Дії з дробами алгебри. Як вирішувати алгебраїчні дроби? Теорія та практика Які перетворення алгебраїчного дробу можна виконувати

У цій статті ми розглянемо основні дії з алгебраїчними дробами:

• скорочення дробів
• множення дробів
• розподіл дробів

Почнемо з скорочення алгебраїчних дробів .

Здавалося б, алгоритмочевидний.

Щоб скоротити алгебраїчні дроби, потрібно

1. Розкласти чисельник та знаменник дробу на множники.

2. Скоротити однакові множники.

Проте, школярі часто роблять помилку, "зменшуючи" не множники, а доданки. Наприклад, є любителі, які в дробі "зменшують" і отримують в результаті, що, зрозуміло, неправильно.

Розглянемо приклади:

1. Скоротити дріб:

1. Розкладемо на множники чисельник за формулою квадрата суми, а знаменник за формулою різниці квадратів

2. Розділимо чисельник та знаменник на

2. Скоротити дріб:

1. Розкладемо на множники чисельник. Так як чисельник містить чотири доданки, застосуємо угруповання.

2. Розкладемо на множники знаменник. Також застосуємо угруповання.

3. Запишемо дріб, який у нас вийшов і скоротимо однакові множники:

Розмноження алгебраїчних дробів.

При множенні дробів алгебри ми чисельник множимо на чисельник, а знаменник множимо на знаменник.

Важливо!Не потрібно поспішати виконувати множення у чисельнику та знаменнику дробу. Після того, як ми записали в чисельнику добуток чисельників дробів, а в знаменнику - добуток знаменників, потрібно розкласти на множники кожен множник і скоротити дріб.

Розглянемо приклади:

3. Спростіть вираз:

1. Запишемо добуток дробів: у чисельнику добуток чисельників, а у знаменнику добуток знаменників:

2. Розкладемо кожну дужку на множники:

Тепер нам потрібно скоротити однакові множники. Зауважимо, що вирази і відрізняються лише знаком: і в результаті розподілу першого виразу на друге отримаємо -1.

Отже,

Розподіл алгебраїчних дробів ми виконуємо за таким правилом:

Тобто щоб розділити на дріб, потрібно помножити на "перевернутий".

Ми бачимо, що розподіл дробів зводиться до множення, а множення, зрештою, зводиться до скорочення дробів.

Розглянемо приклад:

4. Спростіть вираз:

WikiHow працює за принципом вікі, а це означає, що багато наших статей написано кількома авторами. При створенні цієї статті над її редагуванням та покращенням працювали, у тому числі анонімно, 9 осіб.

На погляд алгебраїчні дроби здаються дуже складними, і непідготовлений учень може подумати, що з ними неможливо нічого зробити. Нагромадження змінних, чисел і навіть ступенів навіює страх. Тим не менш, для скорочення звичайних (наприклад, 15/25) та алгебраїчних дробів використовуються одні й ті самі правила.

Кроки

Скорочення дробів

Ознайомтеся з простими дробами. Операції із звичайними та алгебраїчними дробами аналогічні. Наприклад, візьмемо дріб 15/35. Щоб спростити цей дріб, слід знайти спільний дільник . Обидва числа діляться на п'ять, тому ми можемо виділити 5 у чисельнику та знаменнику:

15 → 5 * 3 35 → 5 * 7

Тепер можна скоротити загальні множники, тобто викреслити 5 у чисельнику та знаменнику. В результаті отримуємо спрощений дріб 3/7 . У алгебраїчних виразах загальні множники виділяються так само, як і в звичайних. У попередньому прикладі ми змогли легко виділити 5 з 15 - той же принцип застосуємо і до більш складних виразів, таких як 15x - 5. Знайдемо спільний множник. В даному випадку це буде 5, тому що обидва члени (15x і -5) діляться на 5. Як і раніше, виділимо загальний множник і перенесемо його вліво.

