adsby.ru → Дітям

Умови незалежності криволінійного інтеграла ІІ роду від шляху інтегрування. Умови незалежності криволінійного інтеграла від шляху інтегрування на площині Криволінійний інтеграл не залежить від шляху інтегрування

Від шляхів інтегрування.

Розглянемо криволінійний інтеграл 2-го роду, де L- крива, що з'єднує точки Mі N. Нехай функції P(x, y)і Q(x, y)мають безперервні приватні похідні в деякій галузі D, в якій повністю лежить крива L. Визначимо умови, за яких аналізований криволінійний інтеграл залежить не від форми кривої L, а лише від розташування точок Mі N.

Проведемо дві довільні криві MPNі MQN, що лежать в області Dта з'єднуючі точки Mі N(Рис.1).

М NМал. 1.

Припустимо, що , тобто

Тоді, де L- замкнутий контур, складений з кривих MPNі NQM(Отже, його можна вважати довільним). Таким чином, умова незалежності криволінійного інтегралу 2-го роду від шляху інтегрування рівнозначно умові, що такий інтеграл за будь-яким замкнутим контуром дорівнює нулю.

Білет №34.Поверхневий інтеграл першого рід (за площею поверхні). Програми (маса матеріальної поверхні, координати центру тяжіння, моменти, площа викривленої поверхні).

Розглянемо незамкнену поверхню S, обмежену контуром L, і розіб'ємо її якимись кривими на частини S 1 , S 2 ,..., S n. Виберемо в кожній частині крапку M iі спроектуємо цю частину на дотичну поверхню, що проходить через цю точку. Отримаємо в проекції плоску фігуру з площею T i. Назвемо ρ найбільша відстаньміж двома точками будь-якої частини поверхні S.

Визначення 12.1.Назвемо площею Sповерхнімежа суми площ T iпри

Поверхневий інтеграл першого роду.

Розглянемо деяку поверхню S, обмежену контуром L, і розіб'ємо її на частини S 1 , S 2 ,..., S п(при цьому площу кожної частини також позначимо S п). Нехай у кожній точці цієї поверхні встановлено значення функції f(x, y, z).Виберемо у кожній частині S iточку M i (x i , y i , z i)та складемо інтегральну суму

. (12.2)

Визначення 12.2.Якщо існує кінцева межа при інтегральній сумі (12.2), яка не залежить від способу розбиття поверхні на частини та вибору точок M i, то він називається поверхневим інтегралом першого роду від функції f(M) = f(x, y, z)по поверхні S і позначається

Зауваження. Поверхневий інтеграл 1-го роду має звичайними властивостями інтегралів (лінійність, підсумовування інтегралів від цієї функції по окремих частинах поверхні і т.д.).

Геометричний та фізичний сенсповерхневого інтеграла 1-го роду.

Якщо підінтегральна функція f(M)≡ 1, то з визначення 12.2 слід, що дорівнює площі розглянутої поверхні S.

. (12.4)

Додаток поверхового інтегралу 1-го роду.

1. Площа криволінійної поверхні, рівняння якої z = f(x, y), можна знайти у вигляді:

(14.21)

(Ω – проекція Sна площину О ху).

2. Маса поверхні

(14.22)

3. Моменти:

Статичні моменти поверхні щодо координатних площин O xy, O xz, O yz;

Моменти інерції поверхні щодо координатних осей;

Моменти інерції поверхні щодо координатних площин;

- (14.26)

Момент інерції поверхні щодо початку координат.

4. Координати центру мас поверхні:

. (14.27)

Білет №35. Обчислення поверхневого інтеграла 1-го роду (зведення його до кратного).

