Урок "Багатокутники. Види багатокутників" у рамках технології "Розвиток критичного мислення через читання та письмо". Що таке багатокутник? Які є багатокутники і як вони називаються

Існують різні точкизору те, що вважати багатокутником. У шкільному курсігеометрії використовують одне з таких визначень.

Визначення 1

Багатокутник

- це фігура, складена з відрізків

так, що суміжні відрізки(тобто сусідні відрізки із загальною вершиною, наприклад, A1A2 та A2A3) не лежать на одній прямій, а несуміжні відрізки немає спільних точок.

Визначення 2

Багатокутником називається проста замкнута.

Крапки

називаються вершинами багатокутника, відрізки

— сторонами багатокутника.

Сума довжин усіх сторін називається периметром багатокутника.

Багатокутник, який має n вершин (а отже, і n сторін) називається n - косинцем.

Багатокутник, що лежить в одній площині, називається плоским. Коли говорять про багатокутник, якщо не сказано інакше, мається на увазі, що йдеться про плоский багатокутник.

Дві вершини, що належать одній стороні багатокутника, називаються сусідніми. Наприклад, A1 та A2, A5 та A6 – сусідні вершини.

Відрізок, який з'єднує дві несусідні вершини, називається діагоналлю багатокутника.

З'ясуємо, скільки діагоналей має багатокутник.

З кожної з n вершин багатокутника виходить n-3 діагоналі

(Всього вершин n. Не рахуємо саму вершину і дві сусідні, які не утворюють з даної вершиною діагоналі. Для вершини A1, наприклад, не враховуємо саму A1 і сусідні вершини A2 і A3).

Таким чином, кожна з n вершин відповідає n-3 діагоналі. Оскільки одна діагональ відноситься відразу до двох вершин, щоб знайти кількість діагоналей багатокутника, треба добуток n(n-3) розділити навпіл.

Отже, n - косинець має

діагоналі.

Будь-який багатокутник ділить площину на дві частини — внутрішню та зовнішню областібагатокутник. Фігуру, що складається з багатокутника та його внутрішньої області, також називають багатокутником.

Багатокутник- це геометрична фігура, обмежена замкненою ламаною лінією, що не має самоперетинів

Ланки ламаною називаються сторонами багатокутника, а її вершини - вершинами багатокутника.

Кутамибагатокутника називаються внутрішні кути, утворені сусідніми сторонами. Число кутів багатокутника дорівнює числу його вершин і сторін.

Багатокутникам надаються назви за кількістю сторін. Багатокутник із найменшою кількістю сторін називається трикутником, він має лише три сторони. Багатокутник із чотирма сторонами називається чотирикутником, із п'ятьма - п'ятикутником тощо.

Позначення багатокутника становлять із букв, що стоять при його вершинах, називаючи їх по порядку (за годинниковою або проти годинникової стрілки). Наприклад, кажуть чи пишуть: п'ятикутник ABCDE :

У п'ятикутнику ABCDEкрапки A, B, C, Dі E- це вершини п'ятикутника, а відрізки AB, BC, CD, DEі EA- Сторони п'ятикутника.

Випуклі та увігнуті

Багатокутник називається опуклимякщо жодна з його сторін, продовжена до прямої лінії, його не перетинає. У протилежному випадку багатокутник називається увігнутим:

Периметр

Сума довжин усіх сторін багатокутника називається його периметром.

Периметр багатокутника ABCDEдорівнює:

AB + BC+ CD + DE + EA

Якщо у багатокутника рівні всі сторони і всі кути, його називають правильним. Правильними багатокутникамиможуть бути лише опуклі багатокутники.

Діагональ

Діагональ багатокутника- Це відрізок, що з'єднує вершини двох кутів, які не мають спільної сторони. Наприклад, відрізок ADє діагоналлю:

Єдиним багатокутником, який має жодної діагоналі, є трикутник, оскільки у ньому немає кутів, які мають спільних сторін.

