Завдання по темі Найбільший спільний дільник. Взаємно прості числа. Взаємно прості числа: визначення, приклади та властивості Взаємно прості числа

09.07.2015 6119 0

Цілі: формувати навичку знаходження найбільшого спільного дільника; запровадити поняття взаємно простих чисел; відпрацьовувати вміння розв'язувати завдання використання НОД чисел; вивчати аналізувати, робити висновки.

ІІ. Усний рахунок

1. Чи може розкладання на прості множники числа 24753 містити множник 5? Чому? (Ні, оскільки запис цього числа не закінчується цифрою 0 або 5.)

2. Назвіть число, яке ділиться на всі числа без залишку. (Нуль.)

3. Сума двох цілих чисел непарна. Парно чи непарно їхній твір? (Якщо сума двох чисел непарна, то одне число парне, друге непарно. Оскільки один із множників парне число, отже, він ділиться на 2, отже, і твір ділиться на 2. Тоді і весь твір парний.)

4. В одній сім'ї кожен із трьох братів має сестру. Скільки дітей у сім'ї? (4 дітей: троє хлопчиків та одна їхня сестра.)

III . Індивідуальна робота

Розкладіть число 210 усіма можливими способами:

а) на 2 множники; (210 = 21 · 10 = 14 · 15 = 7 · 30 = 70 · 3 = 6 · 35 = 42 · 5 = 105 · 2.)

б) на 3 множники; (210 = 3 · 7 · 10 = 5 · 3 · 14 = 7 · 5 · 6 = 35 · 2 · 3 = 21 · 2 · 5 = 7 · 2 · 15.)

в) на 4 множники. (210 = 3 · 7 · 2 · 5.)

IV. Повідомлення теми уроку

«Числа правлять світом». Ці слова належать давньогрецькому математику Піфагору, який жив у V ст. до н.е.

Сьогодні ми познайомимося ще з однією групою чисел, що називаються взаємно простими.

V. Вивчення нового матеріалу

1. Підготовча робота.

№ 146 стор. 25 (на дошці та у зошитах). (Самостійно, у цей час один учень працює на звороті дошки.)

Знайдіть усі дільники кожного числа.

Наголосіть на їхніх спільних дільниках.

Запишіть спільний дільник.

Відповідь:

Які числа мають лише один спільний дільник? (35 та 88.)

2. Робота над новою темою.

(Самостійно, у цей час один учень працює на звороті дошки.)

Знайдіть найбільший спільний дільник чисел: 7 та 21; 25 та 9; 8 та 12; 5 та 3; 15 та 40; 7 та 8.

Відповідь:

НОД (7; 21) = 7; НОД (25; 9) = 1; НОД (8; 12) = 4;

НОД (5; 3) = 1; НОД (15; 40) = 5; НОД (7; 8) = 1.

Які пари чисел мають однаковий спільний дільник? (25 і 9; 5 і 3; 7 і 8 - спільний дільник 1.)

Такі числа називаються простими.

Дайте визначення взаємно простих чисел.

Наведіть приклади взаємно простих чисел. (35 та 88, 3 та 7; 12 та 35; 16 та 9.)

VI. Історична хвилина

Стародавні греки вигадали чудовий спосіб, що дозволяє шукати найбільший спільний дільник двох натуральних чисел без розкладання на множники. Він звався «Алгоритма Евкліда».

Про життя грецького математика Евкліда достовірні дані невідомі. Йому належить визначний науковий твір, званий «Початки». Воно складається з 13 книг та викладає основи всієї давньогрецької математики.

Саме тут описується алгоритм Евкліда, який у тому, що найбільшим спільним дільником двох натуральних чисел є останній, відмінний він нуля, залишок при послідовному розподілі цих чисел. Під послідовним розподілом мається на увазі розподіл більшого числа на менше, меншого числа на перший залишок, першого залишку на другий залишок і т.д., Поки розподіл не закінчиться без залишку. Припустимо, потрібно знайти НОД (455; 312), тоді

455: 312 = 1 (зуп. 143), отримуємо 455 = 312 · 1 + 143.

