Posun funkcie na periodicitu. Ako určiť periodicitu funkcie Perióda goniometrických funkcií

vyhovieť systému nerovností:

b) Pozrime sa na počet čísel na číselnej osi, ktoré spĺňajú systém nerovností:

Nájdite množstvo dovzhin vіdrіzkі vrátane celkovej sumy peňazí.

§ 7. Najjednoduchšie formuly

V § 3 sme nainštalovali pre gostrykh kutivα je nasledujúci vzorec:

			sin2 + cos2 α = 1.
				Qia samotný vzorec			občas
				ak α – budiž			de-
				poďme M - bod na trigonometrii -
				Česká cola, kvalitná
				číslo α (obr. 7.1). Todi		M môže spolupracovať
				ordináta x = cos α, y
				Avšak každý bod (x; y), ktorý leží na
				podiel s jedným polomerom s cenou
				tri na klase súradníc, uspokojujúce
				radí hore x2 + y2		1, hviezdičky
				cos2 α + sin2 α = 1, podľa potreby.

No, vzorec cos2 + sin2 = 1 vyplýva z rovnice stávky. Je možné, že sme poskytli nový dôkaz tohto vzorca pre najostrejších duchov (v súlade s významom v § 3, kde sme použili Pytagorovu vetu). Vidminnost, prote, totálne externé: keď sa ukáže rovnaký podiel x2 + y2 = 1, víťazí samotná Pytagorova veta.

Na pikantné chute sme vyskúšali aj iné receptúry napr

Podľa tohto symbolu je pravá časť vždy nezáporná, zatiaľ čo ľavá môže byť negatívna ako celok. Aby vzorec platil pre všetky α, musíte poznať druhú mocninu. Výsledkom je žiarlivosť: cos2 α = 1/(1 + tan2 α). Dokážme, že tento vzorec platí pre všetky α:1

1/(1 + tan2			sin2 α			cos2 α	Cos2 α.
			cos2 α			sin2 α + cos2 α

Zavdannya 7.1. Nájdite všetky vzorce, ktoré sa vznášajú nižšie, s hodnotou vzorca sin2 α + cos2 α = 1 (už sme ich dokončili):

sin2 α + cos2 α = 1;

tg2 α =

tg2 α

sin2 α =

tg α · ctg α = 1;

cos2 α

1 + tan2 α

ctg2 α

Ctg2

cos2 α =

1 + detská postieľka2 α

hriech2

Tieto vzorce sú povolené, ak poznajú význam jedného z nich goniometrické funkcie k tomuto dátumu možno poznáte všetky prebytky

č. Uveďme napríklad, že sin x = 1/2. Todi cos2 x =

1−sin2 x = 3/4, preto cos x sa rovná buď 3/2 alebo − 3/2. Ak chcete zistiť, ktoré z týchto dvoch čísel súvisí s cos x, potrebujete ďalšie informácie.

Zavdannya 7.2. Ukážte na zadkoch, že útok je najdôležitejší a možný.

Zavdannya 7.3. a) Nech tg x = -1. Nájdite hriech x. Koľko dôkazov má táto rastlina?

b) Dodajme do mysle bodu a) vieme, že hriech x< 0. Сколько теперь ответов у задачи?

1 Pre všetky hodnoty tg α potom cos α 6 = 0.

Zavdannya 7.4. Nech sin x = 3/5, x [π/2; 3π/2]. Nájdite tg x.

Zavdannya 7.5. Nech tg x = 3, cos x > sin x. Nájdite cos x, hriech x.

Zavdannya 7.6. Nech tg x = 3/5. Nájdite hriech x + 2 cos x. cos x − 3 sin x

Zavdannya 7.7. Prineste rovnosť:

tan α − sin α

c) sin α + cos α cot α + sin α tan α + cos α =

Zavdannya 7.8. Odpustite si výrazy:

a) (sin α + cos α)2 + (sin α - cos α)2; b) (tg a + ctg a)2 + (tg a - ctg a)2;

c) sin α(2 + detská postieľka α)(2 detská postieľka α + 1) − 5 cos α.

§ 8. Periódy goniometrických funkcií

Čísla x, x+2π, x−2π sú označené rovnakým bodom na trigonometrickej priamke (ak pôjdete po trigonometrickej priamke, skončíte tam). Hviezdy vykazujú rovnaké podobnosti, aké už boli uvedené v § 5:

sin(x + 2π) = sin(x − 2π) = sin x; cos(x + 2π) = cos(x − 2π) = cos x.

V súvislosti s týmito identitami sa používal termín „obdobie“. Dáma je teraz presnejšie definovaná.

Viznachennya. Číslo T 6 = 0 sa nazýva perióda funkcie f, keďže pre všetky x sa rovná f(x − T) = f(x + T) = f(x) (je dôležité poznamenať, že x + T a x − T zadajte pred regionálnu dôležitú funkciu, ako treba zadať x). Funkcia sa nazýva periodická, pretože má bodku (aspoň jednu).

Periodické funkcie prirodzene vstupujú do hry pri popise procesov zrážania. Jeden z takýchto procesov už bol diskutovaný v § 5. Znovu použite os:

1) Nech ϕ = ϕ(t) - smer kyvadla, ktoré sa vychýli z vertikály v okamihu t. Todi - periodická funkcia od t.

2) Napätie („rozdiel potenciálov“, ako by povedal fyzik) medzi dvoma zásuvkami zásuvky v rámci striedavého obvodu, napr.

Toto možno považovať za funkciu hodiny a ako periodickú funkciu1.

3) Dovoľte nám cítiť hudobný zvuk. Potom stlačte tlak v tomto bode - periodická funkcia počas hodiny.

Keďže funkcia má periódu T, potom periódy tejto funkcie budú čísla −T, 2T, −2T. . . - slovom všetky čísla nT, kde n je celé číslo, ktoré sa nerovná nule. V skutočnosti môžeme napríklad overiť, že f(x + 2T) = f(x):

f(x + 2T) = f((x + T) + T) = f(x + T) = f(x).

Viznachennya. Najmenšia kladná perióda funkcie f sa nazýva – zrejme na doslovnú zmenu slov – kladné číslo T také, že T je perióda f a každé kladné číslo menšie ako T už nie je periódou f.

