Що таке визначення алгебри. Основна властивість дробу алгебри: формулювання, доказ, приклади застосування. Формулювання та обґрунтування

На цьому уроці розглядається поняття дробу алгебри. З дробами людина зустрічається у найпростіших життєвих ситуаціях: коли необхідно розділити об'єкт на кілька частин, наприклад, розрізати торт порівну на десять осіб. Очевидно, що кожному дістанеться почасти торта. У зазначеному випадку ми стикаємося з поняттям числового дробу, проте можлива ситуація, коли об'єкт поділяється на невідому частину, наприклад, на x. У разі виникає поняття дробового висловлювання. З цілими виразами (що не містять розподіл на вирази зі змінними) та їх властивостями ви вже познайомилися у 7 класі. Далі ми розглянемо поняття раціонального дробу, і навіть допустимих значень змінних.

Раціональні виразиподіляються на цілі та дробові вирази.

Визначення.Раціональний дріб - дробовий виразвиду, де - багаточлени. - чисельник знаменник.

Прикладираціональних виразів:- Дробові вирази; - Цілі вирази. У першому вираженні, наприклад, у ролі чисельника виступає , а знаменника - .

Значення алгебраїчного дробу, як і будь-якого алгебраїчного виразузалежить від чисельного значення тих змінних, які до нього входять. Зокрема, у першому прикладі значення дробу залежить від значень змінних і , а у другому тільки від значення змінної .

Розглянемо перше типове завдання: обчислення значення раціонального дробупри різних значенняхщо входять до неї змінних.

приклад 1.Обчислити значення дробу при а), б), в)

Рішення.Підставимо значення змінних у зазначений дріб: а), б), в) - не існує (бо на нуль ділити не можна).

Відповідь:а) 3; б) 1; в) немає.

Як бачимо, виникає два типові завдання для будь-якого дробу: 1) обчислення дробу; 2) знаходження допустимих та неприпустимих значеньлітерних змінних.

Визначення.Допустимі значення змінних- значення змінних, у яких вираз має сенс. Безліч всіх допустимих значень змінних називається ОДЗабо область визначення.

Значення літерних змінних може бути неприпустимим, якщо знаменник дробу за цих значеннях дорівнює нулю. У решті випадків значення змінних є допустимими, тому що дріб можна обчислити.

приклад 2.

Рішення.Щоб цей вислів мав сенс, необхідно і достатньо, щоб знаменник дробу не дорівнював нулю. Таким чином, недопустимими будуть ті значення змінної, у яких знаменник дорівнюватиме нулю. Знаменник дробу , тому розв'яжемо лінійне рівняння:

Отже, при значенні змінної дріб немає сенсу.

Відповідь: -5.

З рішення прикладу випливає правило знаходження неприпустимих значень змінних - знаменник дробу дорівнює нулю і є коріння відповідного рівняння.

Розглянемо кілька аналогічних прикладів.

приклад 3.Встановити, при яких значеннях змінної немає сенсу дріб .

Рішення..

Відповідь..

приклад 4.Встановити, за яких значеннях змінної немає сенсу дріб .

Рішення..

Зустрічаються й інші формулювання цієї задачі - знайти область визначенняабо область допустимих значень виразу (ОДЗ). Це означає знайти всі допустимі значення змінних. У нашому прикладі - це значення, крім . Область визначення зручно зображати на числовій осі.

Для цього на ній виколемо крапку, як це вказано на малюнку:

Мал. 1

Таким чином, областю визначення дробубудуть усі числа, крім 3.

Відповідь..

Приклад 5.Встановити, за яких значеннях змінної немає сенсу дріб .

Рішення..

Зобразимо отримане рішення на числовій осі:

Мал. 2

Відповідь..

Приклад 6.

Рішення.. Ми здобули рівність двох змінних, наведемо числові приклади: або і т.д.

Зобразимо це рішення на графіку в системі декартової координат:

Мал. 3. Графік функції

Координати будь-якої точки, що лежить на даному графіку, не входять до області допустимих значень дробу.

Відповідь..

