Що таке трансцендентність, або чому ми не можемо пізнати себе. Трансцендентні числа Безліч трансцендентних чисел

Ілля Щуров

Математик Ілля Щуров про десяткові дроби, трансцендентність та ірраціональність числа Пі.

Як «одиниця» допомогла побудувати перші міста та великі імперії? Як надихала видатні уми людства? Яку роль у появі грошей вона відіграла? Як «одиниця» поєдналася з нулем, щоб правити сучасним світом? Історія одиниці нерозривно пов'язані з історією європейської цивілізації. Террі Джонс вирушає в гумористичну подорож з метою зібрати воєдино. дивовижну історіюнашого найпростішого числа. За допомогою комп'ютерної графіки в цій програмі одиниця оживає в різних іспостасях. З історії одиниці стає зрозуміло, звідки з'явилися сучасні числа, і як винахід нуля врятував від необхідності сьогодні використовувати римські цифри.

Жак Сезіано

Ми знаємо про Діофанта небагато. Здається, він жив у Олександрії. Ніхто з грецьких математиків не згадує його до IV століття, тому він, ймовірно, жив у середині III століття. Найголовніша робота Діофанта, «Арифметика» (Ἀριθμητικά), відбулася на початку з 13 «книг» (βιβλία), тобто розділах. Ми сьогодні маємо 10 із них, а саме: 6 у грецькому тексті та 4 інших у середньовічному арабському перекладі, місце яких у середині грецьких книг: книги I-III по-грецьки, IV-VII по-арабськи, VIII-X по-грецьки . «Арифметика» Діофанта насамперед зібрання завдань, лише близько 260. Теорії, правду кажучи, немає; є лише загальні інструкції у вступі книги, і приватні зауваження у деяких завданнях, коли потрібно. "Арифметика" вже має риси алгебраїчного трактату. Спочатку Діофант користується різними знаками, щоб висловлювати невідоме та його ступеня, також деякі обчислення; як і всі алгебраїчні символіки середньовіччя, його символіка походить від математичних слів. Потім, Діофант пояснює, як вирішити задачу методом алгебри. Але завдання Діофанта не алгебраїчні у звичному значенні, тому що майже всі зводяться до вирішення невизначеного рівняння або систем таких рівнянь.

Георгій Шабат

Програма курсу: Історія. Перші оцінки. Проблема сумісності довжини кола з її діаметром. Нескінченні ряди, твори та інші вирази для π. Збіжність та її якість. Вирази, що містять π. Послідовності, що швидко сходяться до π. Сучасні методиобчислення π, використання комп'ютерів. Про ірраціональність та трансцендентність π та деяких інших чисел. Попередніх знань для розуміння курсу не потрібно.

Вчені з Оксфордського університету заявили, що раннім відомим вживанням цифри 0 для позначення відсутності значення розряду (як у числі 101) слід вважати текст індійського манускрипта Бахшалі.

Василь Піспанен

Хто не грав у дитинстві у гру "назви найбільше число"? Мільйони, трильйони та інші "-они" уявити в думці вже складно, але ми з вами спробуємо розібрати "мастодонта" в математиці - число Грема.

Віктор Клепцин

Справжнє число можна як завгодно точно наблизити раціональними. А наскільки добрим може бути таке наближення – порівняно з його складністю? Наприклад, обірвавши десятковий запис числа x на k-й цифріпісля коми ми отримаємо наближення x≈a/10^k з помилкою порядку 1/10^k. І взагалі, зафіксувавши знаменник q у дробі, що наближає, ми точно можемо отримати наближення з помилкою порядку 1/q. А чи можна зробити краще? Знайоме всім наближення π≈22/7 дає помилку порядку 1/1000 – тобто явно краще, ніж можна було б очікувати. А чому? Чи нам пощастило, що у π таке наближення є? Виявляється, що для будь-якого ірраціонального числа є безліч дробів p/q, що наближають його краще, ніж 1/q^2. Це стверджує теорема Діріхле – і ми почнемо курс із її трохи нестандартного доказу.

У 1980 році Книга рекордів Гіннесса повторила твердження Гарднера, ще більше підігрівши інтерес публіки до цього числа. Число Грехема в неймовірну кількість разів більше, ніж інші добре відомі великі числа, такі, як гугол, гуголплекс і навіть більше, ніж число Скьюза і Мозера. Насправді весь спостерігається всесвіт занадто мала у тому, щоб умістити у собі звичайну десяткову запис числа Грехема.

Дмитро Аносов

Лекції читає Аносов Дмитро Вікторович, доктор фізико-математичних наук, професор, академік РАН. Літня школа "Сучасна математика", м. Дубна. 16-18 липня 2002 р.

Коректно відповісти на це питання не можна, оскільки числовий ряд не має верхньої межі. Так, до будь-якого числа достатньо лише додати одиницю, щоб отримати число ще більше. Хоча самі числа нескінченні, власних назв у них не так вже й багато, тому що більшість із них задовольняються іменами, складеними з менших чисел. Зрозуміло, що у кінцевому наборі чисел, яких людство нагородило власним ім'ям, має бути якесь найбільша кількість. Але як воно називається і чому воно рівне? Давайте ж, спробуємо в цьому розібратися і заразом дізнатися, наскільки великі числа придумали математики.

яке за a = 1 служило нам для визначення суми геометричній прогресії. Припускаючи теорему Гауса доведеної, припустимо, що a = a 1 є корінь рівняння (17), отже

	) = a n + a		a n−1			a n−2		a 1 + a

Віднімаючи цей вираз з f(x) і перегруповуючи члени, ми отримаємо тотожність

f(x) = f(x) − f(a1) = (xn − a n 1 ) + an−1 (xn−1 − a n 1 −1 ) + . . . + a1 (x - a1).

(21) Користуючись тепер формулою (20), ми можемо виділити множник x − a 1 з кожного члена і потім винести його за дужку, причому ступінь багаточлена, що залишається в дужках, стане на одиницю меншою. Перегруповуючи знову члени, ми отримаємо тотожність

f(x) = (x − a1 )g(x),

де g(x) - багаточлен ступеня n − 1:

g(x) = xn−1 + bn−2 xn−2 + . . . + b1 x + b0.

(Обчислення коефіцієнтів, позначених через b, нас тут цікавить.) Застосуємо далі той самий міркування до многочлену g(x). За теоремою Гауса існує корінь a2 рівняння g(x) = 0, так що

g(x) = (x − a2 )h(x),

де h(x) - новий многочлен ступеня вже n − 2. Повторюючи ці міркування n − 1 раз (мається на увазі, звичайно, застосування принципу математичної індукції), ми зрештою приходимо до розкладання

f(x) = (x - a1) (x - a2). . . (x - an).

З тотожності (22) випливає не тільки те, що комплексні числа a1, a2,

An суть коріння рівняння (17), а й те, що інших коренів рівняння (17) немає. Справді, якби число y було коренем рівняння (17), то з (22) слід би

f(y) = (y - a1) (y - a2). . . (y - an) = 0.

Але ми бачили (стор. 115), що добуток комплексних чисел дорівнює нулю в тому і лише тому випадку, якщо один із множників дорівнює нулю. Отже, один із множників y−ar дорівнює 0, тобто y = ar, що й потрібно встановити.

§ 6.

1. Визначення та питання існування. Алгебраїчним числом називається всяке число x, дійсне або уявне, що задовольняє деяке рівняння алгебри виду

an xn + an−1 xn−1 + . . . + a1 x + a0 = 0 (n > 1, an 6 = 0),

130 МАТЕМАТИЧНА ЧИСЛОВА СИСТЕМА гол. II

де числа ai цілі. Так, наприклад, число 2 алгебраїчне, оскільки воно задовольняє рівняння

x2 − 2 = 0.

Таким же чином алгебраїчним числом є будь-який корінь будь-якого рівняння з цілими коефіцієнтами третього, четвертого, п'ятого, будь-якої міри, і незалежно від того, виражається або не виражається він у радикалах. Поняття алгебраїчного числа є природне узагальнення поняття раціонального числа, яке відповідає окремому випадку n = 1.

Не всяке дійсне число є алгебраїчним. Це випливає з наступної, висловленої Кантором, теореми: безліч всіх чисел алгебри рахунків. Бо безліч усіх дійсних чиселнезліченна, то обов'язково повинні існувати дійсні числа, які не є алгебраїчними.

