adsby.ru → Дітям

Розкладання звичайного дробу в безперервну. Безперервний дріб Вирішення безперервних дробів



План:

    Вступ
  • 1 Розкладання в ланцюговий дріб
  • 2 Відповідні дроби
  • 3 Наближення дійсних чисел раціональними
    • 3.1 Приклади
  • 4 Властивості та приклади
  • 5 Додатки ланцюгових дробів
    • 5.1 Теорія календаря
    • 5.2 Рішення порівнянь першого ступеня
    • 5.3 Інші програми
      • 5.3.1 Властивості золотого перерізу
  • 6 Історична довідка
  • 7 Мотивація
    • Примітки

Вступ

Ланцюговий дріб(або безперервний дріб) - це математичний вираз виду

де a 0 є ціле число і всі інші a nнатуральні числа (тобто невід'ємні цілі). Будь-яке речове число можна подати у вигляді ланцюгового дробу (кінцевого або нескінченного). Число представляється кінцевим ланцюговим дробом і тоді, коли воно раціонально. Число представляється періодичним ланцюговим дробом тоді і лише тоді, коли воно є квадратичною ірраціональністю.


1. Розкладання в ланцюговий дріб

Будь-яке речове число xможе бути представлено (кінцевим або нескінченним) ланцюговим дробом , де

де позначає цілу частину числа x .

Для раціонального числа xце розкладання обірветься після досягнення нульового x nдля деякого n. В цьому випадку xпредставляється кінцевим ланцюговим дробом.

Для ірраціонального xвсі величини x nбудуть ненульовими та процес розкладання можна продовжувати нескінченно. В цьому випадку xпредставляється нескінченним ланцюговим дробом.

Для раціональних чиселможе бути використаний алгоритм Евкліда для швидкого одержання розкладання ланцюговий дріб.


2. Відповідні дроби

n-ой відповідним дробомдля ланцюгового дробу, називається кінцевий ланцюговий дріб, значення якого дорівнює деякому раціональному числу. Відповідні дроби з парними номерами утворюють зростаючу послідовність, межа якої дорівнює x. Аналогічно, відповідні дроби з непарними номерами утворюють спадну послідовність, межа якої також дорівнює x .

Ейлер вивів рекурентні формули для обчислення чисельників та знаменників відповідних дробів:

Таким чином, величини p nі q nвидаються значеннями континуант:

Послідовності і є зростаючими.

Чисельники та знаменники сусідніх відповідних дробів пов'язані співвідношенням:

p n q n - 1 - q n p n - 1 = (- 1) n - 1 , (1)

яке можна переписати у вигляді

Звідки випливає, що


3. Наближення дійсних чисел раціональними

Ланцюгові дроби дозволяють ефективно знаходити хороші раціональні наближення дійсних чисел. А саме, якщо речове число xрозкласти в ланцюговий дріб, то його відповідні дроби задовольнятимуть нерівності

Звідси, зокрема, випливає:


3.1. Приклади

  • Розкладемо число ?
Другий дріб (22/7) – це відоме архімедове наближення. Четверта (355/113) була вперше отримана в Стародавньому Китаї.

4. Властивості та приклади

  • Будь-яке раціональне число може бути представлене у вигляді кінцевого ланцюгового дробу двома способами, наприклад:
  • Теорема Лагранжа: Число представляється у вигляді нескінченного періодичного ланцюгового дробу тоді і тільки тоді, коли воно є ірраціональним рішенням квадратного рівняння з цілими коефіцієнтами.
Наприклад: золотий перетин e − 1 =

для числа

  • У числа пі простої закономірності не видно:
π =
  • Теорема Гауса - Кузьміна: Майже для всіх (крім безлічі міри нуль) дійсних чисел існує середнє геометричне коефіцієнтів відповідних їм ланцюгових дробів, і воно одно постійної Хінчина.
  • Теорема Маршалла Холла. Якщо у розкладанні числа xв безперервний дріб, починаючи з другого елемента, не зустрічаються числа великі n, то кажуть, що число xвідноситься до класу F(n). FБудь-яке речове число може бути представлене у вигляді суми двох чисел з класу F(4) та у вигляді добутку двох чисел із класу F(4). FНадалі було показано, що будь-яке речове число може бути представлене у вигляді суми 3 чисел з класу

(3) та у вигляді суми 4 чисел із класу

(2).

Кількість необхідних доданків у цій теоремі не може бути зменшено - для представлення деяких чисел вказаним чином меншої кількості доданків недостатньо.

5. Додатки ланцюгових дробів 5.1. Теорія календаря. При цьому помилка на 1 день накопичується за 128 років. Друге значення (7/29) ніколи не використовувалося. Третій дріб (8/33), тобто 8 високосних років за період у 33 роки, був запропонований Омаром Хайямом у XI столітті і започаткував перський календар, у якому помилка в день накопичується за 4500 років (у григоріанському - за 3280 років). Дуже точний варіант з четвертим дробом (31/128, помилка на добу накопичується лише за 100 000 років) пропагував німецький астроном Йоганн фон Медлер (1864), проте великого інтересу він не викликав.


5.2. Рішення порівнянь першого ступеня

Розглянемо порівняння: , де відомі, причому вважатимуться, що aвзаємно просто з m. Треба знайти x .

Розкладемо в безперервний дріб. Вона буде кінцевою, і останній відповідний дріб. Підставимо у формулу (1):

mq n − 1 − ap n − 1 = (− 1) n − 1

Звідси випливає:

, або:

Висновок: клас відрахувань є рішенням вихідного порівняння.