У розглянутих прикладах ми стикалися із ситуацією, коли виникало поділ на нуль. Тепер розглянемо випадок, коли виникає цікавіша ситуація з розподілом типу .

Приклад 7.Встановити, за яких значеннях змінних немає сенсу дріб .

Рішення..

Виходить, що дріб немає сенсу при . Але можна заперечити, що це не так, бо: .

Може здатися, що й кінцеве вираз дорівнює 8 при , те й вихідне теж можна обчислити, отже, має сенс при . Однак, якщо підставити у вихідний вираз, то отримаємо – не має сенсу.

Відповідь..

Щоб докладніше розібратися з цим прикладом, розв'яжемо наступне завдання: за яких значень зазначений дріб дорівнює нулю?

§ 1 Поняття алгебраїчного дробу

Алгебраїчним дробом називають вираз

де Р і Q - багаточлени; Р — чисельник дробу алгебри, Q — знаменник дробу алгебри.

Ось приклади алгебраїчних дробів:

Будь-який багаточлен - це окремий випадок алгебраїчного дробу, тому що будь-який багаточлен можна записати у вигляді

Наприклад:

Значення дробу алгебри залежить від значення змінних.

Наприклад, обчислимо значення дробу

1)

2)

У першому випадку отримуємо:

Зауважимо, цей дріб можна скоротити:

Таким чином, обчислення значення дробу алгебри спрощується. Скористайтеся цим.

У другому випадку отримаємо:

Як видно, зі зміною значень змінних змінилося значення дробу алгебри.

§ 2 Допустимі значення змінних алгебраїчного дробу

Розглянемо алгебраїчну дріб

Значення x = -1 є неприпустимим даної дробу, т.к. знаменник дробу при такому значенні х обертається на нуль. У цьому значенні змінної алгебраїчна дріб немає сенсу.

Таким чином, допустимими значеннями змінних алгебраїчного дробу є такі значення змінних, при яких знаменник дробу не перетворюється на нуль.

Вирішимо кілька прикладів.

При яких значеннях змінної немає сенсу алгебраїчна дріб:

Для знаходження неприпустимих значень змінних знаменник дробу дорівнює нулю, і є коріння відповідного рівняння.

При яких значеннях змінної дорівнює нулю алгебраїчний дріб:

Дроб дорівнює нулю, якщо чисельник дорівнює нулю. Прирівняємо до нуля чисельник нашого дробу і знайдемо коріння рівняння, що вийшло:

Таким чином, при x = 0 і x = 3 цей алгебраїчний дріб не має сенсу, а значить, ми повинні виключити ці значення змінної з відповіді.

Отже, на цьому уроці Ви вивчили основні поняття дробу алгебри: чисельник і знаменник дробу, а також допустимі значення змінних алгебраїчної дробу.

Список використаної литературы:

1. Мордковіч А.Г. "Алгебра" 8 клас. У 2 ч. Ч.1 Підручник для загального освітніх установ/ А.Г. Мордкович. - 9-е вид., Перероб. - М.: Мнемозіна, 2007. - 215 с.: Іл.
2. Мордковіч А.Г. "Алгебра" 8 клас. О 2 год. Ч.2 Задачник для загальноосвітніх установ/ А.Г. Мордкович, Т.М. Мішустіна, Є.Є. Тульчинська. - 8-е вид., - М.: Мнемозіна, 2006 - 239с.
3. Алгебра. 8 клас. Контрольні роботидля учнів навчальних закладів Л.А. Александрова за ред. А.Г. Мордковича 2-ге вид., стер. – М.: Мнемозіна 2009. – 40с.
4. Алгебра. 8 клас. Самостійні роботидля учнів закладів освіти: до підручника А.Г. Мордковіча, Л.А. Александрова за ред. А.Г. Мордковіча. 9-е вид., Стер. – К.: Мнемозина 2013. – 112с.

Але на той час ми його сформулювали у «спрощеній» формі, зручній та достатній для роботи зі звичайними дробами. У цій статті ми поглянемо на основну властивість дробу стосовно алгебраїчним дробам(тобто до дробів, чисельником і знаменником яких є багаточлени, в деяких підручниках алгебри такі дроби називають не алгебраїчними, а раціональними дробами). Спочатку сформулюємо основна властивість алгебраїчного дробу, обгрунтуємо його, а після цього перерахуємо основні сфери його застосування.