Обмежимося нагодою, коли поверхня Sзадається явним чином, тобто рівнянням виду z = φ(x, y). При цьому з визначення площі поверхні випливає, що

S i =, де Δ σ i –площа проекції S iна площину О ху, а γ i- Кут між віссю O zта нормаллю до поверхні Sу точці M i. Відомо що

де ( x i , y i , z i) -координати точки M i. Отже,

Підставляючи цей вираз у формулу (12.2), отримаємо, що

Де підсумовування праворуч проводиться по області Ω площини ху, що є проекцією на цю поверхню поверхні S(Рис.1).

S: z = φ (x, y)

Δσ iΩ

При цьому в правій частині отримана інтегральна сума для функції двох змінних по плоскій області, яка в межі надає подвійний інтеграл.

(12.5)

Зауваження. Уточнимо ще раз, що у лівій частині формули (12.5) стоїть поверхневийінтеграл, а у правій – подвійний.

Білет №36.Поверхневий інтеграл другого роду. Потік векторного поля. Зв'язок між поверхневими інтегралами першого та другого роду.

Потік векторного поля.

Розглянемо векторне поле А (М), визначене у просторовій галузі G,орієнтовану гладку поверхню S Gта поле одиничних нормалей п (М)на вибраному боці поверхні S.

Визначення 13.3.Поверхневий інтеграл 1-го роду

, (13.1)

де An – скалярний добуток відповідних векторів, а А п- Проекція вектора А на напрямок нормалі, називається потоком векторного поля А(М)через вибраний бік поверхні S .

Примітка 1. Якщо вибрати іншу сторону поверхні, то нормаль, а отже, і потік змінять знак.

Примітка 2. Якщо вектор А задає швидкість течії рідини в даній точці, то інтеграл (13.1) визначає кількість рідини, що протікає в одиницю часу через поверхню Sу позитивному напрямку (звідси загальний термін "потік").

Нехай дано плоске векторне поле. Надалі ми припускатимемо, що функції Р і Q безперервні разом зі своїми похідними і в деякій області Про площину

Розглянемо в ділянці G дві довільні точки Ці точки можна з'єднати різними лініями, що лежать в ділянці вздовж яких значення криволінійного інтеграла взагалі кажучи, різні.

Так, наприклад, розглянемо криволінійний інтеграл

і дві точки. Обчислимо цей інтеграл, по-перше, вздовж відрізка прямої, що з'єднує точки А і В, і, по-друге, вздовж дуги параболи, що з'єднує ці ж точки. Застосовуючи правила обчислення криволінійного інтеграла, знайдемо

а) вздовж відрізка

б) уздовж дуги параболи:

Таким чином, ми бачимо, що значення криволінійного інтеграла залежать від шляху інтегрування, тобто залежать від виду лінії, що з'єднує точки А і В. Навпаки, як неважко перевірити, криволінійний інтеграл уздовж тих же ліній значення, що дорівнює .

Розібрані приклади показують, що криволінійні інтеграли, обчислені по різних шляхах, що з'єднують дві дані точки, в одних випадках різні між собою, а в інших випадках набувають того самого значення.

Нехай А і В - дві довільні точки області G. Розглянемо різні криві, що лежать в області G і точки А і В, що з'єднують.

Якщо криволінійний інтеграл за будь-яким із цих шляхів набуває те саме значення, то кажуть, що він залежить від шляху інтегрування.

У двох теоремах наводяться умови, у яких криволінійний інтеграл залежить від шляху інтегрування.

Теорема 1. Для того щоб криволінійний інтеграл в деякій області G не залежав від шляху інтегрування, необхідно і достатньо, щоб інтеграл за будь-яким замкнутим контуром, що лежить в цій галузі, дорівнював нулю.

Доведення. Достатність.

Нехай інтеграл за будь-яким замкнутим контуром, проведеним в області G, дорівнює нулю. Покажемо, що це інтеграл залежить від шляху інтегрування. Справді, нехай А і В дві точки, що належать області G. З'єднаємо ці точки двома різними, довільно обраними кривими, що лежать в області G (рис. 257).