5.3. Інші програми


5.3.1. Властивості золотого перерізу

Цікавий результат, які випливає з того факту, що вираз безперервного дробу для φ не використовує цілих чисел більше ніж 1, полягає в тому, що φ є одним із "найважчих" дійсних чисел для наближення за допомогою раціональних чисел. Одна теорема (Теорема Гурвіца) стверджує, що будь-яке дійсне число kможе бути наближено дробом m/nза допомогою

Тоді коли практично все дійсні числа kмають в кінцевому рахунку нескінченно багато наближень m/n, які знаходяться на значно меншій відстані від k, ніж ця межа, наближення для φ (тобто числа 5/3, 8/5, 13/8, 21/13, і т.д.) послідовно "стосуються кордону", утримуючи відстань на майже точно відстані від φ , цим ніколи не створюючи наближення настільки ж значні як, наприклад, 355/113 для π. Може бути показано, що будь-яке дійсне число форми ( a + bφ)/( c + dφ) – де a, b, cі dє цілими числами, такими як ad − bc= ±1 – мають таку ж властивість як золотий переріз φ; а також, що всі інші дійсні числа можуть бути наближені набагато краще.


6. Історична довідка

Античні математики вміли представляти відносини несумірних величин у вигляді ланцюжка послідовних відповідних відносин, отримуючи цей ланцюжок за допомогою алгоритму Евкліда. Очевидно, саме таким шляхом Архімед отримав наближення - це 12-й відповідний дріб для або від 4-го відповідного дробу для .

У V столітті індійський математик Аріабхата застосовував аналогічний метод подрібнення для вирішення невизначених рівнянь першого і другого ступеня. За допомогою цієї техніки було, ймовірно, отримано відоме наближення для числа π (355/113). У XVI столітті Рафаель Бомбеллі витягував за допомогою ланцюгових дробів квадратне коріння (див. його алгоритм).

початок сучасної теоріїланцюгових дробів поклав у 1613 році П'єтро Антоніо Катальді. Він відзначив основну їхню властивість (становище між відповідними дробами) і ввів позначення, що нагадує сучасне. Пізніше його теорію розширив Джон Валліс, який запропонував термін «безперервний дріб». Еквівалентний термін « ланцюговий дріб» з'явився наприкінці XVIII ст.

Застосовувалися ці дроби насамперед для оптимального наближення дійсних чисел; наприклад, Християн Гюйгенс використав їх для проектування зубчастих коліс свого планетарію. Гюйгенс вже знав, що відповідні дроби завжди нескорочені і що вони є найкращим раціональним наближенням.

У XVIII столітті теорію ланцюгових дробів у загальних рисахзавершили Леонард Ейлер та Жозеф Луї Лагранж.


7. Мотивація

Безперервні дроби є "математично природними" уявленнями речових чисел.

Більшість людей знайомі з десятковим поданням дійсних чисел, яке може бути визначене як

де a 0 може бути будь-яким цілим числом, а наступні a i є одним із елементів (0,1,2,…,9). У цьому вся уявлення, число π, наприклад, то, можливо представлено як послідовність цілих чисел .

Це десяткове уявлення має кілька проблем. Одна з них, багато раціональних чисел не має кінцевого уявлення в цій системі. Наприклад, число 1/3 представимо нескінченною послідовністю (0,3,3,3,3,…). Інша проблема полягає в тому, що константа 10 є по суті довільним вибором, який надає перевагу числам, які будь-як відносяться до цілого числа 10. Наприклад, 137/1600 має кінцеве десяткове уявлення, тоді як 1/3 не має, не тому , Що 137/1600 простіше ніж 1/3, а лише тому, що 1600 ділить ступінь 10 (10 6 = 1600 × 625). Запис як ланцюговий дріб є уявленням речових чисел, що не має цих проблем.

Давайте розглянемо, як ми можемо описати число, таке як 415/93, яке приблизно дорівнює 4,4624. Це приблизно 4. Взагалі це трохи більше ніж 4, близько 4 + 1/2. Але 2 у знаменнику не зовсім точно; там має бути число трохи більше ніж 2, приблизно 2+1/6. Таким чином, 415/93 приблизно дорівнює 4+1/(2+1/6). Але 6 у знаменнику не вірно; реальне значення трохи більше 6, 6+1/7. Таким чином, 415/93 є 4+1/(2+1/(6+1/7). Це точне значення).

Опускаючи деякі обов'язкові частини у виразі 4+1/(2+1/(6+1/7)) ми отримаємо коротку нотацію. (Зауважте, що загальноприйнято замінювати тільки першу кому крапкою з комою).

Подання як безперервний дріб речовинного числа може бути визначений таким чином. Вона має кілька бажаних властивостей:

  • Подання як безперервний дріб звичайно тоді і тільки тоді, коли число є раціональним.
  • Кожне раціональне число має по суті єдине уявлення як безперервний дріб. Кожне раціональне число можна у точності двома способами, т.к. [ a 0 ; a 1 , … a n − 1 , a n ] = [a 0 ; a 1 , … a n − 1 , a n− 1, 1]. Математики воліють мати взаємно-однозначну відповідність між раціональними числами та ланцюговими дробами; Перша, більш коротка нотація обрана як канонічне уявлення.
  • Подання як безперервний дріб ірраціонального числа однин.
  • Ланцюговий дріб є періодичним і тоді, коли число є квадратичною ірраціональністю, тобто. має форму

для цілих a, b, c, d; де bі dне нуль і c>1 та cне є точним квадратом.