Якщо з якоїсь вершини багатокутника провести всі можливі діагоналі, то вони розділять багатокутник на трикутники:

Трикутників буде рівно на два менше, ніж сторін:

t = n - 2

де t- це кількість трикутників, а n- Кількість сторін.

Поділ багатокутника на трикутники за допомогою діагоналей використовується для знаходження площі багатокутника, оскільки щоб знайти площу якогось багатокутника, потрібно розбити його на трикутники, знайти площу цих трикутників і отримані результати скласти.

На цьому уроці ми приступимо вже до новій теміі введемо нове нам поняття «багатокутник». Ми розглянемо основні поняття, пов'язані з багатокутниками: сторони, вершини кути, опуклість та невипуклість. Потім доведемо найважливіші факти, такі як теорема про суму внутрішніх кутів багатокутника, теорема про суму зовнішніх кутів багатокутника. У підсумку ми підійдемо до вивчення окремих випадків багатокутників, які будуть розглядатися на подальших уроках.

Тема: Чотирикутники

Урок: Багатокутники

В курсі геометрії ми вивчаємо властивості геометричних фігур і вже розглянули найпростіші з них: трикутники та кола. При цьому ми обговорювали і конкретні окремі випадки цих фігур, такі як прямокутні, рівнобедрені та правильні трикутники. Тепер настав час поговорити про більш загальні та складні фігури - багатокутниках.

З окремим випадком багатокутниківми вже знайомі – це трикутник (див. рис. 1).

Мал. 1. Трикутник

У самій назві вже підкреслюється, що це постать, яка має три кути. Отже, в багатокутникуїх то, можливо багато, тобто. більше, ніж три. Наприклад, зобразимо п'ятикутник (див. мал. 2), тобто. фігури з п'ятьма кутами.

Мал. 2. П'ятикутник. Випуклий багатокутник

Визначення.Багатокутник- фігура, що складається з декількох точок (більше двох) та відповідної кількості відрізків, які їх послідовно з'єднують. Ці точки називаються вершинамибагатокутника, а відрізки - сторонами. При цьому жодні дві суміжні сторони не лежать на одній прямій і жодні дві несуміжні сторони не перетинаються.

Визначення.Правильний багатокутник- це опуклий багатокутник, у якого всі боки та кути рівні.

Будь-який багатокутникподіляє площину на дві області: внутрішню та зовнішню. Внутрішню область також відносять до багатокутнику.

Іншими словами, наприклад, коли говорять про п'ятикутник, мають на увазі і всю його внутрішню область, і кордон. До внутрішньої області ставляться і всі точки, що лежать усередині багатокутника, тобто. точка теж відноситься до п'ятикутника (див. мал. 2).

Багатокутники ще іноді називають n-кутниками, щоб наголосити, що розглядається загальний випадок наявності якоїсь невідомої кількості кутів (n штук).

Визначення. Периметр багатокутника- Сума довжин сторін багатокутника.

Тепер треба познайомитись із видами багатокутників. Вони поділяються на опукліі невипуклі. Наприклад, багатокутник, зображений на рис. 2 є опуклим, а на Рис. 3 неопуклим.

Мал. 3. Неопуклий багатокутник

Визначення 1. Багатокутникназивається опуклим, якщо при проведенні прямої через будь-яку з його сторін весь багатокутниклежить лише з одного боку від цієї прямої. Невипуклимиє всі інші багатокутники.

Легко уявити, що з продовження будь-якої сторони п'ятикутника на Рис. 2 він виявиться по одну сторону від цієї прямої, тобто. він опуклий. А ось при проведенні прямої через чотирикутник на Рис. 3 ми вже бачимо, що вона поділяє на дві частини, тобто. він невипуклий.

Але є й інше визначення опуклості багатокутника.

Визначення 2. Багатокутникназивається опуклим, якщо при виборі будь-яких двох внутрішніх точок і при з'єднанні їх відрізком всі точки відрізка є також внутрішніми точками багатокутника.