Вкажемо один із методів перерахунку безлічі алгебраїчних чисел. Кожному рівнянню виду (1) порівняємо ціле додатне число

h = | an | + | an-1 | +. . . + | a1 | + | a0 | + n,

яке назвемо заради стислості «висотою» рівняння. До кожного фіксованого значення n існує лише кінцеве число рівнянь виду (1) з висотою h. Кожне з таких рівнянь має якнайбільше n коренів. Тому може існувати лише кінцеве число чисел алгебри, що породжуються рівняннями з висотою h; отже, всі числа алгебри можна розташувати у вигляді послідовності, перераховуючи спочатку ті з них, які породжуються рівняннями висоти 1, потім - висоти 2 і т. д.

Цей доказ лічильності безлічі алгебраїчних чисел встановлює існування дійсних чисел, які не є алгебраїчними. Такі числа називають трансцендентними (від латинського transcendere – переходити, перевершувати); таке найменування їм дав Ейлер, тому що вони «перевершують потужність методів алгебри».

Канторово доказ існування трансцендентних чисел не належить до конструктивних. Теоретично міркуючи, можна було б побудувати трансцендентне число за допомогою діагональної процедури, що проводиться над уявним списком десяткових розкладів всіх чисел алгебри; але така процедура позбавлена всякого практичного значенняі не привела б до числа, розкладання якого в десятковий (або якийсь інший) дріб можна було б насправді написати. Найбільш цікаві проблеми, пов'язані з трансцендентними числами, полягають у доказі того, що певні, конкретні числа (сюди відносяться числа p і e, про які див. стор. 319-322) є трансцендентними.

АЛГЕБРАЇЧНІ ТА ТРАНСЦЕНДЕНТНІ ЧИСЛА

**2. Теорема Ліувіля та конструювання трансцендентних чисел. Доказ існування трансцендентних чисел ще до Кантора було надано Ж. Ліувілем (1809–1862). Воно дозволяє насправді конструювати приклади таких чисел. Доказ Ліувіля важче, ніж доказ Кантора, і це не дивно, оскільки сконструювати приклад, взагалі кажучи, складніше, ніж довести існування. Наводячи нижче доказ Ліувіля, маємо у вигляді лише підготовленого читача, хоча розуміння доказу цілком достатньо знання елементарної математики.

Як виявив Ліувілль, ірраціональні алгебраїчні числа мають ту властивість, що вони не можуть бути наближені раціональними числами з дуже великим ступенем точності, якщо тільки не взяти знаменники дробів, що наближають, надзвичайно великими.

Припустимо, що число z задовольняє рівняння алгебри з цілими коефіцієнтами

f(x) = a0 + a1 x + a2 x2 +. . . + an xn = 0 (an 6 = 0),

але не задовольняє такому ж рівнянню нижчого ступеня. Тоді

кажуть, що саме x є число алгебри ступеня n. Так наприклад,

число z = 2 є числом алгебри ступеня 2, тому що задовольняє рівнянню x2 − 2 = 0√ ступеня 2, але не задовольняє рівнянню першого ступеня; число z = 3 2 - ступеня 3, тому що задовольняє рівняння x3 - 2 = 0, але не задовольняє (як ми покажемо в розділі III) рівняння нижчого ступеня. Алгебраїчне число ступеня n > 1

не може бути раціональним, тому що раціональне число z = p q удо-

задовольняє рівняння qx − p = 0 ступеня 1. Кожне ірраціональне число z може бути з будь-яким ступенем точності наближено за допомогою раціонального числа; це означає, що завжди можна вказати послідовність раціональних чисел

p 1, p 2,. . .

q 1 q 2

з необмежено зростаючими знаменниками, що володіє тим свій-

що, що

p r → z. qr

Теорема Ліувіля стверджує: яке б не було число алгебри z ступеня n > 1, воно не може бути наближене за допомогою раци-

досить великих знаменниках обов'язково виконується нерівність

z − p q			> q n1 +1.

МАТЕМАТИЧНА ЧИСЛОВА СИСТЕМА

Ми збираємось навести доказ цієї теореми, але раніше покажемо, як за її допомогою можна будувати трансцендентні числа. Розглянемо число

z = a1 · 10-1! + a2 · 10-2! + a3 · 10-3! +. . . + am · 10−m! +. . . = = 0,a1 a2 000a3 00000000000000000a4 000. . . ,

де ai позначають довільні цифри від 1 до 9 (найпростіше було б покласти всі ai рівними 1), а символ n!, як завжди (див. стор 36), позначає 1 · 2 · . . . · n. Характерною властивістюдесяткового розкладання такого числа є те, що групи, що швидко зростають за своєю довжиною, нулів чергуються в ньому з окремими цифрами, відмінними від нуля. Позначимо через zm кінцеву десятковий дріб, Виходить, коли в розкладі візьмемо всі члени до am · 10-m! включно. Тоді отримаємо нерівність

Припустимо, що z було б числом алгебри ступеня n. Тоді, вважаючи в нерівності Ліувіля (3) pq = zm = 10pm! , ми повинні мати

|z − zm | > 10 (n+1)m!

при досить високих значеннях m. Зіставлення останньої нерівності з нерівністю (4) дає


10 (n+1)m!		10 (m+1)!			10 (m+1)!−1

звідки слідує (n + 1) m! > (m + 1)! − 1 за досить великих m. Але це неправильно для значень m, більших ніж n (нехай читач намагатиметься дати детальний доказ цього твердження). Ми дійшли суперечності. Отже, число z – трансцендентне.

Залишається довести теорему Ліувілля. Припустимо, що z - число алгебри ступеня n > 1, що задовольняє рівнянню (1), так що

f(zm ) = f(zm ) − f(z) = a1 (zm − z) + a2 (zm 2 − z2 ) + . . . + an (zm n - zn).

Ділячи обидві частини на zm − z та користуючись алгебраїчною формулою

u n − v n = un−1 + un−2 v + un−3 v2 + . . . + uvn−2 + vn−1 , u − v

ми отримуємо:

	f(zm)	A1 + a2 (zm + z) + a3 (zm 2 + zm z + z2) +. . .
	zm − z
		An (zm n−1 + . . . + zn−1 ). (6)

АЛГЕБРАЇЧНІ ТА ТРАНСЦЕНДЕНТНІ ЧИСЛА

Так як zm прагне z, то при досить великих m раціональне число zm буде відрізнятися від z менше ніж на одиницю. Тому за досить великих m можна зробити таку грубу оцінку:

	f(zm)	< \|a1 \| + 2\|a2 \|(\|z\| + 1) + 3\|a3 \|(\|z\| + 1)2
zm − z

N|an|(|z|+1)n−1 = M, (7)

причому стоїть праворуч число M - постійне, оскільки z не змінюється у процесі доказу. Виберемо тепер m настільки великим, щоб

у дробу z m = p m знаменник q m був більшим, ніж M; тоді qm

\|z − zm \| >	\|f(zm)\|			\|f(zm)\|

\|f(zm)\| =		−q n
		1 p +. . . + a

Раціональне число zm =	не може бути коренем рівняння
Раціональне число zm =	не може бути коренем рівняння

тому що тоді можна було б із многочлена f(x) виділити множник (x − zm ), і, отже, z задовольняло б рівняння ступеня нижчого ніж n. Отже, f(zm ) 6= 0. Але чисельник у правій частині рівності (9) є ціле число і, отже, абсолютної величинивін щонайменше дорівнює одиниці. Таким чином, зі зіставлення співвідношень (8) і (9) випливає нерівність


\|z − zm \| >
					q n+1

таки складовий зміст зазначеної теореми.

Протягом кількох останніх десятиліть дослідження щодо можливості наближення алгебраїчних чисел раціональними просунулися набагато далі. Наприклад, норвезький математик А. Туе (1863–1922) встановив, що у нерівності Лиувилля (3) показник n + 1 може бути замінений меншим показником n 2 + 1.

Зігель показав, що можна взяти і ще менший (ще менший

при більших n) показник 2 n.