Periodická funkcia nie je zodpovedná za najmenšiu kladnú periódu (napríklad funkcia, ktorá je stacionárna, môže mať periódu odlišnú od čísla, a preto nemá najmenšiu kladnú periódu). Môžete použiť nestále periodické funkcie, ktoré nevedú k najmenej pozitívnemu obdobiu. Vo väčšine prípadov začína najmenej pozitívne obdobie v periodických funkciách.

1 Ak povieme „medzné napätie je 220 voltov“, hovoríme o „strednej štvorcovej hodnote“, ako hovoríme v § 21. Samotné napätie sa neustále mení.

Malý 8.1. Obdobie tangens a kotangens.

Zokrema, najmenšia kladná perióda sínusu a kosínusu sa rovná 2π. Pozrime sa napríklad na funkciu y = sin x. Zabudnite na to, čo potvrdzujeme, sínus je taká perióda T, že 0< T < 2π. При x = π/2 имеем sin x = = 1. Будем теперь увеличивать x. В точке x + T значение синуса должно быть также равно 1. Но в следующий раз синус будет равен 1 только при x = (π/2) + 2π. Поэтому период синуса быть меньше 2π не может. Доказательство для косинуса аналогично.

Najmenšia kladná perióda funkcie, ktorú opisuje kolivania (ako v príkladoch 1–3), sa jednoducho nazýva perióda qih kolivaniya.

Keďže číslo 2π je perióda sínusu a kosínusu, bude to aj perióda dotyčnice a kotangens. Pre tieto funkcie však 2π nie je najkratšia perióda: najkratšia kladná perióda dotyčnice a kotangens bude π. V skutočnosti sú body, ktoré zodpovedajú číslam x a x + π na trigonometrickom kolíku, diametrálne zarovnané: z bodu x do bodu x + 2π musíte prejsť čiarou π, čo je presne tá istá polovica kolíka. Teraz, akonáhle sú dotyčnice a kotangens priradené príslušným osám dotyčníc a kotangens, stanú sa zrejmé rovnosti tg(x + π) = tg x a ctg(x + π) = ctg x (obr. 8.1). Dá sa ľahko overiť (môžeme to potvrdiť z praxe), že π je skutočne najmenšia kladná perióda dotyčnice a kotangens.

Jedna úcta k terminológii. Slová „funkčné obdobie“ sa často nahrádzajú významom „najmenšie kladné obdobie“. Ako sa teda môžete opýtať: „Aká je perióda 100π funkcie sínus?“, neponáhľajte sa odpovedať, ale objasnite, že je potrebná najmenej kladná perióda alebo jednoducho jedna z periód.

Goniometrické funkcie sú typickým príkladom periodických funkcií: aj keď to nie je príliš zlé, periodickú funkciu možno pochopiť pomocou goniometrických funkcií.

Zavdannya 8.1. Nájdite najmenej kladné obdobia funkcie:

				c) y = cos πx;

d) y = cos x + cos (1,01 x).

Zavdannya 8.2. Úroveň napätia na vymeniteľnom toku inódov je daná vzorcom U = U0 sin ωt (tu t je hodina, U je napätie, U0 a ω sú konštantné veličiny). Frekvencia striedavého prúdu je 50 Hertzov (to znamená, že napätie vytvára 50 napätí za sekundu).

a) Zistite ω, s rešpektom, že t sa objavuje v sekundách;

b) Nájdite (najmenšiu kladnú) periódu U ako funkciu t.

Zavdannya 8.3. a) Uveďte, že najmenšia kladná perióda kosínusu je rovná 2π;

b) Uistite sa, že najmenšia kladná perióda dotyčnice sa rovná π.

Zavdannya 8.4. Nech sa najmenšia kladná perióda funkcie f rovná T. Ukážte, že riešenie jej periód vyzerá ako nT pre ľubovoľné celé čísla n.

Zavdannya 8.5. Uistite sa, že takéto funkcie nie sú periodické.

Argument x sa nazýva periodický, pretože je to číslo T, takže čokoľvek x F(x + T) = F(x). Toto číslo T sa nazýva perióda funkcie.

Období môže byť niekoľko. Napríklad funkcia F = const pre akúkoľvek hodnotu argumentu nadobúda rovnakú hodnotu, takže bodkou môže byť ovplyvnené každé číslo.

Volaním vyberte najmenšiu nenulovú periódu funkcie. Toto sa jednoducho nazýva obdobie.

Klasický príklad periodických funkcií je goniometrický: sínus, kosínus a tangens. Jeho perióda je rovnaká a rovná sa 2π, potom sin(x) = sin(x + 2π) = sin(x + 4π). Je však zrejmé, že goniometrické funkcie nie sú rovnaké periodické funkcie.

Pri jednoduchých základných funkciách je jediným spôsobom, ako určiť ich periodicitu a neperiodicitu, výpočet. Pre funkcie skladania už existuje niekoľko jednoduchých pravidiel.

Keďže F(x) je periodická funkcia s periódou T a je pre ňu definovaná periodická funkcia, potom je táto funkcia periodická s periódou T. huddle, môže sa opakovať a miznúť. Napríklad funkcia sin(x) je podobná funkcii cos(x) a je periodická. Vezmite cos(x) a odčítajte –sin(x). Frekvencia sa udržiava stabilne.

Už nikdy však nebudete chorí. Funkcia f(x) = const je teda periodická, ale funkcia F(x) = const*x + C je neperiodická.

Keďže F(x) je periodická funkcia s periódou T, potom G(x) = a*F(kx + b), kde a, b, a k sú konštanty a k sa nerovná nule - je to tiež periodické a jej perióda sa rovná T/k. Napríklad sin(2x) je periodická funkcia a jej perióda sa rovná π. V princípe sa to dá znázorniť takto: vynásobením x ľubovoľným číslom stlačíte graf funkcie vodorovne čo najviac krát

Keďže F1(x) a F2(x) sú periodické funkcie a ich periódy sa rovnajú T1 a T2, samozrejme, súčet týchto funkcií môže byť tiež periodický. Toto obdobie však nebude jednoduchým súčtom období T1 a T2. Ak je výsledkom pododdiel T1/T2 - racionálne číslo, potom je súčet funkcie periodický a jej perióda sa rovná najmenšiemu násobku periód T1 a T2. Napríklad, ak sa perióda prvej funkcie rovná 12 a perióda druhej je 15, potom sa perióda ich súčtu rovná LCM (12, 15) = 60.

