Теорема кількості руху. Теорема про зміну кількості руху точки. Теорема про зміну кінетичного моменту механічної системи
Кількість руху системи, як векторна величина, визначається формулами (4.12) та (4.13).
Теорема. Похідна від кількості руху системи за часом дорівнює геометричній сумі всіх діючих на неї зовнішніх сил.
У проекціях декартові осі отримаємо скалярні рівняння.
Можна записати векторне
(4.28)
та скалярні рівняння
Які виражають теорему про зміну кількості руху системи в інтегральній формі: зміна кількості руху системи за деякий проміжок часу дорівнює сумі імпульсів за той самий проміжок часу. При розв'язанні задач частіше використовуються рівняння (4.27)
Закон збереження кількості руху
Теорема про зміну кінетичного моменту
Теорема про зміну моменту кількості руху точки щодо центру: похідна часу від моменту кількості руху точки щодо нерухомого центру дорівнює векторному моменту, що діє на точку сили щодо того ж центру.
або 
(4.30)
Порівнюючи (4.23) і (4.30), бачимо, що моменти векторів пов'язані такою ж залежністю, якою пов'язані самі вектори і (рис. 4.1). Якщо спроектувати рівність на вісь, що проходить через центр, то отримаємо
(4.31)
Ця рівність виражає теорему моменту кількості руху точки щодо осі.
|
(4.32)
Якщо спроектувати вираз (4.32) на вісь, що проходить через центр, то отримаємо рівність, що характеризує теорему про зміну кінетичного моменту щодо осі.
(4.33)
Підставляючи (4.10) у рівність (4.33) можна записати диференціальне рівняння твердого тіла, що обертається (коліс, осей, валів, роторів і т.д.) у трьох формах.
(4.34)
(4.35)
(4.36)
Таким чином, теорему про зміну кінетичного моменту доцільно використовувати для дослідження дуже поширеного в техніці руху твердого тіла, обертання його навколо нерухомої осі.
Закон збереження кінетичного моменту системи
1. Нехай у виразі (4.32).
Тоді з рівняння (4.32) слід, що , тобто. якщо сума моментів всіх прикладених до системи весняних сил щодо даного центру дорівнює нулю, то кінетичний момент системи щодо цього центру буде чисельно і за напрямом буде постійним.
2. Якщо, то. Таким чином, якщо сума моментів, що діють на систему зовнішніх сил відносно деякої осі, дорівнює нулю, то кінетичний момент системи щодо цієї осі буде величиною постійної.
Ці результати висловлюють закон збереження кінетичного моменту.
У разі твердого тіла, що обертається, з рівності (4.34) слід, що, якщо , то . Звідси приходимо до таких висновків:
Якщо система незмінна (абсолютно тверде тіло), то, отже, і тверде тіло обертається навколо нерухомої осі з постійною кутовою швидкістю.
Якщо система змінна, то . У разі збільшення (тоді окремі елементи системи віддаляються від осі обертання) кутова швидкість зменшується, т.к. , а при зменшенні збільшується, таким чином, у разі системи, що змінюється, за допомогою внутрішніх сил можна змінити кутову швидкість.
Друге завдання Д2 контрольної роботиприсвячена теоремі про зміну кінетичного моменту системи щодо осі.
Завдання Д2
Однорідна горизонтальна платформа (кругла радіуса R або прямокутна зі сторонами R і 2R, де R = 1,2м) масою кг обертається з кутовою швидкістю навколо вертикальної осі z, що віддаляється від центру мас C платформи на відстані OC = b (рис. Д2,0 - Д2,9, табл. розміри всім прямокутних платформ показано на рис. Д2,0а (вид зверху).
У момент часу за жолобом платформи починає рухатися (під дією внутрішніх сил) вантаж D масою кг згідно із законом, де s виражено в метрах, t – у секундах. Одночасно на платформи починає діяти пара сил із моментом M (заданий у ньютонометрах; при M< 0 его направление противоположно показанному на рисунках).
