Riešenia krivočiarych integrálov prvého druhu.

adsby.ru

1.1.1. Obrazy umelcov

1. druhu. Hodnota krivočiareho integrálu 1. druhu Choďte na námestie Oxy daná krivka (L). Pustite ľubovoľný bod na krivke (L) označená ako neprerušiteľná funkcia f(x; y). Rozib'emo oblúk (L). AB linky bodky A = P°, P1, Pn = B na n viac oblúkov Pj-1P i s dovzhins (

i = 1, 2, n n) (obr. 27) Vibermo na kožnú dávku dosť bodu Mi (x i; y i), počítateľné funkcie f(x; y) v bode

M i

λ→0 (.), Uložme si celý súčet Poďme. n→∞ f(x; y) neležte v ceste zlomu krivky ( L Mi (x i; y i),) v základných častiach, bez výberu bodov

krivočiary integrál 1. druhu typ funkcie (krivkový integrál na konci oblúka) a znamená: Rešpekt Oxy

.

Podobne zadajte hodnotu krivočiareho integrálu ako funkciu f(x;y;z) za krivkou rozlohy Fyzická náhrada krivočiareho integrálu 1. druhu: Yakshcho

1.1.2. (L)-

rovinná krivka z lineárna rovina

, potom sa hmotnosť krivky určí podľa nasledujúceho vzorca:

Hlavné mocniny krivočiareho integrálu 1. druhu:

1.1.3. 3. Ako sa integrovať

rozbité na také časti, ktoré vytvárajú jeden skrytý bod, teda.

4. Krivkový integrál 1. druhu nespadá pod priamu integráciu: (L). 5. , de - Dovzhina Krivoj.

Výpočet krivočiareho integrálu 1. druhu.

Výpočet krivočiareho integrálu je zredukovaný na výpočet speváckeho integrálu.

1. Nechajte to tak pridelené rovesníkom. Todi Potom sa pomocou tohto vzorca vypočíta diferenciál oblúka. zadok

Vypočítajte hmotnosť priameho rezu z bodu

A(1;1)

k veci f(x; y).): , .

B(2;4),

yakscho.

rozhodnutie (L). Priamka prechádzajúca dvoma bodmi: .: .

Potom je čiara rovná (

Dajme vedieť, že pôjdem.

Výpočet krivočiareho integrálu 1. druhu.

Výpočet krivočiareho integrálu je zredukovaný na výpočet speváckeho integrálu.

Todi.

Vypočítajte hmotnosť priameho rezu z bodu

=.: .

2. Pustite krivku

špecifikované parametricky

Potom je možné pomocou tohto vzorca vypočítať diferenciál oblúka. (L). Pre priestrannú plochu je krivka krivky: .

Výpočet krivočiareho integrálu 1. druhu.

Výpočet krivočiareho integrálu je zredukovaný na výpočet speváckeho integrálu.

Zistite dĺžku zakriveného oblúka.

Vypočítajte hmotnosť priameho rezu z bodu

Dovzhin oblúka je známy podľa vzorca

2. Pustite krivku

B(2;4),

1.2. Pre ktorý poznáme oblúkový diferenciál.

1.2.1. Poznáme koniec dňa: .

1. druhu. Hodnota krivočiareho integrálu 1. druhu Choďte na námestie (L). 3. Nechajte to tak (L).špecifikované v polárnom súradnicovom systéme: . (L) označená ako neprerušiteľná funkcia f(x; y). Rozib'emo oblúk (L). AB linky Todi Vypočítajte hmotnosť oblúka priamky 0 ≤ ≤ ako . Todi Hmotnosť oblúka je známa podľa vzorca: bodky A = P°, P1, Pn = B na n viac oblúkov Pj-1P i Krivočiary integrál 2. smer

i = 1, 2, n n) (obr. 27) Hodnota krivočiareho integrálu 2. druhu, dosť bodu Mi (x i; y i), počítateľné funkcie f(x; y). Jeb na teba je špecifikovaná neprerušiteľná funkcia priamo pred bodom. priamo pred bodom Keď je smer otáčania smeru výčnelku zamedzený kladným smerom osi , potom sa berie do úvahy projekcia oblúkov pozitívne , inak -.