V skutočnosti to možno vidieť takto: funkcie postupujú s rôznymi „šírkami“ a ak je vzťah medzi ich šírkami racionálny, potom sa skôr ako neskôr (alebo skôr cez NOK hrán) opäť vyrovnajú, a ich súčet je väčší nové obdobie.

Keďže však vzťahy medzi obdobiami sú iracionálne, celková funkcia nebude periodická. Napríklad, nech F1(x) = x mod 2 (ďalšie delenie x 2) a F2(x) = sin(x). T1 je tu drahší ako 2 a T2 je dôležitejší ako 2π. Vzťah medzi periódami je relatívny k π - iracionálnemu číslu. Otje, funkcia hriechu(x) + x mod 2 nie je periodický.

>> Periodicita funkcií y = sin x, y = cos x

§ 11. Periodicita funkcií y = sin x, y = cos x

V predchádzajúcich odsekoch sme zvíťazili nad týmito autoritami funkciu: oblasť významu, parita alebo nepárovosť, monotónnosť, hranica, najväčšia a najmenšia dôležitosť, kontinuita, oblasť funkcie. Nad tými, ktorí boli pri moci, sme zvíťazili buď preto, aby sme získali rozpis funkcií (ako bol napr. § 9), alebo aby sme si prečítali pokyny rozpisu (ako bol napr. § 10). Teraz je vhodná chvíľa predstaviť ďalšiu (ôsmu) výkonovú funkciu, ktorá je zázračne viditeľná v každodennom živote grafov funkcia y = sin x (div. Obr. 37), y = cos x (div. Obr. 41).

Viznachennya. Funkcia sa nazýva periodická, pretože je založená na čísle T nahradzujúcom nulu, takže pre ľubovoľný x multiplikátor sa rovná rovnakému žiarlivosť:

Číslo T, ktoré udáva hodnotu mysle, sa nazýva perióda funkcie y = f(x).
Hviezda žiari ako úlomky pre akýkoľvek druh spravodlivosti:

potom funkcie y = sin x, y = cos x sú periodické a číslo je 2 P plní toto obdobie aj ďalšie funkcie.
Frekvencia funkcie je zároveň ôsmou mocninou funkcie.

Teraz sa pozrite na graf funkcie y = sin x (obr. 37). Na vygenerovanie sínusoidy stačí posunúť jednu z jej kriviek (na rez a následne túto krivku zničiť po osi x na výsledku. Pomocou jednej krivky vytvoríme celý graf.

Je úžasné pozrieť sa na graf funkcie y = cos x (obr. 41). Bachimo, prečo stačí, aby denný rozvrh začal jeden týždeň (napríklad na prestávku

A potom ich zničte pozdĺž osi x k
Ugalyyuchi, nesmelo útočiaci visnovok.

Keďže funkcia y = f(x) má periódu T, potom na zobrazenie funkcie je potrebné najskôr nakresliť čiaru (alebo časť) grafu v ľubovoľnom intervale pred T (zvyčajne berieme interval od koncov na body potom zničte tento klinec pozdĺž osi x pravá a ľavá ruka na T, 2T, 3T potom.
Periodická funkcia má nekonečný počet periód: niekedy T je perióda, potom 2T je perióda, 3T je perióda a –T je perióda; vagali perióda je číslo v tvare KT, kde to = ±1, ±2, ± 3... Pokúste sa vidieť, ak je to možné, najmenšiu kladnú periódu, ktorá sa nazýva hlavná perióda.
Ak číslo vyzerá ako 2pk, potom = ±1, ± 2, ± 3 a perióda funkcie y = sinп x, y = сos x; 2p-hlavné obdobie a tieto a ďalšie funkcie.

zadok. Nájdite hlavné obdobie funkcie:

A) Nech T je hlavná perióda funkcie y = sin x. Súhlasíme

Ak bolo číslo T obdobím funkcie, možno usúdiť, že ide o Ale, keďže hovoríme o identifikácii hlavného obdobia, môžeme odčítať
b) Nech T - hlavná perióda funkcie y = 0,5x. Dajme f(x) = 0,5x. Todi f(x + T) = 0,5 (x + T) = 0,5x + 0,5 T).

Ak je číslo T periódou funkcie, možno uzavrieť identitu cos (0,5x + 0,5T) = cos 0,5x.

To znamená 0,5 t = 2 pb. No a pokiaľ ide o výpočet hlavného obdobia, berieme 0,5T = 2 l, T = 4 l.

Potvrdené sú aj výsledky získané z aplikácie: hlavné obdobie funkcie

A.G. Mordkovich Algebra 10. ročník

Výmena lekcie poznámky k lekcii podporná rámcová prezentácia k vyučovacej hodine akceleračné metódy interaktívne technológie Prax domáce úlohy a rétorická výživa pre žiakov Ilustrácie audio, videoklipy a multimédiá fotografie, obrázky, grafika, tabuľky, humorné schémy, anekdoty, vtipy, komiksy, podobenstvá, rozkazy, krížovky, citáty Doplnky abstraktnéštatistiky, tipy na ďalšie tipy, cheat sheets, príručky, základný a doplnkový slovník pojmov a iné Hĺbkové školenia a lekcieoprava láskavostí pre priateľa aktualizácia fragmentu pre učiteľa, prvky inovácie v triede, nahradenie starých vedomostí novými Len pre čitateľov ideálne lekcie kalendárny plán na rieke metodické odporúčania programová diskusia Integrované lekcie

Meta: organizovať a systematizovať poznatky zo štúdií na tému „Periodika funkcií“; formulovať zručnosti na stanovenie právomocí periodickej funkcie, nájdenie najmenej pozitívnej periódy funkcie a vytvorenie rozvrhov pre periodické funkcie; rozvíjať pokročilý záujem o matematiku; preukázať opatrnosť, presnosť.

Vybavenie: počítač, multimediálny projektor, karty z pokladov, diapozitívy, výročné knihy, tabuľky ozdôb, prvky ľudových remesiel

"Matematika je niečo, v čom ľudia veria prírode a sebe."
O.M. Kolmogorov

Pokrok v lekcii

I. Organizačná etapa.

Kontrola pripravenosti žiakov pred vyučovaním. Na počesť tých a zodpovedných za lekciu.

