бали) 4. Спростити вираз: (2 бали) (а + 3а 1\2): (а 1\2 +3) 5. Знайти значення виразу: (3 бали) (У 1\2 -2) -1 - (У 1\2 +2) -1 при у=18 | Варіант 2 1. Обчислити: (1 бал) 2. Спростити вираз: по 1 балу а) х 1,6 х 0,4 б) (х 3\8) -5\6 в) х 3\7: х -2\3 г) (0,008х -6\7) -1\3 3. Розв'язати рівняння: (2 бали) 4. Спростити вираз: (2 бали) (у 1,5 с-нд 1,5): (у 0,5 - з 0,5) 5. Знайти значення виразу: (3 бали) (х 3\2 + х 1\2): (х 3\2 -х 1\2) при х = 0,75 |
|||||||||||||