15x - 5 = 5 * (3x - 1)

Щоб перевірити, чи все правильно, достатньо помножити на 5 вираз, що стоїть у дужках - в результаті вийдуть ті ж числа, що були спочатку. Складні члени можна виділяти так само, як і прості. Для алгебраїчних дробів застосовні самі принципи, як і звичайних. Це найпростіший спосіб скоротити дріб. Розглянемо наступний дріб:

(x+2)(x-3)(x+2)(x+10)

Зазначимо, що і в чисельнику (згори), і в знаменнику (знизу) присутній член (x+2), тому його можна скоротити так само, як загальний множник 5 у дробі 15/35:

(x+2) (x-3) → (x-3)(x+2) (x+10) → (x+10)

В результаті отримуємо спрощений вираз: (x-3)/(x+10)

Скорочення алгебраїчних дробів

Знайдіть загальний множник у чисельнику, тобто у верхній частині дробу. При скороченні алгебраїчного дробу насамперед слід спростити обидві його частини. Почніть з чисельника і постарайтеся розкласти його якомога більше множників. Розглянемо в цьому розділі наступний дріб:

9x-3 15x+6

Почнемо з чисельника: 9x – 3. Для 9x та -3 загальним множником є ​​число 3. Винесемо 3 за дужки, як це робиться із звичайними числами: 3*(3x-1). В результаті цього перетворення вийде наступний дріб:

3(3x-1) 15x+6

Знайдіть загальний множник у чисельнику. Продовжимо виконання наведеного вище прикладу та випишемо знаменник: 15x+6. Як і раніше, знайдемо, на скільки діляться обидві частини. І в цьому випадку загальним множником є ​​3, так що можна записати: 3*(5x+2). Перепишемо дріб у такому вигляді:

3(3x-1) 3(5x+2)

Скоротіть однакові члени. На цьому етапі можна спростити дріб. Скоротіть однакові члени у чисельнику та знаменнику. У прикладі це число 3.

3 (3x-1) → (3x-1) 3 (5x+2) → (5x+2)

Визначте, що дріб має найпростіший вигляд. Дроб повністю спрощена в тому випадку, коли в чисельнику і знаменнику не залишилося спільних множників. Врахуйте, що не можна скорочувати ті члени, які стоять усередині дужок - у наведеному прикладі немає можливості виділити x з 3x та 5x, оскільки повними членами є (3x -1) та (5x + 2). Таким чином, дріб не піддається подальшому спрощенню, і остаточна відповідь виглядає так:

(3x-1)(5x+2)

Потренуйтесь скорочувати дроби самостійно. Кращий спосібзасвоїти метод полягає в самостійне рішеннязадач. Під прикладами наведено правильні відповіді.

4(x+2)(x-13)(4x+8)

Відповідь:(x=13)

2x 2-x 5x

Відповідь:(2x-1)/5

Спеціальні прийоми

Винесіть негативний знак межі дробу. Припустимо, дано такий дріб:

3(x-4) 5(4-x)

Зауважте, що (x-4) і (4-x) "майже" ідентичні, але їх не можна скоротити відразу, оскільки вони "перевернуті". Тим не менш, (x - 4) можна записати як -1 * (4 - x), подібно до того як (4 + 2x) можна переписати у вигляді 2 * (2 + x). Це називається "зміною знака".

-1 * 3 (4-x) 5(4-x)

Тепер можна скоротити однакові члени (4-x):

-1 * 3 (4-x) 5 (4-х)

Отже, отримуємо остаточну відповідь: -3/5 . Навчіться розпізнавати різницю квадратів. Різниця квадратів - це коли квадрат одного числа віднімається з квадрата іншого числа, як у виразі (a 2 - b 2). Різницю повних квадратів завжди можна розкласти на дві частини - суму та різницю відповідних квадратного коріння. Тоді вираз набуде наступного вигляду:

A 2 - b 2 = (a+b)(a-b)

Цей прийом дуже корисний при пошуку спільних членів в дробах алгебри.