II. Kontrola domácej úlohy.

Domáce úlohy sa kontrolujú krok za krokom a diskutujú sa o najťažších bodoch.

III. Regularizácia a systematizácia vedomostí.

1. Usna je čelná k robotovi.

Poháňané teóriou.

1) Vytvorte zodpovedajúcu periódu funkcie
2) Pomenujte najmenšiu kladnú periódu funkcie y=sin(x), y=cos(x)
3). Pomenujte najmenšiu kladnú periódu funkcie y=tg(x), y=ctg(x)
4) Uistite sa, že váš vzťah je správny:

y=sin(x) = sin(x+360º)
y=cos(x) = cos(x+360º)
y=tg(x) = tg(x+18) 0º)
y=ctg(x) = ctg(x+180º)

tg(x+π n)=tgx, n € Z
ctg(x+π n)=ctgx, n € Z

sin(x+2π n)=sinx, n € Z
cos(x+2π n)=cosx, n € Z

5) Ako zobraziť graf periodickej funkcie?

Spi správne.

1) Prineste takýto vzťah

a) sin(740º) = sin(20º)
b) cos(54º) = cos(-1026º)
c) sin(-1000º) = sin(80º)

2. Uveďte ho na 540º v jednej z periód funkcie y=cos(2x)

3. Uveďte, že 360º je jednou z periód funkcie y=tg(x)

4. Usporiadajte tieto výrazy tak, aby rohy, ktoré idú pred nimi, nepresiahli 90º v absolútnej hodnote.

a) tg375º
b) ctg530º
c) sin1268º
d) cos(-7363º)

5. Počuli ste už slová OBDOBIE, PERIODICITA?

Typy štúdií: Obdobie hudby je obdobie, v ktorom je hudobná myšlienka menej dokončená. Geologické obdobie je súčasťou epochy a delí sa na epochy spred 35 až 90 miliónov rokov.

Obdobie rozpadu rádioaktívnej reči. Pravidelné odkvapkávanie. Periodické iné – iné formy, ktoré sa vyskytujú v piesňových termínoch. Periodický systém Mendelev.

6. Drobci ukazujú časti grafov periodických funkcií. Vyberte periódu funkcie. Vypočítajte periódu funkcie.

Vidpovid T = 2; T = 2; T = 4; T = 8.

7. Kde ste sa v živote stretli s každodennými prvkami, ktoré sa opakujú?

Zhrnutie lekcie: Prvky ornamentov, ľudové umenie.

IV. Kolektívne riešenie úloh.

(Zobrazte úlohy na snímkach.)

Pozrime sa na jeden zo spôsobov, ako sledovať funkciu pre periodicitu.

S akým spôsobom sa vysporiadať s ťažkosťami spojenými s dôkazom, že ostatné obdobie je najkratšie, a tiež je potrebné študovať aritmetické operácie na periodických funkciách a o periodicite. skladacia funkcia. Čistenie závisí od významu periodickej funkcie a nasledujúcej skutočnosti: keďže T je perióda funkcie, potom nT(n?0) je jej perióda.

Úloha 1. Nájdite najmenšiu kladnú periódu funkcie f(x)=1+3(x+q>5)

Riešenie: Je prijateľné, aby T-perióda bola rovnaká funkcia. Potom f(x+T)=f(x) všetky x € D(f), potom.

1+3(x+T+0,25)=1+3(x+0,25)
(x+T+0,25)=(x+0,25)

Dát x=-0,25 možno odstrániť

(T) = 0<=>T = n, n € Z

Predpokladali sme, že všetky periódy tejto funkcie (ako sa ukázalo) sú v strede celých čísel. Viberemo stredné tsich čísla najmenšie doplnkové číslo. Tse 1 . Môžeme si overiť, že medzi nimi nebude žiadny rozdiel 1 .

f(x+1) = 3(x+1+0,25)+1

Úlomky (T+1)=(T) pre čokoľvek T, potom f(x+1)=3((x+0,25)+1)+1=3(x+0,25)+1=f( x), potom . 1 – obdobie f. Fragmenty 1 sú najmenšie zo všetkých kladných čísel, potom T=1.

Úloha 2. Ukážte, že funkcia f(x)=cos 2 (x) je periodická a určte hlavnú periódu.

Úloha 3. Nájdite hlavnú periódu funkcie

f(x)=sin(1,5x)+5cos(0,75x)

Je prípustná pre T-periódu funkcie, teda pre ľubovoľnú X korektný vzťah

sin1,5(x+T)+5cos0,75(x+T)=sin(1,5x)+5cos(0,75x)

Ak x = 0, potom

sin(1,5T)+5cos(0,75T)=sin0+5cos0

sin(1,5T)+5cos(0,75T)=5

Ak x=-T, potom

sin0+5cos0=sin(-1,5T)+5cos0,75(-T)

5 = - sin (1,5 T) + 5 cos (0,75 T)

sin(1,5T)+5cos(0,75T)=5 - sin (1,5 T) + 5 cos (0,75 T) = 5

Stlačiť, odmietnuť:

10 cos (0,75 T) = 10

2π n, n € Z

Zo všetkých „podozrivých“ vyberáme pre obdobie najmenej kladné a overiteľné čísla, a to obdobie pre f. Toto číslo

f(x+)=sin(1,5x+4π)+5cos(0,75x+2π)= sin(1,5x)+5cos(0,75x)=f(x)

Ozhe – hlavné obdobie funkcie f.

Problém 4. Overte, či periodická funkcia f(x)=sin(x)

Nech T – perióda funkcie f. Todi za čokoľvek x

sin|x+Т|=sin|x|

Ak x=0, potom sin|Т|=sin0, sin|Т|=0 Т=π n, n € Z.

Prijateľné. Aké je číslo π n je perióda

uvažované funkcie π n>0. Todi sin|π n+x|=sin|x|

Hviezda ukazuje, že n môže byť spárované aj nepárové číslo, ale je to nemožné. Preto táto funkcia nie je periodická.

