Савельєв І.В. Курс загальної фізики, тому I. Рівняння плоскої хвилі. Фазова швидкість Рівняння плоскої хвилі формула

При описі хвильового процесу потрібно знайти амплітуди та фази коливального руху в різних точках середовища та зміну цих величин з часом. Це завдання може бути вирішена в тому випадку, якщо відомо, за яким законом коливається і як взаємодіє із середовищем тіло, що спричинило хвильовий процес. Однак у багатьох випадках не суттєво, яким тілом збуджена дана хвиля, а вирішується просте завдання. Заданостан коливального руху в деяких точках середовища в певний момент часу та потрібно визначитистан коливального руху на інших точках середовища.

Для прикладу розглянемо розв'язання такої задачі в простому, але водночас важливому випадку поширення в середовищі плоскої чи сферичної гармонійної хвилі. Позначимо величину, що коливається через u. Цією величиною можуть бути: зміщення частинок середовища щодо їх положення рівноваги, відхилення тиску в даному місцісередовища від рівноважного значення тощо. Тоді завдання полягатиме у відшуканні так званого рівняння хвилі - Вирази, яке задає величину, що коливається uяк функцію координат точок середовища x, y, zта часу t:

u = u(x, y, z, t). (2.1)

Нехай для простоти u – це зміщення точок у пружному середовищі, коли у ній поширюється пласка хвиля, а коливання точок мають гармонійний характер. Крім того, направимо осі координат так, щоб вісь 0хзбіглася з напрямом поширення хвилі. Тоді хвильові поверхні (родина площин) будуть перпендикулярними до осі. 0х(рис. 7), і оскільки всі точки хвильової поверхні коливаються однаково, зсув uбуде залежати тільки від хі t: u = u(x, t). Для гармонійних коливань точок, що лежать у площині х= 0 (рис. 9), справедливе рівняння:

u(0, t) = A cos ( ωt + α ) (2.2)

Знайдемо вид коливань точок площини, що відповідає довільному значенню х. Для того, щоб пройти шлях від площини х= 0 до цієї площини, хвилі потрібен час τ = х/с (з- Швидкість поширення хвилі). Отже, коливання частинок, що лежать у площині х, матимуть вигляд:

Отже, рівняння плоскої хвилі (і поздовжньої, і поперечної), що розповсюджується в напрямку осі 0х, виглядає так:

(2.3)

Величина Ає амплітуду хвилі. Початкова фаза хвилі α визначається вибором почав відліку хі t.

Зафіксуємо якесь значення фази, що стоїть у квадратних дужках рівняння (2.3), поклавши

(2.4)

Продиференціюємо цю рівність за часом з урахуванням того, що циклічна частота ω та початкова фаза α є постійними:

Таким чином, швидкість поширення хвилі зу рівнянні (2.3) є швидкість переміщення фази, у зв'язку з чим її називають фазовою швидкістю . Відповідно до (2.5) dx/dt> 0. Отже, рівняння (2.3) описує хвилю, яка поширюється у бік зростання х, так звану прогресуючу хвилю, що біжить . Хвиля, що поширюється у протилежному напрямку, описується рівнянням

і називається регресивною хвилею, що біжить . Дійсно, прирівнявши константі фазу хвилі (2.6) і продиференціювавши рівність, прийдемо до співвідношення:

з якого випливає, що хвиля (2.6) поширюється у бік спадання х.

Введемо величину

яка називається хвильовим числом і дорівнює кількості довжин хвиль, що укладаються на інтервалі 2π метрів. За допомогою формул λ = с/νі ω = 2π ν хвильове число можна подати у вигляді

(2.8)

Розкривши дужки у формулах (2.3) і (2.6) і взявши до уваги (2.8), прийдемо до наступного рівняння плоских хвиль, що розповсюджуються вздовж (знак «-») та проти (знак «+») осі 0 х:

При виведенні формул (2.3) і (2.6) передбачалося, що амплітуда коливань залежить від х. Для плоскої хвилі це спостерігається у тому випадку, коли енергія хвилі не поглинається середовищем. Досвід показує, що в поглинаючому середовищі інтенсивність хвилі в міру віддалення від джерела коливань поступово зменшується – спостерігається згасання хвилі за експоненційним законом:

.