M i

negatívne λ→0 (. Aký je rozdiel medzi integrálnou sumou kedy (L).), ktorá nestojí v ceste zlomu krivky f(x; y) na elementárnych častiach, bez výberu bodu na elementárnej časti kože, potom sa táto hranica nazýva L Mi (x i; y i), krivočiary integrál 2 (krivkový integrál za súradnicou X

) Myslím: Rešpekt.

) Myslím: Podobne zadajte hodnotu krivočiareho integrálu ako funkciu (L). Krivkový integrál za súradnicou y sa zavedie podobným spôsobom:

) Myslím:- krivka sa uzavrie, potom sa vypočíta integrál nad ňou Poďme. Yakshcho on (

) sú dané tri funkcie a z týchto funkcií sú integrály , , , hračka viraz: + + meno s ľadovcovým krivočiarym integrálom 2

1.2.2. potom napíš:

Hlavné mocniny krivočiareho integrálu 2. druhu:

3. Pri zmene priamej integrácie krivočiary integrál 2. druhu mení svoje znamienko.

4. Ak začleníme delenia do takýchto častí a vytvoríme jeden rohový bod, tak Poďme. 5. Yakshcho krivý (

) ležať blízko námestia: Kolmo na os Oh

) ležať blízko námestia: , potom = 0; Oh

) ležať blízko námestia: , To; Oz

potom = 0.

1.2.3. 6. Krivkový integrál 2. druhu pozdĺž uzavretej krivky leží na voľbe bodu klasu (leží len priamo okolo krivky).

Fyzikálna náhrada krivočiareho integrálu 2. druhu. Robot A sila v hodine pohybu hmotný bod hmotnosť jedného bodu M presne tak N vdovzh ( MN

1.2.4. ) drahší:

Výpočet krivočiareho integrálu k 2. druhu.

Výpočet krivočiareho integrálu 2. druhu sa redukuje na výpočet druhého integrálu. Poďme. 1. Pustite krivku (

Výpočet krivočiareho integrálu je zredukovaný na výpočet speváckeho integrálu.

) daný rovesníkom. Poďme. Vypočítajte, de ( ) - lamana: OAB

Vypočítajte hmotnosť priameho rezu z bodu

0(0;0), A(0;2), B(2;4).

Takže jaka (obr. 29), teda 1) Rivnyanna: , ,

(OA) 2) Rovná čiara): .

rozhodnutie (L).(AB

) Myslím: je špecifikovaný parametricky: .

Výpočet krivočiareho integrálu je zredukovaný na výpočet speváckeho integrálu.

V priestrannej vipadku:

Vypočítajte De ( AB)- videoklip A(0;0;1) predtým

Vypočítajte hmotnosť priameho rezu z bodu

B(2;-2;3). f(x; y).):

Poznáme priamy vzťah ( Prejdime k parametrickému nahrávaniu direkt(AB)

. Todi. Tochtsi A(0;0;1) označuje parameter t

. žiarlivý: otec, Tochtsi A(0;0;1) t = 0. B(2;-2;3)

, žiarlivý: otec, Vypočítajte hmotnosť oblúka priamky 0 ≤ ≤ ako . A(0;0;1) Hmotnosť oblúka je známa podľa vzorca: t = 1. A(0;0;1) Pri posúvaní pohľadu

1.3. ,parameter sa mení z 0 na 1. Greenov vzorec. L) vrátane

M(x; y; z)

s nápravami Poďme. Ox, Oy, Oz Ak je daný zakrivený integrál a krivka, cez ktorú sa dosiahne integrácia, je uzavretá (nazývaná obrys), takýto integrál sa nazýva integrál uzavretého obrysu a je symbolizovaný takto: Oblasť obklopená vrstevnicou významný(D, .) , Aké sú funkcie?(D, .) P Ak je daný zakrivený integrál a krivka, cez ktorú sa dosiahne integrácia, je uzavretá (nazývaná obrys), takýto integrál sa nazýva integrál uzavretého obrysu a je symbolizovaný takto: X

r Ak je daný zakrivený integrál a krivka, cez ktorú sa dosiahne integrácia, je uzavretá (nazývaná obrys), takýto integrál sa nazýva integrál uzavretého obrysu a je symbolizovaný takto:.

