Відповідаємо на запитання. Як знайти периметр трикутника? Відповідаємо на запитання Чому дорівнює периметр трикутника
Попередні відомості
Периметр будь-якої плоскої геометричної фігур на площині визначається як сума довжин усіх сторін. Винятком із цього не є і трикутник. Спочатку наведемо поняття трикутника, і навіть види трикутників залежно від сторін.
Визначення 1
Трикутником називатимемо геометричну фігуру, яка складена з трьох точок, з'єднаних між собою відрізками (рис. 1).
Визначення 2
Крапки в рамках визначення 1 називатимемо вершинами трикутника.
Визначення 3
Відрізки у межах визначення 1 називатимемо сторонами трикутника.
Очевидно, що будь-який трикутник матиме 3 вершини, а також три сторони.
Залежно від відношення сторін один до одного, трикутники поділяються на різнобічні, рівнобіжні та рівносторонні.
Визначення 4
Трикутник називатимемо різнобічним, якщо жодна з його сторін не дорівнює жодній іншій.
Визначення 5
Трикутник називатимемо рівнобедреним, якщо дві його сторони рівні один одному, але не дорівнюють третій стороні.
Визначення 6
Трикутник називатимемо рівностороннім, якщо всі його сторони дорівнюють одна одній.
Усі види цих трикутників Ви можете побачити малюнку 2.
Як знайти периметр різностороннього трикутника?
Нехай нам дано різнобічний трикутник, у якого довжини сторін дорівнюватимуть $α$, $β$ і $γ$.
Висновок:Для знаходження периметра різнобічного трикутника треба всі довжини його сторін скласти між собою.
Приклад 1
Знайти периметр різнобічного трикутника дорівнюють $34$ см, $12$ см та $11$ см.
$ P = 34 +12 +11 = 57 $ см
Відповідь: $57$ див.
Приклад 2
Знайти периметр прямокутного трикутника, у якого катети дорівнюють $6$ і $8$ див.
Спочатку знайдемо довжину гіпотенуз цього трикутника за теоремою Піфагора. Позначимо її через $α$, тоді
$α=10$ За правилом обчислення периметра різнобічного трикутника, отримаємо
$ P = 10 +8 +6 = 24 $ см
Відповідь: $24$ див.
Як знайти периметр рівнобедреного трикутника?
Нехай нам дано рівнобедрений трикутник, у якого довжини бічних сторін дорівнюватимуть $α$, а довжина основи дорівнює $β$.
За визначенням периметра плоскої геометричної фігури отримаємо, що
$P=α+α+β=2α+β$
Висновок:Для знаходження периметра рівнобедреного трикутника треба подвоєну довжину його сторін скласти з довжиною його основи.
Приклад 3
Знайти периметр рівнобедреного трикутника, якщо його бічні сторонидорівнюють $12$ см, а основа $11$ див.
За розглянутим вище прикладом, бачимо, що
$P=2\cdot 12+11=35$ см
Відповідь: $35$ див.
Приклад 4
Знайти периметр рівнобедреного трикутника, якщо його висота, проведена на основу, дорівнює $8$ см, а основа $12$ см.
Розглянемо малюнок за умовою задачі:
Оскільки трикутник рівнобедрений, то $BD$ також і медіаною, отже, $AD=6$ див.
За теоремою Піфагора, з трикутника $ADB$ знайдемо бічну сторону. Позначимо її через $α$, тоді
За правилом обчислення периметра рівнобедреного трикутника, отримаємо
$P=2\cdot 10+12=32$ см
Відповідь: $32$ див.
Як знайти периметр рівностороннього трикутника?
Нехай нам дано рівносторонній трикутник, у якого довжини всіх сторін дорівнюватимуть $α$.
За визначенням периметра плоскої геометричної фігури отримаємо, що
$P=α+α+α=3α$
Висновок:Для знаходження периметра рівностороннього трикутника треба довжину сторони трикутника помножити на $3$.
Приклад 5
Знайти периметр рівностороннього трикутника, якщо його сторона дорівнює $12$ див.