312: 143 = 2 (зуп. 26), 312 = 143 · 2 + 26,

143: 26 = 5 (зуп. 13), 143 = 26 · 5 + 13,

26: 13 = 2 (зуп. 0), 26 = 13 · 2.

Останній дільник або останній, відмінний від нуля залишок 13 і буде шуканим НОД (455; 312) = 13.

VII. Фізкультхвилинка

VIII. Робота над завданням

1. № 152 стор. 26 (з докладним коментуванням біля дошки та у зошитах).

Прочитайте завдання.

Про кого йдеться у завданні?

Про що йдеться у задачі?

Назвіть 1 питання завдання.

Як дізнатися, скільки хлопців було на ялинці? (Знайти НОД чисел 123 і 82.)

Прочитайте завдання з цього зошита. (Кількість апельсинів і яблук має ділитися на те саме найбільше число.)

Як дізнатися, скільки апельсинів було у кожному подарунку? (Усю кількість апельсинів розділити на кількість присутніх на ялинці дітей.)

Як дізнатися скільки яблук було в кожному подарунку? (Усю кількість яблук розділити на кількість присутніх на ялинці дітей.)

Запишіть розв'язання завдання у зошитах на друкованій основі.

Рішення:

НОД (123; 82) = 41, отже, 41 людина.

123: 41 = 3 (ап.)

82: 41 = 2 (ябл.)

(Відповідь: хлопців 41, апельсинів 3, яблук 2)

2. № 164 (2) стор. 27 (після короткого розбору, один учень - на звороті дошки, інші самостійно, потім самоперевірка).

Прочитайте завдання.

Чому дорівнює градусний захід розгорнутого кута?

Якщо один кут у 4 рази менший, то що можна сказати про другий кут? (Він у 4 рази більше.)

Запишіть це у короткий запис.

Яким чином вирішуватимете завдання? (Алгебраїчним.)

Рішення:

1) Нехай х - градусний захід кута СОК,

4х - градусний захід кута KOD.

Оскільки сума кутів СОК і KOD дорівнює 180 °, то складемо рівняння:

х + 4х = 180

5х = 180

х = 180: 5

х = 36; 36 ° - градусний захід кута СОК.

2) 36 · 4 = 144 ° - градусна міра кута KOD.

(Відповідь: 36 °, 144 °.)

Побудуйте ці кути.

Визначте вид кутів СІК та KOD . (Кут СІК - гострий, кут KOD - тупий.)

Чому?

IX. Закріплення вивченого матеріалу

1. № 149 стор. 26 (біля дошки з докладним коментарем).

Що потрібно зробити, щоб визначити, чи є числа взаємно простими? (Знайти їх найбільший спільний дільник, якщо він дорівнює 1, числа взаємно прості.)

2. № 150 стор. 26 (усно).

Підтвердьте відповідь. (9 і 14; 14 і 15; 14 і 27 - пари взаємно простих чисел, тому що їх НОД дорівнює 1.)

3. № 151 стор. 26 (один учень біля дошки, інші в зошитах).

(Відповідь: .)

Хто не згоден?

4. Усно, з докладним поясненням.

Як знаходять найбільший спільний дільник кількох натуральних чисел? (Знаходять так само, як і двох чисел.)

Знайдіть найбільший спільний дільник чисел:

а) 18, 14 та 6; б) 26, 15 та 9; в) 12, 24, 48; г) 30, 50, 70.

Рішення:

а) 1. Перевіримо, чи діляться числа 18 та 14 на 6. Ні.

2. Розкладемо на прості множники найменше число 6 = 2 · 3.

3. Перевіримо, чи діляться числа 18 та 14 на 3. Ні.