Визначити, нехтуючи масою валу, залежність тобто. кутову швидкість платформи як функцію часу.
На всіх малюнках вантаж D показаний у положенні, коли s > 0 (коли s< 0, груз находится по другую сторону от точки А). Изображая чертеж решаемой задачи, провести ось z на заданном расстоянии OC = b от центра C.
Вказівки.Завдання Д2 – застосування теореми про зміну кінетичного моменту системи. При застосуванні теореми до системи, що складається з платформи та вантажу, кінетичний момент системи щодо осі z визначається як сума моментів платформи та вантажу. При цьому слід врахувати, що абсолютна швидкість вантажу складається з відносної та переносний швидкостей, тобто. . Тому і кількість руху цього вантажу 
. Тоді можна скористатися теоремою Варіньйона (статика), згідно з якою; ці моменти обчислюються як і, як моменти сил. Докладніше хід рішення роз'яснено на прикладі Д2.
При вирішенні завдання корисно зобразити на допоміжному кресленні вид на платформу зверху (з кінця z), як це зроблено на рис. Д2,0 а - Д2,9 а.
Момент інерції пластини з масою m щодо осі Cz, перпендикулярній пластині і проходить через її центр мас, дорівнює: для прямокутної пластини зі сторонами і
;
Для круглої пластини радіуса R
| Номер умови | b | s = F(t) | M |
| R R/2 R R/2 R R/2 R R/2 R R/2 | -0.4 0.6 0.8 10 t 0.4 -0.5 t -0.6 t 0.8 t 0.4 0.5 | 4t -6 -8t -9 6 -10 12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|||
|
|||
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Приклад Д2. Однорідна горизонтальна платформа (прямокутна зі сторонами 2l і l), що має масу, жорстко скріплена з вертикальним валом і обертається разом з ним навколо осі. zз кутовою швидкістю (рис. Д2а ). У момент часу на вал починає діяти крутний момент М, спрямований протилежно ; одночасно вантаж Dмасою , що знаходиться в жолобі АВу точці З,починає рухатися за жолобом (під дією внутрішніх сил) за законом s = CD = F(t).
Дано: m 1 = 16 кг, т 2= 10 кг, l= 0,5 м, = 2, s = 0,4t 2 (s - у метрах, t - у секундах), М= kt,де k=6 Нм/с. Визначити: - Закон зміни кутовий швидкостіплатформи.
Рішення.Розглянемо механічну систему, що складається з платформи та вантажу D.Для визначення w застосуємо теорему про зміну кінетичного моменту системи щодо осі z:
(1)
Зобразимо зовнішні сили, що діють на систему: сили тяжіння реакції і крутний момент M. Оскільки сили і паралельні осі z, а реакції і цю вісь перетинають, то їх моменти щодо осі z дорівнюють нулю. Тоді, вважаючи для моменту позитивним напрямок (тобто проти ходу годинникової стрілки), отримаємо 
і рівняння (1) набуде такого вигляду.
Нехай матеріальна точка рухається під дією сили F. Потрібно визначити рух цієї точки стосовно рухомої системи Oxyz (див. складний рух матеріальної точки), яка рухається відомим чином по відношенню до нерухомої системи 1 O 1 x 1 z 1 .
y
Основне рівняння динаміки у нерухомій системі
Запишемо абсолютне прискорення точки за теоремою Коріоліса де aабс
де - Абсолютне прискорення;отн
де - Відносне прискорення;пров
де – переносне прискорення;- Коріолісове прискорення.
Перепишемо (25) з урахуванням (26)
Введемо позначення 
- переносна сила інерції, 
- Коріолісова сила інерції. Тоді рівняння (27) набуває вигляду
Основне рівняння динаміки вивчення відносного руху (28) записується як і як абсолютного руху, лише до діючим точку сил треба додати переносну і кориолисову сили інерції.
Загальні теореми динаміки матеріальної точки
При вирішенні багатьох завдань можна користуватися заздалегідь виконаними заготовками, отриманими на основі другого закону Ньютона. Такі методи вирішення завдань об'єднані у цьому розділі.