Greenov vzorec už neplatí pre žiadnu uzavretú oblasť, pretože na konci počtu jednoduchých uzavretých oblastí možno nakresliť ďalšie čiary.

zadok 1. Vyhodnoťte krivočiary integrál

,

yakscho Poďme.- obrys trikutánneho ) - lamana, de O(0; 0) , A(1; 2) to B(10) . Priamo okolo obrysu - oproti šípke výročia.

Úlohu možno vykonať dvoma spôsobmi: a) vypočítať krivočiare integrály z kožnej strany trikupu a výsledky spojiť; b) podľa Greenovho vzorca. a) Spočítateľné krivočiare integrály z kožnej strany trikuputónu. Side O.B. . byť na osi Vôl k tomu її rovná bude b) podľa Greenovho vzorca. :

= 0. Tom D Y= 0 a krivočiary integrál môžeme vypočítať zo strany D Rivnyannyam strany B.A. bude D Y :

= 1. Tom dx= 0. Krivkový integrál možno vypočítať zo strany

.

Rivalné strany Vôl = 2B.A. A.O. dx :

zložený pomocou vzorca priamky na prechod cez dva body: Takýmto spôsobom.

.

Krivkový integrál možno vypočítať zo strany , Tento krivočiary integrál bude moderné sumy

integrály pozdĺž okrajov tricutu:

b) Predpokladajme Greenov vzorec.

,

Takže jaka Poďme., To ) - lamana , b) podľa Greenovho vzorca.. . = D Máme všetko na to, aby sme vypočítali tento integrál pozdĺž uzavretého obrysu pomocou Greenovho vzorca: O V skutočnosti sme eliminovali rovnaký výsledok, ale pomocou Greenovho vzorca je výpočet integrálu pozdĺž uzavretého obrysu oveľa rýchlejší. A(1; 1) , zadok 2.і de- obrys B(0; 1) .

- parabolický oblúk Ak je daný zakrivený integrál a krivka, cez ktorú sa dosiahne integrácia, je uzavretá (nazývaná obrys), takýto integrál sa nazýva integrál uzavretého obrysu a je symbolizovaný takto:², od bodu Poďme.(0; 0) do bodu

AB B.O.

- rovné rezy, Poďme. rozhodnutie. . = 2 − |D| Zvyšky funkcií, ktoré sú súkromné, .

- Oblasť obklopená vrstevnicou . = 2 − |D, máme všetko na to, aby sme rýchlo použili Greenov vzorec a vypočítali daný integrál v uzavretej slučke: . = 2 − D| D zadok 3. . = 2 + D- rovné rezy, D < 0 .

Pomocou Greenovho vzorca vypočítajte krivočiary integrál

, yakscho

- obrys, ktorý vytvárajú čiary

a všetko

(1)

Oh

Takže jaka A(0;0;1) rozhodnutie.

Linka

pozostáva z dvoch zmien: Vypočítajte hmotnosť oblúka priamky 0 ≤ ≤ ako .≥ 0 ta Hmotnosť oblúka je známa podľa vzorca:,

, yakscho A(0;0;1) A≥ 0 ta A(0;0;1) B Naše funkcie sú tiež súkromné.

Všetko vložíme do Greenovho vzorca a výsledok sa dá extrahovať.

Výpočet krivočiareho integrálu za súradnicami. . Výpočet krivočiareho integrálu za súradnicami sa redukuje na výpočet počiatočného integrálu.

Pozrime sa nižšie na krivočiary integrál 2. druhu: (6)

Zarovnanie integračnej krivky sa nastavuje v parametrickom zobrazení: D- Parameter. Todi z rivnyanu (2) môže: Potom odstránime útočný záznam úrovne (6) v parametrickom zobrazení:

hviezdy: , A(0;0;1) A =x A , A(0;0;1) B =x B, a krivočiary integrál 2. je indukovaný do spevácka integrálka podľa zmeny D:

Takže jaka y(x)- Zoraďte riadok, podľa ktorého sa integrácia vykonáva.

