Додавання протилежно спрямованих векторів. ІІ.6. Вектори в просторі та дії над ними. Концепція вектор. Вільний вектор

Знання та навички, отримані на даному уроці, стануть у нагоді тим, хто навчається не тільки на уроках геометрії, а й на заняттях з інших наук. Під час уроку школярі навчаться відкладати вектор від заданої точки. Це може бути звичайний урок геометрії, а також позакласне чи факультативне заняття з математики. Ця розробка допоможе вчителю заощадити свій час на підготовку до уроку на тему «Відкладання вектора від цієї точки». Йому достатньо відтворити відеоурок на занятті, а потім закріпити матеріал власною добіркою вправ.

Урок за тривалістю займаємо лише 1:44 хвилини. Але цього достатньо, щоби навчити школярів відкладати вектор від заданої точки.

Урок починається з демонстрації вектора, початок якого знаходиться у певній точці. Говорять, що вектор від неї відкладений. Потім автор пропонує довести разом з ним твердження, згідно з яким від будь-якої точки можна відкласти вектор, рівний даному і єдиний. У результаті докази автор докладно розглядає кожен випадок. По-перше, він бере ситуацію, коли цей вектор нульовий, по-друге, коли вектор - ненульовий. Під час доказу використовуються ілюстрації у вигляді малюнків та побудови, математичний запис, які формують у школярів математичну грамотність. Автор розповідає, не поспішаючи, що дозволяє учням вести записи паралельно, доки йде коментування. Побудова, яку вів автор під час доказу раніше сформульованого твердження, показує, як з певної точки можна побудувати вектор, рівний даному.

Якщо учні уважно дивитися урок і паралельно вести записи, вони легко засвоять матеріал. Тим більше, що автор розповідає докладно, розмірено та досить повно. Якщо з якихось причин щось не почули, можна повернутися і подивитися урок ще раз.

Після перегляду відеоуроку бажано розпочати закріплення матеріалу. Вчителю рекомендується підібрати завдання на цю тему, щоб відпрацювати навичку відкладання вектора від цієї точки.

Цей урок можна використовувати для самостійного вивченнятеми школярів. Але для закріплення необхідно звернутися до вчителя, щоб він підібрав відповідні завдання. Адже без закріплення матеріалу складно досягти позитивного результату у навчанні.

Нарешті у мене дісталися руки до великої та довгоочікуваної теми. аналітичної геометрії. Спочатку трохи про цей розділ вищої математики. Напевно, вам зараз згадався курс шкільної геометрії з численними теоремами, їх доказами, кресленнями тощо. Що приховувати, зненавиджений і часто малозрозумілий предмет для значної частки учнів. Аналітична геометрія, як не дивно, може здатися більш цікавою та доступною. Що означає прикметник «аналітична»? На думку відразу приходять два штамповані математичні обороти: «графічний метод рішення» та «аналітичний метод рішення». Графічний метод, Зрозуміло, пов'язані з побудовою графіків, креслень. Аналітичнийж методпередбачає вирішення завдань переважноза допомогою алгебраїчних дій. У зв'язку з цим алгоритм розв'язання практично всіх завдань аналітичної геометрії простий і прозорий, часто досить акуратно застосувати потрібні формули – і відповідь готова! Ні, звичайно, зовсім без креслень тут не обійдеться, до того ж для кращого розуміння матеріалу я намагатимусь наводити їх понад необхідність.

Відкривається курс уроків з геометрії не претендує на теоретичну повноту, він орієнтований рішення практичних завдань. Я включу у свої лекції тільки те, що на мій погляд, є важливим у практичному плані. Якщо вам потрібна повна довідка по якомусь підрозділу, рекомендую наступну цілком доступну літературу:

1) Річ, з якою, без жартів, знайомо кілька поколінь: Шкільний підручник з геометрії, автори – Л.С. Атанасян та Компанія. Ця вішалка шкільної роздягальні вже витримала 20 (!) перевидань, що, звичайно, не є межею.

2) Геометрія у 2 томах. Автори Л.С. Атанасян, Базильов В.Т. Це література для вищої школивам знадобиться перший том. З мого поля зору можуть випадати завдання, що рідко зустрічаються, і навчальний посібникнадасть неоціненну допомогу.

Обидві книги можна завантажити безкоштовно в Інтернеті. Крім того, можете використовувати мій архів із готовими рішеннями, який можна знайти на сторінці Завантажити приклади з вищої математики.

З інструментальних засобів пропоную знову ж таки власну розробку – програмний комплексз аналітичної геометрії, який значно спростить життя та заощадить масу часу.

Передбачається, що читач знайомий з базовими геометричними поняттями та фігурами: точка, пряма, площина, трикутник, паралелограм, паралелепіпед, куб і т.д. Бажано пам'ятати деякі теореми, хоча б теорему Піфагора, привіт другорічникам)

Нині ж ми послідовно розглянемо: поняття вектора, дії з векторами, координати вектора. Далі рекомендую прочитати найважливішу статтю Скалярний добуток векторів, а також і Векторний та змішаний твір векторів. Не зайвою буде і локальне завдання - Розподіл відрізка в цьому відношенні. На основі вищезгаданої інформації можна освоїти рівняння прямої на площиніз найпростішими прикладами рішеньщо дозволить навчитися вирішувати завдання з геометрії. Також корисні такі статті: Рівняння площини у просторі, Рівняння прямої у просторі, Основні завдання на пряму та площину, інші розділи аналітичної геометрії. Природно, принагідно розглядатимуть типові завдання.