За розглянутим вище прикладом, бачимо, що
$ P = 3 \ cdot 12 = 36 $ см
Як знайти периметр трикутника? Таким питанням ставився кожен із нас, навчаючись у школі. Спробуймо згадати все, що ми знаємо про цю дивовижну фігуру, а також відповісти на задане питання.
Відповідь на питання про те, як знайти периметр трикутника, зазвичай є досить-таки простим - потрібно лише виконати процедуру складання довжин всіх його сторін. Однак є ще кілька простих методів шуканої величини.
Поради
У тому випадку, якщо радіус (r) кола, яке вписано в трикутник, та його площа (S) відомі, то відповісти на питання про те, як знайти периметр трикутника, досить просто. Для цього вам необхідно скористатися звичайною формулою:
Якщо відомі два кути, припустимо, α і β, які прилягають до сторони, і сама довжина сторони, то периметр можна знайти за допомогою дуже популярної формули, яка має вигляд:
sinβ∙а/(sin(180° - β - α)) + sinα∙а/(sin(180° - β - α)) + а
Якщо ви знаєте довжини суміжних сторін і кут β, що знаходиться між ними, то для того, щоб знайти периметр, потрібно скористатися теоремою косінусів. Периметр обчислюється за такою формулою:
P = b + a + √(b2 + a2 - 2∙b∙а∙cosβ),
де b2 та а2 є квадратами довжин суміжних сторін. Підкорене вираз - це довжина третьої сторони, яка невідома, виражена у вигляді теореми косінусів.
Якщо ви не знаєте, як знайти периметр рівнобедреного трикутника, то тут насправді немає нічого складного. Обчисліть його за такою формулою:
де b - основа трикутника, а - його бічні сторони.
Для знаходження периметра правильного трикутника слід скористатися найпростішою формулою:
де а - Довжина сторони.
Як знайти периметр трикутника, якщо відомі лише радіуси кіл, які описані біля нього або вписані в нього? Якщо трикутник є рівностороннім, тоді слід застосувати формулу:
P = 3R√3 = 6r√3,
де R і r є радіусами описаного та вписаного кола відповідно.
Якщо трикутник є рівнобедреним, то для нього застосовується формула:
P=2R (sinβ + 2sinα),
де α - це кут, що лежить біля основи, а β - кут, який протилежить основі.
Найчастіше для вирішення математичних завдань потрібно глибокий аналіз і специфічне вміння знаходити і виводити необхідні формули, а це, як відомо, досить непроста робота. Хоча деякі завдання можна вирішити лише за допомогою однієї-єдиної формули.
Давайте розглянемо формули, які є базовими для відповіді на питання про те, як знайти периметр трикутника по відношенню до найрізноманітніших типів трикутників.
Безумовно, головне правило для знаходження периметра трикутника - це твердження: для знаходження периметра трикутника потрібно скласти довжини всіх його сторін за відповідною формулою:
де b, a і з – це довжини сторін трикутника, а Р – периметр трикутника.
Є кілька окремих випадків цієї формули. Припустимо, ваше завдання формулюється так: «як знайти периметр прямокутного трикутника?» У такому разі вам слід скористатися такою формулою:
P = b + a + √ (b2 + a2)
У цій формулі b а є безпосередніми довжинами катетів прямокутного трикутника. Нескладно здогадатися, що замість боку з (гіпотенузи) використовується вираз, отриманий за теоремою великого вченого давнини - Піфагора.
Якщо потрібно вирішити завдання, де трикутники є подібними, то логічно було б скористатися цим твердженням: відношення периметрів відповідає коефіцієнту подібності. Припустимо, у вас є два подібні трикутники - ABC і A1B1C1. Тоді для знаходження коефіцієнта подібності необхідно розділити периметр ABC на периметр A1B1C1.
На закінчення можна відзначити, що периметр трикутника можна знайти за допомогою різних методик, в залежності від тих вихідних даних, які у вас є. Необхідно додати, що є деякі окремі випадки для прямокутних трикутників.
Периметр будь-якого трикутника – це довжина лінії, що обмежує фігуру. Щоб його обчислити, потрібно дізнатися про суму всіх сторін цього багатокутника.