Наприклад, періодичний безперервний дріб є золотим перетином, а періодичний безперервний дріб є квадратним коренеміз 2.

  • Раннє усічення уявлення числа x у вигляді ланцюгового дробу призводить до раціонального наближення x, який у певному сенсі є "найкращим" раціональним наближенням.

Остання властивість надзвичайно важлива. У десяткового уявлення числа його немає. Усічення десяткового уявлення числа призводить до раціонального наближення числа, але зазвичай до не дуже хорошого наближення. Наприклад, усічення 1/7 = 0.142857… у різних місцях призводить до наближенням таким як 142/1000, 14/100 та 1/10. Але очевидно найкращим раціональним наближенням буде саме число "1/7". Обриваючи десяткову виставу π ми отримуємо наближення такі як 31415/10000 та 314/100. Ланцюговий дріб π починається. Усяка це уявлення ми отримуємо відмінні раціональні наближення 3, 22/7, 333/106, 355/113, 103993/33102, …. Знаменники 314/100 та 333/106 майже однакові, але помилка у наближенні 314/100 у дев'ятнадцять разів більша за помилку, ніж у наближенні 333/106. Як наближення π, більш ніж сто разів точніше наближення 3,1416.

, Дроби , Дроби (математика) , Правильний дріб . - 88.50 Кб

ФЕДЕРАЛЬНЕ АГЕНСТВО ЛІСОВОГО ГОСПОДАРСТВА РФ

ФБОУ СПО «ДИВНОГІРСЬКИЙ ЛІСГОСП – ТЕХНІКУМ»

КАБІНЕТ МАТЕМАТИКИ

ЗВІТ

З ДОСЛІДНОЇ РОБОТИ №

ПО ТЕМІ «НЕПРЕРИВНІ ДРОБИ»

Виконав:

Студент 1 курсу грн. 11Б-Л Кардапольцев А.О.

Перевірив:

Викладач: Коновалова Є.Г.

Оцінка:

Введення - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 3

Безперервний дріб - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 4

Розкладання в ланцюговий дріб - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 5

Наближення дійсних чисел раціональними - - 6

Історична довідка - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 7

Висновок - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 8

Бібліографічний список - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 9

Вступ

Метою моєю дослідницької роботиє дослідження теорії ланцюгових дробів. У ній я спробую розкрити властивості відповідних дробів, особливості розкладання дійсних чисел у неправильні дроби, похибки, що виникають внаслідок цього розкладання, та застосування теорії ланцюгових дробів для вирішення низки алгебраїчних завдань.

Ланцюгові дроби були введені в 1572 італійським математиком Бомбеллі. Сучасне позначення безперервних дробівзустрічається в італійського математика Катальді у 1613 році. Найбільший математик XVIII століття Леонардо Ейлер перший виклав теорію ланцюгових дробів, поставив питання про їх використання для вирішення диференціальних рівнянь, застосував їх до розкладання функцій, представлення нескінченних творів, дав важливе їхнє узагальнення.

Роботи Ейлера з теорії ланцюгових дробів продовжили М. Софроновим (1729-1760), академіком В.М. Багато важливих результатів цієї теорії належать французькому математику Лагранжу, який знайшов метод наближеного рішення за допомогою ланцюгових дробів диференціальних рівнянь.

Безперервний дріб

Ланцюговий дріб(або безперервний дріб) - це математичний вираз виду

де a 0 є ціле число і всі інші a n натуральні числа (тобто невід'ємні цілі). Будь-яке речове число можна подати у вигляді ланцюгового дробу (кінцевого або нескінченного). Число представляється кінцевим ланцюговим дробом і тоді, коли воно раціонально. Число представляється періодичним ланцюговим дробом тоді і лише тоді, коли воно є квадратичною ірраціональністю.

Розкладання в ланцюговий дріб

Будь-яке речове числоx може бути представлено (кінцевим або нескінченним) ланцюговим дробом де

де позначає цілу частину числаx .

Для раціонального числаx це розкладання обірветься після досягнення нульовогоx n для деякого n. x В цьому випадку

представляється кінцевим ланцюговим дробомxДля ірраціонального x n всі величиниx будуть ненульовими та процес розкладання можна продовжувати нескінченно. В цьому випадку

представляється нескінченним ланцюговим дробом

Наближення дійсних чисел раціональнимиx Ланцюгові дроби дозволяють ефективно знаходити хороші раціональні наближення дійсних чисел. А саме, якщо речове число

розкласти в ланцюгову дріб, то її відповідні дроби задовольнятимуть нерівності:

Звідси, зокрема, випливає:1) відповідний дріб

є найкращим наближенням x дляq n ;

серед усіх дробів, знаменник яких не перевищує

2) міра ірраціональності будь-якого ірраціонального числа не менше 2.

Прикладиπ 1) Розкладемо число

=3,14159265… в безперервний дріб і підрахуємо його відповідні дроби: 3, 22/7, 333/106, 355/113, 103993/33102, …

Другий дріб (22/7) – це відоме Архімедове наближення. Четверта (355/113) була вперше отримана у Стародавньому Китаї.

2) Теоретично музики потрібно знайти оптимальне наближення для.

Історична довідка

Третій відповідний дріб: 7/12 дозволяє обґрунтувати класичний поділ октави на 12 півтонів.

