Перетворення виразів із дробовими ступенями. Перетворення виразів. Детальна теорія (2020). Множення та поділ дробів
Розділи: Математика
Клас: 9
МЕТА: Закріпити та вдосконалити навички застосування властивостей ступеня з раціональним показником; розвивати навички виконання найпростіших перетворень виразів, що містять ступеня з дробовим показником.
ТИП УРОКУ: урок закріплення та застосування знань на цю тему.
ПІДРУЧНИК: Алгебра 9 під ред. С.А. Теляковського.
ХІД УРОКУ
Вступне слово вчителя
“Люди, незнайомі з алгеброю, що неспроможні уявити тих дивовижних речей, яких можна досягти... з допомогою названої науки”. Г.В. Лейбніц
Алгебра відчиняє перед нами двері до лабораторного комплексу "Ступінь з раціональним показником".
1. Фронтальне опитування
1) Дайте визначення ступеня із дробовим показником.
2) Для якого дробового показника визначено ступінь з основою, що дорівнює нулю?
3) Чи визначиться ступінь із дробовим показником для негативної основи?
Завдання: Подайте число 64 у вигляді ступеня з основою - 2; 2; 8.
Куб якого числа дорівнює 64?
Чи існує ще якийсь спосіб уявлення числа 64 у вигляді ступеня з раціональним показником?
2. Робота за групами
1 група. Доведіть, що вирази (-2) 3/4; 0 -2 немає сенсу.
2 група. Подайте ступінь з дробовим показником у вигляді кореня: 2 2/3; 3 -1 | 3; -В 1,5; 5а 1/2; (x-y) 2/3 .
3 група. Подайте у вигляді ступеня з дробовим показником: v3; 8 vа 4; 3v2 -2; v(x+y) 2/3; вvв.
3. Перейдемо до лабораторії “Дія над ступенями”
Часті гості лабораторії – астрономи. Вони приносять свої “астрономічні числа”, піддають їх алгебраїчній обробці та отримують корисні результати
Наприклад, відстань від Землі до туманності Андромеди виражається числом
950000000000000000000 = 95 10 18 км;
воно називається квінтильйон.
Маса сонця в грамах виражається числом 1983 10 30 гр. нональйон.
Крім цього, до лабораторії потрапляють інші серйозні завдання. Наприклад, часто виникає проблема обчислення виразів виду:
а); б); в).
Співробітники лабораторії виробляють такі обчислення найзручнішим способом.
Ви можете підключитись до роботи. Для цього повторимо властивості ступенів з раціональними показниками:
А тепер обчисліть або спростіть вираз, застосовуючи властивості ступенів з раціональними показниками:
1 група:
2 група:
3 група:
Перевірка: по одній людині від групи біля дошки.
4. Завдання для порівняння
Як, застосовуючи властивості ступенів, порівняти вирази 2100 і 1030?
Відповідь:
2 100 =(2 10) 10 =1024 10 .
10 30 =(10 3) 10 =1000 10
1024 10 >1000 10
2 100 >10 30
5. А зараз я запрошую вас до лабораторії “Дослідження ступенів”.
Які перетворення ми можемо виконувати над ступенями?
1) Подайте число 3 у вигляді ступеня з показником 2; 3; -1.
2) Яким способом можна розкласти на множники виразу а-в; в+в 1/2; а-2а 1/2; 2-х 2?
3) Скоротіть дріб із подальшою взаємоперевіркою:
4) Поясніть виконані перетворення та знайдіть значення виразу:
6. Робота з підручником.№ 611 (р, буд, е).
1 група: (г).
2 група: (д).
3 група: (е).
№629 (а, б).
Взаємоперевірка.
7. Виконуємо практикум (самостійна робота).
Дані виразу:
При скороченні яких дробів застосовуються формули скороченого множеннята винесення за дужки загального множника?
1 група: №1, 2, 3.
2 група: №4, 5, 6.
3 група: №7, 8, 9.
Під час виконання завдання можна користуватися рекомендаціями.
- Якщо запис прикладу є як ступеня з раціональним показником, так і коріння n-йступеня, то запишіть коріння n-го ступеняу вигляді ступенів із раціональним показником.
- Намагайтеся спростити вираз, над яким виконуються дії: розкриття дужок, застосування формули скороченого множення, перехід від ступеня з негативним показником до виразу, що містить ступінь позитивного показника.
- Визначте порядок виконання дій.
- Виконайте дії, дотримуючись порядку їх виконання.
Оцінює вчитель, зібравши зошити.
8. Домашнє завдання: № 624, 623.
Тема: « Перетворення виразів, що містять ступеня з дробовим показником»
"Нехай хтось спробує викреслити з математики ступеня, і він побачить, що без них далеко не поїдеш". (М.В.Ломоносов)
Цілі уроку:
освітні:узагальнити та систематизувати знання учнів на тему “Ступінь з раціональним показником”; проконтролювати рівень засвоєння матеріалу; ліквідувати прогалини у знаннях та вміннях учнів;
розвиваючі:формувати навички самоконтролю учнів; створити атмосферу зацікавленості кожного учня в роботі, розвивати пізнавальну активністьучнів;
виховні:виховувати інтерес до предмета, до історії математики.
Тип уроку: урок узагальнення та систематизації знань
Обладнання: оціночні листи, картки із завданнями, дешифраторами, кросвордами кожного учня.
Попередня підготовка: клас розбитий на групи, у кожній групі керівник – консультант.
