Ефекти складання хвиль. стоячі пружні хвилі. стоячі хвилі стоячі пружні

тіло, що коливається, поміщене в пружне середовище, є джерелом коливань, що поширюються від нього на всі боки. Процес поширення коливань серед називається хвилею.

При поширенні хвилі частинки середовища не рухаються разом із хвилею, а коливаються біля своїх положень рівноваги. Разом із хвилею від частки до частки, передається лише стан коливального руху та його енергії. Тому, основною властивістю всіх хвиль, незалежно від їхньої природи, є перенесення енергії без перенесення речовини.

Хвилі бувають поперечними (коливання відбуваються в площині, перпендикулярній до напряму поширення), і поздовжніми (згущення і розрядження частинок середовища відбуваються в напрямку поширення).

Коли дві однакові хвилі з рівними амплітудами та періодами поширюються назустріч один одному, то при їхньому накладенні виникають стоячі хвилі. Стоячі хвилі можуть бути отримані при відображенні перешкод. Припустимо, випромінювач посилає хвилю до перешкоди (падаюча хвиля). Відбита від нього хвиля накладеться на хвилю, що падає. Рівняння стоячої хвилі можна отримати додаванням рівняння падаючої хвилі

(Дуже важливий випадок інтерференції спостерігається при накладенні двох зустрічних плоских хвиль з однаковою амплітудою. Коливальний процес, що виникає в результаті, називається стоячою хвилею. Практично стоячі хвилі виникають при відображенні від перешкод.)

Це рівняння зветься хвильового рівняння. Будь-яка функція, що задовольняє цього рівняння, описує деяку хвилю.
Рівнянням хвилі називається вираз, який дає зміщення коливальної точкияк функцію її координат ( x, y, z) та часу t.

Ця функція повинна бути періодичною як щодо часу, так і координат (хвиля - це коливання, що поширюється, отже періодично повторюється рух). Крім того, точки, віддалені одна від одної на відстані l, коливаються однаковим чином.

– це рівняння плоскої хвилі.
Такий же вид рівняння (5.2.3) матиме, якщо коливання поширюються вздовж осі yабо z
У загальному вигляді рівняння плоскої хвилізаписується так:

Вирази (5.2.3) та (5.2.4) є рівняння хвилі, що біжить .

Рівняння (5.2.3) описує хвилю, що поширюється у бік збільшення x. Хвиля, що розповсюджується в протилежному напрямку, має вигляд:

Введемо хвильове число , або у векторній формі:

де – хвильовий вектор, – нормаль до хвильової поверхні.

Так як, то. Звідси. Тоді рівняння плоскої хвилі запишеться так:

рівняння сферичної хвилі:

де Адорівнює амплітуді з відривом від джерела рівному одиниці.

ХВИЛЬОВИЙ ВЕКТОР- Вектор k, Що визначає напрямок поширення та просторовий період плоскої монохроматич. хвилі

де - постійні амплітуда та фаза хвилі, - кругова частота, r- Радіус-вектор. Модуль Ст ст. зв. хвильовим числом k= , де - Просторовий період або довжина хвилі. У напрямку Ст ст. відбувається найшвидше зміна фази хвилі , тому і приймається за напрям поширення. Швидкість переміщення фази в цьому напрямку, або фазова швидкість визначається через хвильове число .. в.

Дуже важливий випадок інтерференції спостерігається під час накладання плоских хвиль з однаковою амплітудою. Коливальний процес, що виникає в результаті цього, називається стоячою хвилею.

Майже стоячі хвилі з'являються при відображенні хвиль від перешкод. Падаюча на перешкоду хвиля і відбита хвиля, що біжить їй назустріч, накладаючись один на одного, дають стоячу хвилю.

Розглянемо результат інтерференції двох синусоїдальних плоских хвиль однакової амплітуди, що поширюються у протилежних напрямках.

Для простоти міркувань припустимо, що обидві хвилі викликають початку координат коливання в однаковій фазі.

Рівняння цих коливань мають вигляд:

Складаючи обидва рівняння та перетворюючи результат, за формулою для суми синусів отримаємо:

- рівняння стоячої хвилі.

Порівнюючи це рівняння з рівнянням гармонійних коливань, бачимо, що амплітуда результуючих коливань дорівнює:

Так як, а, то.

У точках середовища, де коливання відсутні, тобто. . Ці точки називаються вузлами стоячої хвилі.

У точках, де , Амплітуда коливань має найбільше значення, що дорівнює . Ці точки називаються пучностями стоячої хвилі. Координати пучностей перебувають із умови , т.к. , то.

Звідси:

Аналогічно координати вузлів перебувають із умови:

Звідки:

З формул координат вузлів і пучностей випливає, що відстань між сусідніми пучностями, як і відстані між сусідніми вузлами, дорівнює . Пучності та вузли зрушені один щодо одного на чверть довжини хвилі.

Порівняємо характер коливань у стоячій і хвилі, що біжить. У хвилі, що біжить, кожна точка здійснює коливання, амплітуда яких не відрізняється від амплітуди інших точок. Але коливання різних точок відбуваються з різними фазами.

