Як довести паралельність прямих. Паралельні прямі на площині та у просторі Приклад паралельних прямих

Поняття паралельних прямих

Визначення 1

Паралельні прямі- Прямі, які лежать в одній площині, не збігаються і не мають спільних точок.

Якщо прямі мають спільну точку, тоді вони перетинаються.

Якщо всі точки прямих збігаються, то маємо насправді одну пряму.

Якщо прямі лежать у різних площинах, то умов їхньої паралельності дещо більше.

При розгляді прямих однією площині можна дати таке визначення:

Визначення 2

Дві прямі на площині називають паралельнимиякщо вони не перетинаються.

У математиці паралельні прямі прийнято позначати за допомогою знака паралельності $$parallel$. Наприклад, той факт, що пряма $c$ паралельна прямій $d$ позначається так:

$c \parallel d$.

Найчастіше розглядається поняття паралельних відрізків.

Визначення 3

Два відрізки називають паралельнимиякщо вони лежать на паралельних прямих.

Наприклад, малюнку паралельними є відрізки $AB$ і $CD$, т.к. вони належать паралельним прямим:

$AB \parallel CD$.

Разом про те, відрізки $MN$ і $AB$ чи $МN$ і $CD$ паралельними є. Цей факт можна записати за допомогою символів таким чином:

$MN ∦ AB$ і $MN ∦ CD$.

Аналогічним чином визначається паралельність прямої та відрізка, прямої та променя, відрізка та променя або двох променів.

Історична довідка

З грецької мовипоняття «паралелос» перекладається «що йде поруч» або «проведений один біля одного». Цей термін використовувався у давній школі Піфагора ще до того, як паралельні прямі набули свого визначення. Згідно історичним фактамЕвклідом у $III$ ст. до н.е. в його працях все ж таки було розкрито сенс поняття паралельних прямих.

У давнину знак для позначення паралельних прямих мав відмінний вигляд того, що ми використовуємо у сучасній математиці. Наприклад, давньогрецьким математиком Паппом у $ III $ ст. н.е. паралельність позначалася з допомогою знака рівності. Тобто. той факт, що пряма $l$ паралельна до прямої $m$ раніше позначався «$l=m$». Пізніше для позначення паралельності прямих стали використовувати звичний знак «$\parallel$, а знак рівності стали використовувати для позначення рівності чисел і виразів.

Паралельні прямі у житті

Найчастіше ми не помічаємо, що в звичайного життянас оточує величезна кількість паралельних прямих. Наприклад, у нотному зошиті та збірці пісень з нотами нотний стан виконаний за допомогою паралельних ліній. Також паралельні лінії трапляються й у музичних інструментах (наприклад, струни арфи, гітари, клавіші фортепіано тощо).

Електричні дроти, які розташовані вздовж вулиць та доріг, також проходять паралельно. Рейки ліній метро та залізницьрозташовуються паралельно.

Крім побуту паралельні лінії можна зустріти в живописі, архітектурі, при будівництві будівель.

Паралельні прямі в архітектурі

На представлених зображеннях архітектурні спорудимістять паралельні прямі. Використання паралельності прямих у будівництві допомагає збільшити термін служби таких споруд та надає їм надзвичайної краси, привабливості та величі. Лінії електропередач також навмисне проводяться паралельно, щоб уникнути їх перетину або дотику, що призвело б до замикання, перебоїв та відсутності електрики. Щоб поїзд міг безперешкодно пересуватися рейки, також виконані паралельними лініями.

У живопису паралельні лінії зображають такими, що зводяться в одну лінію або близькими до того. Такий прийом називається перспективою, яка випливає з ілюзії зору. Якщо довго дивитися вдалину, то паралельні прямі будуть схожі на дві лінії, що сходяться.

Ця стаття про паралельні прямі і про паралельність прямих. Спочатку дано визначення паралельних прямих на площині та у просторі, введено позначення, наведено приклади та графічні ілюстрації паралельних прямих. Далі розібрані ознаки та умови паралельності прямих. У висновку показані рішення характерних завдань на доказ паралельності прямих, які задані деякими рівняннями прямої прямокутної системи координат на площині і в тривимірному просторі.

Навігація на сторінці.

Паралельні прямі основні відомості.

Визначення.

Дві прямі на площині називаються паралельнимиякщо вони не мають спільних точок.

Визначення.

Дві прямі у тривимірному просторі називаються паралельнимиякщо вони лежать в одній площині і не мають спільних точок.