ХІД УРОКУ
Вчитель:Ми закінчили вивчення теми “Ступінь з оптимальним показником та її характеристики”. Ваше завдання на цьому уроці показати, як ви засвоїли вивчений матеріал і як ви вмієте застосовувати отримані знання при вирішенні конкретних завдань. На столі у кожного є оціночний лист. До нього ви будете вносити свою оцінку за кожний етап уроку. Наприкінці уроку ви поставите середній бал за урок.
Оціночний лист
| Кросворд | Розминка | Робота в | Рівняння | Перевір себе (ср) | ||
ІІ. Перевірка домашньої роботи.
Взаємоперевірка з олівцем у руках, відповіді зачитуються учнями.
III. Актуалізація знань учнів.
Вчитель:Відомий французький письменник Анатоль Франс сказав свого часу: "Вчитися треба весело. Щоб поглинати знання треба поглинати їх з апетитом".
Повторимо необхідні теоретичні відомості під час розгадування кросворда.
По горизонталі:
1. Дія, за допомогою якого обчислюється значення ступеня (Зведення).
2. Твір, що складається з однакових множників (Ступінь).
3. Дія показників ступенів при зведенні ступеня до ступеня (твір).
4. Дія ступенів, за яких показники ступенів віднімаються (Поділ).
По вертикалі:
5. Число всіх однакових множників (Показник).
6. Ступінь з нульовим показником (одиниця).
7. Повторюваний множник (заснування).
8. Значення 10 5: (2 3 5 5) (чотири).
9. Показник ступеня, який зазвичай не пишуть (одиниця).
IV. Математична розминка.
Вчитель.Повторимо визначення ступеня з раціональним показником та його властивості, виконаємо наступні завдання.
1. Подати вираз х 22 у вигляді добутку двох ступенів з основою х, якщо один із множників дорівнює: х 2 , х 5,5 , х 1\3 , х 17,5 , х 0
2. Спростити:
б) у 5\8 у 1\4: у 1\8 = у
в) з 1,4 до -0,3 з 2,9
3. Обчислити та скласти слово, використовуючи дешифратор.
Виконавши це завдання, ви, хлопці, дізнаєтесь прізвище німецького математика, який запровадив термін – показник ступеня.
1) (-8) 1\3 2) 81 1\2 3) (3\5) -1 4) (5\7) 0 5) 27 -1\3 6) (2\3) -2 7) 16 1\2 * 125 1\3
Слово: 1234567 (Штифель)
V. Письмова робота у зошитах (відповіді відкриваються на дошці) .
Завдання:
1. Спростити вираз:
(х-2): (х 1\2 -2 1\2) (у-3): (у 1\2 - 3 1\2) (х-1): (х 2\3 -х 1\3 +1)
2. Знайти значення виразу:
(х 3\8 х 1\4:) 4 при х = 81
VI. Робота у групах.
Завдання. Розв'язати рівняння та скласти слово, використовуючи дешифратор.
Картка № 1
Слово: 1234567 (Діофант)
Картка № 2
Картка № 3
Слово: 123451 (Ньютон)
Дешифратор
Вчитель.Всі ці вчені зробили свій внесок у розвиток поняття “ступінь”.
VII. Історичні відомості про розвиток поняття ступеня (повідомлення учня).
Поняття ступеня з натуральним показникомсформувалося ще в давніх народів. Квадрат і куб числа використовувалися для обчислення площ та обсягів. Ступені деяких чисел використовувалися при вирішенні окремих завдань вченими Стародавнього Єгиптута Вавилону.
У III столітті вийшла книга грецького вченого Діофанта "Арифметика", в якій було започатковано введення буквеної символіки. Діофант вводить символи для перших шести ступенів невідомого та обернених їм величин. У книзі квадрат позначається знаком з індексом r; куб – знаком k c індексом r тощо.
З практики вирішення складніших алгебраїчних завдань та оперування зі ступенями виникла необхідність узагальнення поняття ступеня та розширення його за допомогою введення як показник нуля, негативних і дробових чисел. До ідеї узагальнення поняття ступеня на ступінь із ненатуральним показником математики дійшли поступово.
Дробові показники ступеня та найпростіші правила дії над ступенями з дробовими показниками зустрічаються у французького математика Миколи Орема (1323–1382 рр.) у його праці “Алгоритм пропорцій”.
Рівність, а 0 = 1 (для а не рівного 0) застосовував у своїх працях на початку ХV століття самаркандський вчений Гіясаддін Каші Джемшид. Незалежно від нього нульовий показник було запроваджено Миколою Шюке у ХV столітті. Відомо, що Микола Шюке (1445–1500 рр.) розглядав ступені з негативними та нульовими показниками.
Пізніше дробові та негативні, показники зустрічаються у “Повній арифметиці” (1544 р.) німецького математика М.Штифеля та у Симона Стевіна. Симон Стевін припустив на увазі під а 1/n корінь.
Німецький математик М.Штіфель (1487–1567 рр.) дав визначення а 0 =1 при і ввів назву показник (це літерний переклад з німецької Exponent). Німецьке potenzieren означає зведення в ступінь.
Наприкінці ХVI століття Франсуа Вієт запровадив літери для позначення як змінних, а й їх коефіцієнтів. Він застосовував скорочення: N, Q, C – для першого, другого та третього ступенів. Але сучасні позначення (типу а 4, а 5) XVII ввів Рене Декарт.
Сучасні визначення та позначення ступеня з нульовим, негативним та дробовим показником беруть початок від робіт англійських математиків Джона Валліса (1616–1703) та Ісаака Ньютона (1643–1727).
Про доцільність введення нульового, негативних та дробових показників та сучасних символів уперше докладно писав у 1665 р. англійський математик Джон Валліс. Його справу завершив Ісаак Ньютон, який став систематично застосовувати нові символи, після чого вони увійшли до спільного побуту.