Відповідно, рівняння плоскої загасаючої хвилі має вигляд:

де A 0 – амплітуда у точках площині х= 0, а γ - Коефіцієнт загасання.

Тепер знайдемо рівняння сферичної хвилі . Будь-яке реальне джерело хвиль має деяку протяжність. Однак якщо обмежитися розглядом хвилі на відстанях від джерела, багато його розмірів, то джерело можна вважати точковим . В ізотропному та однорідному середовищі хвиля, що породжується точковим джерелом, буде сферичною. Припустимо, що фаза коливань джерела ωt+α. Тоді крапки, що лежать на хвильовій поверхні радіусу r, коливатимуться з фазою

Амплітуда коливань у разі, навіть якщо енергія хвилі не поглинається середовищем, постійної залишиться – вона зменшується залежно від відстані від джерела за законом 1/ r. Отже, рівняння сферичної хвилі має вигляд:

(2.11)

де А- Постійна величина, чисельно рівна амплітуді коливань на відстані від джерела, рівному одиниці.

Для поглинаючого середовища (2.11) потрібно додати множник e - γr. Нагадаємо, що в силу зроблених припущень рівняння (2.11) справедливе лише для r, що значно перевищують розміри джерела коливань. При прагненні rдо нуля амплітуда перетворюється на нескінченність. Цей абсурдний результат пояснюється незастосовністю рівняння (2.11) для малих r.

Механічні хвилі– процес поширення механічних коливаньСлід запам'ятати, що механічні хвилі переносять енергію, форму, але не переносять масу. Найважливішою характеристикоюхвилі є швидкість її поширення. Хвилі будь-якої природи не поширюються у просторі миттєво, їхня швидкість кінцева.

За геометрією розрізняють: сферичні (просторові), одномірні (плоські), спіральні хвилі

Хвиля називається плоскою, Якщо її хвильові поверхні являють собою паралельні один одному площині, перпендикулярні фазової швидкості хвилі (рис.1.3). Отже, промені плоскої хвилі - суть паралельні прямі.

Рівняння плоскої хвилі:

Параметри :

Період коливаньТ – проміжок часу, через який стан системи набувають однакових значень: u(t + T) = u(t).

Частота коливань n – число коливань 1 секунду, величина, зворотна періоду: n = 1/Т. Вимірюється у герцах (Гц), має розмірність с-1. Маятник, що робить одне гойдання в секунду, коливається з частотою 1 Гц

Фаза коливань j- Величина, що показує, яка частина коливання пройшла з початку процесу. Вимірюється у кутових величинах – градусах чи радіанах.

Амплітуда коливань А– максимальне значення, яке набуває коливальна система, «розмах» коливання.

4. Ефект Доплера- Зміна частоти і довжини хвиль, що сприймаються спостерігачем (приймачем хвиль), внаслідок відносного рухуджерела хвиль та спостерігача. Уявимощо спостерігач наближається з певною швидкістю до нерухомого джерела хвиль. При цьому він зустрічає за той самий інтервал часу більше хвиль, ніж за відсутності руху. Це означає, що частота, що сприймається, більша за частоту хвилі, що випускається джерелом. Так довжина хвилі, частота і швидкість поширення хвилі пов'язані між собою співвідношенням V = / - довжина хвилі.

Дифракція- явище огинання перешкод, які порівняні за своїми розмірами з довжиною хвилі.

Інтерференція-явище, при до-ром у результаті накладання когерентних хвиль виникає або посилення чи ослаблення коливань.

Досвід ЮнгаПершим інтерференційним досвідом, який отримав пояснення з урахуванням хвильової теорії світла, став досвід Юнга (1802 р.). У досвіді Юнга світло від джерела, в якості якого служила вузька щілина S, падало на екран з двома близько розташованими щілинами S1 і S2. Проходячи через кожну щілину, світловий пучок поширювався внаслідок дифракції, тому на білому екрані Е світлові пучки, що пройшли через щілини S1 і S2, перекривалися. В області перекриття світлових пучків спостерігалася інтерференційна картинау вигляді світлих і темних смуг, що чергуються.

2.Звук -механіч.продольн.волна,к-ая распростр-ся в пружних середовищах, має частоту від 16Гц до 20кГц. Розрізняють види звуків:

1. простий тон - чисто гармонійно. коливання, випромінюване камертоном (металл.

2.складний тон-не синусоїдально, але періодичне коливання (випромінюється різними музик.інструментами).