Теорема про зміну кількості руху матеріальної точки
Введемо такі динамічні характеристики:
1. Кількість руху матеріальної точки- Векторна величина, що дорівнює добутку маси точки на вектор її швидкості
.
(29)
2. Імпульс сили
Елементарний імпульс сили- Векторна величина, що дорівнює добутку вектора сили на елементарний проміжок часу
(30).
Тоді повний імпульс
.
(31)
При F=const отримаємо S=Ft.
Повний імпульс за кінцевий проміжок часу можна обчислити тільки у двох випадках, коли сила, що діє на точку, постійна або залежить того часу. В інших випадках необхідно висловити чинність як функцію часу.
Рівність розмірностей імпульсу (29) та кількості руху (30) дозволяє встановити між ними кількісний взаємозв'язок.
Розглянемо рух матеріальної точки M під дією довільної сили Fпо довільній траєкторії.
Про 
УД: 
.
(32)
Розділяємо на (32) змінні та інтегруємо
.
(33)
У результаті, враховуючи (31), отримуємо
.
(34)
Рівняння (34) виражає таку теорему.
Теорема: Зміна кількості руху матеріальної точки за деякий проміжок часу дорівнює імпульсу сили, що діє на точку, за той самий інтервал часу.
При розв'язанні задач рівняння (34) необхідно спроектувати на осі координат
Даною теоремою зручно користуватися, коли серед заданих та невідомих величин присутні маса точки, її початкова та кінцева швидкість, сили та час руху.
Теорема про зміну моменту кількості руху матеріальної точки
М 
омент кількості руху матеріальної точкищодо центру дорівнює добутку модуля кількості руху крапки на плече, тобто. найкоротша відстань (перпендикуляр) від центру до лінії, що збігається з вектором швидкості
,
(36)
.
(37)
Взаємозв'язок між моментом сили (причиною) та моментом кількості руху (наслідком) встановлює наступна теорема.
Нехай точка M заданої маси mрухається під дією сили F.
,
,
,
(38)
.
(39)
Обчислимо похідну від (39)
.
(40)
Об'єднуючи (40) та (38), остаточно отримаємо
.
(41)
Рівняння (41) виражає таку теорему.
Теорема: Похідна за часом від вектора моменту кількості руху матеріальної точки щодо деякого центру дорівнює моменту чинної точки сили щодо того ж центру.
При розв'язанні задач рівняння (41) необхідно спроектувати на осі координат
У рівняннях (42) моменти кількостей руху та сили обчислюються щодо координатних осей.
З (41) випливає закон збереження моменту кількості руху (закон Кеплера).
Якщо момент сили, що діє на матеріальну точку, щодо якогось центру дорівнює нулю, то момент кількості руху точки щодо цього центру зберігає свою величину та напрямок.
Якщо 
, то 
.
Теорема і закон збереження застосовують у завданнях на криволінійний рух, особливо при дії центральних сил.
Загальні теореми динаміки системи тел. Теореми про рух центру мас, про зміну кількості руху, про зміну головного моменту кількості руху, про зміну кінетичної енергії. Принципи Даламбера та можливих переміщень. Загальне рівняння динаміки. Рівняння Лагранжа.
ЗмістРобота, яку здійснює сила, дорівнює скалярному добутку векторів сили та нескінченно малому переміщенню точки її застосування:
,
тобто добутку модулів векторів F і ds на косинус кута між ними.
Робота, яку здійснює момент сил, дорівнює скалярному добутку векторів моменту і нескінченно малого кута повороту:
.
