Як побудувати параболу? Що таке парабола? Як розв'язуються квадратні рівняння? Директоріальна властивість параболи Бісектриса параболи

У всій цій главі передбачається, що у площині (у якій лежать всі постаті, що розглядаються далі) обраний певний масштаб; розглядаються лише прямокутні системи координат із цим масштабом.

§ 1. Парабола

Парабола відома читачеві з шкільного курсуматематики як крива, що є графіком функції

(Мал. 76). (1)

Графік будь-якого квадратного тричлена

також є параболою; можна за допомогою лише зсуву системи координат (на деякий вектор ГО), тобто перетворення

досягти того, щоб графік функції (у другій системі координат) збігався з графіком (2) (у першій системі координат).

Справді, зробимо підстановку (3) у рівність (2). Отримаємо

Ми хочемо підібрати так, щоб коефіцієнт при і вільний член многочлена (щодо ) у правій частині цієї рівності дорівнювали нулю. Для цього визначаємо з рівняння

що і дає

Тепер визначаємо з умови

в яке підставляємо вже знайдене значення. Отримаємо

Отже, за допомогою зсуву (3), в якому

ми перейшли до нової системи координат, в якій рівняння параболи (2) набуло вигляду

(Мал. 77).

Повернімося до рівняння (1). Воно може бути визначенням параболи. Нагадаємо її найпростіші властивості. Крива має вісь симетрії: якщо точка задовольняє рівнянню (1), то точка симетрична точці М щодо осі ординат, також задовольняє рівняння (1) - крива симетрична щодо осі ординат (рис. 76).

Якщо парабола (1) лежить у верхній напівплощині, маючи з віссю абсцис єдину загальну точку О.

При необмеженому зростанні модуля абсцис ординату також необмежено зростає. Загальний вигляд кривої дай на рис. 76, а.

Якщо (рис. 76 б), то крива розташована в нижній напівплощині симетрично щодо осі абсцис до кривої .

Якщо перейти до нової системи координат, отриманої зі старою заміною позитивного напрямку осі ординат на протилежне, парабола, що має в старій системі рівняння , отримає в новій системі координат рівняння у . Тому щодо парабол можна обмежитися рівняннями (1), у яких .

Поміняємо, нарешті, назви осей, т. е. перейдемо до йової системі координат, у якій віссю ординат буде стара вісь абсцис, а віссю абсцис - стара вісь ординат. У цій новій системі рівняння (1) запишеться у вигляді

Або, якщо число - позначити через , як

Рівняння (4) називається в аналітичній геометрії канонічним рівнянням параболи; прямокутна система координат, у якій дана парабола має рівняння (4), називається канонічною системою координат (для цієї параболи).

Зараз ми встановимо геометричний змісткоефіцієнта. Для цього беремо крапку

звану фокусом параболи (4), і пряму d, визначену рівнянням

Ця пряма називається директрисою параболи (4) (див. рис. 78).

Нехай – довільна точка параболи (4). З рівняння (4) випливає, що Тому відстань точки М від директриси d є числом

Відстань точки М від фокусу F є

Але тому

Отже, всі точки М параболи рівновіддалені від її фокусу та директриси:

Назад, кожна точка М, яка задовольняє умові (8), лежить на параболі (4).

Справді,

Отже,

і, після розкриття дужок та приведення подібних членів,

Ми довели, що кожна парабола (4) є геометричним місцем точок, рівновіддалених від фокусу F і від директриси d цієї параболи.

Разом з тим ми встановили і геометричний сенс коефіцієнта в рівнянні (4): число дорівнює відстані між фокусом та директрисою параболи.

Нехай тепер на площині дано довільно точка F і пряма d, що не проходить через цю точку. Доведемо, що існує парабола з фокусом F та директрисою d.

Для цього проведемо через точку F пряму g (рис. 79), перпендикулярну до прямої d; точку перетину обох прямих позначимо через D; відстань (тобто відстань між точкою F і прямою d) позначимо через .

Пряму g перетворимо на вісь, прняв на ній напрямок DF як позитивний. Цю вісь зробимо віссю абсцис прямокутної системи координат, початком якої є середина О відрізка

Тоді і пряма d отримує рівняння.

Тепер ми можемо у вибраній системі координат написати канонічне рівняння параболи:

причому точка F буде фокусом, а пряма d - директрисою параболи (4).

Ми встановили вище, що парабола є геометричним місцем точок М, рівновіддалених від точки F і прямої d. Отже, ми можемо дати таке геометричне (тобто не залежить від жодної системи координат) визначення параболи.

Визначення. Параболою називається геометричне місце точок, рівновіддалених від деякої фіксованої точки («фокусу» параболи) та деякої фіксованої прямої («директриси» параболи).