За теоремою Фур'є таке складне коливання можна уявити набором гармонійних складових із різними частотами. Найм.частота називається основним тоном,а кратні частоти - обертонами. Набір частот із зазначенням їх відносної інтенсивності (щільності потоку енергії хвилі) називається акустичним спектром. Спктр складного тону лінійний.

3.шум-звук, який виходить від складання безлічі неузгоджених джерел. Спектр - безперервний (суцільний):

4.звуковий удар-короткочасний звуковий вплив. Н-р: бавовна, вибух.

Хвильовий опір-відношення звукового тиску в плоскій хвилі до швидкості коливання частинок середовища. Характеризує ступінь жорсткості середовища (тобто. здатність середовища чинити опір утворенню деформацій) у хвилі, що біжить. Виражається формулою:

P/V=p/c, P-звуковий тиск, р-щільність, з-швидкість звуку, V-об'єм.

3 - характеристики, які залежать від властивостей приймача:

Інтенсивність (сила звуку) - енергія, що проноситься звуковою хвилею за одиницю часу через одиницю площі, встановленої перпендикулярно хвилі звуку.

Частота основного тону.

Спектр звуку – кількість обертонів.

При частотах нижче 17 і від 20000 Гц коливання тиску не сприймаються людським вухом. Поздовжні механічні хвилі із частотою менше 17 Гц отримали назву інфразвуку. Поздовжні механічні хвилі із частотою, що перевищує 20000 Гц, називають ультразвуком.

5. УЗ- механічно. хвиля із частотою понад 20кГц. УЗ є чергування згущень і розрядження середовища. У кожному середовищі швидкість розповсюдження-я УЗ однакова . Особливість- Вузькість пучка, що дозволяє впливати на об'єкти локально. У неоднорідних середовищах з дрібними включеннями частинок має місце явища дифракції (огинання перешкод). Проникнення УЗ до іншого середовища характеризується коефіцієнтом проникнення() =L /L де довжини УЗ після і до проникнення у середу.

Дія УЗ на тканини організму механічна, теплова, хімічна. Застосування у медициніділиться на 2 напрями: метод дослідження та діагностики, та метод дії. 1) ехоенцефалографія- опред.пухлин та набряку мозку ; кардіографія- Вимірювання серця в динаміці. 2) УЗ фізіотерапія-механічний та тепловий вплив на тканину; при операціях як "УЗ-скальпель"

6. Ідеальна рідина –уявна стислива рідина, позбавлена ​​в'язкості та теплопровідності. В ідеальній рідині немає внутрішнього тертя, вона безперервна і не має структури.

Рівняння нерозривності -V 1 A 1 = V 2 A 2 Об'ємна витрата у будь-якій трубці струму, обмеженій сусідніми лініями струму, повинна бути в будь-який момент часу однаковий у всіх її поперечних перерізах

Рівняння Бернуллі - р v 2 / 2 + рст + рgh= const, у разі течії, повний напір однаковий у всіх поперечних перерізах трубки струму. р v 2 / 2 + рст= const - для гориз. ділянок.

7Стаціонарний потік- Потік, швидкість якого в будь-якому місці рідини ніколи не змінюється.

Ламінарна течія- упорядкований перебіг рідини або газу, при якому рідина (газ) переміщується як шарами, паралельними напрямку течії.

Турбулентна течія- форма течії рідини або газу, при якій їх елементи здійснюють неупорядковані, невстановлені рухи по складних траєкторіях, що призводить до інтенсивного перемішування між шарами рідини, що рухаються або газу.

Лінії- Лінії, дотичні до яких збігаються у всіх т. З напрямом швидкості в цих точках. При стаціонарному перебігу лінії струму змінюються з часом.

В'язкість -внутрішнє тертя, властивість текучих тіл (рідин та газів) чинити опір переміщенню однієї їх частини щодо іншої

Рівняння Ньютона: F = (dv/dx)Sη.

Коефіцієнт в'язкості- Коефіцієнт пропорційності, що залежить від сорту рідини чи газу. Число, що служить для кількісної характеристики якості в'язкості. Коефіцієнт внутрішнього тертя.

