Що таке дотична до кола. Характерні властивості дотичної до кола

Згадаймо випадки взаємного розташування прямої та кола.

Задано коло з центром Про і радіусом r. Пряма Р, відстань від центру до прямої, тобто перпендикуляр ЗМ, дорівнює d.

Випадок 1- відстань від центру кола до прямої менше радіусу кола:

Ми довели, що у випадку, коли відстань d менша за радіус кола r, пряма і коло мають лише дві загальні точки (рис. 1).

Мал. 1. Ілюстрація на випадок 1

Випадок другий- відстань від центру кола до прямої дорівнює радіусу кола:

Ми довели, що у цьому випадку загальна точка єдина (рис. 2).

Мал. 2. Ілюстрація до випадку 2

Випадок 3- відстань від центру кола до прямої більше радіусу кола:

Ми довели, що в даному випадку коло і пряме не мають спільних точок (рис. 3).

Мал. 3. Ілюстрація на випадок 3

На даному уроці нас цікавить другий випадок, коли пряма та коло мають єдину спільну точку.

Визначення:

Пряма, що має з колом єдину загальну точку, називається дотичною до кола, загальна точка називається точкою торкання прямої та кола.

Пряма р – дотична, точка А – точка дотику (рис. 4).

Мал. 4. Стосовна

Теорема:

Дотична до кола перпендикулярна радіусу, проведеному в точку торкання (рис. 5).

Мал. 5. Ілюстрація до теореми

Доведення:

Від неприємного - нехай ОА не перпендикулярно прямий р. У такому разі опустимо з точки Про перпендикуляр на пряму р, який буде відстанню від центру кола до прямої:

З прямокутного трикутника можемо сказати, що гіпотенуза ВІН менше катета ОА, тобто пряма і коло мають дві загальні точки, пряма р є січною. Таким чином, ми набули протиріччя, а, отже, теорема доведена.

Мал. 6. Ілюстрація до теореми

Справедлива та зворотна теорема.

Теорема:

Якщо пряма проходить через кінець радіусу, що лежить на колі, і перпендикулярна до цього радіусу, то вона є дотичною.

Доведення:

Оскільки пряма перпендикулярна радіусу, то відстань ОА - це відстань від прямої до центру кола і вона дорівнює радіусу: . Тобто, а в цьому випадку, як ми раніше доводили, у прямої та кола єдина загальна точка - це точка А, таким чином, пряма р є дотичною до кола за визначенням (рис. 7).

Мал. 7. Ілюстрація до теореми

Пряму і зворотну теореми можна поєднати так (рис. 8):

Задано коло з центром О, пряма р, радіус ОА

Мал. 8. Ілюстрація до теореми

Теорема:

Пряма є дотичною до кола тоді і тільки тоді, коли радіус, проведений у точку торкання, перпендикулярний їй.

Дана теорема означає, що якщо пряма є дотичною, то радіус, проведений у точку торкання, перпендикулярний їй, і навпаки, з перпендикулярності ОА і р випливає, що р - дотична, тобто пряма та коло мають єдину загальну точку.

Розглянемо дві дотичні, проведені з однієї точки до кола.

Теорема:

Відрізки дотичних до кола, проведені з однієї точки, рівні та становлять рівні кутиз прямою, проведеною через цю точку та центр кола.

Задано коло, центр О, точка А поза коло. З точки А проведено дві дотичні точки В і С - точки дотику. Потрібно довести, що і що дорівнюють кути 3 і 4.

Мал. 9. Ілюстрація до теореми

Доведення:

Доказ ґрунтується на рівності трикутників . Пояснимо рівність трикутників. Вони є прямокутними, оскільки радіус, проведений у точку торкання, перпендикулярний дотичній. Значить, кути і прямі і дорівнюють . Катети ОВ і ОС рівні, оскільки є радіусом кола. Гіпотенуза АТ – загальна.

Таким чином, трикутники рівні за рівністю катета та гіпотенузи. Звідси очевидно, що катети АВ та АС також рівні. Також кути, що лежать навпроти рівних сторін, Рівні, отже, рівні кути і , .

Теорему доведено.

Отже, ми познайомилися з поняттям щодо кола, на наступному уроці ми розглянемо градусну міру дуги кола.

Список літератури

1. Александров А.Д. та ін. Геометрія 8 клас. - М: Просвітництво, 2006.
2. Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолов В.В. Геометрія 8. – К.: Просвітництво, 2011.
3. Мерзляк А.Г., Полонський В.Б., Якір С.М. Геометрія 8 клас. – К.: ВЕНТАНА-ГРАФ, 2009.

1. Univer.omsk.su().
2. Oldskola1.narod.ru ().
3. School6.aviel.ru ().

Домашнє завдання

1. Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. та ін, Геометрія 7-9, № 634-637, с. 168.

Доведення

Якщо хорда є діаметром, теорема очевидна.

На малюнку 287 зображено коло з центром O , M - точка перетину діаметра CD та хорди AB , CD ⊥ AB . Потрібно довести, що AM = MB .