Зауважте, що застереження «якщо вони лежать в одній площині» у визначенні паралельних прямих у просторі дуже важливе. Пояснимо цей момент: дві прямі в тривимірному просторі, які не мають спільних точок і не лежать в одній площині не є паралельними, а схрещуються.

Наведемо кілька прикладів паралельних прямих. Протилежні краї листа зошита лежать на паралельних прямих. Прямі, за якими площина стіни будинку перетинає площину стелі та підлоги, є паралельними. Залізничні колії на рівній місцевості також можна розглядати як паралельні прямі.

Для позначення паралельних прямих використовується символ «». Тобто якщо прямі а і b паралельні, то можна коротко записати а b .

Зверніть увагу: якщо прямі a і b паралельні, можна сказати, що пряма a паралельна прямий b , і навіть, що пряма b паралельна прямий a .

Озвучимо твердження, яке відіграє важливу роль щодо паралельних прямих на площині: через точку, що не лежить на даній прямій, проходить єдина пряма, паралельна даній. Це твердження приймається як факт (воно не може бути доведено на основі відомих аксіом планіметрії), і воно називається аксіомою паралельних прямих.

Для випадку у просторі справедлива теорема: через будь-яку точку простору, що не лежить на заданій прямій, проходить єдина пряма, паралельна даній. Ця теорема легко доводиться за допомогою наведеної вище аксіоми паралельних прямих (її доказ можна знайти в підручнику геометрії 10-11 клас, який вказаний наприкінці статті у списку літератури).

Для випадку у просторі справедлива теорема: через будь-яку точку простору, що не лежить на заданій прямій, проходить єдина пряма, паралельна даній. Ця теорема легко доводиться за допомогою наведеної вище аксіоми паралельних прямих.

Паралельність прямих - ознаки та умови паралельності.

Ознакою паралельності прямихє достатня умовапаралельності прямих, тобто така умова, виконання якої гарантує паралельність прямих. Іншими словами, виконання цієї умови достатньо для того, щоб констатувати факт паралельності прямих.

Також існують необхідні та достатні умови паралельності прямих на площині та у тривимірному просторі.

Пояснимо зміст фрази «необхідна та достатня умова паралельності прямих».

З достатньою умовою паралельності прямих ми вже розібралися. А що таке «необхідна умова паралельності прямих»? За назвою "необхідне" зрозуміло, що виконання цієї умови необхідне для паралельності прямих. Інакше кажучи, якщо необхідна умова паралельності прямих не виконано, то прямі не паралельні. Таким чином, необхідна та достатня умова паралельності прямих- Це умова, виконання якого як необхідно, так і достатньо для паралельності прямих. Тобто, з одного боку це ознака паралельності прямих, з другого боку – це властивість, яким мають паралельні прямі.

Перш ніж сформулювати необхідну та достатню умову паралельності прямих, доцільно нагадати кілька допоміжних визначень.

Поточна пряма- Це пряма, яка перетинає кожну з двох заданих прямих.

При перетині двох прямих січної утворюються вісім нерозгорнутих. У формулюванні необхідної та достатньої умови паралельності прямих беруть участь так звані навхрест лежачі, відповідніі односторонні кути. Покажемо їх на кресленні.

Теорема.

Якщо дві прямі на площині пересічені січній, то для їх паралельності необхідно і достатньо, щоб навхрест кути, що лежали, були рівні, або відповідні кути були рівні, або сума односторонніх кутів дорівнювала 180 градусів.

Покажемо графічну ілюстрацію цієї необхідної та достатньої умови паралельності прямих на площині.

Докази цих умов паралельності прямих можна знайти у підручниках геометрії за 7 -9 класи.

Зауважимо, що ці умови можна використовувати і в тривимірному просторі – головне, щоб дві прямі та січна лежали в одній площині.

Наведемо ще кілька теорем, які часто використовуються за доказом паралельності прямих.

Теорема.

Якщо дві прямі на площині паралельні до третьої прямої, то вони паралельні. Доказ цієї ознаки випливає з аксіоми паралельних прямих.

Існує аналогічна умова паралельності прямих у тривимірному просторі.

Теорема.

Якщо дві прямі у просторі паралельні третьої прямої, всі вони паралельні. Доказ цієї ознаки розглядається на уроках геометрії у 10 класі.

Проілюструємо озвучені теореми.

Наведемо ще одну теорему, що дозволяє доводити паралельність прямих на площині.

Теорема.

Якщо дві прямі на площині перпендикулярні до третьої прямої, вони паралельні.