Трансцендентні числа завжди були темою, яка приковує до себе увагу математиків. Але до порівняно недавнього часу серед чисел, які цікаві власними силами, було відомо дуже небагато таких, трансцендентний характер яких було б встановлено. (З трансцендентності числа p, про яку йтиметься у розділі III, слід неможливість квадратури кола з допомогою лінійки і циркуля.) У своєму виступі на Паризькому міжнародному математичному конгресі 1900 р. Давид Гільберт запропонував тридцять математичних

Алгебра множин

проблем, що допускають просте формулювання, деякі - навіть зовсім елементарне і популярне, з яких жодна не тільки не була вирішена, але навіть і не здавалася здатною бути дозволеною засобами математики тієї епохи. Ці «проблеми Гільберта» надали сильний збуджуючий вплив упродовж наступного періоду розвитку математики. Майже всі вони поступово були дозволені, і в багатьох випадках їх вирішення було пов'язане з ясно вираженими успіхами в сенсі вироблення більш загальних і глибших методів. Одна з проблем, що здавалася досить безнадійною, полягала в

доказ того, що число

є трансцендентним (чи хоча б ірраціональним). Протягом трьох десятиліть не було навіть натяку на такий підхід до питання з чийогось боку, який відкривав би надію на успіх. Зрештою, Зігель і, незалежно від нього, молодий російський математик А. Гельфонд відкрили нові методи для доказу трансцендентності багатьох

чисел, що мають значення у математиці. Зокрема, було встановлено

трансцендентність як гільбертова числа 2 2 , а й цілого досить великого класу чисел виду ab , де a - алгебраїчне число, відмінне від 0 і 1, a b - ірраціональне алгебраїчне число.

ДОДАТОК ДО РОЗДІЛУ II

Алгебра множин

1. Загальна теорія. Поняття класу, чи сукупності, чи безлічі об'єктів - одне з найбільш фундаментальних математики. Безліч визначається деякою властивістю («атрибутом») A, яким повинен або мати, або не мати кожен аналізований об'єкт; ті об'єкти, які мають властивість A, утворюють безліч A. Так, якщо ми розглядаємо цілі числа і властивість A полягає в тому, щоб бути «простим», то відповідна безліч A складається з усіх простих чисел 2, 3, 5, 7, . . .

Математична теоріямножин виходить з того, що з множин за допомогою певних операцій можна утворювати нові множини (подібно до того, як з чисел за допомогою операцій складання та множення виходять нові числа). Вивчення операцій над множинами становить предмет «алгебри множин», яка має багато спільного зі звичайною числовою алгеброю, хоча в чому і відрізняється від неї. Той факт, що методи алгебри можуть бути застосовані до вивчення нечислових об'єктів, якими є безлічі, ілю-

Алгебра множин

струє велику спільність ідей сучасної математики. Останнім часом з'ясувалося, що алгебра множин кидає нове світло на багато галузей математики, наприклад, теорію міри та теорію ймовірностей; вона корисна також під час систематизації математичних понятьта з'ясуванні їх логічних зв'язків.

Надалі I буде позначати деяку постійну множину об'єктів, природа яких байдужа, і яку ми можемо називати універсальною множиною (або універсумом міркування), а

A, B, C, . . . будуть якісь підмножини I. Якщо I є сукупність всіх натуральних чисел, то A, скажімо, може означати безліч всіх парних чисел, B - безліч всіх непарних чисел, C - безліч всіх простих чисел, і т. п. Якщо I означає сукупність всіх точок на площині, то A може бути безліччю точок всередині якогось кола, B - безліччю точок всередині іншого кола і т. п. До «підмножин» нам зручно включити саме I, а також «порожнє» безліч, що не містить ніяких елементів. Мета, яку переслідує таке штучне розширення, полягає у збереженні того положення, що кожній властивості A відповідає деяка множина елементів з I, що володіють цією властивістю. У разі, якщо A є універсально виконувана властивість, прикладом якого може служити (якщо йдеться про числа) властивість задовольняти тривіальній рівності x = x, то відповідне підмножина I буде саме I, оскільки кожен елемент має таку властивість; з іншого боку, якщо A є якась внутрішньо суперечлива властивість (на кшталт x 6= x), то відповідне підмножина не містить зовсім елементів, воно - "порожнє" і позначається символом.

Кажуть, що множина A є підмножина множини B, коротше, «A входить до B», або «B містить A», якщо у множині A немає такого елемента, який не був би також у множині B. Цьому співвідношенню відповідає запис

A B або B A.

Наприклад, безліч A всіх цілих чисел, що діляться на 10, є підмножина безлічі B всіх цілих чисел, що діляться на 5, тому що кожне число, що ділиться на 10, ділиться також на 5. Співвідношення A B не виключає співвідношення B A. Якщо має місце і те й інше, то

Це означає, що кожен елемент A є водночас елемент B, і назад, так що множини A і B містять якраз одні й ті самі елементи.

Співвідношення A B між множинами багато в чому нагадує співвідношення a 6 b між числами. Зокрема, відзначимо слід-

Алгебра множин

дуючі властивості цього співвідношення:

1) A A.

2) Якщо AB і BA, то A = B.

3) Якщо AB і BC, то АС.

З цієї причини співвідношення AB іноді називають «відношенням порядку». Головна відмінність аналізованого співвідношення від співвідношення a 6 b між числами полягає в тому, що між будь-якими двома заданими (дійсними) числами a і b неодмінно здійснюється щонайменше одне із співвідношень a 6 b або b 6 a, тоді як для співвідношення A B між множинами аналогічне твердження неправильне. Наприклад, якщо A є безліч, що складається з чисел 1, 2, 3,

а B - множина, що складається з чисел 2, 3, 4,

то немає місця ні співвідношення A B, ні співвідношення B A. З цієї причини говорять, що підмножини A, B, C, . . . множини I є «частково впорядкованими», тоді як дійсні числа a, b, c, . . .

утворюють «цілком упорядковану» сукупність.

Зауважимо, між іншим, що з визначення співвідношення A B слід, що, яке б не було підмножина A множини I,

Властивість 4) може бути дещо парадоксальним, але, якщо вдуматися, воно логічно суворо відповідає точному змісту визначення знака. Справді, співвідношення A порушувалося б тільки

в тому випадку, якби порожня множина містила елемент, який не містився б A; але так як порожня безліч не містить зовсім елементів, то цього не може бути, яке б не було A.

Ми визначимо тепер дві операції над множинами, що формально володіють багатьма алгебраїчними властивостями додавання та множення чисел, хоча за своїм внутрішнім змістом зовсім відмінні від цих арифметичних дій. Нехай A і B - якісь дві множини. Під об'єднанням, або «логічною сумою», A і B розуміється безліч, що складається з тих елементів, які містяться в A або

в B (включаючи і ті елементи, які містяться в A і B). Ця множина позначається A + B. 1 Під «перетином», або «логічним твором», A і B розуміється безліч, що складається з тих елементів, які містяться і в A і B. Ця множина позначається AB.2

Серед важливих алгебраїчних властивостейоперацій A + B та AB перерахуємо наступні. Читач зможе перевірити їхню справедливість, виходячи з визначення самих операцій:


	A + (B + C) = (A + B) + C. 9)

	A(B + C) = AB + AC.		A + (BC) = (A + B) (A + C).


	Співвідношення A B еквівалентне кожному з двох співвідношень

Перевірка всіх цих законів – справа найпростішої логіки. Наприклад, правило 10) констатує, що безліч елементів, що містяться або A, або A, є якраз безліч A; правило 12) констатує, що безліч тих елементів, які містяться в A і разом з тим містяться або B, або C, збігається з безліччю елементів, які або містяться одночасно в A і B, або містяться одночасно в A і C .Логічні міркування, що використовуються при доказах подібного роду правил, зручно ілюструються, якщо ми умовимося зображувати множини A, B, C, . . . у вигляді деяких фігур на площині і будемо дуже уважні в тому відношенні, щоб не упустити жодної з логічних можливостей, що виникають, коли йдеться про наявність загальних елементівдвох множин або, навпаки, наявності в одному множині елементів, які не містяться в іншій.