Покажемо, що дуги утворюють замкнутий контур Враховуючи властивості криволінійних інтегралів, отримаємо

так як . Але за умовою як інтеграл за замкненим контуром.

Отже, або, таким чином, криволінійний інтеграл не залежить від шляху інтегрування.

Необхідність. Нехай області G криволінійний інтеграл залежить від шляху інтегрування. Покажемо, що інтеграл за будь-яким замкнутим контуром, що лежить у цій галузі, дорівнює нулю. Справді, розглянемо довільний замкнутий контур, що лежить у ділянці G, і візьмемо на ньому дві довільні точки А я (див. рис. 257). Тоді

оскільки за умовою. Отже, інтеграл за будь-яким замкнутим контуром L, що лежить в області G, дорівнює нулю.

Наступна теорема дає зручні для практичного використанняумови, за дотримання яких криволінійний інтеграл залежить від шляху інтегрування.

Теорема 2.

Для того, щоб криволінійний інтеграл не залежав від шляху інтегрування в однозв'язковій області, необхідно і достатньо, щоб у кожній точці цієї області виконувалася умова

Доведення. Достатність. Нехай в області Покажемо, що криволінійний інтеграл за будь-яким замкнутим контуром L, що лежить в області G, дорівнює нулю. Розглянемо майданчик а, обмежену контуром L. У силу однозв'язності області G майданчик а повністю належить цій області. На підставі формули Остроградського-Грина зокрема, на майданчику Тому, отже, . Отже, інтеграл за будь-яким замкнутим контуром L в області G дорівнює нулю. З теореми 1 укладаємо, що криволінійний інтеграл залежить від шляху інтегрування.

Необхідність. Нехай криволінійний інтеграл не залежить від шляху інтегрування в деякій ділянці Q. Покажемо, що у всіх точках області

Припустимо неприємне, т. е. що у певній точці області Нехай для определенности . В силу припущення про безперервність приватних похідних та різницю буде безперервною функцією. Отже, біля точки можна описати коло а (що лежить в області G), у всіх точках якого, як і в точці, різниця буде позитивною. Застосуємо до кола формулу Остроградського-Гріна.

