Рішення криволінійних інтегралів першого роду. Обчислення криволінійних інтегралів: теорія та приклади. Крива дана у параметричній формі

1 роду.

1.1.1. Визначення криволінійного інтегралу 1 роду

Нехай на площині Оxyзадана крива (L).Нехай для будь-якої точки кривої (L)визначено безперервну функцію f(x; y).Розіб'ємо дугу АВлінії (L)точками А = P 0, P 1, P n = Вна nдовільних дуг P i -1 P iз довжинами ( i = 1, 2, n) (рис.27)

Виберемо на кожній дузі P i -1 P iдовільну точку M i (x i ; y i) ,обчислимо значення функції f(x; y)у точці M i. Складемо інтегральну суму

Нехай де.

λ→0 (n→∞), не залежить ні від способу розбиття кривої ( L)на елементарні частини, ні від вибору точок M i криволінійним інтегралом 1 родувід функції f(x; y)(криволінійним інтегралом по довжині дуги) і позначають:

Зауваження. Аналогічно вводити визначення криволінійного інтеграла від функції f(x;y;z)за просторовою кривою (L).

Фізичний зміст криволінійного інтеграла 1 роду:

Якщо (L)-плоска крива з лінійною площиною, то масу кривої знаходять за такою формулою:

1.1.2. Основні властивості криволінійного інтеграла 1 роду:

3. Якщо шлях інтегруваннярозбитий на такі частини що , і мають єдину загальну точку, то .

4. Криволінійний інтеграл 1 роду не залежить від напряму інтегрування:

5. , де - Довжина кривої.

1.1.3. Обчислення криволінійного інтеграла 1 роду.

Обчислення криволінійного інтеграла зводять до обчислення певного інтегралу.

1. Нехай крива (L)задана рівнянням. Тоді

Тобто диференціал дуги обчислюють за такою формулою.

приклад

Обчислити масу відрізка прямої від точки А(1;1)до точки В(2;4),якщо.

Рішення

Рівняння прямої через дві точки: .

Тоді рівняння прямої ( АВ): , .

Знайдемо похідну.

Тоді. =.

2. Нехай крива (L)задана параметрично: .

Тоді, тобто диференціал дуги обчислюють за такою формулою.

Для просторового випадку завдання кривої: .

Тобто диференціал дуги обчислюють за такою формулою.

приклад

Знайти довжину дуги кривої,.

Рішення

Довжину дуги знайдемо за формулою: .

Для цього знайдемо диференціал дуги.

Знайдемо похідні , , .Тоді довжина дуги: .

3. Нехай крива (L)задана у полярній системі координат: . Тоді

Тобто диференціал дуги обчислюють за такою формулою.

приклад

Обчислити масу дуги лінії , 0 ≤ ≤ , якщо .

Рішення

Масу дуги знайдемо за формулою:

Для цього знайдемо диференціал дуги.

Знайдемо похідну.

1.2. Криволінійний інтеграл 2 роди

1.2.1. Визначення криволінійного інтеграла 2 роду

Нехай на площині Оxyзадана крива (L). Нехай на (L)задана безперервна функція f(x; y).Розіб'ємо дугу АВлінії (L)точками А = P 0, P 1, P n = Ву напрямку від точки Адо точки Уна nдовільних дуг P i -1 P iз довжинами ( i = 1, 2, n) (рис.28).

Виберемо на кожній дузі P i -1 P iдовільну точку M i (x i ; y i), обчислимо значення функції f(x; y)у точці M i. Складемо інтегральну суму , де - довжина проекції дуги P i -1 P iна вісь Оx. Якщо напрямок руху вздовж проекції збігається з позитивним напрямком осі Оx, то проекцію дуг вважають позитивною, інакше - негативною.

Нехай де.

Якщо існує межа інтегральної суми при λ→0 (n→∞), що не залежить ні від способу розбиття кривої (L)на елементарні частини, ні від вибору точок M iу кожній елементарній частині, то цю межу називають криволінійним інтегралом 2 родивід функції f(x; y)(криволінійним інтегралом за координатою х) і позначають:

Зауваження.Аналогічно вводиться криволінійний інтеграл за координатою у:

Зауваження.Якщо (L)- замкнута крива, то інтеграл по ній позначають

Зауваження.Якщо на ( L) задано відразу три функції і від цих функцій існують інтеграли , , ,

той вираз: + + називають загальним криволінійним інтегралом 2 родита записують:

1.2.2. Основні властивості криволінійного інтеграла 2 роду:

3. При зміні напряму інтегрування криволінійний інтеграл 2 роду змінює свій знак.