Введення ступеня з раціональним показником є одним із багатьох прикладів узагальнення понять математичної дії. Ступінь з нульовим, негативним і дробовими показниками визначається в такий спосіб, щоб до неї були застосовані самі правила дій, які мають місце для ступеня з натуральним показником, тобто. щоб збереглися основні властивості первісного певного поняття ступеня.
Нове визначення ступеня з раціональним показником не суперечить старому визначенню ступеня з натуральним показником, тобто зміст нового визначення ступеня з раціональним показником зберігається і для окремого випадку з натуральним показником. Цей принцип, що дотримується під час узагальнення математичних понять, називається принципом перманентності (збереження сталості). У недосконалій формі його висловив 1830 англійський математик Дж. Пікок, повністю і чітко його встановив німецький математик Г. Ганкель в 1867 р.
VIII. Перевір себе.
Самостійна роботаза картками (відповіді відкриваються на дошці) .
Варіант 1
1. Обчислити: (1 бал)
(а + 3а 1\2): (а 1\2 +3)
Варіант 2
1. Обчислити: (1 бал)
2. Спростити вираз: по 1 балу
а) х 1,6 х 0,4 б)(х 3\8) -5\6
3. Розв'язати рівняння: (2 бали)
4. Спростити вираз: (2 бали)
5. Знайти значення виразу: (3 бали)
IX. Підбиття підсумків уроку.
Які формули та правила згадали на уроці?
Проаналізуйте свою роботу на уроці.
Оцінюється робота учнів під час уроку.
Х. Домашнє завдання. До: Р IV (повторити) ст.156-157 № 4 (а-в), № 7 (а-в),
Додатково: №16
додаток
Оціночний лист
Ф/І/ учня__________________________________________
| Кросворд | Розминка | Робота в | Рівняння | Перевір себе (ср) | ||
Картка № 1
1) Х 13 = 4; 2) у -1 = 35; 3) а 12 = 23; 4) х -0,5 х 1,5 = 1; 5) у 13 = 2; 6) а 27 а 127 = 25; 7) а 1\2: а = 1\3
Дешифратор
Картка № 2
1) Х 13 = 4; 2) у -1 = 3; 3) (х +6) 1 \ 2 = 3; 4) у 13 = 2; 5) (у-3) 13 =2; 6) а 1\2: а = 1\3
Дешифратор
Картка № 3
1) а 27 а 127 = 25; 2) (х-12) 13 = 2; 3) х -0,7 х 3,7 = 8; 4) а 12: а = 13; 5) а 1\2 = 2\3
Дешифратор
Картка № 1
1) Х 13 = 4; 2) у -1 = 35; 3) а 12 = 23; 4) х -0,5 х 1,5 = 1; 5) у 13 = 2; 6) а 27 а 127 = 25; 7) а 1\2: а = 1\3
Дешифратор
Картка № 2
1) Х 13 = 4; 2) у -1 = 3; 3) (х +6) 1 \ 2 = 3; 4) у 13 = 2; 5) (у-3) 13 =2; 6) а 1\2: а = 1\3
Дешифратор
Картка № 3
1) а 27 а 127 = 25; 2) (х-12) 13 = 2; 3) х -0,7 х 3,7 = 8; 4) а 12: а = 13; 5) а 1\2 = 2\3
Дешифратор
Картка № 1
1) Х 13 = 4; 2) у -1 = 35; 3) а 12 = 23; 4) х -0,5 х 1,5 = 1; 5) у 13 = 2; 6) а 27 а 127 = 25; 7) а 1\2: а = 1\3
Дешифратор
Картка № 2
1) Х 13 = 4; 2) у -1 = 3; 3) (х +6) 1 \ 2 = 3; 4) у 13 = 2; 5) (у-3) 13 =2; 6) а 1\2: а = 1\3
Дешифратор
Картка № 3
1) а 27 а 127 = 25; 2) (х-12) 13 = 2; 3) х -0,7 х 3,7 = 8; 4) а 12: а = 13; 5) а 1\2 = 2\3
Дешифратор
| Варіант 1 1. Обчислити: (1 бал) 2. Спростити вираз: по 1 балу а) х 1\2 х 3\4 б)(х -5\6) -2\3 в) х -1\3: х 3\4 г) (0,04 х 7\8) -1\2 3. Розв'язати рівняння: (2 бали) 4. Спростити вираз: (2 бали) (а + 3а 1\2): (а 1\2 +3) 5. Знайти значення виразу: (3 бали) (У 1\2 -2) -1 - (У 1\2 +2) -1 при у=18 | Варіант 2 1. Обчислити: (1 бал) 2. Спростити вираз: по 1 балу а) х 1,6 х 0,4 б)(х 3\8) -5\6 в) х 3\7: х -2\3 г) (0,008х -6\7) -1\3 3. Розв'язати рівняння: (2 бали) 4. Спростити вираз: (2 бали) (у 1,5 с-нд 1,5): (у 0,5 - з 0,5) 5. Знайти значення виразу: (3 бали) (х 3\2 + х 1\2): (х 3\2 -х 1\2) при х = 0,75 |
|||||||||||||
Вирази, перетворення виразів
Ступінні вирази (вирази зі ступенями) та їх перетворення
У цій статті ми поговоримо про перетворення виразів зі ступенями. Спочатку ми зупинимося на перетвореннях, які виконуються з виразами будь-яких видів, у тому числі зі статечними виразами, таких як розкриття дужок, приведення подібних доданків. А далі розберемо перетворення, властиві саме виразам зі ступенями: робота з основою та показником ступеня, використання властивостей ступенів тощо.