4. Перевіримо, чи діляться числа 18 та 14 на 2. Так. Отже, НОД (18; 14; 6) = 2.

б) НОД (26; 15; 9) = 1.

Що можна сказати про ці числа? (Вони взаємно прості.)

в) НОД (12; 24; 48) = 12.

г) НОД (30; 50; 70) = 10.

X. Самостійна робота

Взаємоперевірка. (На дошці, що закривається, записані відповіді.)

Варіант I. № 161 (а, б) стор. 27, № 157 (б - 1 та 3 число) стор. 27.

Варіант ІІ . № 161 (в, г) стор. 27, № 157 (б - 2 та 3 число) стор. 27.

XI. Підбиття підсумків уроку

Які числа називають взаємно простими?

Як можна дізнатися, чи дані числа є взаємно простими?

Як знайти найбільший спільний дільник кількох натуральних чисел?

Домашнє завдання

№ 169 (6), 170 (в, г), 171, 174 стор 28.

Додаткове завдання:При перестановці цифр простого числа 311 знову вийде просте число (перевірте по таблиці простих чисел). Знайдіть усі двоцифрові числа, що мають таку ж властивість. (113, 131; 13, 31; 17, 71; 37, 73; 79, 97.)

Прості та складові числа

Визначення 1 . Спільним дільником кількох натуральних чисел називають число, яке є дільником кожного із цих чисел.

Визначення 2 . Найбільший із спільних дільників називають найбільшим спільним дільником (НДД).

приклад 1 . Загальними дільниками чисел 30, 45 та 60 будуть числа 3, 5, 15. Найбільшим спільним дільником цих чисел буде

НОД (30, 45, 10) = 15 .

Визначення 3 . Якщо найбільший спільний дільник кількох чисел дорівнює 1, то ці числа називають взаємно простими.

Приклад 2 . Числа 40 і 3 будуть взаємно простими числами, а числа 56 і 21 не є взаємно простими, оскільки у чисел 56 і 21 є спільний дільник 7 який більший, ніж 1.

Зауваження. Якщо чисельник дробу та знаменник дробу є взаємно простими числами, то такий дріб нескоротний.

Алгоритм знаходження найбільшого спільного дільника

Розглянемо алгоритм знаходження найбільшого спільного дільникакількох чисел на прикладі.

Приклад 3 . Знайти найбільший спільний дільник чисел 100, 750 та 800 .

Рішення . Розкладемо ці числа на прості множники:

Простий множник 2 у перше розкладання на множники входить до ступеня 2 , до другого розкладання – до ступеня 1 , до третього розкладання – до ступеня 5 . Позначимо найменшу з цих ступенів літерою a. Очевидно, що a = 1 .

Простий множник 3 у перше розкладання на множники входить у ступеня 0 (іншими словами, множник 3 у перше розкладання на множники взагалі не входить), у друге розкладання входить у ступеня 1, у третє розкладання – у ступеню 0 . Позначимо найменшу з цих ступенів літерою b. Очевидно, що b = 0 .

Простий множник 5 у перше розкладання на множники входить до ступеня 2 , до другого розкладання – до ступеня 3 , до третього розкладання – до ступеня 2 . Позначимо найменшу з цих ступенів літерою c. Очевидно, що c = 2 .

Однакових подарунків можна скласти з 48 цукерок «Ластівка» та 36 цукерок «Чебурашка», якщо треба використати всі цукерки?

Рішення. Кожне з чисел 48 та 36 має ділитися на кількість подарунків. Тому спочатку випишемо усі дільники числа 48.

Отримаємо: 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48.

Потім випишемо усі дільники числа 36.

Отримаємо: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36.

Спільними дільниками чисел 48 та 36 будуть: 1, 2, 3, 4, 6, 12.

Бачимо, що найбільшим із цих чисел є 12. Його називають найбільшим загальним дільником чисел 48 та 36.