Алгебра множин

Читач, безсумнівно, звернув увагу на те, що закони 6), 7), 8), 9) і 12) зовні тотожні з добре знайомими комутативним, асоціативним і дистрибутивним законами звичайної алгебри. Звідси випливає, що це правила звичайної алгебри, які з цих законів, дійсні й у алгебрі множин. Навпаки, закони 10), 11) і 13) немає своїх аналогів у звичайній алгебрі, і вони надають алгебрі множин простішу структуру. Наприклад, формула бінома в алгебрі множин зводиться до найпростішої рівності

(A + B) n = (A + B) · (A + B). . . (A + B) = A + B,

яке випливає із закону 11). Закони 14), 15) і 17) свідчать, що властивості множин і I стосовно операціям об'єднання і перетину множин дуже схожі властивості чисел 0 і 1 стосовно операціям числових дій складання і множення. Але закон 16) немає аналога в числовій алгебрі.

Залишається дати визначення ще однієї операції в алгебрі множин. Нехай A - якесь підмножина універсальної множини I. Тоді під доповненням A в I розуміється безліч всіх елементів I, які не містяться в A. Для цієї множини ми введемо позначення A0 . Так, якщо I є безліч всіх натуральних чисел, а A - безліч всіх простих чисел, то A0 є безліч, що складається з усіх складових чисел і числа 1. Операція переходу від A до A0, для якої немає аналога у звичайній алгебрі, має наступними властивостями:

	A+A0=I.		AA0 = .
	0 = I.		I0 = .

23) A00 = A.

24) Співвідношення A B еквівалентне співвідношенню B 0 A0.

25) (A + B) 0 = A0 B0. 26) (AB)0 = A0 + B0.

Перевірку цих властивостей ми знову надаємо читачеві.

Закони 1)-26) лежать в основі алгебри множин. Вони мають чудову властивість «двоїстості» в наступному сенсі:

Якщо в одному із законів 1)–26) замінити один на одного відпо-

(у кожному їх входженні), то в результаті знову виходить один із цих законів. Наприклад, закон 6) перетворюється на закон 7), 12) - в 13), 17) - в 16) тощо. буд. , «Двійна» їй теорема, що виходить з першої за допомогою зазначених перестановок символів. Справді, оскільки доказ

гол. II АЛГЕБРА МНОЖИН 139

перша теорема складається з послідовного застосування (на різних стадіях міркування, що проводиться) деяких із законів 1–26), то застосування на відповідних стадіях «двоїх» законів складе доказ «двоїстої» теореми. (З приводу такої ж «двоїстості» в геометрії див. Розділ IV.)

2. Застосування математичної логіки. Перевірка законів алгебри множин ґрунтувалася на аналізі логічного сенсу співвідношення A B та операцій A + B, AB та A0. Ми можемо тепер звернути цей процес і розглядати закони 1)–26) як основу для «алгебри логіки». Скажімо точніше: та частина логіки, яка стосується множин, або, що по суті те саме, властивостей об'єктів, що розглядаються, може бути зведена до формальної алгебраїчної системи, заснованої на законах 1)–26). Логічний «умовний всесвіт» визначає безліч I; кожна властивість A визначає безліч A, що складається з тих об'єктів в I, які мають цю властивість. Правила перекладу звичайної логічної термінології на мову множин зрозумілі з

наступних прикладів:



"Ні A, ні B"			(A + B)0 , або, що те саме, A0 B0
"Невірно, що і A, і B"			(AB)0 , або, що те саме, A0 + B0

є B», або
«Якщо A, то B»,
«Якщо A, то B»,



«З A випливає B»

«Якесь A є B»



«Жодне A не є B»			AB =
«Якесь A не є B»			AB0 6=
"Немає ніякого A"

У термінах алгебри множин силогізм «Barbara», що означає, що «якщо всяке A є B і всяке B є C, то всяке A є C», набуває простого вигляду:

3) Якщо AB і BC, то АС.

Аналогічно «закон протиріччя», який стверджує, що «об'єкт не може одночасно володіти і не володіти деякою властивістю», записується у вигляді:

20) AA 0 = ,

а «закон виключеного третього», який говорить, що «об'єкт повинен або мати, або не мати деяку властивість», записується:

19) A+A0=I.

Алгебра множин

Таким чином, та частина логіки, яка виразна в термінах символів, +, · і 0, може трактуватися як формальна система алгебри, підпорядкована законам 1)–26). На основі злиття логічного аналізу математики та математичного аналізу логіки створилася нова дисципліна – математична логіка, яка в даний час перебуває у процесі бурхливого розвитку.

З аксіоматичної точки зору заслуговує на увагу той чудовий факт, що твердження 1)–26), разом з усіма іншими теоремами алгебри множин, можуть бути логічно виведені з наступних трьох рівностей:

27) A + B = B + A,

(A + B) + C = A + (B + C),

(A0 + B0) 0 + (A0 + B) 0 = A.

Звідси випливає, що алгебра множин може бути побудована як суто дедуктивна теорія, на кшталт евклідової геометрії, на основі цих трьох положень, що приймаються як аксіом. Якщо ці аксіоми прийняті, то операція AB та відношення A B визначаються в термінах A + B та A0:

	позначає безліч (A0 + B0 )0 ,
	B означає, що A + B = B.

Зовсім іншого приклад математичної системи, в якій виконуються всі формальні закони алгебри множин, дається системою восьми чисел 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30: тут a + b позначає,

визначенню, загальне найменше кратне a і b, ab - загальний найбільший дільник a і b, a b - твердження «b поділяється на a» та a0 - число 30 a . Су-

Існування таких прикладів спричинило вивчення загальних алгебраїчних систем, що задовольняють законам 27). Такі системи називаються "булевими алгебрами" - на честь Джорджа Буля (1815-1864), англійського математика і логіка, книга якого "Ан investigation of the laws of thought" (Дослідження законів мислення) з'явилася в 1854 році.

3. Одне із застосувань до теорії ймовірностей. Алгебра множин має найближче відношення до теорії ймовірностей і дозволяє глянути на неї у новому світлі. Розглянемо найпростіший приклад: уявімо собі експеримент з кінцевим числом можливих наслідків, які всі мисляться як «рівноможливі» Експеримент може, наприклад, полягати в тому, що ми витягуємо навмання карту з повною колоди, що добре перетасована. Якщо безліч всіх результатів експерименту позначимо через I, а A позначає якесь підмножина I, то ймовірність того, що результат експерименту виявиться належать до підмножини A, визначається як відношення

p(A) = число елементів A. число елементів I

Алгебра множин

Якщо умовимося число елементів у якомусь множині A позначати через n(A), то останній рівності можна надати вигляду




У нашому прикладі, припускаючи, що A є підмножина треф, ми напів-
чим n(A) = 13, n(I) = 52 та p(A) =

Ідеї алгебри множин виявляються при обчисленні ймовірностей тоді, коли доводиться, знаючи ймовірність одних множин, обчислювати ймовірності інших. Наприклад, знаючи ймовірності p(A), p(B) та p(AB), можна обчислити ймовірність p(A + B):

p(A + B) = p(A) + p(B) – p(AB).

Довести це не важко. Ми маємо

n(A + B) = n(A) + n(B) − n(AB),

оскільки елементи, що містяться одночасно в A і B, тобто елементи AB, вважаються двічі при обчисленні суми n(A) + n(B), і, значить, потрібно відняти n(AB) з цієї суми, щоб підрахунок n(A + B) був зроблений правильно. Потім ділячи обидві частини рівності на n(I), ми отримуємо співвідношення (2).

Цікавіша формула виходить, якщо йдеться про три множини A, B, C з I. Користуючись співвідношенням (2), ми маємо

p(A + B + C) = p[(A + B) + C] = p(A + B) + p(C) − p[(A + B)C].

Закон (12) попереднього пунктудає нам (A + B) C = AC + BC. Звідси випливає:

p[(A + B)C)] = p(AC + BC) = p(AC) + p(BC) − p(ABC).

