Спеціальна теорія відносності А. Ейнштейна. Нотатки про теорію відносності Які події сто вважаються одночасними
Вадим Протасенко
2. Відносність одночасності
"Уявимо собі двох людей, які проходять один повз друга на вулиці. Події в туманності Андромеди (найближчої) великий галактиці, що знаходиться на відстані 20 000 000 000 000 000 000 км від нашої власної галактики ¦ Чумацького шляху), одночасні, на думку двох цих перехожих, у той момент, коли вони зрівняються один з одним, можуть відстояти за часом один від одного на кілька діб . Тобто в той час, коли для одного з перехожих космічний флот, відправлений із завданням знищити все живе на Землі, вже знаходиться в польоті, для іншого перехожого саме рішення щодо відправлення космічного флоту в рейд ще не прийнято. (Р.Пенроуз "Новий розум короля" УРСС 2003, Москва, стор 168).
Прочитавши свого часу ось це твердження одного з найвідоміших фізиків-теоретиків сучасності, професора Оксфордського університету, який очолює в ньому кафедру математики, почесного професора багатьох університетів та академій світу, члена Лондонського Королівського товариства сера Роджера Пенроуза, я остаточно мені фізики-теоретики, починаючи з Альберта Ейнштейна, були і є потенційними пацієнтами клініки Кащенка (чи чиє, пак, ім'я носять клініки такого роду в Англії та Америці?). Думаю, що, читаючи подібні твердження сучасних фізиків-теоретиків, суб'єктивісти повинні досить потирати руки: ось, мовляв, воно вчені підтверджують їх, суб'єктивістів, правоту, оскільки для кожного суб'єкта існує свій власний Світ зі своєю власною хронологією подій.
Я, звісно, розумів, що до суб'єктивізму ці твердження професора Оксфордського університету стосунку не можуть мати. Ноги людини, міркував я, рухаються з різними швидкостями, нога, що виноситься вперед, має відносно землі швидкість приблизно вдвічі більшу, ніж середня швидкість людини, а опорна нога так і зовсім спочиває, отже, можна стверджувати, що зі спеціальної теорії відносності слідує висновок: для однієї ноги одного й того ж пішохода космічний флот уже в дорозі, а для іншої ноги адмірали "Темної армади" все ще вирішують долю людства. Ні, слова Пенроуза - це навіть не суб'єктивізм, вважав я, це гірше, це божевілля іншого роду. І, звичайно, думав я, фізика не може знаходитися вічно під владою душевно нездорових особистостей, фізику треба терміново рятувати.
Я почав читати поспіль усі, які тільки міг знайти роботи з теорії відносності ¦ праці Ейнштейна, Пуанкаре, Паулі та ін. його вдалося придбати з нагоди у букіністичній крамниці).
Втім, якби справа обмежувалася лише читанням, то це було б лише півбіди. Все посилювалося тим, що мене почали переслідувати власні нав'язливі ідеї, прокидаючись ночами, я все частіше ловив себе на думці, що й уві сні продовжую думати про теорію відносності. Гірше того, я почав періодично малювати якісь безглузді з погляду навколишніх знаки різнобарвні лінії з рядами цифр. На жаль, мій розум виявився не готовим до такого серйозного випробування, початкова нестійкість переконань і надмірна нервова напруга призвели до того, що через деякий час я став помічати, що «жах» вже розумію тексти релятивістів (на увазі є, звичайно не філософи- релятивісти, а фізики - прихильники теорії відносності), які раніше здавались мені безглуздими. Закінчилося все сумно: ще один донкіхот зламав свій спис про млинові крила теорії відносності.
Одночасність подій: що вона собою фактично є?
Якщо ви, шановний читачу, все ж бачите перед собою дані рядки, то це означає, що ви не почули моє попередження, зроблене вище. Зважаючи на все, ви дуже смілива або безрозсудна людина (що, напевно, те саме). Ну що ж, сміливість міста бере, і ваша сміливість має бути винагороджена. Тому особисто вам я повідомлю, що насправді написане мною вище є здебільшого жартом ніколи раніше я не відчував такого душевного спокою, як після усвідомлення суті теорії відносності. "Божевільний світ Ейнштейна" раптом знову став тихим спокійним світом, яким він був і за часів Ньютона. Втім, схоже, мій вступ надто вже затягнувся, настав час приступати до справи.
Чому ж настільки дивний, на перший погляд, висновок про відносності одночасності, що випливає з теорії відносності, був спокійно прийнятий основоположниками цієї теорії, які, як я показав у замітці "Питання гносеології", суб'єктивістами себе не визнавали і вірили в існування об'єктивного спільного для всіх суб'єктів Світу? Якщо повернутися до розгляду описаного в епіграфі випадку з двома перехожими, що по-різному сприймають одночасні події, то легко помітити, що події в туманності Андромеди, одночасні для кожного з перехожих, відбуваються на величезній відстані від того місця, де бредуть один мимо одного двоє наших перехожих. І "в той момент часу", коли пішоходи проходять один мимо одного, події в туманності Андромеди ніяким чином не впливають ні на самих перехожих, ні на весь земний світ, що їх оточує. Мало того, дані події не зможуть вплинути на матерію на околицях Землі в найближчі дві тисячі років, поки якась взаємодія (точніше, дія), що має кінцеву швидкість поширення, що вийшла з туманності Андромеди, не досягне Землі. Можна стверджувати, що у випадку Землі та туманності Андромеди ми маємо справу з двома непроникними один для одного світами, між якими "зараз часу" немає ніякого матеріального зв'язку. Тобто світи ці, як я вже зазначав, стикнуться тільки в майбутньому, коли дія від одного з них дійде до іншого. Але коли за кілька тисяч років космічний флот войовничих мешканців туманності Андромеди досягне Землі, цей чорний для мешканців Землі день настане одночасно для останків обох перехожих, як і раніше, що виліт інопланетної ескадри кожен із перехожих вважав одночасним різним подіям Землі.
Теорія відносності не втручається в послідовність перебігу подій у кожній точці світового простору, вона не переставляє місцями слідування причинно-пов'язаних подій. Відповідно до теорії відносності, залежним від швидкості руху інерційної системи відліку (ІСО), з якої проводяться спостереження, виявляється лише порядок зіставлення у часі причинно не пов'язаних, які впливають друг на друга подій. Написане мною вище - це поки що не роз'яснення суті теорії відносності, а лише констатація деяких фактів, що з неї випливають.
Що ж тоді обурює наш здоровий глузд у описаній Пенроузом ситуації, якщо події в кожній точці простору відбуваються незалежно від наших перехожих (ну, звичайно, крім тих подій, у яких перехожі як елементи матеріального Світу беруть безпосередню участь), якщо від того, які події кожен перехожий вважатиме одночасними, чи не залежить нічого в Світі? Як мені здається, нашому здоровому глузду тут гидко те, що якщо порахувати висновки з теорії відносності відповідними дійсності, то ми не можемо зафіксувати стан Світу на певний момент часу. Точніше, цей стан світу виявляється різним для систем відліку, що рухаються з різною швидкістю.
Але давайте розберемося: чи маємо ми взагалі право вести мову про стан Миру у певний момент часу як про щось об'єктивне? Інакше кажучи, чи існує Світ як одночасного стану всіх його елементів?
Як я вже зазначав у замітці "Питання гносеології", погляди творців нової фізикивідрізняло від раніше панували у фізиці стихійно-матеріалістичних поглядів те, що з безперечному визнання існування об'єктивного світу творці нової фізики йшли до пізнання об'єктивного у світі через суб'єктивні відчуття людини. І зауважу, цей шлях пізнання об'єктивного є єдиним можливим шляхом. Розум людини, навіть якщо людина ця до мозку кісток матеріаліст, ніколи не має безпосередньо з елементами об'єктивного світу. Розум людини завжди має справу лише з їхніми відображеннями, створеними органами почуттів, а тому досить важко уявити собі те, як розум може йти від об'єктивного світу до суб'єктивних відчуттів, що, наприклад, вважав єдино правильним для матеріаліста В.Ленін:
"Чи від речей йти до відчуття і думки? Або від думки і відчуттів до речей? Першої, тобто матеріалістичної, лінії тримається Енгельс. Другий, тобто ідеалістичної, лінії тримається Мах"(В.І.Ленін "Матеріалізм та емпіріокритицизм").
Можливо, звичайно, що Ленін тут зовсім і не мав на увазі те, що ми повинні пізнавати думки та відчуття людини через речі (доступ до яких крім наших відчуттів та думок для нас закритий), а намагався донести ту думку, що відчуття та думки людини суть похідні від речей.
Але ж і "емпіріокритики", стверджуючи, що потрібно йти від відчуття до речі, теж не мали на увазі (принаймні Пуанкаре точно), що річ і є лише відчуття або що річ є похідне від наших відчуттів. Творці нової фізики, передвісником якої став Мах (сам, до речі, теорію відносності так і не прийняв), усвідомлювали, що не всі ті уявлення, які є в нашій голові, суть прямі відображення об'єктивного світу, і що кожне наше уявлення Перш ніж воно може бути включене в картину об'єктивного світу, має пройти серйозний аналіз на об'єктивність, тобто ми повинні критично проаналізувати свій досвід. Сам Мах зробив такий аналіз щодо абсолютного простору та абсолютного часу, але ретельного аналізу вимагають і уявлення людини про одночасності подій, і уявлення про стан речі, і, тим більше, уявлення про стан цілого світу у певний момент часу. І я зараз спробую провести свій власний аналіз цих понять, бо аналіз цих понять, представлений у роботах Пуанкаре чи Ейнштейна, не видається мені достатнім.
Подивимося ж, звідки у нас спочатку береться уявлення про стан навколишнього світу.
Ми оглядаємося навколо і бачимо світ, що постійно змінюється. Але нам все ж таки здається, що у будь-який момент часу ми можемо зафіксувати певний стан цього світу, і ми впевнені, що робимо саме це, фіксуючи стан світу у своїй пам'яті, на полотнах художників або на фотоплівці. У наших уявленнях Світ існує у певному стані, який ми називаємо "Справжнім". Потім увесь Світ разом переходить із цього стан в інший, і тоді те, що було справжнім станом Світу, стає його минулим станом — точніше, йде в небуття, і у Світу настає новий стан, новий справжній. І так повторюється мить за мить.
Однак давайте подивимося, чи "справжнє" світу фіксує нашу свідомість кожної миті нашого буття, давайте вдумаємося, дивлячись на фотографію, чи одночасний стан навколишнього світу ми бачимо на ній?