Існує аналогічна теорема для прямих у просторі.

Теорема.

Якщо дві прямі в тривимірному просторі перпендикулярні до однієї площини, вони паралельні.

Зобразимо малюнки, які відповідають цим теоремам.

Всі сформульовані вище теореми, ознаки та необхідні та достатні умови чудово підходять для доказу паралельності прямих методами геометрії. Тобто, щоб довести паралельність двох заданих прямих потрібно показати, що вони паралельні третьої прямої, або показати рівність навхрест кутів, що лежать, і т.п. Безліч подібних завдань вирішується на уроках геометрії в середній школі. Однак слід зазначити, що у багатьох випадках зручно користуватися методом координат для доказу паралельності прямих на площині або тривимірному просторі. Сформулюємо необхідні та достатні умови паралельності прямих, які задані у прямокутній системі координат.

Паралельність прямих у прямокутній системі координат.

У цьому пункті статті ми сформулюємо необхідні та достатні умови паралельності прямиху прямокутній системі координат залежно від виду рівнянь, що визначають ці прямі, а також наведемо докладні розв'язки характерних завдань.

Почнемо з умови паралельності двох прямих на площині прямокутної системі координат Oxy . В основі його доказу лежить визначення напрямного вектора прямої та визначення нормального вектора прямої на площині.

Теорема.

Для паралельності двох неспівпадаючих прямих на площині необхідно і достатньо, щоб напрямні вектори цих прямих були колінеарні, або нормальні вектори цих прямих були колінеарні, або напрямний вектор однієї прямої був перпендикулярний до нормального вектора другої прямої.

Очевидно, умова паралельності двох прямих на площині зводиться до (напрямних векторів прямих або нормальних векторів прямих) або до (напрямного вектора однієї прямої та нормального вектора другої прямої). Таким чином, якщо і - напрямні вектори прямих a і b а і - нормальні вектори прямих a та b відповідно, то необхідна та достатня умова паралельності прямих а та b запишеться як , або , або де t - деяке дійсне число. У свою чергу координати напрямних та (або) нормальних векторів прямих a та b знаходяться за відомими рівняннями прямих.

Зокрема, якщо пряму a у прямокутній системі координат Oxy на площині задає загальне рівняння прямого виду , а пряму b - то нормальні вектори цих прямих мають координати і відповідно, а умова паралельності прямих a і b запишеться як .

Якщо прямий a відповідає рівняння прямий з кутовим коефіцієнтом виду , а прямий b - , то нормальні вектори цих прямих мають координати і , а умова паралельності цих прямих набуде вигляду . Отже, якщо прямі на площині прямокутної системі координат паралельні і можуть бути задані рівняннями прямих з кутовими коефіцієнтами, то кутові коефіцієнти прямих будуть рівні. І навпаки: якщо прямі, що не збігаються, на площині в прямокутній системі координат можуть бути задані рівняннями прямої з рівними кутовими коефіцієнтами, то такі прямі паралельні.

Якщо пряму a та пряму b у ​​прямокутній системі координат визначають канонічні рівняння прямої на площині виду і , або параметричні рівняння прямої на площині виду і відповідно, напрямні вектори цих прямих мають координати і , а умова паралельності прямих a і b записується як .

Розберемо рішення кількох прикладів.

приклад.

Чи паралельні прямі і?

Рішення.

Перепишемо рівняння прямої у відрізках у вигляді загального рівнянняпрямий: . Тепер видно, що – нормальний вектор прямий , а нормальний вектор прямий . Ці вектори не колінеарні, тому що не існує такого дійсного числа t , для якого правильна рівність ( ). Отже, не виконується необхідна та достатня умова паралельності прямих на площині, тому задані прямі не паралельні.

Відповідь:

Ні, прямі не паралельні.

приклад.

Чи є прямі та паралельними?

Рішення.

Наведемо канонічне рівнянняпрямий до рівняння прямий із кутовим коефіцієнтом: . Вочевидь, що рівняння прямих і однакові (у разі задані прямі були б збігаються) і кутові коефіцієнти прямих рівні, отже, вихідні прямі паралельні.

Вони не перетинаються, хоч би скільки їх продовжували. Паралельність прямих на листі позначають так: AB|| ЗE

Можливість існування таких прямих доводиться теоремою.

Теорема.

Через будь-яку точку, взяту поза цією прямою, можна провести паралельну цій прямій.