Підставляючи в отримане раніше співвідношення значення p[(A + B)C] і значення p(A + B), взяте з (2), ми приходимо до потрібної формули:

p(A + B + C) = p(A) + p(B) + p(C) − p(AB) − p(AC) − p(BC) + p(ABC). (3)

Як приклад розглянемо наступний експеримент. Три цифри 1, 2, 3 пишуться в будь-якому порядку. Якою є ймовірність того, що принаймні одна з цифр опиниться на належному (у сенсі нумерації) місці? Нехай A є безліч перестановок, у яких цифра 1 стоїть першому місці, B - безліч перестановок, у яких цифра 2 стоїть другою місці, C - безліч перестановок, у яких цифра 3 стоїть третьому місці. Нам потрібно обчислити p(A+B+C). Зрозуміло, що

p(A) = p(B) = p(C) = 2 6 = 1 3;

дійсно, якщо якась цифра стоїть на належному місці, то є дві можливості переставити решту двох цифр з загальної кількості 3 · 2 · 1 = 6 можливих перестановок трьох цифр. Далі,

Вправа. Виведіть відповідну формулу для p(A + B + C + D) та застосуйте її до експерименту, в якому братимуть участь 4 цифри. Відповідна ймовірність дорівнює 58 = 0,6250.

Загальна формула для об'єднання n множин має вигляд

p(A1 + A2 + . . . + An ) =
	p(Ai ) −
	p(Ai ) −	p(Ai Aj) + p(Ai Aj Ak) − . . . ± p(A1 A2 . . . An ), (4)


де символи			позначають підсумовування за всіма можливими

комбінаціям, що містять одну, дві, три, . . . , (n − 1) літер із числа A1 , A2 , . . .

An. Ця формула може бути встановлена за допомогою математичної індукції - так само, як формула (3) була виведена з формули (2).

З формули (4) можна зробити висновок, що якщо n цифр 1, 2, 3, . . . n написані в будь-якому порядку, то ймовірність того, що принаймні одна з цифр опиниться на належному місці, дорівнює

pn = 1 −

причому перед останнім членом стоїть знак + або −, зважаючи на те, чи є n парним чи непарним. Зокрема, за n = 5 ця ймовірність дорівнює

p5 = 1 − 2! + 3! − 4! + 5! = 30 = 0,6333. . .

У розділі VIII ми побачимо, що коли n прагне нескінченності, вираз

1 1 1 1 Sn = 2! − 3! + 4! − . . . ± n!

прагне межі 1 e , значення якого, з п'ятьма знаками після коми,

одно 0,36788. Оскільки з формули (5) видно, що pn = 1 − Sn, то звідси випливає, що за n → ∞

pn → 1 − e ≈ 0,63212.

Число називається алгебраїчнимякщо воно є коренем деякого багаточлена з цілими коефіцієнтами

a n x n +a n-1 x n-1 +... +a 1 x+a 0(т. е. коренем рівняння a n x n +a n-1 x n-1 +... +a 1 x+a 0 =0, де a n, a n-1, ..., a 1, a 0 --- цілічисла, n 1, a n 0).

Безліч алгебраїчних чисел позначимо буквою .

Легко бачити, що будь-яке раціональне число є алгебраїчним. Справді, - корінь рівняння qx-p=0з цілими коефіцієнтами a 1 =qі a 0 =-p. Отже, .

Однак не всі алгебраїчні числа раціональні: наприклад, число є коренем рівняння x 2 -2 = 0, Отже, --- число алгебри.

Довгий час залишалося невирішеним важливе для математики питання: Чи існують неалгебраїчні дійсні числа ? Лише 1844 року Ліувіль вперше навів приклад трансцендентного (тобто. неалгебраїчного) числа.

Побудова цього числа та доказ його трансцендентності дуже складні. Довести теорему існування трансцендентних чисел можна значно простіше, використовуючи міркування про еквівалентність та нееквівалентність числових множин.

А саме, доведемо, що безліч алгебраїчних чисел є рахунковим. Тоді, оскільки багато всіх дійсних чисел незліченна, ми встановимо існування неалгебраїчних чисел.

Побудуємо взаємно однозначну відповідність між і деякою підмножиною . Це означатиме, що - Звісно чи рахунково. Але оскільки , то нескінченно, отже, рахунково.

Нехай - деяке число алгебри. Розглянемо всі багаточлени з цілими коефіцієнтами, коренем яких є , і виберемо серед них багаточлен Pмінімального ступеня (тобто не буде коренем жодного багаточлена з цілими коефіцієнтами меншого ступеня).

Наприклад, для раціонального числа такий многочлен має ступінь 1, а числа - ступінь 2.

Розділимо всі коефіцієнти багаточлена Pна їхній найбільший спільний дільник. Отримаємо многочлен, коефіцієнти якого взаємно прості разом (їх найбільший спільний дільник дорівнює 1). Зрештою, якщо старший коефіцієнт a nвід'ємний, помножимо всі коефіцієнти многочлена на -1 .

Отриманий багаточлен (тобто багаточлен з цілими коефіцієнтами, коренем якого є число, що має мінімально можливий ступінь, взаємно прості коефіцієнти та позитивний старший коефіцієнт) називається мінімальним багаточленом числа.

Можна довести, що такий многочлен визначається однозначно: кожне число алгебри має рівно один мінімальний многочлен.

Кількість дійсних коренів многочлена не більше, ніж його ступінь. Отже, можна пронумерувати (наприклад, за зростанням) усі коріння такого багаточлена.

Тепер будь-яке число алгебри повністю визначається своїм мінімальним багаточленом (тобто набором його коефіцієнтів) і номером, який відрізняє від інших коренів цього многочлена: (a 0 ,a 1 ,...,a n-1 ,a n ,k).

Отже, кожному алгебраїчному числу ми поставили у відповідність кінцевий набір цілих чисел, причому по цьому набору відновлюється однозначно (тобто різним числам відповідають різні набори).

Пронумеруємо в порядку зростання всі прості числа (неважко показати, що їх дуже багато). Отримаємо нескінченну послідовність (p k): p 1 =2,p 2 =3, p 3 =5, p 4 =7, ... Тепер набору цілих чисел (a 0 ,a 1 ,...,a n-1 ,a n ,k)можна поставити у відповідність твір

(Це число позитивне та раціональне, але не завжди натуральне, адже серед чисел a 0, a 1, ..., a n-1, може бути негативні). Зауважимо, що це число є нескоротним дріб, оскільки прості множники, що входять до розкладання чисельника і знаменника, різні. Зауважимо також, що два нескоротні дроби з позитивними чисельниками та знаменниками рівні тоді і тільки тоді, коли і їх чисельники рівні, та їх знаменники рівні.

Розглянемо тепер наскрізне відображення:

(a 0 ,a 1 ,...,a n-1 ,a n ,k) =

Оскільки різним числам алгебри ми поставили у відповідність різні набори цілих чисел, а різним наборам --- різніраціональні числа, то ми, таким чином, встановили взаємно однозначну відповідність між множиною і деякою підмножиною . Тому безліч алгебраїчних чисел лічильна.

Оскільки безліч дійсних чисел незліченна, ми довели існування неалгебраїчних чисел.

Однак теорема існування не вказує на те, як визначити, чи є дане число алгебраїчним. А це питання іноді дуже важливо для математики.

4.2. Алгебраїчні та трансцендентні числа

Дійсні числа іноді поділяють також на алгебраїчні та трансцендентні.

Алгебраїчними називають числа, які є корінням багаточленів алгебри з цілими коефіцієнтами, наприклад, 4, . Решта (неалгебраїчні) числа відносяться до трансцендентних. Оскільки кожне раціональне число p/q є коренем відповідного многочлена першого ступеня з цілими коефіцієнтами qx -p, всі трансцендентні числа ірраціональні.

Виділимо характерні особливостірозглянутих (натуральних, раціональних, дійсних) чисел: вони моделюють лише одну властивість - кількість; вони одномірні і всі зображуються точками однією прямої, званої координатної віссю.

5. Комплексні числа

5.1. Уявні числа

Ще дивнішими, ніж ірраціональні, виявилися числа нової природи, відкриті італійським ученим Кардано 1545 року. Він показав, що система рівнянь, яка має розв'язків у багатьох дійсних чисел, має рішення виду, . Потрібно лише умовитися діяти над такими виразами за правилами звичайної алгебри і вважати, що = -.

Кардано називав такі величини "чисто негативними" і навіть "софістично негативними", вважав їх марними і намагався не вживати.

Довгий час ці числа вважали неможливими, неіснуючими, уявними. Декарт назвав їх уявними, Лейбніц - «виродком зі світу ідей, сутністю, що знаходиться між буттям і небуттям».