Всі навколишні речі, образи яких фіксує нашу свідомість або фотографії, знаходяться на різних відстанях від наших очей або від об'єктива фотоапарата, а це означає, що світловий сигнал (та й будь-який інший матеріальний сигнал, наприклад, гравітаційний), який доніс до нас образи цих речей, покинув їх у зовсім різні, за нашими ж поняттями, моменти часу. Мало того що те, що ми фіксуємо у своїй свідомості (або на фотоплівці) не є сьогодення, а лише минуле (навіть у момент фіксації), так ще й зображеним виявляється не одночасний стан навколишнього світу, а складна комбінація образів "різночасних" стан його елементів. Отже, елементарний аналіз показує, що, незважаючи на те, що людина має деяке поняття про одночасний стан навколишнього світу, на практиці людина ніколи не має справи з цим одночасним станом.
Але, можливо, проблема тут лише в тому, що це саме людина позбавлена можливості сприймати навколишній світ як одночасний стан його елементів, але саме цей одночасний стан має якийсь фізичний зміст, і ми маємо право говорити про стан Світу у певний момент часу ?
Легко показати, що існування елемента Світу є його прояв для інших елементів. У Світі існує лише те, що хоч якось себе виявляє, що хоч якось взаємодіє з іншими елементами Світу. Говорити про те, що щось існує, але при цьому не може бути сприйнято жодним елементом світу – це означає безглуздо трусити повітря. Отже, існування елемента Світу – це прояв, це дія елемента Світу на інший його елемент.
У першому томі "Теорії суспільства" Олександра Хоцея сучасного філософа-матеріаліста, а також у ряді інших його робіт показано, що суще суть речі або їх колонії, що Світ являє собою сукупність речей різних рівнів організації, а будь-яку річ слід розглядати як ціле , як певним чином упорядкована взаємодія інших речей ? речей нижчого щодо аналізованої речі організаційного рівня. Вважаючи такі погляди на світ найпереконливішим сьогодні узагальненням досвіду людства, я в подальшому своєму викладі виходитиму саме з таких уявлень про об'єктивний Світ.
Неважко показати, що жоден матеріальний сигнал не може передати миттєву дію однієї речі на іншу, просторово від неї віддалену (а будь-які дві речі просторово розділені – це обов'язкова умова існування речі як окремої одиниці буття). Отже, будь-які дві речі в кожний певний момент часу нічого "не знають" про існування один одного в цей момент часу, вони "знають" тільки про деякі минулі стани один одного. Одна з речей у певний момент часу може припинити своє існування (може виявитися знищеною) і це ніяк не позначиться на одночасному цій події стані іншої речі, оскільки, повторюю, дві речі в одночасних станах ніяк не діють одна на одну, тобто не існують один для одного в прямому значенні цього слова.
Але цього мало, у "одночасному стані" річ не існує і сама для себе.
Оскільки кожна річ-ціле складається з взаємодіючих і просторово розділених речей-частин, то кожна частина речі-цілого в певний момент часу сама не надає жодного впливу на одночасні їй стану інших частин речі-цілого і не отримує зворотну дію від одночасних станів інших частин інших частин речі-цілого. Іншими словами, будь-якої миті часу частина речі-цілого не існує для інших одночасних їй станів частин речі-цілого. І це, підкреслюю, не метафора: існування речі без якоїсь її частини ¦ немислимо, річ виявляє себе щодо навколишнього світу саме як сукупність частин, яка більша за ціле, але якщо якась частина речі в якийсь момент часу може бути видалена з речі (знищена, розкладена на складові, виведена зі складу речі і т.д.), і при цьому всі інші частини речі в цей момент ніяким чином не відчують цього, а будуть "існувати" і далі як ні в чому ні бувало, чи можна такий миттєвий стан речі називати власне річчю, чи можна такої уявної конструкції людини, як миттєвий одночасний стан речі, приписувати таку властивість, як існування? На мій погляд, немає існування речі є процес взаємодії її частин, що знаходяться в різних тимчасових "станах". В той самий момент часу на кожну частину речі-цілого передаються дії інших частин речі, і ці дії ініціюються в різні моменти часу.
Понад те, дію речі різні точки простору навколо неї є сукупне дію частин речі, також що у різних часових " станах " , оскільки дії частин речі, які дійшли певної точки простору, вийшли від різних частин речі у різні моменти часу. Слід пам'ятати, що термін "стан", використовуваний мною щодо частини речі-цілого, є абстракція, наближення у межах завдання. Дія, що надається однією частиною речі на іншу частину речі, сама не є дія частини, яка перебуває в певному стані, вона являє собою сукупність дій частин частини (частин, з яких складається сама частина речі), що також знаходяться в "різночасних станах".
Розглядаючи стан речі або її частини в певний момент часу, ми вважаємо за можливе абстрагуватися від часу, необхідного на передачу дії від однієї частини речі до іншої частини речі, точніше, абстрагуватися від того, що дія речі-цілого на інші речі є поєднаною дією її частин , що у " різночасних станах " .
Отже, я приходжу до висновку, що саме поняття миттєвого стану речі (тобто уявлення про річ як сукупність станів всіх її частин у певний момент часу) – це лише мислима людиною абстракція, у Світі ніколи не реалізована.
Що вже тоді говорити про миттєвий стан цілого світу? Не тільки людина виявляється не в змозі сприйняти навколишній світ як одночасний стан елементів цього світу, а й взагалі жодна річ у Світі не сприймає Світ як одночасний стан її елементів, і ця річ не сприймається іншими речами Світу як одночасний стан її частин. Пристрій, який міг би фіксувати образ навколишнього світу як сукупність його елементів у одночасних станах, є неможливий пристрій, воно заборонено природою точнісінько як вічний двигун.
Звичайно, не маючи можливості безпосередньо сприйняти Світ у "одночасному стані" і навіть не маючи можливості створити матеріальний об'єкт, здатний фіксувати одночасний стан Світу (і навіть лише малої частини Світу), людина, тим не менш, може собі уявити цей одночасний стан Світу як набір елементарних "осередків" буття, що перебувають у певному стані. Ці осередки виявляються ніяк не пов'язаними один з одним, які не впливають один на одного, бо між ними немає і за визначенням не може бути ніякого матеріального зв'язку. Такий Світ є щось на зразок екрана мого LCD монітора, кожен осередок якого в певний момент часу має деякий стан. Але для того щоб у такому Світі була можлива якась зміна станів його осередків, необхідний якийсь зовнішній даному Світу механізм, який керує цією зміною, як це і має місце бути з LCD монітором, стан осередків якого змінює комп'ютер і внутрішній (прихований від мене як спостерігача) механізм монітора. Більш того, для спостереження такого Світу в його "одночасному" стані потрібен зовнішній Світу спостерігач, здатний в одну мить сприйняти всі роз'єднані не пов'язані один з одним елементи Світу. Я натякаю на те, що тільки якийсь міфічний розум, якийсь "демон" (як прийнято називати таку істоту у фізиці) або бог виявляється здатним "відчути" і зафіксувати миттєвий стан такого Світу - як, втім, тільки демону або богу виявляється під силу перекласти такий Світ з одного стан до іншого. Так що матеріалістам, схоже, доведеться постаратися обійтися без такого метафізичного поняття як "одночасний стан Світу" і визнати, що Світ існує не у вигляді такого стану, званого "справжнє", а як сукупність елементів, що взаємодіють, що знаходяться, за поняттями людини, в різночасних станах. І прошу читачів цих рядків відзначити, що цей висновок випливає зовсім не з теорії відносності, а з набагато загальніших і, як на мене, цілком матеріалістичних міркувань.
Але повернемося ще ненадовго до розгляду поняття миттєвого стану речі. Як я вже показав вище, будь-яка річ діє в іншу річ як сукупність частин, що у " різночасних станах " . При цьому дія кожної частини є дія, залежна від інших частин речі-цілого, а тому можна стверджувати, що будь-яка мить існування речі має деяку тривалість (як прийнято позначати у фізиці дельта ті). І сама ця тривалість миті визначається просторовою локалізацією (розміром) речі та швидкістю передачі взаємодії. Якщо умовний діаметр речі позначити буквою D, а швидкість передачі дії матеріальному світілітерою C, то тоді для речі, що лежить в деякій системі відліку (у тій, у якій швидкість поширення дії дорівнює С), тривалість миті вийде рівним dT = D/С. Фізичний змістцієї величини полягає в тому, що при розгляді проміжків часу менших, ніж даний, вести мову про стан речі вже не представляється можливим, тут можна вести мову лише про стан частин речі.
Якщо ж розглядати річ у русі, то слід враховувати ще й зміщення частин речі за час проходження матеріального сигналу всередині цієї речі - тобто річ, що рухається в просторі, виявляється не має не тільки точної локалізації в часі, але і точної локалізації в просторі. Єдине твердження про річ, яку ми можемо зробити, полягає в наступному: у певний інтервал часу річ перебувала в певному обсязі простору. Чи не правда, цей висновок явно щось нагадує щось із галузі квантової механіки?
Втім, щоб не розпорошувати свої сили, залишимо поки квантову механіку осторонь і обмежимося розглядом лише теорії відносності, уявлення якої про Світ вимагають набагато глибшого аналізу, ніж щойно зроблений мною. Уважний читач міг помітити, що, розмірковуючи про неіснування в Світі одночасного стану речей, я так і не дав визначення тому, що ж це, власне, така одночасність подій? Я користувався тут тим, що людина вже має якесь уявлення про одночасності, і цього уявлення спочатку було цілком достатньо. Але настав час піддати детальнішого аналізу і саме поняття одночасності.
Уявлення про одночасності подій, так само як і будь-які інші уявлення людини, укладені в її голові, тобто це насамперед не фізичне, а саме психологічний феномен. Відповідно, наше завдання полягає в тому, щоб визначити: чи нам є що зіставити з цим психологічним феноменом в об'єктивному світі? Але для початку потрібно розібратися в тому, як уявлення про одночасність подій формуються у голові людини.
Всі свої враження ми можемо ранжувати за критеріями "до" і "після" в порядку їх виникнення в нашій голові, і тільки враження, пов'язані один з одним настільки тісно, що ми не можемо визначити, яке з них виникло до, а яке після іншого (від зміни порядку їхнього прямування в нашій свідомості картина наших вражень не зміниться), ми і називаємо одночасними.
Але ми віримо, що порядок проходження вражень у нашій свідомості є порядок впливу на наші органи почуттів феноменів зовнішнього світу, що викликають дані враження. Таким чином, говорячи про одночасності вражень, ми говоримо про одночасності вступу в якусь точку простору (в якій ми, як одна з найбільш складно організованих речей Світу, розташовуємося) матеріальних сигналів від подій, що відбуваються з речами в навколишньому світі. Таким чином, психологічний феномен одночасності вражень має в об'єктивному світі цілком реальний прообраз – одночасність надходження кількох матеріальних дій в одну точку простору. Якщо ми не в змозі розрізнити порядок надходження кількох матеріальних дій у певну точку простору (до певної речі), якщо ми в рівного ступеняможемо стверджувати як те, що річ після своєї зміни під дією А прийняла на себе дію Б, так і те, що річ після своєї зміни під дією Б прийняла на себе дію А, то тоді ми говоримо про те, що дії А та Б на розглянуту річ були одночасними, у всякому разі з тією точністю, з якою ми здатні фіксувати зміну речі.