Неньютонівською рідиноюназивають рідина, протягом якої її в'язкість залежить від градієнта швидкості, протягом яких підпорядковується рівнянню Ньютона. (Полімери, крохмаль, рідке мило кров)

Ньютонівська -Якщо в рідині, що рухається, її в'язкість залежить тільки від її природи і температури і не залежить від градієнта швидкості. (Вода та дизельне паливо)

.Рейнольдса число- характеризує співвідношення між інерційними силами і силами в'язкості: Re = rdv/m, де r - щільність, m - динамічний коефіцієнт в'язкості рідини або газу, v - швидкість потоку.< Rekр возможно лишь ламинарное течение жидкости, а при Re >Rekр протягом може стати турбулентним.

Кінематичний коефіцієнт в'язкості- Відношення динамічної в'язкості рідини або газу до їх густини.

9. Метод Стокса, В основі метод аСтокса лежить формула для сили опору, що виникає під час руху кульки у в'язкій рідині, отримана Стоксом: Fc = 6 π η V r. Щоб опосередковано виміряти коефіцієнт в'язкості η слід розглянути рівномірний рух кульки у в'язкій рідині та застосувати умову рівномірного руху: векторна сума всіх сил, що діє на кульку дорівнює нулю.

Mg + F A + F з =0 (все у векторній формі!)

Тепер слід виразити силу тяжкості (mg) та силу Архімеда (Fа) через відомі величини. Прирівнюючи величини mg = Fа+Fс отримуємо вираз для в'язкості:

η = (2/9) * g * (ρ т - ρ ж) * r 2 / v = (2/9) * g * (ρ т - ρ ж) * r 2 * t / L. Безпосередньо вимірюються мікрометром радіус кулі r (по діаметру), L - шлях кульки в рідині, t-час проходження шляху L. Для вимірювання в'язкості за методом Стокса шлях L береться не від поверхні рідини, а між відмітками 1 і 2. Це викликано наступною обставиною. При виведенні робочої формули коефіцієнта в'язкості за методом Стокса використовувалася умова рівномірного руху. На початку руху (початкова швидкість кульки дорівнює нулю) сила опору також дорівнює нулю і кулька має деяке прискорення. У міру набору швидкості сила опору збільшується, рівнодіюча трьох сил зменшується! Тільки після деякої позначки рух можна вважати рівномірним (і те - приблизно).

11.Формула Пуазейля: При ламінарному русі в'язкої несжимаемой рідини крізь циліндричну трубу круглого перерізу секундний об'ємний витрата прямо пропорційний перепаду тиску на одиницю довжини труби і четвертого ступеня радіусу і назад пропорційний коефіцієнту в'язкості рідини.

Функція (78.1) має бути періодичною як щодо часу t, так і щодо координат x, у та z. Періодичність по t випливає з того, що описує коливання точки з координатами x, у, z. Періодичність за координатами випливає речей, що точки, віддалені друг від друга з відривом , коливаються однаковим чином.

Знайдемо вигляд функції у разі плоскої хвилі, припускаючи, що коливання мають гармонійний характер. Для спрощення направимо осі координат так, щоб вісь x збіглася з напрямом поширення хвилі. Тоді хвильові поверхні будуть перпендикулярні до осі x і, оскільки всі точки хвильової поверхні коливаються однаково, зсув залежатиме тільки від х і t:

Нехай коливання точок, що лежать у площині х=0 (рис. 195), мають вигляд

Знайдемо вид коливання частинок у площині, що відповідає довільному значенню х. Для того, щоб пройти шлях від площини х=0 до цієї площини, хвилі потрібен час

Де – швидкість поширення хвилі. Отже, коливання частинок, що у площині x, відставатимуть за часом від коливань частинок у площині х=0, тобто. матимуть вигляд

Отже, рівняння плоскої хвилі запишеться так;

Вираз (78.3) дає зв'язок між часом (t) і тим місцем (х), в якому зафіксоване значення фази здійснюється в даний момент. Визначивши значення dx /dt , що випливає з нього, ми знайдемо швидкість, з якої переміщається дане значення фази. Продиференціювавши вираз (78.3), отримаємо:

Дійсно, прирівнявши константі фазу хвилі (78.5) і продиференціювавши, отримаємо:

звідки й випливає, що хвиля (78.5) поширюється у бік спадання х.