Античні математики вміли представляти відносини несумірних величин у вигляді ланцюжка послідовних відповідних відносин, отримуючи цей ланцюжок за допомогою алгоритму Евкліда. Очевидно, саме таким шляхом Архімед отримав наближення:

Це 12-й відповідний дріб для

У V столітті індійський математик Аріабхата застосовував аналогічний метод подрібнення для вирішення невизначених рівнянь першого і другого ступеня. За допомогою цієї техніки було, ймовірно, отримано відоме наближення для числаπ (355/113). У XVI столітті Рафаель Бомбеллі витягував за допомогою ланцюгових дробів квадратне коріння (див. його алгоритм).

Початок сучасної теорії ланцюгових дробів поклав у 1613 П'єтро Антоніо Катальді. Він відзначив основну їхню властивість (становище між відповідними дробами) і ввів позначення, що нагадує сучасне. Пізніше його теорію розширив Джон Валліс, який запропонував термін «безперервний дріб». Еквівалентний термін « ланцюговий дріб» з'явився наприкінці XVIII ст.

Застосовувалися ці дроби насамперед для оптимального наближення дійсних чисел; наприклад, Християн Гюйгенс використав їх для проектування зубчастих коліс свого планетарію. Гюйгенс вже знав, що відповідні дроби завжди нескорочені і що вони є найкращим раціональним наближенням.

У XVIII столітті теорію ланцюгових дробів загалом завершили Леонард Ейлер і Жозеф Луї Лагранж.

Висновок

Ця робота показує значення ланцюгових дробів у математиці.

Їх можна успішно застосувати до розв'язання невизначених рівнянь виду

ax+by=c.

Основна складність при вирішенні таких рівнянь полягає в тому, щоб знайти якесь його приватне рішення. Так ось, за допомогою ланцюгових дробів можна вказати алгоритм для розшуку такого приватного рішення.

Ланцюгові дроби можна застосувати і до вирішення складніших невизначених рівнянь, наприклад, так званого рівняння Пелля:

().

Нескінченні ланцюгові дроби можуть бути використані для вирішення рівнянь алгебри та трансцендентних, для швидкого обчислення значень окремих функцій.

Нині ланцюгові дроби знаходять дедалі більше застосування обчислювальної техніки, бо дозволяють будувати ефективні алгоритми на вирішення низки завдань на ЕОМ.

Бібліографічний список:

http://ua.wikipedia.org

  1. Алгебра та теорія чисел. За редакцією Н.Я. Віленкіна, М, "Освіта", 84.
  2. І.М. Виноградів.
  3. Основи теорії чисел. М, "Наука", 72.
  4. А.А. Кочів.

Задачник-практикум з алгебри та теорії чисел. М, "Освіта", 84.

Л.Я. Куликов, А.І. Москаленко, О.О. Фомін. Збірник завдань з алгебри та теорії чисел. М, "Освіта", 93.

Метою моєї дослідницької роботи є дослідження теорії ланцюгових дробів. У ній я спробую розкрити властивості відповідних дробів, особливості розкладання дійсних чисел у неправильні дроби, похибки, що виникають внаслідок цього розкладання, та застосування теорії ланцюгових дробів для вирішення низки алгебраїчних завдань.

Безперервний дріб - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 4

Розклад у ланцюговий дріб - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 5

Наближення дійсних чисел раціональними - - 6

Історична довідка - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 7

Висновок - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 8

Бібліографічний список - - - - - - - - - - - - - - -

НЕПРЕРИВНІ ДРОБИ.Послідовність, кожен член якої є звичайним дробом, породжує безперервний (або ланцюговий) дріб, якщо його другий член додати до першого, а кожен дріб, починаючи з третього, додати до знаменника попереднього дробу.

Наприклад, послідовність 1, 1/2, 2/3, 3/4,..., n/(n+ 1),... породжує безперервний дріб

де крапка в кінці вказує на те, що процес триває нескінченно. У свою чергу безперервний дріб породжує іншу послідовність дробів, які називаються відповідними. У нашому прикладі перший, другий, третій і четвертий відповідні дроби рівні

Їх можна побудувати за простим правилом із послідовності неповних приватних 1, 1/2, 2/3, 3/4,.... Насамперед випишемо першу і другу відповідні дроби 1/1 і 3/2. Третій відповідний дріб дорівнює (2Ч 1 + 3Ч 3)/(2Ч 1 + 3Ч 2) або 11/8, його чисельник дорівнює сумітворів чисельників першої та другої відповідних дробів, помножених відповідно на чисельник та знаменник третього неповного приватного, а знаменник дорівнює сумі творів знаменників першого та другого неповних приватних, помножених відповідно на чисельник та знаменник третього неповного приватного. Четвертий відповідний дріб виходить аналогічно з четвертого неповного приватного 3/4 і другого і третього відповідних дробів: (3Ч 3 + 4Ч 11)/(3Ч 2 + 4Ч 8) або 53/38. Дотримуючись цього правила, знаходимо перші сім відповідних дробів: 1/1, 3/2, 11/8, 53/38, 309/222, 2119/1522 та 16687/11986. Запишемо їх у вигляді десяткових дробів (із шістьма знаками після коми): 1,000000; 1,500000; 1,375000; 1,397368; 1,391892; 1,392247 та 1,392208. Значенням нашого безперервного дробу буде число x, перші цифри якого 1,3922. Відповідні дроби є найкращим наближенням числа x. Причому вони по черзі виявляються то меншими, то більшими від числа x(непарні – більше x, а парні – менше).