У стоячій хвилі всі частинки середовища, що знаходяться між двома сусідніми вузлами коливаються в одній і тій же фазі, але з різними амплітудами. При переході через вузол фаза коливань стрибкоподібно змінюється на т.к. змінюється знак.

Графічно стояча хвиля може бути зображена таким чином:

У момент часу, коли , всі точки середовища мають максимальні зміщення, напрямок яких визначається знаком . Ці усунення показані малюнку суцільними стрілками.

Через чверть періоду, коли , усунення всіх точок дорівнюють нулю. Частинки проходять через лінію із різними швидкостями.

Ще через чверть періоду, коли , частинки знову будуть мати максимальні зміщення, але протилежного напрямку (пунктирні стрілки).

При описі коливальних процесів в пружних системах за величину, що коливається, можна прийняти не тільки зсув, але і швидкість частинок, а також і величину відносної деформації середовища.

Для знаходження закону зміни швидкості стоячої хвилі продиференціюємо за рівняння зміщення стоячої хвилі та для знаходження закону зміни деформації продиференціюємо за рівняння стоячої хвилі.

Аналізуючи ці рівняння, бачимо, що вузли і пучності швидкості збігаються з вузлами і пучностями усунення; вузли та пучності деформації збігаються відповідно з пучностями та вузлами швидкості та зміщення.

Коливання струни

У закріпленій з обох кінців натягнутій струні при збудженні поперечних коливань встановлюються стоячі хвилі, причому в місцях закріплення струни повинні розташовуватися вузли. Тому в струні порушуються лише такі коливання, половина довжини яких укладається на довжині струни цілу кількість разів.

Звідси випливає умова:

де – Довжина струни.

Або інакше. Цим довжинам хвиль відповідають частоти , де - фазова швидкість хвилі. Величина її визначається силою натягу струни та її масою.

При – основна частота.

При - власні частоти коливань струни або обертони.

Ефект Доплера

Розглянемо найпростіші випадки, коли джерело хвиль та спостерігач рухаються щодо середовища вздовж однієї прямої:

1. Джерело звуку рухається щодо середовища зі швидкістю , приймач звуку спочиває.

У цьому випадку за період коливань звукова хвиля відійде від джерела на відстань, а саме джерело зміститься на відстань рівну.

Якщо джерело видаляти від приймача, тобто. рухати у напрямку зворотному напрямку поширення хвилі, то довжина хвилі .

Якщо джерело звуку наближати приймача, тобто. рухати у напрямі поширення хвилі, то .

Частота звуку, що сприймається приймачем, дорівнює:

Підставимо замість їх значення для обох випадків:

З урахуванням того, що , де - частота коливань джерела, рівність набуде вигляду:

Розділимо і чисельник і знаменник цього дробу на , тоді:

2. Джерело звуку нерухоме, а приймач рухається щодо середовища зі швидкістю .

У цьому випадку довжина хвилі в середовищі не змінюється і, як і раніше, дорівнює . Разом з тим дві послідовні амплітуди, що відрізняються за часом на один період коливань , дійшовши до приймача, що рухається, будуть відрізнятися за часом в моменти зустрічі хвилі з приймачем на відрізок часу , величина якого більше або менше в залежності від того, видаляється або наближається приймач до джерела звуку. За час звук поширюється на відстань, а приймач переміститься на відстань. Сума цих величин і дає нам довжину хвилі:

Період коливань, що сприймаються приймачем, пов'язаний із частотою цих коливань співвідношенням:

Підставивши замість його вираз із рівності (1), отримаємо:

Т.к. , де - частота коливань джерела, а , то:

3. Джерело та приймач звуку рухаються щодо середовища. Поєднуючи результати, отримані у двох попередніх випадках, отримаємо:

Звукові хвилі

Якщо пружні хвилі, що розповсюджуються в повітрі, мають частоту в межах від 20 до 20000 Гц, то досягнувши людського вуха, вони викликають відчуття звуку. Тому хвилі що у цьому діапазоні частот називаються звуковими. Пружні хвилі з частотою менше 20 Гц називаються інфразвуком . Хвилі із частотою понад 20000 Гц називаються ультразвуком. Ультразвуки та інфразвуки людське вухо не чує.

Звукові відчуття характеризуються висотою звуку, тембром та гучністю. Висота звуку визначається частотою коливань. Однак джерело звуку випромінює не одну, а цілий спектр частот. Набір частот коливань, які є в даному звуку, називається його акустичним спектром. Енергія коливання розподіляється між усіма частотами акустичного спектра. Висота звуку визначається за однією - основною частотою, якщо частку цієї частоти доводиться значно Велика кількістьенергії, ніж частку інших частот.

Якщо спектр складається з множини частот, що знаходяться в інтервалі частот від до , то такий спектр називається суцільним(Приклад - шум).

Якщо спектр складається з набору коливань дискретних частот, такий спектр називається лінійчастим(Приклад - музичні звуки).