Демонстрацію використання цього визначення можна побачити з прикладу побудови відрізків на Рис. 2 та 3.

Визначення. Діагоналлюбагатокутника називається будь-який відрізок, що з'єднує дві не сусідні його вершини.

Для опису властивостей багатокутників існують дві найважливіші теореми про їх кутах: теорема про суму внутрішніх кутів опуклого багатокутника і теорема про суму зовнішніх кутів опуклого багатокутника. Розглянемо їх.

Теорема. Про суму внутрішніх кутів опуклого багатокутника (n-кутника).

Де – кількість його кутів (сторон).

Доказ 1. Зобразимо на рис. 4 опуклий n-кутник.

Мал. 4. Випуклий n-кутник

З вершини проведемо усі можливі діагоналі. Вони ділять n-кутник на трикутник, т.к. кожна зі сторін багатокутника утворює трикутник, крім сторін, що належать до вершини . Легко бачити на малюнку, що сума кутів всіх цих трикутників якраз дорівнюватиме сумі внутрішніх кутів n-кутника. Оскільки сума кутів будь-якого трикутника - то сума внутрішніх кутів n-кутника:

Що й потрібно було довести.

Доказ 2. Можливий і інший доказ цієї теореми. Зобразимо аналогічний n-кутник Рис. 5 і з'єднаємо будь-яку його внутрішню точку з усіма вершинами.

Мал. 5.

Ми отримали розбиття n-кутника на n трикутників (скільки сторін, стільки та трикутників). Сума всіх їх кутів дорівнює сумі внутрішніх кутів багатокутника та сумі кутів при внутрішній точці, а це кут . Маємо:

Що й потрібно було довести.

Доведено.

По доведеній теоремі видно, що сума кутів n-кутника залежить кількості його сторін (від n). Наприклад, у трикутнику , а сума кутів . У чотирикутнику, а сума кутів - і т.д.

Теорема. Про суму зовнішніх кутів опуклого багатокутника (n-кутника).

Де - кількість його кутів (сторон), а , ..., - Зовнішні кути.

Доведення. Зобразимо опуклий n-кутник на Мал. 6 і позначимо його внутрішні та зовнішні кути.

Мал. 6. Випуклий n-кутник із позначеними зовнішніми кутами

Т.к. зовнішній кут пов'язаний з внутрішнім як суміжні, то і аналогічно інших зовнішніх кутів. Тоді:

У ході перетворень ми скористалися вже доведеною теоремою сумі внутрішніх кутів n-кутника .

Доведено.

З доведеної теореми випливає цікавий фактщо сума зовнішніх кутів опуклого n-кутника дорівнює від кількості його кутів (сторон). До речі, на відміну суми внутрішніх кутів.

Список літератури

1. Александров А.Д. та ін. Геометрія, 8 клас. - М: Просвітництво, 2006.
2. Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолов В.В. Геометрія, 8 клас. - М: Просвітництво, 2011.
3. Мерзляк А.Г., Полонський В.Б., Якір С.М. Геометрія, 8 клас. – К.: ВЕНТАНА-ГРАФ, 2009.

1. Profmeter.com.ua ().
2. Narod.ru ().
3. Xvatit.com ().

Домашнє завдання

Властивості багатокутників

Багатокутник - це геометрична фігура, що зазвичай визначається як замкнута ламана без самоперетинів (простий багатокутник (рис. 1а)), проте іноді самоперетину допускаються (тоді багатокутник не є простим).

Вершини ламаної називаються вершинами багатокутника, а відрізки – сторонами багатокутника. Вершини багатокутника називаються сусідніми, якщо є кінцями однієї з його сторін. Відрізки, які з'єднують несусідні вершини багатокутника, називаються діагоналями.

Кутом (або внутрішнім кутом) опуклого багатокутника при даній вершині називається кут, утворений його сторонами, що сходяться в цій вершині, при цьому кут вважається багатокутником. Зокрема кут може перевищувати 180°, якщо багатокутник невипуклий.