Отже, можна скласти 12 подарунків. У кожному подарунку буде 4 цукерки «Ластівка» (48:12=4) та 3 цукерки «Чебурашка» (36:12=3).

Зміст уроку конспект урокуопорний каркас презентація уроку акселеративні методи інтерактивні технології Практика завдання та вправи самоперевірка практикуми, тренінги, кейси, квести домашні завдання риторичні питання від учнів Ілюстрації аудіо-, відеокліпи та мультимедіафотографії, картинки графіки, таблиці, схеми гумор, анекдоти, приколи, комікси притчі, приказки, кросворди, цитати Доповнення рефератистатті фішки для допитливих шпаргалки підручники основні та додаткові словник термінів інші Удосконалення підручників та уроківвиправлення помилок у підручникуоновлення фрагмента у підручнику елементи новаторства на уроці заміна застарілих знань новими Тільки для вчителів ідеальні уроки календарний планна рік методичні рекомендаціїпрограми обговорення Інтегровані уроки

У цій статті ми розповімо, що таке взаємно прості числа. У першому пункті сформулюємо визначення двох, трьох і більше взаємно простих чисел, наведемо кілька прикладів і покажемо, у яких випадках два числа вважатимуться простими стосовно друг до друга. Після цього перейдемо до формулювання основних властивостей та їх доказів. В останньому пункті ми поговоримо про пов'язане поняття – попарно прості числа.

Що таке взаємно прості числа

Взаємно простими можуть бути як два цілих числа, так і їх Велика кількість. Для початку введемо визначення для двох чисел, для чого нам знадобиться поняття їхнього найбільшого спільного дільника. Якщо потрібно, повторіть матеріал, присвячений йому.

Визначення 1

Взаємно простими будуть такі числа a і b , найбільший загальний дільник яких дорівнює 1 , тобто . НОД (a, b) = 1 .

З даного визначенняможна дійти невтішного висновку, що єдиний позитивний загальний дільник у двох взаємно простих чисел дорівнюватиме 1 . Усього два таких числа мають два спільні дільники – одиницю та мінус одиницю.

Які приклади взаємно простих чисел? Наприклад, такою парою будуть 5 та 11 . Вони мають лише один загальний позитивний дільник, що дорівнює 1 , що є підтвердженням їхньої взаємної простоти.

Якщо ми візьмемо два простих числа, то по відношенню один до одного вони будуть взаємно простими у всіх випадках, однак такі взаємні відносини утворюються також між складовими числами. Можливі випадки, коли одне число в парі взаємно простих є складовим, а друге простим, або складовими є вони обидва.

Це твердження ілюструє наступний приклад: складові числа - 9 та 8 утворюють взаємно просту пару. Доведемо це, вирахувавши їх найбільший спільний дільник. Для цього запишемо усі їхні дільники (рекомендуємо перечитати статтю про знаходження дільників числа). У 8 це будуть числа ±1, ±2, ±4, ±8, а у 9 – ±1, ±3, ±9. Вибираємо з усіх дільників той, що буде загальним та найбільшим – це одиниця. Отже, якщо НОД (8 , − 9) = 1 , то 8 і - 9 будуть взаємно простими один до одного.

Взаємно простими числами не є 500 і 45, оскільки вони мають ще один спільний дільник – 5 (див. статтю про ознаки ділимості на 5). П'ять більше одиниці та є позитивним числом. Іншою подібною парою можуть бути - 201 і 3, оскільки їх обидва можна розділити на 3, на що вказує відповідну ознаку ділимості.

Насправді досить часто доводиться визначати взаємну простоту двох цілих чисел. З'ясування цього можна звести до пошуку найбільшого спільного дільника та порівняння його з одиницею. Також зручно користуватися таблицею простих чисел, щоб не робити зайвих обчислень: якщо одне з заданих чиселє в цій таблиці, отже, воно ділиться тільки на одиницю і саме на себе. Розберемо розв'язання такого завдання.