Акустичний спектр звуку в залежності від свого характеру та від розподілу енергії між частотами визначає своєрідність звукового відчуття, яке називається тембром звуку. Різні музичні інструменти мають різний акустичний діапазон, тобто. відрізняються тембром звуку.

Інтенсивність звуку характеризується різними величинами: коливаннями частинок середовища, їх швидкостями, силами тиску, напругами в них та ін.

Вона характеризує амплітуду коливань кожної із цих величин. Однак, оскільки ці величини взаємопов'язані, доцільно запровадити єдину енергетичну характеристику. Така характеристика для хвиль будь-якого типу було запропоновано 1877 року. Н.А. Умовим.

Виріжемо подумки з фронту хвилі, що біжить, майданчик. За цей майданчик переміститься на відстань , де - швидкість хвилі.

Позначимо через енергію одиниці об'єму середовища, що коливається. Тоді енергія всього обсягу дорівнюватиме.

Ця енергія була перенесена за час хвилею, що розповсюджується через майданчик.

Розділивши це вираз на і , отримаємо енергію, що переноситься хвилею через одиницю площі в одиницю часу. Ця величина позначається буквою і має назву вектора Умова

Для звукового поля вектор Умованосить назву сили звуку.

Сила звуку є фізичною характеристикоюінтенсивність звуку. Ми оцінюємо її суб'єктивно, як гучністьзвуку. Людське вухо сприймає звуки, сила яких перевищує деяке мінімальне значення, різне для різних частот. Це значення називається порогом чутностізвуку. Для середніх частот порядку Гц поріг чутності порядку.

При дуже велику силу звуку порядку звук сприймається крім вуха органами дотику, а у вухах викликає больове відчуття.

Значення інтенсивності, за якого це відбувається, називається порогом больового відчуття. Поріг больового відчуття, як і поріг чутності, залежить від частоти.

Людина має досить складний апарат для сприйняття звуків. Звукові коливання збираються вушною раковиною і через слуховий канал впливають на барабанну перетинку. Коливання її передаються в невелику порожнину, яку називають равликом. Усередині равлика розташована велика кількість волокон, що мають різну довжину і натяг і, отже, різні частоти коливань. При дії звуку кожне з волокон резонує той тон, частота якого збігається зі своєю частотою волокна. Набір резонансних частот у слуховому апараті і визначає область звукових коливань, що сприймаються нами.

Суб'єктивно оцінювана нашим вухом гучність зростає набагато повільніше, ніж інтенсивність звукових хвиль. Тоді як інтенсивність зростає в геометричній прогресії - гучність зростає в арифметичній прогресії. На цій підставі рівень гучності визначається як логарифм відношення інтенсивності даного звуку до інтенсивності, прийнятої за вихідну

Одиниця рівня гучності називається білому. Використовують і дрібніші одиниці - децибели(У 10 разів менше білого).

де - Коефіцієнт поглинання звуку.

Величина коефіцієнта поглинання звуку зростає пропорційно квадрату частоти звуку, тому низькі звуки поширюються далі за високі.

В архітектурній акустиці для великих приміщень істотну рольграє ревербераціяабо гучність приміщень. Звуки, відчуваючи багаторазові відбиття від поверхонь, що огороджують, сприймаються слухачем протягом деякого досить великого проміжку часу. Це збільшує силу звуку, що доходить до нас, однак, при занадто тривалій реверберації окремі звуки накладаються один на одного і мова перестає сприйматися членороздільно. Тому стіни залів покривають спеціальними звукопоглинаючими матеріалами зменшення реверберації.

Джерелом звукових коливань може служити будь-яке тіло, що вагається: язичок дзвінка, камертон, струна скрипки, стовп повітря в духових інструментах і т.д. ці ж тіла можуть служити і приймачами звуку, коли вони рухаються під дією коливань навколишнього середовища.

Ультразвук

Щоб одержати спрямовану, тобто. близько до плоскої, хвилю розміри випромінювача повинні бути в багато разів більшими за довжину хвилі. Звукові хвилі в повітрі мають довжину до 15 м, в рідких і твердих тілахдовжина хвилі ще більша. Тому побудувати випромінювач, який створював би спрямовану хвилю подібної довжини, практично неможливо.

Ультразвукові коливання мають частоту понад 20 000 Гц, тому довжина хвилі їх дуже мала. Зі зменшенням довжини хвилі зменшується також роль дифракції у процесі поширення хвиль. Тому ультразвукові хвилі можуть бути отримані у вигляді спрямованих пучків, подібних до пучок світла.

Для збудження ультразвукових хвиль використовують два явища: зворотний п'єзоелектричний ефекті магнітострикцію.

Зворотний п'єзоелектричний ефект у тому, що пластинка деяких кристалів (сегнетової солі, кварцу, титанату барію та інших.) під впливом електричного поля деформується. Помістивши її між металевими обкладками, на які подається змінна напруга, можна викликати вимушені коливання пластинки. Ці коливання передаються навколишньому середовищіі породжують у ній ультразвукову хвилю.