Нехай ABдана пряма і Зякась точка, взята поза нею. Потрібно довести, що через Зможна провести пряму, паралельнуAB. Опустимо на ABз точки З перпендикулярЗDі потім проведемо ЗE^ ЗD, що можливо. Пряма CEпаралельна AB.

Для доказу припустимо неприємне, тобто, що CEперетинається з ABв деякій точці M. Тоді з точки Mдо прямої ЗDми мали б два різні перпендикуляри MDі MС, що неможливо. Значить, CEне може перетнутися з AB, тобто. ЗEпаралельна AB.

Слідство.

Два перпендикуляри (СEіDB) до однієї прямої (СD) паралельні.

Аксіома паралельних ліній.

Через ту саму точку не можна провести двох різних прямих, паралельних однієї й тієї ж прямий.

Так, якщо пряма ЗD, проведена через точку Зпаралельна прямий AB, то будь-яка інша пряма ЗE, проведена через ту саму точку З, не може бути паралельна AB, тобто. вона при продовженні перетнетьсяз AB.

Доказ цієї цілком очевидної істини виявляється неможливим. Її приймають без доказу як необхідне припущення (postulatum).

Наслідки.

1. Якщо пряма(ЗE) перетинається з однією з паралельних(СВ), то вона перетинається і з іншого ( AB), тому що в іншому випадку через одну і ту ж точку Зпроходили б дві різні прямі, паралельні AB, що неможливо.

2. Якщо кожна з двох прямих (AіB) паралельні одній і тій же третій прямій ( З) , то вони паралельніміж собою.

Справді, якщо припустити, що Aі Bперетинаються в деякій точці M, то тоді через цю точку проходили б дві різні прямі, паралельні З, що неможливо.

Теорема.

Якщо пряма перпендикулярнадо однієї з паралельних прямих, вона перпендикулярна і до іншої паралельною.

Нехай AB || ЗDі EF ^ AB. Потрібно довести, що EF ^ ЗD.

ПерпендикулярEF, перетинаючи з AB, неодмінно перетне і ЗD. Нехай точка перетину буде H.

Припустимо тепер, що ЗDне перпендикулярна до EH. Тоді якась інша пряма, наприклад HK, буде перпендикулярна до EHі, отже через ту саму точку Hпроходитимуть дві прямі паралельні AB: одна ЗD, за умовою, а інша HKза доведеним раніше. Так як це неможливо, то не можна припустити, що СВбула не перпендикулярна до EH.

Інструкція

Перед початком доказу переконайтеся, що прямі лежать в одній площині та їх можна зобразити на ній. Найбільш простим способомДоказ є метод вимірювання лінійкою. Для цього за допомогою лінійки виміряйте відстань між прямими в декількох місцях якнайдалі один від одного. Якщо відстань залишається незмінною, дані прямі паралельні. Але такий метод недостатньо точний, тож краще використовуйте інші способи.

Проведіть третю пряму так, щоб вона перетинала обидві паралельні прямі. Вона утворює з ними чотири зовнішні та чотири внутрішні кути. Розгляньте внутрішні кути. Ті, що лежать через пряму, що січе, називаються накрестлежащими. Ті, що лежать по одному боці, називаються односторонніми. За допомогою транспортира виміряйте два внутрішні кути. Якщо вони рівні між собою, то прямі будуть паралельними. Якщо залишилися сумніви, виміряйте односторонні внутрішні кути і складіть значення. Прямі будуть паралельними, якщо сума односторонніх внутрішніх кутів дорівнюватиме 180º.

Якщо немає транспортира, візьміть косинець із кутом 90º. З його допомогою збудуйте перпендикуляр до однієї з прямих. Після цього продовжіть цей перпендикуляр таким чином, щоб він перетнув іншу пряму. За допомогою того ж косинця перевірте, під яким кутом цей перпендикуляр перетинає її. Якщо цей кут теж дорівнює 90 º, то прямі паралельні між собою.

У тому випадку, якщо прямі задані в системі декарт координат, знайдіть їх напрямні або нормальні вектори. Якщо ці вектори відповідно між собою колінеарні, то прямі паралельні. Наведіть рівняння прямих до загального вигляду та знайдіть координати нормального вектора кожної з прямих. Його координати дорівнюють коефіцієнтам А і В. У тому випадку, якщо відношення відповідних координат нормальних векторів однакове, вони колінеарні, а прямі паралельні.