Обчислення за цими значеннями довжини сторін
Коли відомі їх значення, зробити це нескладно. Позначивши ці параметри літерами m, n, k, а периметр літерою P отримаємо формулу для обчислення: P = m+n+k. Завдання: Відомо, що трикутник має сторони завдовжки 13,5 дециметрів, 12,1 дециметрів та 4,2 дециметри. Дізнатися про периметр. Вирішуємо: Якщо сторони даного багатокутника – a = 13,5 дм, b = 12,1 дм, c = 4,2 дм, то P = 29,8 дм. Відповідь: P = 29,8 дм.
Периметр трикутника, який має дві рівні сторони
Такий трикутник називається рівнобедреним. Якщо ці рівні сторонимають довжину a сантиметрів, а третя сторона - b сантиметрів, то периметр легко впізнати: P = b + 2a. Завдання: трикутник має дві сторони по 10 дециметрів, основу 12 дециметрів. Знайти P. Рішення: Нехай бічна сторона a = c = 10 дм, основа b = 12 дм. Сума сторін P = 10 дм + 12 дм + 10 дм = 32 дм. Відповідь: P = 32 дециметри.
Периметр рівностороннього трикутника
Якщо всі три сторони трикутника мають однакову кількість одиниць виміру, він називається рівностороннім. Ще одна назва – правильна. Периметр правильного трикутника знаходять з допомогою формули: P = a+a+a = 3·a. Завдання: Маємо рівносторонню трикутну земельну ділянку. Одна сторона дорівнює 6 метрів. Знайти довжину огорожі, якою можна обнести цю ділянку. Рішення: Якщо сторона цього багатокутника a = 6м, то довжина паркану P = 3·6 = 18 (м). Відповідь: P = 18 м-коду.
Трикутник, який має кут 90°
Його називають прямокутним. Наявність прямого кутадає можливість знаходити невідомі сторони, користуючись визначенням тригонометричних функційі теорема Піфагора. Найдовша сторона називається гіпотенуза та позначається c. Є ще дві сторони, a та b. Наслідуючи теорему, що носить ім'я Піфагора, маємо c 2 = a 2 + b 2 . Катети a = √ (c 2 - b 2) та b = √ (c 2 - а 2). Знаючи довжину двох катетів a та b, обчислюємо гіпотенузу. Потім знаходимо суму сторін фігури, склавши ці значення. Завдання: Катети прямокутного трикутника мають довжину 8,3 сантиметри та 6,2 сантиметри. Периметр трикутника слід обчислити. Вирішуємо: Позначимо катети a = 8,3 см, b = 6,2 см. За теоремою Піфагора гіпотенуза c = √ (8,3 2 + 6,2 2) = √ (68,89 + 38,44) = √107 33 = 10,4 (см). P = 24,9(см). Або P = 8,3 + 6,2 + √ (8,3 2 + 6,2 2) = 24,9 (см). Відповідь: P = 24,9 см. Значення коренів брали з точністю до десятих. Якщо нам відомі значення гіпотенузи та катета, то значення Р отримаємо, обчисливши Р = √ (c 2 - b 2) + b + c. Завдання 2: Відрізок земельної ділянки, що лежить проти кута 90 градусів, 12 км, один з катетів - 8 км. За який час можна обійти всю ділянку, якщо рухатися зі швидкістю 4 кілометри на годину? Рішення: якщо найбільший відрізок - 12 км, менший b = 8 км, то довжина всього шляху становитиме P = 8 + 12 + √ (12 2 - 8 2) = 20 + √80 = 20 + 8,9 = 28,9 ( км). Час знайдемо, поділивши шлях на швидкість. 