Концепція вектор. Вільний вектор

Спочатку повторимо шкільне визначення вектора. Векторназивається спрямованийвідрізок, для якого вказано його початок та кінець:

У разі початком відрізка є точка , кінцем відрізка – точка . Сам вектор позначений через . Напряммає важливе значення, якщо переставити стрілку в інший кінець відрізка, то вийде вектор , і це вже зовсім інший вектор. Поняття вектора зручно ототожнювати з рухом фізичного тіла: погодьтеся, зайти у двері інституту або вийти з дверей інституту – це різні речі.

Окремі точки площини, простору зручно вважати так званим нульовим вектором. У такого вектора кінець і початок збігаються.

!!! Примітка: Тут і далі можете вважати, що вектори лежать в одній площині або вважати, що вони розташовані в просторі - суть матеріалу, що викладається, справедлива і для площини і для простору.

Позначення:Багато хто відразу звернув увагу на паличку без стрілочки в позначенні і сказав, там же зверху ще стрілку ставлять! Правильно, можна записати зі стрілкою: , але допустима і запис , який я використовуватиму надалі. Чому? Мабуть, така звичка склалася з практичних міркувань, надто різнокаліберними та волохатими виходили мої стрілки у школі та ВНЗ. У навчальної літературиіноді взагалі не морочаться клинописом, а виділяють букви жирним шрифтом: , маючи на увазі тим самим, що це вектор.

То була стилістика, а зараз про способи запису векторів:

1) Вектори можна записати двома великими латинськими літерами:
і так далі. При цьому перша літера обов'язковопозначає точку-початок вектора, а друга літера - точку-кінець вектора.

2) Вектори також записують маленькими латинськими літерами:
Зокрема, наш вектор можна для стислості перепозначити маленькою латинською літерою.

Довжиноюабо модулемненульового вектора називається довжина відрізка. Довжина нульового вектора дорівнює нулю. Логічно.

Довжина вектора позначається знаком модуля: ,

Як знаходити довжину вектора ми дізнаємося (або повторимо, для кого як) трохи згодом.

Це були елементарні відомості про вектор, знайомі всім школярам. В аналітичній геометрії розглядається так званий вільний вектор.

Якщо дуже просто – вектор можна відкласти від будь-якої точки:

Такі вектори ми звикли називати рівними (визначення рівних векторів буде дано нижче), але чисто з математичної точки зору це ОДИН І ТОЙ Ж ВЕКТОР або вільний вектор. Чому вільний? Тому що в ході вирішення завдань ви можете «прилаштувати» той чи інший «шкільний» вектор у БУДЬ-ЯКУ, потрібну вам точку площини чи простору. Це дуже крута властивість! Уявіть спрямований відрізок довільної довжини та напрямки – його можна «клонувати» нескінченну кількість разів і в будь-якій точці простору, по суті, він існує СКРІЗЬ. Є така студентська приказка: Кожному лектору в ж**у по вектору. Адже не просто дотепна рима, все майже коректно – спрямований відрізок можна влаштувати і туди. Але не поспішайте радіти, частіше страждають самі студенти.

Отже, вільний вектор– це безліч однакових спрямованих відрізків. Шкільне визначення вектора, дане на початку параграфа: «Вектором називається спрямований відрізок…», має на увазі конкретнийспрямований відрізок, взятий з цієї множини, який прив'язаний до певної точки площини або простору.

Слід зазначити, що з погляду фізики поняття вільного вектора у випадку некоректно, і точка застосування має значення. Дійсно, прямий удар однакової сили по носі чи по лобі вистачить розвивати мій безглуздий приклад спричиняє різні наслідки. Втім, невільнівектори зустрічаються і в курсі вышмата (не ходіть туди:)).

Дії з векторами. Колінеарність векторів

У шкільному курсігеометрії розглядається ряд дій та правил з векторами: додавання за правилом трикутника, додавання за правилом паралелограма, правило різниці векторів, множення вектора на число, скалярний добуток векторів та ін.Для затравки повторимо два правила, які особливо актуальні на вирішення завдань аналітичної геометрії.

Правило складання векторів за правилом трикутників

Розглянемо два довільні ненульові вектори і :

Потрібно знайти суму даних векторів. Через те, що всі вектори вважаються вільними, відкладемо вектор від кінцявектор :

Сумою векторів і є вектор. Для кращого розуміння правила в нього доцільно вкласти фізичний сенс: Нехай деяке тіло зробило шлях вектором , а потім вектором . Тоді сума векторів є вектором результуючого шляху з початком у точці відправлення і кінцем у точці прибуття. Аналогічне правило формулюється для будь-якої кількості векторів. Як кажуть, тіло може пройти свій шлях сильно підданим по зигзагу, а може і на автопілоті - по результуючого вектора суми.