Парабола - це нескінченна крива, яка складається з точок, рівновіддалених від заданої прямої, званої директрисою параболи, і заданої точки- фокус параболи. Парабола є конічним перетином, тобто перетин площини і кругового конуса.

У загальному виглядіматематичне рівняння параболи має вигляд: y=ax^2+bx+c, де a не дорівнює нулю, b відбиває зміщення графіка функції по горизонталі щодо початку координат, а c - вертикальне зміщення графіка функції щодо початку координат. При цьому, якщо a>0, то при побудові графіка будуть спрямовані вгору, а у випадку, якщо aВластивості параболи

Парабола - це крива другого порядку, яка має вісь симетрії, що проходить через фокус параболи та перпендикулярну до директриси параболи.

Парабола має особливе оптичною властивістю, що полягає у фокусування паралельних щодо осі її симетрії світлових променів, спрямованих у параболу, у вершині параболи і розфокусування пучка світла, направленого у вершину параболи, паралельні світлові промені відносної тієї ж осі.

Якщо відбиток параболи щодо будь-якої дотичної, то образ параболи виявиться її директрисі. Усі параболи подібні між собою, тобто для кожних двох точок A і B однієї параболи, знайдуться точки A1 і B1, котрим правильне твердження |A1,B1| = |A,B|*k, де k – коефіцієнт подоби, що у чисельному значенні завжди більше нуля.

Прояв параболи у житті

Деякі космічні тіла, такі як комети або астероїди, що проходять поблизу великих космічних об'єктів на високій швидкості, мають траєкторію руху у формі параболи. Ця властивість малих космічних тілвикористовується під час гравітаційних маневрів космічних кораблів.

Для тренувань майбутніх космонавтів на землі проводяться спеціальні польоти літаків по траєкторії параболи, чим досягається ефект невагомості в гравітаційному полі землі.

У побуті параболи можна зустріти у різних освітлювальних приладах. Це пов'язано з оптичною властивістю параболи. Одним із останніх способів застосування параболи, заснованих на її властивостях фокусування та розфокусування світлових променів, стали сонячні батареї, які все більше входять у сферу енергопостачання у південних регіонах Росії.

Що таке парабола знають, мабуть, усі. А ось як її правильно, грамотно використовувати під час вирішення різних практичних завдань, розберемося нижче.

Спочатку позначимо основні поняття, що дає цьому терміну алгебра та геометрія. Розглянемо усі можливі види цього графіка.

Дізнаємося всі основні характеристики цієї функції. Зрозуміємо основи побудови кривої (геометрія). Навчимося знаходити вершину, інші основні величини графіка цього типу.

Дізнаємося: як правильно будується крива за рівнянням, на що треба звернути увагу. Подивимося головне практичне застосуванняцієї унікальної величини у житті людини.

Що таке парабола і як вона виглядає

Алгебра: під цим терміном розуміється графік квадратичні функції.

Геометрія: це крива другого порядку, що має низку певних особливостей:

Канонічне рівняння параболи

На малюнку зображено прямокутну систему координат (XOY), екстремум, напрямок гілок креслення функції вздовж осі абсцис.

Канонічне рівняння має вигляд:

y 2 = 2 * p * x,

де коефіцієнт p – фокальний параметр параболи (AF).

В алгебрі воно запишеться інакше:

y = a x 2 + b x + c (відомий шаблон: y = x 2).

Властивості та графік квадратичної функції

Функція має віссю симетрії та центром (екстремум). Область визначення – всі значення осі абсцис.

Область значень функції – (-∞, М) або (М, +∞) залежить від напрямку гілок кривої. Параметр М означає величину функції у вершині лінії.

Як визначити, куди спрямовані гілки параболи

Щоб знайти напрямок кривої такого типу з виразу, потрібно визначити знак перед першим параметром виразу алгебри. Якщо а 0 0, то вони спрямовані вгору. Якщо навпаки – вниз.

Як знайти вершину параболи за формулою

Знаходження екстремуму є основним етапом під час вирішення безлічі практичних завдань. Звичайно, можна відкрити спеціальні онлайн калькуляториАле краще це вміти робити самому.

Як її визначити? Є спеціальна формула. Коли b дорівнює 0, треба шукати координати цієї точки.

Формули знаходження вершини:

• x 0 = -b/(2*a);
• y0 = y(x0).

приклад.

Є функція у = 4 * x 2 + 16 * x - 25. Знайдемо вершини цієї функції.

Для такої лінії:

• х = -16 / (2 * 4) = -2;
• y = 4 * 4 - 16 * 2 - 25 = 16 - 32 - 25 = -41.

Отримуємо координати вершини (-2, -41).

Зміщення параболи

Класичний випадок, коли у квадратичній функції y = a x 2 + b x + c, другий та третій параметри дорівнюють 0, а = 1 – вершина знаходиться в точці (0; 0).