28,9:4 = 7,225 (год). Відповідь: можна обійти за 7,3 год. Значення квадратного коріння та відповіді беремо з точністю до десятих. Можна знайти суму сторін прямокутного трикутника, якщо дана одна із сторін і значення однієї з сторін гострих кутів. Знаючи довжину катета b і значення кута β, що протилежить йому, знайдемо невідому сторону a = b/ tg β. Знаходимо гіпотенузу c = a: sin. Периметр такої фігури знаходимо, склавши отримані значення. P = a + a / sin + a / tg α, або P = a (1 / sin α + 1 + 1 / tg α). Завдання: У прямокутному АВС з прямим кутом С катет ВС має довжину 10 м, кут А - 29 градусів. Потрібно знайти суму сторін АВС. Рішення: Позначимо відомий катет ВС = a = 10 м, кут, що лежить навпроти нього, ∟А = α = 30°, тоді катет АС = b = 10: 0,58 = 17,2 (м), гіпотенуза АВ = c = 10: 0,5 = 20(м). Р = 10 + 17,2 + 20 = 47,2 (м). Або Р = 10 · (1 + 1,72 + 2) = 47,2 м. Маємо: P = 47,2 м. Значення тригонометричних функцій беремо з точністю до сотих, значення довжини сторін та периметра округляємо до десятих. Маючи значення катета і прилеглого кута, дізнаємося, чому дорівнює другий катет: b = a tg. Гіпотенуза в такому випадку дорівнюватиме катету, розділеному на косинус кута β. Периметр дізнаємося за формулою P = a + tg β + a: cos β = (tg β + 1+1: cos β)·a. Завдання: Катет трикутника з кутом 90 градусів 18 см, прилеглий кут – 40 градусів. Знайти P. Рішення: Позначимо відомий катет ВС = 18 см, ∟β = 40 °. Тоді невідомий катет АС = b = 18 · 0,83 = 14,9 (см), гіпотенуза АВ = c = 18: 0,77 = 23,4 (см). Сума сторін фігури дорівнює Р = 56,3 (см). Або Р = (1 + 1,3 +0,83) * 18 = 56,3 см. Відповідь: P = 56,3 см. Якщо відома довжина гіпотенузи c і який-небудь кут α, то катети будуть рівні добутку гіпотенузи для першого – на синус і для другого – на косинус цього кута. Периметр цієї фігури P = (sin + + 1+ cos α) * c. Завдання: Гіпотенуза прямокутного трикутника АВ = 9,1 см, а кут 50 градусів. Знайти суму сторін цієї постаті. Рішення: Позначимо гіпотенузу: AB = c = 9,1 см, ∟A = α = 50°, тоді один із катетів BC має довжину a = 9,1 · 0,77 = 7 (см), катет АС = b = 9 ,1 · 0,64 = 5,8 (см). Значить, периметр цього багатокутника дорівнює P = 9,1 + 7 + 5,8 = 21,9 (см). Або P = 9,1 · (1 + 0,77 + 0,64) = 21,9 (см). Відповідь: P = 21,9 сантиметрів.
Довільний трикутник, одна із сторін якого невідома
Якщо ми маємо значення двох сторін a і c, і кута між цими сторонами γ, третю знаходимо теорему косінусів: b 2 = с 2 + a 2 - 2 ас cos β де β - кут, що лежить між сторонами а і с. Потім знаходимо периметр. Завдання: АВС має відрізок АВ довжиною 15 дм, відрізок АС, довжина якого 30,5 дм. Значення кута між цими сторонами 35 градусів. Обчислити суму сторін АВС. Рішення: Теорема косінусів обчислимо довжину третьої сторони. BC 2 = 30,5 2 + 15 2 - 2 · 30,5 · 15 · 0,82 = 930,25 + 225 - 750,3 = 404,95. BC = 20,1 см. P = 30,5 + 15 + 20,1 = 65,6 (дм). Маємо: P = 65,6 дм.
