Залежні та незалежні випадкові події. Основні формули складання та множення ймовірностей. Незалежність подій. Теорема множення ймовірностей Незалежні події у теорії ймовірності

Визначення ймовірності

Класичне визначення

Класичне " визначення " ймовірності виходить із поняття рівноможливостіяк об'єктивного властивості досліджуваних явищ. Рівноможливість є невизначеним поняттям і встановлюється із загальних міркувань симетрії явищ, що вивчаються. Наприклад, при підкиданні монетки виходять з того, що в силу передбачуваної симетрії монетки, однорідності матеріалу та випадковості (неупередженості) підкидання немає жодних підстав для переваги "решки" перед "орлом" або навпаки, тобто випадання цих сторін можна вважати рівноможливими (рівноймовірними) .

Поряд з поняттям рівноможливості в загальному випадку для класичного визначення необхідне також поняття елементарної події (виходу), що сприяє чи ні досліджуваній події A. Йдеться про результати, настання яких виключає можливість настання інших результатів. Це несумісні елементарні події. Наприклад при киданні гральної кістки випадання конкретного числа виключає випадання інших чисел.

Класичне визначення ймовірності можна сформулювати так:

Імовірністю випадкової події A називається відношення числа n несумісних рівноймовірних елементарних подій, що становлять подію A , до всіх можливих елементарних подій N :

Наприклад, нехай підкидаються дві кістки. Загальна кількість рівноможливих результатів (елементарних подій) дорівнює 36 (6 можливостей на кожній кістці). Оцінимо можливість випадання 7 очок. Отримання 7 очок можливе наступними способами: 1+6, 2+5, 3+4, 4+3, 5+2, 6+1. Тобто всього 6 рівноможливих наслідків, що сприяють події A – отриманню 7 очок. Отже, ймовірність дорівнюватиме 6/36=1/6. Для порівняння ймовірність отримання 12 очок або 2 очок дорівнює всього 1/36 – у 6 разів менше.

Геометричне визначення

Незважаючи на те, що класичне визначення є інтуїтивно зрозумілим і виведеним з практики, воно, як мінімум, не може бути безпосередньо застосоване у разі, якщо кількість рівноможливих результатів нескінченна. Яскравим прикладом нескінченного числа можливих наслідків є обмежена геометрична область G, наприклад, на площині, з площею S. Випадково "підкинута" "точка" з рівною ймовірністю може виявитися в будь-якій точці цієї області. Завдання полягає у визначенні ймовірності влучення точки в деяку підобласть g з площею s. У такому випадку узагальнюючи класичне визначення можна дійти до геометричного визначенняймовірності попадання в підобласть:

Зважаючи на рівноможливість ймовірність ця не залежить від форми області g, вона залежить тільки від її площі. Дане визначення природно можна узагальнити і простір будь-якої розмірності, де замість площі використовувати поняття " обсягу " . Більше того, саме таке визначення призводить до сучасного аксіоматичного визначення ймовірності. Поняття обсягу узагальнюється до поняття "заходи" деякої абстрактної множини, до якої пред'являються вимоги, якими володіє і "обсяг" у геометричній інтерпретації - насамперед, це невід'ємність та адитивність.

Частотне (статистичне) визначення

Класичне визначення під час розгляду складних проблем наштовхується на труднощі непереборного характеру. Зокрема, у деяких випадках виявити рівноможливі випадки може бути неможливим. Навіть у випадку з монеткою, як відомо існує явно не рівноймовірна можливість випадання "ребра", яку з теоретичних міркувань оцінити неможливо (можна тільки сказати, що воно малоймовірне і це міркування швидше практичне). Тому ще на зорі становлення теорії ймовірностей було запропоновано альтернативне "частотне" визначення ймовірності. А саме формально ймовірність можна визначити як межу частоти спостережень події A, припускаючи однорідність спостережень (тобто однаковість усіх умов спостереження) та їх незалежність один від одного:

де – кількість спостережень, а – кількість настань події.

Незважаючи на те що дане визначенняшвидше вказує на спосіб оцінки невідомої ймовірності – шляхом великої кількості однорідних та незалежних спостережень – проте у такому визначенні відображено зміст поняття ймовірності. А саме, якщо події приписується деяка ймовірність, як об'єктивний захід його можливості, то це означає, що при фіксованих умовах і багаторазовому повторенні ми повинні отримати частоту його появи, близьку до (тим більш близьку, чим більше спостережень). Власне, у цьому полягає вихідний зміст поняття ймовірності. У основі лежить об'єктивістський погляд явища природи. Нижче буде розглянуто так звані закони великих чисел, які дають теоретичну основу(в рамках сучасного аксіоматичного підходу, що викладається нижче) в тому числі для частотної оцінки ймовірності.

Аксіоматичне визначення

У сучасному математичному підході можливість задається аксіоматикою Колмогорова. Передбачається, що поставлено деяке простір елементарних подій. Підмножини цього простору інтерпретуються як випадкові події. Об'єднання (сума) деяких підмножин (подій) інтерпретується як подія, що полягає в наступі хоча б одногоіз цих подій. Перетин (твір) підмножин (подій) інтерпретується як подія, що полягає в наступі всіхцих подій. Непересічні множини інтерпретуються як несумісніподії (їх спільний наступ неможливий). Відповідно, порожня множина означає неможливеподія.