4. Якщо шлях інтегрування розбитий на такі частини , і мають єдину загальну точку, то

5. Якщо крива ( L) лежить у площині:

Перпендикулярної осі Ох, то = 0;

Перпендикулярної осі Ой, то;

Перпендикулярної осі Ozто =0.

6. Криволінійний інтеграл 2 роду по замкнутій кривій залежить від вибору початкової точки (залежить тільки напряму обходу кривої).

1.2.3. Фізичний зміст криволінійного інтеграла 2 роду.

Робота Асили під час переміщення матеріальної точкиодиничної маси з точки Мв точку Nвздовж ( MN) дорівнює:

1.2.4. Обчислення криволінійного інтеграла 2 роду.

Обчислення криволінійного інтеграла 2 роду зводять до обчислення певного інтегралу.

1. Нехай крива ( L) задана рівнянням.

приклад

Обчислити, де ( L) - ламана OAB: O(0;0), A(0;2), B(2;4).

Рішення

Так як (рис.29), то

1)Рівняння (OA): , ,

2) Рівняння прямої (AB): .

2. Нехай крива (L)задана параметрично: .

Зауваження.У просторовому випадку:

приклад

Обчислити

Де ( АВ)-відрізок від А(0;0;1)до B(2;-2;3).

Рішення

Знайдемо рівняння прямої ( АВ):

Перейдемо до параметричного запису рівняння прямого (АВ). Тоді.

Точці A(0;0;1)відповідає параметр tрівний: отже, t=0.

Точці B(2;-2;3)відповідає параметр t, рівний: отже, t=1.

При переміщенні від Адо У,параметр tзмінюється від 0 до 1 .

1.3. Формула Гріна. L) у т.ч. М(х; у; z)з осями Оx, Оy, Oz

Якщо дано криволінійний інтеграл, а крива, через яку відбувається інтегрування - замкнута (називається контуром), такий інтеграл називається інтегралом по замкнутому контуру і позначається так:

Область, обмежену контуром Lпозначимо D. Якщо функції P(x, y) , Q(x, y) та їх приватні похідні та - функції, безперервні в області D, то обчислення криволінійного інтеграла можна скористатися формулою Гріна:

Таким чином, обчислення криволінійного інтеграла по замкнутому контуру зводиться до обчислення подвійного інтеграла по області D.

Формула Гріна залишається справедливою для будь-якої замкнутої області, яку можна проведенням додаткових ліній на кінцеве число простих замкнутих областей.

приклад 1.Обчислити криволінійний інтеграл

,

якщо L- контур трикутника OAB, де Про(0; 0) , A(1; 2) та B(1; 0) . Напрямок обходу контуру - проти годинникової стрілки. Завдання вирішити двома способами: а) обчислити криволінійні інтеграли з кожної сторони трикутника та скласти результати; б) за формулою Гріна.

а) Обчислимо криволінійні інтеграли з кожної сторони трикутника. Сторона OBзнаходиться на осі Oxтому її рівнянням буде y= 0. Тому dy= 0 і можемо обчислити криволінійний інтеграл збоку OB :

Рівнянням сторони BAбуде x= 1. Тому dx= 0. Обчислюємо криволінійний інтеграл збоку BA :

Рівняння сторони AOскладемо, користуючись формулою рівняння прямої, що проходить через дві точки:

.

Таким чином, dy = 2dx. Обчислюємо криволінійний інтеграл збоку AO :

Цей криволінійний інтеграл буде дорівнює суміінтегралів по краях трикутника:

.

б) Застосуємо формулу Гріна. Так як , , то . У нас є все для того, щоб обчислити цей інтеграл по замкнутому контуру за формулою Гріна:

Як бачимо, отримали той самий результат, але за формулою Гріна обчислення інтеграла по замкнутому контуру відбувається значно швидше.

приклад 2.

,

де L- контур OAB , OB- дуга параболи y = x² , від точки Про(0; 0) до точки A(1; 1) , ABі BO- Відрізки прямих, B(0; 1) .

Рішення. Оскільки функції , , які приватні похідні , , D- Область, обмежена контуром L, у нас є все, щоб скористатися формулою Гріна та обчислити даний інтеграл по замкнутому контуру:

приклад 3.Користуючись формулою Гріна, вирахувати криволінійний інтеграл

, якщо L- контур, який утворюють лінія y = 2 − |x| і вісь .

Ой y = 2 − |xРішення. Лінія y = 2 − x| xскладається з двох променів: y = 2 + x, якщо x < 0 .

≥ 0 та

, якщо

Маємо функції , та їх приватні похідні та . Підставляємо все у формулу Гріна та отримуємо результат.

Обчислення криволінійного інтеграла за координатами.