Проведемо радіуси OA та OB. У рівнобедреному трикутнику AOB (OA = OB) відрізок OM - висота, а значить, і медіана, тобто AM = MB.

Теорема 20.2

Діаметр кола, що ділить хорду, відмінну від діаметра, навпіл, перпендикулярний цій хорді.

Доведіть цю теорему самостійно. Подумайте, чи буде вірним це твердження, якщо хорда є діаметром.

На малюнку 288 показані всі можливі випадки взаємного розташування прямої та кола. На малюнку 288, які мають спільних точок, малюнку 288, б - мають дві загальні точки, малюнку 288, в - одну.

Мал. 288

Визначення

Пряму, що має з колом лише одну загальну точку, називають дотичною до кола.

Дотична до кола має лише одну загальну точку з колом, обмеженим цим колом. На малюнку 288, пряма a - дотична до кола з центром у точці O , A - точка торкання.

Якщо відрізок (промінь) належить дотичному до кола і має з цим колом загальну точку, то кажуть, що відрізок (промінь) стосується кола. Наприклад, на малюнку 289 зображено відрізок AB , який стосується кола в точці С .

Теорема 20.3

(Властивість дотичної)

Дотична до кола перпендикулярна радіусу, проведеному в точку торкання.

Доведення

На малюнку 290 зображено коло з центром O , A - точка торкання прямої a та кола. Потрібно довести, що OA ⊥ a .

Мал. 289	Мал. 290	Мал. 291

Припустимо, що це не так, т. Е. Відрізок OA - похила до прямої a . Тоді з точки O опустимо перпендикуляр OM на пряму a (рис. 291). Оскільки точка A - єдина загальна точка прямої a і кола з центром O точка M не належить цьому колу. Звідси OM = MB + OB , де точка B - точка перетину кола та перпендикуляра OM . Відрізки OA та OB рівні як радіуси кола. Отже, OM > OA.

Отримали протиріччя: перпендикуляр OM більший за похилу OA . Отже, OA ⊥ a .

Теорема 20.4

(Ознака дотичної до кола)

Доведення

Якщо пряма, яка проходить через точку кола, перпендикулярна радіусу, проведеному в цю точку, то ця пряма є дотичною до цього кола.

Мал. 292

На малюнку 290 зображено коло з центром у точці O , відрізок OA - її радіус, точка A належить прямій a , OA ⊥ a . Доведемо, що пряма a - дотична до кола.

Нехай пряма a не є дотичною, а має ще одну загальну точку B з колом (рис. 292). Тоді ∆ AOB – рівнобедрений (OA = OB як радіуси). Звідси ∠ OBA = ∠ OAB = 90 °. Отримуємо протиріччя: у трикутнику AOB є два прямі кути. Отже, пряма a є дотичною до кола.

Слідство

Якщо відстань від центру кола до деякої прямої дорівнює радіусу кола, то ця пряма є дотичною до цього кола.

Доведіть це слідство самостійно.

Завдання.

Доведіть, що якщо через цю точку до кола проведено дві дотичні, то відрізки дотичних, що з'єднують цю точку з точками дотику, дорівнюють.

Рішення. На малюнку 293 зображено коло з центром O. Прямі AB та AC - дотичні, точки B та C - точки дотику. Потрібно довести, що AB = AC .

1. Проведемо радіуси OB і OC у торканні точки. За якістю щодо OB ⊥ AB і OC ⊥ AC . У прямокутних трикутниках AOB та AOC катети OB та OC рівні як радіуси одного кола, AO – загальна гіпотенуза. Отже, трикутники AOB і AOC рівні з гіпотенузи та катету. Звідси AB = AC.
2. Як ділить хорду діаметр перпендикулярний їй?
3. Чому дорівнює кут між хордою, відмінною від діаметра, і діаметром, що ділить цю хорду навпіл?
4. Опишіть усі можливі випадки взаємного розташування прямого та кола.
5. Яку пряму називають дотичною до кола?
6. Якою властивістю має радіус, проведений у точку торкання прямого та кола?
7. Сформулюйте ознаку щодо кола.

Яку властивість мають дотичні, проведені до кола через одну точку?

507. Практичні завдання

508. Накресліть коло з центром O, проведіть хорду AB. Користуючись косинцем, розділіть цю хорду навпіл.

509. Накресліть коло з центром O, проведіть хорду CD. Користуючись лінійкою зі шкалою, проведіть діаметр перпендикулярний хорді CD .

510. Накресліть коло, позначте на ньому точки A та B. Користуючись лінійкою та косинцем, проведіть прямі, які стосуються кола в точках A та B .

Проведіть пряму a і позначте на ній точку M. Користуючись косинцем, лінійкою та циркулем, проведіть коло радіуса 3 см, яке стосується прямої a у точці M. Скільки таких кіл можна провести?

511. Вправи

512. На малюнку 294 точка O - центр кола, діаметр CD перпендикулярний хорді AB . Доведіть, що ∠ AOD = ∠ BOD .