Ймовірністю ( імовірнісним заходом) називається міра(числова функція), задана на безлічі подій, що має наступні властивості:

Якщо простір елементарних подій X звичайно, то достатньо зазначеної умови адитивності для довільних двох несумісних подій, з якої слідуватиме адитивність для будь-якого кінцевогокількості несумісних подій. Проте, у разі нескінченного (лічильного чи незліченного) простору елементарних подій цієї умови виявляється недостатньо. Потрібна так звана лічильна або сигма-адитивністьтобто виконання властивості адитивності для будь-якого не більше ніж лічильногосімейства попарно несумісних подій. Це необхідно для забезпечення "безперервності" імовірнісного заходу.

Імовірнісний захід може бути визначений не для всіх підмножин множини. Передбачається, що вона визначена на деякій сигма-алгебрипідмножин . Ці підмножини називаються вимірнимипо цій ймовірнісній мірі і вони є випадковими подіями. Сукупність - тобто безліч елементарних подій, сигма-алгебра його підмножин та імовірнісний захід - називається імовірнісним простором.

Безперервні випадкові величини.Крім дискретних випадкових величин, можливі значення яких утворюють кінцеву або нескінченну послідовність чисел, що не заповнюють жодного інтервалу, часто зустрічаються випадкові величини, можливі значення яких утворюють деякий інтервал. Прикладом такої випадкової величини може бути відхилення від номіналу деякого розміру деталі при правильно налагодженому технологічному процесі. Такі випадкові величини не можуть бути задані за допомогою закону розподілу ймовірностей р(х). Однак їх можна встановити за допомогою функції розподілу ймовірностей F(х). Ця функція визначається так само, як і у випадку дискретної випадкової величини:

Таким чином, і тут функція F(х)визначена на всій числовій осі, та її значення у точці хдорівнює ймовірності того, що випадкова величинанабуде значення, менше ніж х. Формула (19) та властивості 1° та 2° справедливі для функції розподілу будь-якої випадкової величини. Доказ проводиться аналогічно випадку дискретної величини.Випадкова величина називається безперервний, якщо для неї існує невід'ємна шматково-безперервна функція*, яка задовольняє будь-яких значень

x рівностіВиходячи з геометричного сенсу інтеграла як площі, можна сказати, що ймовірність виконання нерівностей дорівнює площі криволінійної трапеції

з основою

обмеженою зверху кривою (рис. 6). F(х)Так як , а на підставі формули (22) хЗауважимо, що для безперервної випадкової величини функція розподілу F(х)безперервна в будь-якій точці безперервний 1 де функція безперервна. Це випливає з того, щоу цих точках диференційована.

На підставі формули (23), вважаючи F(х)=x

, , маємо

Через безперервність функції отримаємо, щоОтже

Таким чином,

ймовірність того, що безперервна випадкова величина може прийняти будь-яке окреме значення х дорівнює нулю

. Звідси випливає, що події, що полягають у виконанні кожної з нерівностейЯк ми знаємо, якщо подія неможлива, то ймовірність її наступу дорівнює нулю. При класичному визначенні ймовірності, коли число результатів випробування звісно, ​​має місце й протилежне пропозицію: якщо ймовірність події дорівнює нулю, то подія неможлива, оскільки у разі йому не сприяє жоден з результатів випробування. У разі безперервної випадкової величини кількість можливих її значень нескінченна. Імовірність того, що ця величина набуде будь-якого конкретного значення безперервний 1 як ми бачили, дорівнює нулю. Однак звідси не випливає, що ця подія неможлива, тому що в результаті випробування випадкова величина може, зокрема, прийняти значення безперервний 1 . Тому у разі безперервної випадкової величини має сенс говорити про ймовірність потрапляння випадкової величини в інтервал, а не про ймовірність того, що вона набуде якогось конкретного значення. Так, наприклад, при виготовленні валика нас не цікавить ймовірність того, що його діаметр дорівнюватиме номіналу. Для нас важлива ймовірність того, що діаметр валика не виходить із поля допуску.приклад.

Щільність розподілу безперервної випадкової величини задана таким чином: Графік функції представлений на рис. 7. Визначити ймовірність того, що випадкова величина набуде значення, що задовольняє нерівності. Знайти функцію розподілу заданої випадкової величини. ()

Рішення

Наступні два пункти присвячені розподілам безперервних випадкових величин, що часто зустрічаються на практиці, - рівномірному і нормальному розподілам.

* Функція називається шматково-безперервною на всій числовій осі, якщо вона на будь-якому сегменті або безперервна, або має кінцеву кількість точок розриву I роду.

** Правило диференціювання інтеграла зі змінним верхнім кордоном, виведене у разі кінцевої нижньої межі, залишається справедливим і для інтегралів з нескінченним нижнім кордоном. Справді,

Оскільки інтеграл

є постійна величина.

Залежні та незалежні події. Умовна ймовірністьМонета кинута двічі. Імовірність появи " герба " у першому випробуванні ( подія ) залежить від появи чи появи " герба " у другому випробуванні ( подія ). У свою чергу, можливість появи "герба" ​​у другому випробуванні не залежить від результату першого випробування. Таким чином, події та незалежні.

Декілька подій називаються незалежними у сукупності якщо будь-яка з них не залежить від будь-якої іншої події і від будь-якої комбінації інших.