(1)

Обчислення криволінійного інтеграла за координатами зводиться до обчислення звичайного певного інтеграла.

де tРозглянемо криволінійний інтеграл 2-го роду під дузі:

Нехай рівняння кривої інтегрування встановлено в параметричному вигляді:

- Параметр. АТоді з рівнянь (2) маємо: У,

знайдемо значення t AТоді з рівнянь (2) маємо: t Bпараметра, що відповідають початку та кінцю кривої інтегрування .

Підставивши вирази (2) і (3) в інтеграл (1), отримаємо формулу для обчислення криволінійного інтеграла 2-го роду:

Якщо крива інтегрування задана у явному вигляді щодо змінної y, тобто. у вигляді

y=f(x), (6)

то приймемо змінну xза параметр (t=x)та отримаємо наступний запис рівняння (6) у параметричному вигляді:

Звідси маємо: , t A =x A , t B =x B, і криволінійний інтеграл 2-го наводиться до певному інтегралупо змінній x:

де y(x)- Рівняння лінії по якій проводиться інтегрування.

Якщо рівняння кривої інтегрування АВпоставлено у явному вигляді щодо змінної x, тобто. у вигляді

x=φ(y) (8)

то приймемо за параметр змінну y, запишемо рівняння (8) у параметричному вигляді:

Отримаємо: , t A =y A , t B =y B, і формула для обчислення інтеграла 2-го роду набуде вигляду:

де x(y)- Рівняння лінії АВ.

Зауваження.

1). Криволінійний інтеграл за координатами існує, тобто. існує кінцева межа інтегральної суми при n→∞ , якщо на кривій інтеграції функції P(x, y)і Q(x, y)безперервні, а функції x(t)Тоді з рівнянь (2) маємо: y(t)безперервні разом зі своїми першими похідними та .

2). Якщо крива інтегрування замкнута, потрібно стежити напрямок інтегрування, оскільки

Обчислити інтеграл , якщо АВзадана рівняннями:

а). (x-1) 2 +y 2 =1.

б). y=x

в). y=x 2

Випадок А. Лінія інтегрування є коло радіусу R=1з центром у точці C(1;0). Її параметричне рівняння:

Знаходимо

Визначимо значення параметра tу точках Аі У.

Крапка А. t A =π .

Випадок Б. Лінія інтегрування параболу. Приймаємо xза параметр. Тоді , , .

Отримаємо:

Формула Гріна.

Формула Гріна встановлює зв'язок між криволінійним інтегралом 2-го роду по замкнутому контуру та подвійним інтегралом по області Добмеженою цим контуром.

Якщо функція P(x, y)Тоді з рівнянь (2) маємо: Q(x, y)та їх приватні похідні та безперервні в області Д, обмеженою контуром L, то має місце формула:

(1)

- Формула Гріна.

Доведення.

Розглянемо у площині xOyобласть Дправильну у напрямку координатних осей Oxі і вісь.

До онтур Lпрямими x=aі x=bподіляється на дві частини, на кожній з яких yє однозначною функцією від x. Нехай верхня ділянка АДВконтур описується рівнянням y=y 2 (x), а нижня ділянка АСВконтуру – рівнянням y=y 1 (x).

Розглянемо подвійний інтеграл

Враховуючи, що внутрішній інтеграл обчислюється за x=constотримаємо:

.

Але перший інтеграл у цій сумі, як випливає з формули (7), є криволінійний інтеграл по лінії ВДА, так як y=y 2 (x)- Рівняння цієї лінії, тобто.

а другий інтеграл є криволінійний інтеграл функції P(x, y)по лінії АСВ, так як y=y 1 (x)- Рівняння цієї лінії:

.

Сума цих інтегралів є криволінійним інтегралом по замкнутому контуру. Lвід функції P(x, y)за координатою x.

У результаті отримаємо:

(2)

Розбивши контур Lпрямими y=cТоді з рівнянь (2) маємо: y=dна ділянки САДТоді з рівнянь (2) маємо: СВД, що описуються відповідно до рівнянь x=x 1 (y)Тоді з рівнянь (2) маємо: x=x 2 (y) аналогічно отримаємо:

Склавши праві та ліві частини рівностей (2) та (3), отримаємо формулу Гріна:

.

Слідство.

За допомогою криволінійного інтеграла 2-го роду можна обчислювати площу плоских фігур.

Визначимо, якими для цього мають бути функції P(x, y)і Q(x, y). Запишемо:

або, застосовуючи формулу Гріна,

Отже, повинна виконуватись рівність

що можливо наприклад, при

Звідки отримаємо:

(4)

Обчислити площу, обмежену еліпсом, рівняння якого задано у параметричному вигляді:

Умова незалежності криволінійного інтеграла за координатами від шляху інтегрування.