Звертаю увагу на те, що одночасність подій як феномен об'єктивного світу, що отримав відображення у свідомості людини – це одночасність одномісних подій (користуючись термінологією СТО), тобто подій, що відбуваються в одній точці простору (зрозуміло, що точка – це теж ідеалізований об'єкт, отриманий шляхом нехтування розмірами речі, яку виявляється вплив). А така одночасність не відносна, а абсолютна навіть у теорії відносності, тобто одномісні одночасні події залишаються такими у будь-якій системі відліку.
Але постає питання: що ми маємо на увазі, говорячи про одночасність чи неодночасність не одномісних, а просторово роз'єднаних подій, наприклад, про одночасність подій у туманності Андромеди подіям на Землі?
Цим питанням Пуанкаре ставив ще кілька років до створення теорії відносності. Ось, наприклад, його роздуми на цю тему з роботи 1900 "Наука і гіпотеза":
"Звичайні визначення, які годяться для психологічного часу, нас уже не могли б задовольнити. Два одночасні психологічні факти настільки тісно пов'язані між собою, що аналіз не може їх розділити, не спотворюючи їх. Чи те саме буває для двох фізичних фактів? Не ближче Чи моє сьогодення до мого вчорашнього минулого, ніж до сьогодення Сіріуса? на великих відстанях один від одного, і, що стосується їх, незрозуміло навіть те, що таке може являти собою ця оборотність;
Деякий критерій розподілу в часі подій, що відбулися в різних точкахпростору Пуанкаре висунув у цій же своїй роботі:
"Я чую грім і укладаю, що стався електричний розряд; я, не вагаючись, дивлюся на це фізичне явище як на попереднє звукове уявлення, що виникло в моїй свідомості, тому що я вірю, що воно було причиною останнього. Отже, ось правило, якому ми слідуємо, ¦ єдине правило, яким ми можемо слідувати: коли одне явище здається нам причиною іншого, ми дивимося на нього як на попередній час. Отже, час ми визначаємо через причину.
Ось той критерій, за яким ми маємо право ранжувати роз'єднані в просторі події - причинно-наслідковий зв'язок між подіями. Цим критерієм і користувалася надалі теорія відносності. Так, Вернер Гейзенберг у своїй книзі "Фізика і філософія" (М., Наука, 1989) на чолі, присвяченій теорії відносності, розділив всі події, що відбуваються в Світі, по їх відношенню до деякої розглянутої події на три групи. Перша група — це минуле події, що розглядається. До цієї групи відносяться події, дія від яких дійшло або могло дійти до події, що розглядається (до точки в просторі, в якій відбувається подія, в момент її вчинення). Друга група - Майбутнє - це події, на які може вплинути подію, що розглядається, тобто це події в тих точках простору і в ті моменти часу, в які до цих точок може дійти дію від події, що розглядається. І, нарешті, третя група ¦ Справжнє ¦ це події, які аж ніяк не можуть вплинути на подію, що розглядається, і на які сама ця подія не має ніякого впливу (через кінцівку швидкості поширення дії будь-якої природи).
На малюнку 1
Мал. 1зображено графік, вертикальної осі якого відкладено час t, а горизонтальної осі відкладено просторові координати X. Якщо ми виберемо по осі X якусь точку простору, то, переміщаючись за графіком у вертикальному напрямку, ми будемо стежити за подіями, що відбуваються в даній точці у різні моменти часу. Кожну точку на такому графіку ми називатимемо подією, що відбувається у точці простору з деякою координатою x у певний момент часу t. У центрі графіка зображено якусь подію А, що сталася в точці простору з координатою x = 9 в момент часу t = 0. По відношенню до цієї події ми і розглядатимемо всі інші події, зображені на даному графіку. Жовтими лініями показаний шлях у просторі та часі двох світлових променів, що приходять у точку, де відбувається подія А, у момент здійснення цієї події і потім проходять далі. Ці світлові промені окреслюють собою два конуси (в СТО їх називають світловими конусами), розташованих під і над подією А. Нескладний аналіз показує, що від усіх подій усередині конуса, розташованого під подією А, до події А може прийти деяка матеріальна дія, швидкість поширення якого дорівнює чи менше швидкості світла - тобто події всередині цього конуса надають свій вплив на подію А (це минуле події А). У конусі над подією А розташовані події, до яких може дійти дія від події А (що поширюється зі швидкістю світла або з меншою швидкістю), тобто події, на які подія А впливає, це майбутнє для події А. А ось поза цими двома конусами розташовані такі події, які принципово не можуть вплинути на подію А, і на які сама подія А не може вплинути, оскільки для того, щоб якась матеріальна дія змогла пов'язати ці точки простору-часу, дія ця має поширюватися з швидкістю, більшою швидкістю світла (що, зрозуміло, неможливо).
Ось саме серед подій групи Справжнього, подій, які не мають жодного причинно-наслідкового зв'язку з подією, що розглядається (тобто не існують для нього) в СТО і обирають ті події, які можна віднести (за критерієм, про який я розповім трохи пізніше) до одночасним події, що розглядається, і вибір цей виявляється залежним від швидкості руху системи відліку, з якої ми розглядаємо ситуацію. Події, одночасні події А в системі відліку, що умовно "покоюється" (у системі відліку, просторово-часові координати якої зображені на самому графіку), лежать на осі X. Сині прямі лінії, зображені на цьому графіку, показують, які події будуть вважатися одночасними події А при розгляді їх з інших рухомих систем відліку. Залежно від швидкості руху системи відліку лінія одночасних подій може мати широкий спектр кутів нахилу, але завжди лежатиме поза світловими конусами Минулого та Майбутнього, тобто у зоні Сьогодення.
Про всяк випадок наголошую, що наведення мною прикладу з даним графіком зовсім не є моє пояснення суті СТО так намагаються пояснити СТО фізики та математики, починаючи з Мінковського. На мій погляд, жодного особливого пояснювального потенціалу дані графіки не мають. Корисний цей графік лише тому плані, що дозволяє чіткіше виділити різницю між значеннями понять " минуле " , " сьогодення " і " майбутнє " , які ці поняття мають у класичній фізиці й у СТО.
У класичній фізиці до Минулого події А відносяться всі ті події, які лежать нижче осі X, до Майбутнього події А відносяться всі ті події, які лежать вище осі X, а до Справжньої події А відносяться всі ті події, що лежать на самій осі X є одночасні події. Безліч подій Справжнього та безліч одночасних подій (під безліччю мається на увазі математичне поняття) у класичній фізиці збігаються.
Які події відносяться до Минулого, Сьогодення та Майбутнього події А в термінології СТО, я описав вище. З цього опису видно, що, на відміну від класичних уявлень, справжнім для події є не тільки одночасні події. Безліч подій Сьогодення в СТО значно ширше, ніж у класичних уявленнях, і, навпаки, безліч подій Минулого та Майбутнього значно звужені.
Таке розмежування безлічі подій проводиться в СТО суворо на підставі причинно-наслідкових зв'язків між подіями, і неважко помітити, що за такої класифікації можна розділити події лише на три групи четвертого просто не дано. І, треба визнати, класифікація подій за ознакою причинно-наслідкового зв'язку здається мені не менш переконливою, ніж класична, на причинно-наслідковий зв'язок не спирається, а що розмежовує минуле і майбутнє лінією подій, одночасних події, що розглядається (все, що нижче лінії одночасності - минуле , все, що вище майбутнє).
Наголошую, що все це тільки класифікація подій, до якої вдається сама людина, перебіг подій у світі від цих маніпуляцій людини ніяк не залежить. Як життя тварин не залежить від суперечок вчених, до якої родини їх віднести, так і події у Світі не залежать від того, до якої групи щодо якоїсь події ми їх відносимо – групі минулого, сьогодення, майбутнього, або навіть вважатимемо “одночасними”. Сперечатись можна лише про те, яка класифікація має під собою переконливіші підстави і дозволяє нам глибше зрозуміти відносини між речами у Світі.
Даний графік може бути корисним ще й тим, що з нього добре видно, що навіть з погляду СТО події у світі мають єдину послідовність протікання. Усі події (точки на графіці) ніяк не змінюються від перекладу розгляду картини світу з однієї інерційної системи відліку (ІСО) в іншу, тобто послідовність перебігу подій у кожній точці простору не змінюється при зміні ІСО, з якої ми розглядаємо події у світі. Від зміни системи відліку залежить тільки те, як ми проводимо за цим графіком умовну синеньку лінію одночасності подій (про всяк випадок ще раз підкреслюю, що на самі події ця наша дія ніяк не впливає).
А ось тепер нарешті і настав час подивитися: як ми здійснюємо вибір подій, одночасних події, що розглядається, серед подій просторово від неї віддалених і не мають з нею ніякого безпосереднього матеріального зв'язку? Тобто який використовується критерій одночасності різномісних подій?
Отримуючи одночасно два різні враження із зовнішнього Світу, ми розуміємо, що ті дії в об'єктивному світі, які викликали в наших органах почуттів ці враження, вийшли від речей-джерел зовсім не в той самий момент, коли до нас ці дії дійшли. Більше того, якщо джерела дії знаходилися від нас на різній відстані, ми укладаємо, що вийшли ці дії від джерел у різні моменти часу. І тільки в тому випадку, коли джерела дій, отриманих нами одночасно, перебували на рівних відстанях від нас, ми робимо висновок, що й моменти виходу дії були одночасними. Тут ми покладаємось на те, що дія долає однакову відстань за однаковий час. Назад, якщо дія від якогось джерела проходить при русі до двох точок простору однаковий шлях, то ми вважаємо моменти приходу дії в ці точки простору одночасними.
На малюнку 2
Ми вважаємо моменти приходу світлового сигналу до спостерігачів А і Б одночасними (а годинник А і Б синхронізованими), якщо S 1 = S 2 , тобто якщо рівні шляхи, пройдені світлом від джерела до місць подій
зображено схему синхронізації годинника світловим сигналом. Якщо світловий імпульс вийшов із джерела і пройшов до двох подій однаковий шлях, ми вважаємо такі події одночасними. Саме так синхронізують годинник у СТО, але і до СТО ми б, не замислюючись, зробили висновок, що прихід світла до годинників А і Б одночасний. (Хоча запропонований мною спосіб синхронізації годинника дещо відрізняється від описаного Ейнштейном у його першій роботі по СТО "До електродинаміки рухомих тіл", неважко показати, що спосіб Ейнштейна, що спирається на відбитий сигнал, і запропонований мною спосіб повністю еквівалентні, але саме до запропонованого, а не до зйнштейнівського способу я вдаюсь лише через більшу наочність мого способу). Але якщо подивитися на ту саму ситуацію не з погляду земного спостерігача, а, наприклад, з погляду системи відліку, пов'язаної з Сонцем, ми побачимо ту саму ситуацію вже дещо в іншому ракурсі (див. рис 3).