Рух осями абсцис або ординат обумовлено зміною параметрів b і c відповідно.Зсув лінії на площині буде здійснюватися рівно на кількість одиниць, чому дорівнює значення параметра.

приклад.

Маємо: b=2, c=3.

Це означає, що класичний вид кривої зрушить на 2 одиничні відрізки по осі абсцис і на 3 - по осі ординат.

Як будувати параболу за квадратним рівнянням

Школярам важливо засвоїти, як правильно накреслити параболу за заданими параметрами.

Аналізуючи вирази та рівняння, можна побачити наступне:

1. Точка перетину шуканої лінії з вектором ординат матиме значення, що дорівнює величині с.
2. Всі точки графіка (осі абсцис) будуть симетричні щодо основного екстремуму функції.

Крім того, місця перетину з ОХ можна знайти, знаючи дискримінант (D) такої функції:

D = (b 2 - 4 * a * c).

Для цього потрібно прирівняти вираз до нуля.

Наявність коренів параболи залежить від результату:

• D 0 , то х 1,2 = (-b ± D 0,5) / (2 * a);
• D = 0, то х 1, 2 = -b/(2*a);
• D 0 0, то немає точок перетину з вектором ОХ.

Отримуємо алгоритм побудови параболи:

• визначити напрямок гілок;
• знайти координати вершини;
• знайти перетин з віссю ординат;
• знайти перетин з віссю абсцис.

приклад 1.

Дана функція у = х 2 - 5 * х + 4. Необхідно побудувати параболу. Діємо за алгоритмом:

1. а = 1, отже, гілки спрямовані нагору;
2. координати екстремуму: х = - (-5) / 2 = 5/2; y = (5/2) 2 - 5 * (5/2) + 4 = -15/4;
3. з віссю ординат перетинається у значенні у = 4;
4. знайдемо дискримінант: D = 25 – 16 = 9;
5. шукаємо коріння:

• Х 1 = (5 + 3)/2 = 4; (4, 0);
• Х 2 = (5 – 3) / 2 = 1; (1, 0).

приклад 2.

Для функції у = 3 * х 2 - 2 * х - 1 потрібно побудувати параболу. Діємо за наведеним алгоритмом:

1. а = 3, отже, гілки спрямовані нагору;
2. координати екстремуму: х = - (-2) / 2 * 3 = 1/3; y = 3 * (1/3) 2 - 2 * (1/3) - 1 = -4/3;
3. з віссю у перетинатиметься у значенні у = -1;
4. знайдемо дискримінант: D = 4 + 12 = 16. Значить коріння:

• Х 1 = (2 + 4)/6 = 1; (1; 0);
• Х 2 = (2 – 4) / 6 = -1/3; (-1/3; 0).

За отриманими точками можна побудувати параболу.

Директриса, ексцентриситет, фокус параболи

Виходячи з канонічного рівняння, фокус F має координати (p/2, 0).

Пряма АВ – директриса (свого роду хорда параболи певної довжини). Її рівняння: х = -р/2.

Ексцентриситет (константа) = 1.

Висновок

Ми розглянули тему, яку вивчають школярі у середній школі. Тепер ви знаєте, дивлячись на квадратичну функцію параболи, як знайти її вершину, в яку сторону будуть направлені гілки, чи є зміщення по осях, і, маючи алгоритм побудови, зможете накреслити її графік.

Функція виду, де називається квадратичною функцією.

Графік квадратичної функції – парабола.

Розглянемо випадки:

I ВИПАДК, КЛАСИЧНА ПАРАБОЛА

Тобто , ,

Для побудови заповнюємо таблицю, підставляючи значення x формулу:

Зазначаємо точки (0; 0); (1; 1); (-1; 1) і т.д. на координатної площини(чим із меншим кроком ми беремо значення х (в даному випадку крок 1), і чим більше беремо значень х, тим плавніше буде крива), отримуємо параболу:

Неважко помітити, що й ми візьмемо випадок , , , тобто , ми отримаємо параболу, симетричну щодо осі (ох). Переконатись у цьому нескладно, заповнивши аналогічну таблицю:

II ВИПАД, «a» ВІДМІННО ВІД ОДИНИЦІ

Що ж буде, якщо ми братимемо , , ? Як зміниться поведінка параболи? При title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="20" width="55" style="vertical-align: -5px;"> парабола изменит форму, она “похудеет” по сравнению с параболой (не верите – заполните соответствующую таблицу – и убедитесь сами):!}

На першій картинці (див. вище) добре видно, що точки з таблиці для параболи (1; 1), (-1; 1) трансформувалися в точки (1; 4), (1; -4), тобто при тих же значення ординату кожної точки помножилася на 4. Це станеться з усіма ключовими точками вихідної таблиці. Аналогічно міркуємо у випадках картинок 2 та 3.

