Пряма у kx. Лінійна функція та її графік. Лінійна функція, її властивості та графік

x-аргумент (незалежна змінна),

y- функція (залежна змінна),

k і b- деякі постійні числа

Графік лінійної функції є пряма.

Для побудови графіка достатньо двохточок, т.к. через дві точки можна провести пряму і лише одну.

Якщо k0, то графік розташований в 1-й і 3-й координатних чвертях. Якщо k˂0, то графік розташований у 2-й та 4-й координатних чвертях.

Число k називають кутовим коефіцієнтом прямої графіка функції y(x)=kx+b. Якщо k 0, то кут нахилу прямий y(x) = kx + b до позитивного напрямку Ох - гострий; якщо k˂0, то цей кут-тупий.

Коефіцієнт b показує точку перетину графіка з віссю ОУ (0; b).

y(x)=k∙x-- окремий випадок типової функції носить назву пряма пропорційність. Графіком є пряма, яка проходить через початок координат, для побудови цього графіка досить однієї точки.

Графік лінійної функції

Де коефіцієнт k = 3, отже

Графік функції зростатиме і матиме гострий кут з віссю Ох т.к. Коефіцієнт k має знак плюс.

ООФ лінійної функції

ОЗФ лінійної функції

Окрім випадку, де

Також лінійна функція виду

Є функцією загального вигляду.

б) Якщо k = 0; b≠0,

У цьому випадку графіком є пряма паралельна осі Ох і проходить через точку (0; b).

В) Якщо k≠0; b≠0, то лінійна функція має вигляд y(x)=k∙x+b.

Приклад 1 . Побудувати графік функції y(x)=-2x+5

Приклад 2 . Знайдемо нулі функції у = 3х + 1, у = 0;

- Нулі функції.

Відповідь: або (;0)

Приклад 3 . Визначити значення функції y=-x+3 для x=1 та x=-1

y(-1)=-(-1)+3=1+3=4

Відповідь: y_1 = 2; y_2 = 4.

Приклад 4 . Визначити координати їхньої точки перетину або довести, що графіки не перетинаються. Нехай дані функції y 1 =10 x-8 і y 2 = -3 x +5.

Якщо графіки функцій перетинаються, значення функцій у цій точці рівні

Підставимо х=1, y 1 (1)=10∙1-8=2.

Зауваження. Підставити отримане значення аргументу можна й у функцію y 2 =-3∙x+5, тоді отримаємо той самий відповідь y 2 (1)=-3∙1+5=2.

y=2-ордината точки перетину.

(1; 2) - точка перетину графіків функцій у = 10х-8 і у = -3х +5.

Відповідь: (1;2)

Приклад 5 .

Побудувати графіки функцій y1(x)=x+3 та y2(x)=x-1.

Можна помітити, що коефіцієнт k=1 обох функцій.

З вище сказаного слід, що й коефіцієнти лінійної функції рівні, їх графіки у системі координат розташовані паралельно.

Приклад 6 .

Побудуємо два графіки функції.

Перший графік має формулу

Другий графік має формулу

У разі перед нами графік двох прямих, пересекающихся у точці (0;4). Це означає, що коефіцієнт b, відповідальний висоту підйому графіка над віссю Ох, якщо х=0. Отже ми можемо вважати, що коефіцієнт bу обох графіків дорівнює 4.

Редактори: Агєєва Любов Олександрівна, Гаврилина Ганна Вікторівна

Визначення лінійної функції

Введемо визначення лінійної функції

Визначення

Функція виду $y=kx+b$, де $k$ на відміну від нуля називається лінійної функцією.

Графік лінійної функції – пряма. Число $k$ називається кутовим коефіцієнтом прямої.

При $b=0$ лінійна функція називається функцією прямої пропорційності $y=kx$.

Розглянемо рисунок 1.

Мал. 1. Геометричний зміст кутового коефіцієнта прямої

Розглянемо трикутник АВС. Бачимо, що $ВС=kx_0+b$. Знайдемо точку перетину прямої $y=kx+b$ з віссю $Ox$:

\ \

Значить $AC=x_0+frac(b)(k)$. Знайдемо ставлення цих сторін:

\[\frac(BC)(AC)=\frac(kx_0+b)(x_0+\frac(b)(k))=\frac(k(kx_0+b))((kx)_0+b)=k \]

З іншого боку $ frac (BC) (AC) = tg angle A $.

Таким чином, можна зробити наступний висновок:

Висновок

Геометричний змісткоефіцієнта $k$. Кутовий коефіцієнт прямої $k$ дорівнює тангенсу кута нахилу цієї прямої до осі $Ox$.

Дослідження лінійної функції $f\left(x\right)=kx+b$ та її графік

Спочатку розглянемо функцію $f \ left (x \ right) = kx + b $, де $ k > 0 $.

$f"\left(x\right)=(\left(kx+b\right))"=k>0$. Отже, дана функція зростає по всій області визначення. Точок екстремуму немає.
$(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) kx\ )=-\infty $, $(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) kx\ )=+\infty $
Графік (рис. 2).