Ми встановили, що з механічному змісту криволінійний інтеграл 2-го роду представляє роботу змінної сили на криволінійному шляху чи іншими словами, роботу з переміщенню матеріальної точки на полі сил. Але з фізики відомо, що робота в полі сил тяжіння не залежить від форми шляху, а залежить від положення початкової та кінцевої точок шляху. Отже, є випадки, коли і криволінійний інтеграл 2-го роду залежить від шляху інтегрування.

Визначимо умови, у яких криволінійний інтеграл за координатами залежить від шляху інтегрування.

Нехай у деякій області Дфункції P(x, y)Тоді з рівнянь (2) маємо: Q(x, y)та приватні похідні

І безперервні. Візьмемо в цій галузі точки Аі Уі з'єднаємо їх довільними лініями АСВі AFB.

Якщо криволінійний інтеграл 2-го роду залежить від шляху інтегрування, то

,

(1)

Але інтеграл (1) є інтеграл по замкнутому контуру ACBFA.

Отже, криволінійний інтеграл 2-го роду в деякій галузі Дне залежить від шляху інтегрування, якщо інтеграл за будь-яким замкнутим контуром у цій галузі дорівнює нулю.

Визначимо, які умови мають задовольняти функції P(x, y)Тоді з рівнянь (2) маємо: Q(x, y)для того, щоб виконувалася рівність

, (2)

тобто. для того, щоб криволінійний інтеграл за координатами не залежав від шляху інтегрування.

Нехай в області Дфункції P(x, y)Тоді з рівнянь (2) маємо: Q(x, y)та їх приватні похідні першого порядку та безперервні. Тоді для того, щоб криволінійний інтеграл за координатами

не залежав від шляху інтегрування, необхідно і достатньо, щоб у всіх точках області Двиконувалася рівність

Доведення.

Отже, виконується рівність (2), тобто.

, (5)

навіщо необхідне виконання умови (4).

Тоді з рівняння (5) випливає, що виконується рівність (2) і, отже, інтеграл залежить від шляху інтегрування.

Отже, теорема доведена.

Покажемо, що умова

виконується в тому випадку, якщо підінтегральний вираз

є повним диференціаломбудь-якої функції U(x, y).

Повний диференціал цієї функції дорівнює

. (7)

Нехай підінтегральний вираз (6) є повним диференціалом функції U(x, y), тобто.

звідки випливає, що

З цих рівностей знайдемо вирази для приватних похідних та :

, .

Але другі змішані приватні похідні залежать від порядку диференціювання, отже , потрібно було довести. криволінійних інтегралів. Слід також... додатки. З теорії криволінійних інтеграліввідомо що криволінійнийінтеграл виду (29 ...

Диференціальне обчислення функції однієї змінної

Математика

... (од2) Знаходження площі криволінійногосектора.  = f()   Про  Для знаходження площі криволінійногосектора введемо полярну... градієнта з похідною за напрямом. Кратні інтеграли. Подвійні інтеграли. Умови існування подвійного інтегралу. Властивості...

Реалізація математичних моделей, що використовують методи інтегрування в середовищі MATLAB

Курсова робота >> Інформатика

... (I = 1,2, ..., n). Мал. 5 – Формула трапецій Тоді площа криволінійноїтрапеції, обмеженої лініями x=a, x=b, y=0, y=f(x), а значить (слідуючи... чином у символьному вигляді обчислюються будь-які кратні інтеграли. 2. MATLAB – СЕРЕДОВИЩЕ МОДЕЛЮВАННЯ MATLAB (Matrix ...

Дії з наближеними величинами

Математика

Різних рівнянь і при обчисленні певних інтегралів, та у наближенні функції. Розглянемо різні способи...  x2… xk+m. У рівнянні k парно кратнихі m непарно кратнихкоріння. Воно розкладається на (k+m) рівнянь...

Криволінійний інтеграл 2-го роду обчислюється так само, як криволінійний інтеграл 1-го роду зведенням до певного. Для цього всі змінні під знаком інтеграла виражають через одну змінну, використовуючи рівняння лінії, вздовж якої проводиться інтегрування.

а) Якщо лінія АВзадана системою рівнянь то

(10.3)

Для плоского випадку, коли крива задана рівнянням криволінійний інтеграл обчислюється за такою формулою: . (10.4)

Якщо лінія АВзадана параметричними рівняннями

(10.5)

Для плоского випадку, якщо лінія АВзадана параметричними рівняннями , криволінійний інтеграл обчислюється за формулою:

, (10.6)

де - значення параметра t,відповідні початковій та кінцевій точках шляху інтегрування.