Приклад 1

Умова:з'ясуйте, чи є взаємно простими числа 275 та 84 .

Рішення

Обидва числа мають більше одного дільника, тому відразу назвати їх взаємно простими ми не можемо.

Обчислюємо найбільший спільний дільник, використовуючи алгоритм Евкліда: 275 = 84 · 3 + 23, 84 = 23 · 3 + 15, 23 = 15 · 1 + 8, 15 = 8 · 1 + 7, 8 = 7 · 1 + 1, = 7 · 1.

Відповідь:оскільки НОД (84, 275) = 1, то дані числа будуть взаємно простими.

Як ми вже говорили раніше, визначення таких чисел можна поширити і на випадки, коли ми маємо не два числа, а більше.

Визначення 2

Взаємно простими цілі числа a 1 , a 2 , … , a k , k > 2 будуть тоді, коли вони мають найбільший спільний дільник, що дорівнює 1 .

Іншими словами, якщо ми маємо набір деяких чисел з найбільшим позитивним дільником, більшим 1 , то всі ці числа не по відношенню один до одного взаємно зворотні.

Візьмемо кілька прикладів. Так, цілі числа − 99 , 17 та − 27 – взаємно прості. Будь-яка кількість простих чисел буде взаємно простою по відношенню до всіх членів сукупності, як, наприклад, у послідовності 2, 3, 11, 19, 151, 293 і 667. А ось числа 12, − 9, 900 і − 72 взаємно простими не будуть, тому що, крім одиниці, у них буде ще один позитивний дільник, рівний 3 . Те саме стосується числа 17 , 85 і 187: крім одиниці, їх можна розділити на 17 .

Зазвичай взаємна простота чисел не є очевидною з першого погляду, цей факт потребує доказу. Щоб з'ясувати, чи будуть деякі числа взаємно простими, потрібно знайти їх найбільший спільний дільник і зробити висновок на підставі порівняння з одиницею.

Приклад 2

Умова: визначте, чи є числа 331, 463 та 733 взаємно простими.

Рішення

Звіримося з таблицею простих чисел і визначимо, що всі ці числа в ній є. Тоді їх спільним дільником може бути лише одиниця.

Відповідь:всі ці числа будуть взаємно простими стосовно один одного.

Приклад 3

Умова:наведіть доказ того, що числа − 14 , 105 , − 2 107 та − 91 не є взаємно простими.

Рішення

Почнемо з виявлення їхнього найбільшого спільного дільника, після чого переконаємося, що він не дорівнює 1 . Оскільки у негативних чисел ті ж дільники, що й у відповідних позитивних, то НОД (− 14 , 105 , 2 107 , − 91) = НОД (14 , 105 , 2 107 , 91) . Згідно з правилами, які ми привели в статті про знаходження найбільшого спільного дільника, в даному випадку НОД дорівнюватиме семи.

Відповідь:сім більше одиниці, отже, взаємно простими ці числа не є.

Основні властивості взаємно простих чисел

Такі числа мають деякі практично важливі властивості. Перерахуємо їх по порядку та доведемо.

Визначення 3

Якщо поділити цілі числа a і b на число, що відповідає їхньому найбільшому загальному дільнику, ми отримаємо взаємно прості числа. Інакше кажучи, a: НОД (a, b) і b: НОД (a, b) будуть взаємно простими.

Цю властивість ми вже доводили. Доказ можна переглянути у статті про властивості найбільшого спільного дільника. Завдяки йому ми можемо визначати пари взаємно простих чисел: достатньо лише взяти два будь-які цілі числа і виконати розподіл на НОД. У результаті ми маємо отримати взаємно прості числа.

Визначення 4

Необхідним та достатньою умовоювзаємної простоти чисел a та b є існування таких цілих чисел u 0і v 0, за яких рівність a · u 0 + b · v 0 = 1буде вірним.