До речі, якщо вектор відкласти початкувектора , то вийде еквівалентне правило паралелограмадодавання векторів.

Спочатку про колінеарність векторів. Два вектори називаються колінеарнимиякщо вони лежать на одній прямій або на паралельних прямих. Грубо кажучи, йдеться про паралельні вектори. Але стосовно них завжди використовують прикметник «колінеарні».

Уявіть два колінеарні вектори. Якщо стрілки даних векторів спрямовані в однаковому напрямку, такі вектори називаються співспрямованими. Якщо стрілки дивляться в різні боки, вектори будуть протилежно спрямовані.

Позначення:колінеарність векторів записують звичним значком паралельності: при цьому можлива деталізація: (вектори сонаправлены) або (вектори спрямовані протилежно).

Творомненульового вектора на число є такий вектор, довжина якого дорівнює, причому вектори і сонаправлены і протилежно спрямовані при .

Правило множення вектора на число легко зрозуміти за допомогою малюнка:

Розбираємось детальніше:

1) Напрямок. Якщо множник негативний, то вектор змінює напрямокна протилежне.

2) Довжина. Якщо множник укладено в межах або , то довжина вектора зменшується. Так, довжина вектора вдвічі менша за довжину вектора . Якщо множник за модулем більше одиниці, то довжина вектора збільшуєтьсяв раз.

3) Зверніть увагу, що всі вектори колінеарніпри цьому один вектор виражений через інший, наприклад, . Назад теж справедливоЯкщо один вектор можна виразити через інший, то такі вектори обов'язково колінеарні. Таким чином: якщо ми множимо вектор на число, то вийде колінеарний(По відношенню до вихідного) вектор.

4) Вектори спрямовані. Вектори також співспрямовані. Будь-який вектор першої групи протилежно спрямований стосовно будь-якого вектора другої групи.

Які вектори є рівними?

Два вектори рівні, якщо вони спрямовані і мають однакову довжину. Зауважте, що сонаправленность передбачає колінеарність векторів. Визначення буде неточним (надлишковим), якщо сказати: «Два вектори рівні, якщо вони колінеарні, співспрямовані та мають однакову довжину».

З погляду поняття вільного вектора, рівні вектори– це той самий вектор, про що вже йшлося у попередньому параграфі.

Координати вектора на площині та у просторі

Першим пунктом розглянемо вектори на площині. Зобразимо декартову прямокутну систему координат і від початку координат відкладемо одиничнівектори та :

Вектори та ортогональні. Ортогональні = Перпендикулярні. Рекомендую потихеньку звикати до термінів: замість паралельності та перпендикулярності використовуємо відповідно слова колінеарністьі ортогональність.

Позначення:ортогональність векторів записують звичною позначкою перпендикулярності, наприклад: .

Вектори, що розглядаються, називають координатними векторамиабо ортами. Дані вектори утворюють базисна площині. Що таке базис, думаю, інтуїтивно багатьом зрозуміло, більше детальну інформаціюможна знайти у статті Лінійна (не) залежність векторів. Базис векторів.Простими словами, базис і початок координат задають всю систему - це своєрідний фундамент, на якому вирує повне і насичене геометричне життя.

Іноді побудований базис називають ортонормованимбазисом площини: «орто» – оскільки координатні вектори ортогональні, прикметник «нормований» означає одиничний, тобто. Довжина векторів базису дорівнює одиниці.

Позначення:базис зазвичай записують у круглих дужках, усередині яких у суворій послідовностіперераховуються базисні вектори, наприклад: . Координатні вектори не можнапереставляти місцями.

Будь-якийвектор плоскості єдиним чиномвиражається у вигляді:
, де - числаякі називаються координатами векторау цьому базисі. А сам вираз називається розкладання векторапо базису .

Вечеря подана:

Почнемо з першої літери алфавіту: . По кресленню добре видно, що з розкладанні вектора по базису використовуються щойно розглянуті:
1) правило множення вектора на число: і;
2) складання векторів за правилом трикутника: .

А тепер подумки відкладіть вектор від будь-якої іншої точки площини. Цілком очевидно, що його розкладання «невідступно слідуватиме за ним». Ось вона, свобода вектора - вектор "все носить при собі". Ця властивість, зрозуміло, слушна для будь-якого вектора. Смішно, що самі базисні (вільні) вектори не обов'язково відкладати від початку координат, один можна намалювати, наприклад, ліворуч унизу, а інший – праворуч вгорі, і від цього нічого не зміниться! Щоправда, робити так не потрібно, оскільки викладач теж виявить оригінальність і намалює вам зараховане в несподіваному місці.

Вектори , ілюструють в точності правило множення вектора на число, вектор направлений з базисним вектором , вектор направлений протилежно до базисного вектора . У даних векторів одна з координат дорівнює нулю, прискіпливо можна записати так:


А базисні вектори, до речі, так: (по суті вони виражаються самі через себе).