Úloha 5. Skontrolujte, či existuje periodická funkcia

f(x)=

Nech T – obdobie f, teda

, Zvdsi sinT = 0, T = π n, n € Z. Je prijateľné, aby pre reálne n bolo číslo π n účinné ako perióda tejto funkcie. Potom číslo 2π n bude bodka

Oskolki číslice sú rovnaké, potom sa rovná a jogo znamenniks, teda

No, funkcia f nie je periodická.

Pracovať v skupinách.

Skupina Zavdannya 1.

Skupina Zavdannya 2.

Skontrolujte, ktorá funkcia je periodická a nájdite jej hlavnú periódu (ktorá je hlavná).

f(x)=cos(2x)+2sin(2x)

Skupina Zavdannya 3.

Po dokončení roboty predstavia svoje riešenia davu.

VI. Doplnkové tašky na lekciu.

Reflexia.

Učiteľ ukazuje žiakom kartičky s bábätkami a dáva im pokyn, aby si pripravili časť prvého bábätka, v každom prípade, ako sa ukázalo, naučili sa spôsoby, ako vysledovať funkciu periodicity, a u časti druhého bábätka Je dôležité prispieť k vašej práci počas vyučovania.

VII. Vylepšenie domácnosti

1).

Skontrolujte, ktorá funkcia je periodická a nájdite jej hlavnú periódu (tak, ako je)

b). f(x)=x2-2x+4

c). f(x)=2tg(3x+5)

2). Funkcia y=f(x) má periódu T=2 a f(x)=x 2 +2x v x [-2; 0]. Nájdite hodnotu vírusu -2f(-3)-4f(3,5)

1. Literatúra/ Mordkovich A.G.
2. Algebra a analýza od začiatku. Matematika.
3. Príprava pred EDI. Podľa vyd. Lisenka F.F., Kulabukhova S.Yu.

Šeremetěva T.G. , Tarasová E.A. Algebra a analýza pre ročníky 10-11. Trigonometrické funkcie

pravidelne

1. , aby sa opakovali cez obdobie spevu. V dôsledku toho je potrebné zvýšiť funkciu v tomto intervale a rozšíriť prejav sily na všetky ostatné obdobia.

2. Inštrukcie

3. Ak ste dostali jednoduchý výraz, v ktorom existuje iba jedna goniometrická funkcia (sin, cos, tg, ctg, sec, cosec) a kde stredná funkcia nie je vynásobená žiadnym číslom a samotná nie je redukovaná na žiadne úroveň - rýchlo prejdite na významy. Pre výrazy, ktoré obsahujú sin, cos, sec, cosec, je dôležité nastaviť periódu na 2P a pre výrazy v rovnakom rozsahu tg, ctg – potom P. Povedzme, že pre funkciu y=2 sinx+5 je perióda sa rovná 2P.

4. Ak je x pod znamienkom goniometrickej funkcie násobenia ľubovoľným číslom, potom na určenie periódy tejto funkcie vydeľte typickú periódu týmto číslom. Povedzme, že ste dostali funkciu = hriech 5x. Typická perióda pre sínus je 2P, vydelením číslom 5 odčítate 2P/5 - čo je zodpovedajúca perióda tohto typu.

5. Ak nemôžete pracovať s pridelenou hodnosťou alebo pochybujete o výsledkoch, skúste pracovať s pridelenou hodnosťou. Vezmite periódu funkcie T podľa toho, ktorá hodnota je väčšia ako nula. Dosaďte x na rovnaké miesto (x+T) a rozmotajte rovnakú rovnosť, ako keby T bol parameter a číslo. Z výsledku nájdete hodnoty goniometrickej funkcie a budete si môcť vybrať minimálnu periódu. Povedzme, že výsledok reliéfu má identitu sin (T/2) = 0. Minimálna hodnota T, pre ktorú sa rovná, sa rovná 2P a bude výsledkom priradenia.

Periodická funkcia je funkcia, ktorá opakuje svoje hodnoty po určitej nenulovej perióde. Perióda funkcie je číslo, ktoré po pridaní do argumentu funkcie sa hodnota funkcie nemení.

Budete potrebovať

• Znalosť elementárnej matematiky a začiatky rozhľadu.

pravidelne

1. Perióda funkcie f(x) je významná prostredníctvom čísla K. Našou úlohou je odhaliť hodnotu K. Pre ktorú je zrejmé, že funkcia f(x), zodpovedajúca hodnotám periodickej funkcie, je podobný f(x+K)=f(x).

2. Je pravdepodobné, že hodnota neznámeho K sa odstráni, pretože x je konštanta. Majte na pamäti, kým nebude k dispozícii niekoľko možností.

3. Ak K>0 je rovnaké ako perióda vašej funkcie. Pretože K = 0, potom funkcia f (x) nie je periodická. nula, potom sa takáto funkcia nazýva aperiodická a bodka v nej nie je.

Video k téme

Zvýšte svoj rešpekt!
Všetky goniometrické funkcie sú periodické, ale polynomické funkcie s krokmi väčšími ako 2 sú aperiodické.

Corisna porada
Perióda funkcie, ktorá sa skladá z 2 periodických funkcií, je najmenším násobkom periód týchto funkcií.

Goniometrické rovnice sú postup, ktorý kombinuje goniometrické funkcie s neznámym argumentom (napríklad: 5sinx-3cosx =7). Aby ste sa naučili, ako sa v nich orientovať, musíte vedieť, ako na to.

pravidelne

1. Riešenie takýchto úloh pozostáva z 2 etáp. Pershe - reforma vzdelávania v záujme jeho najjednoduchšej formy. Najjednoduchšie goniometrické rovnice sa nazývajú: Sinx = a; Cosx=a atď.

2. Ďalším je riešenie najjednoduchšej goniometrickej rovnice. Existujú základné spôsoby riešenia problémov tohto typu: Riešenie pomocou metódy algebry. Táto metóda je dobre naučená zo školy, z kurzu algebry. Inak sa nazýva metóda nahradenia premennej a substitúcie. Stagnujúce vzorce sú redukované, preskupené a rýchlo nahradené, po čom sa nájde koreň.