Мал. 3
Через зміщення у просторі, пов'язаного з добовим і річним обертанням Землі, шлях, пройдений світлом від джерела до годинника А і шлях, пройдений світлом від джерела до годинника Б, виявляється зовсім не рівним. Тобто події, які ми вважали одночасними в системі відліку, пов'язаної із Землею, у системі відліку, пов'язаної з Сонцем, вважати такими за запропонованим нами критерієм вже не можна. Наголошую, що в Світі нічого не змінилося від перенесення розгляду ситуації з ІСО Землі в ІСО Сонця – це ми самі в одному випадку вважаємо прихід світла до годин А і Б одночасним, а в іншому випадку ми вважаємо ці події не одночасними.
Тут читачі цих рядків можуть мені заперечити, що вся справа в тому, що в першому випадку, визначаючи одночасність подій в ІСО Землі, ми робили помилку - насправді це була не "справжня" одночасність, бо ми неправомірно вважали події А і Б одночасними. . Справжню, справжню одночасність подій ми зможемо визначити запропонованим способом (за рівністю шляхів, пройдених світлом від джерела до подій) тільки в тій системі відліку, яка пов'язана з тим середовищем, в якому і поширюється світлова хвиля (в системі відліку, пов'язаної з абсолютним простором, в якій швидкість світла дорівнює у всіх напрямках), а синхронізувати годинник на Землі ми повинні з урахуванням руху Землі щодо цього абсолютного простору. Добре, нехай так, я не заперечуватиму. Але як нам виявити цей абсолютний простір? Як визначити швидкість Землі щодо нього? Ситуація посилюється ще й тим, що жоден експеримент на Землі не дозволяє виявити рух Землі щодо світлоносного середовища (як таке може бути, я роз'ясню в наступних "Нотатках").
Але навіть якщо вважати світлоносне середовище існуючого насправді, ми повинні розуміти, що в СТО годинник синхронізується без відшукання цього середовища. Коли в СТО говорять про одночасності подій, то мова ведеться про одночасність подій, визначену описаним вище способом. Це саме така одночасність відносна (а не одночасність подій, визначена якось інакше), це саме таку одночасність у СТО використовують для синхронізації годинника і вимірювання часу в системах відліку, що рухаються. Саме такий час, який вимірюється за допомогою саме такої одночасності, виявляється сповільнюється на рухомих системах відліку щодо систем відліку, що покояться (про вимірювання часу в рухомих системах відліку я теж напишу в наступних "Нотатках").
Іншими словами, спосіб визначення одночасності подій, прийнятий в СТО (у моєму формулюванні він виглядає так: події одночасні в якійсь ІСО у тому випадку, якщо світловий сигнал, що дійшов до них від одного джерела, пройшов у даній ІСО однаковий шлях), є конвенція, прийнята для людей для зручності вимірювання тієї величини, яку ми називаємо часом. Ми формулюємо виявлені в природі закономірності з урахуванням цієї конвенції і з урахуванням випливає з неї способу визначення часу в системах відліку, що рухаються, тобто самі формулювання Законів Природи виявляються залежними від зроблених нами початкових положень. Ось що таке "конвенційність" Законів Природи по Пуанкарі. Жодного відношення до суб'єктивізму, до заперечення об'єктивних закономірностей у Природі ця позиція Пуанкаре не має. Так, у Природі є свої, незалежні від людини закономірності, точніше, всі процеси в Природі закономірні (тобто мають причину), але людина сама створює власну "систему координат", через призму якої розглядає світ, щодо якої намагається фіксувати природні закономірності, і отриманий результат як Законів Природи є складний синтез природних закономірностей і методу фіксування цих закономірностей, обраного самою людиною. Підкреслюю, що так формулювати Закони Природи вчені почали не після згубного впливу на них Пуанкаре всю історію науки Закони Природи формулювалися саме так, Пуанкаре тільки звернув на це увагу вчених.
Що, наприклад, є закон збереження енергії як не конвенція? Помиляється той, хто вважає, ніби в природі насправді є якась субстанція (або ще менш зрозуміле), іменована енергією, яка зберігається при протіканні процесів різної природи ¦ поняття енергії не має прямого відношення до об'єктивному світу. Тобто включення в роздуми про світ поняття енергії – це спосіб фіксування природних закономірностей, зручний людині, не більше. Ну, гаразд, це я відволікся, розмова про енергію може надто далеко відвести від теми справжньої замітки, повернуся краще до поняття одночасності подій.
Отже, приведена в епіграфі до справжньої замітки думка Пенроуза про те, що якщо для одного перехожого в момент зустрічі з іншим перехожим виліт ескадри з туманності Андромеди одночасний, то для іншого перехожого виліт ескадри вже не одночасний, означає не більше, ніж якщо подивитися на шлях, пройдений світлом від якогось джерела, розташованого десь між Землею та туманністю Андромеди, до зазначених подій (зустрічі пішоходів, з одного боку, і вильоту ескадри з іншого) з боку одного перехожого, то ми побачимо, що шлях світла від джерела до Землі дорівнював шляху світла від джерела до туманності Андромеди (події одночасні), а з погляду іншого перехожого, шляхи ці не рівні (події різночасні). Сподіваюся, чому шлях одного і того ж фотона виявляється різним у різних ІСО, зрозуміло всім? Якщо ні, то пропоную звернутися до прикладу з вагоном, що рухається.
Якщо пасажир зробить кілька кроків у поїзді, що рухається, то в ІСО поїзда він пройде всього кілька метрів, але якщо ми будемо дивитися на рух пасажира з ІСО, пов'язаної із землею, то щодо землі пішохід пройде вже кілька десятків метрів.
Те саме відбувається зі світлом і в нашому випадку. Через рух одного пішохода за напрямом руху світла, а іншого проти цього напрямку, шлях, пройдений світлом від джерела до пішоходів, виявляється різною довжиною з погляду цих пішоходів, а тому й думки про одночасність чи неодночасність подій, синхронізованих цим променем світла, будуть різні у різних перехожих. На жаль, вся "чудесність" теорії відносності випаровується прямо на очах (якщо, звичайно, я зміг донести свої думки до читача правильно).
Тільки не слід думати, що на методі синхронізації подій світлом вся СТО і закінчується - точніше, що всі "чудеса" СТО випливають саме з методу синхронізації подій. Звичайно, ні результат експерименту Майкельсона-Морлі не може бути інтерпретований як наслідок конвенції про синхронізацію годин. Відокремити певні властивості Світу, розкриті завдяки СТО, від наслідків методу встановлення одночасності подій, запровадженому в СТО, я спробую у наступних "Нотатках".
Текст цієї моєї замітки "Про одночасності подій" виявився досить довгим, і можливо, хтось із читачів почав втрачати логічну нитку під час читання. Тому я коротко і послідовно викладу ті основні ідеї, які хотів донести до читача.
1. Всі уявлення про Світ (у тому числі й такі, як "існує Світ у вигляді миттєвого стану, званого сьогоденням, чи ні?") потрібно брати тільки з досвіду (звісно, не нехтуючи і логічними висновками).
2. Критичний аналіз досвіду показує, що одночасний миттєвий стан світу і навіть окремої речі ніяким досвідом не виявляється.
3. Поняття одночасності подій, що є в голові людини - це відображення феномена одночасного надходження дії, що має в об'єктивному світі, в якусь точку простору. Тобто одночасність, що виявляється досвідом, це одночасність одномісних подій.
4. Для подій, що відбуваються у просторово розділених точках, ми маємо безпосереднього відчуття, що дозволяє зробити розподіл цих подій у часі. Критерій, за яким можна зіставляти в часі просторово поділені події – це логічний критерій: причинно-наслідковий зв'язок. Все, що було причиною якоїсь події, є минуле; все, що стане наслідком цієї події, є Майбутнє. А події, між якими немає причинно-наслідкового зв'язку, не відносяться ні до минулого, ні до майбутнього, і їх цю групу подій у СТО умовно називають справжнім.
5. Ми не маємо безпосереднього відчуття одночасності або неодночасності подій для просторово роз'єднаних подій, не пов'язаних причинно-наслідково одна з одною, а тому ми самі з метою вимірювання часу за якимсь логічним критерієм пов'язуємо одна з одною події, які називаємо одночасними.
6. У СТО події називаються одночасними в тому випадку, якщо світловий імпульс, що вийшов з одного джерела, після досягнення цих подій пройшов однаковий шлях у просторі.
7. Через зміщення рухомої системи відліку щодо умовно спокою системи відліку довжина шляху світла в системі, що покоїться і в рухомій системах відліку, виявляється різною. системи відліку, з якої провадиться розгляд подій.
Цей світ був глибокої темрявою оповитий.
Да буде світло! І ось з'явився Ньютон.
Епіграма XVIII ст.
Але сатана недовго чекав на реванш.
Прийшов Ейнштейн – і стало все, як раніше.
Епіграма XX ст.
Постулати теорії відносності
Постулат (аксіома)- фундаментальне твердження, що лежить в основі теорії та прийняте без доказів.
Перший постулат:всі закони фізики, що описують будь-які фізичні явища, повинні у всіх інерційних системах відліку мати однаковий вигляд.
Цей постулат можна сформулювати інакше: у будь-яких інерційних системах відліку всі фізичні явища за однакових початкових умов протікають однаково.
Другий постулат:у всіх інерційних системах відліку швидкість світла у вакуумі однакова і залежить від швидкості руху як джерела, і приймача світла. Ця швидкість є граничною швидкістю всіх процесів та рухів, що супроводжуються перенесенням енергії.
Закон взаємозв'язку маси та енергії
Релятивістська механіка- Розділ механіки, що вивчає закони руху тіл зі швидкостями, близькими до швидкості світла.
Будь-яке тіло, завдяки факту свого існування, має енергію, яка пропорційна масі спокою.
Що таке теорія відносності (відео)
Наслідки теорії відносності
Відносність одночасності.Одночасність двох подій відносна. Якщо події, що відбулися в різних точках, одночасні в одній інерційній системі відліку, вони можуть бути не одночасними в інших інерційних системах відліку.
Скорочення довжини.Довжина тіла, виміряна в системі відліку K", в якій воно спочиває, більше довжини в системі відліку K, щодо якої K" рухається зі швидкістю v вздовж осі Ох:
Уповільнення часу.Проміжок часу, виміряний годинником, нерухомим в інерційній системі відліку K", менше проміжку часу, виміряного в інерційній системі відліку K, щодо якої K" рухається зі швидкістю v:
Теорія відносності
матеріал з книги Стівена Хокінга та Леонарда Млодінова "Найкоротша історія часу"
Відносність
Фундаментальний постулат Ейнштейна, що називається принципом відносності, говорить, що всі закони фізики повинні бути однаковими для всіх спостерігачів, що вільно рухаються, незалежно від їх швидкості. Якщо швидкість світла постійна величина, то будь-який спостерігач, що вільно рухається, повинен фіксувати те саме значення незалежно від швидкості, з якою він наближається до джерела світла або віддаляється від нього.