Визначення. Область G тривимірного простору називається поверхнево однозв'язковий. якщо на будь-який замкнутий контур, що лежить в цій області, можна натягнути поверхню, що повністю лежить в області G. Наприклад, внутрішність сфери або весь тривимірний простір є поверхнево-зв'язними областями; нутро тора або тривимірне простір, іа якого виключена пряма, поверхнево однозв'язними областями не є. Нехай у поверхнево однозв'язковій ділянці G заданий про безперервне векторне поле Тоді має місце наступна теорема. Теорема 9 .Для того щоб криволінійний інтеграл у полі вектора а не залежав від шляху інтегрування, а залежав тільки від початкової та кінцевої точок шляху (А і В), необхідно і достатньо, щоб циркуляція вектора а уздовж будь-якого замкнутого контуру L, розташованого в області G, дорівнювала нулю. 4 Необхідність. Нехай і т-еграл залежить від шляху інтегрування. Покажемо, що тоді по будь-якому замкнутому контуру L дорівнює нулю. Розглянемо довільний замкнутий контур L у полі вектора і візьмемо на ньому довільно точки А і (рис.35). За умовою маємо - різні шляхи, що з'єднують точки А і В\звідки якраз і є обраний зам! Нехай будь-якого замкнутого контуру L. Покажемо, що у разі інтеграл залежить від шляху інтегрування. Візьмемо в полі вектора дві точки А і В, з'єднаємо їх довільними лініями L] і Ьг і покажемо, що Для простоти обмежимося випадком, коли лінії L і L2 не перетинаються. І тут об'єднання утворює простий замкнутий контур L (рис. 36). За умовою а за якістю адитивності. Незалежність криволінійного інтеграла від шляху інтегрування Потенційне поле Обчислення криволінійного інтеграла в потенційному полі Обчислення потенціалу в декартових координатах Отже, звідки справедливість рівності (2) випливає. Теорема 9 висловлює необхідне та незалежності криволінійного інтеграла від форми шляху, проте ці умови важко перевіряються. Наведемо найефективніший критерій. Теорема 10. Для того, щоб криволінійний.інтеграл не залежав від шляху інтегрування L, необхідно і достатньо, щоб векторне поле було безвихровим. М) поверхнево однозв'язкова. Зауваження. В силу теореми 9 незалежність криволінійного інтеграла від шляху інтегрування рівносильна рівності нулю циркуляції вектора уздовж будь-якого замкнутого контуру. Цю обставину ми використовуємо як доказ теореми. Приклад 1. Поле радіус-вектора є потенційним, оскільки нагадаємо, що Потенціалом поля радіус-вектора є, отже. Приклад 2. Поле вектора є потенційним. Нехай функція така, що знайдено. Тоді й звідки Значить – потенціал поля. Теорема 12. Для того щоб більше вектора було потенційним, необхідно і достатньо, щоб воно було безвихровим, тобто щоб його ротор дорівнював нулю у всіх точках поля. При цьому передбачається безперервність всіх похідних приватних від координат вектора а і поверхнева однозв'язність області, в якій заданий вектор а. достатні умови а кінцеву точку Му, z) мінятимемо. Тоді інтеграл (3) буде функцією точки. Позначимо цю функцію через і(М) і доведемо, що Надалі записуватимемо інтеграл (3), вказуючи лише початкову і кінцеву точку шляху інтегрування, Рівність рівносильна трьом скалярним рівностям Незалежність криволінійного інтеграла від шляху інтегрування Потенційне поле потенціалу в декартових координатах Доведемо перше з них, другу і третю рівні доводяться аналогічно. При цьому на кожній ланці ламаної змінюється лише одна координата, що дозволяє суттєво спростити обчислення. Насправді, на відрізку М0М маємо: На відрізку. Мал. 39 . На відрізку. Отже, потенціал дорівнює де координати поточної точки на ланках ламаної, вздовж яких ведеться інтегрування. Приклад 4. Довести, що векторне поле є потенційним, і знайти його потенціал. 4 Перевіримо, чи буде поле вектора a(Af) потенційно. З цією метою обчислимо ротор поля. Маємо Поле є потенційним. Потенціал цього поля знайдемо формулою (12). Візьмемо за початкову точку Л/про початок координат (так зазвичай роблять, якщо поле а(М) визначено на початку координат). Тоді отримаємо Отже, де з – довільна стала. Потенціал цього поля можна знайти й інакше. За визначенням потенціал і(х, у, z) є скалярна функція, на яку gradu = а. Ця векторна рівність рівносильна трьом скалярним рівностям: Інтегруючи (13) по х, отримаємо де - довільна диференційована функція ог у і р. Продиференціюємо по: Незалежність криволінійного інтеграла від шляху інтегрування Потенційне поле Обчислення криволінійного інтеграла (17) у, знайдемо - деяка функція z. Підставивши (18) до (16), отримаємо. Диференціюючи останню рівність no z і враховуючи співвідношення (15), отримаємо рівняння для звідки

початкову точку

Розглянемо криволінійний інтеграл Lвзятий за деякою плоскою кривою М, що з'єднує точки Nі . Припускатимемо, що функціїі Q(x, y)Р(х, у) Dмають безперервні приватні похідні в області, що розглядається L. З'ясуємо, за яких умов написаний криволінійний інтеграл не залежить від форми кривої М, що з'єднує точки N.

, а залежить тільки від положення початкової та кінцевої точок MPN, що з'єднує точки Розглянемо дві довільні криві MQN Dта з'єднуючі точки М, що з'єднує точки N, що лежать у розглянутій області

(1)

. Нехай

Тоді на підставі властивостей 1 та 4 криволінійних інтегралів маємо: L

В останній формулі криволінійний інтеграл взятий по замкнутому контуру Lскладеному з кривих MPN, що з'єднує точки NQM. Цей контур Lможна, очевидно, вважати довільним.