3. Rozložené rіvnyannya na multiplikátory. Všetci členovia sú prevedení ľaváci a rozdelení do násobiteľov.

4. Úroveň sa dostane na rovnakú úroveň. Homogénne rovné sa nazývajú rovné, pretože všetky členy rovnakého kroku a sínus, kosínus rovnakého rezu. Ak ju chcete zarovnať, postupujte takto: najprv presuňte všetky jej členy z pravej strany na ľavú stranu; presuňte všetky multiplikátory nechtov za ruky; prirovnať multiplikátory a ramená k nule; Vyrovnané ramená dávajú rovnakú úroveň menšiemu svetu, ktorý možno rozdeliť na cos (alebo hriech) najvyššej úrovne; Virishiti otrimane algebraická úroveň shodo tan.

5. Ďalším spôsobom je ísť do polovice. Povedzme, rozlúštime rovnicu: 3 sin x – 5 cos x = 7. Poďme na polovičný rez: 6 sin (x / 2) · cos (x / 2) – 5 cos? (x / 2) + 5 hriechov? (x / 2) = 7 hriechov? (x / 2) + 7 cos? (x/ 2), potom sa všetky členy zredukujú na jednu časť (viac vpravo) a vyrovnajú.

6. Vstup do pomocného rohu. Keď nahradíme celú hodnotu cos(a) a sin(a). Znak "a" je dodatočný rez.

7. Spôsob reformy je vytvárať peniaze. Tu môžete zhrnúť nasledujúce vzorce. Povedzme: 2 hriech x · hriech 3x = cos 4x. Môžeme to oddeliť prevedením ľavej časti na súčet, potom: cos 4x - cos 8x = cos 4x, cos 8x = 0,8 x = p / 2 + pk, x = p /16 + pk/8.

8. Terminálna metóda sa nazýva bohato funkčná substitúcia. Transformujeme výraz a vykonáme náhradu, povedzme Cos(x/2)=u, potom sa rovnáme parametru u. Po pripočítaní k výsledku sa preloží hodnota brány.

Video k téme

Ak sa pozriete na body na čísle, potom na body x, x+2π, x+4π atď. bežia jeden za druhým. Týmto spôsobom trigonometrické Algebra a analýza pre ročníky 10-11. priamo pravidelne zopakujte ich význam. Aké slávne obdobie Algebra a analýza pre ročníky 10-11., Funkciu môžete vykonať v tomto období a opakovať v iných.

pravidelne

1. Bodka je číslo T, takže f(x) = f(x+T). Na identifikáciu periódy existujú dve rôzne rovnice, ktoré nahradia x a x+T ako argument. V tomto prípade musíme študovať už známe obdobia pre funkcie. Pre funkcie sínus a kosínus je perióda nastavená na 2π a pre tangens a kotangens - π.

2. Nech je daná funkcia f(x) = sin^2(10x). Pozrite sa na sin^2(10x) = sin^2(10(x+T)). Zrýchlite vzorec pre najnižší krok: sin^2(x) = (1 – cos 2x)/2. Potom odčítate 1 – cos 20x = 1 – cos 20(x+T) a cos 20x = cos (20x+20T). Viete, že perióda kosínusu sa rovná 2?, 20T = 2?. Otje, T = π/10. T je minimálna správna perióda a funkcia sa opakuje po 2T a po 3T a v inom smere pozdĺž osi: -T, -2T atď.

Corisna porada
Vyskúšajte vzorce na zníženie úrovne funkčnosti. Ak už poznáte niektoré funkcie, skúste túto funkciu oznámiť.

Analýza funkcie pre párovanie a zrušenie párovania je podporená grafom funkcie a charakteru jej správania. Pre toto vyšetrovanie je potrebné vyrovnať túto funkciu napísanú pre argument „x“ a pre argument „-x“.

pravidelne

1. Zapíšte si funkciu, ktorú potrebujete vykonať, ako y=y(x).

2. Nahraďte argument funkcie znakom „-x“. Nahraďte tento argument funkčným výrazom.

3. Odpusť Virazovi.

4. Týmto spôsobom ste odobrali samotnú funkciu zapísanú na dôkaz „x“ a „-x“. Podivte sa týmto dvom položkám, pretože y(-x)=y(x), potom je to spárovaná funkcia o funkcii, že y (-x)=y(x) a y(-x)=-y(x), potom z dôvodu párovania ide o funkciu doslovného tvaru. Aby jeden nebol ani spárovaný, ani nespárovaný.

5. Zaznamenajte svoje výsledky. Teraz ich môžete analyzovať v týždennom grafe funkcie alebo pri budúcom analytickom skúmaní detailov funkcií.

6. Môžeme hovoriť aj o párovaní a nepárovaní funkcií, keď nastavíme graf funkcie. Povedzme, že graf slúžil ako pomôcka pre fyzikálny experiment. Keďže graf funkcie je symetrický podľa ordinátnej osi, potom y (x) je párová funkcia. Pretože graf funkcie je symetrický pozdĺž osi x, potom x (y) je párová funkcia. x(y) – funkcia, návratová funkcia y(x). Keďže graf funkcie je symetrický so súradnicami (0,0), potom y(x) je nepárová funkcia. Nespárované bude to isté návratová funkcia x(y).

7. Je dôležité si uvedomiť, že vyhlásenia o spárovaných a nepárových funkciách majú priamu súvislosť s oblasťou určenej funkcie. Ako povedzme, párová a nepárová funkcia chýba pre x = 5 a neexistuje žiadna funkcia pre x = -5, čo sa nedá povedať o funkcii opačného tvaru. Pri vytváraní párovania a rušenia párovania venujte pozornosť oblasti priradenej funkcie.

8. Štúdium funkcie párovania a nepárovania koreluje so zistením neosobnej hodnoty funkcie. Ak chcete nájsť neosobnú hodnotu spárovanej funkcie, musíte sa pozrieť na polovicu funkcie, vpravo alebo vľavo od nuly. Keďže pri x>0 párová funkcia y(x) nadobúda hodnoty od A do B, potom sú rovnaké hodnoty akceptované pri x<0.Для нахождения множества значений, принимаемых нечетной функцией, тоже довольно разглядеть только одну часть функции. Если при x>0 nepárová funkcia y(x) preberá rozsah hodnôt od A predtým, potom od x<0 она будет принимать симметричный диапазон значений от (-В) до (-А).