Вимога, щоб усі спостерігачі зійшлися в оцінці швидкості світла, змушує змінити концепцію часу. Згідно з теорією відносності спостерігач, що їде поїздом, і той, що стоїть на платформі, розійдуться в оцінці відстані, пройденої світлом. А оскільки швидкість є відстань, поділена на якийсь час, єдиний спосіб для спостерігачів дійти згоди щодо швидкості світла – це розійтися також і в оцінці часу. Інакше кажучи, теорія відносності поклала край ідеї абсолютного часу! Виявилося, що кожен спостерігач повинен мати свою власну міру часу і що ідентичний годинник у різних спостерігачів не обов'язково показуватиме той самий час.
Говорячи, що простір має три виміри, ми маємо на увазі, що положення точки в ньому можна передати за допомогою трьох чисел координат. Якщо ми введемо в наш опис час, то отримаємо чотиривимірний простір-час.
Інше відоме наслідок теорії відносності – еквівалентність маси та енергії, виражена знаменитим рівнянням Ейнштейна Е = mс2 (де Е – енергія, m – маса тіла, с – швидкість світла). Через еквівалентність енергії та маси кінетична енергія, якою матеріальний об'єкт має силу свого руху, збільшує його масу. Іншими словами, об'єкт стає складніше розганяти.
Цей ефект суттєвий лише для тіл, які переміщуються зі швидкістю, що близька до швидкості світла. Наприклад, при швидкості, що дорівнює 10% від швидкості світла, маса тіла буде всього на 0,5% більше, ніж у стані спокою, а от при швидкості, що становить 90% від швидкості світла, маса вже більш ніж удвічі перевищить нормальну. У міру наближення до швидкості світла маса тіла збільшується все швидше, тому для його прискорення потрібно все більше енергії. Згідно з теорією відносності об'єкт ніколи не зможе досягти швидкості світла, оскільки в даному випадку його маса стала б нескінченною, а в силу еквівалентності маси та енергії для цього знадобилася б нескінченна енергія. Саме тому теорія відносності назавжди прирікає будь-яке звичайне тіло рухатися зі швидкістю, меншою швидкості світла. Тільки світло чи інші хвилі, які мають власної маси, здатні рухатися зі швидкістю світла.
Скривлений простір
Загальна теорія відносності Ейнштейна заснована на революційному припущенні, що гравітація не проста сила, а наслідок того, що простір-час не є плоским, як заведено було думати раніше. У загальній теорії відносності простір-час вигнутий або викривлений поміщеними в нього масою та енергією. Тіла, подібні до Землі, рухаються по викривлених орбітах не під дією сили, що називається гравітацією.
Оскільки геодезична лінія – найкоротша лінія між двома аеропортами, штурмани ведуть літаки саме такими маршрутами. Наприклад, ви могли б, наслідуючи свідчення компаса, пролетіти 5966 кілометрів від Нью-Йорка до Мадрида майже строго на схід уздовж географічної паралелі. Але вам доведеться покрити всього 5802 кілометри, якщо ви полетите великим колом, спершу на північний схід, а потім поступово повертаючи на схід і далі на південний схід. Вид цих двох маршрутів на карті, де земна поверхняспотворена (представлена плоскою), оманливий. Рухаючись «прямо» на схід від однієї точки до іншої поверхнею земної кулі, Ви насправді переміщаєтеся не по прямій лінії, точніше сказати, не по короткій, геодезичній лінії.
Якщо траєкторію космічного корабля, який рухається в космосі по прямій лінії, спроектувати на двовимірну поверхню Землі виявиться, що вона викривлена.
Відповідно до загальної теорії відносності гравітаційні поля мають викривляти світло. Наприклад, теорія передбачає, що поблизу Сонця промені світла повинні злегка згинатися у його бік під впливом маси світила. Значить, світло далекої зірки, якщо йому пройти поряд із Сонцем, відхилиться на невеликий кут, через що спостерігач на Землі побачить зірку не зовсім там, де вона насправді розташовується.
Нагадаємо, що згідно з основним постулатом спеціальної теорії відносності всі фізичні закониоднакові для всіх спостерігачів, що вільно рухаються, незалежно від їх швидкості. Грубо кажучи, принцип еквівалентності поширює це правило і тих спостерігачів, які рухаються не вільно, а під впливом гравітаційного поля.
У досить малих областях простору неможливо судити про те, чи перебуваєте ви в стані спокою в гравітаційному полі або рухаєтеся з постійним прискоренням у порожньому просторі.
Уявіть, що ви перебуваєте в ліфті серед порожнього простору. Немає жодної гравітації, ніякого «верху» та «низу». Ви пливете вільно. Потім ліфт починає рухатися із постійним прискоренням. Ви раптово відчуваєте вагу. Тобто вас притискає до однієї зі стін ліфта, яка тепер сприймається як підлога. Якщо ви візьмете яблуко і відпустите його, воно впаде на підлогу. Фактично тепер, коли ви рухаєтеся з прискоренням, усередині ліфта все відбуватиметься точно так само, якби підйомник взагалі не рухався, а лежав би в однорідному гравітаційному полі. Ейнштейн зрозумів, що, подібно до того, як, перебуваючи у вагоні поїзда, ви не можете сказати, чи стоїть він чи рівномірно рухається, так і, перебуваючи всередині ліфта, ви не в змозі визначити, чи переміщається він з постійним прискоренням чи перебуває в однорідному гравітаційному полі . Результатом цього розуміння став принцип еквівалентності.
Принцип еквівалентності і наведений приклад його прояви будуть справедливі лише в тому випадку, якщо інертна маса (що входить до другого закону Ньютона, який визначає, яке прискорення надає тілу прикладена до нього сила) і гравітаційна маса (що входить до закону тяжіння Ньютона, що визначає величину тяжіння) суть те саме.
Використання Ейнштейном еквівалентності інертної та гравітаційної мас для виведення принципу еквівалентності та, зрештою, всієї загальної теорії відносності – це безпрецедентний в історії людської думки приклад завзятого та послідовного розвитку логічних висновків.
Уповільнення часу
Ще одне передбачення загальної теорії відносності у тому, що з масивних тіл, як-от Земля, повинен сповільнюватися перебіг часу.
Тепер, познайомившись із принципом еквівалентності, ми можемо простежити хід міркувань Ейнштейна, виконавши інший уявний експеримент, який показує, чому гравітація впливає на якийсь час. Уявіть собі ракету, що летить у космосі. Для зручності вважатимемо, що її корпус настільки великий, що світла потрібна ціла секунда, щоб пройти вздовж нього зверху до низу. І нарешті, припустимо, що в ракеті знаходяться два спостерігачі: один - нагорі, біля стелі, інший - внизу, на підлозі, і обидва вони забезпечені однаковим годинником, що веде відлік секунд.
Припустимо, що верхній спостерігач, дочекавшись відліку свого годинника, негайно посилає нижньому світловий сигнал. При наступному відліку він надсилає другий сигнал. За нашими умовами знадобиться одна секунда, щоб кожен сигнал досяг нижнього спостерігача. Оскільки верхній спостерігач посилає два світлові сигнали з інтервалом в одну секунду, то нижній спостерігач зареєструє їх з таким же інтервалом.
Що зміниться, якщо в цьому експерименті, замість вільно пливти в космосі, ракета стоятиме на Землі, зазнаючи дії гравітації? Згідно з теорією Ньютона гравітація ніяк не вплине на стан справ: якщо спостерігач нагорі передасть сигнали з проміжком на секунду, то спостерігач отримає їх внизу через той же інтервал. Але принцип еквівалентності передбачає інший розвиток подій. Яке саме ми зможемо зрозуміти, якщо відповідно до принципу еквівалентності подумки замінимо дію гравітації постійним прискоренням. Це один із прикладів того, як Ейнштейн використав принцип еквівалентності при створенні своєї нової теорії гравітації.
Тож припустимо, що наша ракета прискорюється. (Вважатимемо, що вона прискорюється повільно, так що її швидкість не наближається до швидкості світла.) Оскільки корпус ракети рухається вгору, першому сигналу знадобиться пройти меншу відстань, ніж раніше (до початку прискорення), і він прибуде до нижнього спостерігача раніше ніж через секунду. Якби ракета рухалася з постійною швидкістю, то й другий сигнал прибув би рівно так само раніше, так що інтервал між двома сигналами залишився б рівним одній секунді. Але в момент відправлення другого сигналу завдяки прискоренню ракета рухається швидше, ніж у момент відправлення першого, так що другий сигнал пройде меншу відстань, ніж перший і витратить ще менше часу. Спостерігач унизу, звірившись зі своїм годинником, зафіксує, що інтервал між сигналами менше однієї секунди, і не погодиться з верхнім спостерігачем, який стверджує, що посилав сигнали точно через секунду.
У випадку з ракетою, що прискорюється, цей ефект, ймовірно, не повинен особливо дивувати. Зрештою, ми щойно його пояснили! Але згадайте: принцип еквівалентності говорить, що те саме має місце, коли ракета лежить у гравітаційному полі. Отже, навіть якщо ракета не прискорюється, а, наприклад, стоїть на стартовому столі на поверхні Землі, сигнали, надіслані верхнім спостерігачем з інтервалом в секунду (згідно з його годинником), будуть приходити до нижнього спостерігача з меншим інтервалом (за його годинником) . Ось це справді дивно!
Гравітація змінює перебіг часу. Подібно до того, як спеціальна теорія відносності говорить нам, що час йде по-різному для спостерігачів, що рухаються один щодо одного, загальна теорія відносності оголошує, що хід часу різний для спостерігачів, що знаходяться в різних гравітаційних полях. Відповідно до загальної теорії відносності нижній спостерігач реєструє коротший інтервал між сигналами, тому що у поверхні Землі час тече повільніше, оскільки тут сильніша гравітація. Чим сильніше гравітаційне поле, тим більший цей ефект.
Наш біологічний годинник також реагує на зміни ходу часу. Якщо один із близнюків живе на вершині гори, а інший – біля моря, перший старітиме швидше за другий. У цьому випадку різниця у віках буде нікчемною, але вона значно збільшиться, якщо один з близнюків вирушить у довгу подорож на космічному кораблі, який розганяється до швидкості, близької до світлової. Коли мандрівник повернеться, він буде набагато молодшим за брата, що залишився на Землі. Цей випадок відомий як парадокс близнюків, але парадоксом він лише для тих, хто тримається за ідею абсолютного часу. Теоретично відносності немає жодного унікального абсолютного часу – кожному за індивідуума є своя власна міра часу, що залежить від цього, де він і як рухається.