А при параболі «стане ширше» параболи:

Давайте підсумуємо:

1)Знак коефіцієнта відповідає за напрямок гілок. При title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="14" width="47" style="vertical-align: 0px;"> ветви направлены вверх, при - вниз. !}

2) Абсолютна величина коефіцієнта (модуля) відповідає за “розширення”, “стиснення” параболи. Чим більше , тим уже парабола, чим менше |a|, тим ширше парабола.

ІІІ ВИПАД, З'ЯВЛЯЄТЬСЯ «С»

Тепер давайте введемо в гру (тобто розглядаємо випадок, коли), розглядатимемо параболи виду. Неважко здогадатися (ви завжди можете звернутися до таблиці), що відбуватиметься зміщення параболи вздовж осі вгору або вниз залежно від знака:

IV ВИПАД, З'ЯВЛЯЄТЬСЯ «b»

Коли ж парабола "відірветься" від осі і, нарешті, "гулятиме" по всій координатній площині? Коли перестане бути рівним.

Тут для побудови параболи нам знадобиться формула для обчислення вершини: , .

Так ось у цій точці (як у точці (0; 0)) нової системикоординат) ми будуватимемо параболу, що вже нам під силу. Якщо маємо справу з нагодою , то від вершини відкладаємо один одиничний відрізок вправо, один вгору, - отримана точка - наша (аналогічно крок вліво, крок вгору - наша точка); якщо маємо справу з , наприклад, то від вершини відкладаємо один одиничний відрізок праворуч, два - вгору і т.д.

Наприклад, вершина параболи:

Тепер головне усвідомити, що в цій вершині ми будуватимемо параболу за шаблоном параболи, адже в нашому випадку.

При побудові параболи після знаходження координат вершини дужезручно враховувати такі моменти:

1) парабола обов'язково пройде через точку . Справді, підставивши формулу x=0, отримаємо, що . Тобто ордината точки перетину параболи з віссю (оу) це . У прикладі (вище), парабола перетинає вісь ординат у точці , оскільки .

2) віссю симетрії параболи є пряма , тому всі точки параболи будуть симетричні щодо неї. У нашому прикладі ми відразу беремо точку (0; -2) і будуємо їй симетричну щодо осі симетрії параболи, отримаємо точку (4; -2), через яку буде проходити парабола.

3) Прирівнюючи до ми дізнаємося точки перетину параболи з віссю (ох). Для цього вирішуємо рівняння. Залежно від дискримінанта, отримуватимемо одну (, ), дві (title="Rendered by QuickLaTeX.com)" height="14" width="54" style="vertical-align: 0px;">, ) или нИсколько () точек пересечения с осью (ох) !} . У попередньому прикладі у нас корінь з дискримінанта - не ціле число, при побудові нам особливо немає сенсу знаходити коріння, але ми бачимо чітко, що дві точки перетину з віссю (ох) у нас будуть (бо title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="14" width="54" style="vertical-align: 0px;">), хотя, в общем, это видно и без дискриминанта.!}

Отже, давайте виробимо

Алгоритм для побудови параболи, якщо вона задана у вигляді

1) визначаємо напрямок гілок (а>0 – вгору, a<0 – вниз)

2) знаходимо координати вершини параболи за формулою , .

3) знаходимо точку перетину параболи з віссю (оу) по вільному члену , будуємо точку, симетричну даної щодо осі симетрії параболи (треба зауважити, буває, що цю точку невигідно відзначати, наприклад, тому, що значення велике ... пропускаємо цей пункт ...)

4) У знайденій точці – вершині параболи (як і точці (0;0) нової системи координат) будуємо параболу . Якщо title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="20" width="55" style="vertical-align: -5px;">, то парабола становится у’же по сравнению с , если , то парабола расширяется по сравнению с !}

5) Знаходимо точки перетину параболи з віссю (оу) (якщо вони самі “не спливли”), вирішуючи рівняння

Приклад 1

Приклад 2

Зауваження 1.Якщо ж парабола спочатку нам задана у вигляді де - деякі числа (наприклад, ), то побудувати її буде ще легше, тому що нам вже задані координати вершини . Чому?

Візьмемо квадратний тричлен і виділимо в ньому повний квадрат: Подивіться, ось ми отримали, що , . Ми з вами раніше називали вершину параболи, тобто тепер.

Наприклад, . Зазначаємо на площині вершину параболи, розуміємо, що гілки спрямовані вниз, парабола розширена (відносно). Тобто виконуємо пункти 1; 3; 4; 5 з алгоритму побудови параболи (див. вище).

Примітка 2.Якщо парабола задана у вигляді, подібному до цього (тобто представлений у вигляді добутку двох лінійних множників), то відразу видно точки перетину параболи з віссю (ох). У разі – (0;0) і (4;0). В іншому ж діємо згідно з алгоритмом, розкривши дужки.