Якщо лінія АВшматково-гладка, слід скористатися властивістю адитивності криволінійного інтеграла, розбивши АВна гладкі дуги.

Приклад 10.1Обчислимо криволінійний інтеграл вздовж контуру, що складається з частини кривої від крапки до та дуги еліпса від крапки до .

Т. до. контур складається з двох частин, скористаємося властивістю адитивності криволінійного інтеграла: . Зведемо обидва інтеграли до певних. Частина контуру задана рівнянням щодо змінної . Скористаємося формулою (10.4 ), у якій поміняємо ролями змінні. Тобто.

. Після обчислення отримаємо .

Для обчислення інтеграла за контуром НДперейдемо до параметричної форми запису рівняння еліпса та скористаємося формулою (10.6).

Зверніть увагу на межі інтегрування. Точці відповідає значення , а точці відповідає Відповідь:
.

Приклад 10.2.Обчислимо вздовж відрізка прямої АВ, де А(1,2,3), В(2,5,8).

Рішення. Заданий криволінійний інтеграл другого роду. Для обчислення необхідно перетворити його на певний. Складемо рівняння прямої. Її напрямний вектор має координати .

Канонічні рівняння прямої АВ: .

Параметричні рівняння цієї прямої: ,

При
.

Скористаємося формулою (10.5) :

Обчисливши інтеграл, отримаємо відповідь: .

5. Робота сили при переміщенні матеріальної точки одиничної маси з точки в точку вздовж кривої .

Нехай у кожній точці шматково-гладкою кривою заданий вектор, що має безперервні функції-координати: . Розіб'ємо цю криву на малих частин крапками так, щоб у точках кожної частини значення функцій
можна було вважати постійними, а сама частина могла бути прийнята за відрізок прямої (див. рис. 10.1). Тоді . Скалярний добуток постійної сили, роль якої відіграє вектор , на прямолінійний вектор переміщення чисельно дорівнює роботі, яку робить сила при переміщенні матеріальної точки вздовж . Складемо інтегральну суму . У межі при необмеженому збільшенні числа розбиття отримаємо криволінійний інтеграл другого роду

. (10.7) Таким чином, фізичний сенскриволінійного інтеграла другого роду - це робота, зроблена силою при переміщенні матеріальної точки від Адо Упо контуру L.

Приклад 10.3.Обчислимо роботу, яку виконує вектор при переміщенні точки вздовж частини кривої Вівіані, заданої як перетин напівсфери та циліндра , що пробігається проти годинникової стрілки, якщо дивитися з позитивної частини осі OX.

Рішення. Побудуємо задану криву як лінію перетину двох поверхонь (див. рис. 10.3).

.

Щоб звести підінтегральний вираз до однієї змінної, перейдемо в циліндричну систему координат: .

Т.к. точка переміщається по кривій , то зручно як параметр вибрати змінну , яка вздовж контуру змінюється так, що . Тоді отримуємо наступні параметричні рівнянняцією кривою:

.При цьому
.

Підставимо отримані вирази у формулу для обчислення циркуляції:

( - знак + вказує на те, що рух точки по контуру відбувається проти годинникової стрілки)

Обчислимо інтеграл і отримаємо відповідь: .

Заняття 11.

Формула Гріна для однозв'язкової області. Незалежність криволінійного інтеграла від інтегрування. Формула Ньютона-Лейбніца. Знаходження функції за її повним диференціалом за допомогою криволінійного інтеграла (плоский і просторовий випадки).

ОЛ-1 гл.5, ОЛ-2 гл.3, ОЛ-4 гл.3 § 10, п. 10.3, 10.4.

Практика : ОЛ-6№№ 2318(а,б,д),2319(а,в),2322(а,г),2327,2329 абоОЛ-5 №№10.79, 82, 133, 135, 139.

Домашня будівля до заняття 11: ОЛ-6 №№ 2318 (в,г), 2319(в,г), 2322(б,в), 2328, 2330 або ОЛ-5 №№ 10.80, 134, 136, 140

Формула Гріна.

Нехай на площині дана однозв'язкова область, обмежена кусково-гладким замкнутим контуром. (Область називається однозв'язковим, якщо в ній будь-який замкнутий контур може бути стягнутий у точку цієї області).

Теорема. Якщо функції та їх приватні похідні Г, то

Малюнок 11.1

- формула Гріна . (11.1)

Позначає позитивний напрямок обходу (проти годинникової стрілки).

Приклад 11.1.Використовуючи формулу Гріна, обчислимо інтеграл за контуром, що складається з відрізків OA, OBі більшої дуги кола , що з'єднує точки Aі B,якщо , , .

Рішення. Побудуємо контур (Див. рис.11.2). Обчислимо необхідні похідні.