Події називаються залежними якщо одне з них впливає на ймовірність появи іншого. Наприклад, дві виробничі установки пов'язані єдиним технологічним циклом. Тоді ймовірність виходу з експлуатації однієї з них залежить від того, в якому стані знаходиться інша. Імовірність однієї події, обчислена у припущенні здійснення іншої події, називається умовною ймовірністю події та позначається.

Умову незалежності події від події записують у вигляді, а умова її залежності - у вигляді. Розглянемо приклад обчислення умовної ймовірності події.

приклад 4.У ящику знаходяться 5 різців: два зношені і три нові. Виробляється два послідовні вилучення різців. Визначити умовну ймовірність появи зношеного різця при другому витягу за умови, що вилучений вперше різець у ящик не повертається.

Рішення. Позначимо вилучення зношеного різця у разі, а - вилучення нового. Тоді. Оскільки вилучений різець у ящик не повертається, змінюється співвідношення між кількостями зношених і нових різців. Отже, ймовірність вилучення зношеного різця у разі залежить від цього, яке подія здійснилося перед цим.

Позначимо подію, що означає вилучення зношеного різця у другому випадку. Імовірності цієї події можуть бути такими:

Отже, ймовірність події залежить від того, чи відбулася подія.

Щільність ймовірності- один із способів завдання ймовірнісної міри на евклідовому просторі. У випадку, коли імовірнісний захід є розподілом випадкової величини, говорять про щільностівипадкової величини.

Щільність ймовірності Нехай є імовірнісною мірою, тобто визначено ймовірнісний простір, де позначає борелівську σ-алгебру на. Нехай означає міру Лебега на.

Визначення 1.Імовірність називається абсолютно безперервною (щодо міри Лебега) (), якщо будь-яка борелівська множина нульової міри Лебега також має ймовірність нуль:

Якщо ймовірність абсолютно безперервна, то згідно з теоремою Радона-Нікодима існує невід'ємна борелівська функція така, що

,

де використано загальноприйняте скорочення , Інтеграл розуміється у сенсі Лебега.

Визначення 2.У більш загальному вигляді, Нехай - довільний вимірний простір, а і - два заходи на цьому просторі. Якщо знайдеться невід'ємна , що дозволяє виразити міру через міру у вигляді

то таку функцію називають щільністю міри по мірі , або похідної Радона-Нікодимазаходи щодо заходи , та позначають

Незалежні події

При практичному застосуванніІмовірнісно-статистичних методів прийняття рішень постійно використовується поняття незалежності. Наприклад, при застосуванні статистичних методів управління якістю продукції говорять про незалежні вимірювання значень контрольованих параметрів у включених у вибірку одиниць продукції, про незалежність появи дефектів одного виду від появи дефектів іншого виду тощо. Незалежність випадкових подій розуміється на імовірнісних моделях у сенсі.

Визначення 2.Події Аі Уназиваються незалежними, якщо Р(АВ) = Р(А) Р(В).Декілька подій А, У, З, ... називаються незалежними, якщо ймовірність їх спільного здійснення дорівнює добутку ймовірностей здійснення кожного з них окремо: Р(АВС…) = Р(А)Р(У)Р(З)…

Це визначення відповідає інтуїтивному уявленню про незалежність: здійснення чи нездійснення однієї події не повинно впливати на здійснення чи нездійснення іншої. Іноді співвідношення Р(АВ) = Р(А) Р(У|A) = P(B)P(A|B), справедливе за P(A)P(B) > 0, називають також теоремою множення ймовірностей.

Твердження 1.Нехай події Аі Унезалежні. Тоді події та незалежні, події та Унезалежні, події Аі незалежні (тут - подія, протилежна А, і - подія, протилежна У).

Справді, з якості в) в (3) випливає, що з подій Зі D, Твір яких порожній, P(C+ D) = P(C) + P(D). Оскільки перетин АВі Упорожньо, а об'єднання є У, то Р(АВ) + Р(В) = Р(В).Оскільки А і В незалежні, то Р(В) = Р(В) - Р(АВ) = Р(В) - Р(А)Р(В) = Р(В)(1 - Р(А)).Зауважимо тепер, що із співвідношень (1) і (2) випливає, що Р() = 1 – Р(А).Значить, Р(В) = Р()Р(В).

Висновок рівності Р(А) = Р(А)Р()відрізняється від попереднього лише заміною усюди Ана У, а Уна А.

Для доказу незалежності і скористаємося тим, що події АВ, В, А,не мають попарно загальних елементів, а сумі становлять весь простір елементарних подій. Отже, Р(АВ) + Р(В) + Р(А) + Р() = 1. Скориставшись раніше доведеними співвідношеннями, отримуємо, що Р(В)= 1 -Р(АВ) - Р(В)( 1 - Р(А)) - Р(А)( 1 - Р(В)) = ( 1 – Р(А))( 1 – Р(В)) = Р()Р(),що й потрібно було довести.

приклад 3.Розглянемо досвід, що полягає у киданні грального кубика, на гранях якого написані числа 1, 2, 3, 4, 5,6. Вважаємо, що всі грані мають однакові шанси опинитися нагорі. Побудуємо відповідний ймовірнісний простір. Покажемо, що події «нагорі – грань із парним номером» та «нагорі – грань із числом, що ділиться на 3» є незалежними.