Магнітострикція полягає в тому, що феромагнітні речовини (залізо, нікель, їх сплави тощо) під дією магнітного полядеформуються. Тому, помістивши феромагнітний стрижень у змінне магнітне поле, можна порушити механічні коливання.

Високі значення акустичних швидкостей та прискорень, а також добре розроблені методи вивчення та прийому ультразвукових коливань дозволили використовувати їх для вирішення багатьох технічних завдань. Перелічимо деякі з них.

У 1928 р. радянський вчений С.Я. Соколов запропонував використовувати ультразвук з метою дефектоскопії, тобто. для виявлення прихованих внутрішніх дефектів типу раковин, тріщин, рихліть, шлакових включень та ін. в металевих виробах. Якщо розміри дефекту перевищують довжину хвилі ультразвуку, то ультразвуковий імпульс відбивається від дефекту і повертається назад. Посилаючи у виріб ультразвукові імпульси, та реєструючи відбиті ехосигнали, можна не тільки виявляти наявність дефектів у виробах, але й судити про розміри та місце розташування цих дефектів. Нині цей метод широко використовується у промисловості.

Спрямовані ультразвукові пучки знайшли широке застосування з метою локації, тобто. для виявлення у воді предметів та визначення відстані до них. Вперше ідея ультразвукової локації була висловлена ​​видатним французьким фізиком П. Ланжевеномта розроблена ним під час першої світової війни для виявлення підводних човнів. В даний час принципи гідролокації використовуються для виявлення айсбергів, косяків риби та ін. цими методами може бути визначена глибина моря під днищем корабля (ехолот).

Ультразвукові хвилі великої амплітуди широко застосовуються нині у техніці для механічної обробки твердих матеріалів, очищення дрібних предметів (деталей годинникових механізмів, трубопроводів тощо.), поміщених рідина, знегажування тощо.

Створюючи при своєму проходженні сильні пульсації тиску в середовищі, ультразвукові хвилі зумовлюють цілу низку специфічних явищ: подрібнення (диспергування) частинок, зважених у рідині, утворення емульсій, прискорення процесів дифузії, активацію хімічних реакцій, Вплив на біологічні об'єкти і т.д.

Розглянемо результат інтерференції двох синусоїдальних плоских хвиль однакової амплітуди та частоти, що поширюються у протилежних напрямках. Для простоти міркувань припустимо, що рівняння цих хвиль мають вигляд:

Це означає, що на початку координат обидві хвилі викликають коливання однаковою фазою. У точці А з координатою х сумарне значення величини, що коливається, згідно з принципом суперпозиції (див. § 19), дорівнює

Дане рівняння показує, що в результаті інтерференції прямої та зворотної хвиль у кожній точці середовища (з фіксованою координатою відбувається гармонійне коливання з тією самою частотою, але з амплітудою

залежить від значення координати х. У точках середовища, у яких коливання відсутні зовсім: ці точки називаються вузлами коливань.

У точках, де амплітуда коливань має найбільше значення, рівні ці точки називаються пучностями коливань. Легко показати, що відстань між сусідніми вузлами або сусідніми пучностями дорівнює відстань між пучністю і найближчим вузлом дорівнює. - частинки середовища відхилилися в один бік, то в межах сусідньої півхвилі частинки середовища будуть відхилені у протилежний бік.

Хвильовий процес у середовищі, що описується формулою (5.16), називається стоячою хвилею. Графічно стояча хвиля може бути зображена так, як показано на рис. 1.61. Припустимо, що є зміщення точок середовища від стану рівноваги; тоді формула (5.16) описує «стоячу хвилю усунення». У певний момент часу, коли всі точки середовища мають максимальні усунення, напрямок яких залежно від величини координати х визначається знаком Ці усунення показані на рис. 1.61 суцільними стрілками. Через чверть періоду, коли усунення всіх точок середовища дорівнюють нулю; частинки середовища проходять через лінію із різними швидкостями. Ще через чверть періоду, коли частинки середовища знову матимуть максимальні зміщення, але протилежного напрямку; ці зміщення показані на

Мал. 1.61 пунктирними стрілками. Крапки суть пучності стоячої хвилі зміщення; точки вузли цієї хвилі.

Характерні особливості стоячої хвилі на відміну від звичайної хвилі, що поширюється, або біжить, такі (маються на увазі плоскі хвилі за відсутності згасання):

1) у стоячій хвилі амплітуди коливань різні у різних місцях системи; у системі є вузли та пучності коливань. У «біжить» хвилі ці амплітуди скрізь однакові;

2) у межах ділянки системи від одного вузла до сусіднього всі точки середовища коливаються в однаковій фазі; при переході до сусідньої ділянки фази коливань змінюються зворотні. У хвилі, що біжить, фази коливань, згідно з формулою (5.2), залежать від координат точок;

3) у стоячій хвилі немає одностороннього перенесення енергії, як це має місце в хвилі, що біжить.