513. Доведіть, що рівні хорди кола рівновіддалені від її центру.

514. Доведіть, що й хорди кола рівновіддалені від її центру, всі вони рівні.

515. Чи вірно, що пряма, перпендикулярна радіусу кола, стосується цього кола? Пряма

516. Чи вірно, що пряма, перпендикулярна радіусу кола, стосується цього кола? CD стосується кола з центром O у точці A , відрізок AB - хорда кола, ∠ BAD = 35° (рис. 295). Знайдіть ∠ AOB.

517. Дано коло, діаметр якого дорівнює 6 см. Пряма a віддалена від її центру на: 1) 2 см; 2) 3 см; 3) 6 см. У якому разі пряма a є дотичною до кола?

518. У трикутнику ABC відомо, що ∠C = 90°. Доведіть, що:

1) пряма BC є дотичною до кола з центром A, що проходить через точку C;

2) пряма AB не є дотичною до кола з центром C, що проходить через точку A.

519. Доведіть, що діаметр кола більший за будь-яку хорду, відмінну від діаметра.

520. В колі з центром O через середину радіусу провели хорду AB перпендикулярну йому. Доведіть, що AOB = 120°.

521. Знайдіть кут між радіусами OA та OB кола, якщо відстань від центру O кола до хорди AB у 2 рази менша: 1) довжини хорди AB ; 2) радіуса кола.

522. В колі провели діаметр AB та хорди AC і CD так, що AC = 12 см, ∠ BAC = 30°, AB ⊥ CD . Знайдіть довжину хорди CD.

523. Через точку M до кола з центром O провели дотичні MA та MB , A та B - точки дотику, ∠ OAB = 20°. Знайдіть ∠ AMB.

524. Через кінці хорди AB , що дорівнює радіусу кола, провели дві дотичні, що перетинаються в точці C .Знайдіть ∠ ACB .

525. Через точку З кола з центром O провели дотичну до цього кола, AB - діаметр кола. З точки A на дотику опущений перпендикуляр AD. Доведіть, що промінь AC - бісектриса кута BAD .

526. Чи вірно, що пряма, перпендикулярна радіусу кола, стосується цього кола? AC стосується кола з центром O у точці A (рис. 296). Доведіть, що кут BAC у 2 рази менший від кута AOB .

Мал. 294	Мал. 295	Мал. 296

527. Відрізки AB і BC - відповідно хорда та діаметр кола, ∠ ABC = 30°. Через точку A провели дотичну до кола, що перетинає пряму BC у точці D. Доведіть, що ∆ ABD - рівнобедрений.

528. Відомо, що діаметр AB ділить хорду CD навпіл, але не перпендикулярний їй. Доведіть, що CD – також діаметр.

529. Знайдіть геометричне місце центрів кіл, які стосуються даної прямої в даній точці.

530. Знайдіть геометричне місце центрів кіл, які стосуються обох сторін даного кута.

531. Знайдіть геометричне місце центрів кіл, які стосуються даної прямої.

532. Прямі, що стосуються кола з центром O в точках A і B перетинаються в точці K , ∠ AKB = 120°. Доведіть, що AK + BK = OK.

533. Коло стосується сторони AB трикутника ABC у точці M та стосується продовження двох інших сторін. Доведіть, що сума довжин відрізків BC та BM дорівнює половині периметра трикутника ABC .

Мал. 297

534. Через точку C проведено дотичні AC та BC до кола, A та B - точки дотику (рис. 297). На колі взяли довільну точку M , що лежить в одній напівплощині з точкою C щодо прямої AB і через неї провели дотичну до кола, що перетинає прямі AC і BC в точках D і E відповідно. Доведіть, що периметр трикутника DEC залежить від вибору точки M .

Вправи для повторення

535. Доведіть, що середина M відрізка, кінці якого належать двом паралельним прямим, є серединою будь-якого відрізка, що проходить через точку M та кінці якого належать цим прямим.

536. Відрізки AB та CD лежать на одній прямій і мають загальну середину. Точку M вибрали так, що трикутник AMB - рівнобедрений з основою AB. Доведіть, що ∆ CMD також є рівнобедреним із основою CD .

537. На стороні MK трикутника MPK відзначили точки E і F так, що точка E лежить між точками M і F, ME = EP, PF = FK. Знайдіть кут M , якщо ∠ EPF = 92°, ∠ K = 26°.

538. У гострокутному трикутнику ABC проведено бісектрису BM, з точки M на бік BC опущено перпендикуляр MK, ∠ABM = ∠KMC. Доведіть, що трикутник ABC- рівнобедрений.

Спостерігайте, малюйте, конструюйте, фантазуйте

539. Встановіть закономірність форм фігур, зображених на малюнку 298. Яку фігуру треба поставити такою?

Мал. 298

Поняття щодо кола

Окружність має три можливі взаємні розташування відносно прямої:

Якщо відстань від центру кола до прямої менша за радіус, то пряма має дві точки перетину з колом.