Ako zarovnať integračnú krivku f(x; y). dodané prehľadným spôsobom D Výpočet krivočiareho integrálu za súradnicami sa redukuje na výpočet počiatočného integrálu.

x=φ(y) (8)

potom to berieme ako parameter ., napíšme rovná sa (8) v parametrickom zobrazení:

Odmietame: , A(0;0;1) A =y A , A(0;0;1) B =y B a vzorec na výpočet integrálu 2. druhu vyzerá takto:

Takže jaka x(y)- Čiara čiara f(x; y)..

) Myslím:

1). Potom krivočiary integrál za pôvodnými súradnicami. A = P°, P1, Pn = B→∞ Koncová hranica integrálneho súčtu je v , ako na integračnej krivke funkcieі P(x, y) Q(x, y) neprerušovaný a funguje≥ 0 ta x(t) y(t)

nepretržite súčasne s našimi prvými pochodmi.

2). - rovné rezy, f(x; y). Ak je integračná krivka uzavretá, musíte sledovať integračnú priamku, fragmenty

Vyhodnoťte integrál dané rovnými: 2 A). 2 =1.

(x-1) +y

b). +y 2

y=x V). Rez A. Integračná línia okolo polomeru R = 1 so stredom v bode

C(1;0)

. A(0;0;1) Toto je parametrické porovnanie: Vypočítajte hmotnosť oblúka priamky 0 ≤ ≤ ako .і Hmotnosť oblúka je známa podľa vzorca:.

Vieme A(0;0;1) A =π .

Významná hodnota parametra D v bodoch

Odmietame:

Krapka A.

Pokles B. Čiara integrácie paraboly. Akceptujeme na parameter.

Todi, ,. , ako na integračnej krivke funkcie≥ 0 ta P(x, y) Greenov vzorec. Akceptujeme Greenov vzorec vytvára spojenie medzi krivočiarym integrálom 2. druhu pozdĺž uzavretého obrysu a podriadeným integrálom nad oblasťou Poďme. D

(1)

obklopený obrysom.

Aká je funkcia

súkromné ​​aj nepretržité v oblasti , obklopený obrysom, potom platí nasledujúci vzorec: Akceptujeme- Greenov vzorec. Sideі Zvyšky funkcií, ktoré sú súkromné,.

Dokončené. Poďme sa pozrieť na námestie Poďme. xOy regiónuі správne pre priame súradnicové osi Predtým . ontur D rovno x=a x=b je rozdelená na dve časti, na strane kože 2 є jednoznačná funkcia v. Poďme k hornej časti ADV je rozdelená na dve časti, na strane kože 1 є jednoznačná funkcia v.

obrys je opísaný radmi

y=y (X), a spodný pozemok

.

DIA obrys - rivnyanyam Pozrime sa na čiastkový integrál je rozdelená na dve časti, na strane kože 2 є jednoznačná funkcia v Lekári, pre ktorých je vypočítaný vnútorný integrál

x=konšt , ako na integračnej krivke funkcie vynechateľné: Poďme k hornej časti Pozrime sa na čiastkový integrál je rozdelená na dve časti, na strane kože 1 є jednoznačná funkcia v Tiež prvý integrál tohto súčtu, ako vyplýva zo vzorca (7), je krivočiary integrál pozdĺž priamky

.

ACA Poďme. L , ako na integračnej krivke funkcie, teda jaka D.

- Rivnyana teda tento riadok.

(2)

a druhý integrál je krivočiary integrál funkcie Poďme. xOy pozdĺž čiary≥ 0 ta - Poradové číslo: Súčet týchto integrálov je krivočiary integrál pozdĺž uzavretého obrysu. za súradnicou≥ 0 ta Výsledok je odpočítateľný: Po rozdelení obrysu y=c 1 y=d≥ 0 ta y=c 2 na pozemky GARDEN

SVD

.

, ktorý je opísaný podobným spôsobom ako veky

x=x

(y) , ako na integračnej krivke funkcieі P(x, y)(y

) možno odstrániť podobným spôsobom:

No môže za to žiarlivosť

čo je možné napr

Hviezdičky je možné odstrániť:

(4)

Vypočítajte plochu obklopenú elipsou, ktorej úroveň je daná v parametrickom zobrazení:

Myseľ nezávislosti krivočiareho integrálu za súradnicami v smere integrácie.