Зовнішнім кутом опуклого багатокутника при цій вершині називається кут, суміжний внутрішньому куту багатокутника при цій вершині. У випадку зовнішній кут це різниця між 180° і внутрішнім кутом. З кожної вершини -кутника при > 3 виходять - 3 діагоналі, тому загальне числодіагоналей-кутника одно.

Багатокутник із трьома вершинами називається трикутником, із чотирма - чотирикутником, із п'ятьма - п'ятикутником тощо.

Багатокутник з nвершинами називається n-косинцем.

Плоським багатокутником називається фігура, що складається з багатокутника та обмеженої ним кінцевої частини площі.

Багатокутник називають опуклим, якщо виконано одну з наступних (еквівалентних) умов:

• 1. він лежить по одну сторону від будь-якої прямої, що з'єднує сусідні вершини. (Тобто продовження сторін багатокутника не перетинають інших його сторін);
• 2. він є перетином (тобто. загальною частиною) декількох напівплощин;
• 3. будь-який відрізок з кінцями в точках, що належать багатокутнику, цілком належить йому.

Випуклий багатокутник називається правильним, якщо у нього всі сторони рівні і всі кути рівні, наприклад, рівносторонній трикутник, квадрат і пентагон.

Опуклий багатокутник називається описаним біля кола, якщо всі його сторони торкаються деякого кола

Правильний багатокутник - це багатокутник, у якого всі кути та всі сторони рівні між собою.

Властивості багатокутників:

1 Кожна діагональ опуклого -кутника, де >3, розкладає його на два опуклі багатокутники.

2 Сума всіх кутів опуклого -кутника дорівнює.

Д-во: Теорему доведемо шляхом математичної індукції. При = 3 вона очевидна. Припустимо, що теорема правильна для -кутника, де <, і доведемо її для -кутника.

Нехай-даний багатокутник. Проведемо діагональ цього багатокутника. По теоремі 3 багатокутник розкладено на трикутник і опуклий -кутник (рис. 5). За припущенням індукції. З іншого боку, . Складаючи ці рівності та враховуючи, що (- внутрішній промінь кута ) і (- внутрішній промінь кута ), отримуємо.При отримуємо: .

3 Біля будь-якого правильного багатокутника можна описати коло, і до того ж лише одну.

Д-во: Нехай правильний багатокутник, а й – бісектриси кутів, та (рис. 150). Тому що, отже, * 180°< 180°. Отсюда следует, что биссектрисы и углов и пересекаются в некоторой точке О.Доведемо, що O = ОА 2 = Про =… = ОА п . Трикутник Прорівнобедрений, тому Про= Про. За другою ознакою рівності трикутників, отже, Про = Про. Аналогічно доводиться, що Про = Проі т.д. Таким чином, точка Прорівновіддалена від усіх вершин багатокутника, тому коло з центром Прорадіусу Проє описаною біля багатокутника.

Доведемо тепер, що описане коло лише одне. Розглянемо якісь три вершини багатокутника, наприклад, А 2 , . Оскільки через ці точки проходить лише одне коло, то біля багатокутника … не можна описати більш ніж одне коло.

• 4 У будь-який правильний багатокутник можна вписати коло і лише одну.
• 5 Окружність, вписана у правильний багатокутник, стосується сторін багатокутника в їх серединах.
• 6 Центр кола, описаного біля правильного багатокутника, збігається з центром кола, вписаного в той самий багатокутник.
• 7 Симетрія:

Кажуть, що фігура має симетрію (симетрична), якщо існує такий рух (не тотожний), що переводить цю фігуру в себе.

• 7.1. Трикутник загального вигляду немає осей чи центрів симетрії, він несиметричний. Рівнобедрений (але не рівносторонній) трикутник має одну вісь симетрії: серединний перпендикуляр до основи.
• 7.2. Рівносторонній трикутник має три осі симетрії (серединні перпендикуляри до сторін) та поворотну симетрію щодо центру з кутом повороту 120°.