І наостанок: , . До речі, що таке віднімання векторів, і чому я не розповів про правило віднімання? Десь у лінійній алгебрі, вже не пам'ятаю де, я зазначав, що віднімання – це окремий випадок складання. Так, розкладання векторів «де» і «е» спокійнісінько записуються як суми: , . Прослідкуйте за кресленням, як чітко у цих ситуаціях працює старе добре складання векторів за правилом трикутника.

Розглянуте розкладання виду іноді називають розкладанням вектора у системі орт(Тобто в системі одиничних векторів). Але це не єдиний спосіб запису вектора, поширений наступний варіант:

Або зі знаком рівності:

Самі базисні вектори записуються так: і

Тобто, у круглих дужках зазначаються координати вектора. У практичні завданнявикористовуються всі три варіанти запису.

сумнівався, чи говорити, але все-таки скажу: координати векторів переставляти не можна. Суворо на першому місцізаписуємо координату, яка відповідає одиничному вектору , суворо на другому місцізаписуємо координату, яка відповідає одиничному вектору. Справді, і – це два різних вектори.

З координатами на площині розібралися. Тепер розглянемо вектори в тривимірному просторі, тут практично так само! Тільки додасться ще одна координата. Тривимірні креслення виконувати важко, тому обмежуся одним вектором, який для простоти відкладу від початку координат:

Будь-якийвектор тривимірного простору можна єдиним способомрозкласти по ортонормованому базису:
, де - Координати вектора (числа) в даному базисі.

Приклад з картинки: . Давайте подивимося, як тут працюють правила дій із векторами. По-перше, множення вектора на число: (червона стрілка), (зелена стрілка) та (малінова стрілка). По-друге, перед вами приклад додавання кількох, у разі трьох, векторов: . Вектор суми починається у вихідній точці відправлення (початок вектора) і втикається у підсумкову точку прибуття (кінець вектора).

Всі вектори тривимірного простору, природно, теж вільні, спробуйте подумки відкласти вектор від будь-якої іншої точки, і ви зрозумієте, що його розкладання залишиться при ньому.

Аналогічно плоскому випадку, крім запису широко використовуються версії з дужками: або .

Якщо у розкладанні відсутня один (або два) координатні вектори, то замість них ставляться нулі. Приклади:
вектор (прискіпливо ) - Запишемо;
вектор (прискіпливо ) - Запишемо;
вектор (прискіпливо ) – запишемо.

Базисні векторизаписуються наступним чином:

Ось, мабуть, і всі мінімальні теоретичні знання, необхідні вирішення завдань аналітичної геометрії. Можливо забагато термінів та визначень, тому чайникам рекомендую перечитати та осмислити цю інформацію ще раз. Та й будь-якому читачеві буде корисно іноді звертатися до базового уроку для кращого засвоєння матеріалу. Колінеарність, ортогональність, ортонормований базис, розкладання вектора – ці та інші поняття часто використовуватимуться надалі. Зазначу, що матеріалів сайту недостатньо для складання теоретичного заліку, колоквіуму з геометрії, тому що всі теореми (до того ж без доказів) я акуратно шифрую – на шкоду науковому стилю викладу, але плюсом до вашого розуміння предмета. Для отримання докладної теоретичної довідки прошу слідувати на уклін до професора Атанасяна.

А ми переходимо до практичної частини:

Найпростіші завдання аналітичної геометрії.
Дії з векторами в координатах

Завдання, які будуть розглянуті, дуже бажано навчитися вирішувати на повному автоматі, а формули запам'ятати напам'ять, навіть спеціально не запам'ятовувати, самі запам'ятаються =) Це дуже важливо, оскільки на найпростіших елементарних прикладах базуються інші завдання аналітичної геометрії, і буде прикро витрачати додатковий час на поїдання пішаків. Не потрібно застібати верхні гудзики на сорочці, багато речей знайомі вам зі школи.

Виклад матеріалу піде паралельним курсом – і площині, і простору. З тієї причини, що всі формули самі побачите.

Як знайти вектор по двох точках?

Якщо дані дві точки площини і , то вектор має такі координати:

Якщо дані дві точки простору і , то вектор має такі координати:

Тобто, з координат кінця векторапотрібно відняти відповідні координати початку вектора.

Завдання:Для тих самих точок запишіть формули знаходження координат вектора. Формули наприкінці уроку.

Приклад 1

Дано дві точки площини і . Знайти координати вектора

Рішення:за відповідною формулою:

Як варіант, можна було використати наступний запис:

Естети вирішать і так:

Особисто я звик до першої версії запису.

Відповідь:

За умовою не потрібно будувати креслення (що характерно для завдань аналітичної геометрії), але з метою пояснення деяких моментів чайникам, не полінуюся:

Обов'язково потрібно розуміти відмінність між координатами точок та координатами векторів:

Координати точок- Це звичайні координати у прямокутній системі координат. Відкладати крапки на координатної площиниДумаю, всі вміють ще з 5-6 класу. Кожна точка має суворе місце на площині, і переміщати їх кудись не можна.