Навігація на сторінці.
Що таке статечні вирази?
Термін «статечні висловлювання» практично не зустрічається шкільних підручниках математики, але він часто фігурує у збірниках завдань, особливо призначених для підготовки до ЄДІ та ОДЕ, наприклад, . Після аналізу завдань, у яких потрібно виконати будь-які дії зі статечними виразами, стає зрозуміло, що під статечними виразами розуміють вирази, що містять у своїх записах ступеня. Тому для себе можна прийняти таке визначення:
Визначення.
Ступінні вирази- Це вирази, що містять ступеня.
Наведемо приклади статечних виразів . Причому будемо їх представляти відповідно до того, як відбувається розвиток поглядів на ступінь з натуральним показником до ступеня з дійсним показником.
Як відомо, спочатку відбувається знайомство зі ступенем числа з натуральним показником, на цьому етапі з'являються перші найпростіші статечні вирази типу 3 2 , 7 5 +1 , (2+1) 5 , (−0,1) 4 , 3·a 2 −a+a 2 , x 3−1 , (a 2) 3 тощо.
Трохи пізніше вивчається ступінь числа з цілим показником, що призводить до появи статечних виразів з негативними ступенями, на кшталт наступних: 3 −2 , 
, a −2 +2·b −3 +c 2 .
У старших класах знову повертаються до ступенів. Там вводиться ступінь з раціональним показником, що тягне за собою появу відповідних статечних виразів: 
, , 
і т.п. Нарешті, розглядаються ступеня з ірраціональними показниками і їх висловлювання: , .
Перерахованими статечними виразами справа не обмежується: далі в показник ступеня проникає змінна, і виникають, наприклад, такі вирази 2 x 2 +1 або 
. А після знайомства з , починають зустрічатися вирази зі ступенями і логарифмами, наприклад, x 2 lgx −5 x lgx .
Отже, ми розібралися з питанням, що є статечними виразами. Далі вчитимемося перетворювати їх.
Основні види перетворень статечних виразів
Зі статечними виразами можна виконувати будь-які з основних тотожних перетворень виразів. Наприклад, можна розкривати дужки, замінювати числові вирази їх значеннями, наводити подібні доданки тощо. Природно, при цьому варто дотримуватися прийнятого порядку виконання дій. Наведемо приклади.
приклад.
Обчисліть значення статечного виразу 23 · (42-12).
Рішення.
Відповідно до порядку виконання дій спочатку виконуємо дії у дужках. Там, по-перше, замінюємо ступінь 4 2 її значенням 16 (за потреби дивіться ), і по-друге, обчислюємо різницю 16-12=4 . Маємо 2 3 ·(4 2 −12)=2 3 ·(16−12)=2 3 ·4.
В отриманому вираженні замінюємо ступінь 2 3 її значенням 8 після чого обчислюємо твір 8 · 4 = 32 . Це і є потрібне значення.
Отже, 2 3 ·(4 2 −12)=2 3 ·(16−12)=2 3 ·4=8·4=32.
Відповідь:
2 3 · (4 2 -12) = 32 .
приклад.
Спростити вирази зі ступенями 3·a 4 ·b −7 −1+2·a 4 ·b −7.
Рішення.
Вочевидь, що це вираз містить подібні доданки 3·a 4 ·b −7 і 2·a 4 ·b −7 , і ми можемо навести їх: .
Відповідь:
3·a 4 ·b −7 −1+2·a 4 ·b −7 =5·a 4 ·b −7 −1.
приклад.
Подайте вираз зі ступенями у вигляді твору.
Рішення.
Впоратися з поставленим завданням дозволяє подання числа 9 у вигляді ступеня 3 2 і подальше використання формули скороченого множення різниця квадратів: 
Відповідь:
Також існує ряд тотожних перетворень, властивих саме статечним виразам. Далі ми їх і розберемо.
Робота з основою та показником ступеня
Зустрічаються ступеня, в основі та/або показнику яких знаходяться не просто числа або змінні, а деякі вирази. Як приклад наведемо записи (2+0,3·7) 5−3,7 та (a·(a+1)−a 2) 2·(x+1) .
Працюючи з подібними виразами можна як вираз у основі ступеня, і вираз у показнику замінити тотожно рівним виразом на ОДЗ його змінних. Іншими словами, ми можемо за відомими нам правилами окремо перетворювати основу ступеня, і окремо – показник. Зрозуміло, що в результаті цього перетворення вийде вираз, що тотожно дорівнює вихідному.
Такі перетворення дозволяють спрощувати вирази зі ступенями або досягати інших потрібних нам цілей. Наприклад, у згаданому вище статечному вираженні (2+0,3·7) 5-3,7 можна виконати дії з числами на підставі та показнику, що дозволить перейти до ступеня 4,1 1,3 . А після розкриття дужок і приведення подібних доданків в підставі ступеня (a · (a + 1) -a 2) 2 · (x + 1) ми отримаємо статечне вираз простішого виду a 2 · (x + 1) .
Використання властивостей ступенів
Один із головних інструментів перетворення виразів зі ступенями – це рівності, що відображають . Нагадаємо основні із них. Для будь-яких позитивних чисел a і b та довільних дійсних чисел r і s справедливі такі властивостіступенів:
- a r · a s = a r + s;
- a r: as = a r−s;
- (a b) r = a r b r ;
- (a:b) r = r:b r ;
- (a r) s = a r · s.
Зауважимо, що з натуральних, цілих, і навіть позитивних показниках ступеня обмеження числа a і b може бути менш строгими. Наприклад, для натуральних чисел m і n рівність a m ·a n =a m+n вірно як для позитивних a , але й негативних, й у a=0 .