При описі коливальних процесів в пружних системах за величину, що коливається, можна прийняти не тільки зміщення або швидкості частинок системи, але і величину відносної деформації або величину напруги на стиск, розтягування або зсув і т. д. При цьому в стоячій хвилі, в місцях, де утворюються пучності швидкостей частинок, розташовуються вузли деформацій і, навпаки, вузли швидкостей збігаються з деформацій. Перетворення енергії з кінетичної форми на потенційну і назад відбувається в межах ділянки системи від пучності до сусіднього вузла. Можна вважати, що кожна така ділянка не обмінюється енергією із сусідніми ділянками. Зауважимо, що перетворення кінетичної енергії частинок, що рухаються, в потенційну енергію деформованих ділянок середовища за один період відбувається двічі.

Вище, розглядаючи інтерференцію прямої та зворотної хвиль (див. вирази (5.16)), ми цікавилися походженням цих хвиль. Допустимо тепер, що середовище, в якому відбувається поширення коливань, має обмежені розміри, наприклад коливання викликаються в якомусь суцільному тілі - у стрижні або струні, в стовпі рідини або газу і т. д. Хвиля, що поширюється в такому середовищі (тілі) , відбивається від кордонів, у межах обсягу цього тіла безперервно відбувається інтерференція хвиль, викликаних зовнішнім джерелом і відбитих від кордонів.

Розглянемо найпростіший приклад; припустимо, у точці (рис. 1.62) стрижня або струни за допомогою зовнішнього синусоїдального джерела збуджується коливальний рух із частотою; початок відліку часу виберемо так, щоб у цій точці усунення виражалося формулою

де амплітуда коливань у точці Викликана у стрижні хвиля відобразиться від другого кінця стрижня 0% і піде у зворотному

напрямі. Знайдемо результат інтерференції прямої і відбитої хвиль у певній точці стрижня, що має координату х. Для простоти міркувань припустимо, що у стрижні немає поглинання енергії коливань і тому амплітуди прямої і відбитої хвиль рівні.

У деякий момент часу коли зміщення коливань частинок у точці дорівнює у, в іншій точці стрижня зміщення викликане прямою хвилею буде, згідно з формулою хвилі, дорівнює

Через цю точку А проходить також і відбита хвиля. Щоб знайти зміщення викликане в точці А відображеною хвилею (в той самий момент часу необхідно розрахувати час, протягом якого хвиля пройде шляхвід до і назад до точки Так як зміщення, викликане в точці відбитої хвилею, буде одно

При цьому передбачається, що на кінці стрижня, що відображає, в процесі відображення не відбувається стрибкоподібної зміни фази коливання; у деяких випадках така зміна фази (звана втратою фази) має місце і має бути враховано.

Склад коливань, викликаних у різних точках стрижня прямий і відбитої хвилями, дає стоячу хвилю; справді,

де деяка постійна фаза, яка залежить від координати х, а величина

є амплітудою коливань у точці вона залежить від координати х, тобто різна у різних місцях стрижня.

Знайдемо координати тих точок стрижня, у яких утворюються вузли та пучності стоячої хвилі. Звернення косинуса в нуль або одиницю відбувається при значеннях аргументу, кратних

де ціле число. При непарному значенні цього числа косинус перетворюється на нуль і формула (5.19) дає координати вузлів стоячої хвилі; за парних ми отримаємо координати пучностей.

Вище було зроблено складання лише двох хвиль: прямої, що йде від і відбитої, поширюється від Однак слід врахувати, що відбита хвиля на межі стрижня знову позначиться і піде у напрямі прямої хвилі. Таких віддзеркалень

від кінців стрижня буде багато, і тому необхідно знайти результат інтерференції не двох, а всіх хвиль, що одночасно існують у стрижні.

Припустимо, що зовнішнє джерело коливань викликало у стрижні хвилі протягом деякого часу після чого надходження енергії коливань ззовні припинилося. За цей час у стрижні відбулося відображення, де час, протягом якого хвиля пройшла від одного кінця стрижня до іншого. Отже, в стрижні одночасно існуватиме хвиль, що йдуть у прямому, і хвиль, що йдуть у зворотному напрямках.

Припустимо, що в результаті інтерференції однієї пари хвиль (прямої та відбитої) зміщення в точі А виявилося рівним у. Знайдемо умову, за якої всі зсуви, що викликаються кожною парою хвиль, мають у точці А стрижня однакові напрямки і тому складаються. Для цього фази коливань, викликаних кожною парою хвиль у точці повинні відрізнятися від фази коливань, викликаних наступною парою хвиль. Але кожна хвиля знову повертається в точку А з тим же напрямом поширення лише через час тобто відстає по фазі на зірівнюючи це відставання де ціле число, отримуємо