Щоб уявити ставлення двох позитивних цілих чисел у вигляді кінцевого безперервного дробу, потрібно скористатися методом знаходження найбільшого спільного дільника. Наприклад, візьмемо відношення 50/11. Оскільки 50 = 4Ч 11 + 6 чи 11/50 = 1/(4 + 6/11), і, аналогічно, 6/11 = 1/(1 + 5/6) чи 5/6 = 1/(1 + 1/5), отримуємо:

Безперервні дроби використовуються для наближення ірраціональних чисел раціональними. Припустимо, що x- Ірраціональне число (тобто непредставно у вигляді відношення двох цілих чисел). Тоді, якщо n 0 – найбільше ціле число, яке менше x, то x = n 0 + (x – n 0), де x – n 0 - позитивне число менше 1, тому зворотне йому число x 1 більше 1 x = n 0 + 1/x 1 . Якщо n 1 – найбільше ціле число, яке менше x 1 , то x 1 = n 1 + (x 1 – n 1), де x 1 – n 1 - позитивне число, яке менше 1, тому зворотне йому число x 2 більше 1, та x 1 = n 1 + 1/x 2 . Якщо n 2 – найбільше ціле число, яке менше x 2 , то x 2 = n 2 + 1/x 3 , де x 3 більше 1, і т.д. В результаті ми крок за кроком знаходимо послідовність неповних приватних n 0 , 1/n 1 , 1/n 2 ,... безперервного дробу, що є наближеннями x.

Пояснимо сказане з прикладу. Припустимо, що тоді

Перші 6 відповідних дробів дорівнюють 1/1, 3/2, 7/5, 17/12, 41/29, 99/70. Записані як десяткових дробів вони дають такі наближені значення : 1,000; 1,500; 1,400; 1,417; 1,4137; 1,41428. Безперервний дріб для має неповні приватні 1, 1/1, 1/2, 1/1, 1/2, 1/1,.... неповні приватні його розкладання в безперервний дріб періодичні.

Безперервні дроби тісно пов'язані з багатьма розділами математики, наприклад з теорією функцій, рядами, що розходяться, проблемою моментів, диференціальними рівняннями і нескінченними матрицями. Якщо x– радіальний захід гострого кута, то тангенс кута x x/1, - x 2 /3, - x 2 /7, - x 2/9, ..., а якщо x- Позитивне число, то натуральний логарифм від 1 + xдорівнює значенню безперервного дробу з неповними приватними 0, x/1, 1 2 x/2, 1 2 x/3, 2 2 x/4, 2 2 x/5, 3 2 x/6,... . Формальним розв'язком диференціального рівняння x 2 dy/dx + y = 1 + xу вигляді статечного ряду є розбіжний статечний ряд 1 + x – 1!x 2 + 2!x 3 – 3!x 4 +.... Цей статечний ряд можна перетворити на безперервний дріб з неповними приватними 1, x/1, x/1, 2x/1, 2x/1, 3x/1, 3x/1,..., а її у свою чергу використовуватиме отримання рішення диференціального рівняння x 2 dy/dx + y = 1 + x.

НЕПРЕРИВНІ ДРОБИ
Послідовність, кожен член якої є звичайним дробом, породжує безперервний (або ланцюговий) дріб, якщо його другий член додати до першого, а кожен дріб, починаючи з третього, додати до знаменника попереднього дробу. Наприклад, послідовність 1, 1/2, 2/3, 3/4, ..., n/(n + 1), ... породжує безперервний дріб

Де крапка в кінці вказує на те, що процес триває нескінченно. У свою чергу безперервний дріб породжує іншу послідовність дробів, які називаються відповідними. У нашому прикладі перший, другий, третій і четвертий відповідні дроби рівні


Їх можна побудувати за простим правилом із послідовності неповних приватних 1, 1/2, 2/3, 3/4, ... . Насамперед випишемо першу і другу відповідні дроби 1/1 та 3/2. Третій відповідний дріб дорівнює (2*1 + 3*3)/(2*1 + 3*2) або 11/8, його чисельник дорівнює сумі творів чисельників першого і другого відповідних дробів, помножених відповідно на чисельник і знаменник третього неповного приватного, а знаменник дорівнює сумі творів знаменників першого та другого неповних приватних, помножених відповідно на чисельник та знаменник третього неповного приватного. Четвертий відповідний дріб виходить аналогічно з четвертого неповного приватного 3/4 і другого і третього відповідних дробів: (3*3 + 4*11)/(3*2 + 4*8) або 53/38. Дотримуючись цього правила, знаходимо перші сім відповідних дробів: 1/1, 3/2, 11/8, 53/38, 309/222, 2119/1522 та 16687/11986. Запишемо їх у вигляді десяткових дробів (із шістьма знаками після коми): 1,000000; 1,500000; 1,375000; 1,397368; 1,391892; 1,392247 та 1,392208. Значення нашого безперервного дробу буде число x, перші цифри якого 1,3922. Відповідні дроби є найкращим наближенням числа x. Причому вони по черзі виявляються то меншими, то більшими за число x (непарні - більше x, а парні - менше).