Zistili sme, že pri mechanickom posunutí krivočiary integrál 2. druhu predstavuje prácu premennej sily na zakrivenej dráhe, alebo inými slovami prácu posunutia hmotného bodu na silovom poli.

Z fyziky je tiež zrejmé, že robot v gravitačnom poli neleží v tvare dráhy, ale leží v polohe klasu a koncových bodov dráhy.

Existujú rozdiely, ak krivočiary integrál 2. druhu leží v smere integrácie. Akceptujeme Je dôležité pochopiť, že krivočiary integrál za súradnicami leží v spôsobe integrácie. , ako na integračnej krivke funkcie≥ 0 ta P(x, y) Poďme do aktívneho regiónu

funkcie Vypočítajte hmotnosť oblúka priamky 0 ≤ ≤ ako .і Hmotnosť oblúka je známa podľa vzorca: a súkromné ​​výlety Poďme k hornej častiі І neprerušovane..

Zoberme si body v tejto oblasti

,

(1)

A spájame ich dostatočnými čiarami AFB.

Ak krivočiary integrál 2. druhu leží na integračnej dráhe, potom Akceptujeme Ale integrál (1) є integrál cez uzavretý obrys

ACBFA , ako na integračnej krivke funkcie≥ 0 ta P(x, y) No, krivočiary integrál 2. druhu v definitívnom galuse

, (2)

neležia na ceste integrácie, pretože integrál za akoukoľvek uzavretou slučkou je rovný nule.

Je dôležité, aby vaša myseľ bola spokojná s funkciami Akceptujeme Je dôležité pochopiť, že krivočiary integrál za súradnicami leží v spôsobe integrácie. , ako na integračnej krivke funkcie≥ 0 ta P(x, y) aby sa žiarlivosť odstránila

tobto. Akceptujeme aby sa zabezpečilo, že krivočiary integrál za súradnicami neleží v integračnej dráhe.

Aká je funkcia

Poďme do oblasti

, (5)

a ich súkromné ​​aktivity sú prvotriedne a neprerušované.

Tak, že krivočiary integrál za súradnicami

Bez opustenia cesty integrácie je potrebné a postačujúce, aby všetky body v kraji

bola sfalšovaná žiarlivosť

No elán (2) sa končí.

є Teraz je potrebné zmeniť názor (4). Výsledok z rovnosti (5) vedie k záveru rovnosti (2), a preto integrál leží na integračnej ceste. No, veta bola dokázaná..

Ukážme vám, čo je múdre

. (7)

Ide o to, že ide o integrálny výraz No, veta bola dokázaná.úplný diferenciál

akúkoľvek funkciu

U(x, y)

, .

Nová diferenciácia tejto funkcie oproti predchádzajúcim Nech integrálny výraz (6) je nová diferenciálna funkcia, potom. Hviezdy kričia Nech integrálny výraz (6) je nová diferenciálna funkcia Z týchto žiarlivcov poznáme výrazy pre súkromných cestujúcich: V opačnom prípade musia ostatné súkromné ​​rozdiely ležať v poradí diferenciácie, preto bolo potrebné na to upozorniť. nepoctivý

integrály

.

Nasledujú tiež... dodatočné informácie. O teórii sektorov. O teórii = f()   O  Ak chcete nájsť oblasť sektoroch zavádzame polárny...gradient s priamym prístupom. Násobky integrály Násobky.

Metro

.

Myseľ je založená na integráli. Moc... Implementácia matematických modelov, ktoré využívajú metódy integrácie do rámca MATLAB Kurz >> Informatika Násobky... (I = 1,2, ..., n).

Malý

.

5 – Vzorec lichobežníkového todiho štvorca Nech integrálny výraz (6) je nová diferenciálna funkcia krivočiary lichobežník, obklopený čiarami x=a, x=b, y=0, y=f(x), čo znamená (po... v symbolickom pohľade ľubovoľný násobky . 2. MATLAB – MODELOVACIE CENTRUM MATLAB (Matrix... . Dii s podobnými hodnotami

Rôzne hodnosti a pri počítaní spevákov

funkcie okolitých funkcií. f(x; y). Pozrime sa

(10.3)

rôzne cesty ...  x2… xk+m. (10.4)

Rivnyanna k vo dvojiciach f(x; y). násobky

(10.5)

som nespárovaný f(x; y). koreň Rozkladá sa na úrovniach (k+m)...