Мал. 2. Графіки функції $y=kx+b$, за $k > 0$.

Тепер розглянемо функцію $f\left(x\right)=kx$, де $k

Область визначення - усі числа.
Область значення - усі числа.
$f\left(-x\right)=-kx+b$. Функція не є ні парною, ні непарною.
При $x=0,f\left(0\right)=b$. При $y=0,0=kx+b, x=-frac(b)(k)$.

Точки перетину з осями координат: $\left(-\frac(b)(k),0\right)$ і $\left(0,\ b\right)$

$f"\left(x\right)=(\left(kx\right))"=k
$f^("")\left(x\right)=k"=0$.Отже, функція не має точок перегину.
$(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) kx\ )=+\infty $, $(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) kx\ )=-\infty $
Графік (рис. 3).

"Критичні точки функції" - Критичні точки. Серед критичних точок є точки екстремуму. Необхідна умова екстремуму. Відповідь: 2. Визначення. Але, якщо f" (х0) = 0, то необов'язково, що точка х0 буде точкою екстремуму. Точки екстремуму (повторення). Критичні точки функції Точки екстремумів.

"Координатна площина 6 клас" - Математика 6 клас. 1. Х. 1. Знайдіть та запишіть координати точок A,B, C, D: -6. Координатна площина. О. -3. 7. У.

«Функції та їх графіки» - Безперервність. Найбільше та найменше значення функції. Концепція зворотної функції. Лінійна. Логарифмічна. Монотонність. Якщо k > 0, то утворений кут гострий, якщо k< 0, то угол тупой. В самой точке x = a функция может существовать, а может и не существовать. Х1, х2, х3 – нули функции у = f(x).

«Функції 9 клас» - Допустимі арифметичні дії над функціями. [+] – додавання, [-] – віднімання, [*] – множення, [:] – поділ. У таких випадках говорять про графічне завданняфункції. Освіта класу елементарних функций. Ступінна функціяу = х0,5. Іовлєва Максима Миколайовича, учня 9 класу РМОУ Радузька ЗОШ.

«Урок рівняння дотичної» - 1. Уточнити поняття щодо графіку функції. Лейбніц розглядав завдання проведення дотичної до довільної кривої. АЛГОРИТМ СКЛАДАННЯ РІВНЯННЯ ЩОДО ДО ГРАФІКА ФУНКЦІЇ у=f(x). Тема уроку: Тест: знайти похідну функцію. Рівняння дотичної. Флюкс. 10 клас. Розшифруйте, як Ісаак Ньютон назвав похідну функцію.

"Побудувати графік функції" - Дана функція y = 3cosx. Графік функції y=m*sin x. Побудуйте графік функції. Зміст: Дана функція: y = sin (x +? / 2). Розтягнення графіка y = cosx по осі y. Щоб продовжити, натисніть на л. Кнопка миші. Дана функція y=cosx+1. Усунення графіка y=sinx по вертикалі. Дана функція y=3sinx. Усунення графіка y=cosx по горизонталі.

Всього у темі 25 презентацій

Функція виду y = kx + b називається лінійною. Графік лінійної функції є пряма. Для побудови прямої потрібно і досить дві точки.

Функція виду y = kx

Функція виду y = kx називається прямоюпропорційністю.

Графіком є пряма, яка проходить через початок координат і розташована в 1 і 3 чвертях, якщо k > 0, 2 і 4 чвертях, якщо k< 0.

k - називається коефіцієнтом пропорційності та визначає кут нахилу прямої до позитивного напрямку осі ОХ. k = tg б

Пряма у = х є бісектриса 1 і 3 координатних кутів, а пряма у = х є бісектриса 1 і 4 координатних кутів.

приклад. Побудувати графіки функцій у = 2х, у = х, у = 2х.

Функція пряма пропорційна залежність, графіки є прямі.

Так як графіки проходять через початок координат, одна з точок має координати (0; 0), тому можна взяти ще одну точку.

у = х, у = 2х, у = 2х,

х = 1, у = 1; х = 1, у = 2; х = 1, у = 2.

Функція виду y = kx + b

Графіком функції є пряма, у = kx,зміщена паралельним перенесенням по осі на b одиниць, у бік згідно з знаком b.

Побудову можна вести за двома точками або паралельним усуненням.

приклад. Побудувати графік функції у = 3х4.

Функція лінійна, графік є пряма.

Побудову можна вести паралельним перенесенням прямої у = 3х на 2 одиниці вниз по осі У.

Функція виду у = b

Графіком функції єпряма, паралельна осі Х, що проходить через точку з координатами (0; b).

Побудувати графік функції у = 3.

Функція лінійна, графіком є пряма, паралельна до осі ОХ, що проходить через точку (0;3)

Рівняння прямої х = с

Пряма х = с не є функцією. Однак, графіком є пряма, паралельна осі О У і проходить через точку з координатами (с; 0).