Координати ж вектора- Це його розкладання по базису, в даному випадку. Будь-який вектор є вільним, тому при бажанні чи необхідності ми легко можемо відкласти його від будь-якої іншої точки площини (щоб уникнути плутанини перепозначивши, наприклад, через ). Цікаво, що векторів можна взагалі будувати осі, прямокутну систему координат, потрібен лише базис, у разі ортонормований базис площини .

Записи координат точок і координат векторів начебто схожі: , а сенс координатабсолютно різний, і вам слід добре розуміти цю різницю. Ця відмінність, зрозуміло, справедлива і для простору.

Пані та панове, набиваємо руку:

Приклад 2

а) Дані точки та . Знайти вектори та .
б) Дані точки та . Знайти вектори та .
в) Дані точки та . Знайти вектори та .
г) Дані точки. Знайти вектори .

Мабуть, достатньо. Це приклади для самостійного рішення, Постарайтеся ними не нехтувати, окупиться;-). Креслення робити не потрібно. Рішення та відповіді наприкінці уроку.

Що важливо під час вирішення завдань аналітичної геометрії?Важливо бути гранично уважним, щоб не припуститися майстерної помилки «два плюс два і нулю». Відразу перепрошую, якщо де помилився =)

Як знайти довжину відрізка?

Довжина, як зазначалося, позначається знаком модуля.

Якщо дані дві точки площини і , то довжину відрізка можна обчислити за формулою

Якщо дані дві точки простору і , то довжину відрізка можна обчислити за формулою

Примітка: Формули залишаться коректними, якщо переставити місцями відповідні координати: і , але стандартніший перший варіант

Приклад 3

Рішення:за відповідною формулою:

Відповідь:

Для наочності виконаю креслення

Відрізок – це не вектор, і переміщати його кудись, звичайно, не можна. Крім того, якщо ви виконаєте креслення в масштабі: 1 од. = 1 см (дві зошити), то отриману відповідь можна перевірити звичайною лінійкою, безпосередньо вимірявши довжину відрізка.

Так, рішення коротке, але в ньому є ще кілька важливих моментів, які хотілося б пояснити:

По-перше, у відповіді ставимо розмірність: «одиниці». В умові не сказано, ЩО це, міліметри, сантиметри, метри чи кілометри. Тому математично грамотним рішенням буде загальне формулювання: «одиниці» – скорочено «од.».

По-друге, повторимо шкільний матеріал, Корисний не тільки для розглянутої задачі:

Зверніть увагу на важливий технічний прийом – винесення множника з-під кореня. В результаті обчислень у нас вийшов результат і хороший математичний стиль передбачає винесення множника з-під кореня (якщо це можливо). Докладніше процес виглядає так: . Звичайно, залишити відповідь у вигляді не буде помилкою - але недоліком точно і вагомим аргументом для причіпки з боку викладача.

Ось інші поширені випадки:

Нерідко під коренем виходить достатньо велике числонаприклад. Як бути у таких випадках? На калькуляторі перевіряємо, чи число ділиться на 4: . Так, розділилося націло, таким чином: . А може, число ще раз вдасться поділити на 4? . Таким чином: . У числа остання цифра непарна, тому розділити втретє на 4 явно не вдасться. Пробуємо поділити дев'ять: . В результаті:
Готово.

Висновок:якщо під коренем виходить невитягне націло число, то намагаємося винести множник з-під кореня - на калькуляторі перевіряємо, чи число на: 4, 9, 16, 25, 36, 49 і т.д.

У ході вирішення різних завдань коріння зустрічаються нерідко, завжди намагайтеся витягувати множники з-під кореня, щоб уникнути нижчої оцінки і непотрібних проблем з доопрацюванням ваших рішень за зауваженням викладача.

Давайте заразом повторимо зведення коренів у квадрат та інші ступені:

Правила дій зі ступенями в загальному виглядіможна знайти в шкільному підручнику з алгебри, але, гадаю, з наведених прикладів все чи майже все вже ясно.

Завдання для самостійного вирішення з відрізком у просторі:

Приклад 4

Дано крапки і . Знайти довжину відрізка.

Рішення та відповідь наприкінці уроку.

Як знайти довжину вектора?

Якщо дано вектор площини, його довжина обчислюється за такою формулою.

Якщо дано вектор простору, то його довжина обчислюється за формулою .

Дані формули (як і формули довжини відрізка) легко виводяться за допомогою відомої теореми Піфагора.

Деякі фізичні величини, наприклад, сила чи швидкість характеризуються як числовим значенням, а й напрямом. Такі величини називають векторними: F⃗ – сила, v⃗ – швидкість.
Дамо геометричне визначеннявектор.
Вектор називається відрізок, котрим зазначено, яка його граничних точок вважається початком, яка – кінцем.
На кресленнях вектор зображується відрізком зі стрілкою, що вказує на кінець вектора. Вектор позначають двома великими латинськими літерами зі стрілкою над ними. Перша буква означає початок вектора, друга – кінець.

Вектор можна позначити і однією малою латинською літерою зі стрілкою над нею.