Якщо відстань від центру кола до прямої дорівнює радіусу, то пряма має дві точки перетину з коло.

Якщо відстань від центру кола до прямої більша за радіус, то пряма має дві точки перетину з колом.

Введемо тепер поняття щодо прямої до кола.

Визначення 1

Дотичним до кола називається пряма, яка має з нею одну точку перетину.

Загальна точка кола та дотичної називається точкою дотику (рис 1).

Малюнок 1. Стосовно кола

Теореми, пов'язані з поняттям дотичного до кола

Теорема 1

Теорема про властивість дотичної: дотична до кола перпендикулярна до радіуса, проведеного в точку дотику.

Доведення.

Розглянемо коло із центром $O$. Проведемо в точці $A$ щодо $a$. $OA=r$ (Мал. 2).

Доведемо, що $a\bot r$

Будемо доводити теорему методом «від неприємного». Припустимо, що дотична $a$ не перпендикулярна радіусу кола.

Рисунок 2. Ілюстрація теореми 1

Тобто $OA$ - похила до дотичної. Так як перпендикуляр до прямої $ a $ завжди менше похилої до цієї ж прямої, то відстань від центру кола до прямої менше радіусу. Як відомо, у разі пряма має дві точки перетину з окружностью. Що суперечить визначенню дотичної.

Отже, дотична перпендикулярна до радіуса кола.

Теорему доведено.

Теорема 2

Зворотна теорема про властивість дотичної: Якщо пряма, що проходить через кінець радіусу будь-якого кола перпендикулярна радіусу, то дана пряма є дотичною до цього кола.

Доведення.

За умовою завдання маємо, що радіус - перпендикуляр, проведений із центру кола до цієї прямої. Отже, відстань від центру кола до прямої дорівнює довжині радіусу. Як ми знаємо, у цьому випадку коло має лише одну точку перетину з цієї прямої. За визначенням 1 і отримуємо, що ця пряма - дотична до кола.

Теорему доведено.

Теорема 3

Відрізки дотичних до кола, проведені з однієї точки, рівні і становлять рівні кути з прямої, що проходить через цю точку та центр кола.

Доведення.

Нехай дане коло з центром у точці $O$. З точки $A$ (що лежить усі кола) проведено дві різні дотичні. З точки дотику відповідно $B$ і $C$ (Рис. 3).

Доведемо, що $angle BAO=angle CAO$ і що $AB=AC$.

Рисунок 3. Ілюстрація теореми 3

По теоремі 1, маємо:

Отже, трикутники $ABO$ і $ACO$ - прямокутні. Оскільки $OB=OC=r$, а гіпотенуза $OA$ -- загальна, ці трикутники рівні по гіпотенузі і катету.

Звідси і отримуємо, що $ angle BAO = angle CAO $ і $ AB = AC $.

Теорему доведено.

Приклад завдання поняття дотичної до кола

Приклад 1

Дано коло з центром в точці $ O $ і радіусом $ r = 3 см $. Стосовна $AC$ має точку дотику $C$. $AO=4\ см$. Знайти $AC$.

Рішення.

Зобразимо спочатку все малюнку (Рис. 4).

Малюнок 4.

Оскільки $AC$ дотична, а $OC$ радіус, те теоремі 1, отримуємо, что$\angle ACO=(90)^(()^\circ )$. Отримали, що трикутник $ACO$ - прямокутний, отже, за теоремою Піфагора, маємо:

\[(AC)^2=(AO)^2+r^2\] \[(AC)^2=16+9\] \[(AC)^2=25\] \

Сікаючі, дотичні – все це сотні разів можна було чути на уроках геометрії. Але випуск зі школи позаду, минають роки, і всі ці знання забуваються. Що слід згадати?

Сутність

Термін "дотик до кола" знайомий, напевно, всім. Але навряд чи всім вдасться швидко сформулювати його визначення. Тим часом дотичною називають таку пряму, що лежить в одній площині з колом, яке перетинає її лише в одній точці. Їх може існувати безліч, але всі вони мають однакові властивості, про які йтиметься нижче. Як неважко здогадатися, точкою торкання називають те місце, де коло і пряме перетинаються. У кожному конкретному випадку вона одна, якщо їх більше, то це буде вже січна.

Історія відкриття та вивчення

Поняття дотичної з'явилося ще в давнину. Побудова цих прямих спочатку до кола, та був до еліпсів, параболам і гиперболам з допомогою лінійки і циркуля проводилося ще початкових етапах розвитку геометрії. Зрозуміло, історія не зберегла ім'я першовідкривача, але очевидно, що ще на той час людям були цілком відомі властивості, що стосуються кола.

У Новий час інтерес до цього явища спалахнув знову - почався новий виток вивчення цього поняття у поєднанні з відкриттям нових кривих. Так, Галілей ввів поняття циклоїди, а Ферма та Декарт побудували до неї дотичну. Що ж до кіл, здається, ще для давніх не залишилося секретів у цій галузі.