• Перевірте, чи правильно ви розклали той чи інший вираз на множники. Для цього перемножте множники - в результаті має вийти те саме вираз.
• Щоб повністю спростити дріб, завжди виділяйте найбільші множники.

Логічно перейти до розмови про діях з алгебраїчними дробами. З алгебраїчними дробами визначено такі дії: додавання, віднімання, множення, розподіл і зведення в натуральний ступінь. Причому всі ці дії замкнуті, у тому сенсі, що в результаті їх виконання виходить алгебраїчний дріб. Розберемо кожне з них по порядку.

Так, відразу варто зауважити, що дії з дробами алгебри є узагальненнями відповідних дій зі звичайними дробами. Тому відповідні правила практично дослівно збігаються з правилами виконання додавання та віднімання, множення, поділу та зведення в ступінь. звичайних дробів.

Навігація на сторінці.

Додавання алгебраїчних дробів

Додавання будь-яких алгебраїчних дробів підходить під один із двох наступних випадків: у першому складаються дроби з однаковими знаменниками, у другому – з різними. Почнемо з правила додавання дробів з однаковими знаменниками.

Щоб скласти дроби алгебри з однаковими знаменниками, потрібно скласти чисельники, а знаменник залишити колишнім.

Озвучене правило дозволяє перейти від складання алгебраїчних дробів до складання багаточленів, що знаходяться в чисельниках. Наприклад, .

Для складання алгебраїчних дробів з різними знаменниками діяти потрібно за таким правилом: привести їх до спільного знаменника, після чого скласти отримані дроби з однаковими знаменниками.

Наприклад, при складанні алгебраїчних дробів та їх спочатку потрібно привести до спільного знаменника, в результаті вони набудуть вигляду. і відповідно, після чого виконується додавання цих дробів з однаковими знаменниками: .

Віднімання

Наступна дія - віднімання алгебраїчних дробів - виконується аналогічно до складання. Якщо знаменники вихідних алгебраїчних дробів однакові, потрібно просто виконати віднімання многочленов в чисельниках, а знаменник залишити колишнім. Якщо знаменники різні, то спочатку виконується приведення до спільного знаменника, після чого виконується віднімання отриманих дробів з однаковими знаменниками.

Наведемо приклади.

Виконаємо віднімання алгебраїчних дробів і їх знаменники однакові, тому . Отриманий дроб алгебри можна ще скоротити: .

Тепер віднімемо з дробу дріб. Ці дроби алгебри з різними знаменниками, тому, спочатку приводимо їх до спільного знаменника, який в даному випадку є 5·x·(x-1) , маємо і . Залишилося виконати віднімання:

Розмноження алгебраїчних дробів

Алгебраїчні дроби можна множити. Виконання цієї дії проводиться аналогічно множенню звичайних дробів за таким правилом: щоб помножити дроби алгебри потрібно окремо перемножити чисельники, і окремо - знаменники.

Наведемо приклад. Помножимо алгебраїчну дріб на дріб. Відповідно до озвученого правила маємо . Залишилося отриманий дріб перетворити до алгебраїчного дробу, для цього в даному випадку потрібно виконати множення одночлена та багаточлена (а в загальному випадку - множення багаточленів) у чисельнику та знаменнику: .

Варто зауважити, що перед множенням алгебраїчних дробів бажано розкласти на множники багаточлени, що знаходяться в їх числах і знаменниках. Це з можливістю скорочення одержуваного дробу. Наприклад,
.

Більш детально цю дію розібрано у статті.

Поділ

Рухаємося далі за діями з дробами алгебри. На черзі – розподіл алгебраїчних дробів. Наступне правило зводить розподіл алгебраїчних дробів до множення: щоб розділити один алгебраїчний дріб на інший, потрібно перший дріб помножити на дріб, зворотний другий.