У школі основну увагу при перетворенні статечних виразів зосереджено саме на вмінні вибрати відповідну властивість і правильно її застосувати. При цьому основи ступенів зазвичай позитивні, що дозволяє використовувати властивості ступенів без обмежень. Це саме стосується і перетворення виразів, що містять в підставах ступенів змінні – область допустимих значень змінних зазвичай така, що на ній підстави набувають лише позитивних значень, що дозволяє вільно використовувати властивості ступенів. Взагалі, потрібно постійно ставити питання, а чи можна в даному випадку застосовувати будь-яку властивість ступенів, адже неакуратне використання властивостей може призводити до звуження ОДЗ та інших неприємностей. Детально і на прикладах ці моменти розібрані у статті перетворення виразів з використанням властивостей ступенів. Тут ми обмежимося розглядом кількох простих прикладів.
приклад.
Подайте вираз a 2,5 ·(a 2) −3:a −5,5 у вигляді ступеня з основою a .
Рішення.
Спочатку другий множник (a 2) −3 перетворимо за якістю зведення ступеня на ступінь: (a 2) −3 =a 2·(−3) =a −6. Вихідний статечний вираз при цьому набуде вигляду a 2,5 ·a −6:a −5,5 . Очевидно, залишається скористатися властивостями множення та поділу ступенів з однаковою основою, маємо
a 2,5 ·a −6:a −5,5 =
a 2,5−6:a −5,5 =a −3,5:a −5,5 =
a −3,5−(−5,5) =a 2 .
Відповідь:
a 2,5 ·(a 2) −3:a −5,5 =a 2.
Властивості ступенів при перетворенні статечних виразів використовуються як зліва направо, так і праворуч наліво.
приклад.
Знайти значення статечного виразу.
Рішення.
Рівність (a b) r = a r b r , застосоване праворуч наліво, дозволяє від вихідного виразу перейти до твору виду і далі . А при множенні ступенів з однаковими основами показники складаються: 
.
Можна було виконувати перетворення вихідного виразу та інакше: 
Відповідь:
.
приклад.
Дано статечний вираз a 1,5 −a 0,5 −6 , введіть нову змінну t=a 0,5 .
Рішення.
Ступінь a 1,5 можна як a 0,5·3 і далі з урахуванням якості ступеня ступеня (a r) s =a r·s , застосованого праворуч наліво, перетворити її до виду (a 0,5) 3 . Таким чином, a 1,5 −a 0,5 −6=(a 0,5) 3 −a 0,5 −6. Тепер легко ввести нову змінну t=a 0,5 одержуємо t 3 −t−6 .
Відповідь:
t 3 −t−6 .
Перетворення дробів, що містять ступеня
Ступінні вирази можуть містити дроби зі ступенями або являти собою такі дроби. До таких дробів повною мірою застосовні будь-які з основних перетворень дробів, які притаманні дробам будь-якого виду. Тобто, дроби, які містять ступеня, можна скорочувати, приводити до нового знаменника, працювати окремо з їх чисельником та окремо зі знаменником тощо. Для ілюстрації сказаних слів розглянемо розв'язання кількох прикладів.
приклад.
Спростити статечний вираз 
.
Рішення.
Дане статечне вираз являє собою дріб. Попрацюємо з її чисельником та знаменником. У чисельнику розкриємо дужки і спростимо отриманий після цього вираз, використовуючи властивості ступенів, а в знаменнику наведемо такі складові: 
І ще змінимо знак знаменника, помістивши мінус перед дробом: 
.
Відповідь:
.
Приведення дробів, що містять ступеня, до нового знаменника проводиться аналогічно до приведення до нового знаменника раціональних дробів. При цьому знаходиться додатковий множник і виконується множення на нього чисельника і знаменника дробу. Виконуючи цю дію, варто пам'ятати, що приведення до нового знаменника може спричинити звуження ОДЗ. Щоб цього не відбувалося, потрібно, щоб додатковий множник не звертався в нуль за жодних значень змінних з ОДЗ змінних для вихідного виразу.
приклад.
Наведіть дроби до нового знаменника: а) до знаменника a, б) 
до знаменника.
Рішення.
а) У цьому випадку досить просто збагнути, який додатковий множник допомагає досягти потрібного результату. Це множник a 0,3, тому що a 0,7 · 0,3 = a 0,7 +0,3 = a. Зауважимо, що на області допустимих значень змінної a (це є безліч всіх позитивних дійсних чисел) ступінь a 0,3 не звертається в нуль, тому ми маємо право виконати множення чисельника та знаменника заданого дробу на цей додатковий множник: 
б) Придивившись уважніше до знаменника, можна виявити, що 
і множення цього виразу дасть суму кубів і , тобто, . А це і є новим знаменником, до якого нам потрібно привести вихідний дріб.
Так ми знайшли додатковий множник. На ділянці допустимих значень змінних x і y вираз не звертається в нуль, тому ми можемо помножити на нього чисельник і знаменник дробу: 
Відповідь:
а) 
, б) 
.
У скороченні дробів, що містять ступеня, також немає нічого нового: чисельник і знаменник представляються у вигляді деякої кількості множників, і скорочуються однакові множники чисельника та знаменника.
приклад.
Скоротіть дріб: а) 
б) .
Рішення.
а) По-перше, чисельник і знаменник можна скоротити на чисел 30 і 45, який дорівнює 15 . Також, очевидно, можна виконати скорочення на x 0,5+1 та на 
. Ось що ми маємо: 
б) У цьому випадку однакових множників у чисельнику та знаменнику відразу не видно. Щоб отримати їх, доведеться виконати попередні перетворення. У разі вони полягають у розкладанні знаменника на множники по формулі різниці квадратів: 
Відповідь:
а) 
б) 
.