Принцип Даламбера
Суть принципу Даламбер полягає в тому, щоб завдання динаміки звести до завдань статики. Для цього припускають (або це наперед відомо), що тіла системи мають певні (кутові) прискорення. Далі вводять сили інерції та (або) моменти сил інерції, які рівні за величиною і обернені за напрямом сил та моментів сил, які за законами механіки створювали б задані прискорення або кутові прискорення
Розглянемо приклад. Шлях тіло здійснює поступальний рух і на нього діють зовнішні сили. Далі ми припускаємо, що це сили створюють прискорення центру мас системи . По теоремі про рух центру мас, центр мас тіла мав би таке ж прискорення, якби тіло діяла сила . Далі ми запроваджуємо силу інерції:
.
Після цього завдання динаміки:
.
;
.
Для обертального руху надходять аналогічним чином. Нехай тіло обертається навколо осі z і на нього діють зовнішні моменти сил M e zk.
.
Ми припускаємо, що ці моменти створюють кутове прискорення z .
;
.
Далі ми вводимо момент сил інерції M І = - J z z .
Після цього завдання динаміки:
Перетворюється на завдання статики:.
Принцип можливих переміщень
Принцип можливих переміщень застосовується на вирішення завдань статики. У деяких завданнях він дає більш коротке рішення, ніж складання рівнянь рівноваги. Особливо це стосується систем зі зв'язками (наприклад, системи тіл, з'єднані нитками та блоками), що складаються з безлічі тілПринцип можливих переміщень
Для рівноваги механічної системи з ідеальними зв'язками необхідно і достатньо, щоб сума елементарних робіт усіх активних сил, що діють на неї, при будь-якому можливому переміщенні системи дорівнювала нулю.Можливе переміщення системи
- це мале переміщення, у якому не порушуються зв'язку, накладені систему.
Ідеальні зв'язки
- це зв'язки, які виконують роботи під час переміщення системи. Точніше, сума робіт, що здійснюється самими зв'язками при переміщенні системи, дорівнює нулю..
Загальне рівняння динаміки (принцип Даламбера – Лагранжа)
.
Принцип Даламбера - Лагранжа - це об'єднання принципу Даламбера з принципом можливих переміщень. Тобто, при розв'язанні задачі динаміки, ми вводимо сили інерції та зводимо завдання до завдання статики, яке вирішуємо за допомогою принципу можливих переміщень. Принцип Даламбера – ЛагранжаПри русі механічної системи з ідеальними зв'язками в кожний момент часу сума елементарних робіт усіх активних сил і всіх сил інерції на будь-якому можливому переміщенні системи дорівнює нулю:.
Це рівняння називають
загальним рівнянням динаміки Рівняння Лагранжа
Узагальнені координати q
1 , q 2 , ..., q n- це сукупність n величин, що однозначно визначають положення системи.
Число узагальнених координат n збігається з числом ступенів свободи системи. Узагальнені швидкості
.
- це похідні від узагальнених координат за часом t.
Узагальнені сили Q
.
1 , Q 2 , ..., Q n
Розглянемо можливе переміщення системи, у якому координата q k отримає переміщення δq k . 1 δq 1 + Q 2 δq 2 + ... + Q n δq n.
Тоді узагальнені сили є приватними похідними від переміщень:
.
Для потенційних силз потенціалом Π ,
.
Рівняння Лагранжа- це рівняння руху механічної системи в узагальнених координатах:
Тут T – кінетична енергія. Вона є функцією від узагальнених координат, швидкостей та, можливо, часу. Тому її приватна похідна також є функцією від узагальнених координат, швидкостей та часу. Далі необхідно враховувати, що координати та швидкості є функціями від часу. Тому для знаходження повної похідної за часом слід застосувати правило диференціювання складної функції:
.
Використана література:
С. М. Тарг, Короткий курс теоретичної механіки, « вища школа», 2010.
Диференційне рівняння руху матеріальної точки під дією сили Fможна представити у наступній векторній формі:
Оскільки маса точки mприйнята постійною, її можна внести під знак похідної. Тоді
Формула (1) виражає теорему про зміну кількості руху точки у диференційній формі: перша похідна за часом від кількості руху точки дорівнює чинній на точку силі.