Властивості

Радіус, проведений в точку перетину,

основна, але не єдина властивість, яка має відносну до кола. Ще одна важлива особливість включає вже дві прямі. Так, через одну точку, що лежить поза колом, можна провести дві дотичні, при цьому їх відрізки будуть рівними. Є ще одна теорема з цієї теми, проте її рідко проходять у рамках стандартного шкільного курсухоча для вирішення деяких завдань вона вкрай зручна. Звучить вона в такий спосіб. З однієї точки, розташованої поза колом, проведено дотичну та січну до неї. Утворюються відрізки AB, AC та AD. А - перетин прямих, B точка дотику, C і D - перетину. У цьому випадку буде справедливою наступна рівність: довжина дотичної до кола, зведена в квадрат, дорівнюватиме добутку відрізків AC і AD.

Зі сказаного вище є важливе слідство. Для кожної точки кола можна побудувати дотичну, але тільки одну. Доказ цього досить просто: теоретично опустивши на неї перпендикуляр із радіусу, з'ясовуємо, що утворений трикутник існувати не може. І це означає, що дотична – єдина.

Побудова

Серед інших завдань із геометрії є особлива категорія, як правило, не

користується любов'ю учнів та студентів. Для вирішення завдань із цієї категорії потрібні лише циркуль та лінійка. Це завдання на побудову. Є вони і на побудову дотичної.

Отже, дано коло і точка, що лежить поза її межами. І необхідно провести через них дотичну. Як це зробити? Насамперед, потрібно провести відрізок між центром кола Про та заданою точкою. Потім за допомогою циркуля слід розділити його навпіл. Щоб це зробити, необхідно задати радіус - трохи більше половини відстані між центром початкового кола та даною точкою. Після цього потрібно побудувати дві дуги, що перетинаються. Причому радіус у циркуля міняти не треба, а центром кожної частини кола будуть початкова точка і відповідно. Місця перетинів дуг потрібно з'єднати, що розділить відрізок навпіл. Задати на циркулі радіус, рівний цій відстані. Далі з центром у точці перетину побудувати ще одне коло. На ній лежатиме як початкова точка, так і О. При цьому буде ще два перетину з даним завданням колом. Саме вони і будуть точками дотику для заданої точки.

Саме побудова дотичних до кола призвела до народження.

диференціального обчислення. Першу працю з цієї теми було опубліковано відомим німецьким математиком Лейбніцем. Він передбачав можливість знаходження максимумів, мінімумів та дотичних незалежно від дробових та ірраціональних величин. Що ж, тепер воно використовується і для багатьох інших обчислень.

Крім того, дотична до кола пов'язана з геометричним змістомтангенсу. Саме від цього і походить його назва. У перекладі з латині tangens - "дотична". Таким чином, це поняття пов'язане не тільки з геометрією та диференціальним обчисленням, але і з тригонометрією.

Два кола

Не завжди дотична торкається лише однієї фігури. Якщо до одного кола можна провести безліч прямих, то чому ж не можна навпаки? Можна, можливо. Ось тільки завдання в цьому випадку серйозно ускладнюється, адже дотична до двох кіл може проходити не через будь-які точки, а взаємне розташування всіх цих фігур може бути дуже

різним.

Типи та різновиди

Коли йдеться про два кола і одну або кілька прямих, то навіть якщо відомо, що це дотичні, не відразу стає ясно, як всі ці постаті розташовані по відношенню одна до одної. Виходячи з цього, розрізняють кілька різновидів. Так, кола можуть мати одну або дві спільні точки або не мати їх зовсім. У першому випадку вони перетинатимуться, а в другому - торкатимуться. І ось тут розрізняють два різновиди. Якщо одне коло хіба що вкладено у друге, то дотик називають внутрішнім, якщо ні - зовнішнім. Зрозуміти взаємне розташування фігур можна не тільки, виходячи з креслення, але й маючи інформацію про суму їх радіусів та відстань між їхніми центрами. Якщо ці дві величини рівні, то кола стосуються. Якщо перша більше – перетинаються, а якщо менше – то не мають спільних точок.

Так само і з прямими. Для будь-яких двох кіл, що не мають спільних точок, можна

побудувати чотири дотичні. Дві з них перетинатимуться між фігурами, вони називаються внутрішніми. Пара інших – зовнішні.

Якщо йдеться про кола, які мають одну спільну точку, то завдання серйозно спрощується. Справа в тому, що за будь-якого взаємне розташуванняу цьому випадку дотична у них буде лише одна. І проходитиме вона буде через точку їхнього перетину. Тож побудова проблеми не викличе.

Якщо ж фігури мають дві точки перетину, то для них може бути побудована пряма, що стосується кола як однієї, так і другої, але тільки зовнішня. Вирішення цієї проблеми аналогічне тому, що буде розглянуто далі.