т. е. вздовж довжини стрижня має вміститися ціле число напівхвиль. Зауважимо, що цій умові фази всіх хвиль, що йдуть у прямому напрямку, відрізняються один від одного на де ціле число; Так само фази всіх хвиль, що йдуть у зворотному напрямку, відрізняються один від одного на тому, якщо одна пара хвиль (пряма і зворотна) дає вздовж стрижня розподіл зсувів, що визначається формулою (5.17), то при інтерференції пар таких хвиль розподіл зсувів не зміниться; збільшаться лише амплітуди коливань. Якщо максимальна амплітуда коливань при інтерференції двох хвиль, згідно з формулою (5.18), дорівнює то при інтерференції багатьох хвиль вона буде більшою. Позначимо її через розподіл амплітуди коливань уздовж стрижня замість виразу (5.18) визначиться за формулою

З виразів (5.19) та (5.20) визначаються точки, в яких косинус має значення або 1:

де ціле число Координати вузлів стоячої хвилі вийдуть із цієї формули при непарних значеннях тоді залежно від довжини стрижня, тобто величини

координати пучностей вийдуть при парних значеннях

На рис. 1.63 схематично показана стояча хвиля в стрижні, довжина якого; точки суть пучності, точки вузли цієї стоячої хвилі.

У гол. було показано, що за відсутності періодичних зовнішніх впливів характер кодебальних рухів у системі і насамперед основна величина – частота коливань – визначаються розмірами та фізичними властивостямисистеми. Кожна коливальна система має власний, їй властивий коливальний рух; це коливання можна спостерігати, якщо вивести систему зі стану рівноваги і потім усунути зовнішні дії.

У гол. 4 год. I розглядалися переважно коливальні системи із зосередженими параметрами, у яких інертної масою мали одні тіла (точкові), а пружними властивостями - інші тіла (пружини). На відміну від них коливальні системи, в яких маса та пружність притаманні кожному елементарному об'єму, називаються системами з розподіленими параметрами. До них відносяться розглянуті вище стрижні, струни, а також стовпи рідини або газу (у духових музичних інструментах) тощо. основна характеристика цих хвиль - довжина хвилі або розподіл вузлів та пучностей, а також частота коливань - визначається лише розмірами та властивостями системи. Стоячі хвилі можуть існувати і за відсутності зовнішнього (періодичного) на систему; цей вплив необхідно тільки для того, щоб викликати або підтримати в системі стоячі хвилі або змінити амплітуди коливань. Зокрема, якщо зовнішній вплив на систему з розподіленими параметрами відбувається з частотою, що дорівнює частоті її власних коливань, тобто частоті стоячої хвилі, має місце явище резонансу, розглянуте в гол. 5. для різних частот однакова.

Таким чином, у систем із розподіленими параметрами власні коливання – стоячі хвилі – характеризуються цілим спектром частот, кратних між собою. Найменша з цих частот, що відповідає найбільшій довжині хвилі, називається основною частотою; інші) - обертонами або гармоніками.

Кожна система характеризується як наявністю такого спектра коливань, а й певним розподілом енергії між коливаннями різних частот. Для музичних інструментів цей розподіл надає звуку своєрідну особливість, так званий тембр звуку, різний для різних інструментів.

Викладені вище розрахунки відносяться до вільного стрижня, що коливається" довжиною Однак зазвичай ми маємо стрижні, закріплені на одному або обох кінцях (наприклад, струни, що коливаються), або ж вздовж стрижня є одна або кілька точок закріплення. Місця закріплення, де частинки системи не можуть здійснювати коливального рухи, є вимушеними вузлами усунення.

якщо в стрижні необхідно отримати стоячі хвилі при одній, двох, трьох точках закріплення і т. д., то ці точки не можуть бути обрані довільно, а повинні розташовуватися вздовж стрижня так, щоб вони опинилися у вузлах стоячої хвилі, що утворилася. Це показано, наприклад, на рис. 1.64. На цьому ж малюнку пунктиром показано усунення точок стрижня при коливаннях; на вільних кінцях завжди утворюються пучності усунення, на закріплених - вузли усунення. Для повітряних стовпів, що коливаються, в трубах вузли зміщення (і швидкості) виходять у відбивають твердих стінок; на відкритих кінцях трубок утворюються пучності зсувів та швидкостей.

6.1 Стоячі хвилі в пружному середовищі

Відповідно до принципу суперпозиції, при поширенні в пружному середовищі одночасно декількох хвиль виникає їх накладення, причому хвилі не обурюють один одного: коливання частинок середовища є векторною сумою коливань, які здійснювали б частинки при поширенні кожної з хвиль окремо .

Хвилі, що створюють коливання середовища, різниці фаз між якими в кожній точці простору постійні, називаються когерентними.

При складанні когерентних хвиль виникає явище інтерференції, у тому, що у одних точках простору хвилі посилюють одне одного, а інших точках – послаблюють. Важливий випадок інтерференції спостерігається при накладенні двох зустрічних плоских хвиль з однаковою частотою і амплітудою. Коливання, що виникають при цьому, називають стоячою хвилею. Найчастіше стоячі хвилі виникають при відображенні біжить хвилі від перешкоди. При цьому хвиля, що падає, і відбита назустріч їй хвиля при додаванні дають стоячу хвилю.