Доказ 1

Почнемо з доказу необхідності цієї умови. Припустимо, у нас є два взаємно прості числа, позначені a і b . Тоді за визначенням цього поняття їхній найбільший спільний дільник буде дорівнює одиниці. З властивостей НОД нам відомо, що для цілих a і b існує співвідношення Безу a · u 0 + b · v 0 = НОД (a, b). З нього отримаємо, що a · u 0 + b · v 0 = 1. Після цього нам треба довести достатність умов. Нехай рівність a · u 0 + b · v 0 = 1буде вірним, у разі, якщо НОД (a, b)ділить і a , і b , то він ділитиме і суму a · u 0 + b · v 0, І одиницю відповідно (це можна стверджувати, виходячи з властивостей ділимості). А таке можливе лише в тому випадку, якщо НОД (a, b) = 1, що доводить взаємну простоту a і b.

Справді, якщо a і b є взаємно простими, то згідно з попередньою властивістю буде вірною рівність a · u 0 + b · v 0 = 1. Примножуємо обидві його частини на c і ​​отримуємо, що a · c · u 0 + b · c · v 0 = c. Ми можемо розділити перший доданок a · c · u 0 + b · c · v 0на b, тому що це можливо для a · c, і другий доданок також поділяється на b, адже один із множників у нас дорівнює b. З цього укладаємо, що всю суму можна розділити на b, а оскільки ця сума дорівнює c, то можна розділити на b.

Визначення 5

Якщо два цілих числа a і b є взаємно простими, то НОД (a · c, b) = НОД (c, b).

Доказ 2

Доведемо, що НОД (a · c , b) ділитиме НОД (c , b) , а потім – що НОД (c , b) ділить НОД (a · c , b) , що буде доказом вірності рівності НОД (a · c, b) = НОД (c, b).

Оскільки НОД (a · c, b) ділить і a · c і b, а НОД (a · c, b) ділить b, то він також ділитиме і b · c. Отже, НОД (a · c , b) ділить і a · c і b · c , отже, в силу властивостей НОД він ділить і НОД (a · c , b · c) , який дорівнює c · НОД (a , b ) = c. Отже, НОД (a · c, b) ділить і b і c, отже, ділить і НОД (c, b).

Також можна сказати, що оскільки НОД (c, b) ділить і c, і b, то він ділитиме і c, і a · c. Значить, НОД (c, b) ділить і a · c і b, отже, ділить і НОД (a · c, b).

Таким чином, НОД (a · c, b) і НОД (c, b) взаємно ділять один одного, отже, вони є рівними.

Визначення 6

Якщо числа з послідовності a 1 , a 2 , … , a kбудуть взаємно простими щодо числа послідовності b 1 , b 2 , … , b m(при натуральних значеннях k і m), їх твори a 1 · a 2 · … · a kі b 1 · b 2 · … · b mтакож є взаємно простими, зокрема, a 1 = a 2 = … = a k = aі b 1 = b 2 = … = b m = b, то a kі b m- Взаємно прості.

Доказ 3

Відповідно до попередньої властивості, ми можемо записати рівності наступного виду: НОД (a 1 · a 2 · … · a k , b m) = НОД (a 2 · … · a k , b m) = … = НОД (a k , b m) = 1 . Можливість останнього переходу забезпечується тим, що ak і b m взаємно прості за умовою. Отже, НОД (a 1 · a 2 · … · ak, b m) = 1 .

Позначимо a 1 · a 2 · … · a k = A і отримаємо, що НОД (b 1 · b 2 · … · b m , a 1 · a 2 · … · a k) = НОД (b 1 · b 2 · … · b m , A) = НОД (b 2 · … · b · b m , A) = … = НОД (b m , A) = 1 . Це буде справедливим через останню рівність з ланцюжка, побудованого вище. Таким чином, у нас вийшла рівність НОД (b 1 · b 2 · … · b m , a 1 · a 2 · … · a k) = 1 , за допомогою якої можна довести взаємну простоту творів a 1 · a 2 · … · a kі b 1 · b 2 · … · b m

Це все властивості взаємно простих чисел, про які ми хотіли б вам розповісти.