Вирішення задач

Як внутрішня, так і зовнішня до двох кіл, у побудові не такі вже й прості, хоч ця проблема і вирішувана. Справа в тому, що для цього використовується допоміжна фігура, тому додуматися до такого способу самостійно

досить проблематично. Отже, дано два кола з різним радіусом та центрами О1 та О2. Для них потрібно збудувати дві пари дотичних.

Насамперед, біля центру більшого кола потрібно побудувати допоміжне. При цьому на циркулі має бути встановлена ​​різниця між радіусами двох початкових фігур. З центру меншого кола будуються дотичні до допоміжного. Після цього з О1 та О2 проводяться перепендикуляри до цих прямих до перетину з первісними фігурами. Як випливає з основної якості дотичної, шукані точки на обох колах знайдені. Завдання вирішено принаймні її перша частина.

Для того, щоб побудувати внутрішні дотичні, доведеться вирішити практично

аналогічне завдання. Знову знадобиться допоміжна постать, проте цього разу її радіус буде дорівнює суміпочаткових. До неї будуються дотичні з центру однієї з цих кіл. Подальший хід рішення можна зрозуміти з попереднього прикладу.

Стосовно кола або навіть двох і більше - не така вже складна задача. Звичайно, математики давно перестали вирішувати подібні проблеми вручну та довіряють обчислення спеціальним програмам. Але не варто думати, що тепер необов'язково вміти робити це самостійно, адже для правильного формулювання завдання для комп'ютера потрібно багато зробити та зрозуміти. На жаль, є побоювання, що після остаточного переходу на тестову форму контролю знань завдання на побудову викликатимуть у учнів дедалі більше труднощів.

Що ж до знаходження загальних дотичних для більшої кількостікіл, це не завжди можливо, навіть якщо вони лежать в одній площині. Але в деяких випадках можна знайти таку пряму.

Приклади з життя

Загальна дотична до двох кіл часто зустрічається і на практиці, хоч це і не завжди помітно. Конвеєри, блокові системи, передавальні ремені шківів, натяг нитки в швейній машинці, та навіть просто велосипедний ланцюг - все це приклади з життя. Тож не варто думати, що геометричні завданнязалишаються лише в теорії: в інженерній справі, фізиці, будівництві та багатьох інших галузях вони знаходять практичне застосування.

Цілі уроку

• Освітні – повторення, узагальнення та перевірка знань на тему: “Дотична до кола”; вироблення основних навичок.
• Розвиваючі – розвинути увагу учнів, посидючість, наполегливість, логічне мислення, математичну мову.
• Виховні – за допомогою уроку виховувати уважне ставлення один до одного, прищеплювати вміння слухати товаришів, взаємовиручку, самостійність.
• Ввести поняття дотичної точки дотику.
• Розглянути властивість дотичної та її ознаку та показати їх застосування при вирішенні завдань у природі та техніці.

Завдання уроку

• Формувати навички у побудові дотичних за допомогою масштабної лінійки, транспортира та креслярського трикутника.
• Перевірити вміння учнів вирішувати завдання.
• Забезпечити оволодіння основними алгоритмічними прийомами побудови дотичної до кола.
• Сформувати вміння застосовувати теоретичні знання вирішення завдань.
• Розвивати мислення та мовлення учнів.
• Працювати над формуванням умінь спостерігати, помічати закономірності, узагальнювати, проводити міркування за аналогією.
• Прищеплення інтересу до математики.

План уроку

1. Поява поняття щодо.
2. Історія появи дотичної.
3. Геометричні визначення.
4. Основні теореми.
5. Побудова дотичної до кола.
6. Закріплення.

Поява поняття щодо

Поняття дотичної – одне з найдавніших у математиці. У геометрії дотичну до кола визначають як пряму, що має рівно одну точку перетину з цим колом. Стародавні за допомогою циркуля та лінійки вміли проводити дотичні до кола, а згодом – до конічних перерізів: еліпсів, гіперболів та параболів.

Історія появи дотичної

Інтерес до дотичних відродився у Новий час. Тоді були відкриті криві, яких не знали вчені давнини. Наприклад, Галілей запровадив циклоїду, а Декарт і Ферма збудували до неї дотичну. У першій третині XVII ст. Почали розуміти, що дотична – пряма, «найтісніша» до кривої в малій околиці заданої точки. Легко уявити таку ситуацію, коли не можна побудувати дотичну до кривої у цій точці (малюнок).

Геометричні визначення

Окружність- геометричне місце точок площини, рівновіддалених від заданої точки, яка називається її центром.

коло.

Пов'язані визначення

• Відрізок, що з'єднує центр кола з якоюсь її точкою (а також довжина цього відрізка), називається радіусомкола.
• Частина площини, обмежена коло, називається кругом.
• Відрізок, що з'єднує дві точки кола, називається її хордий. Хорда, що проходить через центр кола, називається діаметром.
• Будь-які дві точки, що не збігаються, кола ділять її на дві частини. Кожна з цих частин називається дугоюкола. Мірою дуги може бути міра відповідного їй центрального кута. Дуга називається півколом, якщо відрізок, що з'єднує її кінці, є діаметром.
• Пряма, що має з колом рівно одну загальну точку, називається дотичноїдо кола, а їх загальна точка називається точкою торкання прямої та кола.
• Пряма, що проходить через дві точки кола, називається січучої.
• Центральним кутом у колі називається плоский кут з вершиною у її центрі.
• Кут, вершина якого лежить на колі, а сторони перетинають це коло, називається вписаним кутом.
• Два кола, що мають спільний центр, називаються концентричними.