Насправді, за допомогою таких чисел не можна виразити ні результат виміру якоїсь величини, ні зміна якоїсь величини.

Уявним числам був місця на координатної осі. Однак вчені помітили, що якщо взяти дійсне число b на позитивній частині координатної осі і помножити його на, отримаємо уявне число b, невідомо де розташоване. Але якщо це число ще раз помножити, то отримаємо -b, тобто початкове число, але вже на негативній частині координатної осі. Отже, двома множеннями на ми перекинули число b з позитивного в негативні, і на середині цього кидка число було уявним. Так знайшли місце уявним числам у точках на уявній координатній осі, перпендикулярній до середини дійсної координатної осі. Точки площини між уявною і дійсною осями зображують числа, знайдені Кардано, які в загальному вигляді a + b·i містять дійсні числа а та уявні b·i в одному комплексі (складі), тому називаються комплексними числами.

Це був четвертий рівень узагальнення чисел.

Поступово розвивалася техніка операцій над уявними числами. На рубежі XVII і XVII століть була побудована загальна теорія коренів n-них ступенів спочатку з негативних, а потім з будь-яких комплексних чисел, заснована на наступній формулі англійського математика А. Муавра:

За допомогою цієї формули можна було також вивести формули для косінусів та синусів кратних дуг.

Леонард Ейлер вивів у 1748 році чудову формулу:

яка пов'язувала воєдино показову функціюз тригонометричної. За допомогою формули Ейлера можна було зводити число е у будь-яку комплексний ступінь. Цікаво, наприклад, що. Можна знаходити sin та cos комплексних чисел, обчислювати логарифми таких чисел тощо.

Довгий час навіть математики вважали комплексні числа загадковими та користувалися ними лише для математичних маніпуляцій. Так, швейцарський математик Бернуллі застосовував комплексні числа на вирішення інтегралів. Трохи згодом за допомогою уявних чисел навчилися висловлювати рішення лінійних диференціальних рівнянь із постійними коефіцієнтами. Такі рівняння зустрічаються, наприклад, у теорії коливань матеріальної точкив опірному середовищі.

Алгебраїчні групи матриць

Алгебраїчні системи замикань

Почнемо з поняття операції алгебри. Нехай A - універсальна алгебра з безліччю операцій алгебраїчних Щ. Кожна операція щ з Щ має певну арність n, nN(0). Для будь-якого натурального n n-арна операція щ - це відображення з An в A...

Властивості простих чисел

Взаємно прості числа - натуральні або цілі числа, які не мають спільних дільників більших за 1, або, інакше кажучи, якщо їх найбільший спільний дільник дорівнює 1. Таким чином, 2 і 3 - взаємно прості, а 2 і 4 - ні (Ділятися на 2)...

Графіки та їх функції

Розглянемо основні алгебраїчні діїнад функціями та їх графіками, такі як додавання та віднімання (y = f(x) ±g(x)), множення (y = f(x) · g(x)), розподіл (y = f(x) / g (x)). При побудові такого типу графіків слід враховувати...

Комплексні числа: їхнє минуле та сьогодення

Математика в середні віки

Необхідною умовою застосування методу фан-чен до систем рівнянь було запровадження негативних чисел. Наприклад, при вирішенні системи отримуємо таблицю. Наступний крок: віднімання елементів третього стовпця праворуч із елементів першого...

Нумерологія

Числа у Піфагора вважалися не просто абстрактними замінниками реальних речей, а живими сутностями, що відображають властивості простору, енергії або звукової вібрації. Головна наука про число, арифметика...

Нумерологія

Легенда свідчить, що гармонійні числа, співвідношення яких народжує музику сфер, знайшли Піфагором. Фламмаріон так переказує це переказ: "Розповідають, що проходячи повз одну кузню, він почув стук молотів...

Практичне застосуванняквадратурних формул із вагою Чебишева-Ерміта

Нехай по всій осі задана парна вагова функція.

(1.1) Диференціюючи цю функцію послідовно, знаходимо (1.2) По індукції легко довести, що похідна порядку n від функції (1.1) є добуток цієї функції деякий многочлен ступеня n...

Введемо нове недійсне число, квадрат якого дорівнює -1. Це число позначимо символом Я і назвемо уявною одиницею. Отже, (2.1). (2.2) 1. Алгебраїчна форма комплексного числа Якщо, то число (2.3) називається комплексним числом...

Рекурентно задані числові послідовності

При вирішенні багатьох завдань часто доводиться стикатися з послідовностями, заданими рекурентно, але, на відміну від послідовності Фібоначчі, не завжди можливо отримати її аналітичне завдання.

Трансцендентні рівняння з параметрами та методи їх вирішення

Трансцендентне рівняння - рівняння, що містить трансцендентні функції (ірраціональні, логарифмічні, показові, тригонометричні та зворотні тригонометричні) від невідомого (змінного), наприклад рівняння...

Дивовижні числа

Давним-давно, допомагаючи собі за рахунку камінчиками, люди звертали увагу на правильні фігури, які можна викласти з камінчиків. Можна просто класти камінчики до ряду: один, два, три. Якщо класти їх у два ряди, щоб виходили прямокутники.

Іноді окремим випадком дружніх чисел вважаються досконалі числа: кожне досконале число дружнє собі. Нікомах Гераський, знаменитий філософ і математик, писав: "Досконалі числа красиві. Але відомо... Фрактальні властивості

соціальних процесів Геометричні фрактал є статичними фігурами. Подібний підхід цілком прийнятний доти, доки не виникає необхідність розгляду такихприродних явищ

У цьому параграфі ми знову залишимо прекрасне і затишне царство цілих чисел, яким розгулювали (ледь не сказав - тинялися) вивчаючи теорію порівнянь. Якщо простежити історію виникнення та розвитку знань людства про числа, то виявиться досить парадоксальний факт - протягом майже всієї своєї багатовікової історії людство використовувало на практиці і уважно вивчало виключно малу частку усієї множини живуть у природі чисел. Люди довгий час зовсім не підозрювали про існування, як з'ясувалося згодом, переважної більшості дійсних чисел, наділених дивовижними та загадковими властивостями, які тепер називають трансцендентними. Судіть самі (перераховую орієнтовні етапи розвитку поняття дійсного числа):

1) Геніальна математична абстракція натурального числа, що йде з глибини тисячоліть.

Геніальність цієї абстракції вражає, а її значення для розвитку людства перевершує, мабуть, навіть винахід колеса. Ми звикли до неї настільки, що перестали захоплюватися цим самим видатним досягненнямлюдського розуму. Однак спробуйте, для більшої достовірності уявивши себе не студентом-математиком, а первісною людиною, або, скажімо, студентом-філологом, сформулювати точно, що спільного є між трьома хатами, трьома биками, трьома бананами та трьома ультразвуковими томографами (що спільного між трьома товаришами по чарці ми тут не розглядаємо). Пояснювати не математику, що таке натуральне число "три" - майже безнадійна витівка, проте вже п'ятирічний людський дитинча внутрішньо відчуває цю абстракцію і в змозі розумно оперувати з нею, випрошуючи у мами три цукерки замість двох.

2) Дроби, тобто. позитивні раціональні числа

Дроби природно виникли при вирішенні завдань про розподіл майна, вимір земельних ділянок, обчисленні часу тощо. У стародавньої Греціїраціональні числа взагалі були символом гармонії навколишнього світу і проявом божественного початку, проте відрізки, до певного часу, вважалися сумірними, тобто. ставлення їх довжин мало виражатися оптимальним числом, інакше - труба (а боги цього допустити що неспроможні).

3) Негативні числа та нуль (згідно з деякими науковими джерелами

Негативні числа спочатку трактувалися як борг при фінансових та бартерних розрахунках, проте потім з'ясувалося, що без негативних чисел та в інших сферах людської діяльності нікуди не подінешся (хто не вірить, хай подивиться взимку на градусник за вікном). Число нуль, на мій погляд, спочатку служило швидше не символом порожнього місця і відсутністю всякої кількості, а символом рівності і завершеності процесу розрахунків (скільки був винен сусідові, стільки йому і віддав, і ось тепер - нуль, тобто шкода).