, (10.6)

Krivkový integrál 2. druhu sa vypočíta rovnakým spôsobom, ako sa krivočiary integrál 1. druhu redukuje na jednoduchý integrál. Na tento účel sú všetky zmeny pod znamienkom integrálu vyjadrené jednou zmenou, vikoristickými a rovnakými čiarami, po ktorých sa uskutoční integrácia. a) Aká je čiara

Rivnyanna k vo dvojiciach f(x; y). daný klasifikačným systémom potom f(x; y). Pre plochý pád, ak je krivka daná úrovni

Krivkový integrál sa vypočíta pomocou nasledujúceho vzorca: . Aká je čiara dané parametrickými rovnicami Pre plochý strih, ako linka A(0;0;1) dané parametrickými rovnicami Pre plochý strih, ako linka A(0;0;1) .

, krivočiary integrál sa vypočíta podľa vzorca: de - hodnota parametra t, (10.4 Medzi predným a koncovým bodom je integrácia.

shmatkovo-hladký, stopa rýchlosti vďaka sile aditivity krivočiareho integrálu, lámanie .

na hladkých oblúkoch. Zadok 10.1 Vypočítateľný krivočiary integrál

pozdĺž obrysu, ktorý sa skladá z častí krivky druh škvrnky a oblúky elipsy T. do. obrys sa skladá z dvoch častí, zrýchlených silou aditivity krivočiareho integrálu:
.

. Je zrejmé, že útok bol integrovaný do skladieb. f(x; y)., de Časť obrysu sa pridelí rovnakým častiam, ktoré sa majú zmeniť

Vypočítajte hmotnosť priameho rezu z bodu. .

Zrýchlenie vzorca .

Parametrické vyrovnanie priamych hodnôt: ,

O
.

Zrýchlenie vzorca (10.5) :

Po výpočte integrálu dostaneme nasledovné: .

5. Dielo sily, keď sa hmotný bod jednej hmoty pohybuje z bodu do bodu po krivke .

Zasiahnite bod pokožky hladkou a hladkou krivkou vektor úloh, ktorý má neprerušiteľné súradnicové funkcie: . Rozіb'emo túto krivku na malé kúsky so škvrnami teda v bodoch kožnej časti
význam funkcie by mohli brať do úvahy civilizovaní, aj samotná časť mohol byť zamenený za priamku (div. obr. 10.1). Todi . Skalárne sčítanie konštantnej sily, ktorej úlohu zohráva vektor

. (10.7) Rivalné strany , na priamočiarom vektore posunu, numericky pokročilé roboty, ktoré generujú silu pri pohybe hmotného bodu v každom smere. - Uložme si celý súčet . Vypočítajte hmotnosť oblúka priamky 0 ≤ ≤ ako . A(0;0;1) Hmotnosť oblúka je známa podľa vzorca: Na hranici, keď nedôjde k zvýšeniu počtu rozdelení, sa odstráni krivočiary integrál iného druhu Poďme..

fyzický zmysel krivočiary integrál iného druhu tento robot, drvený silou keď sa hmotný bod presunie z po vrstevnici Zadok 10.3.

Vypočítajte hmotnosť priameho rezu z bodu Vypočítateľné pre robota, vektor

.

keď sa bod presunie z časti Vivianovej krivky, špecifikovanej ako rozpätie cez guľu .

ten valec , ktorá prebieha pozdĺž šípky letopočtu, pretože sa rozprestiera od kladnej časti osi VÔL. . Krivku zadefinujeme ako priamku cez dve plochy (oddiel Obr. 10.3).

Aby sme zredukovali integrálny výraz na jednu premennú, prejdime na cylindrický súradnicový systém:
.

Pretože

bod sa pohybuje po krivke

, potom manuálne vyberte parameter zmeny, aby sa okruh zmenil tak, že .

..

Potom nie je potrebné vykročiť

parametrické zarovnanie

s krivkou: : .V tomto prípade

Predstavme si vzorec na výpočet obehu:( - znamienko + označuje, že smer bodu pozdĺž vrstevnice je oproti šípke roka)

Krapka A.