Довжина вектора називається довжина відрізка, який зображує цей вектор. Для позначення довжини вектора використовують вертикальні дужки.
Вектор, у якого кінець збігається з початком, називається нульовим вектор. Нульовий вектор зображується точкою та позначається двома однаковими літерами або нулем зі стрілкою над ним. Довжина нульового вектора дорівнює нулю: | 0 ⃗ | = 0.

Введемо поняття колінеарних векторів. Ненульові вектори називаються колінеарними, якщо вони лежать на одній прямій або паралельних прямих. Нульовий вектор вважають колінеарним будь-якому вектору.

Якщо ненульові колінеарні вектори мають однаковий напрямок, такі вектори будуть сонаправленными. Якщо їх напрями протилежні – вони називаються протилежно спрямованими.
Для позначення співспрямованих та протилежно спрямованих векторів існують спеціальні позначення:
- m ⃗ р⃗, якщо вектори m⃗ та р⃗ співспрямовані;
- m ⃗ ↓ n⃗ , якщо вектори m⃗ та n⃗ протилежно спрямовані.
Розглянемо рух автомобіля. Швидкість кожної точки є векторною величиною і зображується спрямованим відрізком. Оскільки всі точки автомобіля рухаються з однаковою швидкістю, всі спрямовані відрізки, що зображають швидкості різних точок, мають однаковий напрямок та їх довжини рівні. Цей приклад підказує нам, як визначити рівність векторів.
Два вектори називаються рівними, якщо вони сонаправлены та його довжини рівні. Рівність векторів можна записати за допомогою знака: a ⃗ = b ⃗, KH ⃗ = OE ⃗
Якщо точка Рпочаток вектора р⃗, то вважають, що вектор р⃗ відкладений від точки Р.

Доведемо, що від будь-якої точки Проможна відкласти вектор, рівний даному вектору р⃗, і до того ж тільки один.

Доведення:
1) Якщо р⃗ – нульовий вектор, то ГО ⃗ = р ⃗.
2) Якщо вектор р⃗ ненульовий, точка Р- Початок цього вектора, а точка Т- Кінець.
Проведемо через точку Пропряму, паралельну РТ. На побудованій прямій відкладемо відрізки ОА 1 та ОА 2 , рівні відрізку РТ.

Виберемо із векторів ОА 1 та ОА 2 вектор, який направлений з вектором р⃗. На нашому кресленні це вектор ОА 1 . Цей вектор дорівнюватиме вектору р⃗. З побудови випливає, що такий вектор єдиний.

Вектор \(\overrightarrow(AB)\) можна розглядати як переміщення точки з положення \(A\) (початок руху) в положення \(B\) (кінець руху). Тобто траєкторія руху в цьому випадку не важлива, важливі лише початок та кінець!

\(\blacktriangleright\) Два вектори колінеарні, якщо вони лежать на одній прямій або на двох паралельних прямих.
В іншому випадку вектори називаються неколінеарними.

\(\blacktriangleright\) Два колінеарні вектори називаються сонаправленными, якщо їх напрями збігаються.
Якщо їх напрями протилежні, всі вони називаються протилежно спрямованими.

Правила складання колінеарних векторів:

співспрямованих кінцяпершого. Тоді їхня сума – вектор, початок якого збігається з початком першого вектора, а кінець – з кінцем другого (рис. 1).

\(\blacktriangleright\) Для того, щоб скласти два протилежно спрямованихвектор, можна відкласти другий вектор від початкупершого. Тоді їхня сума – вектор, початок якого збігається з початком обох векторів, довжина дорівнює різниці довжин векторів, напрямок збігається з напрямком більшого за довжиною вектора (рис. 2).

Правила складання неколлінеарних векторів \(\overrightarrow (a)\) і \(\overrightarrow(b)\) :

\(\blacktriangleright\) Правило трикутника (рис. 3).

Потрібно від кінця вектора \(\overrightarrow (a)\) відкласти вектор \(\overrightarrow (b)\) . Тоді сума - це вектор, початок якого збігається з початком вектора \ (\ overrightarrow (a) \), а кінець - з кінцем вектора \ (\ overrightarrow (b) \).

\(\blacktriangleright\) Правило паралелограма (рис. 4).

Потрібно з початку вектора \(\overrightarrow (a)\) відкласти вектор \(\overrightarrow (b)\) . Тоді сума \(\overrightarrow (a)+\overrightarrow (b)\)- Вектор, що збігається з діагоналлю паралелограма, побудованого на векторах \(\overrightarrow (a)\) і \(\overrightarrow (b)\) (початок якого збігається з початком обох векторів).

\(\blacktriangleright\) Для того, щоб знайти різницю двох векторів \(\overrightarrow(a)-\overrightarrow(b)\)потрібно знайти суму векторів \(\overrightarrow (a)\) і \(-\overrightarrow(b)\) : \(\overrightarrow(a)-\overrightarrow(b)=\overrightarrow(a)+(-\overrightarrow(b))\)(Рис. 5).

Завдання 1 #2638

Рівень завдання: Складніше ЄДІ

Дан прямокутний трикутник\(ABC\) з прямим кутом \(A\) , точка \(O\) - центр описаної у даного трикутника кола. Координати вектора \(\overrightarrow(AB)=\(1;1\)\), \(\overrightarrow(AC)=\(-1;1\)\). Знайдіть суму координат вектора \(\overrightarrow(OC)\) .