4) Ірраціональні алгебраїчні числа

Ірраціональні числа відкрили в піфагорійській школі при спробі порівнювати діагональ квадрата з його стороною, але зберігали це відкриття в страшній таємниці - як би смути не сталося! У це відкриття присвячувалися лише найбільш психічно стійкі та перевірені учні, а тлумачилося воно як огидне явище, що порушує гармонію світу. Але потреба та війна змусили людство вчитися вирішувати алгебраїчні рівнянняне лише першого ступеня з цілими коефіцієнтами. Після Галілея снаряди почали літати параболами, після Кеплера планети полетіли еліпсами, механіка і балістика стали точними науками і скрізь потрібно було вирішувати і вирішувати рівняння, корінням яких були ірраціональні числа. Тому з існуванням ірраціонального коріння алгебраїчних рівнянь довелося змиритися, якими б огидними вони не здавалися. Більше того, методи вирішення кубічних рівнянь і рівнянь четвертого ступеня, відкриті в 16 столітті італійськими математиками Сципіоном дель Ферро, Нікколо Тартальей (Тарталья – це прізвисько, що означає в перекладі – заїка, справжнього його прізвища я не знаю), Людовіком Ферралі та Рафа до винаходу зовсім "надприродних" комплексних чисел, яким судилося отримати повне визнання тільки в 19 столітті. Алгебраїчні ірраціональності міцно увійшли до людської практики вже з 16 століття.

У історії розвитку поняття числа не знайшлося місця для трансцендентних чисел, тобто. чисел не є корінням ніякого рівня алгебри з раціональними або, що рівносильно (після приведення до спільного знаменника), цілими коефіцієнтами. Щоправда, ще давні греки знали чудове число p , яке, як згодом з'ясувалося, трансцендентно, але вони знали його лише як відношення довжини кола до її діаметру. Питання про справжню природу цього числа взагалі мало кого цікавило доти, поки люди вдосталь і безуспішно не вирішувалися давньогрецьким завданням про квадратуру кола, а саме число p якимось загадковим чином повилазило в різних розділах математики та природознавства.

Лише в 1844 році Ліувіль побудував історично перший приклад трансцендентного числа, а математичний світ здивувався самому факту існування таких чисел. Лише в 19 столітті геніальний Георг Кантор зрозумів, використовуючи поняття потужності множини, що на числовій прямій трансцендентних чисел переважна більшість. Тільки в п'ятому параграфі цієї невеликої книжки ми, нарешті, звернемо на трансцендентні числа свою увагу.

Пункт 24. Міра та категорія на прямій.

У цьому пункті я наведу деякі попередні відомості з математичного аналізу, необхідні для розуміння подальшого викладу. У математиці придумано чимало різних формалізації поняття “малості” множини. Нам знадобляться два з них - безліч міри нуль і безліч першої категорії по Беру. Обидва ці поняття спираються на поняття лічильності множини. Відомо, що множина раціональних чисел рахункова (| Q|= А 0), і будь-яке нескінченне безліч містить лічильне підмножина, тобто. лічильні безлічі найменші з нескінченних. Між будь-яким рахунковим безліччю та безліччю натуральних чисел Nіснує біологічне відображення, тобто. елементи будь-якої лічильної множини можна перенумерувати, або, іншими словами, будь-яку лічильну множину можна вибудувати в послідовність. Жоден інтервал на прямий не є лічильним безліччю. Це, очевидно, випливає із наступної теореми.

Теорема 1 (Кантор).Для будь-якої послідовності ( a n) дійсних чисел і для будь-якого інтервалу Iіснує точка рПро Iтака, що p № a nдля будь-кого nПро N .

Доведення.Процес. Беремо відрізок (саме відрізок, разом із кінцями) I 1 М Iтакий, що a 1 П I 1 . З відрізка I 1 беремо відрізок I 2 М I 1 такий, що a 2 П I 2 і т.д. Продовжуючи процес з відрізка I n -1беремо відрізок I n М I n-1 такий, що a n П I n. В результаті цього процесу отримуємо послідовність вкладених відрізків I 1 Й I 2 Й … Й I n Й … перетин
яких, як відомо з першого курсу, не пусто, тобто. містить деяку точку
. Очевидно, що p № a nпри всіх n Про N .

Я не думаю, що читачі раніше не зустрічалися з цим витонченим доказом (хоча в моїй практиці зустрічалися і дуже темні студенти), просто ідея цього доказу далі буде використана при доказі теореми Бера і тому корисно її нагадати заздалегідь.

Визначення.Безліч Ащільно в інтервалі I, якщо воно має непусте перетинання з кожним подінтервалом з I. Безліч Ащільно, якщо воно щільно в R. Безліч Аніде не щільно, якщо воно не щільно в жодному інтервалі на дійсному прямому, тобто. кожен інтервал на прямий містить підінтервал, що повністю лежить у додатку до А .

Легко зрозуміти, що безліч Аніде не щільно тоді і лише тоді, коли його доповнення A умістить щільне відкрите безліч. Легко зрозуміти, що безліч Аніде не щільно тоді і лише тоді, коли його замикання
немає жодної внутрішньої точки.

Ніде не щільні множини на прямій інтуїтивно відчуваються маленькими в тому сенсі, що в них повно дірок і точки такої множини розташовані на прямій досить рідко. Деякі властивості ніде не щільних множин сформулюємо скопом у вигляді теореми.

Теорема 2. 1) Будь-яке підмножина ніде не щільної множини ніде не щільно.

2) Об'єднання двох (або будь-якого кінцевого числа) ніде не щільних множин ніде не щільно.

3) Замикання ніде не щільної множини ніде не щільно.

Доведення. 1) Очевидно.

2) Якщо A 1 і A 2 ніде не щільні, то для кожного інтервалу Iзнайдуться інтервали I 1 М ( I \ A 1) та I 2 М ( I 1 \ A 2). Значить, I 2 М I \(A 1 І A 2), а це означає, що A 1 І A 2 ніде не щільно.

3) Очевидно, що будь-який відкритий інтервал, що міститься в A у, міститься також і в
.

Таким чином, клас ніде не щільних множин замкнутий щодо операції взяття підмножин, операції замикання та кінцевих об'єднань. Рахункове об'єднання ніде не щільних множин, взагалі кажучи, не повинно бути ніде не щільним безліччю. Приклад тому - безліч раціональних чисел, яке всюди щільно, але є лічильним об'єднанням окремих точок, кожна з яких утворює одноелементне ніде не щільне безліч R .

Визначення.Безліч, яке можна представити у вигляді кінцевого чи лічильного об'єднання ніде не щільних множин, називається безліччю першої категорії (за Бером). Безліч, яке не можна уявити в такому вигляді, називається безліччю другої категорії.

Теорема 3. 1) Доповнення будь-якої множини першої категорії на прямій є щільним.

2) Ніякий інтервал у Rне є множиною першої категорії.

3) Перетин будь-якої послідовності щільних відкритих множин є щільною множиною.

Доведення.Три сформульовані в теоремі властивості є по суті еквівалентними. Доведемо перше. Нехай

- Подання безлічі Апершої категорії у вигляді лічильного об'єднання ніде не щільних множин, I- Довільний інтервал. Далі - процес як у доказі теореми Кантора. Виберемо відрізок (саме відрізок, разом із кінцями) I 1 М ( I \ A 1). Це можна зробити, тому що в додатку до ніде не щільної множини A 1 всередині інтервалу Iзавжди знайдеться цілий підінтервал, а він, у свою чергу, містить у собі цілий відрізок. Виберемо відрізок I 2 М ( I 1 \ A 2). Виберемо відрізок I 3 М ( I 2 \ A 3) і т.д. Перетин вкладених відрізків
не пусто, отже, доповнення I \ Aне порожньо, а це означає, що доповнення A ущільно.

Друге твердження теореми безпосередньо випливає з першого, третє твердження також випливає з першого, якщо зробити над собою зусилля і перейти до доповнень послідовності щільних відкритих множин.

Визначення.Клас множин, що містить всілякі кінцеві чи лічильні об'єднання своїх членів та будь-які підмножини своїх членів, називається s – ідеалом.