Рівняння плоскої хвилі можна надати симетричний щодо t і х вигляд. Для цього введемо так зване хвильове число k;

Замінивши в рівнянні (78.2) його значенням (78.7) і внісши в дужки, отримаємо рівняння плоскої хвилі у вигляді

(78 .8)

Рівняння хвилі, що поширюється у бік спадання х, відрізнятиметься від (78.8) лише знаком при члені kx .

Тепер знайдемо рівняння сферичної хвилі. Будь-яке реальне джерело хвиль має деяку протяжність. Однак якщо обмежитися розглядом хвилі на відстанях від джерела, що значно перевищує його розміри, то джерело можна вважати точковим.

У випадку, коли швидкість поширення хвилі в усіх напрямках одна і та ж, хвиля, що породжується точковим джерелом, буде сферичною. Припустимо, що фаза коливання джерела дорівнює . Тоді точки, що лежать на хвильовій поверхні радіуса r, коливатимуться з фазою (щоб пройти шлях r, хвилі потрібен час). Амплітуда коливань у разі, навіть якщо енергія хвилі не поглинається середовищем, залишається постійної - вона зменшується з відстанню від джерела згідно із законом 1/r (див. §82). Отже, рівняння сферичної хвилі має вигляд

(78 .9)

де а - постійна величина, чисельно рівна амплітуді на відстані від джерела, що дорівнює одиниці. Розмірність дорівнює розмірності амплітуди, помноженої на розмірність довжини (розмірність r ).

Нагадаємо, що в силу зроблених спочатку припущень рівняння (78.9) справедливе лише за значно перевищують розміри джерела. При прагненні r до нуля вираз для амплітуди перетворюється на нескінченність. Цей абсурдний результат пояснюється незастосовністю рівняння для малих r.

Йдеться про координати рівноважного положення точки.

Встановимо зв'язок між усуненням коливається частинки середовища (точки) від положення рівноваги і часом, відрахованим від моменту початку коливання джерела, що знаходиться на відстані хвід «нашої» частки на початку координат.

Нехай коливання джерела Sгармонійні, тобто. описуються рівнянням ξ (t)= A sin ωt. З часом усі частинки середовища також здійснюватимуть синусоїдальні коливання з тією ж частотою та амплітудою, але з різними фазами. У середовищі виникне гармонійна хвиля, що біжить.

Частка середовища, що знаходиться на осі ОХна відстані хвід джерела S(рис. 1.2), почне вагатися пізніше, ніж джерело, на час, необхідний, щоб хвиля, що поширюється від джерела зі швидкістю V, здолала відстань хдо частки. Очевидно, якщо джерело коливається вже протягом часу t, то частка середовища коливається ще протягом часу ( t – t) , де t – час поширення коливань від джерела до частки.

Тоді рівняння коливання для цієї частки буде

ξ (x,t)=A sinω( t-τ),

але t =x/V, де V– модуль швидкості розповсюдження хвилі. Тоді

ξ (x,t)=A sinω( t-x/V)

- Рівняння хвилі.

З урахуванням того, що і , рівняння можна надати вигляду

ξ (x,t)=A sin2 ( t/T-x/λ) = A sin2 (ν t -x/λ) = A sin (ω t -2πx/λ) = A sin (ω t -kx),(1.1)

де k = 2p/ l- хвильове число. Тут (1.1) - рівняння плоскої гармонійної монохроматичної хвилі (рис. 1.3), що поширюється в напрямку осі ОХ. Графік хвилі зовні схожий графік гармонійного коливання, але сутнісно вони різні.

Графік коливання – залежність усунення цієї частки від часу. Графік хвилі – зміщення всіх частинок середовища на даний момент часу на всій відстані від джерела коливань до хвильового фронту. Графік хвилі є як би миттєвою фотографією хвилі.

Рівняння хвилі, що біжить, що поширюється в довільному напрямку, має вигляд:

ξ (x,y,z,t) = A sin = A sin( ωt – k x x – k y y – k z z), (1.2)

де ξ – миттєве зміщення елемента середовища (точки), що коливається, з координатами x, y, z; А– амплітуда усунення; ω - Кругова частота коливань;

- хвильовий вектор, рівний ( - одиничний вектор, що вказує напрямок поширення хвилі); ; - орти;

λ – довжина хвилі (рис. 1.3), тобто. відстань, на яку поширюється хвиля за час, що дорівнює періоду коливань частинок середовища; – радіус-вектор, проведений у розглянуту точку, ;

– фаза хвилі, де .