З появою надточних навігаційних систем, що отримують сигнали від супутників, різниця ходу годинника на різних висотах придбала практичне значення. Якби апаратура ігнорувала передбачення загальної теорії відносності, помилка у визначенні розташування могла б досягати кількох кілометрів!
Поява загальної теорії відносності докорінно змінила ситуацію. Простір і час набули статусу динамічних сутностей. Коли переміщуються тіла чи діють сили, вони викликають викривлення простору та часу, а структура простору-часу, своєю чергою, позначається на русі тіл і дії сил. Простір і час не тільки впливають на все, що трапляється у Всесвіті, а й самі від цього залежать.
Час біля чорної дірки
Уявімо безстрашного астронавта, який залишається на поверхні зірки, що колапсує, під час катастрофічного стиску. У якийсь момент по його годиннику, скажімо об 11:00, зірка стиснеться до критичного радіусу, за яким гравітаційне поле посилюється настільки, що з нього неможливо вирватися. Тепер припустимо, що за інструкцією астронавт повинен кожну секунду своїм годинником посилати сигнал космічному кораблю, який знаходиться на орбіті на певній фіксованій відстані від центру зірки. Він починає передавати сигнали о 10:59:58, тобто за дві секунди до 11:00. Що реєструє екіпаж на борту космічного судна?
Раніше, зробивши уявний експеримент із передачею світлових сигналів усередині ракети, ми переконалися, що гравітація уповільнює час і чим вона сильніша, тим значніший ефект. Астронавт на поверхні зірки знаходиться в сильнішому гравітаційному полі, ніж його колеги на орбіті, тому одна секунда по його годиннику триватиме довше секунди по годиннику корабля. Оскільки астронавт разом з поверхнею рухається до центру зірки, поле, що діє на нього, стає все сильнішим і сильнішим, так що інтервали між його сигналами, прийнятими на борту космічного корабля, постійно подовжуються. Це розтягування часу буде дуже незначним до 10:59:59, так що для астронавтів на орбіті інтервал між сигналами, переданими о 10:59:58 та о 10:59:59, ненабагато перевищить секунду. Але сигналу, надісланого об 11:00, на кораблі вже не дочекаються.
Все, що станеться на поверхні зірки між 10:59:59 та 11:00 за годиною астронавта, розтягнеться по годинах космічного корабля на нескінченний період часу. З наближенням до 11:00 інтервали між прибуттям на орбіту послідовних гребенів і западин випущених зіркою світлових хвиль стануть дедалі довшими; те саме станеться з проміжками часу між сигналами астронавта. Оскільки частота випромінювання визначається числом гребенів (або западин), що приходять за секунду, на космічному кораблі буде реєструватися дедалі більш низька частота випромінювання зірки. Світло зірки почервонітиме і одночасно меркне. Зрештою зірка настільки потьмяніє, що стане невидимою для спостерігачів на космічному кораблі; все, що залишиться, – чорна дірка у просторі. Однак дія тяжіння зірки на космічний корабельзбережеться і він продовжить звернення по орбіті.
« Фізика – 11 клас»
На початок XX в. ніхто не сумнівався, що час є абсолютно.
Дві події, одночасні жителям Землі, одночасні жителям будь-якої космічної цивілізації.
Створення теорії відносності привело до висновку, що це не так.
Причиною неспроможності класичних уявлень про простір та час є неправильне припущення про можливість миттєвої передачі взаємодій та сигналів з однієї точки простору в іншу.
Існування граничної кінцевої швидкості передачі взаємодій викликає необхідність глибокої зміни звичних уявлень про простір і час, заснований на повсякденному досвіді.
Уявлення про абсолютний час, що тече раз і назавжди заданим темпом незалежно від матерії та її руху, виявляється неправильним.
Якщо припустити можливість миттєвого розповсюдження сигналів, то твердження, що події у двох просторово розділених точках А і B сталися одночасно, матиме абсолютний сенс.
Можна помістити в точки А і В годинник і синхронізувати їх за допомогою миттєвих сигналів.
Якщо такий сигнал відправлений з точки А, наприклад, в 0 год 45 хв і він у цей же момент часу по годинниках В прийшов у точку B, то, значить, годинник показує однаковий час, тобто йде синхронно.
Якщо ж такого збігу немає, то годинник можна синхронізувати, підвівши вперед той годинник, який показує менше часу в момент відправлення сигналу.
Будь-які події, наприклад два удари блискавки, одночасні, якщо вони відбуваються за однакових показань синхронізованих годин.
Тільки розташовуючи в точках А і В синхронізований годинник, можна судити про те, чи відбулися дві будь-які події в цих точках одночасно чи ні.
Але як можна синхронізувати годинник, що знаходиться на певній відстані один від одного, якщо швидкість поширення сигналів не нескінченно велика?
Для синхронізації годинника природно використовувати світлові або взагалі електромагнітні сигнали, так як швидкість електромагнітних хвильу вакуумі є чітко визначеною, постійною величиною.
Саме цей спосіб використовують для перевірки годинника по радіо.
Сигнали часу дозволяють синхронізувати ваш годинник з точним еталонним годинником.
Знаючи відстань від радіостанції до будинку, можна обчислити виправлення на запізнення сигналу.
Ця поправка, звісно, дуже мала. У повсякденному життівона не грає скільки помітної ролі.
Але при величезних космічних відстанях вона може виявитися дуже суттєвою.
Розглянемо докладніше простий метод синхронізації годинника, що не вимагає жодних обчислень.
Припустимо, що космонавт хоче дізнатися, чи однаково йде годинник А і В, встановлений на протилежних кінцях космічного корабля.
Для цього за допомогою джерела, нерухомого щодо корабля і розташованого в його середині, космонавт спалахує світла.
Світло одночасно досягає тих та інших годин. Якщо показання годинника в цей момент однакові, то годинник йде синхронно.
Але так буде лише у системі відліку K 1, пов'язані з кораблем.
У системі ж відліку До, щодо якої корабель рухається, становище інше.
Годинник на носі корабля віддаляється від того місця, де стався спалах світла джерела (точка з координатою ОС), і, щоб досягти годинника А, світло має подолати відстань, більшу за половину довжини корабля.
Навпаки, годинник на кормі наближаються до місця спалаху, і шлях світлового сигналу менше половини довжини корабля.
На малюнку координати хі х 1збігаються в момент спалаху.
На наведеному нижче малюнку показано положення систем відліку в момент коли світло досягає годин В. 
Тому спостерігач, який перебуває в системі До, Зробить висновок: сигнали досягають тих і інших годин не одночасно.
Дві будь-які події в точках А і В, одночасні в системі відліку До 1, неодноразові в системі До.
Але згідно з принципом відносності системи До 1і Доабсолютно рівноправні.
Жодної з цих систем відліку не можна віддати перевагу, тому ми змушені дійти висновку:
одночасність просторово розділених подій відносна.
Причиною відносності одночасності є, як бачимо, кінцівка швидкості поширення сигналів.
Саме відносності одночасності криється рішення феномена зі сферичними світловими сигналами, про якому йшлося у попередній темі.
Світло одночасно досягає точок сферичної поверхні з центром у точці Про тільки з точки зору спостерігача, що спокоюється щодо системи До.
З точки зору спостерігача, пов'язаного з системою До 1світло досягає цих точок у різні моменти часу.
Зрозуміло, справедливе і протилежне:
з погляду спостерігача у системі відліку Досвітло досягає точок поверхні сфери з центром у точці Про 1у різні моменти часу, а не одночасно, як це видається спостерігачеві в системі відліку До 1.
Висновок: ніякого феномена насправді немає.
Отже,
Одночасність подій відносна.
Уявити це наочно неможливо через те, що швидкість світла набагато більша за ті швидкості, з якими звикли рухатися ми.
Популярно про Ейнштейн та СТО
Одного ранку, добре виспавшись, Ейнштейн сів у ліжку і раптом зрозумів, що дві події, які для одного спостерігача відбуваються одночасно, можуть бути неодночасними для іншого!
Тобто у Ейнштейна одночасність подій відносна!
приклад
Женя та Володя бавляться стріляниною з пугачів і грають у гру «Хто перший?». Вистрілиш раніше за суперника - виграєш. А одночасні постріли – це нічия. Якби гравці стояли поруч, було б просто визначити послідовність чи одночасність подій, що відбуваються в одній точці. Але гравці віддалені один від одного: Женя стоїть на носі, а Володя - на кормі довжелезного пароплава, що мчить з навколосвітньою швидкістю.
Правила суддівства такі: треба, щоб світлові спалахи, надіслані від подій у моменти пострілів, прийшли в середину відстані між подіями. Разом прийшли світлові сигнали - очевидна одночасність подій, порізно - події неодноразові. Ранній сигнал – від ранньої події, пізній – від пізньої.
І це є ейнштейнівське визначення одночасності. Зверніть увагу: використовуються світлові сигнали, які абсолютно байдужі до швидкостей їх джерел.
Правила суддівства прості, однак у поєднанні з постулатами Ейнштейна це веде до несподіваного результату.
Нагадаю ще раз постулати. Перший: повна фізична рівноправність рівномірних прямолінійних рухів та спокою. Другий: незалежність швидкості світла від швидкості світлового джерела.
Задля об'єктивності призначаються двоє суддів: капітан пароплава, що стоїть на палубі точно посередині між гравцями, і бакенщик, який стоїть на березі річки (у якій точці берега поки що невідомо). По команді спалахують постріли!
Нехай до капітана обидва спалахи з різних боків доходять разом. Він оголошує: «Постріли одночасні! Нічия!»
Але бакенщик з ним не згоден і кричить: Одночасності немає! Першим був постріл на кормі! Чому ж виникла незгода у суддівській колегії?
Нехай для простоти капітан у ту саму мить, коли до нього разом прийшли обидва світлові спалахи пострілів, проїхав точно повз бакенщика. Тоді і до бакенщика ці спалахи прийшли разом і він бачив те саме, що й капітан. Але, на відміну від капітана, бакенщик не міг заявити про одночасність пострілів, бо знаходився не посередині своєї берегової відстані між пострілами. Адже поки світло спалахів йшло від гравців до суддів, пароплав встиг просунутися вперед. І якщо капітан, що знаходився посередині пароплава, лише після пострілів порівнявся з бакенщиком, значить, раніше, до зближення суддів, місце перебування бакенщика було ближче до носа пароплава, тобто до Жениного пострілу. Поки світло пострілів йшло до суддів, пароплав змістився вліво.