Під алгебраїчним дробом, зворотним до даного дробу, розуміється дріб з переставленими місцями чисельником і знаменником. Іншими словами, два алгебраїчні дроби вважаються взаємно зворотними, якщо їх добуток тотожно дорівнює одиниці (за аналогією з ).

Наведемо приклад. Виконаємо поділ . Дроб, зворотний дільнику, є. Таким чином, .

Для отримання більш детальної інформації звертайтесь до згаданої в попередньому пунктістатті множення та розподіл алгебраїчних дробів

Зведення алгебраїчного дробу до ступеня

Зрештою, переходимо до останньої дії з алгебраїчними дробами – зведення в натуральний ступінь. , а також те, як ми визначили множення алгебраїчних дробів, дозволяє записати правило зведення алгебраїчного дробу в ступінь: потрібно в цей ступінь окремо звести чисельник і окремо - знаменник.

Покажемо приклад виконання цієї дії. Зведемо алгебраїчну дріб у другий ступінь. За наведеним правилом маємо . Залишилося звести в ступінь одночлен у чисельнику, а також звести в ступінь багаточлен у знаменнику, що дасть дріб алгебри виду .

Рішення інших характерних прикладів показано у статті зведення алгебраїчного дробу на ступінь.

Список літератури.

• Алгебра:навч. для 8 кл. загальноосвіт. установ/[Ю. Н. Макарічев, Н. Г. Міндюк, К. І. Нешков, С. Б. Суворова]; за ред. С. А. Теляковського. - 16-те вид. – М.: Просвітництво, 2008. – 271 с. : іл. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Мордковіч А. Г.Алгебра. 8 клас. У 2 год. Ч. 1. Підручник для учнів загальноосвітніх установ/ А. Г. Мордкович. - 11-те вид., стер. – К.: Мнемозіна, 2009. – 215 с.: іл. ISBN 978-5-346-01155-2.
• Гусєв В. А., Мордкович А. Г.Математика (посібник для вступників до технікумів): Навч. посібник.- М.; Вищ. шк., 1984.-351 с., іл.

Copyright by cleverstudents

Всі права захищені.
Охороняється законом про авторське право. Жодну частину сайту, включаючи внутрішні матеріали та зовнішнє оформлення, не можна відтворювати у будь-якій формі або використовувати без попереднього письмового дозволу правовласника.

Тема: Повторення курсу алгебри 8 класу

Урок: Алгебраїчні дроби

Для початку давайте згадаємо, що таке алгебраїчні дроби. Алгебраїчним дробом називають вираз виду, де - багаточлени,- чисельник,- знаменник.

Оскільки - многочлени, необхідно мати на увазі стандартні дії, можливі з многочленами, саме: приведення до стандартного вигляду, розкладання на множники, і навіть скорочення чисельника і знаменника.

Приклад №1

Скоротіть дріб

Скористаємося формулами скороченого множення для квадрата суми та різниці квадратів.

Коментарі: спочатку ми розклали дріб на множники за допомогою формул скороченого множення, а далі скористалися однією з основних властивостей дробу: і чисельник, і знаменник дробу алгебри можна помножити або розділити на один і той же багаточлен, у тому числі число, яке не дорівнює 0 . Таким чином виходить, що і чисельник, і знаменник розділили на многочлен , тому обов'язково необхідно врахувати, що це многочлен не дорівнює 0, т. е. .

Приклад №2

З умови нам поки що не ясно, який зв'язок між цими двома функціями. Для цього нам необхідно спростити першу з них шляхом розкладання на множники.

але потрібно не забути про умову скорочення дробу, тобто про те, що

Після всіх скорочень ми отримуємо, що

лише з тією відмінністю, що .

Побудуємо графік двох функцій.

Ми бачимо яскраву відмінність цих двох графіків: по суті вони однакові, але на першому графіці нам необхідно виколоти точку з координатою (1; 0), оскільки ця точна не входить до ОДЗ першої функції.