Розбір прикладу.Простір елементарних результатів складається з 6 елементів: «нагорі – грань із 1», «нагорі – грань із 2»,…, «нагорі – грань із 6». Подія "нагорі - грань з парним номером" складається з трьох елементарних подій - коли нагорі виявляється 2, 4 або 6. Подія "нагорі - грань з числом, що ділиться на 3" складається з двох елементарних подій - коли нагорі виявляється 3 або 6. Оскільки всі грані мають однакові шанси виявитися нагорі, то всі елементарні події повинні мати однакову ймовірність. Оскільки всього є 6 елементарних подій, кожна з них має ймовірність 1/6. За визначенням 1подія «нагорі – грань з парним номером» має ймовірність ½, а подія «нагорі – грань із числом, що ділиться на 3» - ймовірність 1/3. Добуток цих подій складається з однієї елементарної події «нагорі – грань з 6», а тому має ймовірність 1/6. Оскільки 1/6 = ½ х 1/3, то події, що розглядаються, є незалежними відповідно до визначення незалежності.

Залежність подій розуміється на імовірнісномусенсі, а чи не у функціональному. Це означає, що за появою одного з залежних подійне можна однозначно судити про появу іншого. Імовірнісна залежність означає, що поява однієї із залежних подій лише змінює ймовірність появи іншого. Якщо ймовірність у своїй не змінюється, то події вважаються незалежними.

Визначення: Нехай - довільний імовірнісний простір, - деякі випадкові події Кажуть що подія Ане залежить від події У , якщо його умовна ймовірність збігається з безумовною ймовірністю:

.

Якщо , то кажуть, що подія Азалежить від події У.

Поняття незалежності симетричне, тобто якщо подія Ане залежить від події У,те і подія Уне залежить від події А. Справді, нехай . Тоді . Тому кажуть просто, що події Аі Унезалежні.

З правила множення ймовірностей випливає таке симетричне визначення незалежності подій.

Визначення: Події Аі В,визначені на тому самому імовірнісному просторі, називаються незалежними, якщо

Якщо , то події Аі Уназиваються залежними.

Зазначимо, що це визначення справедливе і у випадку, коли або .

Властивості незалежних подій.

1. Якщо події Аі Ує незалежними, то незалежними є такі пари подій: .

▲ Доведемо, наприклад, незалежність подій . Уявимо подію Ау вигляді: . Оскільки події є несумісними, то , а через незалежність подій Аі Уотримуємо, що . Звідси, що означає незалежність. ■

2. Якщо подія Ане залежить від подій В 1і В 2, які є несумісними () , та подія Ане залежить і від суми.

▲ Дійсно, використовуючи аксіому адитивності ймовірності та незалежність події Авід подій В 1і В 2, маємо:

Зв'язок між поняттями незалежності та несумісності.

Нехай Аі У- будь-які події, що мають ненульову ймовірність: так що . Якщо при цьому події Аі Ує несумісними (), те й тому рівність неспроможна мати місце ніколи. Таким чином, несумісні події є залежними.

Коли розглядають більше двох подій одночасно, то їхня попарна незалежність недостатньо характеризує зв'язок між подіями всієї групи. І тут вводиться поняття незалежності разом.

Визначення: Події , визначені на тому самому імовірнісному просторі , називаються незалежними у сукупності, якщо для будь-кого 2 £ m £ nта будь-якої комбінації індексів справедлива рівність:

При m = 2із незалежності в сукупності випливає попарна незалежність подій. Назад неправильно.

приклад. (Бернштейн С.М.)

Випадковий експеримент полягає у підкиданні правильного чотиригранника (тетраедра). Спостерігається грань, що випала донизу. Грані тетраедра пофарбовані в такий спосіб: 1 грань - біла, 2 грань - чорна,
3 грань – червона, 4 грань – містить усі кольори.

Розглянемо події:

А= (Випадання білого кольору); B= (Випадання чорного кольору);

C= (Випадання червоного кольору).

Тоді ;

Отже, події А, Уі Зє попарно незалежними.

Однак, .

Тому події А, Уі Знезалежними у сукупності є.

На практиці, як правило, незалежність подій не встановлюють, перевіряючи її за визначенням, а навпаки: вважають події незалежними з будь-яких зовнішніх міркувань чи з урахуванням обставин випадкового експерименту, та використовують незалежність для знаходження ймовірностей твору подій.

Теорема (множення ймовірностей для незалежних подій).

Якщо події, визначені на тому самому імовірнісному просторі, є незалежними в сукупності, то ймовірність їх твору дорівнює твору ймовірностей:

▲ Доказ теореми випливає із визначення незалежності подій у сукупності або із загальної теореми множення ймовірностей з урахуванням того, що при цьому

Приклад 1 (типовий приклад перебування умовних ймовірностей, поняття незалежності, теорему складання ймовірностей).

Електрична схема складається із трьох незалежно працюючих елементів. Імовірності відмов кожного з елементів відповідно дорівнюють.

1) Знайти можливість відмови схеми.

2) Відомо, що схема відмовила.

Яка ймовірність того, що при цьому відмовив:

а) 1-й елемент; б) третій елемент?

Рішення.Розглянемо події = (Відмовив k-й елемент), та подія А= (Відмовила схема). Тоді подія Апредставляється у вигляді:

.