Сума сторін довільного трикутника, у якого довжини двох сторін невідомі
Коли знаємо довжину лише одного відрізка і значення двох кутів, можна дізнатися довжину двох невідомих сторін, користуючись теоремою синусів: «у трикутнику сторони завжди пропорційні значенням синусів протилежних кутів». Звідки b = (a * sin β) / sin a. Аналогічно c = (a sin γ): sin a. Периметр у такому разі буде P = а + (а sin β) / sin a + (a sin γ) / sin a. Завдання: Маємо ABC. У ньому довжина сторони BC 8,5 мм, значення кута C - 47 °, а кута B - 35 градусів. Знайти суму сторін цієї постаті. Рішення: Позначимо довжини сторін BC = a = 8,5 мм, AC = b, AB = c, ∟ A = α = 47 °, ∟B = β = 35 °, ∟ C = γ = 180 ° - (47 ° + 35 °) = 180 ° - 82 ° = 98 °. Зі співвідношень, отриманих з теореми синусів, знаходимо катети AC = b = (8,5 · 0,57): 0,73 = 6,7 (мм), AB = c = (7 · 0,99): 0,73 = 9,5 (мм). Звідси сума сторін цього багатокутника дорівнює P = 8,5 мм + 5,5 мм + 9,5 мм = 23,5 мм. Відповідь: P = 23,5 мм. У разі, коли є тільки довжина одного відрізка та значення двох прилеглих кутів, спочатку обчислюємо кут, протилежний відомій стороні. Усі кути цієї фігури мають 180 градусів. Тому ∟A = 180° - (∟B + ∟C). Далі знаходимо невідомі відрізки, використовуючи теорему синусів. Завдання: Маємо ABC. Він має відрізок BC, що дорівнює 10 см. Значення кута B дорівнює 48 градусів, кут C дорівнює 56 градусів. Знайти суму сторін ABC. Рішення: Спочатку знайдемо значення кута A, що протилежить стороні BC. ∟A = 180 ° - (48 ° + 56 °) = 76 °. Тепер з теоремою синусів обчислимо довжину сторони AC = 10 0,74: 0,97 = 7,6 (см). AB=BC* sin C/sin A=8,6. Периметр трикутника Р=10+8,6+7,6=26,2 (см). Результат: P = 26,2 см.
Обчислення периметра трикутника з використанням радіуса кола, вписаного в нього
Іноді з умови завдання не відома жодна сторона. Зате є значення площі трикутника та радіусу кола, вписаного в нього. Ці величини пов'язані: S = r p. Знаючи значення площі трикутника, радіуса r, можна знайти напівпериметр p. Знаходимо p = S: r. Завдання: Ділянка має площу 24 м 2 , радіус r дорівнює 3 м. Знайти кількість дерев, яку потрібно висадити рівномірно по лінії, що огороджує цю ділянку, якщо між двома сусідніми має бути відстань 2 метри. Рішення: Суму сторін цієї фігури знаходимо так: P = 2 · 24: 3 = 16 (м). Потім ділимо на дві. 16:2 = 8. Разом: 8 дерев.
Сума сторін трикутника у декартових координатах
Вершини Δ АВС мають координати: A (x 1 ; y 1), B (x 2 ; y 2), C(x 3 ; y 3). Знайдемо квадрати кожної зі сторін AB 2 = (x 1 - x 2) 2 + (y 1 - y 2) 2; НД 2 = (x 2 - x 3) 2 + (y 2 - y 3) 2; АС 2 = (x 1 – x 3) 2 + (y 1 – y 3) 2 . Щоб знайти периметр, достатньо скласти усі відрізки. Завдання: Координати вершин ABC: B (3; 0), A (1; -3), C (2; 5). Знайти суму сторін цієї постаті. Рішення: поставивши значення відповідних координат у формулу периметра, отримаємо P = √(4 + 9) + √(1 + 25) + √(1 + 64) = √13 + √26 + √65 = 3,6 + 5,1 + 8,0 = 16,6. Маємо: P = 16,6. Якщо фігура знаходиться не на площині, а у просторі, то кожна з вершин має три координати. Тому формула суми сторін матиме ще один доданок.