Таким чином, за умови:

що для будь-яких двох точок М і N криволінійний інтеграл не залежить від форми кривої, що з'єднує їх, а залежить тільки від положення цих точок, слід, що криволінійний інтеграл за будь-яким замкнутим контуром дорівнює нулю .

Справедливий і зворотний висновок:

якщо криволінійний інтеграл за будь-яким замкнутим контуром дорівнює нулю, то цей криволінійний інтеграл не залежить від форми кривої, що з'єднує дві будь-які точки, а залежить тільки від становища цих точок . Дійсно, що з рівності (2) випливає рівність (1)

Теорема

Нехай у всіх точках деякої області D функції Р(х, у), Q(x, y) разом зі своїми похідними приватними і безперервні. Тоді, для того, щоб криволінійний інтеграл за будь-яким замкнутим контуром L, що лежить у цій галузі, дорівнював нулю, тобто. щоб

(2΄)

необхідно і достатньо виконання рівності

у всіх точках області D.

Доведення

Розглянемо довільний замкнутий контур Lв області Dі для нього напишемо формулу Гріна:

Якщо виконується умова (3), то подвійний інтеграл, що стоїть зліва, тотожно дорівнює нулю і, отже,

Таким чином, достатністьумови (3) доведено.

Доведемо тепер необхідністьцієї умови, тобто. доведемо, що якщо рівність (2) виконується для будь-якої замкнутої кривої Lв області D, то у кожній точці цієї області виконується умова (3).

Припустимо, навпаки, що рівність (2) виконується, тобто.

а умова (3) не виконується, тобто.

хоч би в одній точці. Нехай, наприклад, у певній точці маємо нерівність

Так як в лівій частині нерівності стоїть безперервна функція, то вона буде позитивна і більше деякого числа у всіх точках деякої досить малої області, що містить точку. Візьмемо подвійний інтеграл у цій галузі від різниці. Він матиме позитивне значення. Справді,

Але за формулою Гріна ліва частина останньої нерівності дорівнює криволінійному інтегралу по межі області, який, за припущенням, дорівнює нулю. Отже, остання нерівність суперечить умові (2), отже, припущення, що на відміну від нуля хоча б у одній точці, не так. Звідси випливає, що

у всіх точках цієї галузі D.

Отже, теорема повністю доведена.

Під час вивчення диференціальних рівнянь було доведено, що виконання умови

рівнозначно тому, що вираз Pdx + Qdyє повний диференціал деякої функції u(x, y), тобто.

Але в цьому випадку вектор

є градієнт функції u(x, y);

Функція u(x, y), градієнт якої дорівнює вектору, називається потенціаломцього вектора.

Доведемо, що у цьому випадку криволінійний інтеграл за будь-якою кривою L, що з'єднує точки М і N, дорівнює різниці значень функції і в цих точках:

Доведення

Якщо Рdx + Qdyє повним диференціаломфункції u(x, y), то і криволінійний інтеграл набуде вигляду

Для обчислення цього інтегралу напишемо параметричні рівняннякривий Lвзятий за деякою плоскою кривою М, що з'єднує точки N:

Вираз, що стоїть у дужках, є функцією від t, що є повною похідною від функції по t. Тому

Як ми бачимо, криволінійний інтеграл від повного диференціалу не залежить від форми кривої, за якою здійснюється інтегрування.

Таким чином:

умови незалежності криволінійних інтегралів ІІ родувід форми шляху інтегрування такі:

Якщо в деякій галузі P(x, y), що з'єднує точки Q(x, y) безперервніразом зі своїми і , то:

1. в області D не залежить від формишляхи інтегрування, якщо його значення за шматково-гладким кривим, що лежить у цій галузі і мають загальний початок і загальний кінець однакові.