Поняття попарно простих чисел

Знаючи, що являють собою взаємно прості числа, ми можемо сформулювати визначення попарно простих чисел.

Визначення 7

Попарно прості числа– це послідовність цілих чисел a 1 , a 2 , … , a k , де кожне число буде взаємно простим стосовно інших.

Прикладом послідовності попарно простих чисел може бути 14, 9, 17 і − 25 . Тут всі пари (14 і 9, 14 і 17, 14 і 25, 9 і 17, 9 і 25, 17 і 25) взаємно прості. Зазначимо, що умова взаємної простоти є обов'язковою для попарно простих чисел, але взаємно прості числа будуть попарно простими далеко не у всіх випадках. Наприклад, у послідовності 8 , 16 , 5 та 15 числа не є такими, оскільки 8 та 16 не будуть взаємно простими.

Також слід зупинитись на понятті сукупності деякої кількості простих чисел. Вони завжди будуть і взаємно, і попарно простими. Прикладом може бути послідовність 71, 443, 857, 991. У випадку з простими числами поняття взаємної та попарної простоти збігатимуться.

Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl+Enter

Готові роботи

ДИПЛОМНІ РОБОТИ

Багато чого вже позаду і тепер ти – випускник, якщо, звісно, ​​вчасно напишеш дипломну роботу. Але життя - така штука, що тільки зараз тобі стає зрозуміло, що, переставши бути студентом, ти втратиш усі студентські радості, багато з яких, ти так і не скуштував, все відкладаючи та відкладаючи на потім. І тепер, замість того, щоб надолужувати втрачене, ти копишся над дипломною роботою? Є чудовий вихід: завантажити потрібну тобі дипломну роботу з нашого сайту - і в тебе миттю з'явиться багато вільного часу!
Дипломні роботи успішно захищені у провідних Університетах РК.
Вартість роботи від 20 000 тенге

КУРСОВІ РОБОТИ

Курсовий проект – це перша серйозна практична робота. Саме з написання курсової розпочинається підготовка до розробки дипломних проектів. Якщо студент навчитися правильно викладати зміст теми в курсовому проекті та грамотно його оформляти, то надалі у нього не виникне проблем ні з написанням звітів, ні зі складанням дипломних робіт, ні з виконанням інших практичних завдань. Щоб надати допомогу студентам у написанні цього типу студентської роботи і роз'яснити питання, що виникають під час її складання, власне кажучи, і був створений даний інформаційний розділ.
Вартість роботи від 2500 тенге

МАГІСТЕРСЬКІ ДИСЕРТАЦІЇ

В даний час у вищих навчальних закладахКазахстану та країн СНД дуже поширений ступінь вищого професійної освіти, яка слідує після бакалаврату - магістратура. У магістратурі навчаються з метою отримання диплома магістра, який визнається в більшості країн світу більше, ніж диплом бакалавра, а також визнається зарубіжними роботодавцями. Підсумком навчання у магістратурі є захист магістерської дисертації.
Ми надамо Вам актуальний аналітичний та текстовий матеріал, у вартість включено 2 наукові статті та автореферат.
Вартість роботи від 35 000 тенге

ЗВІТИ З ПРАКТИКИ

Після проходження будь-якого типу студентської практики (навчальної, виробничої, переддипломної) потрібно скласти звіт. Цей документ буде підтвердженням практичної роботистудента та основою формування оцінки за практику. Зазвичай, щоб скласти звіт з практики, потрібно зібрати та проаналізувати інформацію про підприємстві, розглянути структуру та розпорядок роботи організації, в якій проходить практика, скласти календарний план та описати свою практичну діяльність.
Ми допоможемо написати звіт про проходження практики з урахуванням специфіки діяльності конкретного підприємства.