1. druhu. Integrál je vypočítateľný a výsledok je odvoditeľný:

Zaneprázdnený 11 Oblasť obklopená vrstevnicou Greenov vzorec pre oblasť s jedným odkazom. Nezávislosť krivočiareho integrálu od integrácie. Newtonov-Leibnizov vzorec.

Identifikácia funkcie za diferenciálnym diferenciálom pomocou krivočiareho integrálu (rovinné a priestorové nekonzistencie).

- Greenov vzorec . (11.1)

Označuje kladný dopredný bypass (oproti šípke roka).

Príklad 11.1. Pomocou Vikoristovho vzorca je integrál vyčísliteľný za obrysom, ktorý pozostáva z rezov O.A., O.B. a veľký oblúkový kolík , ktorý spája body Aі B, yakscho , , .

Vypočítajte hmotnosť priameho rezu z bodu. Pozrime sa na obrys

(Div. Obr. 11.2).

, ; , Nevyhnutné výdavky sú spočítateľné.

Malyunok 11.2

.
.

Ich funkcie sú súvislé a súvislé v uzavretej oblasti obklopenej týmto obrysom.
.

Tento integrál sa riadi Greenovým vzorcom.:
.

Po dosadení výpočtov obetí môžeme odstrániť.

. і Sub-integrál je vyčísliteľný a prechádza do polárnych súradníc: Overme si dôkaz vypočítaním integrálu pozdĺž obrysu ako krivočiareho integrálu iného druhu. Vidpovid 2. Nezávislosť krivočiareho integrálu v spôsobe integrácie

Poďme

- ďalšie body jednočlánkovej oblasti námestia..
Krivkové integrály, vypočítané pre rôzne krivky, ktoré spájajú body, sú blízko rohu

rôzne významy.
. Greenov vzorec pre oblasť s jedným odkazom. Ale v znamení aktívnych myslí môžu byť všetky tieto významy rovnaké. Nezávislosť krivočiareho integrálu od integrácie. Potom by mal integrál ležať pod tvarom cesty, ležať iba v klase a koncových bodoch. (11.2)

Takéto teorémy sa objavujú okolo. (11.2) Veta 1 (11.3)

. Aby bol integrál Bez ležania v tvare dráhy, ktorá spája body i, je potrebné a postačujúce, aby tento integrál za akoukoľvek uzavretou kontúrou dosiahol nulu. Veta 2. (11.4)

mimo akejkoľvek uzavretej slučky je pridanie nuly k nule potrebné a postačujúce pre funkciu boli nepretržité v uzavretom priestore a tak sa formuje myseľ

) Myslím: Takým spôsobom, že myseľ nezávislosti integrálu je uzavretá vo forme cesty , potom stačí uviesť iba začiatok a koniec:
.

Veta 3. Greenov vzorec pre oblasť s jedným odkazom. Keď je myseľ zhustená v jednočlánkovej oblasti Nezávislosť krivočiareho integrálu od integrácie., potom hlavná funkcia і , і Newtonov-Leibnizov vzorec.

no a čo. Tento vzorec sa nazýva vzorec

Newton-Leibniz

pre krivočiary integrál. boli nepretržité v uzavretom priestore .

Hádaj čo, žiarlivosť potrebnú a dostatočnú inteligenciu toho, čo je vyjadrené
Potom zo zoznamu formulovaných viet vyplýva, že funkcie

nerušene v uzavretom priestore .

, v ktorom je uvedený bod

a) hlavná funkcia
, no a čo ,

neležte pod tvarom cesty, Poďme k hornej časti c) vzorec je správny

Zadok 11.2 .

..

Pomocou krivočiareho integrálu, ktorý neleží pod tvarom dráhy, nájdete funkciu Viem, že toto je nový diferenciál.

Takto pokračuje príbeh. Greenov vzorec pre oblasť s jedným odkazom. Keď je myseľ zhustená v jednočlánkovej oblasti Nezávislosť krivočiareho integrálu od integrácie.і Aké sú funkcie? , potom to predstavuje ďalší rozdiel speváckej funkcie
.

Krymský integrál
, Po prvé, neklamte vo forme cesty a iným spôsobom môžete vypočítať pomocou vzorca Newton-Leibniz.