2. інтеграл уздовж будь-якої замкнутої кривої L, що лежить в області D дорівнює нулю.

3. існує така функція u(x, y), для якої вираз Pdx + QdyІснує повний диференціал, тобто.

P(x, y)dx + Q(x, y)dy = du.

4. у цій галузі виконувалося б умова

у кожній точці області D.

Для обчислення інтеграла, що не залежить від контуру інтегрування

слід вибрати як найвигідніший шлях інтегрування ламану, що з'єднує точки і ланки якої паралельні осям Ох і Оу.

Підінтегральний вираз P(x, y)dx + Q(x, y)dyза зазначених умов є повним диференціаломдеякої функції u = u (x, y)тобто.

du(x, y) = P(x, y)dx + Q(x, y)dy

функцію u(x, y)(первоподібну) можна знайти, якщо обчислити відповідний криволінійний інтеграл по ламаній де - будь-яка фіксована точка, В(х, у)- Змінна точка, а точка - має координати хта . Тоді вздовж маємо та dy = 0, а вздовж маємо x = const, що з'єднує точки dx = 0.

Отримуємо таку формулу:

Аналогічно, інтегруючи ламаною де отримаємо

Приклади

1. Обчислити

Цей інтеграл залежить від контуру інтегрування, т.к.

Виберемо як шлях інтегрування ламану, ланки якої паралельні осям координат. На першій ділянці:

На другому ділянці:

Отже,

2. Знайти первісну u, якщо

Нехай і контуром Доє ламана OMN. Тоді

3. Знайти , якщо

Тут початкову точку початку координат взяти не можна, т.к. у цій точці функції . Припускатимемо, що функції, що з'єднує точки Q(x, y)не визначені, тому за початкову точку візьмемо, наприклад, . Тоді

4. Знайти площу, обмежену еліпсом

Площа фігури, розташованої в площині ХОУ та обмежена замкнутою лінією С, обчислюється за формулою

де контур З обходимо у позитивному напрямку.

Перетворимо криволінійний інтаграл на певний, здійснивши заміну

Параметр tпробігає значення від 0 до 2?

Таким чином

3. Височити криволінійний інтеграл по довжині дуги L,якщо L– це арка циклоїди

ЗАВДАННЯ ПО ТЕМІ “КРИВОЛИНІЙНИЙ ІНТЕГРАЛ”

Варіант 1

Де L – відрізок прямої точки A(0;-2) та B(4;0) належать площині XOY.

вздовж ламаної L:OAB, де O(0,0), A(2,0), B(4,5). Обхід контуру проти годинникової стрілки.

За координатами, якщо L – дуга еліпса, що лежить у першій чверті.

Де L – контур трикутника з вершинами A(1,1), B(2,2), C(1,3). Обхід контуру проти годинникової стрілки.

і знайти його.

7. Силове поле утворено силою F(x,y), що дорівнює відстані точки її застосування від початку координат і спрямованої на початок координат. Знайти роботу сили поля, витрачену на переміщення матеріальної точкиодиничної маси по дузі параболи y2 = 8x від точки (2; 4) до точки (4; 4).

Варіант 2

1. Обчислити криволінійний інтеграл за довжиною дуги (декартові координати).

Де L - відрізок прямої точки, що з'єднує О (0; 0) і А (1; 2).

2. Обчислити криволінійний інтеграл якщо L – дуга параболи від точки A(-1;1) до точки B(1,1). Обхід контуру проти годинникової стрілки.

3. Обчислити криволінійний інтеграл якщо L – дуга кола що лежить в 1 та 2 квадратах. Обхід контуру за годинниковою стрілкою.

4. Застосовуючи формулу Гріна, обчислити інтеграл , де L – контур, утворений лінією та відрізком осі OX при обході контуру проти годинникової стрілки.

5. Установити, чи виконується умова незалежності інтеграла від шляху інтегрування для інтеграла і знайти його.