Очевидно, що клас всіх не більш ніж лічильних множин є s-ідеалом. Після невеликих роздумів легко зрозуміти, що клас всіх множин першої категорії на прямій також є s -ідеалом. Ще один цікавий приклад s-ідеалу дає клас так званих нуль-множин (або множин міри нуль).

Визначення.Безліч АМ Rназивається безліччю міри нуль (нуль-множиною), якщо Аможна покрити не більш ніж лічильною сукупністю інтервалів, сумарна довжина яких менша за будь-який наперед заданого числа e> 0, тобто. для будь-якого e > 0 існує така послідовність інтервалів I n, що
і е Ѕ I n Ѕ< e .

Поняття нуль-множини є іншою формалізацією інтуїтивного поняття "малості" множини: нуль-множини - це множини маленькі по довжині. Очевидно, що окрема точка є нуль-множиною і що будь-яке підмножина нуль-множини саме є нуль-множиною. Тому той факт, що нуль-множини утворюють s-ідеал випливає з наступної теореми.

Теорема 4 (Лебег).Будь-яке лічильне об'єднання нуль-множин є нуль-множиною.

Доведення.Нехай A і- нуль-множини, i= 1, 2, .... Тоді для кожного iіснує послідовність інтервалів I ij ( j=1, 2, ...) така, що
і
. Безліч всіх інтервалів I ij покриває Аі сума їх довжин менше e, оскільки
. Значить, А- нуль-множина.

Ніякий інтервал чи відрізок перестав бути нуль-множиною, т.к. справедлива

Теорема 5 (Гейне – Борель).Якщо кінцева чи нескінченна послідовність інтервалів I nпокриває інтервал I, то

S Ѕ I n Ѕ і Ѕ I Ѕ .

Я не буду наводити тут доказ цієї інтуїтивно очевидної теореми бо його можна знайти в будь-якому більш-менш серйозному курсі математичного аналізу.

З теореми Гейне-Бореля випливає, що s-ідеал нуль-множин, подібно s-деалам не більше ніж лічильних множин і множин першої категорії не містить інтервалів та відрізків. Спільним між цими трьома s-ідеалами є також те, що вони включають всі кінцеві і лічильні множини. Крім того, існують незліченні множини першої категорії міри нуль. Найбільш знайомий приклад такої множини - канторово досконале (*) безліч cМ , що складається з чисел, у трійковому записі яких немає одиниці. Згадайте процес побудови канторова досконалої множини: відрізок ділиться на три рівні частини і середній відкритий інтервал викидається. Кожна з двох третин, що залишилися, відрізка знову ділиться на три рівні частини і середні відкриті інтервали з них викидаються і т.д. Очевидно, що решта цього процесу безліч ніде не щільно, тобто. першої категорії. Легко підрахувати, сумарна довжина викинутих середніх частин дорівнює одиниці, тобто. змає міру нуль. Відомо що знезліченно, т.к. безліч безліч нескінченних послідовностей, що складаються з нулів і двійок (кожний елемент зпредставляється троїчним дробом у якій після коми йде саме послідовність з нулів і двійок).

Пропоную читачам самостійно перевірити, що існують множини першої категорії, що не є нуль-множинами, і існують нуль-множини, які не є множинами першої категорії (втім, якщо вам ускладнить вигадування відповідних прикладів, не впадайте у відчай, а просто дочитайте цей пункт до теореми .

Таким чином, картинка співвідношень між розглянутими трьома s-ідеалами така:

Отже, ми запровадили два поняття небагатьох множин. Немає нічого парадоксального, що безліч, мала в одному сенсі, може в іншому сенсі виявитися більшою. Наступна теорема непогано ілюструє цю думку і показує, що в деяких випадках, введені поняття малості можуть виявитися діаметрально протилежними.

Теорема 6.Числову пряму можна розбити на дві доповнюючі один одного множини Аі Утак що Ає безліч першої категорії, а Умає міру нуль.

Доведення.Нехай a 1 , a 2 ,…, a n ,… – занумерована безліч раціональних чисел (або будь-яка інша лічильна скрізь щільна підмножина R). Нехай I ij– відкритий інтервал довжини 1/2 i+j з центром у точці a i. Розглянемо безліч:

, j =1,2,...;

; A = R \ B = B ў .

Очевидно, що для будь-якого e > 0 можна вибрати jтак, що 1/2 j< e . Тогда

отже, У- нуль-множина.

Далі,
– щільна відкрита підмножина Rт.к. воно є поєднання послідовності відкритих інтервалів і містить усі раціональні точки. Це означає, що його доповнення G jу ніде не щільно, отже
- Багато першої категорії.

Чи не так, дивовижний результат! З доведеної теореми випливає, що кожне підмножина прямий, виявляється, можна представити у вигляді поєднання нуль-множини і множини першої категорії. У наступному пункті ми розглянемо конкретне розбиття Rна дві підмножини, одна з яких - трансцендентні числа Ліувіля - міри нуль, але другий категорії по Беру. Скоріше до наступного пункту!

Завдання

1. Наведіть приклад двох скрізь щільних множин, перетин яких не є всюди щільним. Наведіть приклад усюди щільної множини, доповнення до якої також усюди щільно.

2. Чи існує безліч заходів нуль, щільне на відрізку?

5. Нехай безліч Ена відрізку має міру нуль. Чи є його замикання безліччю міри нуль?

6. Нехай безліч Еніде не щільно на відрізку і має міру нуль. Чи є його замикання безліччю міри нуль?

7. Чи існують такі два всюди щільні незліченні множини на прямій, перетин яких пусто?

8. Побудуйте на відрізку досконале ніде не щільне безліч ненульової міри.

9. Нехай s>0, A Н R. Кажуть, що безліч Амає нульову s-мірну міру Хаусдорфа, якщо для будь-якого e> 0 існує послідовність інтервалів I nтака, що:
та Ѕ I n Ѕ < e при всех n. Доведіть, що сімейство всіх множин нульової s-мірної міри Хаусдорфа утворює s-ідеал; при s=1 він збігається з класом нуль-множин, а за 0< s <1 является его собственным подклассом.

10. Нехай послідовність f n (x) безперервних функцій крапково сходиться до функції f (x) на відрізку. Доведіть, що безліч точок розриву функції f (x) на цьому відрізку є безліччю першої категорії. **)

НОВИНИ КУЛЬТУРИ

НОВІ НАДХОДЖЕННЯ В ЕРМТАЖ

Художник Валентин Сєpов. "Дівчинка з персиками".

Автор чуйно вловив і вміло передав настрій моделі - задумалася на хвилину про сумне: ось все той же прилавок, ті ж ваги, весь час продаєш ці прокляті персики, а роки йдуть, і ніхто заміж не бере, і все ще дівчинка ...

Іван Крамський. "Невідома".

У похмурих і напружених тонах витриманий фон полотна, сама предметна композиція. І різким дисонансом - кричаще-червона, тривожна душу невідома xв рівнянні 0,48 Ц x + 456,67 = 8974.

Забутий придворний художник "Портре високопоставленої дами"

Кавказькі гори. Праворуч - замок Тамари, ліворуч - жива дама стоїть, а чим харчується і хто її так високо поставив - невідомо.

Скульптор Мухіна. "Робоча та колгоспник".

Матеріал - бринза.

Художник Сальєрі. "Моцарт за роялем".

Так зване мистецтво "ready-made" ("мистецтво готових об'єктів"), коли художник вириває звичайний предмет з контексту і перетворює його на факт мистецтва. Цю композицію складають 2 пляшки - "Mozart", перед нею - "Royal".

Художник Вермеєр. "Дівчина в блакитному"

Дивна і гротескна картина. У рентгенівському просвітлюючому ключі дані її персонажі. Дійсно дівчина. Справді, у блакитному.

Василь Кандінський. "Композиція N 456642695244962".

Як відомо, ідея про створення абстрактних картин, прийшла в голову художнику, коли він розглядав ганчірку, про яку витирав кисті. Ганчірка, про яку він витирав ноги, переконала його, що він на вірному шляху. Ця робота є чергове зображення знаменитих ганчірок.

Художник Мін Здpав.

Плакат "Юнак, що розглядає бацилу тифу, збільшену в 10000000000 разів"

Картина Медведєва "Три шишки".

Федотов "Сніданок аристократа."

Полотно. Масло. Хліб.