Приведення дробів до нового знаменника та скорочення дробів в основному використовується для виконання дій із дробами. Дії виконуються за відомими правилами. При складанні (відніманні) дробів, вони приводяться до спільного знаменника, після чого складаються (віднімаються) чисельники, а знаменник залишається тим самим. У результаті виходить дріб, чисельник якого є твір чисельників, а знаменник – твір знаменників. Розподіл на дріб є множення на дріб, зворотний їй.
приклад.
Виконайте дії 
.
Рішення.
Спочатку виконуємо віднімання дробів, що знаходяться в дужках. Для цього наводимо їх до спільного знаменника, який є 
, після чого віднімаємо чисельники: 
Тепер множимо дроби: 
Очевидно, можливе скорочення на ступінь x 1/2 після якого маємо 
.
Ще можна спростити статечний вираз у знаменнику, скориставшись формулою різниця квадратів: 
.
Відповідь:
приклад.
Спростіть статечний вираз 
.
Рішення.
Очевидно, цей дріб можна скоротити на (x 2,7 +1) 2 , це дає дріб 
. Зрозуміло, що ще треба щось зробити зі ступенями ікса. Для цього перетворимо отриманий дріб у твір. Це дає можливість скористатися властивістю поділу ступенів з однаковими підставами: 
. І на закінчення процесу переходимо від останнього твору до дробу.
Відповідь:
.
І ще додамо, що можна і в багатьох випадках бажано множники з негативними показниками ступеня переносити з чисельника в знаменник або з знаменника в чисельник, змінюючи знак показника. Такі перетворення часто спрощують подальші дії. Наприклад, статечний вираз можна замінити на .
Перетворення виразів з корінням та ступенями
Часто у виразах, в яких потрібно провести деякі перетворення, разом зі ступенями з дробовими показниками є і коріння. Щоб перетворити подібний вираз до потрібного вигляду, у більшості випадків достатньо перейти тільки до коріння або лише до ступенів. Але оскільки працювати зі ступенями зручніше, зазвичай переходять від коріння до ступенів. Однак, здійснювати такий перехід доцільно тоді, коли ОДЗ змінних для вихідного виразу дозволяє замінити коріння ступенями без необхідності звертатися до модуля або розбивати ОДЗ на кілька проміжків (це ми докладно розібрали у статті перехід від коренів до ступенів і назад). вводиться ступінь із ірраціональним показником, що дозволяє говорити і про ступінь із довільним дійсним показником. На цьому етапі в школі починає вивчатися. показова функція , Яка аналітично задається ступенем, на основі якої знаходиться число, а в показнику - змінна. Так ми стикаємося зі статечними виразами, що містять числа на підставі ступеня, а в показнику - вирази зі змінними, і природно виникає необхідність виконання перетворень таких виразів.
Слід сказати, що перетворення виразів зазначеного виду зазвичай доводиться виконувати під час вирішення показових рівняньі показових нерівностей, і це перетворення досить прості. У переважній кількості випадків вони базуються на властивостях ступеня і націлені переважно на те, щоб надалі ввести нову змінну. Продемонструвати їх нам дозволить рівняння 5 2·x+1 −3·5 x ·7 x −14·7 2·x−1 =0.
По-перше, ступеня, у показниках яких перебуває сума деякої змінної (або вирази зі змінними) та числа, замінюються творами. Це відноситься до першого і останнього доданків вирази з лівої частини:
5 2·x ·5 1 −3·5 x ·7 x −14·7 2·x ·7 −1 =0,
5·5 2·x −3·5 x ·7 x −2·7 2·x =0.
Далі виконується розподіл обох частин рівності на вираз 7 2·x , яке на ОДЗ змінної x для вихідного рівняння приймає тільки позитивні значення (це стандартний прийом розв'язання рівнянь такого виду, зараз не про нього, так що зосередьте увагу на подальших перетвореннях виразів зі ступенями ): 
Тепер скорочуються дроби зі ступенями, що дає 
.
Нарешті, ставлення ступенів з однаковими показниками замінюється ступенями відносин, що призводить до рівняння 
, яке рівносильне 
. Зроблені перетворення дозволяють ввести нову змінну, що зводить рішення початкового показникового рівняння до розв'язання квадратного рівняння
Муніципальний казенний загальноосвітній заклад
основна загальноосвітня школа № 25
Урок алгебри
Тема:
« Перетворення виразів, що містять ступеня з дробовими показниками»
Розробила:
,
вчитель математики
вищою доваліфікаційної категорії
Вузлова
2013
Тема урока: Перетворення виразів, що містять ступеня з дробовими показниками.
Мета уроку:
1. Подальше формування умінь, знань, навичок перетворення виразів, що містять ступеня з дрібними показниками
2. Розвиток уміння знаходити помилки, розвиток мислення, творчості, мови, обчислювальних навичок
3. Виховання самостійності, інтерес до предмета, уважності, акуратності.
ТЗН:магнітна дошка, контрольні картки, таблиці, індивідуальні картки, школярі на столі мають чисті підписані листи для індивідуальної роботи, кросворд, таблиці для математичної розминки, мультимедійний проектор.