6. Перевірити, чи є заданий вираз повним диференціалом функції U(x, y), та знайти її.

7. У кожній точці силового поля сила має напрямок негативної півосі ординат і дорівнює квадрату абсцис точки програми. Знайти роботу поля при переміщенні одиничної маси параболі від точки (1,0) до точки (0,1).

Варіант 3

1. Обчислити криволінійний інтеграл за довжиною дуги (декартові координати).

1. де L – дуга параболи відсічена параболою.

2. Обчислити криволінійний інтеграл якщо L-відрізок прямий, з'єднання точки А(0,1), В(2,3). Обхід контуру проти годинникової стрілки.

3. Обчислити криволінійний інтеграл якщо L – дуга першої арки циклоїди. Обхід контуру за годинниковою стрілкою.

4. Застосовуючи формулу Гріна, обчислити інтеграл де L – еліпс Обхід контуру проти годинникової стрілки.

6. Перевірити, чи є заданий вираз повним диференціалом функції U(x, y), та знайти її.

7. Обчислити роботу сили під час переміщення матеріальної точки вздовж верхньої половини еліпса з точки А (а,0), точку В (-а, 0).

Варіант 4.

1. Обчислити криволінійний інтеграл за довжиною дуги (декартові координати).

1. де L – контур квадрата

2. Обчислити криволінійний інтеграл якщо L – дуга параболи точки А(0,0), до точки (1,1). Обхід контуру проти годинникової стрілки.

3. Обчислити криволінійний інтеграл якщо L – верхня половина еліпса Обхід контуру за годинниковою стрілкою.

4. Застосовуючи формулу Гріна, обчислити інтеграл де L – контур трикутника з вершинами А (1; 0), В (1; 1), С (0,1). Обхід контуру проти годинникової стрілки.

6. Перевірити, чи є заданий вираз повним диференціалом функції U(x, y), та знайти її.

7. У кожній точці кола прикладена сила, прекціями якої на осі координат є Визначити роботу сили під час переміщення матеріальної точки по колу. Чому робота дорівнює нулю?

Варівнт 5.

1. Обчислити криволінійний інтеграл за довжиною дуги (декартові координати).

Де L - відрізок прямий, що з'єднує точки 0 (0,0), і А (4; 2)

2. Обчислити криволінійний інтеграл якщо L – дуга кривої точки, що з'єднує А(0,1), до точки В (-1,е). Обхід контуру проти годинникової стрілки.

3. Обчислити криволінійний інтеграл якщо L – 1-а чверть кола Обхід контуру за годинниковою стрілкою.

4. Застосовуючи формулу Гріна, обчислити інтеграл де L – контур, обмежений та Обхід контуру проти годинникової стрілки.

6. Перевірити, чи є заданий вираз повним диференціалом функції U(x, y), та знайти її.

7. Поле утворене силою // = напрямок який становить кут із напрямком радіус – вектора точки її докладання. Знайти роботу поля при переміщенні матеріальної точки маси m за дугою кола з точки (а,0) до точки (0,а).

Варіант 6

1. Обчислити криволінійний інтеграл за довжиною дуги (декартові координати).

Де L – чверть кола, що лежить у I квадранті.

2. Обчислити криволінійний інтеграл якщо L – ламана АВС, А(1;2), (1;5), C(3;5). Обхід контуру проти годинникової стрілки.

3. Обчислити криволінійний інтеграл якщо L – верхня половина кола Обхід контуру за годинниковою стрілкою.

4. Застосовуючи формулу Гріна, обчислити інтеграл де L – контур, обмежений , обхід контуру проти годинникової стрілки.

6. Перевірити, чи є заданий вираз повним диференціалом функції U(x, y), та знайти її.

7. Знайти роботу пружної сили , спрямованої на початок координат, якщо точка застосування сили описує проти годинникової стрілки чверть еліпса що лежить в Iквадранті. Величина цієї сили пропорційна віддаленню точки від початку координат.