Векторний метод
Якщо фігура задана координатами вершин, можна обчислити периметр, використовуючи векторний метод. Вектор - відрізок, що має напрямок. Його модуль (довжина) позначається символом ǀᾱǀ. Відстань між точками - і є довжина відповідного вектора, чи модуль вектора. Розглянемо трикутник, що лежить на площині. Якщо вершини мають координати А (х 1 ; у 1), М (х 2 ; у 2), Т (х 3 ; у 3), то довжину кожної зі сторін знаходимо за формулами: ǀАМǀ = √ ((х 1 - х 2) ) 2 + (у 1 - у 2) 2), ǀМТǀ = √ ((х 2 - х 3) 2 + (у 2 - у 3) 2), ǀАТǀ = √ ((х 1 - х 3) 2 + ( у 1 - у 3) 2). Отримаємо периметр трикутника, склавши довжини векторів. Аналогічно знаходять суму сторін трикутника у просторі.
У статті на прикладах покажемо, як знаходити периметр трикутника. Розглянемо всі основні випадки, як знайти периметри трикутниківнавіть коли не всі значення сторін відомі.
Трикутникомназивається проста геометрична фігура, що складається з трьох прямих ліній, що перетинають один одного. У якій точки перетину прямих називаються вершинами, а прямі лінії, що з'єднують їх, називаються сторонами.
Периметром трикутниканазивається сума довжин сторін трикутника. Від того скільки ми маємо початкових даних, для обчислення периметра трикутника, залежить, яким з варіантів ми скористаємося, для його обчислення.
Перший варіант
Якщо ми знаємо довжини сторін n, y та z трикутника, то периметр ми можемо визначити за допомогою наступної формули: в якій P - це периметр, n, y, z - сторони трикутника
периметр прямокутника формула
P = n + y + z
Розглянемо з прикладу:
Дано трикутник ksv сторони якого k = 10см, s = 10 см, v = 8см. знайти його периметр.
Користуючись формулою, отримуємо 10 + 10 + 8 = 28.
Відповідь: Р = 28см.
Для рівностороннього трикутника знаходимо периметр так – довжина однієї сторони помножена на три. формула виглядає так:
Р = 3n
Розглянемо з прикладу:
Дано трикутник ksv сторони якого k = 10см, s = 10 см, v = 10см. знайти його периметр.
Користуючись формулою, отримуємо 10 * 3 = 30
Відповідь: Р = 30см.
Для рівнобедреного трикутника знаходимо периметр так - до довжини однієї бічної сторони помноженої на два, додаємо сторону основи
Рівнобедренним трикутником називається найпростіший багатокутник, у якого дві бічні сторони рівні, а третя сторона називається основою.
P = 2n + z
Розглянемо з прикладу:
Дано трикутник ksv сторони якого k = 10см, s = 10 см, v = 7см. знайти його периметр.
Користуючись формулою, отримуємо 2 * 10 + 7 = 27.
Відповідь: Р = 27см.
Другий варіант
Коли нам не відома довжина однієї сторони, але ми знаємо величини довжини двох інших сторін і кута між ними, а периметр трикутника можна знайти тільки після того, як ми дізнаємося про довжину третьої сторони. У цьому випадку невідома сторона дорівнюватиме кореню квадратному з виразу в2 + с2 - 2 ∙ в ∙ с ∙ cosβ
P = n + y + √ (n2 + y2 - 2 ∙ n ∙ y ∙ cos α)
n, y - довжини сторін
α - розмір кута між відомими нам сторонами
Третій варіант
Коли нам не відомі сторони n та y, але ми знаємо довжину сторони z та величини прилеглих до неї. Периметр трикутника в цьому випадку ми зможемо знайти тільки тоді, коли дізнаємося про довжину двох невідомих нам сторін, визначимо їх за допомогою теореми синусів, за допомогою формули
P = z + sinα ∙ z / (sin (180 ° -α - β)) + sinβ ∙ z / (sin (180 ° -α - β))
z - довжина відомого нам боку
α, β - розміри відомих нам кутів
Четвертий варіант
Так само можна знайти периметр трикутника по радіусу, вписаному в його коло і площі трикутника. Визначаємо периметр за формулою
P = 2S/r
S - площа трикутника
r - радіус вписаного в нього кола
Ми з вами розібрали чотири різні варіанти, як можна знайти периметр трикутника.
Знаходити периметр трикутника в принципі не складно. Якщо у вас з'явилися якісь питання по статті, доповнення, то обов'язково пишіть їх у коментарях.