А оскільки до бакенщика спалах найближчого - Женіного - пострілу прийшов разом із Володіною, значить, Володиний спалах подорожував довше і вирушив у дорогу раніше (бо швидкість світла не залежить від швидкості світлового джерела - другий постулат). У середину берегової відстані між пострілами Володина спалах добрався напевно раніше за Женину. Якби там був спостерігач, він і побачив би Володиний спалах до Женіної. Ось вам і підстава для заяви бакенщика про перемогу Володі.
Отже, двоє суддів, перебуваючи в одному місці, по-різному оцінили ті самі події. Перший оголосив їх одночасними, другий – різночасними. Одночасність виявилася не абсолютною, а відносною. Вона залежить від руху спостерігачів!
Навіть, якби було навпаки – рухався бакенщик (а з ним разом і берег), а пароплав був би нерухомий, то, завдяки беззастережній відносності швидкостей та незалежності швидкості світла від швидкості світлового джерела, результат вийшов би таким самим.
Від зміни погляду системи відліку події, реєстровані у яких, не изменятся. Одночасність подій залишиться відносною.
Ще один фантастичний приклад:
Я сиджу на Землі в кріслі і буквально слухаю музику зірок – зірки-хористи співають хорал. Але співають вони, як я чую, чомусь по-різному. Сіріус запізнюється зі своєю мелодією, а Вега поспішає. Для космонавта, що летить у ракеті, навпаки, Сіріус вступає раніше, ніж треба. Чому так? Зірки далекі один від одного, рухаються щодо один одного, та ще слухачі рухаються - і виходить, що просто неможливо для всіх дотриматися головної умови будь-якого хору - одночасність ведення мелодії різними голосами. Для систем відліку, що неоднаково рухаються, то Сіріус запізнюється, то Вега.
Безглуздо говорити про одночасності віддалених подій, якщо не сказано, як рухається щодо них система відліку. «Тому, хто зумів усвідомити це, важко зрозуміти, чому з'ясування настільки простого факту зажадало багато років точних досліджень», - писав Макс Борн, видний учений і переконаний послідовник Ейнштейна.
P.S.Пам'ятаємо, що у будь-яких системах відліку причина передуватиме слідству!
Відносність одночасності подій
У механіці Ньютона одночасність двох подій абсолютна і залежить від системи відліку. Це означає, що якщо дві події відбуваються в системі Kв моменти часуtіt 1, а в системіK' відповідно в моменти часуt'іt'1, то оскількиt=t', проміжок часу між двома подіями однаковий в обох системах відліку
На відміну від класичної механіки, у спеціальній теорії відносності одночасність двох подій, що відбуваються у різних точках простору, відносна: події, одночасні в одній інерційній системі відліку, не одночасні в інших інерційних системах, що рухаються щодо першої.
Поняття одночасності просторово розділених подій щодо. З постулатів теорії відносності та існування кінцевої швидкостірозповсюдження сигналів випливає, що в різних інерційних системах відліку час протікає по-різному.
Постулати Ейнштейна
(Принцип відносності)
1й постулат . Всі закони природи однакові у всіх інерційних системах відліку (рівняння, що виражають закони природи інваріантні по відношенню до перетворення координат та часу від однієї системи відліку до іншої)
(Узагальнення механіки відносності Галілея на всю природу)
2й постулат . Світло поширюється зі швидкістю с = сonstне залежить від стану руху випромінюючого тіла.
Швидкість світла в усіх системах відліку є постійною.
За Галілеєм:
x / = x + vt; y = y/; z = z/. t = t/.
Відлік часу в обох системах з моменту, коли початку систем О та О / збігалися. Нехай у момент t = t / = 0 з збігаються почав надісланий світловий сигнал у всіх напрямках. До моменту t сигнал До досягне точок, віддалених від Про на відстані ct.
Координати радіуса-вектора у тривимірній системі координат
r 2 = x 2 + y 2 + z 2
Якщо за t = 0 запускаємо світловий сигнал зі швидкістю світла c; ct - відстань, яка пройде світло в системі k і опиниться в точках з координатами r.
Квадрат радіуса матиме вигляд
r 2 = x 2 + y 2 + z 2 = c 2 t 2; координати точок задовольняють рівняння
Аналогічно в системі k/:
(x /) 2 + (y /) 2 + (z /) 2 = c 2 (t /) 2
Рівняння мають однаковий вигляд в обох системах відліку
c 2 t 2 - x 2 + y 2 + z 2 = 0
c 2 (t /) 2 - (x /) 2 + (y /) 2 + (z /) 2 =0
якщо підставити перетворення Галілея на ці рівняння, то переконуємося, що це перетворення не сумісні з принципом сталості швидкості світла.
Рівняння Ньютона задовольняють перетворенням Галілея (інваріант)
Рівняння Максвелла не задовольняють перетворення Галілея. Ейнштейн визначив перетворення релятивістської механіки з урахуванням постулатів.
Інтервал
Подія визначається місцем (координати та час)
Якщо ввести уявне чотиривимірне простір (чотирьох-простір) з осями ct, x, y, z, то подія характеризується - світовою точкою
А лінія, що описує положення точки, - світова лінія.
x 0 2 – x 1 2 – x 2 2 – x 3 2 = 0 – чотиримірність.
світловий конус майбутнього
область абсолютно віддалених від А подій
(за межами конуса
світловий конус минулого
На рис можна відзначити конус майбутнього (вгорі) та конус минулого
Лінія, яку описує частка, називається світовою.
А-подія, що прийшла раніше В. Подія А є причиною стану В, а стан В є наслідком стану А. між цими подіями ---- причинно-наслідковий зв'язок.
Подія – наслідок – це шлях у майбутнє
Подія – причина – це шлях у минуле
Простір-час – це простір Мінковського.
Верхній конус називається конусом майбутнього, нижній – минулого.
Нехай подія – Якщо світло в момент t 1 з точки з координатами (x 1 , y 1 , z 1), а в момент t 2 частка має координати (x 2 , y 2 , z 2), то в системі між координатами та часом маємо співвідношення
c 2 (t 2 - t 1) 2 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 + (z 2 - z 1) 2
відстань(інтервал) між точками
l 2 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 + (z 2 - z 1) 2 .
за аналогією можна говорити про інтервал у 4-просторі
(s 12) 2 = c 2 (t 2 - t 1) 2 - (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 + (z 2 - z 1) 2 - 4-інтервал - чотирьох- інтервал
Квадрат інтервалу
dl 2 = dx 2 + dy 2 + dz 2 - inv (інваріант).
Інтервал у будь-якій СО є інваріантом.
Для подій випромінювання світла з точки 1 і приходу в т2 інтервал дорівнює нулю
ds 2 = c 2 d t 2 – dx 2 – dy 2 – dz 2 = c 2 d t 2 - dl 2 =0
Внаслідок с=const будь-якій системі відліку інтервал справедливий для обох К і К" систем відліку. Якщо ds = 0, то і ds" = 0. Тому між інтервалами в різних системах відліку є зв'язок
У системах k і k / інтервали пов'язані певним лінійним співвідношенням.
Або навпаки
Перемножуючи
dsds / = ds / ds; звідки
Оскільки знак інтервалу у всіх системах відліку має бути однаковим, то
Інваріантні, що й потрібно було довести.
Для всіх систем відліку – за аналогією з відстанями між точками у звичайному просторі. Це логічний наслідок постулатів Ейнштейна.
Використовуючи інваріантність інтервалу, запишемо
ds 2 = c 2 d t 2 - dl 2 = c 2 d(t /) 2 – d(l /) 2
Нехай ds 2> 0, тобто. інтерваль речовий. Знайдемо систему К" де dl / = 0. у цій системі події, розділені інтервалом ds, відбудуться в одній точці. Проміжок часу в системі К" dt / = ds/c.
Речові інтервали--часоподібні
ds 2 > 0 - часоподібний інтервал.
Якщо ds 2< 0, т.е. интервал мнимый, тогда можно найти систему К" , в которой d t / = 0, т.е. события происходят одновременно.Расстояние между точками, в которых произошли события в системе К"
dl" = is - відстань між подіями.
Уявні інтервалиназиваються просторовоподібними.
ds 2< 0 – пространственноподобный интервал.S 2 < 0
Події, що відбуваються з однією часткою, розділені лише тимчасово інтервалом.
Оскільки
V част< C
та пройдена відстань l< ct, отсюда ds 2 > 0.
Просторовоподібними інтервалами можуть бути розділені причинно не пов'язані події.
Частка рухається рівномірно зі швидкістю v щодо системи (лабораторна система). Нехай із цією часткою відбуваються 2 події розділені часом у системі До dt. Введемо систему К" , щодо якої частка спочиває. У цій системі проміжок часу між подіями, що розглядаються, буде
Де dt" - виміряний по годинниках в системі К", що рухається зі швидкістю v відносно До разом з часткою. Час щогодини, що рухається разом із тілом – це власний час –τ. Для цього часу можна записати
Оскільки ds – інваріант, а = const, то d - інваріант.
Підставляючи вираз для власного часу ds, виражений через координати і час системи До
d c 2 d t 2 - dl 2 / c 2 = (c 2 - dl 2 / d t 2) d t / c 2
Оскільки похідна шляхи за часом є швидкість
Отримаємо для квадрата часу
d = (1- V 2 /c 2)dt 2
d= dt √(1- V 2 /c 2)
Власний час частки завжди менше проміжку часу в нерухомій (лабораторній) системі. (Годинник йде повільніше в системі, що рухається)
Для нерівномірного руху проміжки часу утворюються інтегруванням.
Зв'язок часів у системах відліку можна оцінити шляхом уявного експерименту. Припустимо, що в одній із систем відліку, що рухаються, надіслано сигнал. Щодо цієї системи сигнал рухається як нерухомий. У цей час спостерігач, що у вихідної системі відліку спостерігатиме цей сигнал, що рухається зі швидкістю світла і досягає мети за час Т. По теоремі Піфагора за умови одночасності фіксації сигналу в точці призначення маємо співвідношення між часом.
c 2 T 2 = V 2 T 2 + c 2
Звідки для свого часу маємо зв'язок аналогічний розглянутому вище. У системі, що рухається, час тече повільніше.
c 2 T 2 - V 2 T 2 / c 2 = T 2 (1 - V 2 /c 2)
Якщо ж швидкість змінюється (V = var):
t 1 ∫ t 2 (1 - V 2 /c 2) 1/2 dt
Чотиривимірні вектори та тензори в псевдоевклідовому просторі
2. Багатовимірний вектор
Квадрат радіус-вектора визначається як
x 1 2 + x 2 2 + … + x n 2 = x i 2 (1)
Якщо ввести тензор виду
g ij = ik = – метричний тензор. (2)
то(1) записуємо у вигляді
для i, k = 1, n
g ik x i x k (3)
У спеціальній теорії відносності та електродинаміки рівняння набувають простого вигляду, якщо їх подати у вигляді співвідношень між векторами та тензорами у чотиривимірному просторі, метрика якого визначається тензором.