Тут – кути, складені хвильовим вектором із відповідними осями координат.

Якщо хвиля поширюється у середовищі, не погладжує енергію, то амплітуда хвилі змінюється, тобто. А= const .

Швидкість поширення хвильового руху є швидкістю поширення фази хвилі (фазова швидкість). У однорідному середовищі швидкість хвилі стала. Якщо фазова швидкість хвилі у середовищі залежить від частоти, то таке явище називається дисперсією хвиль, а середовище – дисперсуючим середовищем.

При переході з одного середовища до іншого може змінюватися швидкість поширення хвиль, оскільки змінюються пружні властивості середовища, проте частота коливань, як показує досвід, залишається незмінною. Це означає що при переході з одного середовища до іншого змінюватиметься довжина хвилі l.

Якщо ми порушили коливання у будь-якій точці середовища, то коливання передадуться всім оточуючим її точкам, тобто. коливатиметься сукупність частинок, ув'язнених у певному обсязі. Поширюючись від джерела коливань хвильовий процес охоплює дедалі нові частини простору. Геометричне місце точок, до яких доходять коливання до певного моменту часу t називається фронтом хвилі.

Таким чином, фронт хвилі є тією поверхнею, яка відокремлює частину простору, що вже залучена до хвильового процесу, від області, в якій коливання ще не виникли. Геометричне місце точок, що коливаються в однаковій фазі, називається хвильовою поверхнею. Хвильові поверхні можуть бути різної форми. Найпростіші мають форму сфери чи площини. Хвилі, що мають такі поверхні, називаються відповідно сферичними або плоскими.

Часто при розв'язанні задач про поширення хвиль треба будувати хвильовий фронт для деякого моменту часу хвильовим фронтом, заданим для початкового моменту часу. Це можна зробити, використовуючи принцип Гюйгенса , Суть якого в наступному.

Нехай хвильовий фронт, що переміщається в однорідному середовищі, займає в даний час положення 1 (рис. 1.4). Потрібно знайти його положення через проміжок часу D t.

Відповідно до принципу Гюйгенса, кожна точка середовища, до якої дійшла хвиля, сама стає джерелом вторинних хвиль (Перше положення принципу Гюйгенса).

Це означає, що з неї, як із центру, починає поширюватися сферична хвиля. Щоб побудувати вторинні хвилі навколо кожної точки вихідного фронту опишемо сфери радіусом D x = V D t, де V -швидкість хвилі . На рис. 1.4 показані такі галузі. Тут кружечки – перерізи сферичних поверхонь площиною креслення.

Вторинні хвилі взаємно гасяться у всіх напрямках, крім напрямків вихідного фронту(друге положення принципу Гюйгенса), тобто, коливання зберігаються тільки на зовнішній вторинних хвиль, що обгинає. Побудувавши цю огинаючу, отримаємо вихідне положення 2 хвильового фронту (штрихова лінія). Положення 1 та 2 хвильового фронту

− у нашому випадку площини.

Принцип Гюйгенса застосовний і до неоднорідного середовища. У цьому випадку значення V,а, отже, і D хнеоднакові у різних напрямах.

Оскільки проходження хвилі супроводжується коливанням частинок середовища, разом із хвилею переміщається у просторі й енергія коливань.

Ті, що біжать хвилями називаються хвилі, які переносять у просторі енергію та імпульс. Перенесення енергії хвилями характеризується Вектор щільності потоку енергії. Напрямок цього вектора збігається з напрямом перенесення енергії, яке модуль називається інтенсивністю хвилі (або щільністю потоку енергії) і є відношенням енергії W, що переноситься хвилею крізь площу S┴ , перпендикулярну променю, до тривалості часу перенесення ∆tта розміру площі:

I = W/(∆t∙S ┴),

звідки чисельно I=W, якщо ∆t=1 і S┴ =1. Одиниця інтенсивності: ват на метр у квадраті (Вт/м 2 ).