Тип уроку: закріплення ЗУН
План уроку у часі
1. Організаційні моменти (2 хв)
2. Перевірка домашнього завдання (5 хв)
3. Розгадування кросворду (3 хв)
4. Математична розминка (5 хв)
5. Рішення вправ на закріплення фронтально (7 хв)
6. Індивідуальні роботи (10 хв)
7. Розв'язання вправ на повторення (5 хв)
8. Підсумок уроку (2 хв)
9. Завдання додому (1 хв)
Хід уроку
1) Перевірка домашнього завдання у формі взаємоперевірки . Хороші учні перевіряють зошити у слабих хлопців. А слабкі хлопці перевіряють у сильних на зразок контрольної картки. Домашнє завдання дано у двох варіантах.
I варіант завдання неважке
II варіант завдання складне
В результаті перевірки хлопці наголошують на помилках простим олівцем і ставлять оцінку. Остаточно я перевіряю роботи після того, як хлопці здадуть зошити після уроку. Я питаю у хлопців результати їх перевірки та виставляю оцінки за цей вид роботи у свою таблицю підбиття підсумків.
2) Для перевірки теоретичного матеріалу пропонується кросворд.
По вертикалі:
1. Властивість множення, яка використовується при множенні одночлена на багаточлен?
2. Чи дію показників ступеня при зведенні ступеня в ступінь?
3. Ступінь із нульовим показником?
4. Твір, що складається з однакових множників?
По горизонталі:
5. Корінь n - ой ступеня з невід'ємного числа?
6. Чи дію показників при множенні ступенів?
7. Чи дію показників ступеня при розподілі ступенів?
8. Число всіх однакових множників?
3) Математична розминка
а) виконайте обчислення та за допомогою шифру прочитайте заховане в завдання слово.
На дошці перед вами таблиці. У таблиці у графі 1 записані приклади, які слід обчислити.
Ключ до таблиці
491/2 | ||
27-1/3 | ||
4*81/3 | ||
5*25-1/2 | ||
7*82/3 | ||
(49/144)1/2 | 7/12 | |
(27*64)1/3 |
7/12 |
А відповідь записати у графі II, а у графі III поставити літеру, що відповідає цій відповіді.
Отже, зашифроване слово «ступінь». У наступному завданні ми працюємо з 2-м та 3-м ступенем
б) Гра «Дивися не помились»
Замість точок поставте число
а) х = (х ...) 2; б) а3/2 = (а1/2) ...; в) а = (а1/3) ...; г) 5... = (51/4)2; буд) 34/3=(34/9)…; е) 74/5 = (7…)2; ж) х1/2=(х…)2; з) у1/2=(у…)2
Знайдемо помилку:
А1/4 - 2а1/2 + 1 = (а1/
Отже, хлопці, що треба було застосувати, до виконання цього завдання:
Властивість ступенів: при зведенні ступеня до ступеня показники перемножуються;
4) А тепер приступаємо до фронтальної письмової роботи , використовуючи результати попередньої роботи Відкривають зошити, записують число, тему уроку.
№ 000
а) а – в = (а1/2)2 – (в1/2)2 = (а1/2 – в1/2)*(а1/2 + в1/2)
б) а – в = (а1/3)3 – (в1/3)3 = (а1/3 – в1/3)*(а2/3 + а1/3 в1/3 + в2/3)
№ 000 (а, в, г, д)
а ) m2 – 5 = m2 – (m1/2)2 = (m – 51/2)*(m+51/2)
в) a3 – 4 = (a3/2)2 – 22 = (a3/2 – 2)*(a3/2 +2)
г) x2/5 – y4/5 = (x1/5)2 – (y2/5)2 = (x1/5 – y2/5)*(x1/5 + y2/5)
д) 4 – a = 22 – (a1/2)2 = (2 – a1/2)*(2+a1/2)
№ 000 (а, г, е)
а) x3 – 2 = x3 – (21/3)3 = (x – 21/3)*(x2 + 21/3 x + 22/3)
г) a6/5 + 27 = (a2/5)3 + 33 = (a2/5 + 3)*(a4/3 – 3 a2/5 + 9)
е) 4 + y = (41/3)3 + (y1/3)3 = (41/3 + y1/3)*(42/3 + 41/3 y1/3 + y2/3)
Оцінка
5) Робота за індивідуальними картками за чотирма варіантами на окремих аркушах
Завдання з різним ступенем складності виконуються без будь-якої підказки вчителя.
Перевіряю роботи відразу і ставлю оцінки у свою таблицю та на листочках у хлопців.
№ 000 (а, в, буд, з)
а) 4*31/2/(31/2 – 3) = 4*31/2 /31/2*(1 – 31/2) = 4 / (1 – 31/2)
в) х + х1/2 /2х = х1/2*(х1/2+1)/ 2*(х1/2)2 = (х1/2+1)/2х1/2
д) (а2/3 – в2/3)/(а1/3 + в1/3) = (а1/3)2 – (в1/3)2/(а1/3 + в1/3) = (а1/3 + в1/3)*(а1/3 –в1/3)/(а1/3 + в1/3) = а1/3 – в1/3
з) (х2/3 - х1/3 у1/3 +у2/3)/(х +у) = ((х1/3)2 - х1/3 у1/3 + (у1/3)2)/(( х1/3)3 +(у1/3)3) = ((х1/3)2 – х1/3 у1/3 +(у1/3)2)/(х1/3 +у1/3)*((х1 /3)2 - х1/3 у1/3 + (у1/3)2) = 1/ (х1/3 +у1/3)
7) Робота за індивідуальними картками з різним ступенем складності. У деяких вправах є рекомендації вчителя, тому що матеріал ускладнений і слабким хлопцям важко впоратися з роботою
Також пропонується чотири варіанти. Оцінювання відбувається одразу. Я заношу всі оцінки до таблиці.
Завдання № зі збірки
Вчитель ставить запитання:
1. Що треба знайти у завданні?