Стосовна пряма- Пряма, що проходить через точку кривої і збігається з нею в цій точці з точністю до першого порядку.

Стосовно коланазивається пряма, що має з колом одну загальну точку.

Пряма, що проходить через точку кола в тій же площині перпендикулярно до радіуса, проведеного в цю точку, називається дотичною. При цьому ця точка кола називається точкою торкання.

Де в нашому випадку "а" це пряма яка є дотичною до даного кола, точка "А" є точкою дотику. При цьому а⊥ОА (пряма а перпендикулярна до радіусу ОА).

Кажуть що два кола стосуютьсяякщо вони мають єдину загальну точку. Ця точка називається точкою торкання кіл. Через точку торкання можна провести дотичну до одного з кіл, яка є одночасно і дотичною до іншого кола. Торкання кіл буває внутрішнім і зовнішнім.

Торкання називається внутрішнім, якщо центри кіл лежать по одну сторону від дотичної.

Торкання називається зовнішнім, якщо центри кіл лежать по різні боки від дотичної

а - загальна дотична до двох кіл, К - точка дотику.

Основні теореми

Теоремапро дотичну та січну

Якщо з точки, що лежить поза коло, проведено дотичну та січні, то квадрат довжини дотичної дорівнює добутку січної на її зовнішню частину: MC 2 = MA MB.

Теорема.Радіус, проведений у точку торкання кола, перпендикулярний дотичній.

Теорема.Якщо радіус перпендикулярний прямий у точці перетину нею кола, то ця пряма - дотична до цього кола.

Доведення.

Для доказу цих теорем нам треба згадати, що таке перпендикуляр із точки на пряму. Це найкоротша відстань від цієї точки до цієї прямої. Припустимо, що ОА не перпендикулярний дотичній, а є пряма ОС перпендикулярна дотичній. Довжина ОС містить у собі довжину радіуса і ще певний відрізок ВС, що, безумовно, більше радіуса. Таким чином, можна доводити для будь-якої прямої. Укладаємо, що радіус, радіус проведений у точку торкання, є найкоротшим відстанню до дотичної з точки, тобто. ОС перпендикулярний дотичній. У доказі зворотної теореми виходитимемо з того, що дотична має з колом лише одну загальну точку. Нехай дана пряма має ще одну загальну точку з колом. Трикутник АОВ прямокутний і у ньому дві сторони рівні як радіуси, чого не може. Таким чином отримуємо, що ця пряма немає більше загальних точок з окружність крім точки А, тобто. є дотичною.

Теорема.Відрізки дотичних, проведених з однієї точки до кола, рівні, а пряма, що з'єднує цю точку з центром кола, поділяє кут між дотиками.

Доведення.

Доказ дуже простий. Використовуючи попередню теорему, стверджуємо, що ОВ перпендикулярний АВ, а ОС – АС. Прямокутні трикутникиАВО і АСО рівні по катету та гіпотенузі (ОВ = ОС - радіуси, АТ - загальна). Тому рівні та його катети АВ=АС і кути ОАС і ОАВ.

Теорема.Величина кута, утвореного дотичною і хордою, що мають загальну точку на колі, дорівнює половині кутової величини дуги, укладеної між його сторонами.

Доведення.

Розглянемо кут NАВ, утворений дотичною та хордою. Проведемо діаметр АС. Дотична перпендикулярна діаметру, проведеному в точку торкання, отже, ∠CAN=90 про. Знаючи теорему, бачимо, що кут альфа (a) дорівнює половині половині кутової величини дуги ВС або половині кута ВОС. ∠NAB=90 про -a, звідси отримуємо ∠NAB=1/2(180 про -∠BOC)=1/2∠АОВ або = половині кутової величини дуги ВА. ч.т.д.

Теорема.Якщо з точки до кола проведено дотичну та січну, то квадрат відрізка дотичної від цієї точки до точки торкання дорівнює добутку довжин відрізків сіючої від цієї точки до точок її перетину з колом.

Доведення.

На малюнку ця теорема має такий вигляд: МА 2 =МВ*МС. Доведемо це. По попередній теоремі кут МАС дорівнює половині кутової величини дуги АС, але також і кут АВС дорівнює половині кутової величини дуги АС теореми, отже, ці кути рівні між собою. Зважаючи на те, що у трикутників АМС та ВМА кут при вершині М загальний, констатуємо подібність цих трикутників по двох кутах (друга ознака). З подоби маємо: МА/MB=MC/MA, звідки отримуємо МА2=МВ*МС

Побудова дотичних до кола

А тепер давайте спробуємо розібратися і дізнатися, що потрібно зробити, щоб побудувати дотичний до кола.