Безперервні дроби використовуються для наближення ірраціональних чисел раціональними. Припустимо, що x - ірраціональне число (тобто непредставно у вигляді відношення двох цілих чисел). Тоді, якщо n0 - найбільше ціле число, яке менше x, то x = n0 + (x - n0), де x - n0 - позитивне число менше 1, тому зворотне число x1 більше 1 і x = n0 + 1/x1. Якщо n1 - найбільше ціле число, яке менше x1, то x1 = n1 + (x1 - n1), де x1 - n1 - позитивне число, яке менше 1, тому зворотне число x2 більше 1, і x1 = n1 + 1/x2 . Якщо n2 - найбільше ціле число, яке менше x2, то x2 = n2 + 1/x3 де x3 більше 1 і т.д. В результаті ми крок за кроком знаходимо послідовність неповних приватних n0, 1/n1, 1/n2, ... безперервного дробу, що є наближенням x. Пояснимо сказане з прикладу. Припустимо, що

Max-width="" :="" height:="" auto="" width:="">
">


тоді



Перші 6 відповідних дробів дорівнюють 1/1, 3/2, 7/5, 17/12, 41/29, 99/70. Записані у вигляді десяткових дробів вони дають такі наближені значення
: 1,000; 1,500; 1,400; 1,417; 1,4137; 1,41428. Безперервний дріб для
має неповні приватні 1, 1/1, 1/2, 1/1, 1/2, 1/1, ... . Ірраціональне число є коренем квадратного рівняння з цілими коефіцієнтами в тому і тільки в тому випадку, якщо неповні приватні його розкладання в безперервний дріб періодичні. Безперервні дроби тісно пов'язані з багатьма розділами математики, наприклад з теорією функцій, рядами, що розходяться, проблемою моментів, диференціальними рівняннями і нескінченними матрицями. Якщо x - радіанний захід гострого кута, то тангенс кута x дорівнює значенню безперервного дробу з неповними приватними 0, x/1, -x2/3, -x2/7, -x2/9, ..., а якщо x - позитивне число , то натуральний логарифм від 1 + x дорівнює значенню безперервного дробу з неповними приватними 0, x/1, 12x/2, 12x/3, 22x/4, 22x/5, 32x/6, ... . Формальним рішенням диференціального рівняння x2dy/dx + y = 1 + x у вигляді статечного ряду є розбіжний статечний ряд 1 + x - 1!x2 + 2!x3 - 3!x4 + ... . Цей статечний ряд можна перетворити на безперервний дріб з неповними приватними 1, x/1, x/1, 2x/1, 2x/1, 3x/1, 3x/1, ..., а його у свою чергу використовувати для отримання рішення диференціального рівняння x2dy/dx + y = 1 + x.

Енциклопедія Кольєра. - Відкрите суспільство. 2000 .

Дивитись що таке "НЕПРЕРИВНІ ДРОБИ" в інших словниках:

    Див. Дроби … Енциклопедичний словникФ.А. Брокгауза та І.А. Єфрона

    Графік функції натурального логарифму. Функція повільно наближається до позитивної нескінченності при збільшенні x і швидко наближається до негативної нескінченності, коли x прагне 0 («повільно» і «швидко» порівняно з будь-якою статечною… … Вікіпедія

    Арифметика. Розпис Пінтуріккіо. Апартаменти Борджіа. 1492 1495. Рим, Ватиканські палаци... Вікіпедія

    Дана стаття є частиною огляду Історія математики. Наукові досягнення індійської математики широкі та різноманітні. Вже в давнину вчені Індії на своєму, багато в чому оригінальному шляху розвитку досягли високого рівняматематичних знань. … … Вікіпедія

    Розділ теорії чисел, які вивчаються наближення нуля значеннями функцій від кінцевого числа цілих аргументів. Початкові завдання Д. п. стосувалися раціональних наближень до дійсних чисел, але розвиток теорії призвело до завдань, у яких … Математична енциклопедія

    Історія науки … Вікіпедія

    Дана стаття є частиною огляду Історія математики. Арабський халіфат (750 р.) Математика Сходу, на відміну від давньогрецької математики, … Вікіпедія

    - (Народився 14 травня 1821 помер 26 листопада 1894 в Петербурзі) ординарний академік Імператорської Академії Наук, дійсний таємний радник. П. Л. Чебишев, професор імператорського С. Петербурзького університету Таємний радникдоктор… … Велика біографічна енциклопедія

    Дана стаття є частиною огляду Історія математики. Муза геометрії (Лувр) … Вікіпедія

    Дана стаття є частиною огляду Історія математики. Стаття присвячена стану та розвитку математики в Стародавньому Єгиптіу період приблизно з ХХХ по ІІІ століття до н. е. Найдавніші давньоєгипетські математичні тексти відносяться до початку II.

Книги

  • Математична освіта, Бончковський Р.М. , Ця збірка, як і попередні збірки «Математичне просвітництво», містить наукові статті з елементарної математики та найпростіших питань вищої математики. Збірка розрахована на дуже… Категорія: Математика та природничі наукиСерія: Видавець: ЇЇ Медіа,
  • Математичне просвітництво. Випуск 7 , Бончковського Р. Н. , Ця збірка, як і попередні збірки «Математичне просвітництво», містить наукові статті з елементарної математики та найпростіших питань вищої математики. Збірник розрахований на вельми…

Надіслати свою гарну роботу до бази знань просто. Використовуйте форму нижче

Студенти, аспіранти, молоді вчені, які використовують базу знань у своєму навчанні та роботі, будуть вам дуже вдячні.

Розміщено на http://allbest.ru

ДЕПАРТАМЕНТ ОСВІТИ ТА НАУК КЕМЕРІВСЬКОЇ ОБЛАСТІ

Державне освітня установасереднього професійної освітиТомь-Усинський енерготранспортний технікум

з дисципліни Математика

Безперервні дроби

Виконав:

студент групи ТРУК-1-14

Жулєва Дар'я

Перевірив:

викладач математики

Кемерова С.І.