Отримаємо рівняння стоячої хвилі. Візьмемо дві плоскі гармонійні хвилі, що поширюються навстіч один одному вздовж осі Xі мають однакову частоту та амплітуду:

де - фаза коливань точок середовища при проходженні першої хвилі;

- фаза коливань точок середовища при проходженні другої хвилі.

Різниця фаз у кожній точці на осі Xнічого очікувати залежати від часу, тобто. буде постійною:

Отже, обидві хвилі будуть когерентними.

Коливання частинок середовища, що виникло в результаті складання аналізованих хвиль, буде наступним:

Перетворимо суму косінусів кутів за правилом (4.4) та отримаємо:

Перегрупувавши множники, отримаємо:

Для спрощення виразу виберемо початок відліку так, щоб різниця фаз і початок відліку часу , щоб і сума фаз дорівнювала нулю: .

Тоді рівняння для суми хвиль набуде вигляду:

Рівняння (6.6) називається рівнянням стоячої хвилі. З нього видно, що частота стоячої хвилі дорівнює частоті хвилі, що біжить, а амплітуда, на відміну від хвилі, що біжить, залежить від відстані від початку відліку :

. (6.7)

З урахуванням (6.7) рівняння стоячої хвилі набуває вигляду:

. (6.8)

Таким чином, точки середовища коливаються з частотою, що збігається з частотою хвилі, що біжить, і амплітудою a, що залежить від положення точки на осі X. Відповідно, амплітуда змінюється за законом косинуса і має свої максимуми та мінімуми (рис. 6.1).

Для того, щоб наочно уявити розташування мінімумів і максимумів амплітуди замінимо, згідно (5.29), хвильове число його значенням:

Тоді вираз (6.7) для амплітуди набуде вигляду

(6.10)

Звідси стає видно, що амплітуда зміщення максимальна при , тобто. в точках, координата яких задовольняє умові:

, (6.11)

де

Звідси отримуємо координати точок, де амплітуда зміщення максимальна:

; (6.12)

Точки, де амплітуда коливань середовища максимальна, називаються пучностями хвилі.

Амплітуда хвилі дорівнює нулю в точках, де . Координата таких точок, званих вузлами хвилі, Задовольняє умові:

, (6.13)

де

З (6.13) видно, що координати вузлів мають значення:

, (6.14)

На рис. 6.2 показаний зразковий вид стоячої хвилі, відмічено розташування вузлів і пучностей. Видно, що сусідні вузли і пучності зміщення відстоять один від одного на одну і ту ж відстань.

Знайдемо відстань між сусідніми пучностями та вузлами. З (6.12) отримуємо відстань між пучностями:

(6.15)

Відстань між вузлами отримуємо з (6.14):

(6.16)

З отриманих співвідношень (6.15) і (6.16) видно, що відстань між сусідніми вузлами, як і між сусідніми пучностями, постійно і дорівнює ; вузли і пучності зрушені відносно один одного на (рис. 6.3).

З визначення довжини хвилі можна записати вираз для довжини стоячої хвилі: вона дорівнює половині довжини хвилі, що біжить:

Запишемо, з урахуванням (6.17), вирази для координат вузлів і пучностей:

, (6.18)

, (6.19)

Множник, що визначає амплітуду стоячої хвилі, змінює свій знак при переході через нульове значення, внаслідок чого фаза коливань по різні сторони від вузла відрізняється на . Отже, всі точки, що лежать по різні боки від вузла, коливаються у протифазі. Усі точки, що є між сусідніми вузлами, коливаються синфазно.

Вузли умовно поділяють середовище на автономні області, в яких гармонійні коливання відбуваються незалежно. Жодної передачі руху між областями немає, і, отже, перетікання енергії між областями немає. Тобто немає передачі обурення вздовж осі. Тому хвиля називається стоячою.

Отже, стояча хвиля утворюється з двох протилежно направлених біжучих хвиль рівних частот і амп-літуд. Вектори Умова кожної з цих хвиль рівні за модулем і протилежні при напрямку, і при складенні дають нуль. Отже, стояча хвиля енергії не переносить.

6.2 Приклади стоячих хвиль

6.2.1 Стояча хвиля у струні

Розглянемо струну завдовжки L, Закріплену з обох кінців (рис. 6.4).

Розташуємо вздовж струни вісь Xтаким чином, щоб лівий кінець струни мав координату x=0, а правий – x=L. У струні виникають коливання, що описуються рівнянням:

Запишемо граничні умови для аналізованої стру-ни. Оскільки її кінці закріплені, то в точках з координатами x=0і x=Lвагань немає:

(6.22)

Знайдемо рівняння коливань струни виходячи із записаних граничних умов. Запишемо рівняння (6.20) для лівого кінця струни з урахуванням (6.21):

Співвідношення (6.23) виконується для будь-якого часу tу двох випадках:

1. . Це можливо в тому випадку, якщо коливання в струні відсутні (). Даний випадок інтересу не представляє, і ми його розглядати не будемо.

2. . Тут фаза. Цей випадок дозволить нам отримати рівняння коливань струни.