Т.к. трикутник (ABC) - прямокутний, то центр описаного кола лежить на середині гіпотенузи, тобто. \(O\) - середина \(BC\).

Зауважимо, що \(\overrightarrow(BC)=\overrightarrow(AC)-\overrightarrow(AB)\), отже, \(\overrightarrow(BC)=\(-1-1;1-1\)=\(-2;0\)\).

Т.к. \(\overrightarrow(OC)=\dfrac12 \overrightarrow(BC)\), то \(\overrightarrow(OC)=\(-1;0\)\).

Отже, сума координат вектора \(\overrightarrow(OC)\) дорівнює \(-1+0=-1\) .

Відповідь: -1

Завдання 2 #674

Рівень завдання: Складніше ЄДІ

\(ABCD\) - чотирикутник, на сторонах якого відкладені вектори \(\overrightarrow(AB)\) , \(\overrightarrow(BC)\) , \(\overrightarrow(CD)\) , \(\overrightarrow(DA) \). Знайдіть довжину вектора \(\overrightarrow(AB) + \overrightarrow(BC) + \overrightarrow(CD) + \overrightarrow(DA)\).

\(\overrightarrow(AB) + \overrightarrow(BC) = \overrightarrow(AC)\), \(\overrightarrow(AC) + \overrightarrow(CD) = \overrightarrow(AD)\)тоді
\(\overrightarrow(AB) + \overrightarrow(BC) + \overrightarrow(CD) + \overrightarrow(DA) = \overrightarrow(AC) + \overrightarrow(CD) + \overrightarrow(DA)= \overrightarrow(AD) + \overrightarrow(DA) = \overrightarrow(AD) - \overrightarrow(AD) = \vec(0)\).
Нульовий вектор має довжину, що дорівнює \(0\) .

Вектор можна сприймати як рух, тоді \(\overrightarrow(AB) + \overrightarrow(BC)\)– переміщення з \(A\) в \(B\) , а потім з \(B\) в \(C\) – у результаті це переміщення з \(A\) до \(C\) .

При такому трактуванні стає очевидним, що \(\overrightarrow(AB) + \overrightarrow(BC) + \overrightarrow(CD) + \overrightarrow(DA) = \vec(0)\), адже у результаті тут з точки \(A\) перемістилися в точку \(A\) , тобто довжина такого переміщення дорівнює \(0\) , отже, і сам вектор такого переміщення є \(\vec(0)\) .

Відповідь: 0

Завдання 3 #1805

Рівень завдання: Складніше ЄДІ

Даний паралелограм (ABCD). Діагоналі \(AC\) і \(BD\) перетинаються в точці \(O\). Нехай , , тоді \(\overrightarrow(OA) = x\cdot\vec(a) + y\cdot\vec(b)\)

\[\overrightarrow(OA) = \frac(1)(2)\overrightarrow(CA) = \frac(1)(2)(\overrightarrow(CB) + \overrightarrow(BA)) = \frac(1)( 2)(\overrightarrow(DA) + \overrightarrow(BA)) = \frac(1)(2)(-\vec(b) - \vec(a)) = - \frac(1)(2)\vec (a) - \frac(1)(2)\vec(b)\]\(\Rightarrow\) \(x = - \frac(1)(2)\) , \(y = - \frac(1)(2)\) \(\Rightarrow\) \(x + y = - 1\).

Відповідь: -1

Завдання 4 #1806

Рівень завдання: Складніше ЄДІ

Даний паралелограм (ABCD). Точки \(K\) і \(L\) лежать на сторонах \(BC\) і \(CD\) відповідно, причому \(BK:KC = 3:1\) , а \(L\) - середина \ (CD \). Нехай \(\overrightarrow(AB) = \vec(a)\), \(\overrightarrow(AD) = \vec(b)\)тоді \(\overrightarrow(KL) = x\cdot\vec(a) + y\cdot\vec(b)\)де \(x\) і \(y\) - деякі числа. Знайдіть число, що дорівнює \(x + y\) .

\[\overrightarrow(KL) = \overrightarrow(KC) + \overrightarrow(CL) = \frac(1)(4)\overrightarrow(BC) + \frac(1)(2)\overrightarrow(CD) = \frac (1)(4)\overrightarrow(AD) + \frac(1)(2)\overrightarrow(BA) = \frac(1)(4)\vec(b) - \frac(1)(2)\vec (a)\]\(\Rightarrow\) \(x = -\frac(1)(2)\) , \(y = \frac(1)(4)\) \(\Rightarrow\) \(x + y = -0 ,25 \).