7.3 Будь-який правильний n-кутник має n осей симетрії, всі вони проходять через його центр. Він також має поворотну симетрію щодо центру з кутом повороту.

При парному nодні осі симетрії проходять через протилежні вершини, інші – через середини протилежних сторін.

При непарному nкожна вісь проходить через вершину та середину протилежної сторони.

Центр правильного багатокутника з парним числом сторін є центром симетрії. У правильного багатокутника з непарною кількістю сторін центру симетрії немає.

8 Подібність:

При подобі і -кутник переходить в -кутник, напівплощина - напівплощина, тому опуклий n-кутник переходить у опуклий n-кутник.

Теорема: Якщо сторони і кути опуклих багатокутників і задовольняють рівності:

де - коефіцієнт подія

то ці багатокутники подібні.

• 8.1 Відношення периметрів двох подібних багатокутників дорівнює коефіцієнту подібності.
• 8.2. Відношення площ двох опуклих подібних багатокутників дорівнює квадрату коефіцієнта подібності.

багатокутник трикутник периметр теорема

На цьому уроці ми приступимо до нової теми і введемо нове для нас поняття «багатокутник». Ми розглянемо основні поняття, пов'язані з багатокутниками: сторони, вершини кути, опуклість та невипуклість. Потім доведемо найважливіші факти, такі як теорема про суму внутрішніх кутів багатокутника, теорема про суму зовнішніх кутів багатокутника. У результаті, ми підійдемо до вивчення окремих випадків багатокутників, які будуть розглядатися на подальших уроках.

Тема: Чотирикутники

Урок: Багатокутники

В курсі геометрії ми вивчаємо властивості геометричних фігур і вже розглянули найпростіші з них: трикутники та кола. При цьому ми обговорювали і конкретні окремі випадки цих фігур, такі як прямокутні, рівнобедрені та правильні трикутники. Тепер настав час поговорити про більш загальні та складні фігури - багатокутниках.

З окремим випадком багатокутниківми вже знайомі – це трикутник (див. рис. 1).

Мал. 1. Трикутник

У самій назві вже підкреслюється, що це постать, яка має три кути. Отже, в багатокутникуїх то, можливо багато, тобто. більше, ніж три. Наприклад, зобразимо п'ятикутник (див. мал. 2), тобто. фігури з п'ятьма кутами.

Мал. 2. П'ятикутник. Випуклий багатокутник

Визначення.Багатокутник- фігура, що складається з декількох точок (більше двох) та відповідної кількості відрізків, які їх послідовно з'єднують. Ці точки називаються вершинамибагатокутника, а відрізки - сторонами. При цьому жодні дві суміжні сторони не лежать на одній прямій і жодні дві несуміжні сторони не перетинаються.

Визначення.Правильний багатокутник- це опуклий багатокутник, у якого всі боки та кути рівні.

Будь-який багатокутникподіляє площину на дві області: внутрішню та зовнішню. Внутрішню область також відносять до багатокутнику.

Іншими словами, наприклад, коли говорять про п'ятикутник, мають на увазі і всю його внутрішню область, і кордон. До внутрішньої області ставляться і всі точки, що лежать усередині багатокутника, тобто. точка теж відноситься до п'ятикутника (див. мал. 2).

Багатокутники ще іноді називають n-кутниками, щоб наголосити, що розглядається загальний випадок наявності якоїсь невідомої кількості кутів (n штук).

Визначення. Периметр багатокутника- Сума довжин сторін багатокутника.

Тепер треба познайомитись із видами багатокутників. Вони поділяються на опукліі невипуклі. Наприклад, багатокутник, зображений на рис. 2 є опуклим, а на Рис. 3 неопуклим.