Варіант 7.

1. Обчислити криволінійний інтеграл за довжиною дуги (декартові координати).

Де L – частина параболи від точки (1, 1/4) до точки (2; 1).

2. Обчислити криволінійний інтеграл де L - відрізок прямої, що з'єднує точки В (1; 2) і В (2; 4). Обхід контуру проти годинникової стрілки.

3. Обчислити криволінійний інтеграл якщо L – перша арка циклоїди Обхід контуру за годинниковою стрілкою.

6. Перевірити, чи є заданий вираз повним диференціалом функції U(x, y), та знайти її.

7. Матеріальна точка одиничної маси переміщається по колу під дією сили, проекціями якої на координаті осі є . Побудувати силу на початку кожного кола. Знайти роботу з контуру.

Варіант 8.

1. Обчислити криволінійний інтеграл за довжиною дуги (декартові координати).

Де L - контур прямокутника з вершинами в точках 0 0 (0; 0), А (4; 0), В (4; 2), С (0; 2).

2. Обчислити криволінійний інтеграл, якщо L – дуга параболи від точки А (0; 0) до точки В (1; 2). Обхід контуру проти годинникової стрілки.

3. Обчислити криволінійний інтеграл якщо L – частина кола 1. Обхід контуру за годинниковою стрілкою.

4. Застосовуючи формулу Гріна, обчислити інтеграл де L - контур трикутника з вершинами А (0; 0), В (1; 0), С (0; 1). Обхід контуру проти годинникової стрілки.

5. Встановити, чи виконується умова незалежності інтеграла від шляху інтегрування для інтеграла і знайти його.

6. Перевірити, чи є заданий вираз повним диференціалом функції U(x, y), та знайти її.

7. Матеріальна точка переміщається еліпсом під дією сили , величина якої дорівнює відстані точки до центру еліпса та спрямована до центру еліпса. Обчислити роботу сили, якщо точка обходить весь еліпс.

Варіант 9.

1. Обчислити криволінійний інтеграл за довжиною дуги (декартові координати).

Де L – дуга параболи, що лежить між точками

А , (2;2).

2. Обчислити криволінійний інтеграл якщо L - відрізок прямої, що з'єднує точки А(5; 0) і В (0,5). Обхід контуру проти годинникової стрілки.

3. Обчислити криволінійний інтеграл, якщо L – дуга еліпса між точками, що відповідають Обхід контуру за годинниковою стрілкою.

4. Застосовуючи формулу Гріна, обчислити інтеграл де L – коло Обхід контуру проти годинникової стрілки.

6. Перевірити, чи є заданий вираз повним диференціалом функції U(x, y), та знайти її.

7. У кожній точці кривої прикладена сила , проекціями якої на осі координат є визначення роботи сили при переміщенні матеріальної точки одиничної маси по кривій з точки М(-4;0) в точку N (0;2).

Варіант 10.

1. Обчислити криволінійний інтеграл за довжиною дуги (декартові координати).

Де L - відрізок прямої, що з'єднує точки А

2. Обчислити криволінійний інтеграл, якщо L – дуга кривої від точки А(1;0) до В(е,5). Обхід контуру проти годинникової стрілки.

3.Обчислити криволінійний інтеграл якщо L – дуга кола що лежить у 1У квадраті. Обхід контуру за годинниковою стрілкою.

4. Застосовуючи формулу Гріна, обчислити інтеграл де L – контур трикутника з вершинами А (1; 0), В (2; 0), С (1; 2). Обхід контуру проти годинникової стрілки.

6. Перевірити, чи є заданий вираз повним диференціалом функції U(x, y), та знайти її.

7. У кожній точці лінії прикладена сила , проекції якої на координатні осі Обчисліть роботу, здійснену силою при переміщенні матеріальної точки по лінії з М(1;0) до точки N(0;3).