У проекціях на координатні осі (1) можна подати у вигляді
Якщо обидві частини (1) помножити на dt, то отримаємо іншу форму цієї ж теореми – теорему імпульсів у диференціальній формі:
тобто. диференціал кількості руху точки дорівнює елементарному імпульсу сили, що діє на точку.
Проеціюючи обидві частини (2) на координатні осі, отримуємо
Інтегруючи обидві частини (2) у межах від нуля до t (рис. 1), маємо
де - швидкість точки на момент t; - швидкість при t = 0;
S- імпульс сили за час t.
Вираз у формі (3) часто називають теоремою імпульсів у кінцевій (або інтегральній) формі: зміна кількості руху точки за будь-який проміжок часу дорівнює імпульсу сили за той самий проміжок часу.
У проекціях на координатні осі цю теорему можна подати у такому вигляді:
Для матеріальної точки теорема про зміну кількості руху в будь-якій формі, по суті, не відрізняється від диференціальних рівнянь руху точки.
Теорема про зміну кількості руху системи
Кількість руху системи називатиме векторну величину Q, що дорівнює геометричній сумі (головному вектору) кількостей руху всіх точок системи.
Розглянемо систему, що складається з n матеріальних точок. Складемо для цієї системи диференціальні рівняння руху та складемо їх почленно. Тоді отримаємо:
Остання сума за якістю внутрішніх сил дорівнює нулю. Крім того,
Остаточно знаходимо:
Рівняння (4) виражає теорему про зміну кількості руху системи у диференційній формі: похідна за часом кількості руху системи дорівнює геометричній сумі всіх діючих на систему зовнішніх сил.
Знайдемо інший вираз теореми. Нехай у момент t= 0 кількість руху системи дорівнює Q 0, а в момент часу t 1стає рівним Q1.Тоді, помножуючи обидві частини рівності (4) на dtта інтегруючи, отримаємо:
Або , де:
(S-імпульс сили)
так як інтеграли, що стоять праворуч, дають імпульси зовнішніх сил,
рівняння (5) виражає теорему про зміну кількості руху системи в інтегральній формі: зміна кількості руху системи за деякий проміжок часу дорівнює сумі імпульсів діючих на систему зовнішніх сил за той самий проміжок часу.
У проекціях на осі координат матимемо:
Закон збереження кількості руху
З теореми про зміну кількості руху системи можна отримати такі важливі наслідки:
1. Нехай сума всіх зовнішніх сил, що діють на систему, дорівнює нулю:
Тоді з рівняння (4) випливає, що при цьому Q = const.
Таким чином, якщо сума всіх зовнішніх сил, що діють на систему, дорівнює нулю, то вектор кількості руху системи буде постійний по 10модулю та напрямку.
2. Нехай зовнішні сили, що діють на систему, такі, що сума їх проекцій на якусь вісь (наприклад Ох) дорівнює нулю:
Тоді з рівнянь (4`) випливає, що при цьому Q = const.
Таким чином, якщо сума проекцій всіх діючих зовнішніх сил якусь вісь дорівнює нулю, то проекція кількості руху системи цю вісь є величина постійна.
Ці результати і висловлюють закон збереження кількості руху системи.З них випливає, що внутрішні силизмінити сумарну кількість руху системи що неспроможні.
Розглянемо деякі приклади:
· Я в л е н е н н е д а ч і л і л о т к а т а. Якщо розглядати гвинтівку та кулю як одну систему, то тиск порохових газів при пострілі буде силою внутрішньою. Ця сила не може змінити сумарну кількість руху системи. Але оскільки порохові гази, діючи на кулю, повідомляють їй деяку кількість руху, спрямовану вперед, вони одночасно повинні повідомити гвинтівці таку ж кількість руху в зворотному напрямку. Це викличе рух гвинтівки тому, тобто. так звану віддачу. Аналогічне явище виходить при стрільбі зі зброї (відкат).