Отже, ми з вами розглянули, що таке дріб, вирішили кілька прикладів про те, як важливо стежити за областю визначення (областю допустимих значень), тобто за тими значеннями, які може набувати.

Тепер перейдемо до питання, які дії можна робити з алгебраїчними дроями, крім тих, які вже були згадані вище.

Природно, алгебраїчні дроби, як і арифметичні дроби, можна складати, віднімати, множити, ділити, зводити в ступінь, отримуючи при цьому раціональні вирази алгебри (такі вирази, які складені з чисел, змінних за допомогою арифметичних операцій і зведення в натуральний ступінь ). Після певних спрощень подібні вирази зводяться до дробів, для яких вихідними виразами є алгебраїчні дроби.

Список дій / умов, з якими можна зіткнутися, вирішуючи завдання на дроби алгебри:

Спростити раціональні вирази

Довести тотожність

Вирішувати раціональне рівняння

Спростити/обчислити дріб

Приклад №3

Вирішити найпростіше раціональне рівняння

Дроб дорівнює 0 тоді і лише тоді, коли чисельник дорівнює 0, а знаменник не дорівнює 0. У нашому випадку знаменник дорівнює . Отже, рішення дробу зводиться до лінійного рівняння

Приклад №4

Вирішити рівняння

Насамперед спробуємо скоротити дріб

За умови, що .

Оскільки ми вже спростили дріб у лівій частині вихідного рівняння, то можемо підставити нове значення та вирішити рівняння.

Тепер давайте спробуємо виділити повний квадрат із отриманого квадратного рівняння

Скористаємося формулою скороченого множення для різниці квадратів

Добуток дорівнює 0 тоді і тільки тоді, коли хоча б один із множників дорівнює 0. До того ж не забуваємо, що на початку у нас з'явилася умова існування нашого виразу у вигляді . Запишемо систему рівнянь.

=> => Ми бачимо, що суперечить нашій умові, що , тому у нас залишається тільки одна відповідь .

Отже, подивимося на особливості, які має наведений вище приклад:

1. Чисельник з різницею кубів і знаменник бажано скоротити відразу, оскільки це можливо в даному випадку і спростить подальше рішення рівняння, проте обов'язково потрібно пам'ятати про те, що знаменник дробу не може дорівнювати, 0 і записати цю умову.

2. Привівши дріб до квадратного рівняння, ми згадали один із методів розв'язання квадратних рівнянь- Метод виділення повного квадрата.

Ми з вами на даному уроці згадали, що таке алгебраїчний дріб, які дії необхідно робити з чисельником і знаменником при вирішенні таких дробів, які дії можна виробляти з дробами такого виду і вирішили кілька простих завдань.

Список літератури

1. Башмаков М.І. Алгебра 8 клас. - М: Просвітництво, 2004.
2. Дорофєєв Г.В., Суворова С.Б., Бунімович Є.А. та ін Алгебра 8. 5 видання. - М: Просвітництво, 2010.
3. Микільський С.М., Потапов М.А., Решетніков Н.М., Шевкін А.В. Алгебра 8 клас. Підручник для загальноосвітніх установ. - М: Просвітництво, 2006.

1. Вся проста математика ().
2. Помічник школи ().
3. Інтернет-портал Testmath.com.ua ().

Домашнє завдання

На цьому уроці розглядається поняття дробу алгебри. З дробами людина зустрічається у найпростіших життєвих ситуаціях: коли необхідно розділити об'єкт на кілька частин, наприклад, розрізати торт порівну на десять осіб. Очевидно, що кожному дістанеться почасти торта. У зазначеному випадку ми стикаємося з поняттям числового дробу, проте можлива ситуація, коли об'єкт поділяється на невідому частину, наприклад, на x. У разі виникає поняття дробового висловлювання. З цілими виразами (що не містять розподіл на вирази зі змінними) та їх властивостями ви вже познайомилися у 7 класі. Далі ми розглянемо поняття раціонального дробу, і навіть допустимих значень змінних.