До речі, на referatplus.ru ви можете завантажити реферати з математики безкоштовно.
Трикутник є однією з фундаментальних геометричних фігур, що являють собою три відрізки прямих, що перетинаються. Ця постать була відома ще вченим Стародавнього Єгипту, Стародавню Греціюі Стародавнього Китаю, які і вивели більшість формул і закономірностей, які використовуються вченими, інженерами та конструкторами досі.
До основних складових частин трикутника відносяться:
Вершини – точки перетину відрізків.
Сторони - відрізки прямих, що перетинаються.
Виходячи з цих складових частин, формулюють такі поняття, як периметр трикутника, його площа, вписана та описана коло. Ще зі школи відомо, що периметр трикутника є числовим виразом суми всіх трьох його сторін. У той самий час формул знаходження даної величини відомо безліч, залежно від вихідних даних, які є в дослідника у тому чи іншому випадку.
1. Найпростіший спосіб знаходження периметра трикутника використовується в тому випадку, коли відомі числові значення всіх трьох сторін (x, y, z), як наслідок:
2. Периметр рівностороннього трикутника можна знайти, якщо згадати, що у цієї фігури всі сторони, втім, як і кути, рівні. Знаючи довжину цієї сторони, периметр рівностороннього трикутника можна визначити за такою формулою:
3. У рівнобедреного трикутника, на відміну від рівностороннього, тільки дві бічні сторони мають одне і те ж числове значення, тому в цьому випадку загальному виглядіпериметр перебуватиме так:
4. Наступні способи необхідні у випадках, коли відомі числові значення не всіх сторін. Наприклад, якщо у дослідженні є дані про дві сторони, а також відомий кут між ними, то периметр трикутника може бути знайдений за допомогою визначення третьої сторони та відомого кута. У цьому випадку цю третю сторону буде знайдено за формулою:
z= 2x+2y-2xycosβ
Виходячи з цього, периметр трикутника дорівнюватиме:
P= x+y+2x+(2y-2xycos β)
5. У тому випадку, коли спочатку дана довжина не більше однієї сторони трикутника і відомі числові величини двох кутів прилеглих до неї, то периметр трикутника можна обчислити, спираючись на теорему синусів:
P = x+sinβ х/(sin(180°-β)) + sinγ x/(sin(180°-γ))
6. Бувають випадки, коли для знаходження периметра трикутника використовуються відомі параметри вписаного в нього кола. Ця формула також відома більшості ще зі шкільної лави:
P = 2S/r (S - площа кола, тоді як r - її радіус).
З усього наведеного вище видно, що величина периметра трикутника може бути знайдена безліччю способів, виходячи з тих даних, якими володіє дослідник. Крім того, є ще кілька окремих випадків знаходження даної величини. Так, периметр є однією з найважливіших величин та характеристик прямокутного трикутника.
Як відомо, таким трикутником називають фігуру, дві сторони якої утворюють прямий кут. Периметр прямокутного трикутника знаходиться через числове вираз суми обох катетів та гіпотенузи. У тому випадку, якщо досліднику відомі дані тільки про дві сторони, можна вирахувати залишок за допомогою знаменитої теоремиПіфагора: z = (x2 + y2), якщо відомі обидва катета, або x = (z2 - y2), якщо відома гіпотенуза та катет.
У тому випадку, якщо відома довжина гіпотенузи і один з прилеглих у ній кутів, дві інші сторони знаходяться за формулами: х= z sinβ , y= z cosβ. У цьому випадку периметр дорівнюватиме:
P= z(cosβ + sinβ +1)
Також окремим випадком є обчислення периметра правильного (або рівностороннього) трикутника, тобто такої фігури, у якої всі сторони та всі кути рівні. Обчислення периметра такого трикутника по відомій стороні ніякої проблеми не становить, однак, часто досліднику відомі інші дані. Так, якщо відомий радіус вписаного кола, периметр правильного трикутника знаходиться за формулою:
А якщо дана величина радіуса описаного кола, периметр правильного трикутника буде знайдено наступним чином:
Формули потрібно запам'ятати, щоб успішно застосувати практично.