Вступ

1. Історія ланцюгових дробів

2. Розпад у безперервний дріб

3. Наближення дійсних чисел до раціональних

4. Додатки ланцюгових дробів

5. Властивості золотого перерізу

Список літератури

Вступ

Ланцюговий дріб (або безперервний дріб) - це математичний вираз виду

де a0 є ціле число і всі інші натуральні числа (позитивні цілі). Будь-яке речове число можна подати у вигляді ланцюгового дробу (кінцевого або нескінченного). Число представляється кінцевим ланцюговим дробом і тоді, коли воно раціонально. Число представляється періодичним ланцюговим дробом тоді і лише тоді, коли воно є квадратичною ірраціональністю.

1. Історія ланцюгових дробів

Ланцюгові дроби були введені в 1572 італійським математиком Бомбеллі. Сучасне позначення безперервних дробів зустрічається в італійського математика Катальді у 1613 році. Найбільший математик XVIII століття Леонардо Ейлер перший виклав теорію ланцюгових дробів, поставив питання про їх використання для вирішення диференціальних рівнянь, застосував їх до розкладання функцій, представлення нескінченних творів, дав важливе їхнє узагальнення.

Роботи Ейлера з теорії ланцюгових дробів продовжили М. Софроновим (1729-1760), академіком В.М. Багато важливих результатів цієї теорії належать французькому математику Лагранжу, який знайшов метод наближеного рішення за допомогою ланцюгових дробів диференціальних рівнянь.

Алгоритм Евкліда дає можливість знайти уявлення (або розкладання) будь-якого раціонального числа у вигляді ланцюгового дробу. Як елементи ланцюгового дробу виходять неповні приватні послідовних поділів у системі рівностей, тому елементи ланцюгового дробу називаються також неповними приватними. Крім того, рівності системи показують, що процес розкладання в ланцюговий дріб полягає у послідовному виділенні цілої частини та перевертанні дробової частини.

2. Розпад у безперервний дріб

Остання точка зору є більш загальною в порівнянні з першою, так як вона застосовна до розкладання в безперервний дріб не тільки раціонального, а й будь-якого дійсного числа.

Розкладання раціонального числа має, очевидно, кінцеве число елементів, оскільки алгоритм Евкліда послідовного поділу a на b є кінцевим.

Зрозуміло, що кожен ланцюговий дріб представляє певне раціональне число, тобто дорівнює певному раціональному числу. Але виникає питання, чи є різні уявлення однієї й тієї ж раціонального числа ланцюговим дробом? Виявляється, що немає, якщо вимагати, щоб було.

Безперервні дроби - послідовність, кожен член якої є звичайним дробом, породжує безперервний (або ланцюговий) дріб, якщо його другий член додати до першого, а кожен дріб, починаючи з третього, додати до знаменника попереднього дробу.

Будь-яке речовинне число може бути представлене (кінцевим або нескінченним, періодичним або неперіодичним) ланцюговим дробом

де означає цілу частину числа.

Для раціонального числа це розкладання обірветься після досягнення нульового для деякого n. У цьому випадку представляється кінцевим ланцюговим дробом.

Для ірраціонального всі величини будуть ненульовими і процес розкладання можна продовжувати нескінченно. У цьому випадку представляється нескінченним ланцюговим дробом.

p align="justify"> Для раціональних чисел може бути використаний алгоритм Евкліда для швидкого отримання розкладання в ланцюговий дріб.

3. Наближення доістотних чиселдо раціональних

Ланцюгові дроби дозволяють ефективно знаходити хороші раціональні наближення дійсних чисел. А саме, якщо речовинне число розкласти в ланцюговий дріб, то його відповідні дроби задовольнятимуть нерівності

Звідси, зокрема, випливає:

· відповідний дріб є найкращим наближенням для всіх дробів, знаменник яких не перевищує;

· міра ірраціональності будь-якого ірраціонального числа не менше 2.

4. Додатки ланцюгових дробів

Теорія календаря

Кількість необхідних доданків у цій теоремі не може бути зменшено - для представлення деяких чисел вказаним чином меншої кількості доданків недостатньо.

Перший дріб означає, що раз на 4 роки треба додавати зайвий день; цей принцип ліг основою юліанського календаря. При цьому помилка на 1 день накопичується за 128 років. Друге значення (7/29) ніколи не використовувалося. Третій дріб (8/33), тобто 8 високосних років за період у 33 роки, був запропонований Омаром Хайямом у XI столітті і започаткував перський календар, в якому помилка в день накопичується за 4500 років (у григоріанському - за 3280 років) . Дуже точний варіант з четвертим дробом (31/128, помилка на добу накопичується лише за 100 000 років) пропагував німецький астроном Йоганн фон Медлер (1864), проте великого інтересу він не викликав.

Інші програми

· Доказ ірраціональності чисел. Наприклад, за допомогою ланцюгових дробів було доведено ірраціональність значення дзета-функції Рімана

· Рішення в цілих числах рівняння Пелля

та інших рівнянь діофантового аналізу

· Визначення свідомо трансцендентного числа(Див. теорема Ліувіля)

· Алгоритми факторизації SQUFOF та CFRAC

· Характеристика ортогональних багаточленів

· Характеристика стійких багаточленів

5. Властивості золотого перерізу

Цікавий результат, який випливає з того, що вираз безперервного дробу для ц не використовує цілих чисел, більших 1, полягає в тому, що ц є одним з найважчих дійсних чисел для наближення за допомогою раціональних чисел.