Раціональні виразиподіляються на цілі та дробові вирази .

Визначення.Раціональний дріб- Дробове вираз виду, де - многочлени. - чисельник знаменник.

Прикладираціональних виразів:- Дробові вирази; - Цілі вирази. У першому вираженні, наприклад, у ролі чисельника виступає , а знаменника - .

Значення алгебраїчного дробу, як і будь-якого алгебраїчного виразузалежить від чисельного значення тих змінних, які до нього входять. Зокрема, у першому прикладі значення дробу залежить від значень змінних і , а у другому тільки від значення змінної .

Розглянемо перше типове завдання: обчислення значення раціонального дробупри різних значенняхщо входять до неї змінних.

приклад 1.Обчислити значення дробу при а), б), в)

Рішення.Підставимо значення змінних у зазначений дріб: а), б), в) - не існує (бо на нуль ділити не можна).

Відповідь:а) 3; б) 1; в) немає.

Як бачимо, виникає два типові завдання для будь-якого дробу: 1) обчислення дробу; 2) знаходження допустимих та неприпустимих значеньлітерних змінних.

Визначення.Допустимі значення змінних- значення змінних, у яких вираз має сенс. Безліч всіх допустимих значень змінних називається ОДЗабо область визначення.

Значення літерних змінних може бути неприпустимим, якщо знаменник дробу за цих значеннях дорівнює нулю. У решті випадків значення змінних є допустимими, тому що дріб можна обчислити.

приклад 2.

Рішення.Щоб цей вислів мав сенс, необхідно і достатньо, щоб знаменник дробу не дорівнював нулю. Таким чином, недопустимими будуть ті значення змінної, у яких знаменник дорівнюватиме нулю. Знаменник дробу , тому розв'яжемо лінійне рівняння:

Отже, при значенні змінної дріб немає сенсу.

Відповідь: -5.

З рішення прикладу випливає правило знаходження неприпустимих значень змінних - знаменник дробу дорівнює нулю і є коріння відповідного рівняння.

Розглянемо кілька аналогічних прикладів.

приклад 3.Встановити, при яких значеннях змінної немає сенсу дріб .

Рішення..

Відповідь..

приклад 4.Встановити, за яких значеннях змінної немає сенсу дріб .

Рішення..

Зустрічаються й інші формулювання цієї задачі - знайти область визначенняабо область допустимих значень виразу (ОДЗ). Це означає знайти всі допустимі значення змінних. У нашому прикладі - це значення, крім . Область визначення зручно зображати на числовій осі.

Для цього на ній виколемо крапку, як це вказано на малюнку:

Мал. 1

Таким чином, областю визначення дробубудуть усі числа, крім 3.

Відповідь..

Приклад 5.Встановити, за яких значеннях змінної немає сенсу дріб .

Рішення..

Зобразимо отримане рішення на числовій осі:

Мал. 2

Відповідь..

Приклад 6.

Рішення.. Ми здобули рівність двох змінних, наведемо числові приклади: або і т.д.

Зобразимо це рішення на графіку в системі декартової координат:

Мал. 3. Графік функції

Координати будь-якої точки, що лежить на даному графіку, не входять до області допустимих значень дробу.

Відповідь..

У розглянутих прикладах ми стикалися із ситуацією, коли виникало поділ на нуль. Тепер розглянемо випадок, коли виникає цікавіша ситуація з розподілом типу .

Приклад 7.Встановити, за яких значеннях змінних немає сенсу дріб .

Рішення..

Виходить, що дріб немає сенсу при . Але можна заперечити, що це не так, бо: .

Може здатися, що й кінцеве вираз дорівнює 8 при , те й вихідне теж можна обчислити, отже, має сенс при . Однак, якщо підставити у вихідний вираз, то отримаємо – не має сенсу.

Відповідь..

Щоб докладніше розібратися з цим прикладом, розв'яжемо наступне завдання: за яких значень зазначений дріб дорівнює нулю?