Отримаємо вираз інтенсивності хвилі. При концентрації n 0 частинок середовища, кожна з яких має масу m, об'ємна щільність w 0 енергії складається з кінетичної енергії руху частинок середовища та потенційної енергії, що є енергією деформованого обсягу. Об'ємна щільність енергії визначається виразом:

w 0 = n 0 mw 2 A 2 / 2= rw 2 A 2 / 2,

де r = n 0 m. Детальний висновок виразу для об'ємної щільності енергії пружних хвильнаведено в навчальному посібнику. Очевидно, за 1 зкрізь майданчик в 1 м 2 переноситься енергія, що міститься в об'ємі прямокутного паралелепіпеда з основою 1 м 2 і заввишки, чисельно рівної швидкості V(Рис. 1.5) , отже інтенсивність хвилі

I = w 0 V = rVw 2 A 2 / 2. (1.3)

Таким чином, інтенсивність хвилі пропорційна щільності середовища, швидкості, квадрату кругової частоти та квадрату амплітуди хвилі .

Вектор , модуль якого дорівнює інтенсивності хвилі, а напрямок збігається з напрямом поширення хвилі (і перенесення енергії), визначається виразом.

ПЛОСЬКА ХВИЛЬ

ПЛОСЬКА ХВИЛЬ

Хвиля, у якої напрям поширення однаково у всіх точках простору. Найпростіший приклад- Однорідна монохроматич. незатухаюча П. ст:

і(z, t)=Aeiwt±ikz, (1)

де А - амплітуда, j= wt±kz - , w=2p/Т - кругова частота, Т-період коливань, k - . Поверхні постійної фази (фазові фронти) j=const П. ст. є площинами.

За відсутності дисперсії, коли vф і vгр однакові і постійні (vгр = vф = v), існують стаціонарні (тобто переміщаються як ціле) ті, що біжать П. в., які допускають загальне уявлення виду:

u(z, t)=f(z±vt), (2)

де f – довільна функція. У нелінійних середовищах з дисперсією також можливі стаціонарні П. в. типу (2), та його форма не довільна, а залежить як від параметрів системи, і від характеру руху . У поглинаючих (дисипативних) середовищах П. в. зменшують свою амплітуду в міру поширення; при лінійному згасанні це може бути враховано шляхом заміни в (1) k комплексне хвильове число kд ± ikм, де kм - коеф. згасання П. в.

Однорідна П. в., що займає все нескінченне, є ідеалізацією, проте будь-яке хвильове, зосереджене в кінцевій області (напр., Спрямовується лініями передачі або хвилеводами), можна представити як суперпозицію П. в. з тим чи іншим простором. спектром k. При цьому хвиля може, як і раніше, мати плоский фазовий фронт, але неоднорідне амплітуди. Такі П. в. зв. плоских неоднорідних хвиль. Окремі ділянки сферич. та циліндрич. хвиль, малі в порівнянні з радіусом кривизни фазового фронту, приблизно поводяться як П. ст.

Фізичний енциклопедичний словник. - М: Радянська енциклопедія. . 1983 .

ПЛОСЬКА ХВИЛЬ

- хвиля,ук-рой напрямок поширення однаково в усіх точках простору.

де А -амплітуда, - фаза, - кругова частота, Т -період коливань, k -хвильове число. = const П. в. є площинами.
За відсутності дисперсії, коли фазова швидкість vф та групова vгр однакові та постійні ( vгр = vф = v) існують стаціонарні (тобто переміщаються як ціле) ті, що біжать. в., які можна уявити в загальному вигляді

де f- Довільна ф-ція. У нелінійних середовищах з дисперсією також можливі стаціонарні П. в. типу (2),але їхня форма вже не довільна, а залежить як від параметрів системи, так і від характеру руху хвилі. У поглинаючих (диссипативних) середовищах П. k комплексне хвильове число kд ikм, де kм – коеф. згасання П. в. Однорідна П. в., що займає все нескінченне, є ідеалізацією, проте будь-яке хвильове поле, зосереджене в кінцевій області (напр., що спрямовується лініями передачіабо хвилеводами),можна як суперпозициюП. в. з тим чи іншим просторовим спектром k.При цьому хвиля може не мати плоский фазовий фронт, в неоднорідне розподіл амплітуди. Такі П. в. зв. плоских неоднорідних хвиль. Від. ділянкисферич. або циліндрич. хвиль, малі порівняно з радіусом кривизни фазового фронту, приблизно поводяться як П. в.

Літ.див. при ст. Хвилі.

М. А. Міллер, Л. А. Островський.

Фізична енциклопедія. У 5-ти томах. - М: Радянська енциклопедія. Головний редакторА. М. Прохоров. 1988 .