Лекція №8
псевдоевклідовим
Індекси пробігають значення μ, = 0,1,2,3
Індекси латинські ijk – латинські для векторів у звичайному з-х мірному просторі (у просторі з евклідовою метрикою)
(x o ,x 1, x 2 ,x 3) - 4-простір
Позначення
x o = ct; x1 = x; x 2 = y; x 3 = z
дія матричного оператора на вектор- в результаті вектор
- Вектор чотиривимірного простору
Вираз для результуючого вектора має вигляд
r = ct - x - y - z
алгебраїчний запис дії матричного оператора
x= 
/ = ct / - x 1 / - x 2 / - x 3 /
Будь-який вектор можна перетворити, записуючи матрицю перетворення.
Визначення квадрата радіуса-вектора в 4 просторі
- інваріант
- матриця прямого перетворення (зворотне-матриця з рисою)
- пряме перетворення (8)
- Зворотне перетворення
Використовуючи властивість інваріантності квадрата 4-радіус-вектора(інтервалу) запишемо
підставимо 
із(8)
(11)
(12)
після перетворень отримаємо умову для лінійного перетворення
(13)
Враховуючи, що на відміну від нуля тільки діагональні члени
(13) напишемо у спрощеній формі
,1,2,3 (14)
наприклад при , 1- при , при =1, =2
(15)
1,2 – наслідки з умови неінваріантності
Зв'язок між прямим та зворотним перетворенням:
; -пряме перетворення (17)
-Зворотне перетворення
де 
=1 коефіцієнт - символ Кронекера - поодинока матриця
Компоненту можна подати у вигляді
Тоді можна записати
,1,2,3 (20)
Система справедлива (задовольняється) якщо покласти
наприклад, при = рівняння(20) виглядає у вигляді
(22)
З урахуванням (21)
a 00 a 00 -∑ 1 3 a i 0 a i 0 =1 (23)
що аналогічно (15)
При =1, 2
∑ 1 3 a 1ρ a ρ 2 =0 (24)
Звідки з урахуванням (21)
A 10 a 02 +∑ 1 3 a i 1 a i 2 =0 - що схоже на (16)
Умову (21) можна записати у вигляді
При =0, 0
a" 00 = a 00 (g 00 = g 00 = 1)
При =0, i ≠0 як і при =i≠0, 0
буде виконуватися
g μμ =-g νν, тобто. -1
А при = i ≠ 0, ≠ 0
Обидва множники дорівнюють -1
g μμ =g νν = -1
(що (21))
Теоретично відносності розглядаються перетворення, коли координати x 2 =y, x 3 =z залишаються незмінними(вибір координат спеціально за рухом вздовж осі x, коли змінними залишаються час t і x)
Очевидно, що матриця перетворення має вигляд
Зворотне перетворення має вигляд, аналогічний
У системах відліку K і K" матриці відрізняються на певний параметр р (наприклад, поворот або відносна швидкість V). У межі при p->0 матриці збігаються
lim p->0 a 00 =lim p->0 a 11 =1
lim p->0 a 01 =lim p->0 a 10 =0
Записав(14) для =0, 0
a 2 00 - a 2 10 = 1 (28)
Для зворотного перетворення
a" 200 - a" 210 = 1
З урахуванням взаємозв'язку прямого та зворотного перетворення(21)
a 200 - a 201 = 1 (30)
З (28) і (30) випливає
a 2 10 = a 2 01
і витягуючи корінь
Тепер(14) при =0, 1 отримаємо
a 00 a 01 - a 10 a 11 = 0,
звідки при
2. a 00 = -a 11 якщо а 01 = a 10
a 00 = a 11
a 10 = - a 01
Враховуючи, що справедливі співвідношення
lim p -> 0 a 00 = lim p -> 0 a 11 = 1
то справедливий перший варіант. Тоді слід рахувати
a 00 = a 11 = γ 0
a 01 = a 10 = γ 1
Тоді (26) перепишемо у вигляді
Звідси випливає:
,
Оскільки
,
лише один коефіцієнт є незалежним.
Коефіцієнти зворотного перетворення пов'язані співвідношеннями(21)
a" 00 = a 00 = γ 0
a" 01 = -a 10 = γ 1
Тобто координати x змінюються; y,z – const
Тоді матриця зворотного перетворення може бути подана у вигляді
Таким чином, розглянуто основні властивості перетворень 4-вектрів, які використовуються при формуванні математичного апарату перетворень основних показників (рівнянь руху) для рухомих систем-перетворення Лоренца
Перетворення Лоренца
Інтервал інваріантний при геометричних перетвореннях 4-просторі, тобто. подібний до модуля вектора в евклідовому просторі
x o = ct; x1 = x; x 2 = y; x 3 = z
Квадрат інтервалу
ds 2 = c 2 d t 2 - dx 2 - dy 2 - dz 2 = c 2 d t 2 - dl 2
dl 2 = dx 2 + dy 2 + dz 2 – inv (інваріант в евклідовому просторі) – модуль різниці векторів точок.
x o; x 1; x 2; x 3 –координати –компоненти 4-радіусу-вектора світової точки.
простір, де події зображуються світовою точкою з такими координатами, має псевдоевклідову метрику, що визначається тензором
Простір, властивості якого визначаються тензором(4) називається псевдоевклідовим
- метрика «псевдоевклідового» простору (4)
Перетворення компонентів 4-радіус-вектора здійснюється за формулою
де матриця перетворення
,
причому 
Оскільки 
тільки один коефіцієнт є незалежним.
Розглянемо системи відліку обох К і К" систем відліку, що рухаються щодо один одного зі швидкістю v.
Перетворення нульового вектора
Для перетворених величин отримуємо
для нульової координати x" =0, x=vt:
з 
отримуємо, що
;
;
;
- Коефіцієнт перетворення Лоренца
;
;
Підстановка у формулу перетворення координат 4-вектора дає
;
; де 
Формули зворотного перетворення виходять аналогічно з урахуванням того, що перед коефіцієнтом стоїть знак плюс.
Переходячи до звичайних позначень для прямого перетворення
;
; y / = y; z / = z;
Зворотні перетворення реальних координат
;
;
Перетворення Лоренца залишають інтервал інваріантним(перевірити!!!) Скорочення розмірів та варіація обсягу
;
Всі ці перетворення здійснюються за зміни однієї координати х.
Перетворення швидкості
диференціюючи формулу прямого перетворення
;
- Перетворення швидкостей
;
Зворотні перетворення виходять аналогічно
Геометричний зміст перетворення Лоренца
Це лінійне перетворення нагадує перетворення повороту тривимірному евклідовом просторі. Це перетворення, що характеризує поворот площини xy на кут у звичайному просторі виглядає у вигляді
При такому порівнянні отримаємо, що
Очевидно не існує дійсного
кута, який задовольняв би цим співвідношенням. Однак, як легко бачити, існує чисто уявний
кут 
для якого наведені співвідношення будуть виконуватися. Справді,
Тому, як наслідок вищенаведених співвідношень, отримуємо формули
Дані співвідношення можна розв'язати, оскільки, відповідно до них,
Як бачимо, значення уявного кута 
визначається значенням відношення швидкостей 
. Введемо тепер дійсну
тимчасову координату 
, для котрої 
, або 
Тоді формули перетворення Лоренца набудуть вигляду
Це формули так званого гіперболічного повороту
Перетворення динаміки (рівняння Ньютона) для чотиривимірного простору:
; i = 1,2,3 – для евклідового простору
У разі релятивістської механіки рівняння руху записуються для вектора швидкості, отриманого після перетворень з урахуванням інваріантності
Чотиривимірне узагальнення має вигляд
де = 0,1,2,3 – релятивістська динаміка
Тут час є власним часом спостерігача. Маса-інваріантна величина, що характеризує інертні властивості частки. Аналог сили-сила Мінковського має бути визначена т.ч., щоб за малих швидкостях вона переходила у нормальне рівняння руху.
У нерелятивістській механіці dl, dt є inv тому v=dr/dt – швидкість, а прискорення a=dv/dt
Релятивістські dl і dt ≠ inv
inv є інтервал ds, пов'язаний з dl та dt. При цьому
ds 2 = c 2 dt 2 -dl 2
Основне завдання знайти 4-мірні аналоги 3-вектора -чотиривимірну швидкість частинки v і прискорення a.
Споріднене dt - власний час dτ = ds/c → inv
; -властивості 4-вектора для чотиривимірної швидкості частки
Для прискорення маємо формулу
Нульова компонента швидкості
;
Інші компоненти швидкості
Векторний запис має вигляд
При швидкостях набагато менших швидкості світла отримуємо звичайну швидкість.
закон Ньютона для нульової компоненти запишемо
Для інших компонент
, де i = 1,2,3 – сила Мінковського
Сила Мінковського пов'язана з Ньютонівською силою співвідношенням
Інакше закон руху можна записати
Для квадрата 4-вектора справедливе співвідношення
Для визначення часової компоненти сили Мінковського помножимо рівняння руху на швидкість.
Помножуючи рівняння руху на вектор швидкості
Підсумуємо
тобто вектор швидкості перпендикулярний напрямку. Тут враховано
,
Підставляємо вираз для швидкості та сили Мінковського і, розписуючи суму, отримаємо
Тоді вектор сили Мінковського буде представлено компонентами
Скалярний добуток сили на швидкість-є робота виконана часткою в одиницю часу, рівна зміні енергії частки
Інтегруючи дане рівняння, отримаємо
де const = 0;
Константу визначив Ейнштейн та експериментально підтвердив
Для нерухомого тіла справедливий вираз для енергії
E=mc 2 – рівняння Ейнштейна.
Це рівняння виражає енергію спокою частки.
Електрон, що спочиває, і позитрон випускають два γ-кванти з сумарною енергією рівною сумі енергій спокою електрона і позитрона.
Імпульс та енергія частки
Представление4- імпульсу:
;
Підставимо вираз для швидкості
;
;
Зіставимо вирази для енергії та для нульової компоненти імпульсу і можемо записати
;
Тоді компонентне представлення 4-вектора імпульсу матиме вигляд
Якщо визначити квадрат імпульсу, то
З іншого боку,
Тут квадрат 4-імпульсу, як і квадрат будь-якого вектора, є інваріантом.
Різниця між повною енергією та енергією спокою дорівнює кінетичній енергії частки
при малих 
розкладання до ряду Тейлора
Тоді наближений вираз для кінетичної енергії запишемо
Що збігається з класичною теорієюбез релятивізму
Повна енергія виражається через імпульс функцією Гамільтона
Гамільтоніан для вільної частки
H=√E 2 = E=c√(p 2 + m 2 c 2)
Для частки у зовнішньому полі гамільтоніан має вигляд
H=c√(p 2 + m 2 c 2) + U
де U – потенційна енергія частки у полі