Малюнок 11.2

, ; , . Функції та їх похідні безперервні у замкнутій області, обмеженій цим контуром. За формулою Гріна цей інтеграл.

Після підстановки обчислених похідних отримуємо

. Подвійний інтеграл обчислимо, переходячи до полярних координат:
.

Перевіримо відповідь, обчисливши інтеграл безпосередньо по контуру як криволінійний інтеграл другого роду.
.

Відповідь:
.

2. Незалежність криволінійного інтеграла від шляху інтегрування.

Нехай і - довільні точки однозв'язкової області пл. . Криволінійні інтеграли, обчислені за різними кривими, що з'єднують ці точки, у загальному випадку мають різні значення. Але при виконанні деяких умов усі ці значення можуть бути однаковими. Тоді інтеграл залежить від форми шляху, залежить тільки від початкової і кінцевої точок.

Мають місце такі теореми.

Теорема 1. Для того, щоб інтеграл
не залежав від форми шляху, що з'єднує точки і , необхідно і достатньо, щоб цей інтеграл за будь-яким замкнутим контуром дорівнював нулю.

Теорема 2.. Для того, щоб інтеграл
за будь-яким замкнутим контуром дорівнював нулю, необхідно і достатньо, щоб функції та їх приватні похідні були безперервні у замкнутій області Гі щоб виконувалася умова (11.2)

Таким чином, якщо виконуються умови незалежності інтеграла від форми шляху (11.2) , то достатньо вказати тільки початкову та кінцеву точки: (11.3)

Теорема 3.Якщо в однозв'язковій області виконується умова , то існує функція така, що . (11.4)

Ця формула називається формулою Ньютона – Лейбніцадля криволінійного інтегралу.

Зауваження.Нагадаємо, що рівність є необхідною і достатньою умовою того, що вираз
.

Тоді з вище сформульованих теорем випливає, що якщо функції та їх приватні похідні безперервні у замкнутій області Г, в якій дано точки і , і , то

а) існує функція , така, що ,

не залежить від форми шляху, ,

в) має місце формула Ньютона – Лейбніца .

Приклад 11.2. Переконаємося, що інтеграл
не залежить від форми шляху і обчислимо його.

Рішення. .

Малюнок 11.3

Перевіримо виконання умови (11.2).
. Як бачимо, умова виконана. Значення інтеграла залежить від шляху інтегрування. Виберемо шлях інтегрування. Найбільш

простим шляхом для обчислень є ламана лінія АСВ, що з'єднує точки початку та кінця шляху. (Див. рис. 11.3)

Тоді .

3. Знаходження функції з її повному диференціалу.

За допомогою криволінійного інтеграла, який не залежить від форми шляху, можна знайти функцію знаючи її повний диференціал. Це завдання вирішується так.

Якщо функції та їх приватні похідні безперервні у замкнутій області Гі , то вираз є повним диференціалом певної функції . Крім цього інтеграл
, По-перше, не залежить від форми шляху і, по-друге, може бути обчислений за формулою Ньютона - Лейбніца.

Обчислимо
двома способами.

Малюнок 11.4

а) Виберемо в області точку з конкретними координатами та точку із довільними координатами. Обчислимо криволінійний інтеграл по ламаною, що складається з двох відрізків прямих, що з'єднують ці точки, причому один з відрізків паралельний осі, а інший - осі. Тоді. (Див. рис. 11.4)

Рівняння.

Рівняння.

Отримуємо: Обчисливши обидва інтеграли, отримуємо у відповіді деяку функцію .

б) Тепер той самий інтеграл обчислимо за формулою Ньютона – Лейбніца.

Тепер порівняємо два результати обчислення того самого інтеграла. Функціональна частина відповіді у пункті а) є шуканою функцією , а числова частина – її значенням у точці .

Приклад 11.3.Переконаємося в тому, що вираз
є повним диференціалом певної функції і знайдемо її. Перевіримо результати обчислення прикладу 11.2 за формулою Ньютона-Лейбніца.

Рішення.Умова існування функції (11.2) було перевірено у попередньому прикладі. Знайдемо цю функцію, навіщо скористаємося малюнком 11.4, причому приймемо за точку . Складемо та обчислимо інтеграл за ламаною АСВ,де :

Як було сказано вище, функціональна частина отриманого виразу і є потрібна функція
.

Перевіримо результат обчислень із прикладу 11.2 за формулою Ньютона-Лейбніца:

Результати збіглися.

Зауваження.Усі розглянуті твердження вірні і для просторового випадку, але з великою кількістюумов.