1) Оскільки події і несумісними не є, то аксіома адитивності ймовірності Р3) не застосовна і для знаходження ймовірності слід використовувати загальну теорему складання ймовірностей, відповідно до якої

Навряд чи багато людей замислюються, чи можна прорахувати події, які тією чи іншою мірою випадкові. Висловлюючись простими словамиЧи реально дізнатися, яка сторона кубика випаде наступного разу. Саме цим питанням задалися два великих вчених, які започаткували таку науку, як теорія ймовірності, ймовірність події в якій вивчається досить широко.

Зародження

Якщо спробувати дати визначення такому поняттю, як теорія ймовірності, то вийде таке: це з розділів математики, який займається вивченням сталості випадкових подій. Ясна річ, це поняття до ладу не розкриває всю суть, тому необхідно розглянути її детальніше.

Хотілося б розпочати із творців теорії. Як було вище згадано, їх було двоє, і саме вони одні з перших спробували з використанням формул і математичних обчислень прорахувати результат тієї чи іншої події. Загалом же зачатки цієї науки виявлялися ще в середньовіччі. На той час різні мислителі та вчені намагалися проаналізувати азартні ігри, такі як рулетка, кістки тощо, тим самим встановити закономірність та відсоткове співвідношення випадання того чи іншого числа. Фундамент був закладений у сімнадцятому столітті саме вищезгаданими вченими.

Спочатку їх праці не можна було віднести до великих досягнень у цій галузі, адже все, що вони зробили, це були емпіричні факти, а досліди ставилися наочно, без використання формул. Згодом вдалося досягти великих результатів, які з'явилися внаслідок спостереження за киданням кісток. Саме цей інструмент допоміг вивести перші виразні формули.

Однодумці

Не можна не згадати про таку людину, як Християн Гюйгенс, у процесі вивчення теми, що зветься "теорія ймовірності" (ймовірність події висвітлюється саме в цій науці). Ця особа дуже цікава. Він, як і представлені вище вчені, намагався як математичних формул вивести закономірність випадкових подій. Примітно, що робив він це разом із Паскалем і Ферма, тобто всі його праці не перетиналися з цими умами. Гюйгенс вивів

Цікавим є той факт, що його робота вийшла задовго до результатів праць першовідкривачів, а точніше, на двадцять років раніше. Серед позначених понять найвідомішою стали:

• поняття ймовірності як величини шансу;
• математичне очікування для дискретних випадків;
• теореми множення та складання ймовірностей.

Також не можна не згадати який теж зробив вагомий внесок у вивченні проблеми. Проводячи свої ні від кого не залежать випробування, він зумів надати доказ закону великих чисел. У свою чергу вчені Пуассон і Лаплас, які працювали на початку дев'ятнадцятого століття, змогли довести початкові теореми. Саме з цього моменту для аналізу помилок під час спостережень почали використовувати теорію ймовірностей. Стороною обійти цю науку не змогли і російські вчені, а точніше Марков, Чебишев та Дяпунов. Вони, виходячи з виконаної роботи великих геніїв, закріпили цей предмет як розділ математики. Працювали ці діячі вже наприкінці дев'ятнадцятого століття, і завдяки їхньому внеску були доведені такі явища, як:

• закон великих чисел;
• теорія ланцюгів Маркова;
• центральна гранична теорема.

Отже, з історією зародження науки і з основними персонами, що вплинули на неї, все більш-менш зрозуміло. Зараз настав час конкретизувати всі факти.

Основні поняття

Перед тим як торкатися законів та теорем, варто вивчити основні поняття теорії ймовірностей. Подія у ній займає чільну роль. Ця тема досить об'ємна, але без неї не вдасться розібратися в усьому іншому.

Подія теоретично ймовірності - це будь-яка сукупність результатів проведеного досвіду. Понять цього явища існує так мало. Так, учений Лотман, який працює в цій галузі, висловився, що в цьому випадку йдеться про те, що «відбулося, хоча могло й не статися».

Випадкові події (теорія ймовірності приділяє їм особливу увагу) - це поняття, яке передбачає абсолютно будь-яке явище, що може статися. Або ж, навпаки, цей сценарій може не статися при виконанні багатьох умов. Також варто знати, що захоплюють весь обсяг явищ, що відбулися, саме випадкові події. Теорія ймовірності свідчить про те, що це умови можуть повторюватися постійно. Саме їх проведення отримало назву "досвід" або "випробування".

Достовірна подія - це те явище, яке в цьому випробуванні повністю відбудеться. Відповідно, неможлива подія – це та, яка не станеться.

Поєднання пари дій (умовно випадок A та випадок B) є явище, яке відбувається одночасно. Вони позначаються як AB.

Сума пар подій А і В - це С, тобто, якщо хоча б одне з них відбудеться (А або В), то вийде С. Формула описуваного явища записується так: С = А + В.

Несумісні події теорії ймовірності мають на увазі, що два випадки взаємно виключають один одного. Одночасно вони в жодному разі не можуть статися. Спільні події теорії ймовірності - це їх антипод. Тут мається на увазі, що й сталося А, воно ніяк не перешкоджає У.