У цьому випадку, як правило, у задачі дається коло та точка. А нам з вами необхідно побудувати дотичну до кола так, щоб ця дотична проходила через задану точку.

Якщо нам невідоме місце розташування точки, то давайте розглянемо випадки можливого розташування точок.

По-перше, точка може бути всередині кола, який обмежений даним колом. У цьому випадку дотичну через це коло побудувати немає можливості.

У другому випадку точка знаходиться на колі, і ми можемо будувати дотичну, провівши перпендикулярну пряму до радіусу, який проведений до відомої нам точки.

По-третє, припустимо, точка знаходиться за межами кола, який обмежений колом. У цьому випадку перед тим, як побудувати дотичну, необхідно знайти точку на колі, якою має пройти дотична.

З першим випадком, я сподіваюся вам все зрозуміло, а ось для вирішення другого варіанта нам необхідно на прямій, на якій лежить радіус, збудувати відрізок. Цей відрізок повинен дорівнювати радіусу і відрізку, що лежить на колі, на протилежному боці.

Тут ми з вами бачимо, що точка на колі є серединою відрізка, що дорівнює подвоєному радіусу. Наступним етапом буде побудова двох кіл. Радіуси цих кіл будуть дорівнювати подвоєному радіусу початкового кола, з центрами в кінцях відрізка, який дорівнює подвоєному радіусу. Тепер ми можемо через будь-яку точку перетину цих кіл і задану точку провести пряму. Така пряма є серединним перпендикуляром до радіусу кола, яке було накреслено спочатку. Таким чином, ми з вами бачимо, що ця пряма перпендикулярна до кола і з цього випливає, що вона є дотичною до кола.

У третьому варіанті у нас є точка, що лежить за межами кола, який обмежений колом. У цьому випадку ми спочатку будуємо відрізок, який з'єднає центр даного кола та задану точку. А далі ми бачимо його середину. Але для цього потрібно побудувати серединний перпендикуляр. А як його збудувати вам уже відомо. Потім нам потрібно накреслити коло або хоча б його частину. Тепер ми бачимо, що точка перетину заданого кола та знову побудованої і є та точка, через яку проходить дотична. Також вона проходить через точку, яка була задана за умовою завдання. І, нарешті, вже через відомі вам дві точки ви можете провести дотичну пряму.

Ну і нарешті, щоб довести, те, що побудована нами пряма є дотичною, потрібно звернути увагу на кут, який був утворений радіусом кола та відрізком, відомим за умовою та що з'єднує точку перетину кіл з точкою, даною за умовою завдання. Тепер ми бачимо, що кут, що утворився, спирається на півколо. А з цього випливає, що цей кут прямий. Отже, радіус буде перпендикулярний до новозбудованої прямої, а ця пряма і є дотична.

Побудова дотичної.

Побудова дотичних – одне з завдань, які призвели до народження диференціального обчислення. Перша опублікована праця, що відноситься до диференційного обчислення і належить перу Лейбніца, мала назву «Новий метод максимумів і мінімумів, а також дотичних, для якого не є перешкодою ні дробові, ні ірраціональні величини, і особливий для цього рід обчислення».

Геометричні знання стародавніх єгиптян.

Якщо не враховувати вельми скромний внесок древніх мешканців долини між Тигром і Євфратом і Малою Азією, то геометрія зародилася в Стародавньому Єгиптідо 1700 р. до н.е. Під час сезону тропічних дощів Ніл поповнював свої запаси води та розливався. Вода покривала ділянки обробленої землі, й у цілях оподаткування треба було встановити, скільки землі втрачено. Землеміри використовували як вимірювальний інструмент туго натягнуту мотузку. Ще одним стимулом накопичення геометричних знань єгиптянами стали такі види їхньої діяльності, як зведення пірамід та образотворче мистецтво.

Про рівень геометричних знань можна будувати висновки з древніх рукописів, які спеціально присвячені математиці і є чимось на кшталт підручників, чи, вірніше, задачників, де дані рішення різних практичних завдань.

Найдавніший математичний рукопис єгиптян переписаний якимсь учнем між 1800 – 1600 р.р. до н.е. з давнішого тексту. Папірус розшукав російський єгиптолог Володимир Семенович Голенищев. Він зберігається в Москві – у Музеї образотворчих мистецтвімені О.С. Пушкіна, і називається Московським папірусом.

Інший математичний папірус, написаний років на двісті-триста пізніше за Московський, зберігається в Лондоні. Він називається: „Повчання, як досягти знання всіх темних речей, усіх таємниць, які приховують у собі речі… За старими пам'ятками переписувач Ахмес написав це". Рукопис так і називають „папірусом Ахмеса", або папірусом Райнда – на ім'я англійця, який розшукав і купив цей папірус у Єгипті. У папірусі Ахмеса дається рішення 84 завдань різні обчислення, які можуть знадобитися практично.