Нехай шматково-гладка крива належить області у просторі . Тоді, якщо функції та їх приватні похідні безперервні в замкнутій області , в якій дано точки і , і
(11.5 ), то

а) вираз є повним диференціалом певної функції ,

б) криволінійний інтеграл від повного диференціалу певної функції не залежить від форми шляху та ,

в) має місце формула Ньютона – Лейбніца .(11.6 )

Приклад 11.4. Переконаємося в тому, що вираз є повним диференціалом певної функції і знайдемо її.

Рішення.Для відповіді на питання про те, чи є вираз повним диференціалом деякої функції , обчислимо приватні похідні від функцій , ,
. (Див. (11.5) ) ; ; ; ; ; .

Ці функції безперервні разом зі своїми приватними похідними у будь-якій точці простору .

Бачимо, що виконуються необхідні та достатні умовиіснування : , , , Ч. т. д.

Для обчислення функції скористаємося тим, що лінійний інтеграл залежить від шляху інтегрування і може бути обчислений за формулою Ньютона-Лейбніца. Нехай крапка - Початок шляху, а деяка точка - кінець шляху . Обчислимо інтеграл

за контуром, що складається з відрізків прямих, паралельних координатним осям. (Див.рис.11.5).

.

Малюнок 11.5

Рівняння частин контуру: , ,
.

Тоді

, xтут зафіксовано, тому ,

, тут зафіксовано yтому .

Через війну отримуємо: .

Тепер той самий інтеграл обчислимо за формулою Ньютона-Лейбніца.

Прирівняємо результати: .

З отриманої рівності випливає, що ,

Заняття 12.

Поверхневий інтеграл першого роду: визначення, основні властивості. Правила обчислення поверхневого інтеграла першого роду за допомогою подвійного інтегралу. Додатки поверхового інтеграла першого роду: площа поверхні, маса матеріальної поверхні, статичні моменти щодо координатних площин, моменти інерції та координати центру тяжіння . ОЛ-1 гл.6, ОЛ 2 гл.3, ОЛ-4§ 11.

Практика: ОЛ-6 № 2347, 2352, 2353 або ОЛ-5 № 10.62, 65, 67.

Домашнє завданнядо заняття 12:

ОЛ-6 № 2348, 2354 або ОЛ-5 № 10.63, 64, 68.