Протилежні події (теорія ймовірності розглядає їх дуже докладно) прості розуміння. Найкраще розібратися з ними порівняно. Вони майже такі самі, як і несумісні події теорії ймовірності. Але їхня відмінність полягає в тому, що одне з безлічі явищ у будь-якому випадку має відбутися.

Рівноможливі події - це дії, можливість повторення яких дорівнює. Щоб було зрозуміліше, можна уявити кидання монети: випадання однієї з її сторін рівноймовірне випадання іншої.

Сприятливу подію легше розглянути з прикладу. Припустимо, є епізод і епізод А. Перше - це кидок грального кубика з появою непарного числа, а друге - поява числа п'ять на кубику. Тоді виходить, що А сприяє В.

Незалежні події в теорії ймовірності проектуються лише на два і більше випадків і мають на увазі незалежність будь-якої дії від іншого. Наприклад, А – випадання решки при киданні монети, а В – діставання валета з колоди. Вони і є незалежними подіями в теорії ймовірності. Із цим моментом стало зрозуміліше.

Залежні події теорії ймовірності також припустимі лише їх безлічі. Вони мають на увазі залежність одного від іншого, тобто явище може статися тільки в тому випадку, якщо А вже сталося або ж, навпаки, не сталося, коли це - головна умова для Ст.

Результат випадкового експерименту, що з одного компонента, - це елементарні події. Теорія ймовірності пояснює, що це таке явище, яке відбулося лише один раз.

Основні формули

Отже, вище було розглянуто поняття " подія " , " теорія ймовірності " , визначення основним термінам цієї науки також було дано. Зараз настав час ознайомитися безпосередньо з важливими формулами. Ці висловлювання математично підтверджують все основні поняття у такому складному предметі, як теорія ймовірності. Імовірність події тут грає величезну роль.

Почати краще з основних І перед тим, як приступити до них, варто розглянути, що це таке.

Комбінаторика - це насамперед розділ математики, займається вивченням величезної кількості цілих чисел, і навіть різних перестановок як самих чисел, і їх елементів, різних даних, і т. п., які ведуть появу низки комбінацій. Окрім теорії ймовірності, ця галузь важлива для статистики, комп'ютерної науки та криптографії.

Отже, тепер можна переходити до подання самих формул та їх визначення.

Першою буде вираз для числа перестановок, виглядає воно так:

P_n = n ⋅ (n - 1) ⋅ (n - 2)…3 ⋅ 2 ⋅ 1 = n!

Застосовується рівняння лише тому випадку, якщо елементи відрізняються лише порядком розташування.

Тепер буде розглянуто формулу розміщення, виглядає вона так:

A_n^m = n ⋅ (n - 1) ⋅ (n-2) ⋅ ... ⋅ (n - m + 1) = n! : (n - m)!

Це вираз застосовно вже не тільки до порядку розміщення елемента, але і до його складу.

Третє рівняння з комбінаторики, і воно останнє, називається формулою для числа поєднань:

C_n^m = n! : ((n - m))! : m!

Поєднанням називаються вибірки, які не впорядковані відповідно до них і застосовується дане правило.

З формулами комбінаторики вдалося розібратися легко, тепер можна перейти до класичного визначення ймовірностей. Виглядає цей вираз наступним чином:

У цій формулі m - це кількість умов, що сприяють події A, а n - число всіх рівноможливих і простих результатів.

Існує велика кількість висловів, у статті не будуть розглянуті всі, але будуть порушені найважливіші з них такі, як, наприклад, ймовірність суми подій:

P(A + B) = P(A) + P(B) - ця теорема для складання лише несумісних подій;

P(A + B) = P(A) + P(B) - P(AB) - а це для складання тільки сумісних.

Імовірність твору подій:

P(A ⋅ B) = P(A) ⋅ P(B) – ця теорема для незалежних подій;

(P(A ⋅ B) = P(A) ⋅ P(B∣A); P(A ⋅ B) = P(A) ⋅ P(A∣B)) - а ця для залежних.

Закінчить перелік формула подій. Теорія ймовірностей розповідає нам про теорему Баєса, яка виглядає так:

P(H_m∣A) = (P(H_m)P(A∣H_m)) : (∑_(k=1)^n P(H_k)P(A∣H_k)),m = 1,..., n

У цій формулі H 1 , H 2 ..., H n - це повна група гіпотез.

Приклади

Якщо ретельно вивчити будь-який розділ математики, він не обходиться без вправ і зразків рішень. Так і теорія ймовірності: події, приклади тут є невід'ємним компонентом, що підтверджує наукові викладення.

Формула для числа перестановок

Припустимо, у картковій колоді є тридцять карток, починаючи з номіналу один. Далі питання. Скільки є способів скласти колоду так, щоб карти з номіналом один і два не були розташовані поряд?

Завдання поставлене, тепер давайте перейдемо до його вирішення. Для початку потрібно визначити число перестановок із тридцяти елементів, для цього беремо подану вище формулу, виходить P_30 = 30!.

Виходячи з цього правила, ми дізнаємося, скільки є варіантів скласти колоду по-різному, але нам необхідно відняти з них ті, в яких перша та друга карта будуть поруч. Для цього почнемо з варіанта коли перша знаходиться над другою. Виходить, що перша карта може зайняти двадцять дев'ять місць - з першого по двадцять дев'яте, а друга карта з другого по тридцяте, виходить лише двадцять дев'ять місць для пари карт. У свою чергу решта може приймати двадцять вісім місць, причому в довільному порядку. Тобто для перестановки двадцяти восьми карток є двадцять вісім варіантів P_28 = 28!