Počítateľné

dvoma spôsobmi. Malyunok 11.4 a) Vibe v oblasti bodu

s konkrétnymi súradnicami tohto bodu

s konkrétnymi súradnicami tohto bodu

S dostatočnými súradnicami. .

Vypočítateľný krivočiary integrál pozdĺž lamana, ktorý pozostáva z dvoch priamych čiar, ktoré spájajú body, z ktorých jedna je rovnobežná s osou a druhá je rovnobežná s osou.

Todi. (Div. Obr. 11.4) Rivnyannya. .

Odnímateľné: Po vypočítaní integrálu priestupku môžeme funkciu odstrániť b) Teraz je ten istý integrál vypočítateľný pomocou Newton-Leibnizovho vzorca.
Teraz vyrovnáme dva výsledky výpočtu toho istého integrálu. Funkčná časť

nerušene v uzavretom priestore Výsledky bodu a) a požadovaná funkcia (11.2) , a číselná časť – її hodnoty ​​​​v bode Zadok 11.3. Obráťme sa na to, čo vidíme є nový diferenciál speváckej funkcie Takže jaka :

a my to vieme.
.

Overme si výsledky výpočtu zadku 11,2 pomocou Newton-Leibnizovho vzorca.

Mentálna funkcia

) Myslím: bol overený na prednom zadku. Túto funkciu poznáme, rýchlo ju implementuje malý 11.4 a akceptujeme ju ako bod

. Integrál za Lamanou je skladací a vypočítateľný і , і
(11.5 DIA,

Ako už bolo povedané vyššie, funkčná časť extrahovaného vírusu je požadovaná funkcia ,

Pozrime sa na výsledok vypočítaný z Prílohy 11.2 pomocou Newton-Leibnizovho vzorca: Výsledky sa zlepšili.

pre krivočiary integrál. boli nepretržité v uzavretom priestore .(11.6 )

Všetky vyššie uvedené tvrdenia sú pravdivé a pre široký rozsah, a tiež veľkú silu mysle

nerušene v uzavretom priestore Nechajte shmatkovo hladkú krivku ležať v oblasti otvoreného priestoru . ,
Aby funkcie a ich súkromné ​​aktivity boli kontinuálne v uzavretom priestore, v ktorom je daná pointa (11.5) ) ; ; ; ; ; .

), To .

a) vyjadruje ďalší diferenciál speváckej funkcie b) krivočiary integrál ako konštantný diferenciál k funkcii piesne neležte pod cestou, : , , Zadok 11.4

. Vráťme sa k tomu, čo je novým rozdielom speváckej funkcie - Klas je cesta a deň je pointa - koniec cesty . Vypočítateľný integrál

za obrysom, ktorý pozostáva z priamych úsekov rovnobežných so súradnicovými osami.

.

(Div.obr.11.5).

Malyunok 11.5 , ,
.

Zadok 11.2

, DÚroveň častí podľa obrysu: ,

opravené tu, to ., opravené tu .

že

Vojnou môžeme odstrániť: .

Teraz je ten istý integrál vypočítateľný pomocou Newtonovho-Leibnizovho vzorca.

Porovnajme výsledky: .

S potlačenou žiarlivosťou plynie,

Zaneprázdnený 12. Plošný integrál prvého druhu: dôležitosť, základná mocnosť. Pravidlá pre výpočet plošného integrálu prvého druhu s ďalším podintegrálom.

s krivkou: Prírastky plošného integrálu prvého druhu: plocha povrchu, hmotnosť povrchu materiálu, statické momenty výkonu

súradnicové roviny, momenty zotrvačnosti a súradnice k ťažisku.

OL-1 kap.6, OL 2 kap.3, OL-4§ 11.

: OL-6 č. 2347, 2352, 2353 alebo OL-5 č. 10.62, 65, 67. Vylepšenie domácnosti 1. druh pre priestorové krivky Krivkové integrály 2. druh Výpočet krivočiareho integrálu Výkonové väzby medzi hodnotami. 3). zmení znamienko na opačné. do obsadenosti 12: OL-6 č. 2348, 2354 alebo OL-5 č. 10.63, 64, 68.