Крива АВ, задана параметричними рівняннями, називається гладкою, якщо функції і мають на відрізку безперервні похідні і причому Якщо в кінцевому числі точок відрізка ці похідні не існують або одночасно звертаються в нуль, то крива називаєте я шматково-гладкою. Нехай АВ - плоска крива, гладка або шматково-гладка. Нехай f(M) - функція, задана на кривій АВ або деякій області D, що містить цю криву. Розглянемо розбиття кривої АВ на частини точками (рис. 1). Виберемо кожної з дуг A^At+i довільну точку Mk і складемо суму де Alt - довжина дуги і назвемо її інтегральної сумою функції f(M) по довжині дуги кривої. Нехай Д / - найбільша завдовжки часткових дуг, тобто. криволінійних інтегралів 1-го роду для просторових кривих Криволінійні інтеграли 2-го роду Обчислення криволінійного інтеграла Властивості Зв'язок між Визнач. Якщо при інтегральна сума (I) має кінцеву межу, яка не залежить ні від способу розбиття кривої АВ на частини, ні від вибору точок на кожній з дуг розбиття, то ця межа називається криволінійним інтегралом \-го роду від функції f(M) по кривій АВ (інтеграл по довжині дуги кривої) і позначається символом У цьому випадку функція /(М) називається інтегрованою вздовж кривої АВУ крива АВ називається контуром інтегрування, А - початковою, В - кінцевою точками інтегрування. Таким чином, за визначенням, Приклад 1. Нехай уздовж деякої гладкої кривої L розподілена маса з лінійною змінною щільністю J(M). Знайти масу т кривої L. (2) Розіб'ємо криву L на п довільних частин) і обчислимо приблизно масу кожної частини, припускаючи, що на кожній з частин щільність постійна і дорівнює щільності в якій-небудь з її точок, наприклад, у крайній лівій точці / (Af *). Тоді сума кшо де Д/д - довжина Дг-ої частини, буде наближеним значенням маси т. Зрозуміло, що похибка буде тим меншою, чим дрібніше розбиття кривої L. У межі при Ы - * 0 отримаємо точне значення маси всієї кривої L, тобто. Адитивність. Якщо крива АВ складається з двох шматків і для функції /(М) існує криволінійний інтеграл по АВУ, то існують інтеграли, причому 4. Якщо 0 на кривій АВ, то 5. Якщо функція інтегрована на кривій АВ, то функція || також інтегрована на АВ, і при цьому б. Формула середнього значення. Якщо функція/безперервна вздовж кривої АВ, то на цій кривій знайдеться точка Мс така, що де L – довжина кривої АВ. 1.3. Обчислення криволінійного інтеграла 1-го роду Нехай крива АВ задана параметричними рівняннями, причому точці А відповідає значення t = to, а точці В - значення. Будемо припускати, що функції) безперервні разом зі своїми похідними і виконано нерівність. В - значення х = 6, то, приймаючи за параметр, отримуємо 1.4. Визначення криволінійного інтеграла 1-го роду, сформульоване вище для плоскої кривої, дослівно переноситься на випадок, коли функція f(M) задана вздовж деякої просторової кривої АВ. Нехай крива АВ задана параметричними рівняннями Властивості криволінійних інтегралів 1-го роду для просторових кривих Криволінійні інтеграли 2-го роду Обчислення криволінійного інтеграла Властивості Зв'язок між Тоді криволінійний інтеграл взятий уздовж цієї кривої, можна звести до певного інтегр. інтеграл, де L - контур трикутника з вершинами в точка * (рис.3). За якістю адитивності маємо Обчислимо кожен із інтегралів окремо. Так як на відрізку OA маємо: , то На відрізку АН маємо, звідки причому тоді Мал. Нарешті, отже, зауваження. При обчисленні інтегралів ми скористалися властивістю 1 згідно з яким. Криволінійні інтеграли 2-го роду Нехай АВ - гладка або шматково-гладка орієнтована крива на площині хоу і нехай - вектор-функція, визначена в деякій ділянці D, що містить криву АВ. Розіб'ємо криву АВ на частини точками координати яких позначимо відповідно через (рис. 4). На кожній з елементарних дуг АкАк + візьмемо довільно точку і складемо суму Нехай Д / - Довжина найбільшої з дуг Визначення. Якщо сума (1) має кінцеву межу, що не залежить ні від способу розбиття кривої АВ, ні від вибору точок rjk) на елементарних дугах, то ця межа називається криволінійним інтегралом 2-го міста від вектор-функції по кривій АВ і позначається символом Так що за визначенням Теорему 2. Якщо деякій D, що містить криву АВ, функції безперервні, то криволінійний інтеграл 2-города існує. Нехай – радіус-вектор точки М(х, у). Тоді і підінтегральний вираз у формулі (2) можна подати у вигляді скалярного добутку векторів F(M) та dr. Отже, інтеграл 2-го роду від вектор-функції кривої АВ можна записати коротко так: 2.1. Обчислення криволінійного інтеграла 2-го роду Нехай крива АВ задана параметричними рівняннями, де функції безперервні разом з похідними на відрізку, причому зміні параметра t від t0 до t відповідає рух точки по кривій АВ відточки А до точки В. Якщо в деякій області D, містить криву АВ, функції безперервні, то криволінійний інтеграл 2-го роду зводиться до наступного певного інтегралу: Таким чином, обчислення криволінійного інтеграла 2-го роду також може бути зведено до обчислення певного інтеграла. О) Приклад 1. Обчислити інтеграл вздовж прямолінійного відрізка, що з'єднує точки 2) вздовж параболи, що з'єднує ті ж тонкі) Рівняння лінії параметр, звідки Так що 2) Рівняння лінії AB: Звідси розглянутий приклад помазує, що величина криволінійного інтеграла 2-го роду , Загалом кажучи, залежить від форми шляху інтегрування. 2.2. Властивості криволінійного інтеграла 2-го роду 1. Лінійність. Якщо існують властивості криволінійних інтегралів 1-го роду для просторових кривих криволінійні інтеграли 2-го роду Обчислення криволінійного інтеграла Властивості Зв'язок між тим при будь-яких дійсних а і /5 існує і інтеграл причому 2. Аддітеностъ. Якщо крива АВ розбита на частини АС і СБ і криволінійний інтеграл існує, то існують і інтеграли. змінює знак на протилежний. 2.3. Зв'язок між криволінійними інтегралами 1-го і 2-го роду Розглянемо криволінійний інтеграл 2-го роду де орієнтована крива АВ (А - початкова точка, В - кінцева точка) задана векгорним рівнянням (тут I - довжина кривої, що відраховується в тому напрямку, якому орієнтована крива АВ) (рис. 6). Тоді dr або де г = т(1) - одиничний вектор дотичної до кривої АВ у точці М(1). Тоді зауважимо, що останній інтеграл у цій формулі - криволінійний інтеграл 1-го роду. При зміні орієнтації кривої АВ одиничний вектор дотичної г замінюється на протилежний вектор(-г), що тягне за собою зміну знака його підінтегрального виразу і, отже, знака самого інтеграла.