У результаті виходить, що якщо розглядати рішення, коли перша карта знаходиться над другою, зайвих можливостей вийде 29⋅28! = 29!

Використовуючи той самий метод, потрібно обчислити кількість надлишкових варіантів у тому випадку, коли перша карта перебуває під другий. Виходить також 29 ⋅ 28! = 29!

З цього випливає, що зайвих варіантів 2 ⋅ 29!, тоді як необхідних способів збирання колоди 30! - 2 ⋅ 29!. Залишається тільки порахувати.

30! = 29! ⋅ 30; 30!- 2 ⋅ 29! = 29! ⋅ (30 - 2) = 29! ⋅ 28

Тепер потрібно перемножувати між собою всі числа від одного до двадцяти дев'яти, після чого наприкінці помножити всі на 28. Відповідь виходить 2,4757335 ⋅〖10〗^32

Рішення прикладу. Формула для розміщення

У цій задачі необхідно з'ясувати, скільки є способів, щоб поставити п'ятнадцять томів на одній полиці, але за умови, що всього томів тридцять.

У цьому завдання рішення трохи простіше, ніж у попередній. Використовуючи вже відому формулу, необхідно обчислити сумарну кількість розташувань із тридцяти томів по п'ятнадцять.

A_30^15 = 30 ⋅ 29 ⋅ 28⋅... ⋅ (30 - 15 + 1) = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ... ⋅ 16 = 202 843 204 931 720 36

Відповідь, відповідно, дорівнюватиме 202 843 204 931 727 360 000.

Тепер візьмемо завдання трохи важче. Необхідно дізнатися, скільки є способів розставити тридцять книг на двох книжкових полицях, за умови, що на одній полиці можуть бути лише п'ятнадцять томів.

Перед початком рішення хотілося б уточнити, що деякі завдання вирішуються кількома шляхами, так і в цьому є два способи, але в обох застосовано одну й ту саму формулу.

У цьому завдання можна взяти відповідь із попередньої, адже там ми вирахували, скільки разів можна заповнити полицю на п'ятнадцять книг по-різному. Вийшло A_30^15 = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ... ⋅ (30 - 15 + 1) = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ...⋅ 16.

Другу ж полицю розрахуємо за формулою перестановки, адже до неї міститься п'ятнадцять книг, тоді як всього залишається п'ятнадцять. Використовуємо формулу P_15 = 15!

Виходить, що в сумі буде A_30^15 ⋅ P_15 способів, але, крім цього, добуток усіх чисел від тридцяти до шістнадцяти треба буде помножити на добуток чисел від одного до п'ятнадцяти, в результаті вийде добуток всіх чисел від одного до тридцяти, тобто відповідь дорівнює 30!

Але це завдання можна вирішити і по-іншому – простіше. Для цього можна припустити, що є одна полиця на тридцять книг. Всі вони розставлені на цій площині, але так як умова вимагає, щоб полиць було дві, то ми одну довгу пиляємо навпіл, виходить дві по п'ятнадцять. З цього виходить що варіантів розміщення може бути P_30 = 30!.

Рішення прикладу. Формула для числа поєднань

Наразі буде розглянуто варіант третього завдання з комбінаторики. Потрібно дізнатися, скільки способів є, щоб розставити п'ятнадцять книг за умови, що вибирати потрібно з тридцяти абсолютно однакових.

Для вирішення буде, звичайно ж, застосовано формулу для числа поєднань. З умови стає зрозумілим, що порядок однакових п'ятнадцяти книг не є важливим. Тому спочатку потрібно з'ясувати загальне числопоєднань із тридцяти книг по п'ятнадцять.

C_30^15 = 30! : ((30-15)) ! : 15 ! = 155 117 520

От і все. Використовуючи цю формулу, у найкоротший час вдалося вирішити таке завдання, відповідь, відповідно, дорівнює 155117520.

Рішення прикладу. Класичне визначення ймовірності

За допомогою формули, зазначеної вище, можна знайти відповідь у нескладному завданні. Але це допоможе наочно побачити та простежити хід дій.

У задачі дано, що в урні є десять абсолютно однакових кульок. З них чотири жовті та шість синіх. З урни береться одна кулька. Необхідно дізнатися ймовірність діставання синього.

Для вирішення завдання необхідно позначити діставання синьої кульки подією А. Цей досвід може мати десять результатів, які, своєю чергою, елементарні та рівноможливі. У той же час з десяти шість є сприятливими для події А. Вирішуємо за формулою:

P(A) = 6: 10 = 0,6

Застосувавши цю формулу, ми дізналися, що можливість діставання синьої кульки дорівнює 0,6.

Рішення прикладу. Ймовірність суми подій

Наразі буде представлений варіант, який вирішується з використанням формули ймовірності суми подій. Отже, в умові дано, що є дві скриньки, в першій знаходиться одна сіра і п'ять білих кульок, а в другій - вісім сірих і чотири білі кулі. У результаті з першого та другого короба взяли по одному з них. Необхідно дізнатися, який шанс того, що кульки, що дістаються, будуть сірого і білого кольору.