Відповідь: -0,25

Завдання 5 #1807

Рівень завдання: Складніше ЄДІ

Даний паралелограм (ABCD). Точки \(M\) і \(N\) лежать на сторонах \(AD\) і \(BC\) відповідно, причому \(AM:MD = 2:3\) , а \(BN:NC = 3: 1\). Нехай \(\overrightarrow(AB) = \vec(a)\), \(\overrightarrow(AD) = \vec(b)\)тоді \(\overrightarrow(MN) = x\cdot\vec(a) + y\cdot\vec(b)\)

\[\overrightarrow(MN) = \overrightarrow(MA) + \overrightarrow(AB) + \overrightarrow(BN) = \frac(2)(5)\overrightarrow(DA) + \overrightarrow(AB) + \frac(3) )(4)\overrightarrow(BC) = - \frac(2)(5)\overrightarrow(AD) + \overrightarrow(AB) + \frac(3)(4)\overrightarrow(BC) = -\frac(2) )(5)\vec(b) + \vec(a) + \frac(3)(4)\vec(b) = \vec(a) + \frac(7)(20)\vec(b)\ ]\(\Rightarrow\) \(x = 1\) , \(y = \frac(7)(20)\) \(\Rightarrow\) \(x\cdot y = 0,35\) .

Відповідь: 0,35

Завдання 6 #1808

Рівень завдання: Складніше ЄДІ

Даний паралелограм (ABCD). Точки \(P\) лежить на діагоналі \(BD\) , точка \(Q\) лежить на стороні \(CD\) , причому \(BP:PD = 4:1\) , а \(CQ:QD = 1:9 \). Нехай \(\overrightarrow(AB) = \vec(a)\), \(\overrightarrow(AD) = \vec(b)\)тоді \(\overrightarrow(PQ) = x\cdot\vec(a) + y\cdot\vec(b)\)де \(x\) і \(y\) - деякі числа. Знайдіть число, що дорівнює \(x\cdot y\) .

\[\begin(gathered) \overrightarrow(PQ) = \overrightarrow(PD) + \overrightarrow(DQ) = \frac(1)(5)\overrightarrow(BD) + \frac(9)(10)\overrightarrow( DC) = \frac(1)(5)(\overrightarrow(BC) + \overrightarrow(CD)) + \frac(9)(10)\overrightarrow(AB) =\\ = \frac(1)(5) (\overrightarrow(AD) + \overrightarrow(BA)) + \frac(9)(10)\overrightarrow(AB) = \frac(1)(5)(\overrightarrow(AD) - \overrightarrow(AB)) + \frac(9)(10)\overrightarrow(AB) = \frac(1)(5)\overrightarrow(AD) + \frac(7)(10)\overrightarrow(AB) = \frac(1)(5) \vec(b) + \frac(7)(10)\vec(a)\end(gathered)\]

\(\Rightarrow\) \(x = \frac(7)(10)\) , \(y = \frac(1)(5)\) \(\Rightarrow\) \(x\cdot y = 0, 14 \). і (ABCO) - паралелограм; \(AF \parallel BE\) і \(ABOF\) - паралелограм \(\Rightarrow\) \[\overrightarrow(BC) = \overrightarrow(AO) = \overrightarrow(AB) + \overrightarrow(BO) = \overrightarrow(AB) + \overrightarrow(AF) = \vec(a) + \vec(b)\ ]\(\Rightarrow\) \(x = 1\) , \(y = 1\) \(\Rightarrow\) \(x + y = 2\) .

Відповідь: 2

Старшокласники, які готуються до здачі ЄДІз математики і при цьому розраховують на отримання гідних балів, обов'язково повинні повторити тему «Правила складання та віднімання кількох векторів». Як видно з багаторічної практики, подібні завдання щороку включаються до атестаційного випробування. Якщо у випускника викликають труднощі завдання з розділу «Геометрія на площині», наприклад, у яких потрібно застосувати правила додавання та віднімання векторів, йому обов'язково варто повторити або знову розібратися в матеріалі, щоб успішно здати ЄДІ.

Освітній проект «Шкілкове» пропонує новий підхіду підготовці до атестаційного випробування. Наш ресурс побудований таким чином, щоб учні змогли виявити найскладніші для себе розділи та заповнити прогалини у знаннях. Фахівці «Школково» підготували та систематизували весь необхідний матеріал для підготовки до складання атестаційного випробування.

Для того щоб завдання ЄДІ, в яких необхідно застосувати правила додавання та віднімання двох векторів, не викликали труднощів, ми рекомендуємо перш за все освіжити в пам'яті базові поняття. Знайти цей матеріал учні зможуть розділ «Теоретична довідка».

Якщо ви вже згадали правило віднімання векторів та основні визначення по цій темі, пропонуємо закріпити отримані знання, виконавши відповідні вправи, які підібрали фахівці освітнього порталу"Школкове". Для кожного завдання на сайті представлений алгоритм вирішення та дано правильну відповідь. У темі «Правила складання векторів» подано різні вправи; Виконавши два-три порівняно легких завдання, учні можуть послідовно переходити до складніших.

Відточувати власні навички за такими, наприклад, завданнями, як школярі мають можливість у режимі онлайн, перебуваючи у Москві чи будь-якому іншому місті Росії. За потреби завдання можна зберегти у розділі "Вибране". Завдяки цьому ви зможете швидко знайти цікаві приклади та обговорити алгоритми знаходження правильної відповіді з викладачем.