„Trigonometrické“ sa začali nazývať funkcie, ktoré sú indikované ukladaním ostrých škvŕn v rektutánnej trikutánnej rastline na druhej strane. Medzi takéto funkcie patria po prvé sínus a kosínus a na druhej strane inverzné funkcie sečna a kosekans, podobné typy tangens a kotangens, ako aj inverzné funkcie arcsínus, arkkozín atď. Pozitívnejšie hovoríme nie o „blízkosti“ takýchto funkcií, ale o ich „výpočte“, teda o zistení číselnej hodnoty.

pravidelne

1. Keďže argument goniometrickej funkcie nie je známy, jej hodnoty možno vypočítať nepriamo z hodnôt týchto funkcií. Na to je potrebné poznať viac ako jednu stranu tricutu, treba vypočítať goniometrickú funkciu jednej z častí. Povedzme, že po určenom sínusu akútneho rezu v konečníku trikutánnom nasleduje predĺženie poslednej nohy, ktoré na tento rez vydrží až do konca prepony. To znamená, že na nájdenie sínusu potrebujete poznať aspoň dve z týchto strán. Je tiež dôležité poznamenať, že sínus akútneho rezu je predĺžením poslednej nohy, ktorá susedí s preponou. Tangenta horúcej nohy sa môže vypočítať vydelením dovzhiny protilovej nohy dovzhinou susednej nohy a kotangens sa rozdelí od dovzhiny susednej nohy k protilovej dovžine. Na výpočet sekantu akútneho rezu je potrebné identifikovať vzťah medzi preponou a stranou, ktorá susedí s požadovanou stranou, a vypočíta sa kosekans medzi preponou a proximálnou stranou.

2. Keď je známy argument goniometrickej funkcie, nemusíte poznať väčšinu strán trikunitky - môžete použiť tabuľky hodnôt alebo kalkulačky goniometrických funkcií. Táto kalkulačka patrí medzi štandardné programy Windows. Ak ho chcete spustiť, stlačte klávesy Win + R, zadajte príkaz calc a stlačte tlačidlo „OK“. V rozhraní programu otvorte sekciu „Zobraziť“ a vyberte „Inžinierstvo“ alebo „Návrhy“. Potom môžete zadať argument goniometrickej funkcie. Ak chcete vypočítať funkcie sínus, kosínus a tangens, kliknite po zadaní hodnoty na tlačidlo rozhrania (sin, cos, tg) a nájdite návratové hodnoty arksínusu, arkkozínu a arkustangensu. Stačí zaškrtnúť políčko Inv.

3. alternatívne metódy. Jedným z nich je prejsť na webovú stránku vyhľadávača Nigma alebo Google a zadať vyhľadávací nástroj s požadovanou funkciou a argumentom (povedzme hriech 0,47). Tieto zvukové systémy využívajú kalkulačky, ktoré po odoslaní takejto požiadavky prevezmú späť hodnoty vami zadanej trigonometrickej funkcie.

Video k téme

Lekcia 7: Ako odhaliť význam goniometrických funkcií

Trigonometrické funkcie sa pôvodne objavili ako nástroje na abstraktné matematické výpočty nánosov hodnôt ostrých kutikul rektickej trikutánnej rastliny na druhej strane. Teraz je zápach dokonca široko uznávaný vo vedeckých aj technických oblastiach ľudskej činnosti. Na utilitárne výpočty goniometrických funkcií môžete použiť rôzne nástroje vo forme špecifikovaných argumentov - niekoľko obzvlášť dostupných argumentov je popísaných nižšie.

pravidelne

1. Povedzme, rýchlo začnite s operačným systémom a programom kalkulačky. Otvorí sa výberom položky „Kalkulačka“ v priečinku „Služby“ v časti „Typy“, ktorá sa nachádza v časti „Všetky programy“. Túto časť nájdete po kliknutí na tlačidlo „Štart“ v hlavnom menu operačného systému. Ak používate verziu systému Windows 7, možno budete môcť zadať slovo „Kalkulačka“ do poľa „Zobraziť programy a súbory“ v hlavnej ponuke a potom kliknúť na všetky možnosti vo výsledkoch vyhľadávania.

2. Zadajte hodnotu, pre ktorú potrebujete rozbaliť trigonometrickú funkciu, a potom kliknite na tlačidlo – sin, cos alebo tan. Ak máte záujem o inverzné goniometrické funkcie (arkusínus, arkkozín alebo arkustangens), ihneď stlačte tlačidlo Inv - tým sa zmenia funkcie priradené hlavným tlačidlám kalkulačky.

3. V starších verziách operačného systému (povedzme Windows XP), aby ste získali prístup k trigonometrickým funkciám, musíte v ponuke kalkulačky otvoriť sekciu „Zobraziť“ a vybrať riadok „Inžinierstvo“. Navyše namiesto tlačidla Inv v rozhraní starších verzií programu je zaškrtávacie políčko s rovnakým textom.

4. Môžete sa zaobísť bez kalkulačky, ak máte prístup na internet. Existuje veľa služieb, ktoré demonštrujú organizáciu výpočtu goniometrických funkcií. Jedna z obzvlášť pohodlných možností vstupu do vyhľadávacieho systému Nigma. Po prechode na hlavnú stránku je dôležité zadať do zvukového poľa hodnotu, ktorá vám povie – povedzme „oblúkový tangens 30 stupňov“. Po stlačení tlačidla „Zobraziť!“ vtipkovať a ukázať výsledok výpočtu - 0,482347907101025.

Video k téme

Trigonometria je odvetvie matematiky na pochopenie funkcií, ktoré vyjadrujú rôzne aspekty Ortokutánne trikutánne veľkosť akútnych kožných buniek s hypotenziou. Takéto funkcie dostali názov trigonometrické a pre uľahčenie práce s nimi boli zavedené trigonometrické. podobnosti .