Підставимо отримане значення фази у граничну умову (6.22) для правого кінця струни:

. (6.25)

Враховуючи що

, (6.26)

з (6.25) отримаємо:

Знову виникають два випадки, у яких виконується співвідношення (6.27). Випадок, коли коливання в струні відсутні (), ми розглядати не будемо.

У другому випадку має виконуватись рівність:

а це можливо, тільки коли аргумент синуса кратний цілому числу :

Значення ми відкидаємо, т.к. при цьому , а це означало б або нульову довжину струни ( L=0) або вол-нове число k=0. Враховуючи зв'язок (6.9) між хвильовим числом і довжиною хвилі видно, що для того, щоб хвиль-нове число дорівнювало б нулю, довжина хвилі повинна бути нескінченною, а це означало б відсутність коливань.

З (6.28) видно, що хвильове число при коливаннях струни, закріпленої з обох кінців, може набувати лише певних дискретних значень:

Враховуючи (6.9), запишемо (6.30) у вигляді:

звідки хвилює вираз для можливих довжин хвиль у струні:

Іншими словами, на довжині струни Lповинно укладатися ціле число nнапівхвиль:

Відповідні частоти коливань можна визначити з (5.7):

Тут - фазова швидкість хвилі, що залежить, відповідно (5.102), від лінійної щільності струни і сили натягу струни:

Підставивши (6.34) в (6.33), отримаємо вираз, що описує можливі частоти коливань струни:

, (6.36)

Частоти називають власними частотамиструни. Частоту (при n = 1):

(6.37)

називають основною частотою(або основним тоном) струни. Частоти, що визначаються при n>1називаються обертонамиабо гармоніками. Номер гармоніки дорівнює n-1. Наприклад, частота:

відповідає першій гармоніці, а частота:

відповідає другий гармоніці, і т.д. Оскільки струну можна представити у вигляді дискретної системи з нескінченним числом ступенів свободи, то кожна гармоніка є модоюколивань струни. У загальному випадку коливання струни є суперпозицією мод.

Кожній гармоніці відповідає своя довжина хвилі. Для основного тону (при n= 1) довжина хвилі:

відповідно для першої та другої гармоніки (при n= 2 та n= 3) довжини хвиль будуть:

На рис.6.5 показаний вид кількох мод коливань, що здійснюються струною.

Таким чином, струна із закріпленими кінцями реалізує в рамках класичної фізики винятковий випадок - дискретний спектр частоти коливань (або довжин хвиль). Таким же чином веде себе пружний стрижень з одним або обома затиснутими кінцями і коливання повітряного стовпа в трубах, що буде розглянуто в наступних розділах.

6.2.2 Вплив початкових умов руху

безперервної струни. Фур'є-аналіз

Коливання струни із затиснутими кінцями крім дис-кретного спектру частот коливань мають ще однією важливою властивістю: конкретна форма коливань струни залежить від способу порушення коливань, тобто. від початкових умов. Розглянемо докладніше.

Рівняння (6.20), що описує одну моду стоячої хвилі в струні, є приватним рішенням диференціального хвильового рівняння (5.61). Оскільки коливання струни складається з усіх можливих мод (для струни – нескінченна кількість), то й загальне рішення хвильового рівняння (5.61) складається з нескінченної кількості приватних рішень:

, (6.43)

де i- Номер моди коливань. Вираз (6.43) записано з урахуванням того, що кінці струни закріплені:

а також з урахуванням зв'язку частоти i-ї моди та її хвильового числа:

(6.46)

Тут - хвильове число i-ї моди;

- хвильове число 1-ї моди;

Знайдемо величину початкової фази кожної моди коливань. Для цього в момент часу t=0надамо струні форму, що описується функцією f 0 (x), Вираз для якої отримаємо з (6.43):

. (6.47)

На рис. 6.6 показаний приклад форми струни, описуваної функцією f 0 (x).

У момент часу t=0струна ще спочиває, тобто. швидкість всіх її точок дорівнює нулю. З (6.43) знайдемо вираз для швидкості точок струни:

і, підставивши в нього t=0, Отримаємо вираз для швидкості точок струни в початковий момент часу:

. (6.49)

Оскільки в початковий момент часу швидкість дорівнює нулю, то вираз (6.49) дорівнюватиме нулю для всіх точок струни, якщо . З цього випливає, що початкова фаза для всіх мод теж дорівнює нулю (). З урахуванням цього вираз (6.43), що описує рух струни, набуває вигляду:

, (6.50)

а вираз (6.47), що описує початкову форму стру-ни, виглядає як:

. (6.51)

Стояча хвиля в струні описується функцією, періодичною на інтервалі , де дорівнює двом довжинам струни (рис. 6.7):

Це видно з того, що періодичність на інтервалі означає:

Отже,

що й призводить до висловлювання (6.52).

З математичного аналізувідомо, що будь-яка періодична функція може бути розкладена з високою точністю в ряд Фур'є:

, (6.57)

де , , - Коефіцієнти Фур'є.