Наприклад, прямі задані рівняннями 4х-2у+1=0 та х/1=(у-4)/2. Перше рівняння – загального вигляду, друге - канонічного. Наведіть друге рівняння до загального вигляду. Використовуйте для цього правило перетворення пропорцій, в результаті отримайте 2х=4. Після приведення до загального вигляду отримаєте 2х +4 = 0. Оскільки рівняння загального виду для будь-якої прямої записується Ах + Ву + С = 0, то для першої прямої: А = 4, В = 2, а для другої прямої А = 2, В = 1. Для першої прямої координати нормального вектора (4; 2), а для другої – (2; 1). Знайдіть відношення відповідних координат нормальних векторів 4/2=2 та 2/1=2. Ці числа рівні, отже вектора колінеарні. Оскільки вектори колінеарні, прямі паралельні.

На площині прямі називаються паралельними, якщо вони не мають спільних точок, тобто вони не перетинаються. Для позначення паралельності використовують значок || (Паралельні прямі a || b).

Для прямих, що лежать у просторі, вимоги відсутності загальних точок недостатньо – щоб вони у просторі були паралельними, вони повинні належати одній площині (інакше вони схрещуються).

За прикладами паралельних прямих далеко йти не треба, вони супроводжують нас всюди, в кімнаті – це лінії перетину стіни зі стелею та підлогою, на зошитовому листі – протилежні краї тощо.

Цілком очевидно, що, маючи паралельність двох прямих і третю пряму, паралельну до однієї з перших двох, вона буде паралельна і другою.

Паралельні прямі пов'язані на площині твердженням, яке не доводиться за допомогою аксіом планіметрії. Його приймають як факт, як аксіома: для будь-якої точки на площині, що не лежить на прямій, існує єдина пряма, яка проходить через неї паралельно даній. Цю аксіому знає кожен шестикласник.

Її просторове узагальнення, тобто твердження, що для будь-якої точки у просторі, що не лежить на прямій, існує єдина пряма, яка проходить через неї паралельно даній, легко доводиться за допомогою вже відомої нам аксіоми паралельності на площині.

Властивості паралельних прямих

• Якщо будь-яка з паралельних двох прямих паралельна до третьої, то вони взаємно паралельні.

Ця властивість має паралельні прямі і на площині, і в просторі.
Як приклад розглянемо його обґрунтування у стереометрії.

Допустимо паралельність прямих b і з прямою a.

Випадок, коли всі прямі лежать в одній площині залишимо планіметрії.

Припустимо, a і b належать площині бета, а гамма - площину, якій належать a і з (за визначенням паралельності у просторі прямі повинні належати одній площині).

Якщо припустити, що площини бетта і гамма різні і відзначити на прямій b з бетта певну точку B, то площина, проведена через точку B і пряму з повинна перетнути площину бета по прямій (позначимо її b1).

Якби отримана пряма b1 перетинала площину гамма, то, з одного боку, точка перетину повинна була б лежати на a, оскільки b1 належить площині бета, а з іншого вона повинна належати і з, оскільки b1 належить третій площині.
Але ж паралельні прямі і з перетинатися не повинні.

Таким чином, пряма b1 повинна належати площині бета і при цьому не мати спільних точок a, отже, згідно з аксіомою паралельності, вона збігається з b.
Ми отримали пряму b пряму b1, яка належить одній і тій же площині з прямою с і при цьому її не перетинає, тобто b і с - паралельні

• Через точку, яка не лежить на заданій прямій, паралельна даній може проходити лише одна єдина пряма.

• Дві прямі паралельні, що лежать на площині перпендикулярно третій.

• За умови перетину площини однієї з паралельних двох прямих, цю ж площину перетинає друга пряма.

• Відповідні і навхрест лежачі внутрішні кути, утворені перетином паралельних двох прямих третьої, рівні, сума у ​​внутрішніх односторонніх при цьому дорівнює 180°.

Вірні та зворотні твердження, які можна прийняти за ознаки паралельності двох прямих.

Умови паралельності прямих

Сформульовані вище властивості та ознаки є умовами паралельності прямих, і їх цілком можна довести методами геометрії. Інакше висловлюючись, задля доказу паралельності двох наявних прямих досить довести їх паралельність третьої прямої чи рівність кутів, чи то відповідних чи навхрест лежачих, тощо.

Для доказу переважно використовують метод «від неприємного», тобто з припущення, що прямі непаралельні. Виходячи з цього припущення, легко можна показати, що в цьому випадку порушуються задані умови, наприклад, навхрест внутрішні кути, що лежать, виявляються нерівними, що і доводить некоректність зробленого припущення.