Навігація на сторінці.

Формулювання та обґрунтування

Спочатку нагадаємо, як було сформульовано основну властивість дробу для звичайних дробів: якщо одночасно чисельник і знаменник звичайного дробупомножити або розділити на деяке натуральне число, значення дробу не зміниться. Цьому твердженню відповідають рівності і (які справедливі і з переставленими частинами як і ), де a , b і m – деякі .

Фактично поділ чисельника і знаменника на число можна не говорити - цей випадок покривається рівністю виду. Наприклад, рівність можна обґрунтувати через поділ з використанням рівності як , але його ж можна обґрунтувати і на підставі рівності як . Тому далі ми асоціюватимемо основну властивість дробу з рівністю (і ), і не будемо зупинятися на рівністі (і ).

Тепер покажемо, що основна властивість дробу поширюється на дроби, чисельником і знаменником яких є . Для цього доведемо, що записана рівність справедлива не тільки для натуральних чисел, але і для будь-яких дійсних чисел. Іншими словами, доведемо, що рівність справедлива для будь-яких дійсних чисел a, b і m, причому b і m – відмінні від нуля (інакше ми зіткнемося з розподілом на нуль).

Нехай дріб a/b є записом числа z , тобто . Доведемо, що дріб також відповідає числу z , тобто доведемо, що . Це доводитиме рівність.

Варто відзначити, що якщо алгебраїчна дріб має дробові коефіцієнти, то множення її чисельника та знаменника не деяке число дозволяє перейти до цілих коефіцієнтів, і тим самим спростити її вигляд. Наприклад, . А на множенні чисельника та знаменника на мінус одиницю засновані правила зміни знаків у членів алгебраїчного дробу.

Друга найважливіша сфера застосування основної властивості дробу – це скорочення алгебраїчних дробів. Скорочення в загальному випадку проводиться в два етапи: спочатку чисельник і знаменник розкладаються на множники, що дозволяє знайти загальний множник m, а далі на основі рівності здійснюється перехід до дробу виду a/b без цього спільного множника. Наприклад, алгебраїчний дріб після розкладання чисельника та знаменника на множники приймає вигляд www.сайт, включаючи внутрішні матеріали та зовнішнє оформлення, не можна відтворювати у будь-якій формі або використовувати без попереднього письмового дозволу правовласника.

У § 42 було сказано, що якщо розподіл багаточленів не можна виконати націло, то приватне записується у вигляді дробового виразу, в якому ділимо є чисельником, а дільник - знаменником.

Приклади дробових виразів:

Чисельник і знаменник дробового виразу і можуть бути дробовими виразами, наприклад:

З дрібних алгебраїчних виразів найчастіше доводиться мати справу з такими, у яких чисельник і знаменник є многочленами (зокрема, і одночленами). Кожен такий вираз називається алгебраїчним дробом.

Визначення. Алгебраїчне вираз, що є дріб, чисельник і знаменник якої - багаточлени, називається алгебраїчним дробом.

Як і в арифметиці, чисельник і знаменник дробу алгебри називаються членами дробу.

Надалі, вивчивши дії над дробами алгебри, ми зможемо всяке дробове вираз за допомогою тотожних перетворень перетворити в алгебраїчну дроб.

Приклади алгебраїчних дробів:

Зауважимо, що цілий вираз, тобто багаточлен, можна записати у вигляді дробу, для цього достатньо записати в чисельнику цей вираз, а в знаменнику 1. Наприклад:

2. Допустимі значення літер.

Літери, що входять тільки до чисельника, можуть приймати будь-які значення (якщо не введено будь-які додаткові обмеження умовою завдання).

Для літер, що входять у знаменник, допустимими є лише ті значення, які не перетворюють на нуль знаменник. Тому надалі завжди вважатимемо, що знаменник алгебраїчного дробу не дорівнює нулю.