· Р а б о т а г р е б н о г о в і н т а (п о п о л е р а). Гвинт повідомляє деяку масу повітря (або води) рух уздовж осі гвинта, відкидаючи цю масу назад. Якщо розглядати масу, що відкидається, і літак (або судно) як одну систему, то сили взаємодії гвинта і середовища як внутрішні не можуть змінити сумарну кількість руху цієї системи. Тому при відкиданні маси повітря (води) назад літак (або судно) одержують відповідну швидкість руху вперед, таку, що загальна кількість руху системи, що розглядається, залишається рівним нулю, так як воно було нулем до початку руху.
Аналогічний ефект досягається дією весел чи гребних коліс.
· Реактизнання. У реактивному снаряді (ракеті) газоподібні продукти горіння палива з великою швидкістю викидаються з отвору в хвостовій частині ракети (із сопла реактивного двигуна). Діяльні при цьому сили тиску будуть внутрішніми силами і вони не можуть змінити сумарну кількість руху системи ракета-порохові гази. Але оскільки гази, що вириваються, мають відому кількість руху, спрямоване назад, то ракета отримує при цьому відповідну швидкість руху вперед.
Теорема моментів щодо осі.
Розглянемо матеріальну точку маси m, що рухається під дією сили F. Знайдемо для неї залежність між моментом векторів mVі Fщодо якоїсь нерухомої осі Z.
m z (F) = xF - уF (7)
Аналогічно для величини m (mV), якщо винести mза дужку буде
m z (mV) = m(хV - уV)(7`)
Беручи від обох частин цієї рівності похідні за часом, знаходимо
У правій частині отриманого виразу перша дужка дорівнює 0, оскільки dx/dt=V і dу/dt=V, друга ж дужка згідно з формулою (7) дорівнює
m z (F), оскільки за основним законом динаміки:
Остаточно матимемо (8)
Отримане рівняння виражає теорему моментів щодо осі: похідна за часом від моменту кількості руху точки щодо якоїсь осі дорівнює моменту діючої сили щодо тієї ж осі.Аналогічна теорема має місце й у моментів щодо будь-якого центру Про.
Теорема про зміну кількості руху точки
Оскільки маса точки постійна, та її прискорення то рівняння, що виражає основний закон динаміки, можна у вигляді
Рівняння висловлює одночасно теорему про зміну кількості руху точки у диференційній формі: похідна за часом від кількості руху точки дорівнює геометричній сумі сил, що діють на точку.
Проінтегруємо це рівняння. Нехай точка маси m, що рухається під дією сили (рис.15), має момент t=0 швидкість , а момент t 1-швидкість.
Рис.15
Помножимо тоді обидві частини рівності на та візьмемо від них певні інтеграли. При цьому праворуч, де інтегрування йде за часом, межами інтегралів будуть 0 t 1 , а зліва, де інтегрується швидкість, межами інтеграла будуть відповідні значення швидкості та
. Оскільки інтеграл від 
дорівнює ,
то в результаті отримаємо:
.
Стоячі праворуч інтеграли є імпульсами діючих сил. Тому остаточно матимемо:
.
Рівняння виражає теорему про зміну кількості руху точки в кінцевому вигляді: зміна кількості руху точки за деякий проміжок часу дорівнює геометричній сумі імпульсів всіх діючих на точку сил за той самий проміжок часу (Мал. 15).
При розв'язанні задач замість векторного рівняння часто користуються рівняннями у проекціях.
В разі прямолінійного руху, що відбувається вздовж осі ОхТеорема виражається першим із цих рівнянь.
Приклад 9.Знайти закон руху матеріальної точки маси m, що рухається вздовж осі хпід дією постійної за модулем сили F(рис. 16) за початкових умов: , при 
.
Рис.16
Рішення.Складемо диференціальне рівняння руху точки у проекції на вісь х: . Інтегруючи це рівняння, знаходимо: 
. Постійна визначається з початкової умови для швидкості і дорівнює. Остаточно
.