Мал. 3. Неопуклий багатокутник

Визначення 1. Багатокутникназивається опуклим, якщо при проведенні прямої через будь-яку з його сторін весь багатокутниклежить лише з одного боку від цієї прямої. Невипуклимиє всі інші багатокутники.

Легко уявити, що з продовження будь-якої сторони п'ятикутника на Рис. 2 він виявиться по одну сторону від цієї прямої, тобто. він опуклий. А ось при проведенні прямої через чотирикутник на Рис. 3 ми вже бачимо, що вона поділяє на дві частини, тобто. він невипуклий.

Але є й інше визначення опуклості багатокутника.

Визначення 2. Багатокутникназивається опуклим, якщо при виборі будь-яких двох внутрішніх точок і при з'єднанні їх відрізком всі точки відрізка є також внутрішніми точками багатокутника.

Демонстрацію використання цього визначення можна побачити з прикладу побудови відрізків на Рис. 2 та 3.

Визначення. Діагоналлюбагатокутника називається будь-який відрізок, що з'єднує дві не сусідні його вершини.

Для опису властивостей багатокутників існують дві найважливіші теореми про їх кутах: теорема про суму внутрішніх кутів опуклого багатокутникаі теорема про суму зовнішніх кутів опуклого багатокутника. Розглянемо їх.

Теорема. Про суму внутрішніх кутів опуклого багатокутника (n-кутника).

Де – кількість його кутів (сторон).

Доказ 1. Зобразимо на рис. 4 опуклий n-кутник.

Мал. 4. Випуклий n-кутник

З вершини проведемо усі можливі діагоналі. Вони ділять n-кутник на трикутник, т.к. кожна зі сторін багатокутника утворює трикутник, крім сторін, що належать до вершини . Легко бачити на малюнку, що сума кутів всіх цих трикутників якраз дорівнюватиме сумі внутрішніх кутів n-кутника. Оскільки сума кутів будь-якого трикутника - то сума внутрішніх кутів n-кутника:

Що й потрібно було довести.

Доказ 2. Можливий і інший доказ цієї теореми. Зобразимо аналогічний n-кутник Рис. 5 і з'єднаємо будь-яку його внутрішню точку з усіма вершинами.

Мал. 5.

Ми отримали розбиття n-кутника на n трикутників (скільки сторін, стільки та трикутників). Сума всіх їх кутів дорівнює сумі внутрішніх кутів багатокутника та сумі кутів при внутрішній точці, а це кут . Маємо:

Що й потрібно було довести.

Доведено.

По доведеній теоремі видно, що сума кутів n-кутника залежить кількості його сторін (від n). Наприклад, у трикутнику , а сума кутів . У чотирикутнику, а сума кутів - і т.д.

Теорема. Про суму зовнішніх кутів опуклого багатокутника (n-кутника).

Де - кількість його кутів (сторон), а , ..., - Зовнішні кути.

Доведення. Зобразимо опуклий n-кутник на Мал. 6 і позначимо його внутрішні та зовнішні кути.

Мал. 6. Випуклий n-кутник із позначеними зовнішніми кутами

Т.к. зовнішній кут пов'язаний з внутрішнім як суміжні, то і аналогічно інших зовнішніх кутів. Тоді:

У ході перетворень ми скористалися вже доведеною теоремою сумі внутрішніх кутів n-кутника .

Доведено.

З доведеної теореми випливає цікавий факт, що сума зовнішніх кутів опуклого n-кутника дорівнює від кількості його кутів (сторон). До речі, на відміну суми внутрішніх кутів.

Список літератури

1. Александров А.Д. та ін. Геометрія, 8 клас. - М: Просвітництво, 2006.
2. Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолов В.В. Геометрія, 8 клас. - М: Просвітництво, 2011.
3. Мерзляк А.Г., Полонський В.Б., Якір С.М. Геометрія, 8 клас. – К.: ВЕНТАНА-ГРАФ, 2009.

1. Profmeter.com.ua ().
2. Narod.ru ().
3. Xvatit.com ().

Домашнє завдання