Hold podobnosti v matematike to znamená žiarlivosť, ktorá je určená akoukoľvek hodnotou dôkazu funkcie, ktorá vstúpi predtým. Trigonometrické podobnosti– rad goniometrických funkcií, potvrdených a prijatých na zjednodušenie práce s goniometrickými vzorcami. Trigonometrická funkcia je elementárnou funkciou polohy jednej z nôh recticutánneho tricupu v závislosti od veľkosti kutikuly v prepone. Existuje šesť základných goniometrických funkcií, ktoré sa bežne používajú: sin (sínus), cos (kosínus), tg (tangens), ctg (kotangens), sec (sekant) a cosec (kosekant). Tieto funkcie sa nazývajú priame a existujú aj reverzné funkcie, napríklad sínus - arksínus, kosínus - arkkozín atď. Spočiatku sa goniometrické funkcie premietli do geometrie, potom sa rozšírili do ďalších oblastí vedy: fyzika, chémia, geografia, optika, teória možností, ako aj akustika, hudobná teória, fonetika, Harmonogram má množstvo ďalších. Dnes je dôležité rozpoznať matematický vývoj bez týchto funkcií, hoci v dávnej minulosti sa používali iba v astronómii a architektúre. podobnosti Na zjednodušenie práce s dlhými trigonometrickými vzorcami ich môžete pomocou tohto nástroja zmenšiť na jednoduché zobrazenie. Existuje šesť základných goniometrických identít, ktoré sú spojené s priamymi goniometrickými funkciami: tg? = hriech? /cos?; hriech^2? +cos^2? = 1; 1 + tg^2? = 1/cos^2?; 1 + 1/tg^2? = 1/sin^2?; sin(?/2 – ?) = cos?; cos (?/2 -?) = hriech?. podobnosti je ľahké potvrdiť od úradov vzťah medzi stranami a kuti v pravouhlom trikutánnom: hriech? = BC/AC = b/c; pretože = AB/AC = a/c; tg? = b/a. Prvá rovnosť tg? = hriech? /cos? Vyteká zo zodpovedajúcich strán trikubitu a zahrnutie strany c (hypotenúza), keď je hriech rozdelený na cos. Znamená teda rovnosť ctg samého seba? = čos? / hriech?, Pretože ctg? = 1/tg ?. Podľa Pytagorovej vety a 2 + b 2 = c 2. Túto žiarlivosť vydelíme c^2 a odstránime rovnakú identitu: a^2/c^2 + b^2/c^. 2 = 1 => hriech ^2 ? +cos^2? = 1. Tretí a štvrtý podobnosti otromu s cestou pod, samozrejme, na b^2 a a^2:a^2/b^2 + 1 = c^2/b^2 => tg^2? + 1 = 1/cos^2 ?; 1 + b^2/a^2 = c^2/a^2 => 1 + 1/tg^2? = 1/hriech^? alebo 1 + ctg^2? = 1/sin^2 ?.Pyat i najzákladnejšie podobnosti preniesol cez hodnotu sumi ostrých rezov priamo strihaného trikutánneho stromu, čo je 90° alebo? / 2. Dôležitejšia trigonometria podobnosti: vzorce skladaných dôkazov, dvojitý a trojitý rez, nižší stupeň, pretvorenie súčtu a sčítanie funkcie a nové vzorce goniometrickej substitúcie, definícia základných goniometrických funkcií cez tg polovičného rezu: sin ?= (2*tg ?/2 )/(1 + tg^2?/2); pretože = (1 - tg^2<2)/(1 = tg^2

Je potrebné ukázať minimálne význam matematický Algebra a analýza pre ročníky 10-11. Aktuálny záujem aplikovaných úloh na vysokej úrovni je povedzme v hospodárnosti. Väčšie význam Pre podnikateľskú činnosť Minimalizujem pretečenie.

pravidelne

1. Ukázať minimálne význam Algebra a analýza pre ročníky 10-11. je potrebné určiť, pri akom významnom argumente x0 bude určená nerovnosť y(x0)? y(x), kde x? x0. Ako obvykle, tento problém spočíva v oblasti spevu alebo v oblasti kože. Algebra a analýza pre ročníky 10-11. pretože toto nie je úloha. Jedným z aspektov riešenia je objavenie nezničiteľných bodov.

2. Stacionárny bod sa nazýva význam argument, ktorý je prijateľný Algebra a analýza pre ročníky 10-11. ide na nulu. To je v súlade s Fermatovou vetou, pretože funkcia, ktorá je diferencovaná, je extrémna význam v bode spevu (v čase, keď je lokálne minimum), potom je tento bod stacionárny.

3. Minimálne význam Funkcia je často prevzatá práve v tomto bode, ochrany môžu byť brané do úvahy okamžite. Navyše, nikdy nebude možné s presnosťou povedať, prečo to starodávne minimum Algebra a analýza pre ročníky 10-11. pretože to trvá nekonečne menej význam. Takže, ako obvykle, poznáte hranicu, aká je ťažká, keď padne.

4. Aby to znamenalo minimálne význam Algebra a analýza pre ročníky 10-11., Musíte určiť postupnosť akcií, ktorá pozostáva zo štyroch etáp: nájdenie určenej oblasti Algebra a analýza pre ročníky 10-11., v blízkosti kúpeľného domu unrukhomyh bodov, pozrite sa okolo významu Algebra a analýza pre ročníky 10-11. V týchto bodoch a na koncoch je medzera, ktorá označuje minimum.

5. Ukazuje sa, že funkcia y(x) je nastavená na interval medzi intervalmi v bodoch A a B. Nájdite oblasť, ktorá je významná a zistite, aký je interval.

6. Spočítajte odchod Algebra a analýza pre ročníky 10-11.. Prirovnajte odmietnutia k nule a odhaľte koreňovú rovnicu. Otočte, ktoré stacionárne body sa nachádzajú v intervaloch. Ak nie, potom v ďalšej fáze nebude smrad poistený.

7. Pozrite sa na medzeru medzi typmi kordónov: otvorený, uzavretý, skladový a nekonečný. Aký druh ľahu, ako vtipkujete o minime význam. Povedzme, že úsek [A, U] je uzavretý s medzerou. Dosaďte ich do funkcie a rozšírte hodnoty. Zarábajte rovnako stacionárny bod. Vyberte najnižší výsledok.

8. S otvorenými a nekonečnými medzerami na pravej strane je niečo skladacie. Tu sa ocitnete pri hľadaní jednostranných hraníc, ktoré nevyhnutne povedú k jednoznačnému výsledku. Povedzme, že pre medzeru medzi jedným uzavretým a jedným ohnutým kordónom [A, B) nájdete funkciu v x = A a jednostrannú medzeru lim y v x? B-0.