Далі, враховуючи, що v = dx/dt, Приходимо до диференціального рівняння: 
, інтегруючи яке отримуємо
Постійну визначаємо з початкової умови для координати точки. Вона дорівнює. Отже, закон руху точки має вигляд
Приклад 10. Вантаж ваги Р(рис.17) починає рухатися зі стану спокою вздовж гладкої горизонтальної площини під дією сили F = kt. Знайти закон руху вантажу.
Рис.17
Рішення.Виберемо початок відліку системи координат Проу початковому положенні вантажу та направимо вісь ху бік руху (рис. 17). Тоді початкові умови мають вигляд: O(t = 0) = 0, v ( t = 0) = 0. На вантаж діють сили F,Pта сила реакції площини N. Проекції цих сил на вісь хмають значення Fx = F = kt, Рx = 0, N x= 0, тому відповідне рівняння руху можна записати так: . Розділяючи змінні у цьому диференціальному рівнянні і потім інтегруючи, отримаємо: v = gkt 2 /2P + C 1 . Підставляючи початкові дані ( v(0) = 0), знаходимо, що C 1 = 0, і отримуємо закон зміни швидкості 
.
Останнє вираження, своєю чергою, є диференціальним рівнянням, інтегруючи яке знайдемо закон руху матеріальної точки: 
. Постійну, що входить сюди, визначаємо з другої початкової умови х(0) = 0. Легко переконатися, що . Остаточно
Приклад 11.На вантаж, що знаходиться у спокої на горизонтальній гладкій площині (див. мал. 17) на відстані девід початку координат, починає діяти у позитивному напрямку осі Oсила F = k 2 (P/g)O, де Р –вага грузу. Знайти закон руху вантажу.
Рішення.Рівняння руху вантажу (матеріальної точки), що розглядається, в проекції на вісь х
Початкові умови рівняння (1) мають вигляд: O(t = 0) = де, v ( t = 0) = 0.
Похідну за часом від швидкості, що входить до рівняння (1), представимо так
.
Підставляючи цей вираз у рівняння (1) і скорочуючи на ( P/g), отримаємо
Розділяючи змінні в останньому рівнянні, знаходимо, що . Інтегруючи останнє, маємо: . Використовуючи початкові умови 
, отримуємо , і, отже,
, 
. (2)
Оскільки сила діє на вантаж у позитивному напрямку осі х, то ясно, що в тому ж напрямі він повинен рухатися. Тому у рішенні (2) слід вибрати знак "плюс". Замінюючи далі у другому виразі (2) на , отримуємо диференціальне рівняння визначення закону руху вантажу. Звідки, поділяючи змінні, маємо
.
Інтегруючи останнє, знаходимо: 
. Після перебування постійної остаточно отримуємо
приклад 12.Куля Mмаси m(рис.18) падає без початкової швидкості під впливом сили тяжкості. При падінні куля відчуває опір , де – постійний коефіцієнт опору. Знайти закон руху кулі.
Рис.18
Рішення.Введемо систему координат з початком у точці розташування кулі при t = 0, направивши вісь увертикально донизу (рис. 18). Диференціальне рівняння руху кулі у проекції на вісь умає тоді вигляд
Початкові умови для кулі записуються так: x(t = 0) = 0, v ( t = 0) = 0.
Розділяючи змінні в рівнянні (1)
і інтегруючи, знаходимо: , де . Або після перебування постійної
або . (2)
Звідси випливає, що гранична швидкість, тобто. швидкість при , що дорівнює .
Щоб знайти закон руху, замінимо в рівнянні (2) v на dy/dt. Тоді, інтегруючи отримане рівняння з урахуванням початкової умови, остаточно знаходимо
.
приклад 13.Науково-дослідний підводний човен кулястої форми та маси m= = 1.5×10 5 кгпочинає занурюватися з вимкненими двигунами, маючи горизонтальну швидкість v х 0 = 30 м/ста негативну плавучість Р 1 = 0.01mg, де 
- Векторна сума архімедової сили, що виштовхує Qта сили тяжіння mg, що діють на човен (рис. 20). Сила опору води 
, кг/с. Визначити рівняння руху човна та його траєкторію.