2. Що для цього потрібно знати?
3. Як виразити час 1 пішохода та 2 пішохода?
4. Порівняти час 1 та 2 пішохода за умовою завдання та скласти рівняння.
Рішення завдання:
Нехай х (км/год) – швидкість 1 пішохода
Х +1 (км/год) – швидкість 2 пішохода
4/х (год) – час пішохода
4/(х +1) (ч) – час другого пішохода
За умовою задачі 4/х >4/ (х +1) на 12 хв
12 хв = 12/60 год = 1/5 год
Складаємо рівняння
Х/4 - 4/(х +1) = 1/5
НОЗ: 5х (х +1) ≠ 0
5*4*(х+1) – 5*4х = х*(х+1)
20х + 20 - 20х - х2 - х = 0
Х2 + х -20 = 0
Д = 1 - 4 * (-20) = 81, 81> 0, 2 до
х1 = (-1 -√81)/(-2) = 5 км/год - швидкість 1 пішохода
х2 = (-1 + √81)/(-2) = 4 – не підходить за змістом завдання, оскільки х>0
Відповідь: 5 км/год – швидкість 2 пішоходи
9) Підсумок уроку: Отже, хлопці, сьогодні на уроці ми закріпили знання, уміння, навички перетворення виразів, що містять ступеня, застосовували формули скороченого множення, винесення загального множника за дужки, повторили пройдений матеріал. Вказую на переваги та недоліки.
Підбиття підсумків уроку в таблиці.
Кросворд | Мат. розминка | Фронт. робота | Інд. робота К-1 | Інд. робота К-2 | ||||
10) Оголошую оцінки. Завдання додому
Індивідуальні картки К – 1 та К – 2
Міняю В - 1 і В - 2; В – 3 та В – 4, тому що вони рівносильні
Програми до уроку.
1) Картки для домашнього завдання
1. спростіть
а) (х1/2 – у1/2)2 + 2х1/2 у1/2
б) (а3/2 + 5а1\2)2 - 10а2
2. подайте у вигляді суми
а) а1/3 с1\4*(в2/3 + с3/4)
б) (а1/2 – в1/2)*(а + а1/2 в1\2 + в)
3. винесіть спільний множник
в) 151/3+201/3
1. спростіть
а) √m + √n – (m1/4 – n1/4)2
б) (а1/4 +в1/4)*(а1/8 + в1/8)*(а1/8 – в1/8)
2. подайте у вигляді суми
а) х0,5 у0,5 * (х-0,5 - у1,5)
б) (х1/3 + у1/3) * (х2 \ 3 - х1 / 3 у1 \ 3 + у2 / 3)
3. Винесіть спільний множник за дужки
б) в1\3 - в
в) (2а)1/3 – (5а)1\3
2) контрольна картка для В – 2
а) √m + √n – (m 1|4 – n 1|4)2 = m 1|2 + n 1|2 – ((m 1|2)2 – 2 m 1/4 n 1/4 + (n 1/2)2) = m 1/2 + n 1/2 - m 1/2 + 2 m 1/4 n 1/4 - n 1/2 = 2 m 1/4 n 1/4
б) (а1/4 + в1/4)*(а1/8 + в1/8)*(а1/8 – в1/8) = (а1/4 + в1/4)*(а1/8)2 – ( в1/8)2 = (а1/4 + в1/4)*(а1/4 – в1/4) = (а1/4)2 – (в1/4)2 = а1/2 – в1/2
а) х0,5 у0,5 * (х-0,5-у1,5) = х0,5 у0,5 х-0,5 - х0,5 у0,5 у1,5 = х0 у0,5 - х0,5 у2 = у0,5 - х0,5 у2
б) (х1/3 + у1/3)*(х2/3 – х1/3 у1/3 + у2/3) = (х1/3 + у1/3)*((х1/3)2 – х1/3 у1\3 + (у1/3)2) = (х1/3)2 + (у1/3)2 = х +у
а) 3 - 31/2 = 31/2 * (31/2 - 1)
б) в1/3 - в = в1/3 * (1 - в2/3)
в) (2а)1/3 – (5а)1/3 = а1/3*(21/3 – 51/3)
3) Картки для першої індивідуальної роботи
а) а – у, х ≥ 0, у ≥ 0
б) а – і, а ≥ 0
1. Розкладіть на множники представивши у вигляді різниці квадратів
а) а1/2 - в1/2
2. Розкладіть на множники представивши у вигляді різниці чи суми кубів
а) c1/3 + d1/3
1. Розкладіть на множники представивши у вигляді різниці квадратів
а) Х1/2 + У1/2
б) Х1/4 – У1/4
2. Розкладіть на множники представивши у вигляді різниці чи суми кубів
4) картки для другої індивідуальної роботи
а) (х – х1/2)/ (х1/2 – 1)
Вказівка: х1/2 винести за дужку чисельники
б) (а - в)/(а1/2 – в1/2)
Вказівка: а – в = (а1/2)2 – (в1/2)2
Скоротіть дріб
а) (21/4 – 2)/ 5*21/4
Вказівка: 21/4 винести за дужку
б) (а – в)/(5а1/2 – 5в1/2)
Вказівка: а – в = (а1/2)2– (в1/2)2
Варіант 3
1. Скоротіть дріб
а) (х1/2 – х1/4)/х3/4
Вказівка: х1/4 винести за дужку
б) (а1/2 – в1/2)/(4а1/4 – 4в1/4)
Варіант 4
Скоротіть дріб
а) 10/ (10 – 101/2)
б) (а - в)/(а2/3 + а1\3в1/3+ В 1/3)