Теорема Гурвіца стверджує, що будь-яке дійсне число kможе бути наближено дробом m/nтак що

Хоча практично всі дійсні числа kмають нескінченно багато наближень m/n, які знаходяться на значно меншій відстані від k, ніж ця верхня межа, наближення для ц (тобто числа 5/3, 8/5, 13/8, 21/13 і т. д.) у межі досягають цього кордону, утримуючи відстань на майже точно від ц, тим самим ніколи не створюючи настільки добрі наближення, як, наприклад, 355/113 для нар. Може бути показано, що будь-яке дійсне число виду ( a + bц)/( c + dц), a,b, cі dє цілими числами, причому

ad ? bc= ±1,

мають ту ж властивість, як і золотий переріз ц; а також, що всі інші дійсні числа можуть бути наближені набагато краще.

дріб математичне число рівняння

Зписок літератури

1. В.І. Арнольд. Ланцюгові дроби. - М.: МЦНМО, 2000. - Т. 14. - 40 с. -- (Бібліотека «Математичне просвітництво»).

2. Н.М. Бескин Ланцюгові дроби // Квант. - 1970. - Т. 1. - С. 16-26,62.

3. Н.М. Бескін Нескінченні ланцюгові дроби // Квант. - 1970. - Т. 8. - С. 10-20.

4. Д.І. Боднар Розгалужені ланцюгові дроби. - К.: Наука, 1986. - 174 с.

5. А.А. Бухштаб. Теорія чисел. - М.: Просвітництво, 1966. - 384 с.

6. І.М. Виноградів. Основи теорії чисел. - М.-Л.: Держ. вид. техніко-теоретичної літератури, 1952. - 180 с.

7. С.М. Гладківський. Аналіз умовно-періодичних ланцюгових дробів, ч. 1. - Незлобна, 2009. - 138 с.

8. І.Я. Депман. Історія арифметики. Посібник для вчителів. - Вид. друге. - М.: Просвітництво, 1965. - С. 253-254.

9. Г. Девенпорт. Вища арифметика. - М.: Наука, 1965.

10. С.В. Сизий. Лекції з теорії чисел. - Єкатеринбург: Уральський державний університетім. А. М. Горького, 1999.

11. В. Скоробогатько. Теорія ланцюгових дробів, що гілкуються, і її застосування в обчислювальній математиці. - М.: Наука, 1983. - 312 с.

12. А.Я. Хінчін. Ланцюгові дроби. - М: ГІФМЛ, 1960.

Розміщено на Allbest.ru

Подібні документи

    Протягом багатьох століть мовами народів ламаним числом іменували дріб. Необхідність у дробах виникла на ранньому щаблі розвитку людства. Види дробів. Запис дробів у Єгипті, Вавилоні. Римська система дробів. Дроби на Русі – "ламані числа".

    презентація , доданий 21.01.2011

    Перший дріб, з яким познайомилися люди в Єгипті. Чисельник та знаменник дробу. Правильний і неправильний дріб. Змішане число. Приведення до спільного знаменника. Неповне приватне. Ціла та дробова частина. Зворотні дроби. Множення та розподіл дробів.

    презентація , додано 11.10.2011

    З історії десяткових та звичайних дробів. Дії над десятковими дробами. Додавання (віднімання) десяткових дробів. Розмноження десяткових дробів. Розподіл десяткових дробів.

    реферат, доданий 29.05.2006

    Історія арифметики залишків. Поняття залишку, найбільшого загального дільника, розширеного алгоритму Евкліда та застосування його для вирішення лінійних діофантових рівнянь. Алгебраїчний підхід до подільності в кільцях та розкладання чисел у ланцюгові дроби.

    дипломна робота , доданий 23.08.2009

    Сума перших чисел натурального ряду. Обчислення площі параболічного сегмента. Доказ формули Штерна. Вираз суми k-хступенів натуральних чиселчерез детермінант та за допомогою бернулієвих чисел. Сума ступенів та непарних чисел.

    курсова робота , доданий 14.09.2015

    Поява слова "дроб" у російській мові у VIII столітті. Старі назви дробів: полтина, четь, третина, полчеть, півтретина. Особливості давньоримської дробової системи. Л. Пизанський – вчений, який став використовувати та поширювати сучасний запис дробів.

    презентація , додано 18.11.2013

    Клас раціональних функций. Практичний приклад розв'язання інтегралів. Лінійна заміна змінної. Сутність та основні завдання методу невизначених коефіцієнтів. Особливості, послідовність подання підінтегрального дробу як суми простих дробів.

    презентація , доданий 18.09.2013

    Позначення десяткового дробув різний час. Використання десяткової системи заходів у Стародавньому Китаї. Запис дробу в один рядок числами в десятковій системі та правила дії з ними. Симон Стевін як фландрський вчень, винахідник десяткових дробів.

    презентація , доданий 22.04.2010

    Теоретико-методологічні засади формування математичного поняттядроби під час уроків математики. Процес формування математичних понять та методика їх введення. Практичне дослідженнявведення та формування математичного поняття дробу.

    дипломна робота , доданий 23.02.2009

    Математика Стародавнього та Середньовіччого Китаю. Правило двох хибних положень. Системи лінійних рівняньз багатьма невідомими. Початкові етапи розвитку тригонометрії. Створення позиційної десяткової нумерації. Арифметика натуральних чисел та дробів.

2024 adsby.ru - Загальноосвітній сайт