Щоб вирішити це завдання, необхідно позначити події.

• Отже, А - взяли сіру кульку з першого ящика: P(A) = 1/6.
• А' - взяли білу кульку також з першої скриньки: P(A") = 5/6.
• В - витягли сіру кульку вже з другого короба: P(B) = 2/3.
• В' - взяли сіру кульку з другого ящика: P(B") = 1/3.

За умовою завдання необхідно, щоб трапилося одне з явищ: АВ або А'В. Використовуючи формулу, отримуємо: P(AB") = 1/18, P(A"B) = 10/18.

Наразі була використана формула з множення ймовірності. Далі, щоб дізнатися відповідь, необхідно застосувати рівняння їхнього складання:

P = P(AB"+A"B) = P(AB") + P(A"B) = 11/18.

Ось так, використовуючи формулу, можна вирішувати такі завдання.

Підсумок

У статті було представлено інформацію на тему " Теорія ймовірності " , ймовірність події у якій грає найважливішу роль. Звичайно ж, не все було враховано, але виходячи з представленого тексту, можна теоретично ознайомитися з даним розділом математики. Розглянута наука може стати в нагоді не тільки у професійній справі, а й у повсякденному житті. З її допомогою можна прорахувати будь-яку можливість будь-якої події.

У тексті торкнулися також знаменні дати історія становлення теорії ймовірності як науки, і прізвища людей, чиї праці було у неї вкладено. Отак людська цікавість призвела до того, що люди навчилися прораховувати навіть випадкові події. Колись вони просто зацікавилися цим, а сьогодні про це вже знають усі. І ніхто не скаже, що чекає нас у майбутньому, які ще геніальні відкриття, пов'язані з аналізованою теорією, будуть здійснені. Але одне можна сказати точно – дослідження на місці не стоять!

Визначення 1. Подія А називається залежною від події В, якщо ймовірність появи події А залежить від того, чи відбулася подія В. Імовірність того, що сталася подія А за умови, що сталася подія В, будемо позначати і називати умовною ймовірністю події А за умови Ст.

Приклад 1. У урні знаходиться 3 білі кулі та 2 чорні. З урни виймається одна куля (перше виймання), а потім друга (друге виймання). Подія - поява білої кулі при першому вийманні. Подія А - поява білої кулі при другому вийманні.

Очевидно, що ймовірність події А, якщо подія відбулася, буде

Імовірність події Л за умови, що подія В не відбулася (за першого виймання з'явилася чорна куля), буде

Бачимо, що

Теорема 1. Імовірність поєднання двох подій дорівнює добутку ймовірності одного з них на умовну вірогідність другого, обчислену за умови, що перша подія сталася, тобто.

Доведення. Доказ наведемо для подій, які зводяться до схеми урн (т. е. у разі, коли застосовується класичне визначення ймовірності).

Нехай у урні куль, причому білих, чорних. Нехай серед білих куль куль із позначкою «зірочка», інші чисто білі (рис. 408).

З урни виймається одна куля. Якою є ймовірність події вийняти білу кулю з позначкою «зірочка»?

Нехай В - подія, що складається в появі (білої кулі, А - подія, що полягає в появі кулі з позначкою «зірочка». Очевидно,

Імовірність появи білої кулі з «зірочкою за умови, що з'явилася біла куля, буде

Імовірність появи білої кулі зі «зірочкою» є Р (А та В). Очевидно,

Підставляючи в (5) ліві частини виразів (2), (3) та (4), отримуємо

Рівність (1) підтверджено.

Якщо події, що розглядаються, не укладаються в класичну - схему, то формула (1) служить для визначення умовної ймовірності. А саме, умовна ймовірність події А за умови здійснення події В визначається за допомогою

Зауваження 1. Застосуємо останню формулу до виразу:

У рівностях (1) і (6) ліві частини рівні, оскільки це та сама ймовірність, отже, рівні й праві. Тому можемо написати рівність

Приклад 2. Для випадку прикладу 1, наведеного на початку цього параграфа, маємо За формулою (1) отримуємо ймовірність Р(А та В) легко обчислюється і безпосередньо.

Приклад 3. Можливість виготовлення придатного виробу даним верстатом дорівнює 0,9. Імовірність появи виробу 1-го ґатунку серед придатних виробів є 0,8. Визначити можливість виготовлення виробу 1-го сорту даним верстатом.

Рішення. Подія В – виготовлення придатного виробу даним верстатом, подія А – поява виробу 1-го ґатунку. Тут Підставляючи у формулу (1), отримуємо ймовірність

Теорема 2. Якщо подія А може здійснитися тільки при виконанні однієї з подій, що утворюють повну групу несумісних подій, то ймовірність події А обчислюється за формулою

Формулд (8) називається формулою повної ймовірності. Доведення. А може статися при виконанні будь-якої з поєднаних подій

Отже, за теоремою про складання ймовірностей отримуємо

Замінюючи доданки правої частини за формулою (1), отримаємо рівність (8).

Приклад 4. За метою зроблено три послідовні постріли. Імовірність влучення при першому пострілі при другому при третьому При одному попаданні ймовірність ураження мети при двох попаданнях, при трьох попаданнях Визначити ймовірність пфаженйя цілі при трьох пострілах (подія А).

Рішення. Розглянемо повну групу несумісних подій:

Було одне влучення;